ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 名無し

すいません、(2)の質問ですが、頂点ってどうやって出せば良いのですか？
あと、私の認識が間違っていなければ、(2)は『もしg=mがグラフだった場合どんな放物線になるのか、そして最小値はどこなのか』であってますよね？
よろしくお願いします。

No.43418 - 2017/05/28(Sun) 12:25:15

☆ Re: / X

>>(2)は『もしg=mがグラフだった場合～
間違っています。
(2)は
mの関数gの最小値を求めよ。
ということです。
つまり(1)の結果を使い、横軸にm、縦軸にgを
取ったグラフ(（添付されている画像の右下
のグラフですね)を描いてgの最小値を求める
のが方針になります。
このグラフは(1)の結果によりmの値の範囲
によって場合分けして描かれており、放物線
となっているのは飽くまで「グラフの一部」
です。

このグラフを描くに当たり注意することは
場合分けしているmの値の範囲において、
対応しているgがmの二次関数であるとき
頂点がそのmの値の範囲に含まれているか否か
ということです。
この問題においては
m＜-7/2 (A)のとき
g=m^2+8m+10
ですがこれは
g=(m+4)^2-6
により頂点のm座標は-4となり
(A)に含まれています。

No.43425 - 2017/05/28(Sun) 13:20:22

★ 極限 / ももか

こんにちは。以下の問題を教えて下さい。
2つの数列｛an｝,｛bn｝が、a1≦a2≦・・・≦an≦・・・≦bn≦・・・≦b2≦b1でbn-an→0（n→∞）を満たすならば、lim｛n→∞｝an＝lim｛n→∞｝bnとなることを示せ。
と言う問題です。
感覚的にはわかるのですが、どう示したら良いのでしょうか？

No.43417 - 2017/05/28(Sun) 12:09:32

☆ Re: 極限 / X

方針を。
a[1]≦a[2]≦・・・≦a[n]≦・・・≦b[n]≦・・・≦b[2]≦b[1]
から
{a[n]}は上に有界な単調増加列
{b[n]}は下に有界な単調減少列
ですのでいずれも極限を持ちます。
後は
lim[n→∞]a[n]=α
lim[n→∞]b[n]=β
(α、βは有限確定値)
と置いて
α=β
を示します。

No.43421 - 2017/05/28(Sun) 12:58:18

★ 数列 / 名無し

画像の問題の解き方が分かりません。お願いします！

No.43411 - 2017/05/28(Sun) 11:20:18

☆ Re: 数列 / WIZ

a[n] = (1-2+3-4+・・・-2n)/√(n^2-1)とおきます。

a[n] = {(Σ[k=1, n]{2k-1})-(Σ[k=1, n]{2k})}/√(n^2+1)
= {(2n(n+1)/2-n)-(2n(n+1)/2)}/√(n^2+1)
= -n/√(n^2+1)
= -1/√(1+1/(n~2))

n→∞のとき、a[n]→-1となります。

No.43412 - 2017/05/28(Sun) 11:39:18

☆ Re: 数列 / 名無し

2行目の計算は思い付くしかないのですか？
また、3行目の式はなぜそういう感じになるのですか？どう変形したのですか。

No.43415 - 2017/05/28(Sun) 11:53:11

☆ Re: 数列 / 名無し

3行目というのは、((2n(n+1)/…という部分です、

No.43416 - 2017/05/28(Sun) 11:55:14

☆ Re: 数列 / WIZ

数学に限らず、どんな問題でも何かしら思い付かないと解けないと思いますよ。

> 2行目の計算は思い付くしかないのですか？

1-2+3-4+・・・-2n から (Σ[k=1, n]{2k-1})-(Σ[k=1, n]{2k}) への変形ですね?
等差数列の和の公式(?)を使うため、正の項と負の項に分けて和を取っただけです。
(1+3+・・・+(2n-1))-(2+4+・・・+(2n))という風に変形した訳ですね。

> また、3行目の式はなぜそういう感じになるのですか？どう変形したのですか。
> 3行目というのは、((2n(n+1)/…という部分です、

(Σ[k=1, n]{2k-1})-(Σ[k=1, n]{2k}) から (2n(n+1)/2-n)-(2n(n+1)/2) への変形ですね?

