ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / アクア

この問題の解き方と答えを教えてください。お願いします。

No.43122 - 2017/05/10(Wed) 22:12:02

☆ Re: / X

9
P(X,Y)と置くと、条件から
X=-a (A)
Y=a-a^2 (B)
一方、条件からxの二次方程式
x^2+2ax+a=0
の解の判別式をDとすると
D/4=a^2-a＞0 (C)
(C)を解いてaの範囲を求め、これと(A)により
Xの値の範囲を求めます。
更に(A)(B)からaを消去してYをXの式で表します。

10
(1)
問題の方程式より
(x-2k)^2+{y+(3k-1)}^2=4k^2+(3k-1)^2-(14k^2-8k+1) (A)
これが円の方程式となるためには半径について
4k^2+(3k-1)^2-(14k^2-8k+1)＞0
これをkの不等式として解きます。

(2)
円の中心の座標を(X,Y)と置くと(A)により
X=4k (B)
Y=-3k-1 (C)
(1)の結果と(B)よりXの値の範囲を求めます。
次に(B)(C)からｋを消去し、YをXの式で表します。

No.43127 - 2017/05/11(Thu) 06:04:04

☆ Re: / アクア

忙しいなか教えていただきありがとうございました。

No.43128 - 2017/05/11(Thu) 07:18:47

☆ Re: / X

もうみていないかもしれませんが、ごめんなさい。
10(1)において誤りがありましたので、No.43127を
直接修正しておきました。
再度ご覧下さい。

No.43138 - 2017/05/11(Thu) 17:32:32

★ (No Subject) / 〆

この例題の⑵が分かりません。⑵の➁の式k+l=c までは出せるのですが、何故この式の解(k l)が、(1 , c-1) (2 , c-2) ... (c-1 , 1) だから、題意を満たす格子点の個数が(c-1)個という事になるのでしょうか？

No.43117 - 2017/05/10(Wed) 14:33:58

☆ Re: / ヨッシー

ｋ＋ｌ＝ｃのｋ，ｌ，ｃはすべて自然数なので、
例えば、ｋ＋ｌ＝５を満たす(k, l) は、
　(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
の４個ですね？
ｋの値だけを見ると、
　１，２，３・・・ｃ－１
ですので、ｃ－１個です。
　

No.43118 - 2017/05/10(Wed) 14:58:48

☆ Re: / 〆

ありがとうございます！、

No.43120 - 2017/05/10(Wed) 15:18:22

☆ Re: / 〆

すみません…やはり少しわからないところがあります。そもそもなぜ、(x/a)+(y/b)=1 と言う式を変形しただけで、最終的に線分上の格子点の個数が分かるのでしょうか… この式と、その格子点の個数との関連性がイマイチ言葉として掴めません…

No.43121 - 2017/05/10(Wed) 20:17:31

☆ Re: / angel

例えば a=35,b=56 としましょうか。直線としては x/35+y/56=1

この上の格子点としては、(10,40) というのが1つあるんですが ( 10/35+40/56=1 が成立しますから )、その隣の、やはりこの直線上にある格子点はどこか? と考えてみます。

すると、
　x/35+y/56=1
　10/35+40/56=1
辺々引いて
　(x-10)/35+(y-40)/56=0
　8(x-10)=5(40-y)
なので、次 ( xが増える方 ) だと、x-10=5, 40-y=8 となる (15,32) となります。
つまりxは5ずつ増え、yが8ずつ減る。5,8は互いに素ですから、こうなるしかないのです。

で、この5,8がどこから出てきたかと言えば、a=35,b=56 の最大公約数 c=7 に対して、a/c=5, b/c=8 だからです。

格子点を全部書き出してみると、
　(5×1,8×6),(5×2,8×5),(5×3,8×4),(5×4,8×3),(5×5,8×2),(5×6,8×1)
この×の後ろだけ見れば 1～c-1 が綺麗に並んでる、ということです。

※約分してみれば、
　5/35+48/56=1, 10/35+40/56=1, 15/35+32/56=1, …, 30/35+8/56=1 は
　1/7+6/7=1, 2/7+5/7=1, 3/7+4/7=1, …, 6/7+1/7=1
　という組を列挙してるのと変わらないと分かります

No.43123 - 2017/05/10(Wed) 22:17:12

☆ Re: / 〆

返信ありがとうございます。少し気になる事があったのですが、画像の最後に小さく書いてある、a b(切片)が互いに素の時、題意を満たす格子点は存在しなくなる。とありますが、これは要するに、a b切片が、両者整数値の時のみ、(a b の最大公約数-1)という認識でよろしいでしょうか？ a b が少数の時の最大公約数となるとまた話は別ですか？

No.43125 - 2017/05/11(Thu) 01:03:28

☆ Re: / angel

> a b切片が、両者整数値の時のみ、(a b の最大公約数-1)という認識でよろしいでしょうか？

はい。そうですね。(a b の最大公約数)が c として表されていて、c=1 つまり「互いに素」であれば、条件を満たす格子点は 1-1=0個、つまり「存在しない」です。

> a b が少数の時の最大公約数となると
あくまでa,bが整数ということで話を整理していますから、またそれは別の話ですね。( そもそも学校の範囲では小数の約数・倍数は扱わないというのもありますが )

