ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 無限級数とΣ計算 / がん

度々すみません。写真の問題の分母をΣで表すことはできたのですが、分子はどのようにΣで表すのかが理解できません。教えてください。この問題の解答は13/4です。
よろしくお願いします。

No.43601 - 2017/06/04(Sun) 13:30:20

☆ Re: 無限級数とΣ計算 / IT

分子={1^2+2^2+...+(3n)^2} - {1^2+2^2+...+n^2}です。後は分母と同じように計算できると思います。

No.43602 - 2017/06/04(Sun) 13:52:28

☆ Re: 無限級数とΣ計算 / 25201729

分子のΣでの表し方ですが、3nをn+2nと考えてみればよいのではないでしょうか？

No.43603 - 2017/06/04(Sun) 13:57:27

☆ Re: 無限級数とΣ計算 / がん

> 分子={1^2+2^2+...+(3n)^2} - {1^2+2^2+...+n^2}です。後は分母と同じように計算できると思います。

回答ありがとうございます。
拝見しましたがなぜそのような形になるのかを理解することができませんでした。私の学力不足なのですがそこを教えていただけると嬉しいです。すみません、お願いします。

No.43608 - 2017/06/04(Sun) 16:13:11

☆ Re: 無限級数とΣ計算 / がん

> 分子のΣでの表し方ですが、3nをn+2nと考えてみればよいのではないでしょうか？

回答ありがとうございます。ｎをそのように分けてΣの形にしたのですが、このΣの式はどのように変形展開していくのでしょうか？教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

No.43609 - 2017/06/04(Sun) 16:17:09

☆ Re: 無限級数とΣ計算 / 25201729

まずは2乗の部分を展開して分けてください。

また、Σの中のnは外に出した方が計算はしやすいです。

No.43610 - 2017/06/04(Sun) 16:29:32

☆ Re: 無限級数とΣ計算 / IT

> 分子={1^2+2^2+...+(3n)^2} - {1^2+2^2+...+n^2}です。後は分母と同じように計算できると思います。

もう少していねいに書くと
{(1^2+2^2+...+n^2)+(n+1)^2+...+(3n)^2} - (1^2+2^2+...+n^2)
=(n+1)^2+...+(3n)^2= 分子　です。

手書きで写して、考えてみてください。

No.43611 - 2017/06/04(Sun) 16:33:43

☆ Re: 無限級数とΣ計算 / がん

> まずは2乗の部分を展開して分けてください。
>
> また、Σの中のnは外に出した方が計算はしやすいです。

あ、理解できました！Σを分けてｎを外に出し、後はΣの公式使えばいのですね！ありがとうございました！

No.43648 - 2017/06/05(Mon) 17:32:30

☆ Re: 無限級数とΣ計算 / がん

> > 分子={1^2+2^2+...+(3n)^2} - {1^2+2^2+...+n^2}です。後は分母と同じように計算できると思います。
>
> もう少していねいに書くと
> {(1^2+2^2+...+n^2)+(n+1)^2+...+(3n)^2} - (1^2+2^2+...+n^2)
> =(n+1)^2+...+(3n)^2= 分子　です。
>

理解できました！
この考え方が実際の解答のΣ－Σと同じになるとわかりました！お二方ともお手数かけました。ありがとうございました！
> 手書きで写して、考えてみてください。

No.43649 - 2017/06/05(Mon) 17:34:58

★ (No Subject) / 名無し

すいません、
y=ax^2+bx+cは原点を通るから

c=0

になるのはわかりましたが、

y軸に平行移動したあとやその時に点(4,-8)を通るからと言って

yにy+8
や
y＝-8
x=4

を代入したあとにbとaを求めたのかがわかりません。

なぜなら、元々あった式をいじってからaとbを求めにいったからです

値は変わりますよね？

どうしてもわかりません、よろしくお願いいたします。

No.43594 - 2017/06/04(Sun) 10:51:24

☆ Re: / angel

ちょっと要点に絞りましょう。c=0 の下りは既に分かっているものとします。

・原点を通る放物線?@ y=ax^2+bx があります。( a≠0 です )
・放物線?@をy方向に-8ずらした放物線?Aがあります
　→ これは?@と同じ a,b を使って y=ax^2+bx-8 と表せます。
・放物線?Aは(4,-8)を通ります
　→ -8=a・4^2+b・4-8 という条件が分かります
・放物線?Aはx軸に接します
　→ 二次方程式 ax^2+bx-8=0 の判別式 D=b^2+32a に関して D=0 です
・a≠0 と -8=a・4^2+b・4-8 と b^2+32a=0 から a=-2,b=8 と分かります

