以下の2題の解法を教えてください。
1.数列{a[n]}に対し、S[n]=Σ[k=1〜n]a[k]とする。このとき、S[n]=n(2p+a[n])/3 (n≧1)、a[3]=q によって定められる数列{a[n]}の一般項をp,qを用いて表せ。
2.a[1]=1、a[2]=1、2a[2k+1]-3a[2k]+a[2k-1]=0、2a[2k+2]-3a[2k+1]+a[2k]=1 (k≧1) によって定められる数列{a[n]}の一般項を求めよ。
よろしくお願いします！
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No.43329 - 2017/05/25(Thu) 15:51:56
| ☆ Re: 数列 / X | | | 1.
問題文にタイプミスはありませんか？
条件から導き出されるのは
{a[n]}の二項間漸化式
となりますが、それに対する初期値の条件が
多すぎます。
(二項間漸化式の初期値は一つで十分です)
a[1]、a[3]の二つの値が与えられています
(a[1]の値はS[n]の条件式から導けます)
のでp,qの間の関係式が導けてしまい、a[n]を
表すのにp,q両方を使う必要がなくなります。
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No.43333 - 2017/05/25(Thu) 18:23:32 |
| ☆ Re: 数列 / ICE | | | >>Xさん
問題文を確認しましたが、入力ミスはないように思われますね…。
とりあえず、条件から{a[n]}の二項間漸化式を導出する過程を教えていただけますか？
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No.43336 - 2017/05/25(Thu) 19:33:11 |
| ☆ Re: 数列 / X | | | n≧2のとき
a[n]=S[n]-S[n-1]=n(2p+a[n])/3-(n-1)(2p+a[n-1])/3
整理をして
(3-n)a[n]=2p-(n-1)a[n-1]
となります。
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No.43337 - 2017/05/25(Thu) 21:21:16 |
| ☆ Re: 数列 / WIZ | | | 1.
S[1] = a[1] = (1/3)(2p+a[1])
⇒ (2/3)a[1] = (2/3)p
⇒ a[1] = p
S[2] = a[1]+a[2] = (2/3)(2p+a[2])
⇒ p+a[2] = (4/3)p+(2/3)a[2]
⇒ (1/3)a[2] = (1/3)p
⇒ a[2] = p
a[3] = q
n ≧ 4のとき、
a[n] = S[n]-S[n-1] = n(2p+a[n])/3-(n-1)(2p+a[n-1])/3 = (2/3)p+(n/3)a[n]-((n-1)/3)a[n-1]
⇒ 3a[n] = 2p+n*a[n]-(n-1)a[n-1]
⇒ (n-3)a[n] = (n-1)a[n-1]-2p
⇒ (n-3)(a[n]-p) = (n-1)(a[n-1]-p)
⇒ a[n]-p = {(n-1)/(n-3)}{(n-2)/(n-4)}*・・・*{3/1}(a[3]-p) = {(n-1)(n-2)/(2*1)}(q-p)
⇒ a[n] = p+(n-1)(n-2)(q-p)/2
上記はn = 1, 2, 3でも成り立つ。
2.
2a[3]-3a[2]+a[1] = 0 ⇒ a[3] = (3a[2]-a[1])/2 = 1
2a[4]-3a[3]+a[2] = 1 ⇒ a[4] = (3a[3]-a[2]+1)/2 = 3/2
2a[2k+1]-3a[2k]+a[2k-1] = 0
⇒ a[2k] = (2a[2k+1]+a[2k-1])/3
上記を用いると、
2a[2k+2]-3a[2k+1]+a[2k] = 1
⇒ 2(2a[2(k+1)+1]+a[2(k+1)-1])/3-3a[2k+1]+(2a[2k+1]+a[2k-1])/3 = 1
⇒ (4a[2k+3]+2a[2k+1])-9a[2k+1]+(2a[2k+1]+a[2k-1]) = 3
⇒ 4a[2k+3]-5a[2k+1]+a[2k-1] = 3
⇒ 4(a[2k+3]-a[2k+1]-1) = a[2k+1]-a[2k-1]-1
よって、a[2k+1]-a[2k-1]-1は公比1/4, 初項a[3]-a[1]-1 = 1-1-1 = -1の等比数列で、
一般項は
a[2k+1]-a[2k-1]-1 = (-1)((1/4)^(k-1))
⇒ Σ[m=1, k]{a[2m+1]-a[2m-1]-1} = Σ[m=1, k]{-((1/4)^(k-1))}
⇒ a[2k+1]-a[1]-k = -{1-(1/4)^k}/{1-1/4}
⇒ a[2k+1] = 1+k-(4/3){1-(1/4)^k} = {3+3k-4+(1/4)^(k-1)}/3 = {3k-1+(1/2)^(2k-2)}/3
上記を用いると、
a[2k+2] = (2a[2k+3]+a[2k+1])/3
= (1/9){2{3(k+1)-1+(1/4)^((k+1)-1)}+{3k-1+(1/4)^(k-1)}}
= (1/9){6(k+1)-2+2((1/4)^k)+3k-1+(1/4)^(k-1)}
= (1/9){9k+3+(2/4+1)((1/4)^(k-1))}
= (1/9){9k+3+(2/4+1)((1/4)^(k-1))}
= {3k+1+(1/2)((1/4)^(k-1))}/3
= {3k+1+(1/2)^(2k-1))}/3
a[2k+1]とa[2k+2]の式をまとめると、n ≧ 3のとき、
n = 2k+1ならば、a[n] = {3(n-1)/2-1+(1/2)^(n-3)}/3 = {3n-5+(1/2)^(n-4)}/6
n = 2k+2ならば、a[n] = {3(n-2)/2+1+(1/2)^(n-3)}/3 = {3n-4+(1/2)^(n-4)}/6
よって、a[n] = {3n-(9-(-1)^n)/2+(1/2)^(n-2)}/6 = {6n-9+(-1)^n+(1/2)^(n-5)}/12
上記はn = 1, 2でも成り立つ。
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No.43338 - 2017/05/25(Thu) 21:44:30 |
| ☆ Re: 数列 / IT | | | 1.
(3-n)a[n]=2p-(n-1)a[n-1]
n=3 のとき 0=2p-2a[2] となるので a[3] は定まりませんね。なので a[3]=q としてあるのですね。
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No.43339 - 2017/05/25(Thu) 21:55:00 |
| ☆ Re: 数列 / X | | | ＞＞WIZさん、ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞ICEさんへ
ごめんなさい。お二方の仰る通りです。
私の回答は無視して下さい。
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No.43349 - 2017/05/25(Thu) 23:07:40 |
| ☆ Re: 数列 / ICE | | | 皆さん回答ありがとうございました。とても参考になりました！(^^)
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No.43386 - 2017/05/27(Sat) 11:29:18 |
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