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★ (No Subject) / 名
N進法において、10進法をN進法に直すときに、Nで「割る」理由がいまいちつかめません。どういう事なのでしょうか…？
No.43201 - 2017/05/17(Wed) 16:20:58
☆ Re: / ヨッシー
Ｎ進法で　ＡＢＣＤＥ　で表される数があるとします。
この数をＳとすると、
　Ｓ＝ＡＮ^4＋ＢＮ^3＋ＣＮ^2＋ＤＮ＋Ｅ
と表せます。
　Ｓ＝Ｎ(ＡＮ^3＋ＢＮ^2＋ＣＮ＋Ｄ)＋Ｅ
であるので、ＳをＮで割ると、商がＡＮ^3＋ＢＮ^2＋ＣＮ＋Ｄ、余りがＥとなります。
この商をＴとおくと
　Ｔ＝ＡＮ^3＋ＢＮ^2＋ＣＮ＋Ｄ＝Ｎ(ＡＮ^2＋ＢＮ＋Ｃ)＋Ｄ
と書けるので、ＴをＮで割ると、商がＡＮ^2＋ＢＮ＋Ｃ、余りがＤとなります。
この商をＵとおくと、
　Ｕ＝ＡＮ^2＋ＢＮ＋Ｃ＝Ｎ(ＡＮ＋Ｂ)＋Ｃ
と書けるので、ＵをＮで割ると、商がＡＮ＋Ｂ、余りがＣとなります。
この商をＶとおくと、ＶをＮで割った商はＡ、余りがＢとなります。
ここまでで、Ｅ，Ｄ，Ｃ，Ｂ，Ａを順に求めることが出来ます。

例えば、２４６９１について、
　２４６９１÷１０＝２４６９・・・１　（・・・は余りの意味）
　２４６９÷１０＝２４６・・・９
　２４６÷１０＝２４・・・６
　２４÷１０＝２・・・４
となるのと同じです。
　１０の位より上は１０で割りきれて、１の位が余り
という意識を持てば、やっていることがわかってくると思います。　
No.43202 - 2017/05/17(Wed) 16:54:41
☆ Re: / 名
返信ありがとうございます。少し理解できないところがあるのですが、例えば10進法の、234 (= 10²•2 + 10•3 + 1•4) を、6進法とする為に6で割るとき、解答いただいた様な考え方とは少し違くなる様な気がするのですが、どの様に考えれば良いでしょう…
No.43207 - 2017/05/17(Wed) 19:44:12
☆ Re: / ヨッシー
234(10) を六進法に変えるとき、
　234＝2・102＋3・10＋4
を意識する必要はありません。むしろ、６進法で、ＡＢＣＤ(6) と表せたときのことを想定して
　234＝A・63＋B・62＋C・6＋D
を考えます。するとこれを６で割ると、商はＡＢＣ(6)、余りはＤとなります。
No.43212 - 2017/05/18(Thu) 09:30:57
★ (No Subject) / 質問
２番目の問題で最後にkにn-1を代入していることについて質問です。解説を読んで２、１２、３０などのxnの座標が（n,n-1）でy座標がn-1だからn-1を代入していることはわかるのですが、xnのx座標はnなのだから代入しなくてもよいのでは？と感じてしまいます。なぜこの部分ではn-1を代入しなくてはならないのでしょうか？具体的に教えていただけないでしょうか？

回答よろしくお願いします
問題の解答は次の投稿画像に続きます
No.43196 - 2017/05/16(Tue) 00:26:45
☆ Re: / 質問
続き
No.43197 - 2017/05/16(Tue) 00:28:43
☆ Re: / ヨッシー
（ｋ＋１，ｋ） につけられた数字が　(2k+1)^2＋(2k+1) である。
ｘn は、（ｎ，ｎ−１）につけられた数字である。
ということがわかっているので、
（ｋ＋１，ｋ）と（ｎ，ｎ−１）を見比べれば、ｋ＝ｎ−１ を
代入すれば良いことがわかります。

「xnのx座標はnなのだから」こそ、ｘ座標の k+1 には k=n-1 を代入しないといけないのです。
No.43199 - 2017/05/16(Tue) 11:33:17
☆ Re: / 質問
理解できました　ありがとうございます
No.43200 - 2017/05/16(Tue) 20:41:46
★ 円柱の方程式と5進法 / 灰原
質問1
xyz空間において、直線z=(tanα)x、y=0を中心軸とする半径aの円柱を表す方程式を求めなさい。

円柱面上の点P(x,y,z)とします。中心軸上の点A(t,0,(tanα)t)に対して、AP→と方向ベクトル(1,0,(tanα))の内積の垂直条件とAP→の大きさ1を考えて、y^2+(z-(tanα)t)^2/(cosα)^2=1とだしたんですが、間違えているようです。正しくはどのようにすればいいのでしょうか。