と、こういう話になっている訳ですが、細部は取り敢えずおいておいて、こういう話がされていることは問題ないでしょうか。
※?@,?Aというのは、私の方で区別のためつけた番号です

No.43597 - 2017/06/04(Sun) 11:24:13

☆ Re: / 名無し

はい問題はないのですが。。。

最後に得られた aとbの値ですが、

元の式 y=a^2+bxをいじって得られた答えですよね？

それは本当の答えになりませんよね？

No.43598 - 2017/06/04(Sun) 12:40:23

☆ Re: / angel

> 元の式 y=a^2+bxをいじって

気にされているのはそこですか…。

計算の細かいところはさておき、

・?@,?Aと2種類の放物線がある
・?@,?Aは共通の a,b を使って表すことができる
・?Aについては、与えられた条件から形が分かる
　→ a,bが分かる

という状況です。
つまり、もともとあった?@について調べなくても、?Aの方を調べれば、共通したa,bを使っているからa,bが分かりますよ、ということです。問題はありません。

> 元の式 y=ax^2+bx をいじって

「いじって」と考えるのではなく、?@を元に?Aを割り出す作業、と見て頂ければいいと思うのですが。

No.43599 - 2017/06/04(Sun) 12:52:42

☆ Re: / angel

これはちょっとした喩え(たとえ)話になるのですが。

( 主に女性が ) 自分でお化粧をするとき。当然ですが、自分の目で自分自身の顔を見ることはできませんよね。
なのでどうするかというと、鏡を見ながら口紅を引いたりするわけです。
つまり、あくまで「鏡の中に見えている自分の顔」に「鏡の中の口紅」が付くように動かしているわけで、ある意味実体を操作しているわけではありません。

しかし、それでも結果としてはちゃんと自分の顔に化粧ができるはずです。

「元の式 y=ax^2+bx をいじって」それでできる放物線?Aを調べるというのは、ちょうどこの「鏡に顔を映して化粧する」ようなものだと考えてみてはどうでしょうか。

No.43600 - 2017/06/04(Sun) 12:59:56

★ 無限級数（無限等比級数） / がん

無限級数で質問です。
この問題を見た時に不定形なので分母の低が最大の項で割るパターンかと思い、４＾ｎで分母分子を割ったのですがそうすると0/1で0になるのですが、解答は２でした。
解答の計算過程を見てもよくわかりませんでした。この問題の計算を教えてください。
よろしくお願いします。

No.43591 - 2017/06/04(Sun) 09:48:20

☆ Re: 無限級数（無限等比級数） / noname

>この問題を見た時に不定形なので分母の低が最大の項で割るパターンかと思い、４＾ｎで分母分子を割ったのですがそうすると0/1で0になるのですが、解答は２でした。

無限級数の計算方法が正しくないのだと思われます．まずは

?農[n＝1,∞](3^n-2^n)/4^n
＝?農[n＝1,∞](3^n/4^n-2^n/4^n)
＝Σ_[n＝1,∞]((3/4)^n-(1/2)^n)
＝Σ_[n＝1,∞](3/4)^n-?農[n＝1,∞](1/2)^n

の様に式変形を行い，その後に「無限等比級数」と呼ばれる無限級数の計算方法を参考にして一度お考えください．

No.43592 - 2017/06/04(Sun) 10:08:12

☆ Re: 無限級数（無限等比級数） / がん

> >この問題を見た時に不定形なので分母の低が最大の項で割るパターンかと思い、４＾ｎで分母分子を割ったのですがそうすると0/1で0になるのですが、解答は２でした。
>
>
> 無限級数の計算方法が正しくないのだと思われます．まずは
>
> ?農[n＝1,∞](3^n-2^n)/4^n
> ＝?農[n＝1,∞](3^n/4^n-2^n/4^n)
> ＝Σ_[n＝1,∞]((3/4)^n-(1/2)^n)
> ＝Σ_[n＝1,∞](3/4)^n-?農[n＝1,∞](1/2)^n
>
> の様に式変形を行い，その後に「無限等比級数」と呼ばれる無限級数の計算方法を参考にして一度お考えください．

