ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 連続関数の証明 / Sorah

f,gを関数とします。
fと合成関数gfが共に連続関数ならgは連続である。

はどうすれば示せますでしょうか?

No.43531 - 2017/06/02(Fri) 06:16:50

☆ Re: 連続関数の証明 / らすかる

その命題は成り立たないのでは？
例えばf(x)=0(定数関数),g(x)=[x](ガウス記号)のとき
g(f(x))=g(0)=0なのでf(x)もg(f(x))も連続関数ですが
g(x)は連続関数ではありません。

# 一般に、g(x)が不連続であってもf(x)の値域が
# g(x)の定義域の連続部分のみであれば
# g(f(x))は連続になると思います。

No.43540 - 2017/06/02(Fri) 16:44:05

☆ Re: 連続関数の証明 / Sorah

ご回答誠に有難うございます。お蔭様でとても参考になりました。

No.43542 - 2017/06/02(Fri) 22:19:55

★ (No Subject) / 名無し

画像の問題の解き方を出来るだけ分かりやすく解説して下さい。お願いいたします。

No.43528 - 2017/06/02(Fri) 00:08:09

☆ Re: / noname

証明の概略を以下に与えておきますが，細部のフォローに関しては適当な微分積分学の参考書(演習書や解説書ではない)，pdfの資料や関連サイトなどを参考にして行っていただくとよいかと思います．

[証明の概略]
?@点x＝0のある近傍で，sin(x)の有限次Taylor展開を行う．
?Aその近傍の任意の点において，sin(x)のその展開式の剰余項の極限が0であることを示す．

No.43586 - 2017/06/03(Sat) 23:09:20

★ 図形 / たゆたう

正方形ABCDがあり、DE=EFとなるとき角ABFの値を求めよ。という問題ですが解き方を教えてください。

No.43518 - 2017/06/01(Thu) 20:44:32

☆ Re: 図形 / X

点D,Fを通る直線を引き、この直線と辺BCとの交点をGとします。
このとき、まず
△BCE≡△CDG
であることを証明します。

条件から
BD⊥AC
ですので
BD⊥AF
よって△BDFは
BF=DF (A)
の二等辺三角形。
従って
∠AFD=∠AFB (B)
一方、対頂角により
∠DFE=∠BFG (C)
(B)(C)により
∠CFE=180°-∠AFD-∠DFE
=180°-∠AFB-∠BFG
=∠CFG (D)
これと
∠ECF=∠GCF=45°
CF共通
により
△CEF≡△CFG
よって
EF=FG (E)
(A)(E)により
DG=DF+FG=BF+EF=BE (F)
これと
BC=CD (G)
∠C=90° (H)
(直角三角形の合同条件)
により
△BCE≡△CDG (I)

よって
∠EDF=x[°]
とすると
∠BCE=∠EDF=x[°] (J)

さて、DE=EFにより△DEFは二等辺三角形
ですので
∠EFD=∠EDF=x[°]
よって
∠CEB=∠EFD+∠EDF=2x[°]
となるので錯角により
∠ABE=∠CEB=2x[°] (K)
(J)(K)と∠B=90°により
x+2x=90
これを解くと
x=30
よって(K)により
∠ABE=60°
となります。

注)
まどろっこしく見えますが、
△BCE≡△CDG
を証明した後からがこの問題の解法の本番です。
(もっと簡単な方法があるかもしれません)