質問2
0,1,2,3,4を用いて表される数字を0から始めて小さい順に並べる。すなわち、0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21…567番目の数字は何か。

解答ではなぜか566を5進法表示に直しているんですがなぜ567ではなく566を5進法表示するのでしょうか。
No.43194 - 2017/05/15(Mon) 21:39:08
☆ Re: 円柱の方程式と5進法 / らすかる
AP→と方向ベクトル(1,0,(tanα))の内積の垂直条件とAP→の大きさ1を考えて
「どのような計算で」
y^2+(z-(tanα)t)^2/(cosα)^2=1とだしましたか？
（間違いはその計算過程にあると思いますので、
　計算過程を書いて頂ければ具体的に指摘できると思います。）

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の中で「7番目の数字」は何ですか？
No.43198 - 2017/05/16(Tue) 11:03:31
☆ Re: 円柱の方程式と5進法 / 灰原
回答ありがとうございます。

＞AP→と方向ベクトル(1,0,(tanα))の内積の垂直条件とAP→の大きさ1を考えて
「どのような計算で」
y^2+(z-(tanα)t)^2/(cosα)^2=1とだしましたか？

AP→=(x-t,y,z-(tanα)t)です。(1,0,(tanα))との内積は
(x-t)+(tanα)(z-(tanα)t)=0です。AP→の大きさ1の条件で、(x-t)^2+y^2+(z-(tanα)t)^2=1です。二式からx-tを消去して、(tanα)^2(z-(tanα)t)^2+y^2+(z-(tan))^2=1これを変形して、y^2+(z-(tanα)t)^2/(cosα)^2=1としました。

ちなみに考え方は合っているのでしょうか？

＞0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の中で「7番目の数字」は何ですか？

0から数えると、ある数の番号は後ろに一つずれるから、567番目の数は566になるということでよろしいでしょうか？
No.43216 - 2017/05/18(Thu) 20:46:17
☆ Re: 円柱の方程式と5進法 / らすかる
> ・・・これを変形して、y^2+(z-(tanα)t)^2/(cosα)^2=1としました。

条件から式を立てるところまでは問題ないですね。
しかしそこから、円柱の式にするためにはtを消去しないといけませんので
内積の式からt=・・・にして大きさ1の式に代入して整理すると
答えにたどりつけると思います。


> 0から数えると、ある数の番号は後ろに一つずれるから、
> 567番目の数は566になるということでよろしいでしょうか？

その通りです。
No.43217 - 2017/05/18(Thu) 21:18:26
☆ Re: 円柱の方程式と5進法 / 灰原
大変ありがとうございました。
No.43231 - 2017/05/19(Fri) 20:35:06
★ (No Subject) / アクア
ある会社の社員400人のうち、課長以上40人の平均給与は係員240人の平均給与を100とした指数で見ると140である。また、係長120の平均給与は110という指数で表される。この会社の社員全体の平均給与が53.5万円のとき係
長の平均給与を求めよ。 お願いします！
No.43190 - 2017/05/15(Mon) 12:38:15
☆ Re: / ヨッシー
係員の平均給与を100としたの 100 を１つの貨幣単位（仮に＄ ならぬ Ｓ）とすると、
　給与 Ｓ１４０ の人が４０人
　給与 Ｓ１１０ の人が１２０人
　給与 Ｓ１００ の人が２４０人
いることになるので、平均は、
　140×40＋110×120＋100×240＝5600＋13200＋24000＝42800
　42800÷400＝107
Ｓ１０７ が 535000円なので、係長の平均給与の Ｓ１１０ を
円に換算すると、
　110×(535000/107)＝550000（円）
No.43191 - 2017/05/15(Mon) 13:12:24
★ 計算だけ / ゆー
これ、どうやったらこんな風に計算できるんですか？

途中式が知りたいです
No.43185 - 2017/05/14(Sun) 23:21:23
☆ Re: 計算だけ / noname
等差数列の和の公式は御存知ですか？

また，そうであれば，その公式の使い方は御存知ですか？


※該当箇所は公式を適用して計算しているだけです．そのため，この様な質問をさせていただきました．
No.43186 - 2017/05/15(Mon) 00:47:50
☆ Re: 計算だけ / ゆー
> 等差数列の和の公式は御存知ですか？
>
> また，そうであれば，その公式の使い方は御存知ですか？
>
>
> ※該当箇所は公式を適用して計算しているだけです．そのため，この様な質問をさせていただきました．