Σ[k=1, n]{2k-1} = 1+3+・・・+(2n-1)
Σ[k=1, n]{2k} = 2+4+・・・+(2n)
だから、等差数列の和の公式(?)を使っても良かったのですが、私は、
Σ[k=1, n]{2k-1} = 2(Σ[k=1, n]k)-(Σ[k=1, n]1) = 2(n(n+1)/2)-n
Σ[k=1, n]{2k} = 2(Σ[k=1, n]k) = 2(n(n+1)/2)
と変形してしまいました。

Σ[k=1, n]k = n(n+1)/2 と Σ[k=1, n]1 = n が思い付けないと、厳しい変形だったかもしれません。

No.43426 - 2017/05/28(Sun) 13:24:07

★ (No Subject) / 名無し

すいません、
(1)の質問ですが
回答としては

a<0のとき
最小値　４（x=0）

0≦a<3/2,3/2<a≦3のとき
最小値　-a^2+4 (x=a)

a=3/2のとき
最小値7/4 (x=3/2)

a>3のとき　
最小値-6a+13 (x=3)

でもいいでしょうか？
よろしくおねがいします

No.43407 - 2017/05/28(Sun) 07:01:31

☆ Re: / X

書き方としてはそれでも問題ありません。
(間違ってはいませんので。)
只、
a=3/2のとき (A)
の最小値は
0≦a<3/2,3/2<a≦3のとき (B)
の最小値にa=3/2を代入した値と
等しくなっていますので、
(A)(B)をまとめて
0≦a≦3のとき
の最小値を答えておいた方が
合理的です。
(実際、模範解答ではそうなっています。)

No.43408 - 2017/05/28(Sun) 11:15:40

★ (No Subject) / 名無し

すいません、グラフの質問なのですが、(1)の解答に『1<a<3のとき』とありますが、どうして『1<a』としないといけないのですか？問題文には『a>1とする』ってかいてあるじゃないですか..

よろしくお願いします。

No.43401 - 2017/05/27(Sat) 19:32:01

☆ Re: / angel

いや、気分的には確かに要らないと思いますが。

ただ、問題の解答ってのは「このように解けます」ということを、他の人に説明するものでもあるので。
単に a＜3 と書いた場合、
　・a＞1 という前提があるので 1＜a＜3 から省略している
　・a＞1 という前提を忘れて話をしている
のどちらかを悩ませてしまう ( 誤解させる恐れがある ) という意味で、私は1＜a＜3の方で書くようにしていますね。

No.43403 - 2017/05/27(Sat) 20:33:56

★ (No Subject) / とうふ

この問題の計算過程を教えてください。あと7番と8番の場合分けを教えてほしいです。

No.43398 - 2017/05/27(Sat) 16:25:31

☆ Re: / X

微分せよ、という問題であると仮定して回答を。

(2)
(与式)=(sinx)・{(cosx)^5}
と見て、積の微分を使います。
その際、(cosx)^5に対しては合成関数の微分を
使います。

(7)
合成関数の微分により
(arcsin(cosx))'=(-sinx)/√{1-(cosx)^2}
=(-sinx)/|sinx|
後はxの値について場合分けをして
分母の絶対値を外します。

(8)
(7)と同様です。

No.43402 - 2017/05/27(Sat) 19:36:29

☆ Re: / とうふ

問題文を書いていませんでした。失礼しました。微分するであっています。2番について聞きたいです。解答があってないと思うんですが、どうでしょうか？

No.43440 - 2017/05/28(Sun) 22:09:42

☆ Re: / とうふ

7番の場合分けで、sinxが負のときの、表し方はこれでも正解ですか？、

No.43443 - 2017/05/28(Sun) 22:48:10

★ 無限級数の問題 / とうふ

この問題の解き方を教えてください！

No.43395 - 2017/05/27(Sat) 16:17:34

☆ Re: 無限級数の問題 / angel

1/n(n+1) - 1/(n+1)(n+2) = 2/n(n+1)(n+2) であることを利用しましょう。

例えば、無限ではなくて n=1～3 であれば、和は

　1/(1・2・3) + 1/(2・3・4) + 1/(3・4・5)
　= 1/2・( 1/(1・2)-1/(2・3) ) + 1/2・( 1/(2・3)-1/(3・4) ) + 1/2・( 1/(3・4)-1/(4・5) )
　= 1/2・( 1/(1・2) - 1/(4・5) )

