ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数列（漸化式） / Make it possible with 俺

（5）～（8）はどのように求めますか？

No.43670 - 2017/06/06(Tue) 00:44:27

☆ Re: 数列（漸化式） / angel

(1)～(4)をを解いているので、(5)～(8)についても、初項を決めてあげれば同じように解けるはずですね。

例えば(5)であれば、a[1]=A と置けば a[n]=(A-3)・3^(n-1)+3 です。

…ただそれだと式の形が少しだけ複雑なので、α=a[1]+3 とおいて a[n]=α・3^(n-1)+3 とした方が綺麗でしょう。
こうなると、置いた文字 ( この場合α ) は a[1] そのものではないので、もはや初項を置いてどうこうしなくても良くなります。

引き続き(5)の場合だと、

　a[n+1]=3a[n]-6
　⇔ a[n+1]-3=3a[n]-9
　⇔ a[n+1]-3=3(a[n]-3)
　⇔ 数列 a[n]-3 は公比3の等比数列なので、ある数αに対して a[n]-3=α・3^(n-1)

というように話を進めることができます。

No.43672 - 2017/06/06(Tue) 01:43:47

★ 対数微分法 / がん

数学?Vでは対数微分法が出てきますが、これはどういう場合に使うといいのでしょうか。ネットで調べたら、指数が複雑な時という情報が多かったのですが実際はどうなのでしょうか。教えてください。
よろしくお願いします。

No.43658 - 2017/06/05(Mon) 20:13:43

☆ Re: 対数微分法 / ヨッシー

ｙ＝ｘ^x の微分のようなときに使います。

No.43660 - 2017/06/05(Mon) 20:22:22

☆ Re: 対数微分法 / がん

> ｙ＝ｘx の微分のようなときに使います。

回答ありがとうございます。
つまりｙ＝ｘ＾（ｘの関数）みたいなときに対数微分法を使うと上手く行くことが多いのですね。
ありがとうございます！

No.43662 - 2017/06/05(Mon) 20:51:30

★ (No Subject) / 名無し

どうして、f(-1)×f(1)<0と、f(2)×f(4)<0になるのかがわかりません。どちらかが負になるからですか？　
なら、f(-1)×f(2)<0でもいいじゃないですか？

あとどうして
判別式
軸
F(-1)
F(2)
F(1)
F(4)

の値求めにいかなかったり、
a>0とa<0を場合分けしなかったのがわかりません。

よろしくお願いしますm(__)m

No.43657 - 2017/06/05(Mon) 19:50:43

☆ Re: / ヨッシー

f(-1)×f(1)＜0 で、-1＜ｘ＜1 の範囲に解があることを表しています。
解答の上の方に、下に凸のグラフと、上に凸のグラフが描いてありますが、
どちらの場合でも言えることがわかります。
f(2)×f(4)＜0 も同様に、2＜ｘ＜4 の範囲に解があることを表しています。

f(-1)×f(2)＜0 だと、-1＜ｘ＜2 の範囲に解があることを表しますが、その解は　
　1＜ｘ＜2
の範囲にあるかもしれないので、題意を満たさない可能性があるのでダメです。

f(-1)×f(1)＜0 で、-1＜ｘ＜1 の範囲に解があることを表すので、判別式は不要です（判別式をとっても、どうせ正になります）

また、下に凸、上に凸のどちらの場合も成り立つので、ａによって、場合分けする必要もありません。

もっと細かく
ａ＞０のとき
　f(-1)＞０、f(1)＜０，f(2)＜０，f(4)＞０
ａ＜０のとき
　f(-1)＜０、f(1)＞０，f(2)＞０，f(4)＜０
と書く方法もあります。こちらの方は、
　f(-1)・f(1) のように、式と式を掛ける必要が無いので、
計算が簡単になります。

No.43659 - 2017/06/05(Mon) 20:21:19

★ 速さ / 柳下

この図は何を表している図ですか？

No.43650 - 2017/06/05(Mon) 18:09:12

☆ Re: 速さ / ヨッシー

出発してからの時間と２人の間隔の関係を表しています。

線分の両端から２人が同じ速さで往復する様子を想像してみてください。
両端にいるときは距離が一番長いです。
あるところですれ違い（距離＝０）
また離れていきます。
片方が端について折り返すと、追いかける形になって距離はゆるやかに縮まります。
もう片方も折り返すと、近づく速さは大きくなります。
再びすれ違い、離れていきます。

No.43652 - 2017/06/05(Mon) 18:20:20

☆ Re: 速さ / ヨッシー

グラフから読み取れることは、
１．小島くんはスタート後１８分でＢ町に着く
２．大池くんはスタート後22.5分でＡ町に着く
です。
このことから、小島くんと大池くんの速さの比が
　２２．５：１８＝５：４
であることがわかります。すると、各時刻での位置関係は以下のようになります。