返信ありがとうございます🙏

公式とその意味はわかるんですが、計算の仕方がわかりません。

答えまでの途中式を教えて貰えると嬉しいです
No.43187 - 2017/05/15(Mon) 01:14:06
☆ Re: 計算だけ / X
横から失礼します。

問題の等差数列の初項をa,末項をb、項数をN
求める和をSとすると
S=(1/2)N(a+b) (A)
a=2^n-1 (B)
b=2^n-1+{2^(n-1)-1}・2 (C)
N=2^(n-1) (D)
(B)(C)(D)を(A)に代入します。
No.43188 - 2017/05/15(Mon) 01:38:06
☆ Re: 計算だけ / ゆー
> 横から失礼します。
>
> 問題の等差数列の初項をa,末項をb、項数をN
> 求める和をSとすると
> S=(1/2)N(a+b) (A)
> a=2^n-1 (B)
> b=2^n-1+{2^(n-1)-1}・2 (C)
> N=2^(n-1) (D)
> (B)(C)(D)を(A)に代入します。

返信ありがとうございます🙏

式の意味は分かってて、代入して問題に書かれてる式を出せるのはわかります。

ただ、どうやって計算しても書かれてる答え通りにならないので途中式を教えてほしいです。

計算のレベルを抜いたら数学じゃなくて算数について教えてほしいです。何度もすみません。
No.43192 - 2017/05/15(Mon) 17:21:55
☆ Re: 計算だけ / X
では実際に代入してみましょうか。
(B)(C)(D)を(A)に代入すると
S=(1/2){2^(n-1)}{(2^n-1)+(2^n-1+{2^(n-1)-1}・2)}
=(1/2){2^(n-1)}{(2^n-1)+(2^n-1)+{2^(n-1)-1}・2}
=(1/2){2^(n-1)}{2(2^n-1)+{2^(n-1)-1}・2}
={2^(n-1)}{(2^n-1)+{2^(n-1)-1}}
={2^(n-1)}{2^n+2^(n-1)-2}
=2^{n+(n-1)}+2^{(n-1)+(n-1)}-2^{1+(n-1)}
=2^(2n-1)+2^(2n-2)-2^n
=2・2^(2n-2)+2^(2n-2)-2^n
=3・2^(2n-2)-2^n
=3・2^{2(n-1)}-2^n
=3・(2^2)^(n-1)-2^n
=3・4^(n-1)-2^n
No.43193 - 2017/05/15(Mon) 21:24:24
☆ Re: 計算だけ / ゆー
Xさんありがとうございます🙏助かりました
No.43195 - 2017/05/15(Mon) 22:13:08
★ (No Subject) / TKG
数列｛an}に対して数列｛ｂn}を３a(n+1)-2anで定義する。数列bnが初項ｂ(≠０）、公比ｒの等比数列であるとき、次の問いに答えよ。
数列anが等比数列であるための必要十分条件を求めよ
与えられた条件より
a(n+1)=(2/3)an+(1/3)br^(n-1)
anが等比
⇔a1,a2,a3がこの順に等比
⇔a2^2=a1a3・・?@
a2=2/3a1+1/3b,
a3=2/3a2+1/3br=4/9a1+2/9b+1/3br
?@に代入して
(2/3)a1+(1/3)b=(a1)r・・?B
「ｒ＝０とすると矛盾するのでanは等比ではない」
よってｒ≠０】

「」の部分の詳しい説明と、】以降の解答を教えてください。
必要条件を発見してから十分性の確認（数学的帰納法）という流れのようです

よろしくおねがいします
No.43181 - 2017/05/14(Sun) 20:59:05
☆ Re: / IT
>「」の部分の詳しい説明 だけ

r=0 とすると
３a(2)-2a(1)=b(1)=b(≠０)なので,a(2)/a(1)≠2/3
３a(3)-2a(2)=b(2)=br=0なので, a(3)/a(2)＝2/3

よって{a(n)}は等比数列にならない。

ということです。
No.43183 - 2017/05/14(Sun) 22:07:54
☆ Re: / noname
>anが等比
>⇔a1,a2,a3がこの順に等比


細かなことですが，この部分の記述は誤りです．実際，数列{a_n}

{a_n}：1,2,4,3,3,3,3,3,3,...