No.43519 - 2017/06/01(Thu) 21:21:26

☆ Re: 図形 / たゆたう

わかりました。ありがとうございます。

No.43525 - 2017/06/01(Thu) 22:28:42

★ (No Subject) / 名無し

すいません何度も。

この問題の解き方が全然わかりません。

何度読んでも理解ができません。

できれば、もう少しわかりやすく解説していただけないでしょうか？

よろしくお願いいたします。

No.43517 - 2017/06/01(Thu) 20:41:10

☆ Re: / angel

流石に質問がフワっとし過ぎです。

…取り敢えず、問題にある「条件」が何を意味するかは把握されていますか。
※ここを曖昧にしたままだと、多分何やっても先に進まないと思います。

(1) ( -2≦x≦2 の ) 全ての x に対して f(x)＜g(x)
　… g(x)-f(x) の値を -2≦x≦2 の範囲で全て挙げると全て正
(2) ( -2≦x≦2 の ) ある x に対して f(x)＜g(x)
　… g(x)-f(x) の値を -2≦x≦2 の範囲で全て挙げると、ごく一部かも知れないけれど、正のものがある

(3) ( -2≦x1,x2≦2 の ) 全ての組x1,x2に対して f(x1)＜g(x2)
　… -2≦x≦2 の f(x) の最大値を持ってきても、-2≦x≦2 の g(x) の最小値よりも小さい

(4) ( -2≦x1,x2≦2 の ) ある組x1,x2に対して f(x1)＜g(x2)
　… -2≦x≦2 の f(x) の最小値よりも g(x) の最大値の方が大きい

※注意: (3),(4)について最大値・最小値という言葉を持ち出しているは、今回の範囲が -2≦x≦2 ということで、f(x),g(x) とも範囲内で最大値・最小値があるからです。
　最大値・最小値がない状況だとまた少し変わります。

No.43527 - 2017/06/01(Thu) 23:04:46

★ (No Subject) / 名無し

すいません、どうして

EFが2xになるのでしょうか？

そして

どうして０<x<2の値をとるのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

No.43516 - 2017/06/01(Thu) 20:39:38

☆ Re: / X

＞＞どうして、EFが2xになるのでしょうか？
模範解答をよく見ましょう
EF=2x(0＜x＜2)と「おくと」
と書かれていますね。
「おいた」のであって「なった」のでありません。

＞＞どうして０<x<2の値をとるのでしょうか？
条件から
0＜EF＜BC
ですので
EF=2x
と置くと、BC=4により
0＜2x＜4
∴0＜x＜2
です。

No.43522 - 2017/06/01(Thu) 21:42:13

☆ Re: / 名無し

すいません、言い方を間違えました。

どうしてEFが2xとおいたのですか？

xだけでもいいではないですか？

無知で申し訳ありません。よろしくお願いいたします。

No.43529 - 2017/06/02(Fri) 00:10:37

☆ Re: / X

別にEF=xと置いて計算しても何も問題はありません。
只、EF=2xと置くと計算途中でxの係数に分数が
つくことを避けることができ、多少計算が楽に
なるからです。
(EF=xと置くと、長方形の縦の長さをxで表す場合に
xの係数が分数になります。)

No.43530 - 2017/06/02(Fri) 05:53:28

★ 中学受験　算数　割合と比の問題 / ぶどう

すいません。問題がわからないので教えていただけますか?
(1) 1時間15分>>75分として1分当たり20人増えてくるので
　　初めの行列人数+75×20=3×□×75と
　　初めの行列人数+15×20=5×□×15と式をたてましたが
　　上と下の式では3倍になっているところでとまっています

(2)は全然　解き方の検討が付きません。
解説　よろしくお願い致します。

答えは　(1)　300人　(2)午後5時18分です。

No.43515 - 2017/06/01(Thu) 19:41:20

☆ Re: 中学受験　算数　割合と比の問題 / angel

(1)
そこまで式が出ているのであれば、2つの式で差をとればよいです。
左辺を見れば、上の式のほうが 1200 大きく、
右辺を見れば、上の式のほうが □×150 大きい。
つまり、□は 8 だったということです。