のように計算できます。( 現れる + の項と - の項が色々相CENSOREDる )

No.43397 - 2017/05/27(Sat) 16:23:09

★ 相似 / キルキン

この図形で△ADPが△ABPと相似になる理由を2角が等しいという点から教えて下さい。

問題そのものはAB:ADの比を求めものです。

No.43393 - 2017/05/27(Sat) 16:04:17

☆ Re: 相似 / angel

うーん、この説明間違ってるように見えますが。
∠ADP=∠ABPではなく、∠ADP=∠BAP でしょう。

なお、大前提として ( □ABCDが長方形というのもそうですが ) AP⊥BD ということです。でなければ、そもそも △PAD∽△PBA になりません。
※推測するに、問題自体は別のところに書いてあって、この文面は解説になっているのでしょうか

で、
　∠APB=90°
　∠DAP+∠BAP=90°
　∠BAP+∠ABP+∠APB=180°
という条件から、∠DAP=∠ABP となります。

なお、一般に直角三角形の直角の頂点から斜辺に垂線を下すと、元の直角三角形に相似な2つの直角三角形に分かれます。

No.43396 - 2017/05/27(Sat) 16:18:55

☆ 相似 / キルキン

ありがとうございました。
やはり解説が少しズレていますよね、解説頂け相似になる理由がわかりました。直角三角形はそういうものなのですね。

問題には他の定義が添付の通り書いてありました。

No.43400 - 2017/05/27(Sat) 17:37:50

★ (No Subject) / 名

写真赤線部の事なのですが、何故こうなるのでしょうか…「何回でも3で割る事ができる＝ r≠0である事に矛盾」というのが何故成り立つのかがわかりません…

No.43390 - 2017/05/27(Sat) 15:06:31

☆ Re: / 名

なぜか逆さになってしまいました…すみません…

No.43391 - 2017/05/27(Sat) 15:11:09

☆ Re: / angel

「何回でも3で割る事ができる」までは大丈夫ということでしょうか。

結論から言うと「何回でも3で割ることができる ( 割り切れる )」整数は 0 しかないからです。

例えば 162 ( = 2×3^4 ) であれば、
　162÷3=54, 54÷3=18, 18÷3=6, 6÷3=2
のように、4回3で割ったらもう割れなくなりますね。

どんな整数であっても、素因数分解した時の 3 の指数分しか割れないから…と言ってもいいですし、( 0 でないとすれば ) 3で割るたびに絶対値が減少して行って 1 か 2 になってそこで割れなくなるから…とか、そういう説明ができます。
※無限に減るはずけど限界があるから無理、という話なので無限降下法

No.43394 - 2017/05/27(Sat) 16:05:56

★ 母分散 / ひろ

1から99までの数字が等しい確率ででる機械を母集団と考え、でた数字を確率変数とする。母分散はいくらか。
答えは約817なのですが、なぜそうなるかわかりません。
どうぞよろしくお願いいたします。

No.43385 - 2017/05/27(Sat) 10:30:19

☆ Re: 母分散 / angel

「母」とついていますが、要は分散です。

なので、
　(分散)=(二乗の値の期待値) - (期待値)^2
です。

今回、N=99 に対して 1～N が等確率 1/N で出るので、
　(二乗の値の期待値) = 1/N・Σ[k=1,N] k^2
　(期待値) = 1/N・Σ[k=1,N] k
ですね。

No.43399 - 2017/05/27(Sat) 16:27:44

☆ Re: 母分散 / ひろ

ありがとうございます

No.43406 - 2017/05/27(Sat) 23:14:32

★ arctan(x)のマクローリン展開について。 / たなお

arctan(x)のマクローリン展開について質問があります。

arctan(x)のマクローリン展開を求める時、マクローリン展開の定義通りに求めるのではなく、等比数列の和を利用して求めたりしますよね？

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
(arctan(x))' = 1/(1+x^2)

右辺を、公比が-x^2の等比数列の和として考えると

1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ・・・

両辺を積分して

arctan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ・・・
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

