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★ (No Subject) / 名無し
ヤコビ行列 階数
--------------------------
f:R^4→R,
f(x, y, z, w) = x^2+y^2+z^2+w^2-1
f^(-1) (0)の各点でのfのヤコビ行列
J(f) = ((∂f/∂x), (∂f/∂y), (∂f/∂z), (∂f/∂w))
の階数を求めよ。
--------------------------
この問題がわかりません。
どなたか教えて頂いけませんか？
No.42551 - 2017/03/18(Sat) 14:24:23
★ 中学数学 / 浦田
長さの求め方が解りません。解説お願いします。
No.42544 - 2017/03/17(Fri) 20:03:22
☆ Re: 中学数学 / noname
まず，三角形EFBと三角形CFDが相似であり，これらの相似比を考えることにより

EF：CF＝EB：CD＝6：10＝3：5.

また，三角形EGFと三角形EBCが相似であり，これらの相似比を考えれば

EG：EB＝EF：EC＝3：8.

よって，EG＝EB×3/8＝6×3/8により，線分EGの長さを求めることが出来ます．
No.42545 - 2017/03/17(Fri) 20:17:07
☆ Re: 中学数学 / 浦田
解りました。
No.42549 - 2017/03/18(Sat) 07:45:47
★ 図形問題（１）（２） / 一男
考えてみたんですが解りません。解説よろしくお願いします。
No.42542 - 2017/03/17(Fri) 18:44:07
☆ Re: 図形問題（１）（２） / X
(1)
条件から
AB=BF
AC=CE
従って
AF:AB=CE:AC=2:1
ですので
△AEF∽△ABC
であり、その相似比は
2:1
よって面積比は4:1
となるので、例えば△ABCの面積を
S[△ABC]
と書くことにすると
S[△ABC]=(1/4)S[△AEF]
=(1/4){(1/2)S[四角形AEDF]}
=(1/8)S[四角形AEDF]
従って△ABCの面積は四角形AEDFの1/8倍です。

(2)
図1,2,3において点を表すアルファベットが重複しているので
混同しないように注意して、以下の回答をご覧下さい。

図2において、線分AD,EFの交点をIとすると
(1)の過程により
AG=(1/2)AI=(1/2){(1/2)AD}
=(1/4)AD=2[cm]
となるので
GD=AD-AG=6[cm]
又、△DFIにおいて三平方の定理から
DF=√(DI^2+FI^2)
=√{((1/2)AD)^2+((1/2)EF)^2}
=5[cm]

次に図3で図2との対応関係を考えると
AG=2[cm]
GD=6[cm]
AD=5[cm]
となるので
AH=x[cm],GH=y[cm]
と置くと、△AGH,△ADHにおいて
三平方の定理により
x^2+y^2=4 (A)
x^2+(6-y)^2=25 (B)
(A)(B)をx,yの連立方程式として
解きます。
さて、その解き方ですが以下のようになります。
(B)より
x^2+(y^2-12y+36)=25
x^2+y^2-12y=-11 (B)'
(B)'-(A)により
-12y=-15
よって
y=5/4
これを(A)に代入して
x^2=4-25/16=39/16
よって
x=(√39)/4

以上からAHの長さは
(√39)/4[cm]
となります。
No.42543 - 2017/03/17(Fri) 19:41:05
☆ Re: 図形問題（１）（２） / noname
(2)に関しては次の様に考えてもよいです．


[(2)の別解]
線分EFと線分BD,DGの交点をそれぞれI,Jとし，Fを通り直線BDに直交する直線とEを通り直線CDに直交する直線の交点をKとする．点Hは点Kと一致することに注意しておく．直角三角形BDGと直角三角形IDJが相似であることから，これらの三角形の相似比はDG：DJ＝(2+4)：4＝3：2である．よって，

BG：IJ＝FJ/2：IJ＝3/2：IJ，BG：IJ＝DG：DJ＝3：2.
∴IJ＝1.

ところで，直角三角形DIJと直角三角形FKJが相似であることから，

4：3＝1：JK.
∴JK＝3/4.
∴GK＝GJ-JK＝2-3/4＝5/4.

