1から9までの番号が書かれた9枚のカードがある。 この中から6枚のカードを取り出して箱Aと箱Bに3枚ずつ分けて入れる。 このとき (箱Aのカードの番号)-(箱Bのカードの番号)=1 となる箱Aと箱Bのカードの組がちょうど2組できた。 箱Aと箱Bに入れられたカードの組合せは何通りか。 例えば A={2,4,6], B={1,5,7} は条件を満たす一例である(2-1=1 と 6-5=1)
かなり昔の「高校への数学」にあった問題なのですが よろしくおねがいします。
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No.86019 - 2023/07/26(Wed) 23:44:53
| ☆ Re: / らすかる | | | Aのカードをa,b,c(1≦a<b<c≦9)とします。 a=1のとき b,cは3〜9から二つ、b+1<cとなるように選ぶので6C2通り (3〜8から二つ選んで大きいほうに1足せばよい) このときBのカードのうち2枚はb-1,c-1と決まり、残りの1枚は 残りの4枚のうちのどれでもよいので4通り 従ってa=1の場合は6C2×4=60通り a≧2,b=a+1の場合 b,cは3〜9から二つ、b+1<cとなるように選ぶので6C2通り このときBのカードのうち2枚はa-1,c-1と決まり、残りの1枚は 残りの4枚のうちのどれでもよいので4通り 従ってa≧2,b=a+1の場合も6C2×4=60通り a≧2,c=b+1の場合 Aの箱はa≧2,b=a+1の場合の組み合わせでbだけa+1でなくc-1に変更すればよいので 上と同じく6C2通り このときBのカードのうち2枚はa-1,b-1と決まり、残りの1枚は 残りの4枚のうちのどれでもよいので4通り 従ってa≧2,c=b+1の場合も6C2×4=60通り a≧2,a+1<b,b+1<cの場合 a,b,cは2〜9から三つ、a+1<b,b+1<cとなるように選ぶので6C3通り (2〜7から三つ選んで小さい順に+0,+1,+2すればよい) このときBのカードのうち2枚はa-1,b-1,c-1のうち二つとなり、 残る1枚はa,b,c,a-1,b-1,c-1を除く3枚のどれかになればよいので 3C2×3=9通り 従ってa≧2,a+1<b,b+1<cの場合は6C3×9=180通り
よって全部で 60+60+60+180=360通り
# もし6C2,6C3を使ってはいけないのであれば # 6C2→(6×5)÷2、6C3→(6×5×4)÷(3×2)として下さい。
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No.86022 - 2023/07/27(Thu) 01:04:33 |
| ☆ Re: / ncr | | | ありがとうございました。 こたえがなかったので助かりました。
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No.86046 - 2023/07/28(Fri) 00:07:03 |
| ☆ Re: / ncr | | | ちなみに自分なりに考えて次の解答になりました。同じ答えになるのでこれでも大丈夫でしょうか。
Aに入る番号とBに入る番号を1つずつペアにして決めていく。 例えば A={2,4,6}, B={1,5,7} は (21)(65)(47) という風に。 以下 (21),(32),(43),(54),(65),(76),(87),(98) これらを「差1のペア」と呼びます。 題意を満たすABの決め方を、 まず「差1のペア」を二組選び(それは1〜8から隣接しない2数を選ぶことと同じでC[7,2]通り)、 さらに残る5数からAの要素とBの要素を1つずつ決める と考えて C[7,2]*P[5,2] 通り、としたいところですが、これだと「差1のペア」が3組のものも カウントしてしまいます。しかも「差1のペア」3組のものをトリプルカウントすることになる。 そして、「差1のペア」を3組選ぶのは、1〜8から隣接しない3数を選ぶのと同じでC[6,3]通り。
よって答えは、C[7,2]*P[5,2] - 3*C[6,3] = 420-60 = 360通り。
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No.86062 - 2023/07/28(Fri) 23:04:21 |
| ☆ Re: / らすかる | | | 大丈夫です。というか私の方法よりその計算の方が簡潔でいいですね。
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No.86067 - 2023/07/29(Sat) 00:37:11 |
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