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★ 不等式 / 名無し
これはある問題の解答の一部なのですが、3行目の変換は三角不等式によるものでしょうか？
また、等号成立はどうして以下のようになるのでしょうか？
No.83309 - 2022/09/03(Sat) 14:20:07
☆ Re: 不等式 / IT
> これはある問題の解答の一部なのですが、3行目の変換は三角不等式によるものでしょうか？

そうですね。

> また、等号成立はどうして以下のようになるのでしょうか？

ωの条件が明確でないので確実ではないですが、|ω|=1 が条件で、それと|1+i|=√2　から言える。ということのようですね。

複素平面を描いて考えると分かり易いと思います。
No.83310 - 2022/09/03(Sat) 15:12:21
★ (No Subject) / 名無し
一瞬で分かりました。ありがとうございます！
No.83308 - 2022/09/03(Sat) 11:47:49
★ 高校　因数分解 / 名無し
(x^2+10x)^2+25(x^2+10x)=(x^2+10x)(x^2+10x+25)になった理由が分かりませんよろしくお願いします。
No.83306 - 2022/09/03(Sat) 11:22:40
☆ Re: 高校　因数分解 / らすかる
x^2+10xをAとおいて因数分解してから元に戻せばわかりやすいと思います。
No.83307 - 2022/09/03(Sat) 11:27:27
★ 円周率の近似 / 大西
mを自然数、nを100以下の自然数、πを円周率とするとき、
|n/m−π|の最小値を与えるm,nの値を求めよ。
22/7がπの近似値として有名なのですが、これを求める方法は何かあるでしょうか？
No.83303 - 2022/09/03(Sat) 00:44:38
☆ Re: 円周率の近似 / らすかる
以前考えた方法があります。
円周率の連分数展開は[3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,…]
なので、これを途中で打ち切った
[3],[3,7],[3,7,15],[3,7,15,1],[3,7,15,1,292],…
は円周率に収束する近似分数列になります。
ただし、これは「より近い“次の”分数」をすべて網羅していませんので、
分子（or分母）の範囲が指定されているときに
最も近い分数を探すのには不都合です。
しかし、この連分数列を打ち切った列の末尾を半分から順次増やしていけば
「より近い“次の”分数」がすべて得られます。
整数部は（あまり意味がありませんので）半分にしないものとして、
[3],
[3,4],[3,5],[3,6],[3,7],
[3,7,8],[3,7,9],[3,7,10],[3,7,11],[3,7,12],[3,7,13],[3,7,14],[3,7,15],
[3,7,15,1],
[3,7,15,1,146],[3,7,15,1,147],…
は分子(or分母)の小さい順に「より近いもの」をすべて含む数列になります。
※末尾が偶数のときのちょうど半分は、一つ前より誤差が大きいことがあります。
※でも上の[3,7,15,1,146]はたまたま[3,7,15,1]より誤差が小さいです。

連分数ではイメージがわかりにくいと思いますので、分数に直したものを書きます。
最初の方の[3],[3,7],[3,7,15],[3,7,15,1],[3,7,15,1,292],…は
3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …
となっていて、間の13/4,16/5などを含んでいません。
後者の[3],[3,4],[3,5],[3,6],[3,7],[3,7,8],[3,7,9],…は
3, 13/4, 16/5, 19/6, 22/7, 179/57, 201/64, …
のように「一つ前より誤差の少ない“次の”分数」の分数列になっています。
従ってこの処理により、分子≦100では22/7が最良近似分数であることがわかります。
No.83304 - 2022/09/03(Sat) 02:48:22
☆ Re: 円周率の近似 / 大西
らすかるさんありがとうございます。

連分数列を打ち切った列の末尾を半分から順次増やしていくところが素晴らしい発想ですね。

説明も理解することができました。
ありがとうございました。
No.83305 - 2022/09/03(Sat) 09:23:38
★ 高校数学　整数 / 山田山
(イ)で整数nが6,4のみである理由が分かりません。
解説の最後の行の「-5,7,7,-5となる」から「従って…」の行間を教えて下さい。
よろしくお願いします。
No.83300 - 2022/09/02(Fri) 19:12:18
☆ Re: 高校数学　整数 / らすかる
-5は素数でなく7は素数。
No.83301 - 2022/09/02(Fri) 19:25:27
☆ Re: 高校数学　整数 / 山田山
回答ありがとうございます。
素数の認識に誤りがありました。
No.83302 - 2022/09/02(Fri) 19:32:58
★ 曲線外の点から曲線に2本の接線が引ける条件 / MATCH
高３数学IIIの問題です。