No.43140 - 2017/05/11(Thu) 21:42:08

★ (No Subject) / ボルト

解き方が分かりません…
教えてください。よろしくお願いします。

No.43110 - 2017/05/09(Tue) 19:42:03

☆ Re: / angel

アプローチは2つ。幾何での性質を元に考えること、ベクトルとしての計算を元に条件を整理すること。
前者の方が圧倒的に楽ができますが、しかしそれはある程度幾何に明るければ、という条件付き。
後者は地道な計算になる代わりに、幾何に詳しくなくても答えに辿りつくことができる。得手不得手に合わせて選ぶのが良いかと思います。

No.43111 - 2017/05/09(Tue) 20:47:58

☆ 幾何的なアプローチ / angel

まずは幾何的なアプローチから。

これは(1),(2)

(1)はノーヒント
(2)は、∠AOBの二等分線とABの交点をQとした時のQの位置に着目する。→OP=k→OQ と書き表せることから s,t の関係を求める

No.43112 - 2017/05/09(Tue) 20:51:38

☆ ベクトルの計算 / angel

次はベクトルの計算

これは(2),(3)
※(1)は計算でどうこう、ではないし、(3)は幾何的な性質だけでは割とどうしようもない

(2)は、「Pが∠AOBの二等分線」を「∠AOP=∠BOP」と考えて、そこから「cos∠AOP=cos∠BOP」とする。そうすると内積の問題になる。
つまり、
　→OA・→OP=|→OA||→OP|cos∠AOP
　→OB・→OP=|→OB||→OP|cos∠BOP
なのだから、
　|→OB|→OA・→OP=|→OA|→OB・→OP

(3)問題文の条件をベクトルとして扱えるように翻訳する。
つまり、
　「PがABの垂直二等分線上」
　⇔「ABの中点をMとするとき、MP⊥AB」
その上で、
　・ABの中点Mに関して→OMを→OA,→OBを使って表すと?
　・では→MPは?
と整理、⊥は「内積が0」つまり、→MP・→AB=0 として考える。

どちらの問題でも、→OA・→OB の値が必要になるので、cosθの値を元に計算しておきます。

No.43113 - 2017/05/09(Tue) 21:00:23

☆ Re: ベクトルの計算 / ボルト

(2)の答えは3s=2tなのですが、　|→OB|→OA・→OP=|→OA|→OB・→OPから答えにたどり着けません…。どのような考えで進めたらいいのでしょうか？

No.43115 - 2017/05/09(Tue) 23:23:38

☆ Re: / angel

> どのような考えで進めたらいいのでしょうか？

一度式が立ってしまえば、後はひたすら計算。それができるのがベクトルの良い所。
どう計算を進めるかと言うと、内積を計算できる →OA,→OB のみで表すようにひたすら整理していくこと。

→OA・→OB=|→OA||→OB|cosθ=5 を先に求めておいて
( あともちろん、→OA・→OA=|→OA|^2=9, →OB・→OB=|→OB|^2=4 )

→OA・→OP
=→OA・(s→OA+t→OB)
=s→OA・→OA + t→OA・→OB
=9s+5t

→OB・→OP
=→OB・(s→OA+t→OB)
=s→OA・→OB + t→OB・→OB
=5s+4t

なので、
|→OB|→OA・→OP=2(9s+5t)
|→OA|→OB・→OP=3(5s+4t)

2(9s+5t)=3(5s+4t) を整理すると答えに辿りつきます

No.43116 - 2017/05/10(Wed) 04:12:00

★ (No Subject) / アクア

この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。5のこたえは3ルート7で6のこたえは3ルート5/5とルート10/10です。できれば図を書いていただけるとありがたいです

No.43106 - 2017/05/09(Tue) 12:35:22

☆ Re: / ヨッシー

[5]

底面の半径４と高さ3√5 から、母線の長さＯＡは６とわかります。

展開図を描くと、上の図のようになります。
ＡＰを直線で結んだときの長さが、ＡＰの最短距離となります。

　∠ＡＯＡ’（180°より大きい方）＝360°×4/6＝240°
よって、
　∠ＡＯＡ’（180°より小さい方）＝120°
ＡＡ’の中点をＱとすると、
　∠ＡＯＱ＝60°
なので、
　ＯＰ＝ＯＱ＝３，ＡＱ＝3√3
より、△ＡＰＱにおける三平方の定理より
　求めるＡＰ＝√{(3√3)^2＋6^2}＝3√7

[6]
(1)
ＣＢ＝ｘとおくと、
　ＣＤ＝ＣＥ＝√3ｘ
　ＣＡ＝３ｘ
となります。∠ＣＡＢ＝θと置きます。
△ＣＡＥにおける余弦定理より
　cosθ＝(9ｘ^2＋1－3ｘ^2)/6x＝ｘ＋1/6x　　・・・(i)
△ＣＡＢにおける余弦定理より
　cosθ＝(9ｘ^2＋9－ｘ^2)/18x＝4x/9＋1/2x　・・・(ii)
(i)(ii)より
　ｘ＋1/6x＝4x/9＋1/2x
両辺ｘを掛けて整理すると
　5x^2/9＝1/3
　ｘ^2＝3/5
　ｘ＝√(3/5)＝√15/5
よって、ＣＤ＝√3ｘ＝3√5/5