回答ありがとうございます。
-1＜ｒ＜1のとき、a₁/1-ｒというやつをこの後使えばいいのですね。わかりやすかったです。
ありがとうございました！

No.43593 - 2017/06/04(Sun) 10:47:28

★ (No Subject) / りー

この問題の(3)がわかりません。
まず、問題の意味が分かりません。
｛bn｝とは、何を示しているのですか？

No.43589 - 2017/06/04(Sun) 09:01:39

☆ Re: / りー

こちらは、解答なのですが、赤線で囲っているところがわかりません。

No.43590 - 2017/06/04(Sun) 09:04:53

☆ Re: / angel

数列{a[n]}というのは、

　1, 4, 7, 10, …

となっていますよね。

ここに出てくる数を、

　1, 4, 4, 7, 7, 7, 10, 10, 10, 10, …

と並べたのが {b[n]} です。
「a[1]を1個、a[2]を2個、a[3]を3個、…」と言ってるのはこういうことです。

No.43595 - 2017/06/04(Sun) 10:57:28

☆ Re: / X

＞＞｛bn｝とは、何を示しているのですか？
{a[1]},{a[2],a[2]},{a[3],a[3],a[3]},…
というような群数列になっています。

＞＞こちらは、解答なのですが、赤線で囲っているところがわかりません。

まず上の赤枠について。
1つ目の式は、
{b[n]}の10個目の群数列の末項までの項数
2つ目の式は、
{b[n]}の9個目の群数列の末項までの項数
を計算しています。
求めるのはb[50]、つまり{b[n]}の第50項ですので
上記の2つの計算から
10個目の群数列の5番目 (A)
であることが分かります。
ということで
b[50]=a[10]=…
となります。
次に二つ目の赤枠について。
(A)に基づいて問題の和を計算しています。
第k群に属する項の総和は
ka[k]
になりますので…。

No.43596 - 2017/06/04(Sun) 11:02:13

★ 母数の検定 / ふぉが

?@２つの箱の中に碁石がたくさん入っている。一方の箱の白石と黒石の割合は1:1であり、他方の箱の白石と黒石の割合は1:2である。いま、１つの箱を選んで、その中から6個の碁石を復元抽出する。とった白石の数によって、帰無仮説Ho:「その箱の白石と黒石の割合は1:1である」と検定する。

問1.危険率を20パーセントとすると、棄却域はいくらか。また、第2種の誤りをおかす確率はいくらか。

答えは、棄却域「白石0個と１個」。第2種の誤りをおかす確率は約65パーセント。

なぜ、答えがこのようになるかわからないです。
どうぞよろしくお願いいたします。

No.43582 - 2017/06/03(Sat) 20:02:32

★ 図形 / たゆたう

角B=2角Cである三角形ABCがある。角Aの二等分線とBCの交点をDとし,AB=4,BD=3であるときACとCDの長さを求めよ。という問題ですが解き方を教えてください。

No.43576 - 2017/06/03(Sat) 18:02:26

☆ Re: 図形 / X

3元の連立方程式を使ってもよいという前提であれば
以下のようになります。

∠Bの二等分線と辺CAとの交点をEとし
AC=x,CD=y,AE=z
と置きます。
このとき、まず∠Aの二等分線ADに注目して
辺の比から
4:x=3:y (A)
次に∠Bの二等分線BEに注目して
辺の比から
3+y:4=(x-z):z (B)
更にこのとき条件から
△ABE∽△ABC
となっていることから、
対応する辺の比により
4:z=x:4 (C)
(A)(B)(C)を整理すると
3x=4y (A)'
z(3+y)=4(x-z) (B)'
zx=16 (C)'
(A)'(B)'(C)'をx,y,zについての
連立方程式として解きます。
(A)'より
y=3x/4 (A)"
(C)'より
z=16/x (B)"
(A)"(B)"を(B)'に代入して
(16/x)(3+3x/4)=4(x-16/x)
これより
(4/x)(3+3x/4)=x-16/x
(1/x)(12+3x)=x-16/x
12+3x=x^2-16
x^2-3x-28=0
(x-7)(x+4)=0
x＞0により
x=7
これを(A)"に代入して
y=21/4