原点Oから曲線y=x²+1/x +a(x≠0)にちょうど2本の接線が引けるような定数aの値を求めよ。

という問題で、解答の指針には
曲線y=f(x)上の点(t,f(t))における接線が、曲線外の点(0,0)を通ることから、tの方程式が導ける。
このtの方程式が異なる２実数解をもつとき、原点からy=f(x)に2本の接線が引ける。

と書いてあるのですが、
このtの方程式が異なる２実数解をもつとき、原点からy=f(x)に2本の接線が引ける。
というのは、どうしてですか？
No.83298 - 2022/09/02(Fri) 09:09:46
☆ Re: 曲線外の点から曲線に2本の接線が引ける条件 / らすかる
例えばt=α,βが異なる2実数解のとき、
点(α,f(α))における接線と
点(β,f(β))における接線が両方とも(0,0)を通るわけですから、
原点からy=f(x)に
点(α,f(α))で接する接線と
点(β,f(β))で接する接線の2本が引けますね。
No.83299 - 2022/09/02(Fri) 12:15:13
☆ Re: 曲線外の点から曲線に2本の接線が引ける条件 / MATCH
ありがとうございます。
理解出来ました。
No.83311 - 2022/09/03(Sat) 16:11:45
★ 中2 方程式 / ゆみ
中学2年生です。
方程式の問題ですが、複雑でどうてもできません。教えていただきたいです。

答えはX300 Y186です。
No.83293 - 2022/09/01(Thu) 18:36:14
☆ Re: 中2 方程式 / ヨッシー
これも、
ｘ：令和３年度の卒業生
ｙ：令和４年度の男子の入学生
と与えられているのでこれを使います。

予備情報として、
令和３年の生徒数　合計：960人、男子：576人、女子：384人
令和３年度の卒業生　合計：ｘ人、男子：0.56ｘ人、女子：0.44ｘ人
令和４年度の入学生　合計：1.1ｘ人、男子：ｙ人、女子：ｙ−42人
を押さえておきます。
これを元に令和４年度の生徒数を計算すると
令和４年度の生徒数
　合計：960−ｘ＋1.1ｘ＝960＋0.1ｘ人
　男子：576−0.56ｘ＋ｙ人
　女子　384−0.44ｘ＋(ｙ−42)＝342−0.44ｘ＋ｙ

男子の割合が60%となった　の部分から
　576−0.56ｘ＋ｙ＝0.6(960＋0.1ｘ)　　・・・(i)
令和４年度の入学生の数より　
　1.1ｘ＝ｙ＋(ｙ−42)　　　　(ii)
(i)(ii) をそれぞれ展開して
　576−0.56ｘ＋ｙ＝576＋0.06ｘ
　ｙ＝0.62ｘ　　　・・・(i)'
　1.1ｘ＝2ｙ−42　・・・(ii)'
これらを解いて、
　1.1ｘ＝2×0.62ｘ−42
　1.1ｘ＝1.24ｘ−42
　0.14ｘ＝42
　ｘ＝300
　ｙ＝186
No.83294 - 2022/09/01(Thu) 19:01:19
☆ Re: 中2 方程式 / ゆみ
ヨッシー様

ありがとうございました！
がんばります！
No.83296 - 2022/09/01(Thu) 19:37:25
★ バネの縮みを力学的エネルギーで求めたい / U
床に一端を固定したバネ定数kの鉛直バネに質量Mの物体をのせたときのバネの縮みを力学的エネルギーでどうやって求められますか。
No.83291 - 2022/08/31(Wed) 23:21:06
★ 確率 / 義祐
何人かで次のゲームを行うことにしました。 53枚のカードのうち、1枚だけ「あたり」 と書かれたカードを用意します。 このカードをよく混ぜて、1つの山に重ねて置きます。 次 に、参加者各自が1~6の目が出る公平なサイコロを1回だけ投げ, カードを見ないよう にして出た目の数だけ山の上から順にとっていきます。 なお、一度とったカードは再度山に はもどさないこととします。このとき、手にしたカードの中に「あたり」のカードが入って いたら、そのカードをとった参加者を勝者と決定してゲームは終了します。 また,いずれの 参加者も「あたり」のカードをとることができなければ、このゲームは引き分けで終了する ものとします。 参加者が6人のとき、このゲームが引き分けで終了する確率を求めなさい。


