ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 名

写真赤線部の事なのですが、何故こうなるのでしょうか…「何回でも3で割る事ができる＝ r≠0である事に矛盾」というのが何故成り立つのかがわかりません…

No.43390 - 2017/05/27(Sat) 15:06:31

☆ Re: / 名

なぜか逆さになってしまいました…すみません…

No.43391 - 2017/05/27(Sat) 15:11:09

☆ Re: / angel

「何回でも3で割る事ができる」までは大丈夫ということでしょうか。

結論から言うと「何回でも3で割ることができる ( 割り切れる )」整数は 0 しかないからです。

例えば 162 ( = 2×3^4 ) であれば、
　162÷3=54, 54÷3=18, 18÷3=6, 6÷3=2
のように、4回3で割ったらもう割れなくなりますね。

どんな整数であっても、素因数分解した時の 3 の指数分しか割れないから…と言ってもいいですし、( 0 でないとすれば ) 3で割るたびに絶対値が減少して行って 1 か 2 になってそこで割れなくなるから…とか、そういう説明ができます。
※無限に減るはずけど限界があるから無理、という話なので無限降下法

No.43394 - 2017/05/27(Sat) 16:05:56

★ 母分散 / ひろ

1から99までの数字が等しい確率ででる機械を母集団と考え、でた数字を確率変数とする。母分散はいくらか。
答えは約817なのですが、なぜそうなるかわかりません。
どうぞよろしくお願いいたします。

No.43385 - 2017/05/27(Sat) 10:30:19

☆ Re: 母分散 / angel

「母」とついていますが、要は分散です。

なので、
　(分散)=(二乗の値の期待値) - (期待値)^2
です。

今回、N=99 に対して 1～N が等確率 1/N で出るので、
　(二乗の値の期待値) = 1/N・Σ[k=1,N] k^2
　(期待値) = 1/N・Σ[k=1,N] k
ですね。

No.43399 - 2017/05/27(Sat) 16:27:44

☆ Re: 母分散 / ひろ

ありがとうございます

No.43406 - 2017/05/27(Sat) 23:14:32

★ arctan(x)のマクローリン展開について。 / たなお

arctan(x)のマクローリン展開について質問があります。

arctan(x)のマクローリン展開を求める時、マクローリン展開の定義通りに求めるのではなく、等比数列の和を利用して求めたりしますよね？

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
(arctan(x))' = 1/(1+x^2)

右辺を、公比が-x^2の等比数列の和として考えると

1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ・・・

両辺を積分して

arctan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ・・・
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

変形の方法は理解できていますが、「等比数列の和を利用して求めた展開」を「マクローリン展開」として扱っていい理由が上手く理解できません。

結果が同じになるというのは、定義通り計算もして確かめてなんとなく理解できます。ただ、「等比数列の和を利用して求めた展開」がたまたま「マクローリン展開」と一致しただけのように思えてしまうのです。。。

「等比数列の和を利用して求めた展開」を「マクローリン展開」として扱える理由をどなたかご教授いただけないでしょうか。もしくはそれを説明しているURLを教えていただけないでしょうか。

よろしくお願い致します。

No.43381 - 2017/05/26(Fri) 21:11:07

☆ Re: arctan(x)のマクローリン展開について。 / angel

ベキ級数の一意性にある記述が参考になるかと思います。

No.43404 - 2017/05/27(Sat) 21:00:21

☆ Re: arctan(x)のマクローリン展開について。 / たなお

angelさん

ありがとうございます！大変参考になりました。
よく理解できました！

No.43405 - 2017/05/27(Sat) 22:22:25

★ (No Subject) / EX

A,B,C,D,E　の五文字を全部使ってできる順列を、ABCDEを一番目として、
辞書式に並べるとき、100番目の文字列は何か。

No.43379 - 2017/05/26(Fri) 19:39:10

☆ Re: / らすかる

A××××が4!=24個
B××××が4!=24個
C××××が4!=24個
D××××が4!=24個
なので
97番目はEABCD
98番目はEABDC
99番目はEACBD
100番目はEACDB