No.43521 - 2017/06/01(Thu) 21:39:30

☆ Re: 中学受験　算数　割合と比の問題 / angel

(2)
比が扱えれば大分楽ができるはずです。
(1)で、窓口1つにつき、毎分8人 ( □の数字ですね ) を入場させられると分かっています。

そうすると、
　* 4つの窓口 → 8×4-20 で毎分12人
　* 6つの窓口 → 8×6-20 で毎分28人

ここから分かることは、
　* 4つの窓口のままだと、全部で 300÷12 で25分かかる
　* 窓口を4→6 と増やすと、かかる時間は 3/7 に減る

「4つの窓口のまま」というのは、つるかめ算なんかもそうですが、分かり易い比較対象として必要です。( 逆に「最初から6つの窓口だったら」でも良いんですが )

で、時間の比も分かりました。
ここから、
　* 4つの窓口で入場させる時間を 7 分減らして 6つの窓口の方に回すと、その分が 3分に変わる

なので、
　* 4つの窓口: 25分、6つの窓口: 0分 → 5:25行列解消
　* 4つの窓口: 18分、6つの窓口: 3分 → 5:21行列解消
　* 4つの窓口: 11分、6つの窓口: 6分 → 5:17行列解消
　…
まあ、途中で答えが出てしまってますが、一方が7分減るたびにもう一方が3分増える、その規則性を利用できます。

No.43526 - 2017/06/01(Thu) 22:46:45

☆ Re: 中学受験　算数　割合と比の問題 / ぶどう

詳しい解説ありがとうございました。

No.43533 - 2017/06/02(Fri) 08:22:41

★ 内接四角形 / tetsu

四角形ABCDがある円に内接し、
AB=2,BC=√2,CD=4,DA=√2である。
このときACとBDの交点をEとする。
BE:EDを求めよ。
という問題が分かりません。お願いします

No.43514 - 2017/06/01(Thu) 19:36:59

☆ Re: 内接四角形 / X

円周角により
∠EAD=∠EBC (A)
∠EDA=∠ECB (B)
又
BC=DA (C)
(A)(B)(C)により
△DAE≡△BCE
となるので
CE=ED (D)
一方、やはり円周角により
△ABE∽△CDE (E)
(D)(E)により
BE:ED=BE:CE=AB:CD=1:2

No.43524 - 2017/06/01(Thu) 22:02:08

★ (No Subject) / 東大夢見る浪人生

（3）を教えてください！！

No.43510 - 2017/06/01(Thu) 16:13:40

☆ Re: / ヨッシー

ＢからＡＣ(の延長)に下ろした垂線の足をＦ、
点ＧをＣＧ//ＢＦ、ＤＧ//ＡＣとなるように取ると
　△ＣＦＢ∽ＣＧＤ
であり、
　ＣＧ＝ＣＦ×(ＣＤ/ＢＣ)＝１
よって、
　ＢＥ：ＤＥ＝ＢＦ：ＣＧ＝３：１
よって、ＤＥはＢＤの１／４の長さとわかります。

（図はデフォルメしてあります）

No.43512 - 2017/06/01(Thu) 16:41:10

★ 中学受験算数問題　速さ / ぶどう

くわしい解説ありがとうございました。
もう一問分からない問題があるので教えてください。
********************************************
家から駅まで分速45mで行くと、分速60mで行くより
12分遅く付きます。
家から駅までは何mありますか?

答え　2160
*********************************************
です。　よろしくお願いします。

No.43508 - 2017/06/01(Thu) 14:05:26

☆ Re: 中学受験算数問題　速さ / ヨッシー

45と60の最小公倍数180 を使って、以下のように考えます。
もし、家から駅まで 180 m だったら？
　180/45－180/60＝1
分速45m の方が１分遅く着きます。距離と時間の差は比例します。
１２分差がつくためには、
　180×12＝2160(m)

No.43509 - 2017/06/01(Thu) 15:50:25

☆ Re: 中学受験算数問題　速さ / ぶどう

くわしい解説ありがとうございました。

No.43511 - 2017/06/01(Thu) 16:24:38

★ 中学受験算数問題（小6） / ぶどう

わからない問題があるので教えてください。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄにはそれぞれことなる1ケタの数は入ります

　式　　Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ
　　×　　　　　　　4
------------------------　
　　　　Ｄ　Ｃ　Ｂ　Ａ

