ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 級数評価と極限 / ICE

問.lim[n→∞][{(n!)}^(1/n)]/n の値を求めよ。

とりあえずlogをとって階乗項をバラしてみたのですが、どう評価すればよいのか分からず…。よろしくお願いします！

No.43476 - 2017/05/30(Tue) 22:51:26

☆ Re: 級数評価と極限 / X

はさみうちの原理を使います。

n→∞を考えるので
n≧2
としても問題ありません。
このとき
0＜n!＜n^n
∴0＜{{√(n!)}^(1/n)}/n＜{{√(n^n)}^(1/n)}/n
これより
0＜{{√(n!)}^(1/n)}/n＜(√n)/n
0＜{{√(n!)}^(1/n)}/n＜1/√n
よってはさみうちの原理により
(与式)=0
となります。

No.43478 - 2017/05/31(Wed) 00:34:12

☆ Re: 級数評価と極限 / ICE

>>Xさん

問題の入力ミスがありました。

正しくは、

lim[n→∞][{n!}^(1/n)]/n の値を求めよ。

でした。せっかく解いていただいたところ、申し訳ございません。こちらの場合、そのままの状態ではさみうちの原理を適用するのは困難ですよね…。

No.43489 - 2017/05/31(Wed) 22:07:53

☆ Re: 級数評価と極限 / らすかる

∫[1～n]logxdx＜log1+log2+log3+…+logn＜∫[1～n+1]logxdx を使えば
はさみうちでできますね。

No.43496 - 2017/06/01(Thu) 01:43:55

☆ Re: 級数評価と極限 / ICE

>>らすかるさん

ありがとうございました！無事解決しました。

No.43563 - 2017/06/03(Sat) 10:28:38

★ (No Subject) / 東大夢見る浪人生

（2）（3）を教えてください。

No.43475 - 2017/05/30(Tue) 22:40:22

☆ Re: / X

(2)
(1)の結果により
b[n]=2^(n+2)=2^{(n-1)+3}
=8・2^(n-1) (A)
後は等比数列の和の公式を使って
S[n]を求めます。

(3)
前半)
(A)により
T[1]=b[1]c[1]={2^(1+2)}・1
=8

後半)
条件から
T[n]=Σ[l=1～n]b[4(l-1)+1]c[4(l-1)+1]+Σ[l=1～n]b[4(l-1)+2]c[4(l-1)+2]
+Σ[l=1～n]b[4(l-1)+3]c[4(l-1)+3]+Σ[l=1～n]b[4l]c[4l] (B)
と分けることができます。
c[4(l-1)+m]=m(m=1,2,3)
c[4l]=0
であることに注意すると(B)は
T[n]=Σ[l=1～n]b[4(l-1)+1]+2Σ[l=1～n]b[4(l-1)+2]+3Σ[l=1～n]b[4(l-1)+3]
更に(A)を使うと
T[n]=Σ[l=1～n]8・2^{4(l-1)}+2Σ[l=1～n]8・2^{4(l-1)+1}+3Σ[l=1～n]8・2^{4(l-1)+2}
=Σ[l=1～n]8・16^(l-1)+2Σ[l=1～n]16・16^(l-1)+3Σ[l=1～n]32・2^(l-1)
=…
(等比数列の和の公式を使います。)

No.43479 - 2017/05/31(Wed) 00:46:21

★ 三つ以上の点を通る円 / アクア

書き出さない方法を教えて下さい！

No.43472 - 2017/05/30(Tue) 21:52:21

☆ Re: 三つ以上の点を通る円 / らすかる

9個の点から4点を選んで長方形（正方形を含む）になるのは
傾いていない長方形が3C2×3C2=9通り、
45°傾いた正方形が1通りなので計10通り
9個の点から4点を選んで等脚台形（長方形を含まない）になるのは4通り
よって4つの点を通る円は14個

9個の点から3点を選ぶ方法は9C3=84通り
そのうち上記四角形の頂点のうちの3点を選んでしまうのは14×4C3=56通り
一直線に並ぶ3点は縦3横3斜め2の計8通り
よってちょうど3つの点を通る円は84-56-8=20個

