ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / A

問題のシ、スの解き方がわかりません。誰か教えてください。解答がないのでどうすればいいかわかりません><

No.43487 - 2017/05/31(Wed) 20:23:10

☆ Re: / angel

まず「垂直になるようにする」と言っているわけですから、△ABCを床、△ADCを垂直な壁にしたテントを作るような感じになるのです。
なので、△ADCの、辺ACに対する高さがそのまま錐体の高さです。( 添付の図左上参照 )

そうすると、Dが動くにつれ「高さ」も変化します。( 添付の図右上参照 )

で、底面△ABCは固定されているわけなので、体積が最大になるのは高さが最大になるとき。つまりACから最も離れた点にくる時であり、OD⊥ACの時です。ちょうどこの時ODはACの垂直二等分線でもあります。( 添付の図左下参照 )

あとはADをどう求めるか、ですが、∠AOD=∠B であることを利用して、半角の三角比を使う ( AD=2r・sin(∠AOD/2) ) か、その方法が良く分からなければ、ちょっと遠回りになりますが、
　OH=r・cos∠AOD
　HD=r-OH
　AH=1/2・AC
　AD^2=AH^2+HD^2
から求めても良いです。( rは円の半径 )

No.43491 - 2017/05/31(Wed) 22:52:07

☆ Re: / angel

あ、ちなみにシスの部分の答えADは2√2です。

No.43492 - 2017/05/31(Wed) 22:53:11

☆ Re: / A

本当にありがとうございます！こんなに早くわかりやすい解答が得られて大変助かりました。これからも頑張ります。本当に助かりました！

No.43495 - 2017/05/31(Wed) 23:54:47

★ (No Subject) / K

次の初期値問題を解いてください
x^3y'''+xy'-y=8x^3 y(1)=0,y'(1)=0, y''(1)=0

オイラーコーシーの方程式を解いて、y＝x,xlnxが二基底であることがわかったんですが、残りひとつはどうやって求めますか？
ふたたびy３＝uxlnxとおいて代入してuを求めるしかないですか？

No.43485 - 2017/05/31(Wed) 18:35:26

☆ Re: / angel

三重解だから、x, xlnx, x(lnx)^2 の3基底じゃないでしょうか?

No.43505 - 2017/06/01(Thu) 13:13:34

☆ Re: / K

どうしてすぐにわかったのですか？

No.43506 - 2017/06/01(Thu) 13:39:26

☆ Re: / angel

「すぐに」…と言う事は、三重解、四重解等の話は見たことない、ということですか。
想像がつくかも知れませんが、x(lnx)^2, x(lnx)^3 と、lnx の指数が増えた分が基底に加わっていきます。
※正しくは lnx じゃなくてln|x| ですか。

導くには、
　y=xu, xy'-y=xv
として u,v の関係、u'=v/x をまず出します。
つまり u=∫(v/x)dx ですね。

(ln|x|)'=1/x ですから、
v=1 なら u=ln|x|
v=ln|x| なら u=1/2・(ln|x|)^2
…
といった具合に、指数部分がどんどん増えていくのです。

No.43520 - 2017/06/01(Thu) 21:26:15

★ (No Subject) / Ｋ

f(x)=x(a<x<a+2L)のフーリエ級数を求めよという問題で二通りで解いた結果が違うように思われたので質問させていただきます
[解法１]
フーリエ級数の公式通り、そのまま計算しました
すると計算結果がf(x)=a+L+Σ[m=1,∞]2L/(mπ)×sinmπ(a-x)/L・・・?@になりました

[解法２]
g(x)=x(-L<x<L)のフーリエ級数を求めて、それをa+Lだけ平行移動しました
g(x)=x(-L<x<L)のフーリエ級数は
g(x)=Σ[m=1,∞]2L(-1)^(m+1)/(mπ)×sinmxになったので
f(x)はa+Lだけ平行移動して
f(x)=a+L+Σ[m=1,∞]2L(-1)^)m+1)/mπ×sinm{x-(a+L)}・・・?A
になりました

