0以上1以下のx
y=ax^2+2bx
の最小値が-1であるようなa,bを座標とする点(a,b)
の存在範囲を図示せよ。
駿台のテキストの問題です。どなたかお願いします。
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No.43683 - 2017/06/06(Tue) 20:24:52
| ☆ Re: 存在範囲 / angel | | | f(x)=ax^2+bx と置いておきます。
で、そもそもの話として f(0)=0 なので「0≦x≦1 で f(x)の最小値が -1」となると、0＜x≦1 のどこかで f(x)=-1 ということになります。それを意識しておきます。
その上で、a の値、正か0か負かで y=f(x) のグラフ形状が変わりますので場合分けしていきます。
(1) a＜0 の場合
最小値が-1 ⇔ f(1)=-1
※y=f(x)のグラフ形状が上に凸な放物線なので、0≦x≦1での最小はf(0)かf(1)のどちらか。自動的にf(1)が最小と決まる
(2) a=0 の場合
最小値が-1 ⇔ f(1)=-1
※y=f(x)のグラフは直線なので、やはり自動的にf(1)が最小と決まる
(3) a＞0 の場合
※ f(x)=ax^2+2bx=a(x+b/a)^2-b^2/a と変形しておく
(3)-1 放物線の軸 -b/a＞1 の場合
最小値が-1 ⇔ f(1)=-1
※下に凸な放物線 y=f(x) で軸が0≦x≦1の範囲外なので f(1)が最小
(3)-2 放物線の軸 0＜-b/a≦1 の場合
最小値が-1 ⇔ -b^2/a=-1
※放物線の軸 -b/a≦0 だと最小がf(0)になるためそもそも不適
と、一旦条件が出そろったところで改めてまとめ直します。
(i) a≦0 または ( a＞0 かつ -b/a＞1 ) の時 f(1)=-1
( a＞0 かつ -b/a＞1 ) を整形して ( a＞0 かつ a+b＜0 )
f(1)=a+2b であることから a+2b=-1
(ii) a＞0 かつ 0＜-b/a≦1 の場合 -b^2/a=-1
a＞0 かつ 0＜-b/a≦1 を整形して a＞0 かつ a+b≧0 かつ b＜0
-b^2/a=-1 を整形して b=√a ( a＞0 という前提なので、負の平方根は気にしなくて良い )
グラフ化すると、(i)が添付の図の左、(ii)が真ん中、ということで2つ繋げて右が求めるべき存在範囲となります。
※すいません。左のグラフ中の式が a+2b=1 となっていますが、=-1 の間違いです
なお、最終的な答えは a の値に応じて式を整理し直して
a＜1 … a+2b=-1
a≧1 … b=-√a
です。
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No.43708 - 2017/06/07(Wed) 02:08:00 |
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