4ケタの数字　ＡＢＣＤは　いくらですか

答え　　2178　　
どのように考えて答えを出せばいいでしょうか？
よろしくお願いします。

No.43501 - 2017/06/01(Thu) 11:54:12

☆ Re: 中学受験算数問題（小6） / ヨッシー

千の位Ａに４を掛けて繰り上がっていないことと、
答えの一の位Ａは偶数(４を掛けているため)であることから
Ａ＝２は確定。
この結果Ｄは８か９が入りますが、答えの一の位が２であることから
Ｄ＝８が確定します。
百の位Ｂに４を掛けて繰り上がらないので、Ｂは０か１です。
そこで２通りの式
　２０Ｃ８×４＝８Ｃ０２
　２１Ｃ８×４＝８Ｃ１２
を考えますが、一の位の　８×４　で３(奇数)が繰り上がっているので、
Ｂ＝１と判明します。
　２１Ｃ８×４＝８Ｃ１２
が成り立つようにＣを決めると　Ｃ＝７とわかります。
　
　

No.43503 - 2017/06/01(Thu) 13:07:56

☆ Re: 中学受験算数問題（小6） / angel

着目するとしたら、
　先頭・末尾の桁
　桁の数字の偶奇( ×4なので )
　桁の繰り上がり

まず、千の桁で繰り上がりが起こってませんから、Aは1か2 ( 先頭桁なので0はなし )
で、一の位を見るとAは偶数なのでA=2
同時にDは3か8ですが、千の位に大きさが合うのは8だけ。

後はB,Cですが、百の位から繰り上がりがないことに注意して。
( 千の位が 2×4→8 なので )
すると、重複した数が使えないこともあり、Bは0か1
ここで十の位を見ると、一の位からの繰り上がり3があるのでBは奇数、なのでBは1
残ったCは…まあ、いいですよね。

No.43504 - 2017/06/01(Thu) 13:11:16

★ (No Subject) / Sophia 2007

四角形ABCDは円Oに内接し、各辺の長さはAB=1,BC=1,CD=2,DA=3である。このとき、3辺BC,CD,DAに接する円の面積を求めよ。

宜しくお願いします。

No.43497 - 2017/06/01(Thu) 02:16:38

☆ Re: / ヨッシー

∠ＡＤＣ＝θ とすると ∠ＡＢＣ＝π－θ
ＡＣ^2 を△ＡＢＣ、△ＡＣＤにおける余弦定理でそれぞれ表すと
　ＡＣ^2＝１＋１＋２cosθ
　ＡＣ^2＝４＋９－１２cosθ
これより、　cosθ＝11/14
同様に ∠ＢＣＤ＝φ とおくと、
　cosφ＝－1/2
これらより
　sin(θ/2)＝√(3/28)、cos(θ/2)＝5/√28、tan(θ/2)＝√3/5
　sin(φ/2)＝√3/2、cos(φ/2)＝1/2、tan(φ/2)＝√3
が求められます。　

面積を求める円の中心をＩ、ＩからＣＤに下ろした垂線の足をＨとします。
ＩＨが求める半径となり、これをｒと置きます。
　ＣＨ＝ｒ/tan(θ/2)＝5r/√3
　ＤＨ＝ｒ/tan(φ/2)＝r/√3
よって、
　ＣＤ＝ＣＨ＋ＤＨ＝(2√3)ｒ＝２
　ｒ＝1/√3
求める面積は
　πｒ^2＝π/３

No.43500 - 2017/06/01(Thu) 10:27:57

★ (No Subject) / とあるlinguist

"e^x≧1+xが成り立つ"ことと、"e^(-x²)≧1-x²が成り立つ"ことは同値ですか？

No.43490 - 2017/05/31(Wed) 22:39:59

☆ Re: / IT

ともに任意の実数ｘについて真ですから、同値だと思います。

No.43493 - 2017/05/31(Wed) 23:00:58

☆ Re: / WIZ

eは自然対数の底、大小比較があるからxは実数と解釈してコメントします。

同値というのは互いに必要十分条件になっているということですよね?