?@と?Aは異なりますよね？
どうして一致しないのでしょうか？
どちらが正解なのですか？

No.43484 - 2017/05/31(Wed) 16:59:38

☆ Re: / X

解法2のg(x)のフーリエ展開が間違っていますね。
-L＜x＜L
となっていますので
-π＜πx/L＜π
ということで
g(x)=Σ[m=1～∞]b[m]sin(mπx/L)
と展開できるとして計算する必要があります。

No.43486 - 2017/05/31(Wed) 18:54:04

☆ Re: / K

奇関数よりa０とamは０になるので
xsin(mπx/L)を-πからπで積分すればいいのですか？

No.43488 - 2017/05/31(Wed) 21:43:46

☆ Re: / Ｋ

解決しました！

g(x)をa+Lだけ平行移動したとき、Σの前にa+Lをつけなければならないのはなぜですか？
（解法１の結果上a+Lが必要なのはわかるのですが、ｘ軸方向に平行移動した限りa+Lを加えなければならない理由がわかりません）

No.43494 - 2017/05/31(Wed) 23:28:32

☆ Re: / X

ごめんなさい。
以前No.43344のKさんのご質問に対する回答でも
平行移動としてNo.43484の解法2と同様の回答
を提示しましたが、これらは
f(x)=x(a<x<a+2L) (A)
を
f(x)=x-(a+L)(a<x<a+2L)
と混同していたことによる誤りです。
f(x)を(A)とするのであれば
g(x)=x(-L<x<L)
に対するフーリエ展開を
x軸,g(x)の方向にそれぞれa+L
だけ平行移動する必要があります。

No.43498 - 2017/06/01(Thu) 06:13:19

☆ Re: / X

＞＞xsin(mπx/L)を-πからπで積分すればいいのですか？
積分範囲は-LからLです。

No.43499 - 2017/06/01(Thu) 06:15:59

☆ Re: / K

どうしてg(x)方向にも平行移動するのですか？

No.43507 - 2017/06/01(Thu) 13:40:36

☆ Re: / X

f(x)=x(a<x<a+2L)
は
g(x)=x(-L<x<L)
をx軸方向にのみ平行移動したものではない
からです。
もしf(x)がg(x)をx軸方向にa+Lだけ平行移動
しただけであれば
f(a+L)=g(0)=0
とならなければなりません(必要条件)。
しかし
f(a+L)=a+L≠0
です。

No.43513 - 2017/06/01(Thu) 16:48:49

★ 級数評価と極限 / ICE

問.lim[n→∞][{(n!)}^(1/n)]/n の値を求めよ。

とりあえずlogをとって階乗項をバラしてみたのですが、どう評価すればよいのか分からず…。よろしくお願いします！

No.43476 - 2017/05/30(Tue) 22:51:26

☆ Re: 級数評価と極限 / X

はさみうちの原理を使います。

n→∞を考えるので
n≧2
としても問題ありません。
このとき
0＜n!＜n^n
∴0＜{{√(n!)}^(1/n)}/n＜{{√(n^n)}^(1/n)}/n
これより
0＜{{√(n!)}^(1/n)}/n＜(√n)/n
0＜{{√(n!)}^(1/n)}/n＜1/√n
よってはさみうちの原理により
(与式)=0
となります。