これで、大分進むことと思います。

No.43653 - 2017/06/05(Mon) 19:06:57

★ 中学受験　算数　平面図形 / ぶどう

いつもありがとうございます。
平面図面の問題についておしえてください。

解答は67.5度です。

よろしくお願いします。

No.43639 - 2017/06/05(Mon) 10:16:52

☆ Re: 中学受験　算数　平面図形 / らすかる

角xの左上に同じ角度があり、
その角度は正八角形の内角の半分ですから
{180°×(8-2)÷8}÷2=67.5°となります。

No.43641 - 2017/06/05(Mon) 10:47:36

☆ Re: 中学受験　算数　平面図形 / ぶどう

さっそくのご返事ありがとうございます。
「角xの左上に同じ角度があり」の部分がどこになるのか
　分かりません。　お手数をおかけして申し訳ありませんが
　教えてください。
　
　よろしくお願いします。

No.43642 - 2017/06/05(Mon) 11:51:14

☆ Re: 中学受験　算数　平面図形 / ぶどう

「角xの左上に同じ角度があり」の部分が
　どこの部分が分かりました。

　ありがとうございました。

No.43644 - 2017/06/05(Mon) 14:23:59

★ (No Subject) / 名無し

すいません、
(2)についての質問です。

(i)と(iii)のことですが、

どうしてそれぞれ
f(2)=-4a+12>0
f(6)=-20a+44>0
しか求めていないのですか？

aの範囲を求めたいのですよね？
なら、
(i)ならf(6)
(iii)ならf(2)
も求めておくべきですよね？

無知ですいません、よろしくお願いいたします。

No.43638 - 2017/06/05(Mon) 10:08:36

☆ Re: / ヨッシー

(i) には、最小値は f(2)、
(iii) には、最小値は f(6) と書いてあります。
このことと、考え方のところの、
「最小値が正であれば良い」とを合わせて、考えてみてください。

もちろん、グラフも十分観てくださいね。

No.43647 - 2017/06/05(Mon) 16:49:29

☆ Re: / 名無し

返信してくださって、ありがとうございます。

私が言いたかったのはaの範囲を求めに行きたいのであれば、もっと具体的な範囲、つまり

(i)ならf(6)
(iii)ならf(2)
も求めに行くべきなのに、どうしてしてないかということです。

もし同じような問題が他で出たら求めに行ってもいいのでしょうか？それとも間違いになるのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

No.43654 - 2017/06/05(Mon) 19:17:34

☆ Re: / angel

> (前略) も求めに行くべきなのに、どうしてしてないかということです。

求めに行くべきではないからです。
というとウソですね。正しくは求めにいく必要がないからです。

逆に、なぜ「求めに行くべき」と考えられたのでしょうか。その理由を言葉にできますか?
…おそらく言葉にできないと思います。「べき」という言葉は軽々しく使うべきではありません ( おっと )。自分で自分の考えを縛り、柔軟に考える道を閉ざしてしまいます。

No.43663 - 2017/06/05(Mon) 22:00:39

☆ Re: / angel

ヨッシーさんも指摘されていますが

> 「最小値が正であれば良い」とを合わせて、考えてみてください。

つまり、今回は最小値さえ分かれば他の情報は要らない、そういうケースだと言うことです。
※ただ、そういうと他の情報をまるっと無視しているように聞こえてしまいます。正しくは、最小値を出す時に調べがついているので、改めて見る必要がない、ということです

「一番〇〇なものが××だった」ということが分かっている状況だと、他を調べるまでもない、ってのは日常でもあるはずです。

例えば、
・学校で8:30始業のところ、今日最後に登校した人の登校時刻は8:25でした。今日遅刻した人はいるでしょうか?

と聞かれた時。最後の人が遅刻してないんだから、他の人は調べるまでもなく遅刻しているわけがないですよね。「一番〇〇なもの」が分かっていれば他を調べる必要がない、そういうことがあるってことです。

No.43666 - 2017/06/05(Mon) 22:14:56

★ (No Subject) / 名無し

すいません、102の質問ですが、

どうして

x<3の時、これが全ての実数xで成り立つことはない

のでしょうか？

よろしくお願いいたします。

No.43637 - 2017/06/05(Mon) 09:53:28

☆ Re: / angel

まず、その解説の記述はともかくとして、k=0 なら不等式の左辺は一次関数です。
なので、傾きが 0 でないかぎりは、「どんな x でも値が○○以上(以下)」なんてことにはなりません。
※一次関数のグラフ、直線のグラフを思い浮かべてください