当たりが上から数えて1〜36のどこにあるかで余事象をかんがえたのですが分かりません。教えてください。
No.83290 - 2022/08/31(Wed) 22:59:27
☆ Re: 確率 / IT
i枚目（i=1...53)のカードが「あたり」である確率は、すべて等しくそれぞれ1/53 です。
したがってn枚（n=1...53)引いたとき、どれかが「あたり」である確率はn/53 です。

６人をA,B,C,D,E,Fとします。
Aさんが引く枚数が１枚,2枚、....6枚である確率は、それぞれ1/6 なので、
Aさんが当たる確率は、
　(1/6)(1/53)+(1/6)(2/53)+(1/6)(3/53)+(1/6)(4/53)+(1/6)(5/53)+(1/6)(6/53)です。

６人の当たる確率はそれぞれ互いに等しく、２人が同時に当たることはないので、
１人が当たる確率を６倍すると誰かが当たる確率になると思います。

＃６人の参加者が引くカードの合計枚数で考えることもできますが、計算が面倒になります。
No.83292 - 2022/08/31(Wed) 23:59:32
☆ Re: 確率 / らすかる
> ＃６人の参加者が引くカードの合計枚数で考えることもできますが、計算が面倒になります。

合計枚数は6〜36で、枚数がmになる確率をP(m)とすると、大小の対称性
(a,b,c,d,e,fが出る確率と7-a,7-b,7-c,7-d,7-e,7-fが出る確率が同じ)から
P(21-k)=P(21+k)　(1≦k≦15)
となります。
よって
「あたりが出る確率」
=Σ[k=6〜36](k/53)P(k)
=(21/53)P(21)+Σ[k=6〜20](k/53)P(k)+Σ[k=22〜36](k/53)P(k)
=(21/53)P(21)+Σ[k=6〜20](k/53)P(k)+Σ[k=6〜20]{(42-k)/53}P(k)
=(21/53)P(21)+Σ[k=6〜20](42/53)P(k)
=(21/53)P(21)+(42/53)Σ[k=6〜20]P(k)
=(21/53)P(21)+(42/53){1-P(21)}/2
=(21/53)P(21)+(21/53){1-P(21)}
=21/53
なので
引き分けで終了する確率は
1-21/53=32/53
No.83297 - 2022/09/01(Thu) 23:01:31
★ (No Subject) / はまっちょ
赤いところはなんで絶対値が取れたんですか？
No.83287 - 2022/08/31(Wed) 12:31:33
☆ Re: / ヨッシー
ｙ＝|ｘ−１|＋ｐ　の　ｘ≦１ の部分
ｙ＝−|ｘ＋２|＋ｑ　のｘ≧−２　の部分
のことを言っているからです。
No.83288 - 2022/08/31(Wed) 13:36:17
★ (No Subject) / はまっちょ
x=y=0以外だとなんで不定解になるんすか？例えば(x,y=4,6)とかでも成り立ちません？
No.83282 - 2022/08/31(Wed) 09:32:28
☆ Re: / らすかる
(x,y)=(4,6)では成り立ちません。
(x,y)=(4,6)のとき
x+z=0からz=-4
5x+y+az=0に(x,y,z)=(4,6,-4)を代入してaを求めると a=13/2
7x+ay+zに(x,y,z,a)=(4,6,-4,13/2)を代入すると
7x+ay+z=63となり、
7x+ay+z=0が成り立ちません。
よって(x,y)=(4,6)を満たす解はありません。
No.83283 - 2022/08/31(Wed) 10:26:37
☆ Re: / はまっちょ
ありがとうございます。理解できました。ならなぜ不定解じゃないとダメなんですか？
No.83284 - 2022/08/31(Wed) 10:57:25
☆ Re: / らすかる
多元連立一次方程式の解は
「解が存在しない」
「唯一解が求まる」
「不定解」
のどれかになります。
よってx=y=z=0以外の解を持つときは「不定解」を持ちます。
No.83285 - 2022/08/31(Wed) 12:09:43
☆ Re: / はまっちょ
わかりました。そうやって覚えろってことですか？
No.83286 - 2022/08/31(Wed) 12:28:32
☆ Re: / らすかる
前半はそのまま覚えてもよいですが、後半はこの問題限定なので覚えないでください。
No.83289 - 2022/08/31(Wed) 13:47:48
★ 中2 方程式 / みき
中学2年生です。
解き方がわからないので、教えていただきたいです。
解答はXが9000 Yが200です。
No.83278 - 2022/08/30(Tue) 09:19:54
☆ Re: 中2 方程式 / ヨッシー
すでに、仕入額ｘ円/ケース、個数ｙ個/ケース　が
与えられているので、あとは、問題文の通りに式を作っていきます。