No.43478 - 2017/05/31(Wed) 00:34:12

☆ Re: 級数評価と極限 / ICE

>>Xさん

問題の入力ミスがありました。

正しくは、

lim[n→∞][{n!}^(1/n)]/n の値を求めよ。

でした。せっかく解いていただいたところ、申し訳ございません。こちらの場合、そのままの状態ではさみうちの原理を適用するのは困難ですよね…。

No.43489 - 2017/05/31(Wed) 22:07:53

☆ Re: 級数評価と極限 / らすかる

∫[1～n]logxdx＜log1+log2+log3+…+logn＜∫[1～n+1]logxdx を使えば
はさみうちでできますね。

No.43496 - 2017/06/01(Thu) 01:43:55

☆ Re: 級数評価と極限 / ICE

>>らすかるさん

ありがとうございました！無事解決しました。

No.43563 - 2017/06/03(Sat) 10:28:38

★ (No Subject) / 東大夢見る浪人生

（2）（3）を教えてください。

No.43475 - 2017/05/30(Tue) 22:40:22

☆ Re: / X

(2)
(1)の結果により
b[n]=2^(n+2)=2^{(n-1)+3}
=8・2^(n-1) (A)
後は等比数列の和の公式を使って
S[n]を求めます。

(3)
前半)
(A)により
T[1]=b[1]c[1]={2^(1+2)}・1
=8

後半)
条件から
T[n]=Σ[l=1～n]b[4(l-1)+1]c[4(l-1)+1]+Σ[l=1～n]b[4(l-1)+2]c[4(l-1)+2]
+Σ[l=1～n]b[4(l-1)+3]c[4(l-1)+3]+Σ[l=1～n]b[4l]c[4l] (B)
と分けることができます。
c[4(l-1)+m]=m(m=1,2,3)
c[4l]=0
であることに注意すると(B)は
T[n]=Σ[l=1～n]b[4(l-1)+1]+2Σ[l=1～n]b[4(l-1)+2]+3Σ[l=1～n]b[4(l-1)+3]
更に(A)を使うと
T[n]=Σ[l=1～n]8・2^{4(l-1)}+2Σ[l=1～n]8・2^{4(l-1)+1}+3Σ[l=1～n]8・2^{4(l-1)+2}
=Σ[l=1～n]8・16^(l-1)+2Σ[l=1～n]16・16^(l-1)+3Σ[l=1～n]32・2^(l-1)
=…
(等比数列の和の公式を使います。)

No.43479 - 2017/05/31(Wed) 00:46:21

★ 三つ以上の点を通る円 / アクア

書き出さない方法を教えて下さい！

No.43472 - 2017/05/30(Tue) 21:52:21

☆ Re: 三つ以上の点を通る円 / らすかる

9個の点から4点を選んで長方形（正方形を含む）になるのは
傾いていない長方形が3C2×3C2=9通り、
45°傾いた正方形が1通りなので計10通り
9個の点から4点を選んで等脚台形（長方形を含まない）になるのは4通り
よって4つの点を通る円は14個

9個の点から3点を選ぶ方法は9C3=84通り
そのうち上記四角形の頂点のうちの3点を選んでしまうのは14×4C3=56通り
一直線に並ぶ3点は縦3横3斜め2の計8通り
よってちょうど3つの点を通る円は84-56-8=20個

従って3つ以上の点を通る円は14+20=34個

# 書き出さなくても、実際にどんなパターンがあるかは
# ある程度考える必要があります。

No.43473 - 2017/05/30(Tue) 22:26:57

★ (No Subject) / 名無し

すいません、何度も、

(1).の質問なのですが、
グラフがx軸に対して負の値をとらないのは４次関数がx^3抜きの必ず正になる値を取るからで、ふつうの二次関数はx軸に対して負の値をとるのはxが含まれており、そのXが負の値を取り、全体の式が負の値を取るからですよね？

No.43468 - 2017/05/30(Tue) 17:45:32

☆ Re: / X

違います。
4次関数だからではなくてt=x^2と置き換えたtが
t≧0 (A)
だからです。
置き換えで得られたtの関数が二次関数であろうと
無かろうとtの値の範囲は(A)です。

それと添付された写真の最も上のグラフの横軸は
t軸であって、x軸ではありません。

No.43471 - 2017/05/30(Tue) 20:46:50

★ (No Subject) / 名無し

『(図2)において』からちょっとわからなくなってしまいました
分かりやすく解説していただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

No.43467 - 2017/05/30(Tue) 16:21:26

☆ Re: / angel

同じ話題に関しては、最初の投稿に「返信」する形で同一スレッドにまとめて頂けると助かります。

さて、この「(図2)において」以降ですが…。なかなかトリッキーですね。

ここでは、a≦x≦a+2 における最大・最小を考えているわけですが。
a≦x≦a+2 の範囲というのは、a によってどこにあたるかは変わるものの、幅2の範囲であることは変わりません。
ということで、定規なりなんなりで幅2の窓を実際に作って動かしてみれば、どこが最大でどこが最小かは分かるはずです。
丁度添付の図のように、a を増加させていくと状況も変わっていくことが見て取れます。(続く)