で、解説の文章に戻ります。
実際に k=0 を元に、不等式を満たす x の条件を調べると x＜3 でした、と。
しかし今調べたいのは「全ての x で不等式が成立する」場合ってなんだろう、ということです。
x＜3 でしか成り立ってないということは、「全ての x で成立」には程遠い、だから答えには関係ないね、と。そういうことを説明しているのです。

No.43643 - 2017/06/05(Mon) 13:10:30

★ (No Subject) / Hermione

問.座標平面上の点の集合S={(x,y)|x²≦y²}に対し、以下の命題(1)～(4)が成立するか否かを答えよ。

(1)xが何であっても、そのxに対してyを選べば点(x,y)はSに含まれる。
(2)あるxを選べばyが何であっても点(x,y)はSに含まれる。
(3)yが何であっても、そのyに対してxを選べば点(x,y)はSに含まれる。
(4)あるyを選べば、xが何であっても点(x,y)はSに含まれる。

答えは
(1)成立する(2)成立しない(3)成立する(4)成立しない
で正しいですか？

No.43635 - 2017/06/05(Mon) 02:09:40

☆ Re: / angel

(2)は「成立する」です。
なぜならば、x=0 を選べば、yが何であっても (x,y) は S に含まれるからです。

他は合ってます。

No.43636 - 2017/06/05(Mon) 03:14:54

★ 点Cの座標 / 童貞卒業

大問七のトコ教えてほしいです

No.43632 - 2017/06/05(Mon) 00:49:15

☆ Re: 点Cの座標 / angel

ざっくり計算したところでは、答えは (0,6) でしょうか。
AO//CB となるように y軸上にとった点をCとした時の座標が答えになりますから。

・AOの傾きを求める
・同じ傾きでBを通る直線を求める
・その直線のy切片を求める

といった手順で計算できます。

なぜAO//CBかというと、△AOB,△AOCの面積が等しい以上、AOを底辺と見た時の高さが等しくなるからです。

No.43634 - 2017/06/05(Mon) 01:28:18

☆ Re: 点Cの座標 / 童貞卒業

ありがとうございます🙇

No.43664 - 2017/06/05(Mon) 22:06:09

★ ベクトル / ICE

1.ベクトルp、ベクトルqは、|ベクトルp|=1、{(ベクトルq)と(ベクトルq-ベクトルp)の内積}=1 を満たしている。このとき、|ベクトルq|の最大値および |ベクトルq-ベクトルp|×|ベクトルq+ベクトルp|の最大値を求めよ。

2.平面上の異なる3点O、A、Bは同一直線上になく、|ベクトルOA|²+5(ベクトルOAとベクトルOBの内積)+4|ベクトルOB|²=0 を満たしている。またこの平面上に動点Pがあり、2|ベクトルOP|²-(ベクトルOAとベクトルOPの内積)+2(ベクトルOBとベクトルOPの内積)-(ベクトルOAとベクトルOBの内積)=0 を満たしているとする。このとき、|ベクトルOP|が最小となるような点Pの位置ベクトルOPをベクトルOA、ベクトルOBを用いて表せ。

以上の2題の解法をご教授ください。よろしくお願いします!

No.43630 - 2017/06/05(Mon) 00:02:46

☆ Re: ベクトル / X

1
|↑p|=1 (A)
↑q・(↑q-↑p)=1 (B)
とします。
(B)より
|↑q|^2-↑p・↑q=1
↑p・↑q=|↑q|^2-1 (B)'
ここで
-|↑p||↑q|≦↑p・↑q≦|↑p||↑q|
∴(A)(B)'を代入すると
-|↑p|≦|↑q|^2-1≦|↑q|
∴
|↑q|^2-|↑q|-1≦0 (C)
|↑q|^2+|↑q|-1≧0 (D)
(C)(D)を連立して解き
(-1+√5)/2≦|↑q|≦(1+√5)/2 (E)
よって|↑q|の最大値は(1+√5)/2
一方(A)(B)'により
{|↑p-↑q||↑p+↑q|}^2={|↑p|^2-2↑p・↑q+|↑q|^2}{|↑p|^2+2↑p・↑q+|↑q|^2}
={1-2(|↑q|^2-1)+|↑q|^2}{1+2(|↑q|^2-1)+|↑q|^2}
={3-|↑q|^2}{3|↑q|^2-1}
=-3|↑q|^4+10|↑q|^2-3
=-3(|↑q|^2-5/3)^2+16/3 (F)
(E)より
{(-1+√5)/2}^2≦|↑q|^2≦{(1+√5)/2}^2
∴(3-√5)/2≦|↑q|^2≦(3+√5)/2 (E)'
であることに注意し、横軸に|↑q|^2
縦軸にyを取った
y=-3(|↑q|^2-5/3)^2+16/3
のグラフを(E)'の範囲で考えることにより
yの最大値は16/3(このとき|↑q|^2=5/3)
よって
|↑p-↑q||↑p+↑q|の最大値は4/√3
となります。