No.43389 - 2017/05/27(Sat) 12:34:39

★ 数列 / 東大夢見る浪人生

（3）を教えてください。

（1）の答えは d=1,An=2n-17
（2）の答えは n=8,Sn=64

No.43375 - 2017/05/26(Fri) 17:13:48

☆ Re: 数列 / 東大夢見る浪人生

訂正 Sn=-64
補足（3）の答えは分かっていません。

No.43376 - 2017/05/26(Fri) 17:16:19

☆ Re: 数列 / angel

1/(a[k]a[k+1])
=1/(a[k+1]-a[k])・(1/a[k]-1/a[k+1])
=1/d・(1/a[k]-1/a[k+1])

という関係がありますよね。( 等差数列のため。d は公差 )
こういう形を見たことはないでしょうか。

No.43377 - 2017/05/26(Fri) 18:07:07

★ 関数 / たゆたう

a,bは定数とする。一次関数f(x)=(a-1)x+3a, 二次関数g(x)=ax^2-2ax+bがあり-1≦x≦2とする。関数y=f(x)の最大値と関数y=g(x)の最大値、関数y=f(x)の最小値と関数y=g(x)の最小値がそれぞれ一致するとき、a,bの値を求めよ。という問題ですが、a<1とa>1の2つに分けて考えたのですがa,bの値がそれぞれ同じ数になりました。解き方を教えてください。

No.43374 - 2017/05/26(Fri) 15:57:31

☆ Re: 関数 / X

g(x)=a(x-1)^2+b-a
と変形できることと、y=g(x)の軸である
x=1
が定義域である
-1≦x≦2
の範囲内右寄りになっていることに注意すると
(i)a＜0のとき
y=f(x)のグラフは右下がりの直線
y=g(x)のグラフは上に凸の放物線
ですので
f(x),g(x)の最大値について
f(-1)=g(1)
つまり
-(a-1)+3a=b-a
整理して
3a-b=-1 (A)
f(x),g(x)の最小値について
f(2)=g(-1)
つまり
2(a-1)+3a=a+2a+b
整理して
3a-b=2 (B)
(A)(B)を同時に満たす(a,b)の値の組は
存在しないので不適。

(ii)0＜a＜1のとき
y=f(x)のグラフは右下がりの直線
y=g(x)のグラフは下に凸の放物線
ですので
f(x),g(x)の最大値について
f(-1)=g(-1)
つまり
-(a-1)+3a=a+2a+b
整理して
a+b=1 (C)
f(x),g(x)の最小値について
f(2)=g(1)
つまり
2(a-1)+3a=a-b
整理して
4a+b=2 (D)
(C)(D)を連立して解くと
(a,b)=(1/3,2/3)

(iii)a=1のとき
f(x)の最大値、最小値は等しい値
になるので不適。

(iii)1＜aのとき
y=f(x)のグラフは右上がりの直線
y=g(x)のグラフは下に凸の放物線
ですので
f(x),g(x)の最大値について
f(2)=g(-1)
つまり
2(a-1)+3a=a+2a+b
整理して
2a-b=2 (E)
f(x),g(x)の最小値について
f(-1)=g(1)
つまり
-(a-1)+3a=a-b
整理して
a+b=-1 (F)
(E)(F)を連立して解くと
(a,b)=(1/3,-4/3)
となりますが、これは
「aの値が仮定に矛盾する」
ので不適。

以上から
(a,b)=(1/3,2/3)
となります。

No.43380 - 2017/05/26(Fri) 20:17:33

☆ Re: 関数 / たゆたう

理解できました。ありがとうございました。

No.43383 - 2017/05/26(Fri) 23:01:00

★ (No Subject) / 名無し

すいません、これのaについての質問なのですが、私、2(x-3)^2-1に合わせるように、aが2だとおもったのですが、どうやら結果としては間違いみたいで..
どうして2ではないのですか？よろしくお願いします。