は「数列a_1,a_2,a_3がこの順に等比数列をなす」という条件を満たしますが，数列{a_n}は等比数列ではありません．正しくは「数列{a_n}が等比数列⇒数列a_1,a_2,a_3がこの順に等比数列をなす」かと思われます．
No.43184 - 2017/05/14(Sun) 22:28:04
☆ Re: / TKG
ITさん確かにその通りですね！ありがとうございます！

nonameさんありがとうございます、気づきませんでした、その通りですね、とてもためになりました！
No.43189 - 2017/05/15(Mon) 02:57:53
★ (No Subject) / k
問題１
α,βを実数とする。２次正方行列Aで
A(1)=α(1),A(1)=β(1)
(2) (1), (2) (2) 行列を２つの()で表しました。
を満たすものを求めよ。

問題２
次の行列が正則であるかどうか判定し、正則であれば逆行列を求めよ。
A.(-2 2) B.(1 1) C.(-4 2) D.(6 -2)
(3 1) (0 2) (-2 1) (2 -1) 行列を２つの()で表しました。
No.43180 - 2017/05/14(Sun) 20:12:22
☆ Re: / k
ずれていたので訂正

問題1
A(1)=α(1),A(1)=β(1)
/(2)// (1), (2)// (2)

問題２
A.(-2 2) B.(1 1) C.(-4 2) D.(6 -2)
//(3 1)/// (0 2)// (-2 1)// (2 -1)

/は空白として考えてください
No.43182 - 2017/05/14(Sun) 21:38:02
★ 大学数学　微分積分 / k
問題1　
（１）集積値の集合がℤと一致するような実数列(an)nの例を作れ。
（２）集積値の集合が閉区間[0,1]と一致するような実数列(an)nの例を作れ。
（３）実数列(an)nの集積値の集合はℝの閉部分集合である(i.e.,集積値の集積点は集積値である）ことを示せ。

問題2
（１）a1,b1∈ℝ s.t.0≦a1≦b2が与えられたとし、実数列(an)n,(bn)nを
bn+1=(an+bn)/2,an+1=√(anbn) (n=1,2,…)
で定義する。このとき区間減少法を用いて、(an)n,(bn)nが共通の極限値に収束することを示せ。
（２）cn>0,cn↓0(n→∞)(i.e.,(cn)nは単調減少し0に収束)のとき、区間減少法により無限級数
Σ(n=1→∞){(-1)^n}cnの収束を示せ。
No.43179 - 2017/05/14(Sun) 19:56:23
★ 式の因数分解と計算 / A
x^2-y^2+4y-4=(x+y-2)(x-y+2)←答え

中３の問題です。x^2-(y-2)^2 というところまでは理解しましたが、なぜ答えのようになるのかが分かりません。
お願いします。
No.43176 - 2017/05/14(Sun) 14:59:50
☆ Re: 式の因数分解と計算 / みずき
A^2-B^2=(A+B)(A-B)
ですから
x^2-(y-2)^2
=(x+(y-2))(x-(y-2))
=(x+y-2)(x-y+2)
No.43177 - 2017/05/14(Sun) 15:11:50
☆ Re: 式の因数分解と計算 / A
分からなくて焦っていたのですが、ようやくスッキリできました。ご協力ありがとうございます!
No.43178 - 2017/05/14(Sun) 15:17:31
★ (No Subject) / EX
xについての連立不等式
｛x>3a+1, 2x-1>6(x-2)　　
について、次の条件を満たすaの値の範囲を求めよ。

・この連立不等式の解が存在しない。
No.43172 - 2017/05/13(Sat) 21:44:59
☆ Re: / angel
非常に機械的に。

一般論として、

　xについての連立不等式 x＞α, x＜β の解が存在しないような α,β の条件は何か
　… α≧β

これに対して、今回の問題は、

　連立不等式 x＞3a+1, 2x-1＞6(x-2)
　⇔ x＞3a+1, x＜11/4　　( 2番目の不等式を整理 )
　この解が存在しない
　… 3a+1≧11/4

同じように扱えるはずですね。
No.43173 - 2017/05/14(Sun) 00:02:59
★ (No Subject) / たかし
max{X1,X2,・・・・Xn}≦y⇄X1≦y,X2≦y・・・Xn≦yが成立するなら、min{X1,X2,・・・・Xn}≦y⇄X1≦y,X2≦y・・・Xn≦yも成立しますか？
No.43165 - 2017/05/13(Sat) 13:34:18
☆ Re: / IT
max{X1,X2,・・・・Xn}≦y⇄X1≦yかつX2≦y・・・Xn≦y
は任意の自然数nについて成立します。

min{X1,X2,・・・・Xn}≦y⇄X1≦yかつX2≦y・・・Xn≦y
はnが２以上の自然数のとき成立しません。
No.43167 - 2017/05/13(Sat) 14:08:24
☆ Re: / たかし
ITさん

それはなぜですか？
No.43168 - 2017/05/13(Sat) 14:30:02
☆ Re: / IT
(1)max{X1,X2,・・・・Xn}≦y⇔X1≦yかつX2≦y・・・Xn≦yは任意の自然数nについて成立します。