No.43474 - 2017/05/30(Tue) 22:36:11

☆ Re: / angel

先ほどの図は、放物線のグラフはそのままに、a≦x≦a+2 の範囲を a の値の変化に合わせてずらしていっている訳です。

が、範囲を固定して、逆に放物線をずらしていけば分かるじゃないか、と言ってるのがその参考書です。

その時に「 a≦x≦a+2 における f(x) の最大・最小」の代わりに、「 0≦k≦2 における f(a+k) の最大・最小」と書き換えるのがミソです。
※実際に x=a+k と対応を考えれば確かに 0≦k≦2 と a≦x≦a+2 がちゃんとあっています

こうすることで、グラフ上の x の範囲としての幅2が、「グラフをずらす距離 k の範囲としての幅 2」にすり替わったわけです。

つまり、参考書に出てくる図は、
　* x=a+0 の時の f(x) の値の a に応じたグラフ
…
* x=a+0.1 の時の f(x) の値の a に応じたグラフ
…
* x=a+1.9 の時の f(x) の値の a に応じたグラフ
…
* x=a+2 の時の f(x) の値の a に応じたグラフ
と。
放物線を微かにずらしながら無数に重ね合わせたものになっています。

なので、その重ね合わせの一番下のラインが最小値の辿るグラフ、一番上のラインが最大値の辿るグラフに対応するだろうと、そういうことを言っています。

No.43477 - 2017/05/30(Tue) 23:05:26

★ 極座標の応用 / がん

この写真の（２）の解答の方針を教えてください。求める値に含まれているＯＰやＯＱは二乗です。（見えにくくてすみません。）
答えは３（a^2+b^2)/2a^2b^2
です。
よろしくお願いします。

※問題は代々木ライブラリーの萩野の勇者を育てる数学?V（三訂）です。（５３ページ）

No.43464 - 2017/05/30(Tue) 09:17:30

☆ Re: 極座標の応用 / ヨッシー

(1) で
　r^2(cos^2θ/a^2＋sin^2θ/b^2)＝1
　
を出したと思います。
Ｐの偏角をθ とすると、Ｑ，Ｒの偏角は
　θ＋2π/3, θ－2π/3
と書けます。すると
　ＯＰ^2(cos^2θ/a^2＋sin^2θ/b^2)＝1
　ＯＱ^2{cos^2(θ＋2π/3)/a^2＋sin^2(θ＋2π/3)/b^2)＝1
　ＯＲ^2{cos^2(θ－2π/3)/a^2＋sin^2(θ－2π/3)/b^2)＝1
よって、
　Ｓ＝1/ＯＰ^2＋1/ＯＱ^2＋1/ＯＲ^2
とおくと、
　Ｓ＝cos^2θ/a^2＋sin^2θ/b^2＋cos^2(θ＋2π/3)/a^2＋sin^2(θ＋2π/3)/b^2＋cos^2(θ－2π/3)/a^2＋sin^2(θ－2π/3)/b^2
これを変形していきます。

No.43465 - 2017/05/30(Tue) 13:13:20

☆ Re: 極座標の応用 / がん

ヨッシーさんありがとうございます。これを踏まえてもう一度やってみます！

No.43483 - 2017/05/31(Wed) 15:52:48

★ (No Subject) / 名無し

出来れば今日中に願いたいのですが、
A=
【1 0】
【1 1】とするとき、次の等式を満たす行列Xをすべて求めよ。という問題で答えは分かっていて、解き方も載っていたのですが、画像のように連立にして解くというやり方で、
これを解けば答えになるのですが、
いまいち解き方が分かりません。解き方、または別の簡単な解き方があれば是非教えて下さい。
Xは
【a b】
【c d】としています。

