次の極限値を求めよ。
lim[n→∞]【[Σ[k=1〜n]log{1+(6k-1)/2n}]/n】
区分求積法で解いてみたのですが、どうしても感覚的な議論になってしまいます…。
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No.43564 - 2017/06/03(Sat) 10:33:46
| ☆ Re: / WIZ | | | ∫[0, 1]log(1+3x)dx = [(3x+1)log(3x+1)/3-x]_[0, 1] = (4/3)log(4)-1
となると思います。
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No.43567 - 2017/06/03(Sat) 12:56:22 |
| ☆ Re: / Nous sommes prêts | | | ∫[0, 1]log(1+3x)dx とするときに、-1/2nが無視できることはどのように示しますか？(勿論感覚的には明らかなのですが)
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No.43568 - 2017/06/03(Sat) 13:29:44 |
| ☆ Re: / WIZ | | | x > 0でlog(1+3x)は単調増加だから、
log(1+(6k-6)/(2n)) < log(1+(6k-1)/(2n)) < log(1+(6k)/(2n))
です。
「区分求積」でネットで調べて頂ければ分かりますが、右端型と左端型という考え方を用いると、
右端型なら、lim[n→∞]{Σ[k=1,n](f(k/n)(1/n))} = ∫[0,1]f(x)dx
左端型なら、lim[n→∞]{Σ[k=0,n-1](f(k/n)(1/n))} = lim[n→∞]{Σ[k=1,n](f((k-1)/n)(1/n))} = ∫[0,1]f(x)dx
です。
lim[n→∞]{Σ[k=1,n](log(1+(6k-6)/(2n))/n)} = lim[n→∞]{Σ[k=1,n](log(1+3(k-1)/n)/n)}
は左端型で∫[0, 1]log(1+3x)dxに収束します。
また、lim[n→∞]{Σ[k=1,n](log(1+(6k)/(2n))/n)}は右端型で、やはり∫[0, 1]log(1+3x)dxに収束します。
以上から、挟み打ちにより、lim[n→∞]{Σ[k=1,n](log(1+(6k-1)/(2n))/n)}も
∫[0, 1]log(1+3x)dxに収束すると言えます。
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No.43570 - 2017/06/03(Sat) 14:01:07 |
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