(2)min{X1,X2,・・・・Xn}≦y⇔X1≦yかつX2≦y・・・Xn≦yはnが２以上の自然数のとき成立しません。

(1)(2) のどちらが分かりませんか？
No.43169 - 2017/05/13(Sat) 15:28:18
☆ Re: / たかし
ITさん
両方わかりません
No.43170 - 2017/05/13(Sat) 15:43:14
☆ Re: / IT
(2) n=2のときの反例　 X1=1,X2=2,y=1　
　確認してみてください。
No.43171 - 2017/05/13(Sat) 16:48:15
☆ Re: / たかし
ITさん

ありがとうございます。
No.43174 - 2017/05/14(Sun) 11:13:56
★ 不定方程式 / 鰰
1. 6x²+7xy-5y²+3x-8y=-8 を満たす整数x,yを求めよ。

2. 21x²-10y²=9 を満たす整数x,yを求めよ。

以上の2問が解けません…。よろしくお願いします!!
No.43164 - 2017/05/13(Sat) 12:02:23
☆ Re: 不定方程式 / みずき
1.
5y^2+(-7x+8)y-6x^2-3x-8=0
∴ y=(7x-8±√((13x-2)^2+220))/10
yが整数であるためには少なくとも
(13x-2)^2+220=z^2
となる整数zが存在することが必要。
z^2-(13x-2)^2=220
(z+13x-2)(z-13x+2)=2^2×5×11
∴(z+13x-2,z-13x+2)=(±2,±110),(±10,±22)
（∵和=(z+13x-2)+(z-13x+2)=2z=偶数だから）
∴(x,z)=(-4,56)
このときy=2だから、答えは(x,y)=(-4,2)のみ。

2.
10y^2=3(7x^2-3)
y=3m(mは整数)とおけて、7x^2=3(10m^2+1)
x=3n(nは整数)とおけて、21n^2-1-9m^2=m^2
左辺は3で割って2余る数だが、
右辺(平方数)が3で割って2余ることはない。
よって、整数解は存在しない。
No.43166 - 2017/05/13(Sat) 13:56:11
☆ Re: 不定方程式 / 鰰
ありがとうございました!!
No.43175 - 2017/05/14(Sun) 13:09:55
★ 定積分 / MIKE
以下の定積分を計算せよ。

∫[0→π] xsinx/(1+cos²x) dx

よろしくお願いします。
No.43161 - 2017/05/13(Sat) 10:40:14
☆ Re: 定積分 / らすかる
∫sinx/{1+(cosx)^2}dx は
cosx=tとおくと-sinxdx=dtなので
∫sinx/{1+(cosx)^2}dx
=-∫1/(1+t^2)dt
=-arctant
=-arctancosx
よって
∫[0→π]xsinx/{1+(cosx)^2}dx
=-[xarctancosx][0→π]+∫[0→π]arctancosx dx
=π^2/4+0
=π^2/4
No.43162 - 2017/05/13(Sat) 11:12:47
☆ Re: 定積分 / MIKE
ありがとうございました。
No.43163 - 2017/05/13(Sat) 11:28:15
★ 数1 / EX
次の方程式、不等式を解け。
（1）｜x-1|+|x-2|=x
(2) 2|x+1|-|x-1|＞x+2

お願いします。
No.43158 - 2017/05/12(Fri) 23:19:51
☆ Re: 数1 / ヨッシー
(1)
ｘ＜１ のとき
　|x-1|＝1-x, |x-2|＝2-x
　1-x+2-x＝x　より　ｘ＝１　・・・不適
１≦ｘ＜２ のとき
　|x-1|＝x-1, |x-2|＝2-x
　x-1+2-x＝x　より　ｘ＝１　・・・答１
２≦ｘ　のとき
　|x-1|＝x-1, |x-2|＝x-2
　x-1+x-2＝x　より　ｘ＝３　・・・答２
以上より　ｘ＝１，３

(2)
ｘ＜−１ のとき
　|x+1|＝-x-1, |x-1|＝1-x
　−2(x+1)−(1-x)＞x+2　より　x＜-2/5
−１≦ｘ＜１　のとき
　|x+1|＝x+1, |x-1|＝1-x
　2(x+1)−(1-x)＞x+2　より　x＞1/2
１≦ｘ　のとき
　|x+1|＝x+1, |x-1|＝x-1
　2(x+1)−(x-1)＞x+2　より　　１＞０
以上より
　ｘ＜-2/5、1/2＜ｘ
No.43159 - 2017/05/13(Sat) 07:19:00
★ (No Subject) / こんちき
a^1/nの極限で、指数関数の連続性を用いず場合分けでの解答を教えてください！a＞0で！
No.43152 - 2017/05/12(Fri) 15:27:05
☆ Re: / IT
a＞1 のときをやります。

f(n)=a^(1/n) とおくと　f(n)^n=a,またf(n)＞1

任意の自然数nについて
　f(n+1)^n＜f(n+1)^(n+1)=f(n)^n=a
　∴1＜f(n+1)＜f(n)