従って3つ以上の点を通る円は14+20=34個

# 書き出さなくても、実際にどんなパターンがあるかは
# ある程度考える必要があります。

No.43473 - 2017/05/30(Tue) 22:26:57

★ (No Subject) / 名無し

すいません、何度も、

(1).の質問なのですが、
グラフがx軸に対して負の値をとらないのは４次関数がx^3抜きの必ず正になる値を取るからで、ふつうの二次関数はx軸に対して負の値をとるのはxが含まれており、そのXが負の値を取り、全体の式が負の値を取るからですよね？

No.43468 - 2017/05/30(Tue) 17:45:32

☆ Re: / X

違います。
4次関数だからではなくてt=x^2と置き換えたtが
t≧0 (A)
だからです。
置き換えで得られたtの関数が二次関数であろうと
無かろうとtの値の範囲は(A)です。

それと添付された写真の最も上のグラフの横軸は
t軸であって、x軸ではありません。

No.43471 - 2017/05/30(Tue) 20:46:50

★ (No Subject) / 名無し

『(図2)において』からちょっとわからなくなってしまいました
分かりやすく解説していただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

No.43467 - 2017/05/30(Tue) 16:21:26

☆ Re: / angel

同じ話題に関しては、最初の投稿に「返信」する形で同一スレッドにまとめて頂けると助かります。

さて、この「(図2)において」以降ですが…。なかなかトリッキーですね。

ここでは、a≦x≦a+2 における最大・最小を考えているわけですが。
a≦x≦a+2 の範囲というのは、a によってどこにあたるかは変わるものの、幅2の範囲であることは変わりません。
ということで、定規なりなんなりで幅2の窓を実際に作って動かしてみれば、どこが最大でどこが最小かは分かるはずです。
丁度添付の図のように、a を増加させていくと状況も変わっていくことが見て取れます。(続く)

No.43474 - 2017/05/30(Tue) 22:36:11

☆ Re: / angel

先ほどの図は、放物線のグラフはそのままに、a≦x≦a+2 の範囲を a の値の変化に合わせてずらしていっている訳です。

が、範囲を固定して、逆に放物線をずらしていけば分かるじゃないか、と言ってるのがその参考書です。

その時に「 a≦x≦a+2 における f(x) の最大・最小」の代わりに、「 0≦k≦2 における f(a+k) の最大・最小」と書き換えるのがミソです。
※実際に x=a+k と対応を考えれば確かに 0≦k≦2 と a≦x≦a+2 がちゃんとあっています

こうすることで、グラフ上の x の範囲としての幅2が、「グラフをずらす距離 k の範囲としての幅 2」にすり替わったわけです。

つまり、参考書に出てくる図は、
　* x=a+0 の時の f(x) の値の a に応じたグラフ
…
* x=a+0.1 の時の f(x) の値の a に応じたグラフ
…
* x=a+1.9 の時の f(x) の値の a に応じたグラフ
…
* x=a+2 の時の f(x) の値の a に応じたグラフ
と。
放物線を微かにずらしながら無数に重ね合わせたものになっています。

なので、その重ね合わせの一番下のラインが最小値の辿るグラフ、一番上のラインが最大値の辿るグラフに対応するだろうと、そういうことを言っています。

No.43477 - 2017/05/30(Tue) 23:05:26

★ 極座標の応用 / がん

この写真の（２）の解答の方針を教えてください。求める値に含まれているＯＰやＯＱは二乗です。（見えにくくてすみません。）
答えは３（a^2+b^2)/2a^2b^2
です。
よろしくお願いします。

※問題は代々木ライブラリーの萩野の勇者を育てる数学?V（三訂）です。（５３ページ）

No.43464 - 2017/05/30(Tue) 09:17:30

☆ Re: 極座標の応用 / ヨッシー

(1) で
　r^2(cos^2θ/a^2＋sin^2θ/b^2)＝1
　
を出したと思います。
Ｐの偏角をθ とすると、Ｑ，Ｒの偏角は
　θ＋2π/3, θ－2π/3
と書けます。すると
　ＯＰ^2(cos^2θ/a^2＋sin^2θ/b^2)＝1
　ＯＱ^2{cos^2(θ＋2π/3)/a^2＋sin^2(θ＋2π/3)/b^2)＝1
　ＯＲ^2{cos^2(θ－2π/3)/a^2＋sin^2(θ－2π/3)/b^2)＝1
よって、
　Ｓ＝1/ＯＰ^2＋1/ＯＱ^2＋1/ＯＲ^2
とおくと、
　Ｓ＝cos^2θ/a^2＋sin^2θ/b^2＋cos^2(θ＋2π/3)/a^2＋sin^2(θ＋2π/3)/b^2＋cos^2(θ－2π/3)/a^2＋sin^2(θ－2π/3)/b^2
これを変形していきます。