変形の方法は理解できていますが、「等比数列の和を利用して求めた展開」を「マクローリン展開」として扱っていい理由が上手く理解できません。

結果が同じになるというのは、定義通り計算もして確かめてなんとなく理解できます。ただ、「等比数列の和を利用して求めた展開」がたまたま「マクローリン展開」と一致しただけのように思えてしまうのです。。。

「等比数列の和を利用して求めた展開」を「マクローリン展開」として扱える理由をどなたかご教授いただけないでしょうか。もしくはそれを説明しているURLを教えていただけないでしょうか。

よろしくお願い致します。

No.43381 - 2017/05/26(Fri) 21:11:07

☆ Re: arctan(x)のマクローリン展開について。 / angel

ベキ級数の一意性にある記述が参考になるかと思います。

No.43404 - 2017/05/27(Sat) 21:00:21

☆ Re: arctan(x)のマクローリン展開について。 / たなお

angelさん

ありがとうございます！大変参考になりました。
よく理解できました！

No.43405 - 2017/05/27(Sat) 22:22:25

★ (No Subject) / EX

A,B,C,D,E　の五文字を全部使ってできる順列を、ABCDEを一番目として、
辞書式に並べるとき、100番目の文字列は何か。

No.43379 - 2017/05/26(Fri) 19:39:10

☆ Re: / らすかる

A××××が4!=24個
B××××が4!=24個
C××××が4!=24個
D××××が4!=24個
なので
97番目はEABCD
98番目はEABDC
99番目はEACBD
100番目はEACDB

No.43389 - 2017/05/27(Sat) 12:34:39

★ 数列 / 東大夢見る浪人生

（3）を教えてください。

（1）の答えは d=1,An=2n-17
（2）の答えは n=8,Sn=64

No.43375 - 2017/05/26(Fri) 17:13:48

☆ Re: 数列 / 東大夢見る浪人生

訂正 Sn=-64
補足（3）の答えは分かっていません。

No.43376 - 2017/05/26(Fri) 17:16:19

☆ Re: 数列 / angel

1/(a[k]a[k+1])
=1/(a[k+1]-a[k])・(1/a[k]-1/a[k+1])
=1/d・(1/a[k]-1/a[k+1])

という関係がありますよね。( 等差数列のため。d は公差 )
こういう形を見たことはないでしょうか。

No.43377 - 2017/05/26(Fri) 18:07:07

★ 関数 / たゆたう

a,bは定数とする。一次関数f(x)=(a-1)x+3a, 二次関数g(x)=ax^2-2ax+bがあり-1≦x≦2とする。関数y=f(x)の最大値と関数y=g(x)の最大値、関数y=f(x)の最小値と関数y=g(x)の最小値がそれぞれ一致するとき、a,bの値を求めよ。という問題ですが、a<1とa>1の2つに分けて考えたのですがa,bの値がそれぞれ同じ数になりました。解き方を教えてください。

No.43374 - 2017/05/26(Fri) 15:57:31

☆ Re: 関数 / X

g(x)=a(x-1)^2+b-a
と変形できることと、y=g(x)の軸である
x=1
が定義域である
-1≦x≦2
の範囲内右寄りになっていることに注意すると
(i)a＜0のとき
y=f(x)のグラフは右下がりの直線
y=g(x)のグラフは上に凸の放物線
ですので
f(x),g(x)の最大値について
f(-1)=g(1)
つまり
-(a-1)+3a=b-a
整理して
3a-b=-1 (A)
f(x),g(x)の最小値について
f(2)=g(-1)
つまり
2(a-1)+3a=a+2a+b
整理して
3a-b=2 (B)
(A)(B)を同時に満たす(a,b)の値の組は
存在しないので不適。

(ii)0＜a＜1のとき
y=f(x)のグラフは右下がりの直線
y=g(x)のグラフは下に凸の放物線
ですので
f(x),g(x)の最大値について
f(-1)=g(-1)
つまり
-(a-1)+3a=a+2a+b
整理して
a+b=1 (C)
f(x),g(x)の最小値について
f(2)=g(1)
つまり
2(a-1)+3a=a-b
整理して
4a+b=2 (D)
(C)(D)を連立して解くと
(a,b)=(1/3,2/3)