No.43370 - 2017/05/26(Fri) 11:01:41

☆ Re: / ヨッシー

グラフでいうと、ａは放物線の開き具合のようなものですが、
それと、頂点が一致することは関係ありません。
尖った放物線と、緩やかな放物線の頂点が一致することもあります。

No.43372 - 2017/05/26(Fri) 12:00:06

★ (No Subject) / 石楠花色に染まる世界

【問題】数列a[n]について、Σ[k=1～n]a[k]=Π[k=1～n]a[k](n≧1) が成立している。このとき、a[1]>1 ならば a[n]>a[n+1]>1 (n≧2) が成立することを示せ。

よろしくお願いします。

No.43369 - 2017/05/26(Fri) 10:07:14

☆ Re: / WIZ

nを自然数として、S(n) = Σ[k=1, n]a[k], T(n) = Π[k=1, n]a[k]とおきます。

S(n) = T(n)
⇒ S(n)+a[n+1] = T(n)+a[n+1]
⇒ S(n+1) = T(n+1) = T(n)+a[n+1]
⇒ T(n)a[n+1] = T(n)+a[n+1]
⇒ (T(n)-1)(a[n+1]-1) = 1

題意より、a[1] > 1です。
kを自然数として、a[1] > 1, a[2] > 1, ・・・, a[k] > 1とすると、T(k) > 1です。
T(k)-1 > 0と(T(k)-1)(a[k+1]-1) = 1からa[k+1]-1 > 0つまりa[k+1] > 1と言えます。
よって数学的帰納法により、任意の自然数nに対してa[n] > 1です。

次に、nを2以上の自然数として、(T(n)-1)(a[n+1]-1) = 1より、
a[n]-a[n+1]
= (a[n]-1)-(a[n+1]-1)
= 1/(T(n-1)-1)-1/(T(n)-1)
= {(T(n)-1)-(T(n-1)-1)}/{(T(n-1)-1)(T(n)-1)}
= {T(n)-T(n-1)}/{(T(n-1)-1)(T(n)-1)}
= {a[n]T(n-1)-T(n-1)}/{(T(n-1)-1)(T(n)-1)}
= (a[n]-1)T(n-1)/{(T(n-1)-1)(T(n)-1)}
> 0
# a[n] > 1, T(n-1) > 1, T(n) > 1だから上記が成立します。

以上より、nを2以上の自然数としてa[n] > a[n+1] > 1と言えます。

No.43371 - 2017/05/26(Fri) 11:43:49

☆ Re: / 石楠花色に染まる世界

ありがとうございました。

No.43387 - 2017/05/27(Sat) 11:30:23

★ 指数 / キルキン

この答えに行き着くまでの途中式を教えてください。

No.43368 - 2017/05/26(Fri) 10:04:44

☆ Re: 指数 / ヨッシー

答えが正しいとすると、与えられ得た問題の最初の
b/a は a/b であるべきです。

そうでないと、答えのようにはなりません。

No.43373 - 2017/05/26(Fri) 12:38:28

☆ Re: 指数 / キルキン

ありがとうございます、問題文の写し間違えでした。
こういうケアレスミスを問題を解く際にも恐らくしているので、なかなか解けるようにならないのかもしれません。。

No.43392 - 2017/05/27(Sat) 15:30:42

★ (No Subject) / Ｋ

x^2y''-xy'+2y=0の実数解を求めよ　とはどういうことですか
一般解はy=e(C1exp(ilnx)+C2exp(-ilnx))となったのですが、これが答えでいいのですか？

No.43362 - 2017/05/26(Fri) 00:29:58

☆ Re: / angel

y=x(C1exp(ilnx)+C2exp(-ilnx)) ではないでしょうか。
複素解ならそれで良いと思うのですが、今回は実数解という条件がありますから、
　exp(iθ)=cosθ+isinθ
を活かして、C1,C2の関係をもうちょっと調べてみては。