(2)
(i) より
　cosθ＝√15/5＋5/6√15＝23√15/90

△ＡＣＦにおける余弦定理より
　ＣＦ^2＝ＡＣ^2＋ＡＦ^2－２ＡＣ・ＡＦcosθ
これに
　ＡＣ＝3√15/5、ＡＦ＝２
を代入して
　ＣＦ^2＝27/5＋4－46/5＝1/5
△ＣＤＦにおける三平方の定理より
　ＤＦ^2＝ＣＤ^2＋ＣＦ^2＝9/5＋1/5＝２
　（ＣＦ/ＤＦ)^2＝(1/5)／2＝1/10
よって、
　cos∠ＤＦＣ＝ＣＦ/ＤＦ＝√10/10

No.43108 - 2017/05/09(Tue) 15:41:27

★ (No Subject) / アース

この問題がわかりません。解き方を教えてください。下に書いてある計算は無視してください。よろしくお願いします。

No.43102 - 2017/05/08(Mon) 22:51:04

☆ Re: / angel

> 下に書いてある計算は無視してください。

ほぼほぼ合っているようですが…( 最後の計算間違いを除いて )。

半ば繰り返しになりますが、

・△BCPにおける正弦定理より
　BP = BCsin∠C/sin∠P = 100√3×√2/2/(1/2) = 100√6
・△ABQにおける正弦定理より
　BQ = ABsin∠A/sin∠Q = 400×1/2/(√2/2) = 200√2
・△BPQにおける余弦定理より
　PQ^2
　= BP^2+BQ^2-2BP・BQcos∠B
　= (100√6)^2 + (200√2)^2 - 2×100√6×200√2×√3/2
　= 60000 + 80000 - 120000
　= 20000

よって PQ=100√2(m)
※途中、長さの単位 m は全て省略

No.43104 - 2017/05/08(Mon) 23:28:16

★ (No Subject) / りー

この問題を教えてください。
因みに、
(2)自分の答えは、1/80になり、
(3)は、3/10と1/4
になりました。

No.43099 - 2017/05/08(Mon) 22:23:43

☆ Re: / angel

答え合わせ、でしょうか。

画像にある(1)の1/8と、りーさんの(2)1/80は正解です。

が、(3)は 3/16, 2/5 で不正解です。

(3)ですが、先に

　○○○△△から3個出した時
　・○○○ … 確率 1/10 ( 3C3×2C0÷5C3 )
　・○○△ … 確率 6/10 ( 3C2×2C1÷5C3 )
　・○△△ … 確率 3/10 ( 3C1×2C2÷5C3 )
　※合計 1 つまり、この3パターンのみ

というのを確認しておきます。

そうすると、X=2 に関しては、

　・表×2+裏×1 → 赤赤白白白から赤赤白
　　3/8×3/10=9/80
　・表×3 → 赤赤赤白白から赤赤白
　　1/8×6/10=6/80

の2パターンですから、X=2の確率は 9/80+6/80

で、条件付き確率については、6/80÷(9/80+6/80) です。

No.43103 - 2017/05/08(Mon) 22:59:14

☆ Re: / りー

ありがとうございます。
理解できました。

No.43105 - 2017/05/09(Tue) 06:44:37

★ (No Subject) / ダルメシアン

この問題の解き方を教えてください。こたえは2187通りと1806通りです。よろしくお願いします。

No.43095 - 2017/05/08(Mon) 21:12:57

☆ Re: / IT

ア
７人をABCDEFGとすると
Aに配る風船は赤青黄の３通り。
Bに配るのも３通り、Cに配るのも３通り、Dに配るのも３通り、Eに配るのも３通り、Fに配るのも３通り、Gに配るのも３通り。
よって風船の配り方は全部で３^7 通り。

イ
赤青の２色だけから配るのは、２^7= 128通り、そのうち赤だけ配るのは１通り、青だけ配るのは１通り。
よって、赤青の２色を配るのは　128-2＝126通り。
同様に、赤黄の２色を配るのは　126通り、青黄の２色を配るのは　126通り　
　
１色だけ配るのは３通り。

よって３色必ず配る方法は　3^7-126-126-126-3= 1806通り。

No.43096 - 2017/05/08(Mon) 21:59:47

☆ Re: / ダルメシアン

イの答えの解き方で、なぜ2色だけから配るのを調べているんですか？

No.43097 - 2017/05/08(Mon) 22:19:07

☆ Re: / IT

すべての配り方の数から条件を満たさない配り方の数を引くためです。

>よって３色必ず配る方法は　3^7-126-126-126-3= 1806通り。

No.43100 - 2017/05/08(Mon) 22:42:12

☆ Re: / ダルメシアン

わかりました。ありがとうございます。

No.43101 - 2017/05/08(Mon) 22:49:00

★ 面積 / ICE

【問題】
z軸を軸とする半径2の円柱の側面のうち、0≦z≦yを満たす部分の面積を求めよ。

以上の問いの解法を教えてください！特に空間図形の考察に依るところのあまり大きくない、数式処理ルートでの解法があれば教えて頂きたいです。

よろしくお願いします。

No.43093 - 2017/05/08(Mon) 08:58:31

☆ Re: 面積 / ヨッシー

図において、ｘｙ平面上で、ｘ軸から角度θにおける、
断面上の点（図の●）の座標は、
　(2cosθ, 2sinθ, 2sinθ)
です。
(2,0,0) から (-2,0,0) に至るｘｙ平面上の円周を横軸（ｔ）
ｚ座標を縦軸に取ると、
　ｔ＝2θ
　ｚ＝2sinθ
より、
　ｚ＝2sin(t/2)
という関係式が出来て、これを、0≦ｔ≦2π の範囲で、
積分すれば、求める側面積となります。