(iii)a=1のとき
f(x)の最大値、最小値は等しい値
になるので不適。

(iii)1＜aのとき
y=f(x)のグラフは右上がりの直線
y=g(x)のグラフは下に凸の放物線
ですので
f(x),g(x)の最大値について
f(2)=g(-1)
つまり
2(a-1)+3a=a+2a+b
整理して
2a-b=2 (E)
f(x),g(x)の最小値について
f(-1)=g(1)
つまり
-(a-1)+3a=a-b
整理して
a+b=-1 (F)
(E)(F)を連立して解くと
(a,b)=(1/3,-4/3)
となりますが、これは
「aの値が仮定に矛盾する」
ので不適。

以上から
(a,b)=(1/3,2/3)
となります。

No.43380 - 2017/05/26(Fri) 20:17:33

☆ Re: 関数 / たゆたう

理解できました。ありがとうございました。

No.43383 - 2017/05/26(Fri) 23:01:00

★ (No Subject) / 名無し

すいません、これのaについての質問なのですが、私、2(x-3)^2-1に合わせるように、aが2だとおもったのですが、どうやら結果としては間違いみたいで..
どうして2ではないのですか？よろしくお願いします。

No.43370 - 2017/05/26(Fri) 11:01:41

☆ Re: / ヨッシー

グラフでいうと、ａは放物線の開き具合のようなものですが、
それと、頂点が一致することは関係ありません。
尖った放物線と、緩やかな放物線の頂点が一致することもあります。

No.43372 - 2017/05/26(Fri) 12:00:06

★ (No Subject) / 石楠花色に染まる世界

【問題】数列a[n]について、Σ[k=1～n]a[k]=Π[k=1～n]a[k](n≧1) が成立している。このとき、a[1]>1 ならば a[n]>a[n+1]>1 (n≧2) が成立することを示せ。

よろしくお願いします。

No.43369 - 2017/05/26(Fri) 10:07:14

☆ Re: / WIZ

nを自然数として、S(n) = Σ[k=1, n]a[k], T(n) = Π[k=1, n]a[k]とおきます。

S(n) = T(n)
⇒ S(n)+a[n+1] = T(n)+a[n+1]
⇒ S(n+1) = T(n+1) = T(n)+a[n+1]
⇒ T(n)a[n+1] = T(n)+a[n+1]
⇒ (T(n)-1)(a[n+1]-1) = 1

題意より、a[1] > 1です。
kを自然数として、a[1] > 1, a[2] > 1, ・・・, a[k] > 1とすると、T(k) > 1です。
T(k)-1 > 0と(T(k)-1)(a[k+1]-1) = 1からa[k+1]-1 > 0つまりa[k+1] > 1と言えます。
よって数学的帰納法により、任意の自然数nに対してa[n] > 1です。

次に、nを2以上の自然数として、(T(n)-1)(a[n+1]-1) = 1より、
a[n]-a[n+1]
= (a[n]-1)-(a[n+1]-1)
= 1/(T(n-1)-1)-1/(T(n)-1)
= {(T(n)-1)-(T(n-1)-1)}/{(T(n-1)-1)(T(n)-1)}
= {T(n)-T(n-1)}/{(T(n-1)-1)(T(n)-1)}
= {a[n]T(n-1)-T(n-1)}/{(T(n-1)-1)(T(n)-1)}
= (a[n]-1)T(n-1)/{(T(n-1)-1)(T(n)-1)}
> 0
# a[n] > 1, T(n-1) > 1, T(n) > 1だから上記が成立します。

以上より、nを2以上の自然数としてa[n] > a[n+1] > 1と言えます。

No.43371 - 2017/05/26(Fri) 11:43:49

☆ Re: / 石楠花色に染まる世界

ありがとうございました。

No.43387 - 2017/05/27(Sat) 11:30:23

★ 指数 / キルキン

この答えに行き着くまでの途中式を教えてください。

No.43368 - 2017/05/26(Fri) 10:04:44

☆ Re: 指数 / ヨッシー

答えが正しいとすると、与えられ得た問題の最初の
b/a は a/b であるべきです。

そうでないと、答えのようにはなりません。

No.43373 - 2017/05/26(Fri) 12:38:28

☆ Re: 指数 / キルキン

ありがとうございます、問題文の写し間違えでした。
こういうケアレスミスを問題を解く際にも恐らくしているので、なかなか解けるようにならないのかもしれません。。

No.43392 - 2017/05/27(Sat) 15:30:42