以上から
AC=7,CD=21/4
となります。

No.43579 - 2017/06/03(Sat) 18:39:59

☆ Re: 図形 / らすかる

別解
AC上にAE=4となるように点Eをとると
△ABD≡△AEDなのでED=BD,∠AED=∠ABD=2∠C
よって∠EDC=∠AED-∠C=∠Cなので△EDCはED=ECの二等辺三角形
従ってEC=ED=BD=3なのでAC=AE+EC=4+3=7
またAB：BD=AC：CDからDC=(3/4)AC=21/4

No.43584 - 2017/06/03(Sat) 21:59:40

☆ Re: 図形 / たゆたう

わかりました。お二方ありがとうございました。

No.43585 - 2017/06/03(Sat) 22:32:22

★ (No Subject) / りー

この問題の(3)なのですが、解答の意味がわかりません。
赤線を引いている部分なのですが、
なぜ、二つの式を引いているのかが分かりません

No.43573 - 2017/06/03(Sat) 16:52:41

☆ Re: / りー

こちらが問題です。

No.43574 - 2017/06/03(Sat) 16:53:18

☆ Re: / りー

こちらが問題の解答です。
赤線の部分がわかりません。

No.43575 - 2017/06/03(Sat) 16:54:17

☆ Re: / IT

a[k]a[k+1]のうち、a[8]a[9] だけが負で、他は正です。

したがって
　1/|a[8]a[9]|
　=- 1/(a[8]a[9])
　=1/(a[8]a[9]) - 2/(a[8]a[9])
　となるからです。

別の説明の仕方をすると
　Σで1/(a[8]a[9]) を足しているので、それを引いて、
　そこに1/|a[8]a[9]|　=- 1/(a[8]a[9])　を加えています。

Σの計算が分かりにくいときは、書き下してみるのも有効な方法です。

Σ[k=1..9]1/|a[k]a[k+1]|　

=1/|a[1]a[2]|+1/|a[2]a[3]|+..+1/|a[8]a[9]|+1/|a[9]a[10]|
=1/(a[1]a[2])+1/(a[2]a[3])+..-1/(a[8]a[9])+1/(a[9]a[10])
=1/(a[1]a[2])+1/(a[2]a[3])+..+1/(a[8]a[9])+1/(a[9]a[10]) - 2/(a[8]a[9])

=Σ[k=1..9]1/(a[k]a[k+1]) - 2/(a[8]a[9])　

No.43580 - 2017/06/03(Sat) 19:45:02

☆ Re: / りー

ありがとうございます。

No.43588 - 2017/06/04(Sun) 08:41:19

★ 中学受験　算数　点の移動の問題 / ぶどう

中学受験　算数　点の移動の問題教えてください。
答えは　?@7.2km ?A2.7kmです。

よろしくお願いします。

No.43572 - 2017/06/03(Sat) 16:24:34

☆ Re: 中学受験　算数　点の移動の問題 / mo

一例です

?@
[Ａ→[上り(分速90m)]→Ｂ→[下り(分速150m)]→Ｃ]で、60分…(1)
[Ｃ→[上り(分速90m)]→Ｂ→[下り(分速150m)]→Ａ]で、68分…(2)

(1)＋(2)で
{Ａ→(分速90m)→Ｃ}＋{Ａ→(分速150m)→Ｃ]で、128分がわかり

同じ距離(Ａ→Ｃ)を(毎分90m)，(毎分150)で、行くときの
時間の比は、速さの逆比で、5：3となり
毎分90mのときに、かかる時間は、128×(5/8)＝80分
毎分150mのときに、かかる時間は、128×(3/8)＝48分

Ａ地とＢ地の間の距離は、90×80＝150×48＝7200m、
【7.2km】

?A
[Ａ→[上り(分速90m)]→Ｂ→[下り(分速150m)]→Ｃ]で、60分…(1)
●(1)のときと全て毎分150mで進むときの道のり差が、
　　150×60－7200＝1800【1800m】