答えは８となります。

No.43094 - 2017/05/08(Mon) 10:48:26

☆ Re: 面積 / WIZ

# 既にヨッシーさんによるスマートな回答があるので、以下の込み入った方法など
# お呼びでないでしょうが、一生懸命計算したのと、こういった方法もあるという紹介の意味で
# 書き込ませて頂きます。

先ず、補題として以下を解説します。

【補題】
xy平面の原点を中心とする、半径2の円の円周或いは円弧の長さを積分で求める。

円の方程式はx^2+y^2 = 2^2となりますから、x = √(4-y^2)またはx = -√(4-y^2)です。
但し、-2 ≦ y ≦ 2の範囲となります。
そして、円周の長さをLとすると、Lの値は以下の積分で与えられます。
∫[-2, 2]{√(1+(dx/dy)^2)}dy

ここで、x = √(4-y^2)のときのdx/dyは、
dx/dy = (1/2)(-2y)((4-y^2)^(-1/2)) = -y/√(4-y^2)なので、
(dx/dy)^2 = (y^2)/(4-y^2)です。

また、x ≦ 0の部分とx ≧ 0の部分の円弧の長さは同じと考えられますので、
x ≧ 0の部分、つまりx = √(4-y^2)の部分の円弧の長さを求めて2倍します。
L = 2∫[-2, 2]{√(1+(y^2)/(4-y^2))}dy = 2∫[-2, 2]{√(4/(4-y^2))}dy = 4∫[-2, 2]{1/√(4-y^2)}dy

上記は、y = 2sin(t)と置換すると、tの積分範囲は[-π/2, π/2]で、
dy/dt = 2cos(t), 1/√(4-y^2) = 1/√(4-4sin(t)^2) = (1/2)/√(cos(t)^2) = 1/(2cos(t))
# -π/2 ≦ t ≦ π/2で、cos(t) ≧ 0の為。

よって、
L = 2∫[-π/2, π/2]{1/(2cos(t))}*2cos(t)dt = 4∫[-π/2, π/2]{1}dt = 4π

ある定数aが、-2 ≦ a ≦ 2である場合の、y ≧ aを満たす円弧の長さをL(a)とすると、
L(a) = 4∫[a, 2]{1/√(4-y^2)}dyとなります。

y = 2sin(t)と置換すると、tの積分範囲は[arcsin(a/2), π/2]ですので、
L(a) = 4∫[arcsin(a/2), π/2]{1}dt = 2π-4arcsin(a/2)
【補題終了】

hを正の実数として、題意の円柱をz軸正方向に高さhで輪切りにしていきます。
1個の輪の側面積は(円周の長さ)*(高さ) = 4πhで与えられます。
また、0 ≦ z ≦ yという条件を付ければ、円周の長さの代わりに補題で求めた円弧の長さを用いることになります。

y > 2なら円弧の長さは0になりますので、意味を持つ面積を計算するのは0 ≦ z ≦ y ≦ 2の範囲となります。
nを自然数として、0 ≦ z ≦ 2の範囲をn等分し、h = 2/nとします。
すると、題意の面積をSとし、Sの近似値は、S ≒ Σ[k=1, n]{L(k*2/n)*(2/n)}となり、
区分求積法から積分へ持ち込めそうです。

S = lim[n→∞]{Σ[k=1, n]{L(k*2/n)*(2/n)}}
= ∫[0, 2]L(z)dz
= ∫[0, 2]{2π-4arcsin(z/2)}dz
= 4π-4∫[0, 2]{arcsin(z/2)}dz

u = arcsin(z/2)とおくと、sin(u) = z/2, cos(u) = (1/2)dz/duで、uの積分範囲は[0, π/2]です。
S = 4π-4∫[0, π/2]{u}*2cos(u)du
= 4π-8∫[0, π/2]{u*cos(u)}du
= 4π-8[u*sin(u)]_[0, π/2]+8∫[0, π/2]{sin(u)}du
= 4π-4π+8[-cos(u)]_[0, π/2]
= 8

No.43098 - 2017/05/08(Mon) 22:23:37

☆ Re: 面積 / ICE

お二方とも、回答ありがとうございました！

No.43119 - 2017/05/10(Wed) 15:16:38

★ 仕事算 / やのげ

連立方程式の問題
Aは仕事に慣れているチーム、Bはあまり慣れていないチーム
合わせて50人、今の人数割では一日の仕事量は同じ。
AとBの人数を逆にすると、同じ仕事が、Aは4日で終わり、
Bは9日で終わる。もともとのA、Bチームの人数を求めよ。

No.43086 - 2017/05/07(Sun) 21:09:36

☆ Re: 仕事算 / やのげ

中学１年の問題です。
Aグループ１人の仕事量をA、Bグループ１人の仕事量をB。
AグループはX人、BグループはY人。
AX＝BY、X+Y＝50、4AY＝9BX。
この式そのものは正しいですか？
でも答えは出ませんよね！

No.43087 - 2017/05/07(Sun) 21:58:23

☆ Re: 仕事算 / らすかる

AX=BYからB/A=X/Y
4AY=9BXからB/A=4Y/9X
よってX/Y=4Y/9Xなので4Y^2=9X^2すなわち2Y=3X
これとX+Y=50からX=20,Y=30

No.43088 - 2017/05/07(Sun) 22:03:54

☆ Re: 仕事算 / やのげ

とてもよくわかりました。
ありがとうございました。
今後ともよろしくお願いします。

「4Y^2=9X^2すなわち2Y=3X」
これがわからないと解けないと思うのですが。
問題作成者としては、ここがポイントになるのですか？
連立方程式のセクションの問題として、
標準的な解答は他にあるのでしょうか？

No.43089 - 2017/05/07(Sun) 22:20:37

☆ Re: 仕事算 / noname

次の様に考えてもよいです．

[別解]
仕事の量を1とすると，

・Aは一日当たり1/4の量の仕事を片付ける
・Bは一日当たり1/9の量の仕事を片付ける

が言える．さて，元々のAの人数をx，Bの人数をyとすると，AとBの人数を逆にする前のAとBの一日の仕事量は同じであるから，

1/4÷y×x＝1/9÷x×y.
∴x：y＝2：3.

