Q.平面上の点Oを中心とし、半径1の円周上に相異なる3点A、B
、Cがある。三角形ABCの内接円の半径は1/2以下であることを示せ。
よろしくおねがいします。
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No.43718 - 2017/06/07(Wed) 08:02:49
| ☆ Re: / らすかる | | | BCを固定してAを動かすと内接円の中心はBCを弦とする弧を描くから、
内接円の面積はAがBCの垂直二等分線上にある時に最大になる。
従ってAB=ACである三角形の内接円の半径が1/2以下であることを示せば十分。
AB=ACとして∠AOB=2θとすると∠AOC=2θ,∠BOC=2π-4θ
AB=AC=2sinθ,BC=2sin(π-2θ)=2sin2θ=4sinθcosθ
(周の長さ)=2(2sinθ+sin2θ)=4sinθ(1+cosθ)
(高さ)=1+cos(π-2θ)=1-cos2θ=2(sinθ)^2
(面積)=4(sinθ)^3(cosθ)
(内接円の半径)
=2(面積)/(周の長さ)
=8(sinθ)^3(cosθ)/{4sinθ(1+cosθ)}
=2(sinθ)^2(cosθ)/(1+cosθ)
=2(1-cosθ)(cosθ)
≦1/2 （等号はcosθ=1/2すなわちθ=π/3つまり△ABCが正三角形のとき）
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No.43726 - 2017/06/07(Wed) 10:39:37 |
| ☆ Re: / Pirate Radio | | | >BCを固定してAを動かすと内接円の中心はBCを弦とする弧を描くから、内接円の面積はAがBCの垂直二等分線上にある時に最大になる。従ってAB=ACである三角形の内接円の半径が1/2以下であることを示せば十分。
この部分をもう少し噛み砕いて説明していただけますか？<m(__)m>
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No.43744 - 2017/06/07(Wed) 21:00:58 |
| ☆ Re: / らすかる | | | 内接円の中心をIとすると
∠IBC+∠ICB=(1/2)∠ABC+(1/2)∠ACB
=(1/2)(∠ABC+∠ACB)
=(1/2)(π-∠BAC)
=(一定) （∵BCを固定したから）
なので
∠BIC=π-(∠IBC+∠ICB)=(一定)
従ってIはBCを弦とする弧を描く。
内接円の半径が最大となるのは
IがBCから最も離れているときであり、
弧上の点と弦が最も遠いのは
点が弦の垂直二等分線上にあるときだから
I,AがBCの垂直二等分線上にあるときに
内接円の半径が最大となる。
よって任意のBCに対してAB=ACである時の
内接円の半径が最大だから、
それが1/2以下であることを示せば十分。
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No.43748 - 2017/06/07(Wed) 21:16:28 |
| ☆ Re: / Pirate Radio | | | >>らすかるさん
詳しい解説をありがとうございました！
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No.43763 - 2017/06/08(Thu) 00:33:51 |
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