No.43378 - 2017/05/26(Fri) 19:11:29

★ (No Subject) / Ｋ

y''+y'-6y=0の一般解を求める時
「形式的にλ^2＋λ-6=0を解くとλ=-3,2より、一般解はy=C1e^(-3x)+C2e^(2x)である」
この程度の解答でよろしいですか？
もっと言えば、重解を持つ場合　例えば、y''+3.2y'+2.56y=0の一般解を求める時も、「形式的にλ^2+3.2λ+2.56=0を解くとλ=-1.6だから、一般解はy=(C1+C2x)e^(-1.6x)である」
この程度の解答でいいですか？
重解を求めた後にもう一つの解をみつけるため、y2=u(x)y1とおいて、u(x)を決定する作業は毎回解答に書かなくて良いですよね？　これは公式的なものですよね？

No.43351 - 2017/05/25(Thu) 23:16:09

☆ Re: / X

それで問題ないと思います。

No.43355 - 2017/05/25(Thu) 23:26:29

★ (No Subject) / Ｋ

y''=-ky(k>0)の一般解を求めてください
また実数解も求めてください

No.43347 - 2017/05/25(Thu) 23:05:02

☆ Re: / X

No.43351の質問内容を拝見する限り、特性方程式は
理解されているようですので、この問題にも
それを適用すれば問題ありません。

No.43357 - 2017/05/25(Thu) 23:28:19

☆ Re: / Ｋ

λ=i√kと虚数解になりますけど
いいんですか？

No.43358 - 2017/05/26(Fri) 00:17:58

☆ Re: / Ｋ

y=C1cos√kx+C2sin√kxですか？

No.43359 - 2017/05/26(Fri) 00:22:29

☆ Re: / X

λ=±i√kとなるので一般解は
y=Ce^(ix√k)+De^(-ix√k)
(C,Dは任意定数(但し複素数の範囲で))
となります。
これをオイラーの公式を使って変形すると
y=(C+D)cos(x√k)+i(C-D)sin(x√k)
C+D=C[1],i(C-D)=C[2]
(C[1],C[2]は(実数の)任意定数)
となるようにC[1],C[2]を選び、一般解は
y=C[1]cos(x√k)+C[2]sin(x√k)
とも書けます。

No.43361 - 2017/05/26(Fri) 00:29:26

☆ Re: / Ｋ

実数解というのはy=C[1]cos(x√k)+C[2]sin(x√k)のことですか？

No.43363 - 2017/05/26(Fri) 00:31:05

☆ Re: / X

形式上、式の中に複素数を含まないという意味であれば
その通りです。

No.43365 - 2017/05/26(Fri) 00:35:26

★ (No Subject) / Ｋ

f(x)=x(a<x<a+2π)のフーリエ級数とf(x)=x(-π<x<π)のフーリエ級数は同じですか？
同じであればその理由を、違うのであれば前者のフーリエ級数の求め方を教えてください

No.43344 - 2017/05/25(Thu) 22:31:11

☆ Re: / X

一般には同じになりません。
それで求め方ですが、ヒントだけ。
横軸にx、縦軸にf(x)を取ったグラフを考えるとき
前者のグラフは後者のグラフをx軸方向にaだけ
平行移動させたものとなっています。

No.43345 - 2017/05/25(Thu) 22:59:50

☆ Re: / Ｋ

aだけ平行移動なのですか？
a+πではなくて？

No.43348 - 2017/05/25(Thu) 23:05:58

☆ Re: / X

ごめんなさい。a+πですね。

No.43350 - 2017/05/25(Thu) 23:08:28

☆ Re: / Ｋ

ということは後者のフーリエ級数が
f(x)=2(sinx-1/2sin2x+1/3sin3x-・・・)なので
前者は
f(x)=2{sin(x-a-π)-1/2sin2(x-a-π)+1/3sin3(x-a-π)-・・・}ということですか？