"e^x≧1+xが成り立つ"ならば、"e^(-x²)≧1-x²が成り立つ"ことは言えますので、
"e^x≧1+xが成り立つ"は"e^(-x²)≧1-x²が成り立つ"の十分条件です。
そして、"e^(-x²)≧1-x²が成り立つ"は"e^x≧1+xが成り立つ"の必要条件です。

しかし、"e^(-x²)≧1-x²が成り立つ"ならば、"e^x≧1+xが成り立つ"とは言えないので、
互いに必要十分条件になっているとは言えず、同値ではないと思います。

# "e^(-x²)≧1-x²が成り立つ"かつ"x≦0"ならば、"e^x≧1+xが成り立つ"とは言えますが。

No.43502 - 2017/06/01(Thu) 11:55:43

★ (No Subject) / A

問題のシ、スの解き方がわかりません。誰か教えてください。解答がないのでどうすればいいかわかりません><

No.43487 - 2017/05/31(Wed) 20:23:10

☆ Re: / angel

まず「垂直になるようにする」と言っているわけですから、△ABCを床、△ADCを垂直な壁にしたテントを作るような感じになるのです。
なので、△ADCの、辺ACに対する高さがそのまま錐体の高さです。( 添付の図左上参照 )

そうすると、Dが動くにつれ「高さ」も変化します。( 添付の図右上参照 )

で、底面△ABCは固定されているわけなので、体積が最大になるのは高さが最大になるとき。つまりACから最も離れた点にくる時であり、OD⊥ACの時です。ちょうどこの時ODはACの垂直二等分線でもあります。( 添付の図左下参照 )

あとはADをどう求めるか、ですが、∠AOD=∠B であることを利用して、半角の三角比を使う ( AD=2r・sin(∠AOD/2) ) か、その方法が良く分からなければ、ちょっと遠回りになりますが、
　OH=r・cos∠AOD
　HD=r-OH
　AH=1/2・AC
　AD^2=AH^2+HD^2
から求めても良いです。( rは円の半径 )

No.43491 - 2017/05/31(Wed) 22:52:07

☆ Re: / angel

あ、ちなみにシスの部分の答えADは2√2です。

No.43492 - 2017/05/31(Wed) 22:53:11

☆ Re: / A

本当にありがとうございます！こんなに早くわかりやすい解答が得られて大変助かりました。これからも頑張ります。本当に助かりました！

No.43495 - 2017/05/31(Wed) 23:54:47

★ (No Subject) / K

次の初期値問題を解いてください
x^3y'''+xy'-y=8x^3 y(1)=0,y'(1)=0, y''(1)=0

オイラーコーシーの方程式を解いて、y＝x,xlnxが二基底であることがわかったんですが、残りひとつはどうやって求めますか？
ふたたびy３＝uxlnxとおいて代入してuを求めるしかないですか？

No.43485 - 2017/05/31(Wed) 18:35:26

☆ Re: / angel

三重解だから、x, xlnx, x(lnx)^2 の3基底じゃないでしょうか?

No.43505 - 2017/06/01(Thu) 13:13:34

☆ Re: / K

どうしてすぐにわかったのですか？

No.43506 - 2017/06/01(Thu) 13:39:26

☆ Re: / angel

「すぐに」…と言う事は、三重解、四重解等の話は見たことない、ということですか。
想像がつくかも知れませんが、x(lnx)^2, x(lnx)^3 と、lnx の指数が増えた分が基底に加わっていきます。
※正しくは lnx じゃなくてln|x| ですか。

導くには、
　y=xu, xy'-y=xv
として u,v の関係、u'=v/x をまず出します。
つまり u=∫(v/x)dx ですね。

(ln|x|)'=1/x ですから、
v=1 なら u=ln|x|
v=ln|x| なら u=1/2・(ln|x|)^2
…
といった具合に、指数部分がどんどん増えていくのです。