No.43465 - 2017/05/30(Tue) 13:13:20

☆ Re: 極座標の応用 / がん

ヨッシーさんありがとうございます。これを踏まえてもう一度やってみます！

No.43483 - 2017/05/31(Wed) 15:52:48

★ (No Subject) / 名無し

出来れば今日中に願いたいのですが、
A=
【1 0】
【1 1】とするとき、次の等式を満たす行列Xをすべて求めよ。という問題で答えは分かっていて、解き方も載っていたのですが、画像のように連立にして解くというやり方で、
これを解けば答えになるのですが、
いまいち解き方が分かりません。解き方、または別の簡単な解き方があれば是非教えて下さい。
Xは
【a b】
【c d】としています。

No.43455 - 2017/05/29(Mon) 20:30:02

☆ Re: / 名無し

計算過程です。

No.43456 - 2017/05/29(Mon) 20:31:20

☆ Re: / noname

問題文を正確にお書きください．また，ご不明な点は画像にある2つの解答例のうち後者(画像を見て右側の方のもの)にある連立方程式の解き方に関してでしょうか？

No.43457 - 2017/05/29(Mon) 21:05:46

☆ Re: / 名無し

(X+A)(X-A)=0を満たす行列Xをすべて求めよ。という問題です。不明な点は画像を見て分かる通り、後者です。

No.43461 - 2017/05/29(Mon) 22:04:05

★ (No Subject) / K

次の初期値問題を解いてください
x^3y'''+xy'-y=8x^3 y(1)=0,y'(1)=0, y''(1)=0

No.43449 - 2017/05/29(Mon) 09:40:00

☆ Re: / WIZ

(x^3)y'''+xy'-y = 8(x^3)
⇒ x{(x^2)y'''+y'-8(x^2)} = y

w = (x^2)y'''+y'-8(x^2)とおけば、y = xwです。

y' = xw'+w
y'' = xw''+2w'
y''' = xw'''+3w''
⇒ (x^3)(xw'''+3w'')+x(xw'+w)-xw = 8(x^3)
⇒ (x^4)w'''+3(x^3)w''+(x^2)w' = 8(x^3)
⇒ (x^2)w'''+3xw''+w' = 8x

上記はw'に関する非同次な2階微分方程式です。

先ず、同次2階微分方程式(x^2)w'''+3xw''+w' = 0の解を求めます。
経験的に(!)これは、Aを任意定数、aを定数としてw' = A(x^a)形の解を持つので、
(x^2)w'''+3xw''+w'
= (x^2)Aa(a-1)(x^(a-2))+3xAa(x^(a-1))+A(x^a)
= A(x^a)(a^2+2a+1)
= 0
よって、a = -1とすれば良いです。

もう一つ、w' = A(x^(-1))と独立な解を求めます。
Bを任意定数、uをxの関数として、w' = u/xが解であるとします。
w'' = u'/x-u/(x^2)
w''' = u''/x-2u'/(x^2)+2u/(x^3)
よって、
(x^2)w'''+3xw''+w'
= (x^2){u''/x-2u'/(x^2)+2u/(x^3)}+3x{u'/x-u/(x^2)}+u/x
= {u''x-2u'+2u/x}+{3u'-3u/x}+u/x
= u''x+u' = (u'x)' = 0
⇒ u'x = B (Bは任意定数)
⇒ u' = B/x
⇒ u = B*log(x)

よって、w' = B*log(x)/xも(x^2)w'''+3xw''+w' = 0の解です。
# きちんと確認してませんが、A/xとB*log(x)/xは1次独立だと思います。