数列{f(n)}は単調減少で下に有界,したがって収束する。

lim[n→∞]f(n)=αとおく。
α≧1である。

α＝1+2h,(h＞0）のとき、
　自然数Mがあって、n≧Mなるすべての自然数nについて f(n)≧1+hとなる。
　このとき　a=f(n)^n≧(1+h)^n≧1+nh →∞(n→∞) となり不適。
　　　　　　（1+nh ＞a となるnが存在することを示せば十分です。）

したがってα＝１である。

０＜a＜1 のとき　b=1/a とすると　1 ＜b
よって lim[n→∞]b^(1/n) = 1
lim[n→∞]a^(1/n)=lim[n→∞](1/b^(1/n))=1
No.43155 - 2017/05/12(Fri) 19:11:26
☆ Re: / IT
同様の問題が下記に質問されて解答があります。
（こちらの解答の方がすっきりしていいかも）
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=76356
No.43160 - 2017/05/13(Sat) 08:50:06
★ 整数 / たゆたう
pを素数でない4以上の自然数とする。pを素数の積で表し、その素数すべての和をXとする。例えば、p=12のときは 12=2×2×3であるから、X=2+2+3=7とする。 X=nとなる自然数pのうち、素数の積で表したときに5以上の素数を含む数は最大の数ではないことを証明しなさい。という問題ですが解き方を教えてください。
No.43151 - 2017/05/12(Fri) 15:13:27
☆ Re: 整数 / WIZ
pの素因数の和を、X = S(p)と表すことにします。
u, vを自然数として、p = uvならば、S(p) = S(u)+S(v)です。
特にuが素数ならば、S(u) = uです。
1は素因数を持たないので、S(1) = 0と考えます。

qを5以上の素数とすると、qは奇数ですから、ある自然数mが存在してq = 2m+3と表せます。
kを自然数として、p = qkとすると、S(p) = S(qk) = q+S(k)です。
同様に、r = (2^m)*3*kとすると、S(r) = 2m+3+S(k) = q+S(k)です。

ここで、(2^m)*3 > 2m+3であることが証明できれば題意の成立が言えます。

m = 1のとき、(2^1)*3 > 2*1+3は成立します。
tを自然数として、m = tのときに (2^t)*3 ≧ 2t+3 が成立すると仮定します。
すると、(2^(t+1))*3 = (2^t)*2*3 ≧ (2t+3)*2 > 2(t+1)+3 ですから、m = t+1の場合も成立します。
以上から、数学的帰納法により任意の自然数mについて、(2^m)*3 ≧ 2m+3 です。

よって、5以上の素数qは自然数mを用いて q = 2m+3 と表せるので、任意の自然数kに対して、
S(qk) = S((2^m)*3*k)ですが、(2^m)*3*k > qkなので、qkは最大ではないといえます。
No.43153 - 2017/05/12(Fri) 15:59:23
☆ Re: 整数 / たゆたう
(2^m)*3 > 2m+3であることが証明できれば題意の成立が言えるのはなぜか教えてください。
No.43154 - 2017/05/12(Fri) 17:45:17
☆ Re: 整数 / WIZ
私の解説の繰り返しになりますが、

n = S(w) となる自然数wが5以上の素因数qを持っている場合、kを自然数として w = qk と表せる。
そして、w = qk が n = S(w) となる最大の自然数ではないと言えるのは、
qk より大きい自然数である (2^m)*3k が存在して、S((2^m)*3k) = n であるからです。

それで、上記の根拠として、
(1) 5以上の素数qは自然数mを用いて q = 2m+3 と表せる。
(2) S(q) = q = 2m+3, S((2^m)*3) = 2+2+・・・+2+3 = 2m+3、つまり S(2m+3) = S((2^m)*3) である。
(3) (2^m)*3 > 2m+3 である。
・・・ということを補足説明した訳です。
No.43156 - 2017/05/12(Fri) 20:32:54
☆ Re: 整数 / たゆたう
理解できました。ありがとうございました。
No.43157 - 2017/05/12(Fri) 20:54:33
★ 円順列 / 前進
なぜ重複度が５とわかるのでしょうか？順列として考えているようですが図なので説明をお願いしたいです
No.43148 - 2017/05/12(Fri) 00:53:02
☆ Re: 円順列 / ヨッシー
上の図で、５つ描かれている円状の並べ方は、回転すればすべて同じなので、１通りと数えます。