No.43520 - 2017/06/01(Thu) 21:26:15

★ (No Subject) / Ｋ

f(x)=x(a<x<a+2L)のフーリエ級数を求めよという問題で二通りで解いた結果が違うように思われたので質問させていただきます
[解法１]
フーリエ級数の公式通り、そのまま計算しました
すると計算結果がf(x)=a+L+Σ[m=1,∞]2L/(mπ)×sinmπ(a-x)/L・・・?@になりました

[解法２]
g(x)=x(-L<x<L)のフーリエ級数を求めて、それをa+Lだけ平行移動しました
g(x)=x(-L<x<L)のフーリエ級数は
g(x)=Σ[m=1,∞]2L(-1)^(m+1)/(mπ)×sinmxになったので
f(x)はa+Lだけ平行移動して
f(x)=a+L+Σ[m=1,∞]2L(-1)^)m+1)/mπ×sinm{x-(a+L)}・・・?A
になりました

?@と?Aは異なりますよね？
どうして一致しないのでしょうか？
どちらが正解なのですか？

No.43484 - 2017/05/31(Wed) 16:59:38

☆ Re: / X

解法2のg(x)のフーリエ展開が間違っていますね。
-L＜x＜L
となっていますので
-π＜πx/L＜π
ということで
g(x)=Σ[m=1～∞]b[m]sin(mπx/L)
と展開できるとして計算する必要があります。

No.43486 - 2017/05/31(Wed) 18:54:04

☆ Re: / K

奇関数よりa０とamは０になるので
xsin(mπx/L)を-πからπで積分すればいいのですか？

No.43488 - 2017/05/31(Wed) 21:43:46

☆ Re: / Ｋ

解決しました！

g(x)をa+Lだけ平行移動したとき、Σの前にa+Lをつけなければならないのはなぜですか？
（解法１の結果上a+Lが必要なのはわかるのですが、ｘ軸方向に平行移動した限りa+Lを加えなければならない理由がわかりません）

No.43494 - 2017/05/31(Wed) 23:28:32

☆ Re: / X

ごめんなさい。
以前No.43344のKさんのご質問に対する回答でも
平行移動としてNo.43484の解法2と同様の回答
を提示しましたが、これらは
f(x)=x(a<x<a+2L) (A)
を
f(x)=x-(a+L)(a<x<a+2L)
と混同していたことによる誤りです。
f(x)を(A)とするのであれば
g(x)=x(-L<x<L)
に対するフーリエ展開を
x軸,g(x)の方向にそれぞれa+L
だけ平行移動する必要があります。

No.43498 - 2017/06/01(Thu) 06:13:19

☆ Re: / X

＞＞xsin(mπx/L)を-πからπで積分すればいいのですか？
積分範囲は-LからLです。

No.43499 - 2017/06/01(Thu) 06:15:59

☆ Re: / K

どうしてg(x)方向にも平行移動するのですか？

No.43507 - 2017/06/01(Thu) 13:40:36

☆ Re: / X

f(x)=x(a<x<a+2L)
は
g(x)=x(-L<x<L)
をx軸方向にのみ平行移動したものではない
からです。
もしf(x)がg(x)をx軸方向にa+Lだけ平行移動
しただけであれば
f(a+L)=g(0)=0
とならなければなりません(必要条件)。
しかし
f(a+L)=a+L≠0
です。

No.43513 - 2017/06/01(Thu) 16:48:49

★ 級数評価と極限 / ICE

問.lim[n→∞][{(n!)}^(1/n)]/n の値を求めよ。

とりあえずlogをとって階乗項をバラしてみたのですが、どう評価すればよいのか分からず…。よろしくお願いします！

No.43476 - 2017/05/30(Tue) 22:51:26

☆ Re: 級数評価と極限 / X

はさみうちの原理を使います。

n→∞を考えるので
n≧2
としても問題ありません。
このとき
0＜n!＜n^n
∴0＜{{√(n!)}^(1/n)}/n＜{{√(n^n)}^(1/n)}/n
これより
0＜{{√(n!)}^(1/n)}/n＜(√n)/n
0＜{{√(n!)}^(1/n)}/n＜1/√n
よってはさみうちの原理により
(与式)=0
となります。