10ケース仕入れ、運送料6000と合わせて・・・　の部分から
払った金額は　１０ｘ＋６０００　・・・(1)
90%（＝9ケース分）を売ったときの売値は　9y×64＝576y　・・・(2)
(2) が (1) の 1.2倍（20% の利益）なので、
　1.2(１０ｘ＋６０００)＝576y　　・・・(3)

125個売れ残ったときの売値は　64(10y−125)＝640y−8000　・・・(4)
(4) が (1) の1.25倍なので、
　1.25(１０ｘ＋６０００)＝640y−8000　　・・・(5)
(3), (5) を解いて、
　576y×1.25＝(640y−8000)×1.2
　720y＝768y−9600
　48y＝9600
　ｙ＝200　　・・・答え１
(3) に代入して
　12x＋7200＝115200
　12x＝108000
　ｘ＝9000　・・・答え２
No.83279 - 2022/08/30(Tue) 10:51:45
☆ Re: 中2 方程式 / みき
ヨッシー様

丁寧に解答していただき、ありがとうございむした！
No.83280 - 2022/08/30(Tue) 11:27:15
★ (No Subject) / 確率論
確率論の問題です。(2)の途中式と答えをよろしくお願いします。
No.83275 - 2022/08/30(Tue) 04:43:28
☆ Re: / X
条件から
P(B)=0.0005 (A)
P(A∩B^c)/P(B^c)=0.003 (B)
P(A∩B)/P(B)≧0.142 (C)
(B)より
P(A∩B^c)=0.003P(B^c)
=0.003(1-P(B)) (B)'
∴
P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=1-P(A∩B^c)/P(A)
=1-0.003(1-P(B))/P(A) (D)
更に(C)より
P(A∩B)≧0.142P(B) (C)'
(B)'+(C)'から
P(A)≧0.003+0.139P(B) (E)
(A)(D)(E)からP(B),P(A)を消去して
P(B|A)についての不等式を導きます。
No.83277 - 2022/08/30(Tue) 06:51:07
★ (No Subject) / はまっちょ
なんで［3m］を３つに場合分けするのかが分かりません。
No.83271 - 2022/08/29(Mon) 17:40:35
☆ Re: / X
＞＞なんで［3m］を
を
なんで［3x］を
のタイプミスと見て回答を。

添付写真の左側の一番下の赤いハッチングの囲みの中を
読みましょう。
No.83272 - 2022/08/29(Mon) 17:45:24
☆ Re: / はまっちょ
気づかなかったですw
ありがとうございます
No.83274 - 2022/08/29(Mon) 20:49:44
★ (No Subject) / はまっちょ
aの場所変えれば最大値って2個にならないんじゃないかと思いました。
No.83266 - 2022/08/28(Sun) 09:51:52
★ (No Subject) / はまっちょ
練習問題20が分かりません。
No.83264 - 2022/08/27(Sat) 14:54:25
☆ Re: / IT
詳しい解説・解答がありますが　どこまで分かってどこから分かりませんか？

y=f(x) のグラフは下に凸の放物線なので、0≦x≦2における最大値は、max(f(0),f(2)) です。
No.83265 - 2022/08/27(Sat) 16:28:54
☆ Re: / はまっちょ
aの場所が変われば最大値は何個にでもなりません？
No.83267 - 2022/08/28(Sun) 09:55:27
☆ Re: / らすかる
「最大値」は「最も大きい値」なので1個しかありません。
「最大値をとるようなx」は複数個の場合もありますが、
「最大値」は常に1個（以下）です。
No.83268 - 2022/08/28(Sun) 10:36:12
☆ Re: / IT
> aの場所が変われば最大値は何個にでもなりません？

たしかにaの値によって、求める最大値はさまざまな値を取ります。

各aの値に対して、1つ決まる「f(x)の0≦x≦2における最大値」（条件によっては最大値が存在しない場合もありますが、本問の場合は１つあります。）を求めよ。ということです。
No.83269 - 2022/08/28(Sun) 11:11:22
☆ Re: / はまっちょ
ありがとうございます。分かりました。
No.83270 - 2022/08/29(Mon) 17:39:05
★ (No Subject) / アイスクリーム
直線y=a(x-2)と点(5,1)との距離が√5であるとき定数aの値を求めよ