●分速の差が、
　　150－90＝60【毎分60m】

●毎分90mで移動した時間は、
　　1800÷60＝30【30分】

ＡＢ間を分速90mで30分移動したので、距離は90×30＝2700
【2.7km】

補足
往路：ＡＢ(分速90m、30分、2700m)、ＢＣ(分速150m、30分、4500m)
復路：ＣＢ(分速90m、50分、4500m)、ＢＡ(分速150m、18分、2700m)

No.43587 - 2017/06/04(Sun) 03:09:02

★ 数列の和 / ふぁが

(X1+X2+・・・Xn)^3をΣで表すと、画像のようになります。この導出するまでの過程がわからないので、教えてください。

また、「Σ{i>j>k} Xi,Xj,Xk」が「nC3 Xi,Xj,Xk」で表せるのはなぜかも教えてください

どうぞよろしくお願い致します。

No.43566 - 2017/06/03(Sat) 11:05:06

☆ Re: 数列の和 / WIZ

多項定理ですね。n, mを自然数として、(X[1]+X[2]+・・・+X[n])^mを展開した一般項は
k[1], k[2], k[3], ・・・, k[n]は0以上m以下の整数でk[1]+k[2]+k[3]+・・・+k[n] = mとするとき、
((m!)/{(k[1]!)(k[2]!)(k[3]!)・・・(k[n]!)})(X[1]^k[1])(X[2]^(k[2]))(X[3]^k[3])・・・(X[n]^k[n])
となります。

導出方法については本やネットで調べた方が分かり易いと思いますので、
私の下手な説明は割愛させて頂きます。

m = 3ですので、一般項の指数k[1]+k[2]+k[3]+・・・+k[n] = mは、
(A) 3+0+0+・・・+0 = 3
(B) 2+1+0+0+・・・+0 = 3
(C) 1+1+1+0+0+・・・+0 = 3
のどれかのパターンしかありません。

(A)のパターンの係数は(3!)/{(3!)(0!)(0!)・・・(0!)} = 1なので、1*(X[i]^3)という項です。
(B)のパターンの係数は(3!)/{(2!)(1!)(0!)・・・(0!)} = 3なので、3*(X[i]^2)X[j]という項です。
(C)のパターンの係数は(3!)/{(1!)(1!)(1!)(0!)・・・(0!)} = 6なので、6X[i]X[j]X[k]という項です。

> また、「Σ{i>j>k} Xi,Xj,Xk」が「nC3 Xi,Xj,Xk」で表せるのはなぜかも教えてください

nの値によって、たまたまnC3 = 6となる場合(n = 4)を除いて、一般には上記は成立しません。

No.43569 - 2017/06/03(Sat) 13:42:02

☆ Re: 数列の和 / ふぉが

WIZさん

ありがとうございます

No.43581 - 2017/06/03(Sat) 19:55:15

★ (No Subject) / Nous sommes prêts

次の極限値を求めよ。

lim[n→∞]【[Σ[k=1～n]log{1+(6k-1)/2n}]/n】

区分求積法で解いてみたのですが、どうしても感覚的な議論になってしまいます…。

No.43564 - 2017/06/03(Sat) 10:33:46

☆ Re: / WIZ

∫[0, 1]log(1+3x)dx = [(3x+1)log(3x+1)/3-x]_[0, 1] = (4/3)log(4)-1
となると思います。

No.43567 - 2017/06/03(Sat) 12:56:22

☆ Re: / Nous sommes prêts

∫[0, 1]log(1+3x)dx とするときに、-1/2nが無視できることはどのように示しますか？(勿論感覚的には明らかなのですが)

No.43568 - 2017/06/03(Sat) 13:29:44

☆ Re: / WIZ

x > 0でlog(1+3x)は単調増加だから、
log(1+(6k-6)/(2n)) < log(1+(6k-1)/(2n)) < log(1+(6k)/(2n))
です。