一般解は
w' = A/x+B*log(x)/x
⇒ w = -A/(x^2)+(B/2)(log(x)^2)+C (Cは任意定数)

a = -A, b = B/2, c = Cとおけば、a, b, cも任意定数で、y = a/x+bx(log(x)^2)+cxとなります。
# 計算間違いしている可能性がありますので、スレ主さんにて良く検算してみてください。

No.43451 - 2017/05/29(Mon) 13:28:57

★ (No Subject) / すくすく

正方形Sがあり、中にn^2個の合同な正方形A(1),A(2),A(3),…,A(n^2)が並んでいる。このとき、正方形A(1),A(2),A(3),…,A(n^2)に1からn^2までの数を適当に1つずつ入れていったとき、縦横で隣り合う2数の差の最小値aがn>=aとなる事を示せ。
↑この証明が全く思いつきません。解答を知ってる方、解法のヒントになりそうな事がある方、何か書いていただけると助かります。

No.43442 - 2017/05/28(Sun) 22:22:33

☆ Re: / らすかる

問題が曖昧ですが、図でもあるのでしょうか。
例えば一辺の大きさがn^2の正方形の中に、ある一辺に沿って
一辺の大きさが1の正方形がn^2個一列に並んでいるような
状態も考えられます。
よってこの問題文だけでは並び方がよくわかりませんが、
もし合同な正方形が縦横にn個ずつ並んでいたとしても
「縦横で隣り合う2数の差の最小値aがn≧a」は成り立たないと思います。
反例(n=4)
01 09 02 10
11 03 12 04
05 13 06 14
15 07 16 08

No.43447 - 2017/05/28(Sun) 23:44:38

★ 図形 / マヤ

画像の問題ですが。解法が思いつきません。
何通りかありましたら教えてください。

No.43432 - 2017/05/28(Sun) 20:11:08

☆ Re: 図形 / らすかる

PからABに垂線PHを下ろし、PQ=2x,PH=y,(台形の面積)=Sとすると
x^2+y^2=r^2,S=(x+r)y
S＞0なので「面積が最大」⇔「面積の2乗が最大」
S^2=(x+r)^2・y^2=(x+r)^2(r^2-x^2)
{S^2}'=2(x+r)(r^2-x^2)+(x+r)^2・(-2x)
=2(x+r)^2(r-2x)
なのでS^2は2x＜rで増加、2x=rで極大値をとり2x＞rで減少
従ってPQ=2x=r=AB/2のとき面積が最大になり、
このとき∠PAB=π/3

No.43437 - 2017/05/28(Sun) 21:09:09

☆ Re: 図形 / WIZ

# 既にもっと見通しの良い回答が付いているのですが、
# 一生懸命計算したので別解として書き込んでおきます。

∠PAB = xとおきます。

ABの中点をOとすると、OA = OP = OQ = OB = rです。
よって、△OAPと△OBQは合同な2等辺三角形で、∠PAO = ∠APO = ∠OBQ = ∠OQB = xとなります。

また、∠AOP = ∠BOQ = π-2xですので、
台形の高さは、r*sin(∠AOP) = r*sin(π-2x) = r*sin(2x)となり、
{△OAPの面積} = {△OBQの面積} = (r^2)sin(2x)/2となります。

PQの中点をTとすると、
∠AOP = ∠BOQの錯角ですから、∠OPT = ∠OQT = π-2xとなります。
すると、(PT) = (QT) = r*cos(π-2x) = -r*cos(2x)となり、
{△OPTの面積} = {△OQTの面積} = (-r*cos(2x))(r*sin(2x))/2 = -(r^2)cos(2x)sin(2x)/2です。

台形の面積をS(x)とすると、
S(x) = {△OAPの面積}+{△OBQの面積}+{△OPTの面積}+{△OQTの面積}
= 2(r^2)sin(2x)/2-2(r^2)cos(2x)sin(2x)/2
= (r^2)sin(2x){1-cos(2x)}

S'(x) = (r^2)*2cos(2x){1-cos(2x)}+(r^2)sin(2x)*2sin(2x)
= 2(r^2){cos(2x)-cos(2x)^2+sin(2x)^2}
= 2(r^2){1+cos(2x)-2cos(2x)^2}
= 2(r^2)(1-cos(2x))(1+2cos(2x))