No.43455 - 2017/05/29(Mon) 20:30:02

☆ Re: / 名無し

計算過程です。

No.43456 - 2017/05/29(Mon) 20:31:20

☆ Re: / noname

問題文を正確にお書きください．また，ご不明な点は画像にある2つの解答例のうち後者(画像を見て右側の方のもの)にある連立方程式の解き方に関してでしょうか？

No.43457 - 2017/05/29(Mon) 21:05:46

☆ Re: / 名無し

(X+A)(X-A)=0を満たす行列Xをすべて求めよ。という問題です。不明な点は画像を見て分かる通り、後者です。

No.43461 - 2017/05/29(Mon) 22:04:05

★ (No Subject) / K

次の初期値問題を解いてください
x^3y'''+xy'-y=8x^3 y(1)=0,y'(1)=0, y''(1)=0

No.43449 - 2017/05/29(Mon) 09:40:00

☆ Re: / WIZ

(x^3)y'''+xy'-y = 8(x^3)
⇒ x{(x^2)y'''+y'-8(x^2)} = y

w = (x^2)y'''+y'-8(x^2)とおけば、y = xwです。

y' = xw'+w
y'' = xw''+2w'
y''' = xw'''+3w''
⇒ (x^3)(xw'''+3w'')+x(xw'+w)-xw = 8(x^3)
⇒ (x^4)w'''+3(x^3)w''+(x^2)w' = 8(x^3)
⇒ (x^2)w'''+3xw''+w' = 8x

上記はw'に関する非同次な2階微分方程式です。

先ず、同次2階微分方程式(x^2)w'''+3xw''+w' = 0の解を求めます。
経験的に(!)これは、Aを任意定数、aを定数としてw' = A(x^a)形の解を持つので、
(x^2)w'''+3xw''+w'
= (x^2)Aa(a-1)(x^(a-2))+3xAa(x^(a-1))+A(x^a)
= A(x^a)(a^2+2a+1)
= 0
よって、a = -1とすれば良いです。

もう一つ、w' = A(x^(-1))と独立な解を求めます。
Bを任意定数、uをxの関数として、w' = u/xが解であるとします。
w'' = u'/x-u/(x^2)
w''' = u''/x-2u'/(x^2)+2u/(x^3)
よって、
(x^2)w'''+3xw''+w'
= (x^2){u''/x-2u'/(x^2)+2u/(x^3)}+3x{u'/x-u/(x^2)}+u/x
= {u''x-2u'+2u/x}+{3u'-3u/x}+u/x
= u''x+u' = (u'x)' = 0
⇒ u'x = B (Bは任意定数)
⇒ u' = B/x
⇒ u = B*log(x)

よって、w' = B*log(x)/xも(x^2)w'''+3xw''+w' = 0の解です。
# きちんと確認してませんが、A/xとB*log(x)/xは1次独立だと思います。

一般解は
w' = A/x+B*log(x)/x
⇒ w = -A/(x^2)+(B/2)(log(x)^2)+C (Cは任意定数)

a = -A, b = B/2, c = Cとおけば、a, b, cも任意定数で、y = a/x+bx(log(x)^2)+cxとなります。
# 計算間違いしている可能性がありますので、スレ主さんにて良く検算してみてください。

No.43451 - 2017/05/29(Mon) 13:28:57

★ (No Subject) / すくすく

正方形Sがあり、中にn^2個の合同な正方形A(1),A(2),A(3),…,A(n^2)が並んでいる。このとき、正方形A(1),A(2),A(3),…,A(n^2)に1からn^2までの数を適当に1つずつ入れていったとき、縦横で隣り合う2数の差の最小値aがn>=aとなる事を示せ。
↑この証明が全く思いつきません。解答を知ってる方、解法のヒントになりそうな事がある方、何か書いていただけると助かります。

No.43442 - 2017/05/28(Sun) 22:22:33

☆ Re: / らすかる

問題が曖昧ですが、図でもあるのでしょうか。
例えば一辺の大きさがn^2の正方形の中に、ある一辺に沿って
一辺の大きさが1の正方形がn^2個一列に並んでいるような
状態も考えられます。
よってこの問題文だけでは並び方がよくわかりませんが、
もし合同な正方形が縦横にn個ずつ並んでいたとしても
「縦横で隣り合う2数の差の最小値aがn≧a」は成り立たないと思います。
反例(n=4)
01 09 02 10
11 03 12 04
05 13 06 14
15 07 16 08

No.43447 - 2017/05/28(Sun) 23:44:38