よって，元々のAの人数は50×2/5＝20，Bの人数は50×3/5＝30である．

No.43090 - 2017/05/07(Sun) 22:24:20

☆ Re: 仕事算 / らすかる

> 「4Y^2=9X^2すなわち2Y=3X」
> これがわからないと解けないと思うのですが。

X+Y=50からY=50-X
4Y^2=9X^2のYに代入して4(50-X)^2=9X^2
4X^2-400X+10000=9X^2
5X^2+400X-10000=0
X^2+80X-2000=0
(X+100)(X-20)=0
X＞0なのでX=20
のようにしても解けます。

No.43091 - 2017/05/07(Sun) 22:33:20

☆ Re: 仕事算 / やのげ

ありがとうございました。
二次方程式の勉強をして、理解を深めたいと思います。
これからもよろしくお願いします。

No.43092 - 2017/05/08(Mon) 08:00:34

★ 三角関数の不等式 / ICE

以下の問いについて、"僕の解答"よりスマートな(場合分けが煩雑でない)解法を教えてください！

【問題】
0≦x≦2π、0≦y≦2π、sinx+siny≧cosx+cosy …?@ を満たす点(x,y)の存在領域をxy平面上に図示せよ。

【僕の解答(不完全)】

与式?@の両辺に和積公式を適用し、整理すると

cos{(x-y)/2}×sin{(x+y)/2-π/4}≧0

⇔【cos{(x-y)/2}≧0 且つ sin{(x+y)/2-π/4}≧0】または【cos{(x-y)/2}≦0 且つ sin{(x+y)/2-π/4}≦0】

⇔【0≦x-y≦π 且つ 0≦(x+y)/2-π/4≦π】または【π≦x-y≦2π 且つ〈-π/4≦(x+y)/2-π/4≦0 または π≦(x+y)/2-π/4≦7/4π〉】

⇔【x-π≦y≦x 且つ -x+π/2≦y≦-x+(5/2)π】または【x-2π≦y≦x-π 且つ〈-x-π/2≦y≦-x+π/2 または -x+(5/2)π≦y≦-x+4π〉】

が得られる。

セオリー通りにここまで条件を変換してみたのですが、(僕の拙い数式処理技術からしてみれば)極めて煩雑な場合分けがこの後待ち受けていることに気づいてしまい、戦意を喪失しました…。そこでこのような場合分けを避けることのできるルートはないものかと思い、皆様の知恵を拝借しようと考えた次第です。
回答をお待ちしています！

No.43079 - 2017/05/07(Sun) 06:45:16

☆ Re: 三角関数の不等式 / IT

> 極めて煩雑な場合分けがこの後待ち受けていることに気づいてしまい

後は、作図でやればよいのでは？（ここまで合っているか確認してないですが）

なお境界線を頂点以外で越えると正負が変わりますので、求める領域は、市松模様（チェス盤）を斜めにしたものの一部といったものになります。

No.43080 - 2017/05/07(Sun) 09:32:15

☆ Re: 三角関数の不等式 / らすかる

sinx+siny≧cosx+cosy
(sinx-cosx)+(siny-cosy)≧0
cos(x-3π/4)+cos(y-3π/4)≧0
cos(|x-3π/4|)+cos(|y-3π/4|)≧0
cos((|x-3π/4|+|y-3π/4|)/2)cos((|x-3π/4|-|y-3π/4|)/2)≧0
x,yの範囲を限定しない場合、求めるグラフは
x方向,y方向とも周期2πで繰返すから、
幅2πのどこかの区間でグラフの形を調べて
それを繰返し、後で0≦x≦2π,0≦y≦2πの部分を
切り出せばよい。そこでまず
-π≦x-3π/4≦π, -π≦y-3π/4≦πとすると
0≦|x-3π/4|≦π, 0≦|y-3π/4|≦πなので
-π/2≦(|x-3π/4|-|y-3π/4|)/2≦π/2となり
cos((|x-3π/4|-|y-3π/4|)/2)≧0
従って
cos((|x-3π/4|+|y-3π/4|)/2)≧0 または cos((|x-3π/4|-|y-3π/4|)/2)=0
cos((|x-3π/4|+|y-3π/4|)/2)≧0 から
(|x-3π/4|+|y-3π/4|)/2≦π/2
∴|x-3π/4|+|y-3π/4|≦π … (1)
cos((|x-3π/4|-|y-3π/4|)/2)=0 から
|x-π/4|=π,|y-3π/4|=0 または |x-π/4|=0,|y-3π/4|=π
これは(1)に含まれる。
|x|+|y|≦1のグラフは(1,0)(0,1)(-1,0)(0,-1)を4頂点とする正方形なので
|x-3π/4|+|y-3π/4|≦πのグラフは(π,0)(0,π)(-π,0)(0,-π)を
4頂点とする正方形をx軸方向に3π/4,y軸方向に3π/4ずらしたもの、
すなわち(7π/4,3π/4)(3π/4,7π/4)(-π/4,3π/4)(3π/4,-π/4)を
4頂点とする正方形
このグラフは
-π≦x-3π/4≦π, -π≦y-3π/4≦πすなわち
-π/4≦x≦7π/4, -π/4≦y≦7π/4の範囲で考えたものであり、
範囲を限定しなければx方向,y方向とも周期2πとなるから
上記の正方形を縦横につなげた
◆◆◆
◆◆◆
◆◆◆
のような形になる。よって求めるグラフは
上記の正方形を縦横につなげて
0≦x≦2π, 0≦y≦2πの範囲を切り出したもの、すなわち
(7π/4,3π/4)(3π/4,7π/4)(-π/4,3π/4)(3π/4,-π/4)を
4頂点とする正方形のうちx＜0の部分の直角二等辺三角形を
xの正方向に2π移動し、y＜0の部分の直角二等辺三角形を
yの正方向に2π移動したものとなる。