No.43352 - 2017/05/25(Thu) 23:18:23

☆ Re: / X

後者のフーリエ級数がKさんの計算で正しければ
その通りです。

No.43354 - 2017/05/25(Thu) 23:24:30

☆ Re: / K

ありがとうございます！

No.43356 - 2017/05/25(Thu) 23:28:11

★ 行列の基本変形 / ぺんぎん

行列の基本変形をやってみたのですが答えが合っているかお願いします。○は行で<>は列を指しています。

No.43342 - 2017/05/25(Thu) 22:18:19

☆ Re: 行列の基本変形 / noname

後半の問いに関しては，基本変形に誤りはありませんが，基本変形において行または列で行っていることの記述が幾つか正しくないです．一度ご確認ください．

また，前半の問いについては，最初の基本変形に計算ミスが見られます．そうなると，それ以降の基本変形の計算に関しても見直す必要があるので，全体的にご確認いただくとよいかもしれません．

No.43367 - 2017/05/26(Fri) 09:07:26

★ 線型代数学でわからないところがあります。 / 線形アマ

この問題なのですが、
例題等を見てもよくわからず、困っています。
よろしくお願いします。

No.43335 - 2017/05/25(Thu) 18:55:32

☆ Re: 線型代数学でわからないところがあります。 / angel

んー、それは解き方の問題でしょうか。それとも概念や定義の問題でしょうか。

まず核 ( kernel ) というのは、写像を通した結果ゼロベクトルになる要素の集合 ( 部分空間 ) のことですが、そこは良いでしょうか。
つまり、Ａｘ=ｏというベクトル方程式の解ｘを求めるということになりますが、これは要するに連立1次方程式です。ガウスの消去法でできますね。

次に像 ( image ) ですが、これは生成元や基底の話を押さえてるでしょうか…? ということになりますが。どうでしょうか。

No.43343 - 2017/05/25(Thu) 22:30:54

★ 数列 / 東大夢見る浪人生

（2）,（3）を教えて下さい！

No.43330 - 2017/05/25(Thu) 17:08:48

☆ Re: 数列 / X

(1)
条件から
(1+d)+(1+3d)+(1+5d)=30
これより
9d=27
∴d=3
(2)
(1)の結果により
a[n]=1+3(n-1)=3n-2
∴Σ[k=1～n]a[k]=3Σ[k=1～n]k-Σ[k=1～n]2
=…
Σ[k=1～n]ka[k]=3Σ[k=1～n]k^2-2Σ[k=1～n]k
=…

(3)
前半)
{b[n]}を群数列として考え、
b[50]が第l群に含まれるとすると
第l群の初項、末項それぞれまでの
{b[n]}における項数について
1+Σ[k=1～l-1]k≦50≦Σ[k=1～l]k
これより
1+(1/2)l(l-1)≦50≦(1/2)l(l+1)
2+l(l-1)≦100≦l(l+1)
∴
l^2-l+2≦100 (A)
l^2+l≧100 (B)
(A)(B)を連立で解きます。
(A)より
l^2-l-98≦0
(1-√393)/2≦l≦(1+√393)/2
(B)より
l^2+l-100≧0
l≦(-1-√401)/2,(-1+√401)/2≦l
ここで
19=√361＜√393＜√400=20
20=√400＜√401＜√441=21
に注意すると
10＜(1+√393)/2＜21/2 (C)
19/2＜(-1+√401)/2＜10 (D)
∴(A)(B)より
(-1+√401)/2≦l≦(1+√393)/2 (E)
(C)(D)(E)により
19/2＜l＜21/2
となるのでlが自然数であることから
l=10
よって(1)の結果により
b[50]=a[10]=28

後半)
前半の結果を使うと
50-Σ[k=1～(10-1)]k=50-(1/2)・9・10=5
により
b[50]は第10群の第5項
であることが分かります。よって、
Σ[k=1～50]b[k]=Σ[k=1～9]ka[k]+5a[10]
=…((2)の結果を使います。)

No.43331 - 2017/05/25(Thu) 18:12:45

☆ Re: 数列 / Mr,108

（1）で数列は求めることができてるので
（2）のAkの部分をAnと考えΣ（3k-2）として計算してみてはどうでしょうか？
↑と同じように解けばΣKakもΣK（3k-2）として解けるのではないでしょうか？

No.43334 - 2017/05/25(Thu) 18:36:44