ここで、図よりπ/4 < x = ∠PAB < π/2なので、π/2 < 2x < πです。
π/2 < 2x < πで、cos(2x) < 0なので、1-cos(2x) > 0です。

π/2 < 2x < 2π/3で、1+2cos(2x) > 0つまりS'(x) > 0なので、S(x)は増加。
2x = 2π/3で、1+2cos(2x) = 0つまりS'(x) = 0なので、S(x)は極大。
2π/3 < 2x < πで、1+2cos(2x) < 0つまりS'(x) < 0なので、S(x)は減少。

以上から、2x = 2π/3、つまりx = ∠PAB = π/3で台形の面積は最大になります。

No.43439 - 2017/05/28(Sun) 21:51:11

☆ Re: 図形 / らすかる

参考別解（幾何学的解法）※概略のみ

弧ABの三等分点のうちAに近い方をC,Bに近い方をDとする。
PQ≠CDのとき
△PAQ＜△CAQから台形PABQ＜四角形CABQ
△QCB＜△DCBから四角形CABQ＜台形CABD
よってPQがCDに一致しない場合は台形PABQ＜台形CABDなので
PQがCDに一致する場合が最大で、このとき∠PAB=π/3

# 「円に内接するn角形のうち面積最大のものは正n角形」
# も上記の手法を使って幾何学的に証明できます。

No.43444 - 2017/05/28(Sun) 23:26:46

☆ Re: 図形 / マヤ

丁寧にありがとうございます。
様々な解法が学べました。
本当にありがとうございました！

No.43454 - 2017/05/29(Mon) 18:23:55

★ (No Subject) / 名無し

A=
a 2
0 a
と可換な行列をすべて求めよ、という問題で答えは
B=
b c
d e
とおくと
B=
b c
0 b
になるらしいのですが、
b=eになるので、正確には
e c
0 e
も答えになるのではないですか？問題はすべて答えよ、と書いてあるので少し疑問をもちました。

No.43430 - 2017/05/28(Sun) 19:20:58

☆ Re: / noname

>も答えになるのではないですか？問題はすべて答えよ、と書いてあるので少し疑問をもちました。

見た目は両方の答えは異なる様に思えるかもしれませんが，どちらも同じ答えです．例えば，3で割ると1余る様な整数を全て求めよという問いであれば，答えは3n+1(nは任意の整数)ですが，このnの代わりにmを使って3m+1(mは任意の整数)の様に解答してもよいのです．重要なのは，解答すべきことが解答出来ているかどうかです．

No.43441 - 2017/05/28(Sun) 22:13:59

★ 仕事算 / キルキン

画像のような仕事算を最小公倍数を使って解いている問題を、全体の仕事量を1とした解法で解くにはどうすれば良いでしょうか。

この教材がほとんど最小公倍数を使っているのですが、全体を1とする方が応用がきく気がするので。

公式を理解しているはずなのに、仕事算や割合、速度算がとにかく苦手なのですが、もう地道に同じような問題を繰り返し何十回も解くしかないのでしょうか。

No.43427 - 2017/05/28(Sun) 17:17:14

☆ Re: 仕事算 / WIZ

問題か解説がおかしくないですか?
36/(4+3+2) = 36/9 = 4であり、商3余り3にはならないですよね?
従って、最後の日はCが2/36 = 1/18の量の仕事をするということになりますよね?

全体を1にするのなら、Aは9日かかるから1日当たり1/9、
同様にBは1日当たり1/12、Cは1日当たり1/18の仕事をすることになります。
A, B, Cの順で1人ずつ交代で仕事をすると、3日で1/9+1/12+1/18 = 1/4で、
丁度4順(?)で全体の1に達するので、やはり最後の日はCで1/18となりますね。

No.43428 - 2017/05/28(Sun) 18:03:28

☆ 相似 / キルキン

ありがとうございます、3日で1/4になると計算できればわかりやすいですね。
こういった発想ができないため、なかなか応用がきかず、どうしたらこの手のSPI的問題ができるようになるか困っております。。
確かに、解説がおかしいですね。ネットの小学生向けサイトなので間違っているようです。

No.43433 - 2017/05/28(Sun) 20:19:15