No.43081 - 2017/05/07(Sun) 10:29:18

☆ Re: 三角関数の不等式 / ICE

>>ITさん

頂いたアドバイスに従い、グラフを用いて考察してみたところ、瞬殺でした(笑)これを数式(連立不等式)のまま処理しようとした自分が信じられないほどですね…。
ありがとうございました！

No.43082 - 2017/05/07(Sun) 16:44:32

★ 進法 / 灰原

5進数の2422-5進数の1431
解答では二桁目が12-3＝4、三桁目が13-4＝4となっているんですが、なぜそうなるのかがわからないです。

たとえば、2進数の110を1・2＾2+1・2＾1+0を計算すると
10進数になるそうですが、なぜこの計算で10進数になるのかがよくわからないです。11進数や12進数に変換されている可能性はなぜないんですか。

No.43076 - 2017/05/06(Sat) 21:59:18

☆ Re: 進法 / angel

まず注意しなければならないのは、「××進法」というのは、数を表す時の基準の数を何にするかという表現の話であって、数の内容そのものが変わるわけではない、ということです。

自然数 ( 正の整数 ) を小さい順に並べた時、××進法に囚われないよう漢数字で書くとすると、

　一、二、三、…、九、十、十一、十二、…

という順に並びますが、これを

　1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, …

と「二」毎に桁を繰り上げるなら2進数、

　1,2,…,9,10,11,…,19,20,…,98,99,100,…

と「十」毎に桁を繰り上げるなら10進数と言うということです。

なので、5進数の場合
　一:1, 二:2, 三: 3, 四: 4, 五: 10, 六: 11, 七: 12, 八: 13, …
であることから、12-3 は七-三=四であることから 4、同様に 13-4 も 4 となります。

No.43077 - 2017/05/06(Sat) 22:23:21

☆ Re: 進法 / angel

> 2進数の110を1・2＾2+1・2＾1+0を計算すると10進数になる

それはやや誤りです。

2進数110とは、
　一×二の二乗 + 一×二の一乗 + 零×二の零乗
のことです。
この数の実態には何進数であるかは関係ありません。

が、これを
　1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 4+2+0 = 6
と10進数表現の上で計算すれば10進数表現
　1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 11 + 2 + 0 = 20
と3進数表現の上で計算すれば3進数表現となる、ということです。

あくまで「何進数表現で計算するか」を先に決めているからそうなるのであって、110(2)=6 とするとこれは10進数だ、と後から決まるものではありません。

No.43078 - 2017/05/06(Sat) 22:30:21

☆ Re: 進法 / 灰原

とても分かりやすかったです。ありがとうございました。

No.43143 - 2017/05/11(Thu) 22:08:11

★ (No Subject) / 服だ

差を求めよという場合、それは必ず0以上ですか？
例えばaとｂの差を求めよという場合、la-blですか？

No.43072 - 2017/05/06(Sat) 17:12:43

☆ Re: / 服だ

大学受験までの範囲で、お願いします

よろしくお願いします

No.43073 - 2017/05/06(Sat) 17:13:14

☆ Re: / noname

算数や中学数学の場合では「ある2つの量の差とはそれらのうちの大きい方から小さい方を引いたもの」を意味することが多いです．

一方，高校数学の場合はそうとは限らないかと思います．実際，例えば3と5の差となると「3から5を引いたもの」または「5から3を引いたもの」のいずれかを意味し，この様な言い回しではどういった差なのかははっきりとは決まらないと思います．この点を回避するために，よくある言い回しとして「3と5の差5-3」の様なものがあります．

No.43074 - 2017/05/06(Sat) 18:03:21

★ (No Subject) / メリアス。

紙に書いてある通りです！

お願いします！！

No.43068 - 2017/05/05(Fri) 22:38:34

☆ Re: / IT

sin(2x+π/4) = -1 のとき　－√2sin(2x+π/4)は最大になること

sin(2x+π/4) = 1 のとき　－√2sin(2x+π/4)は最小になること

は分かりますか？

π/4 ≦ 2x+π/4 ＜9π/4 の範囲でsin(2x+π/4) = -1、sin(2x+π/4) = 1になる　 2x+π/4　の値を調べます。

なお「すなわち」と２つあるのは　それぞれの下の行にかかっているのはお分かりですよね？　

No.43069 - 2017/05/05(Fri) 23:12:21

☆ Re: / メリアス。

> sin(2x+π/4) = -1 のとき　－√2sin(2x+π/4)は最大になること
>
> sin(2x+π/4) = 1 のとき　－√2sin(2x+π/4)は最小になること
>
> は分かりますか？