No.43478 - 2017/05/31(Wed) 00:34:12

☆ Re: 級数評価と極限 / ICE

>>Xさん

問題の入力ミスがありました。

正しくは、

lim[n→∞][{n!}^(1/n)]/n の値を求めよ。

でした。せっかく解いていただいたところ、申し訳ございません。こちらの場合、そのままの状態ではさみうちの原理を適用するのは困難ですよね…。

No.43489 - 2017/05/31(Wed) 22:07:53

☆ Re: 級数評価と極限 / らすかる

∫[1～n]logxdx＜log1+log2+log3+…+logn＜∫[1～n+1]logxdx を使えば
はさみうちでできますね。

No.43496 - 2017/06/01(Thu) 01:43:55

☆ Re: 級数評価と極限 / ICE

>>らすかるさん

ありがとうございました！無事解決しました。

No.43563 - 2017/06/03(Sat) 10:28:38

★ (No Subject) / 東大夢見る浪人生

（2）（3）を教えてください。

No.43475 - 2017/05/30(Tue) 22:40:22

☆ Re: / X

(2)
(1)の結果により
b[n]=2^(n+2)=2^{(n-1)+3}
=8・2^(n-1) (A)
後は等比数列の和の公式を使って
S[n]を求めます。

(3)
前半)
(A)により
T[1]=b[1]c[1]={2^(1+2)}・1
=8

後半)
条件から
T[n]=Σ[l=1～n]b[4(l-1)+1]c[4(l-1)+1]+Σ[l=1～n]b[4(l-1)+2]c[4(l-1)+2]
+Σ[l=1～n]b[4(l-1)+3]c[4(l-1)+3]+Σ[l=1～n]b[4l]c[4l] (B)
と分けることができます。
c[4(l-1)+m]=m(m=1,2,3)
c[4l]=0
であることに注意すると(B)は
T[n]=Σ[l=1～n]b[4(l-1)+1]+2Σ[l=1～n]b[4(l-1)+2]+3Σ[l=1～n]b[4(l-1)+3]
更に(A)を使うと
T[n]=Σ[l=1～n]8・2^{4(l-1)}+2Σ[l=1～n]8・2^{4(l-1)+1}+3Σ[l=1～n]8・2^{4(l-1)+2}
=Σ[l=1～n]8・16^(l-1)+2Σ[l=1～n]16・16^(l-1)+3Σ[l=1～n]32・2^(l-1)
=…
(等比数列の和の公式を使います。)

No.43479 - 2017/05/31(Wed) 00:46:21

★ 三つ以上の点を通る円 / アクア

書き出さない方法を教えて下さい！

No.43472 - 2017/05/30(Tue) 21:52:21

☆ Re: 三つ以上の点を通る円 / らすかる

9個の点から4点を選んで長方形（正方形を含む）になるのは
傾いていない長方形が3C2×3C2=9通り、
45°傾いた正方形が1通りなので計10通り
9個の点から4点を選んで等脚台形（長方形を含まない）になるのは4通り
よって4つの点を通る円は14個

9個の点から3点を選ぶ方法は9C3=84通り
そのうち上記四角形の頂点のうちの3点を選んでしまうのは14×4C3=56通り
一直線に並ぶ3点は縦3横3斜め2の計8通り
よってちょうど3つの点を通る円は84-56-8=20個

従って3つ以上の点を通る円は14+20=34個

# 書き出さなくても、実際にどんなパターンがあるかは
# ある程度考える必要があります。

No.43473 - 2017/05/30(Tue) 22:26:57