答えがなくて困っています。aの値を教えてください。よろしくお願いします
No.83258 - 2022/08/26(Fri) 22:45:01
☆ Re: / IT
a=2,-1/2 ですね。
No.83260 - 2022/08/26(Fri) 23:06:21
★ 質問 / 田舎塾　中学3年生
課題がわかりません。このような問題を解くにあたってのポイントが欲しいです。
No.83252 - 2022/08/25(Thu) 22:42:10
☆ Re: 質問 / IT
(1) 求める角はx を記入しておく。αも記入。
角度が等しい角には、同じしるしを記入して行く。
分かる角度（式もあり）を記入して行く。

等しい辺にも、印をつける。

下記の事実を使う。

同一の弧に対する円周角は等しい。
三角形の内角の和＝180°
正三角形の各内角は60°
直径に対する円周角は90°
など。
No.83257 - 2022/08/26(Fri) 22:42:51
☆ お礼 / 田舎塾
> (1) 求める角はx を記入しておく。αも記入。
> 角度が等しい角には、同じしるしを記入して行く。
> 分かる角度（式もあり）を記入して行く。
>
> 等しい辺にも、印をつける。
>
> 下記の事実を使う。
>
> 同一の弧に対する円周角は等しい。
> 三角形の内角の和＝180°
> 正三角形の各内角は60°
> 直径に対する円周角は90°
> など。
1)は60ーaと分かったにですが⑵⑶が分かりません。
No.83259 - 2022/08/26(Fri) 23:02:59
☆ Re: 質問 / ヨッシー
(2) は △ＡＤＥ∽△ＣＢＥ の
相似比がそのまま答えとなります。
　
No.83273 - 2022/08/29(Mon) 19:50:51
★ 数学質問 / 田舎塾
夏休み明けの課題です。
教えてください。
No.83251 - 2022/08/25(Thu) 22:38:27
☆ Re: 数学質問 / ヨッシー

(1)
ＢＣ：ＱＧ＝３：１　より　ＣＧ：ＧＲ＝２：１
よって、ＧＲ＝ＣＧ÷２＝２(cm)
(2)
ＣＳ：ＤＳ＝ＢＣ：ＰＤ＝２：１　より　ＣＲ：ＤＴ＝２：１
よって、ＤＴ＝ＣＲ÷２＝３(cm)
(3)
ＳＲとＧＨの交点をＵとします。
四面体ＢＣＳＲから四面体ＰＤＳＴと四面体ＱＧＵＲを取り除いたものが
体積を求める立体となります。
ＧＵ＝8/3 であることを確認した上で計算すると、
　四面体ＢＣＳＲ＝6×6×8÷6＝48
　四面体ＰＤＳＴ＝3×4×3÷6＝６
　四面体ＱＧＵＲ＝2×(8/3)×２÷6＝16/9
以上より求める体積は
　48−6−16/9＝362/9(cm^2)
(4)
ＢＳ＝10、ＢＲ＝6√2、ＳＲ＝10
より、△ＢＲＳは二等辺三角形。
ＢＲの中点をＭとすると、ＢＭ＝3√2
　ＳＭ＝√(100−18)＝√82
　△ＢＲＳ＝6√2×√82÷2＝6√41
△ＰＴＳは△ＢＲＳの1/4倍
△ＱＲＵは△ＢＲＳの1/9倍
これらを取り除いて、
　五角形ＢＱＵＴＰ＝6√41×(1−1/4−1/9)＝6√41×23/36＝23√41/6(cm^2)
No.83253 - 2022/08/26(Fri) 00:15:45
☆ Re: お礼 / 田舎塾
⑴、⑵、まではわかったのですが、⑶、⑷がわからなかったので返信してくれた回答を読んで理解しました。お忙しい中ありがとうございました。
No.83256 - 2022/08/26(Fri) 11:06:21
★ つくこま夏期課題 / つくこま男子
先生曰く、かなり難しいとのことです。
宜しくお願いいたします。
No.83248 - 2022/08/25(Thu) 03:20:11
☆ Re: つくこま夏期課題 / ヨッシー


(1)
△ＴＵＯ1、△ＵＳＯ2、△ＳＴＯ3 が、120°、30°、30°の
二等辺三角形であることから（もしくは正弦定理から）
　ｒB＝ｔ/√3、ｒC＝ｕ/√3
(2)
すると、この問題は、任意の三角形の各辺の外側に、
120°、30°、30°の二等辺三角形を作ったときの
新たにできる３頂点が正三角形をなすことを証明する問題に置き換わります。

これ、何か定理があるような気がするのですが。
No.83249 - 2022/08/25(Thu) 11:57:05
☆ Re: つくこま夏期課題 / ヨッシー
ナポレオンの定理でしたね。
No.83250 - 2022/08/25(Thu) 13:03:58
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