↑わからないです！
なぜ-1の時が最大値になるのか
なぜ1の時最小値になるのかがわかりません！
ひょっとしたらsinの横についている-√2とかが関係しているのでしょうか？？

No.43070 - 2017/05/06(Sat) 11:04:12

☆ Re: / IT

＞ひょっとしたらsinの横についている-√2とかが関係しているのでしょうか？？

そうですね。実際に計算して確かめてください。

No.43071 - 2017/05/06(Sat) 11:37:32

☆ Re: / noname

横レス失礼致します．念の為にヒントを与えておきます．まずはヒントを参考にしながら可能な限り考えてみてください．

[ヒント]
変数θがπ/4≦θ≦9π/4の範囲の値をとり得る時，関数y＝-√2sinθ+2の最大値と最小値をそれぞれ求めてみよ．それが出来た後は，もし変数θが変数xに関する式θ＝2x+π/4により表されるならば，関数y＝-√2sinθ+2が最大となる時と最小となる時のxの値をそれぞれ求めてみよ．

No.43075 - 2017/05/06(Sat) 18:13:04

★ (No Subject) / JJ

aは実数の定数とする。0≦x＜2πにおいて、方程式
(1-a)sinx+sin2x+sin3x＝0
の相異なる実数解の個数を求めよ。

考えてみたのですが答えが導き出せません。教えていただければ幸いです。

No.43064 - 2017/05/04(Thu) 23:15:04

☆ Re: / IT

sin2xに倍角公式、sin3xに加法定理と倍角公式などを使えば
(1-a)sinx+sin2x+sin3x=sinx(4(cosx)^2+2cosx-a) とできます.
sinx＝0 は0≦ｘ＜2πではx=0,πを解にもちます。

後は、4(cosx)^2+2cosx-a＝0　が　x=0,π以外の解をいくつ持つかを調べればいいと思います。

f(x)=4(cosx)^2+2cosx とおいて　f(x)を微分し極大値・極小値などを調べる方法

t=cosx とおいて、-1≦t≦1 におけるg(t)=4t^2+2t の状況を調べる方法などがあります。

No.43065 - 2017/05/05(Fri) 00:19:34

★ 掛けていって消えるタイプ / 三木

a(n+1)=((3n-4)/(3n+2))a(n)(nは自然数）の一般項を求めよという問題で答えのみあるのですが、答案はどうなりますか？

また、an=(3n-4/3n+2)a(n-1)としたらｎは2以上からになり、場合分けいりますよね？

よろしくおねがいします

No.43059 - 2017/05/04(Thu) 20:59:12

☆ Re: 掛けていって消えるタイプ / WIZ

# 初項が定義されていないので、一般項は求まりませんが・・・。

a[n+1] = ((3n-4)/(3n+2))a[n]
⇒ a[n+1] = ((3(n-2)+2)/(3n+2))a[n]
⇒ (3n+2)a[n+1] = (3(n-2)+2)a[n]
⇒ (3n+2)(3(n-1)+2)a[n+1] = (3(n-1)+2)(3(n-2)+2)a[n]

b[n] = (3(n-1)+2)(3(n-2)+2)a[n]とおくと、b[n+1] = b[n]です。
よって、b[n] = b[n-1] = ・・・ = b[1]なのと、b[1] = (3(1-1)+2)(3(1-2)+2)a[1] = -2a[1]なので、
a[n] = b[n]/{(3(n-1)+2)(3(n-2)+2)} = -2a[1]/{(3n-1)(3n-4)}

No.43062 - 2017/05/04(Thu) 22:53:04

☆ Re: 掛けていって消えるタイプ / IT

WIZ さんのが厳密ですが、せっかくやったので書き込みます。

a[2]=(-1/5)a[1]
a[3]=(2/8)(-1/5)a[1]=(-2/(8*5))a[1]
a[4]=(5/11)(2/8)(-1/5)a[1]=(-2/(11*8))a[1]
n≧5のとき
a[n]=((3n-7)/(3n-1))((3n-10)/(3n-4))((3n-13)/(3n-7))((3n-16)/(3n-10))a[n-4]
　ここで分子の末尾２つと分母の先頭２つを残して消えることを分子分母に斜線などを引いて明示します。
=(1/(3n-1))(1/(3n-4))(3n-13)(3n-16)a[n-4]
..
={2*(-1)/((3n-1)(3n-4))}a[1]

これはn=1,2,3,4 のときも成立。

No.43063 - 2017/05/04(Thu) 23:07:57

★ (No Subject) / ダルメシアン

点(1,3)から円(X-2)の２乗+(y+1)の２乗=1に引いた接線の方程式を求めよという問題がわかりません解き方と答えを教えてください。お願いします。

No.43056 - 2017/05/04(Thu) 18:10:52

☆ Re: / X

問題の円の方程式を(A)とします。

(i)接線がy軸平行であるとき
点(1,3)を通るy軸平行の直線は
x=1 (B)
となりますが、これは(A)と(A)の
中心を通るx軸平行の直線との交点
である
点(1,-1)
を通っていることから
(B)が(A)の接線
となっていることが分かります。