No.43631 - 2017/06/05(Mon) 00:46:32

☆ Re: ベクトル / X

2.
これも基本的な方針は1.の|↑q|の最大値を
求める場合と同じです。

|↑OA|^2+5↑OA・↑OB+4|↑OB|^2=0 (A)
2|↑OP|^2-↑OA・↑OP+2↑OB・↑OP-↑OA・↑OB=0 (B)
とします。
(B)より
(↑OA-2↑OB)・↑OP=2|↑OP|^2-↑OA・↑OB (B)'
ここで
-|↑OA-2↑OB||↑OP|≦(↑OA-2↑OB)・↑OP≦|↑OA-2↑OB||↑OP|
ですので(B)'を代入すると
-|↑OA-2↑OB||↑OP|≦2|↑OP|^2-↑OA・↑OB≦|↑OA-2↑OB||↑OP|
∴
2|↑OP|^2+|↑OA-2↑OB||↑OP|-↑OA・↑OB≧0 (C)
2|↑OP|^2-|↑OA-2↑OB||↑OP|-↑OA・↑OB≦0 (D)
(C)より
|↑OP|≦{-|↑OA-2↑OB|-√{|↑OA-2↑OB|^2+8↑OA・↑OB}}/4
,{-|↑OA-2↑OB|+√{|↑OA-2↑OB|^2+8↑OA・↑OB}}/4≦|↑OP|
整理して
|↑OP|≦{-|↑OA-2↑OB|-|↑OA+2↑OB|}/4
,{-|↑OA-2↑OB|+|↑OA+2↑OB|}/4≦|↑OP| (C)'
(D)より
{|↑OA-2↑OB|-|↑OA+2↑OB|}/4≦|↑OP|≦{|↑OA-2↑OB|+|↑OA+2↑OB|}/4 (D)'
一方(A)より
|↑OA+2↑OB|^2=-↑OA・↑OB
|↑OA-2↑OB|^2=-9↑OA・↑OB
∴
|↑OA+2↑OB|=√(-↑OA・↑OB) (F)
|↑OA-2↑OB|=3√(-↑OA・↑OB) (G)
(F)(G)により(C)'(D)'はそれぞれ
|↑OP|≦-√(-↑OA・↑OB),-(1/2)√(-↑OA・↑OB)≦|↑OP| (C)"
(1/2)√(-↑OA・↑OB)≦|↑OP|≦√(-↑OA・↑OB) (D)"
(C)"(D)"により
(1/2)√(-↑OA・↑OB)≦|↑OP|≦√(-↑OA・↑OB)
∴|↑OP|の最小値は(1/2)√(-↑OA・↑OB)となります。

No.43655 - 2017/06/05(Mon) 19:27:48

☆ Re: ベクトル / ICE

>Xさん

回答ありがとうございます！大変参考になりました。

No.43754 - 2017/06/07(Wed) 22:40:33

★ 3次方程式の解 / 抹茶パフェ

（1）でα²+α+1=0···?@からα³=1···?Aを導いていますが、αの解を求めるのに?Aではなく?@を使う理由を教えてください。そして何故α=±1が解にならないのですか？

問題は
3次方程式（画像の式）の1つの解をαとおくと、他の2つの解はα²、α³になる。このとき、次の問に答えよ。
（1）a、bおよびαの値を求めよ。
（2）nを正の整数とするとき、α³ⁿを求めよ。

No.43618 - 2017/06/04(Sun) 20:58:01

☆ Re: 3次方程式の解 / X

?@から?Aを導くときに?@の両辺にα-1を
かけていますが、この段階でαのみの
方程式は飽くまで?@のみであって
α=1 (A)
という条件はありません。
(α=-1という式がどこから出てきたのかは
質問の内容を見る限り不明です。
どのような過程で出てきたのでしょうか？)
そして言うまでもありませんが(A)は
?@の解ではありません。
ということでαを求める際に?Aを使っても
問題ありませんが、その際には
α≠1
という条件が付きますので
結局?@と同じになります。

No.43619 - 2017/06/04(Sun) 21:20:21

☆ Re: 3次方程式の解 / 抹茶パフェ

回答ありがとうございます
>?@から?Aを導くときに?@の両辺にα-1を
かけていますが、この段階でαのみの
方程式は飽くまで?@のみであって
α=1 (A)
という条件はありません

なるほどそもそもα=1っていうのはないんですね。

α³=1からα=±1ってやってしまったのは私のミスでα²=1の時と勘違いしてました。

No.43620 - 2017/06/04(Sun) 21:50:58