「区分求積」でネットで調べて頂ければ分かりますが、右端型と左端型という考え方を用いると、
右端型なら、lim[n→∞]{Σ[k=1,n](f(k/n)(1/n))} = ∫[0,1]f(x)dx
左端型なら、lim[n→∞]{Σ[k=0,n-1](f(k/n)(1/n))} = lim[n→∞]{Σ[k=1,n](f((k-1)/n)(1/n))} = ∫[0,1]f(x)dx
です。

lim[n→∞]{Σ[k=1,n](log(1+(6k-6)/(2n))/n)} = lim[n→∞]{Σ[k=1,n](log(1+3(k-1)/n)/n)}
は左端型で∫[0, 1]log(1+3x)dxに収束します。

また、lim[n→∞]{Σ[k=1,n](log(1+(6k)/(2n))/n)}は右端型で、やはり∫[0, 1]log(1+3x)dxに収束します。

以上から、挟み打ちにより、lim[n→∞]{Σ[k=1,n](log(1+(6k-1)/(2n))/n)}も
∫[0, 1]log(1+3x)dxに収束すると言えます。

No.43570 - 2017/06/03(Sat) 14:01:07

★ 三角不等式 / 一般people

(2)下線部になる理由がわかりません。よろしくお願いします。

No.43549 - 2017/06/02(Fri) 23:15:41

☆ Re: 三角不等式 / 一般people

下線部です

No.43550 - 2017/06/02(Fri) 23:16:34

☆ Re: 三角不等式 / angel

> すなわち sin(θ-π/3)＞0
> 0≦θ＜2πのとき -π/3≦θ-π/3＜5/3・π
> したがって 0＜θ-π/3＜π

これだけ見ると単なる数式の羅列ですが、言葉を補ってあげるとちゃんと繋がりがあることが分かります。

　すなわち sin(θ-π/3)＞0
　それは一旦おいておいて 0≦θ＜2π の前提をθ-π/3主体に書き換えるとき -π/3≦θ-π/3＜5/3・π
　したがって話を戻して -π/3以上、5/3・π未満であるθ-π/3 が sin(θ-π/3)＞0 を満たす場合の θ-π/3 の値は 0＜θ-π/3＜π

なんで θ-π/3 の範囲を気にしているかというと、範囲をちゃんと限定しないと、幾らでも範囲が広がってしまうからです。
sin(X)＞0 という条件だけだと、0以上で考えると
　0≦X＜π, 2π≦X＜3π, 4π≦X＜5π, …
0未満なら
　-2π≦X＜-π, -4π≦X＜-3π, -6π≦X＜-5π, …
と、大きい方にも小さい方にも、条件を満たす区間が無数にできますから。

No.43552 - 2017/06/02(Fri) 23:32:01

☆ Re: 三角不等式 / 一般people

ご丁寧にありがとうございます😊

No.43665 - 2017/06/05(Mon) 22:07:33

★ 一次関数 / iappo

お願いします

No.43548 - 2017/06/02(Fri) 22:53:00

☆ Re: 一次関数 / X

(1)
条件からA(1,-1)
一方、線分ACは正方形ABCDの対角線で
辺ABはx軸に平行なので、
直線ACの傾きは1
よって直線ACの方程式を
y=x+b
と置くと、これが点Aを通ることから
-1=1+b
これより
b=-2
よって直線ACの方程式は
y=x-2

(2)
(1)の結果と?Aの方程式をx,yの連立方程式として解きます。
こちらの計算では点Cの座標は
(15,13)
となりました。

(3)
求める方程式を
y=ax (A)
と置き、直線(A)と辺DA,BCとの交点を
F,Eとすると、条件と(2)の結果により
F,Eのx座標はそれぞれ1,15ですので
F(1,a),E(15,15a)
よって(1)の過程により
AF=a+1
BE=15a+1
又
AB=15-1=14
以上から台形ABEFの面積について
(1/2)×{(a+1)+(15a+1)}×14=14^2
これをaについての方程式として解きます。

No.43560 - 2017/06/03(Sat) 07:12:02

☆ Re: 一次関数 / X

質問内容とは直接関係ありませんが一言。
同じ掲示板で質問をアップするときは
ハンドル名を全て同じにしましょう。

No.43562 - 2017/06/03(Sat) 07:50:45

☆ Re: 一次関数 / iappo

ありがとうございます🙇
気をつけます( ^ω^ )

No.43612 - 2017/06/04(Sun) 16:46:12