(ii)接線がy軸平行でないとき
接線の方程式は
y=m(x-1)+3 (C)
と置くことができます。
ここからmの値を求めていくわけですが、
これには二通りの方針があります。

方針その1)解析的に考える
(C)を(A)に代入して得られるxの二次方程式
の解の判別式をDとすると
D=0
となることからmの方程式を導き、解きます。

方針その2)図形的に考える
(A)の中心である点(2,-1)と(C)との間の距離が
(A)の半径である1となることから
点と直線との間の距離の公式を使い
mについての方程式を導き、解きます。

こちらの計算では
m=-15/8
(C)は
y=-15x/8+39/8
となりました。

No.43057 - 2017/05/04(Thu) 19:00:23

☆ Re: / X

別解)
原点が中心である円の接線の方程式の公式を
使います。

問題の円を中心が原点になるように平行移動すると
移動後の円の方程式は
x^2+y^2=1 (A)
又、求める接線が通る点(1,3)も同じ平行移動、
つまり、x軸方向に-2,y軸方向に1だけ平行移動
させると、移動後の点をPとしたとき
P(-1,4) (B)
となります。

(A)上の点(a,b)における接線の方程式は
ax+by=1 (C)
又
a^2+b^2=1 (D)
(C)が点Pを通るとすると
-a+4b=1 (E)
(D)(E)を連立して解くと
(a,b)=(1,0),(15/17,8/17)

∴点Pを通る(A)の接線の方程式は
x=1,(15/17)x+(8/17)y=1
これらをx軸方向に2,y軸方向に-1だけ
平行移動し、求める接線の方程式は
x-2=1,(15/17)(x-2)+(8/17)(y+1)=1
整理して
x=3,15x+8y=39
となります。
(二番目の方程式は見かけは異なりますが
No.43057の結果と同じです。)

No.43058 - 2017/05/04(Thu) 19:25:06

★ 数列 / ICE

以下の問題について、"僕の解答"の誤りを指摘して下さい。

【問題】
数列｛a[n]｝について、初項から第n項までの和をS[n]とする。a[1]=6、S[n]=a[n+1]+3^(n+1) が成り立つとき、｛a[n]｝の一般項を求めよ。

【僕の解答】

n≧2の場合について考える。

S[n]=a[n+1]+3^(n+1)かつS[n-1]=a[n]+3ⁿより

a[n+1]=2a[n]-2×3ⁿ⇔3×a[n+1]/3^(n+1)=2×a[n]/3ⁿ-2 …?@

を得る。ここで、a[n]/3ⁿ=b[n]とおくと、

?@⇔3b[n+1]=2b[n]-2⇔b[n+1]+2=2/3×(b[n]+2)

これを解いて、

b[n]=6×(2/3)ⁿ-2

∴ a[n]=6×2ⁿ-2×3ⁿ (これはn=1についても成り立つ) …(答)

しかし、解答を見ると a[n]=15×2^(n-2)-2×3ⁿ (n≧2) となっており、nに2,3,…を代入して検証してみると、こちらの方が正しい(僕の解答は誤りである)ことが分かります。したがって、僕の解答はどこかに誤謬を含んでいることになりますが、自力ではそれを見つけることができませんでした…。

皆様の回答をお待ちしています！！

No.43048 - 2017/05/04(Thu) 00:52:14

☆ Re: 数列 / noname

>解答を見ると an=15×2^(n-2)-2×3ⁿ となっており

正しくは，a_n＝12・2^{n-1}-2・3^n(n≧1)ではありませんか？

No.43049 - 2017/05/04(Thu) 01:07:44

☆ Re: 数列 / IT

> これを解いて、
> bn=6×(2/3)ⁿ-2
はどうやって出されましたか？
ここまでの計算はn≧2の条件のもとでやっているので
b[n]はb[2]=-1/3を元に計算しないといけないと思います。

a[1]=6、Sn=a[n+1]+3^(n+1) より　
6=a[2]+3^2 ∴ a[2]=-3
∴b[2]=a[2]/3^2=-1/3 これを使う。

なお、解答のa[n]=15×2^(n-2)-2×3ⁿ はn≧2のときですね？ n=1 では成り立たないと思います。

No.43052 - 2017/05/04(Thu) 01:31:34

☆ Re: 数列 / ICE

>>nonameさん

それだと僕の答えと同じになってしまい、間違いですね…。

>>ITさん

> ここまでの計算はn≧2の条件のもとでやっているので、b[n]はb[2]=-1/3を元に計算しないといけないと思います。

仰る通りですね。そこが間違いの原因でした…。ご指摘ありがとうございました！

> なお、解答のa[n]=15×2^(n-2)-2×3ⁿ はn≧2のときですね？ n=1 では成り立たないと思います。

その通りですね。一応修正しておきました。

お二方とも、ありがとうございました。お陰様で、無事解決しました！

No.43054 - 2017/05/04(Thu) 01:57:46

☆ Re: 数列 / noname

>>IT様

>ここまでの計算はn≧2の条件のもとでやっているので
>b[n]はb[2]=-1/3を元に計算しないといけないと思います。

仰る通りですね．肝心な部分を見落としておりました．

>>質問者様

結果的には解決された様なので特に問題はなさそうに思います．とはいえ，誤った説明を行ってしまい大変失礼致しました．

No.43055 - 2017/05/04(Thu) 13:34:42