つまり、順列では５通りに数えられるものが、円順列では１通りとなるので、重複度は５です。
No.43149 - 2017/05/12(Fri) 01:16:10
☆ Re: 円順列 / 前進
返信遅れて申し訳ありません。理解できました。ありがとうございました。
No.43224 - 2017/05/19(Fri) 08:53:36
★ 偏微分の問題 / たなお
偏微分についてわからない問題があります。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜問題＞
x = u^2 + v^2 , y = uv , z = f(sinx , cosy) とする。偏導関数 ∂z/∂u を ∂z/∂x , ∂z/∂y を用いて表せ。

＜回答＞
∂z/∂u = 2u*(∂z/∂x)*cosx - v*(∂z/∂y)*siny
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

自分で行った計算は添付画像の通りです。
どこで考え違いをしているのでしょうか。

よろしくお願い致します。
No.43130 - 2017/05/11(Thu) 15:51:36
☆ Re: 偏微分の問題 / たなお
すいません、画像の中に一部正しくない部分があったので再UPします。
訂正箇所は赤文字で表記しています。

ちなみに、書き間違いの部分は計算結果には影響ありません。
よろしくお願い致します。
No.43137 - 2017/05/11(Thu) 17:25:32
☆ Re: 偏微分の問題 / angel
これ、問題と答えが合ってないんじゃないでしょうか。

　x = u^2 + v^2 , y = uv , z = (何か)
　→ ∂z/∂u=2u・∂z/∂x + v・∂z/∂y

ですよ。z の形に関わらず。sin や cos は出てきません。

　偏導関数 ∂z/∂u を ∂f/∂x , ∂f/∂y を用いて表せ
　→∂z/∂u = 2u(∂f/∂x)cosx - v(∂f/∂y)siny

なのでは。それなら辻褄が合います。
No.43139 - 2017/05/11(Thu) 21:26:24
☆ Re: 偏微分の問題 / 関数電卓
∂z/∂u＝∂z/∂x･∂x/∂u＋∂z/∂y･∂y/∂u＝2u･∂z/∂x＋v･∂z/∂y
で終わりではないですか？
No.43141 - 2017/05/11(Thu) 21:50:52
☆ Re: 偏微分の問題 / 関数電卓
出題者の意図は，
　z＝f(X,Y), X＝sinx, Y＝cosy, x＝u^2＋v^2, y＝uv で
　∂z/∂u＝∂f/∂X･∂X/∂x･∂x/∂u＋∂f/∂Y･∂Y/∂y･∂y/∂u を上のように略記している
と解釈したのですが…
No.43142 - 2017/05/11(Thu) 22:03:28
☆ Re: 偏微分の問題 / たなお
angelさん、関数電卓さん

ご回答ありがとうございます。
念のため、実際に記載されている問題を写真に撮って添付します。
画像の３の(2)です。

実際には ∂z/∂u と ∂z/∂v を求めることになっていますが、片方がわかればもう片方は同じように解けると考え、 ∂z/∂u の解き方のみ伺いました。

私が何か勘違いをしていますでしょうか？
よろしくお願い致します。

＞angelさん
∂z/∂x と ∂f/∂x は同じものとして扱っていいと思っていましたが、もし違いがあるのなら、その部分も教えていただけますでしょうか。
No.43144 - 2017/05/11(Thu) 22:17:56
☆ Re: 偏微分の問題 / たなお
ちなみに本は裳華房の微分積分です。
最新の正誤表も確認しましたが、誤記載ではないようです。

あと念のため、回答のページの写真も送付します。
申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。
No.43145 - 2017/05/11(Thu) 22:27:36
☆ Re: 偏微分の問題 / 関数電卓
本の解答は，∂z/∂x という記号を，∂z/∂(sinx) の意味で使っていますね。間違いと言えば、間違いでしょう。
いずれにしても、例えば、f(sinx,cosy)＝sinx＋cosy のように f が具体的に与えられれば、間違うことはありません。
No.43146 - 2017/05/11(Thu) 22:50:14
☆ Re: 偏微分の問題 / angel
誤植でないことは了解しました。が、いずれにせよ、これは問題集の書き方が悪いです。

∂z/∂x ( 原文では z に下添え字 x ) での z は f(x,y) のことですし、
∂z/∂u ( 原文では z に下添え字 u ) での z は f(sinx,cosy) のことのようです。
つまり、別のものを同じ記号 z で表してしまっている訳で、紛らわしいことこの上ないです。

> ∂z/∂x と ∂f/∂x は同じものとして扱っていいと思っていましたが、もし違いがあるのなら、その部分も教えていただけますでしょうか。

z=f(x,y) なのであれば、∂z/∂x のことを ∂f/∂x とも表しますし、それで問題ありません。
しかし、問題文で z=f(sinx,cosx) と言ってしまっている以上、∂z/∂x と ∂f/∂x は別物です。

ということで、やはり、
> 偏導関数 ∂z/∂u を ∂f/∂x , ∂f/∂y を用いて表せ
とすべきところを書き間違えた、と見るほかなさそうです
No.43147 - 2017/05/11(Thu) 23:28:06
☆ Re: 偏微分の問題 / たなお
関数電卓さん、angelさん

回答ありがとうございます。
なるほど。問題の書き方におかしいところがあるのですね。
理解できました。

本当に助かりました。
ありがとうございます。
No.43150 - 2017/05/12(Fri) 01:58:48
★ (No Subject) / アナザー
この問題がわからなくてこまってます。誰か解き方と答えを教えてください。お願いします。わかるとこだけでもかまいません。
No.43129 - 2017/05/11(Thu) 12:38:20
☆ Re: / たなお
こんにちは。
問題が複数あって書くのに時間かかるので、
書けたものから順番にアップしますね。
わからない部分があれば再度質問してください。

【６】
y = x^2 - 4ax - 6a
　= (x - 2a)^2 - 4a^2 - 6a

よって頂点の座標は
P（2a , -4a^4 - 6a）

よって、Pの軌道は媒介変数表示で以下のように表せる
　x = 2a ・・・（１）
　y = -4a^2 - 6a　・・・（２）

（１）より
　a = x/2

（２）に代入して
　 y = -4*(x/2)^2 - 6*(x/2)
= -x^2 -3x

よってPの軌道は

　y = -x^2 -3x
No.43131 - 2017/05/11(Thu) 16:07:24
☆ Re: / たなお
すいません、以下訂正です。

＜誤＞
よって頂点の座標は
P（2a , -4a^4 - 6a）

＜正＞
よって頂点の座標は
P（2a , -4a^2 - 6a）
No.43132 - 2017/05/11(Thu) 16:19:04
☆ Re: / たなお
【7】
　　x^2 + y^2 + 3ax - 2(a^2)y + a^4 + 2a^2 -1 = 0
⇔　(x+3a/2)^2 - (9a^2)/4 + (y-a^2)^2 + 2a^2 -1 = 0
⇔　(x+3a/2)^2 + (y-a^2)^2 = (5a^2)/4 +1

よって円の中心の座標（Qとする）は
Q（-3a/2 , a^2）

よって、Qの軌道は媒介変数表示で以下のように表せる
　x = -3a/2 ・・・（１）
　y = a^2　・・・（２）

（１）より
　a = -2x/3

（２）に代入して
　 y = (-2x/3)^2
　　= (4x^2)/9

よってQの軌道は

　y = (4x^2)/9
No.43133 - 2017/05/11(Thu) 16:22:36
☆ Re: / たなお
【８】
f(x) = x^2 + 4x - 4 - 4a(x-1)
= x^2 - 4(a-1) + 4(a-1)
= {x - (a-1)}^2 - 4(a-1)^2 + 4(a-1)
= {x - (a-1)}^2 - 4(a^2 - 2a + 1 - a + 1)
= {x - (a-1)}^2 - 4(a-2)(a-1)

よって頂点の座標は
（a-1 , -4(a-2)(a-1)）　　　　（←　★1問目の回答）

よって、頂点の軌道は媒介変数表示で以下のように表せる
　x = a-1 ・・・（１）
　y = -4(a-2)(a-1)　・・・（２）

（１）より
　a = x+1

（２）に代入して
　 y = -4*(x-1)*x
　　= -4x^2 + 4x
= -(2x-1)^2 + 1　　　　　（←　★2問目の回答）

（１）より、0 < a <= 2 のとき、-1 < x <= 1となるので、グラフを書くと画像のようになる（画像が３問目の回答）。
No.43135 - 2017/05/11(Thu) 16:48:51
☆ Re: / たなお
以上です。最後画像が横向きになってしまいすいません。

わからないところあれば再度質問願います。
No.43136 - 2017/05/11(Thu) 16:57:09
★ (No Subject) / ビット
ある池の周りをAとBが同じ地点Pから反対方向へ同時に出発さたところ、Aが12周、Bが7周した所で再びP地点で出会った。このとき、AとBは途中で何回出会ったことになるか。

18回です。よろしくお願いします
No.43124 - 2017/05/11(Thu) 00:09:03
☆ Re: / ヨッシー

図は、Ａ(青)が２周、Ｂ(赤)が３周してＰ地点で出会う例ですが、
右のようにＢの位置を固定して考えると、Ａだけが５周して
Ｐ地点に戻るのと同じです。
５周回るので、途中Ｂの位置を通るのは４回です。

元の問題では、１２＋７−１＝１８(回)　です。
No.43126 - 2017/05/11(Thu) 02:14:34
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