ここで，H＝KよりGH＝5/4である．したがって，直角三角形AGHにおいて三平方の定理を使うと，

AH＝√(AG^2-GH^2)＝√(2^2-(5/4)^2)＝√39/4.
No.42547 - 2017/03/17(Fri) 21:57:46
☆ Re: 図形問題（２） / 一男
Fを通り直線BDに直交する直線とEを通り直線CDに直交する直線の交点をKとする．点Hは点Kと一致することに注意しておく．点Hは点Kと一致する、別解がよく解りません。できれば図も付けて解説お願いします。
No.42550 - 2017/03/18(Sat) 08:29:20
☆ Re: 図形問題（１）（２） / noname
では，机の上に下図のひし形AEDFの形の紙があり，この紙には図にある様な線分BC,CD,DBの様な折り目が付いているとします．この時，

・三角形ABCを線分BCを折り目として折ると，頂点Aの真下への影の点は線分AA'上をAからA'へと移動する．
・三角形BDFを線分BDを折り目として折ると，頂点Fの真下への影の点は線分FF'上をFからF'へと移動する．
・三角形CDEを線分CDを折り目として折ると，頂点Eの真下への影の点は線分EE'上をEからE'へと移動する．

ということが分かります．では，3つの三角形ABC,BDF,CDEを同時に折るとどうなるかというと，それぞれの三角形の頂点A,F,Eの真下への影はそれぞれの移動先の点A',F',E'へ同時に移動しますが，3つの三角形の頂点A,F,E空中のある地点のある1点で一致します．この時，A,F,Eの真下への影も一致している筈です．そして，これら3つの影が一致する点はそれぞれの影の軌跡である線分AA',FF',EE'の交点であることが分かります．
No.42553 - 2017/03/18(Sat) 22:22:14
☆ Re: 図形問題（１）（２） / noname
図を付け忘れていました．図は以下の様になります．
No.42554 - 2017/03/18(Sat) 22:24:48
☆ Re: 図形問題（２） / 一男
直角三角形DIJと直角三角形FKJが相似であることが解りません。何回もすみません。
No.42557 - 2017/03/19(Sun) 07:55:42
☆ Re: 図形問題（１）（２） / noname
∠DLK＝90°であることに注意すると，

∠FKJ＝∠DKL＝∠DLK-∠KDL＝90°-∠KDL＝90°-∠IDJ＝∠DIJ.
∴∠FKJ＝∠DIJ.

また，∠FJK＝90°＝∠DJIであるから，2組の角がそれぞれ等しいことが成立し，ゆえに直角三角形DIJと直角三角形FKJが相似であることが分かります．
No.42558 - 2017/03/19(Sun) 11:55:59
☆ Re: 図形問題（１）（２） / 一男
∠DLK＝90°であることに注意すると、Ｌがどこの位置になるのか解りません。よろしくお願いします。
No.42560 - 2017/03/19(Sun) 12:55:03
☆ Re: 図形問題（１）（２） / noname
>Ｌがどこの位置になるのか解りません。

Lに関する説明がありませんでしたね．失礼致しました．Lは線分BDと直線FKの交点です．
No.42563 - 2017/03/19(Sun) 16:57:29
★ 二次関数 / 匿名
下の続きです。

(2)二次関数 y=ax^2+2ax+a^2のグラフをx軸方向に3、y軸方向に−a−3だけ平行移動したグラフを表す2次関数をy=f(x)とする。
➀a<0とする。y=f(x)のグラフがx軸の0<x<3の部分と交わるようなaの範囲を求めよ。
自分の答え (1−√13)/2<a<−1
➁aは0ではないとする。y=f(x)のグラフがx軸の0<x<3の部分と共有点を持たないようなaの範囲を求めよ。
自分の答え a≦−3 、3≦a 、−1<a<0 、0<a<1

(3)二次関数f(x)=−2x^2+8x−a^2+3がある。ただし、aは1ではない正の定数とする。
➀a≦x≦a+2におけるf(x)の最大値が5の時、aの値を求めよ。
自分の答えa=√6 と(4+√10)/3
➁a≦x≦a+2において、f(x)がx=pの時、最大値M、x=qの時、最小値mをとるとする。M+m=4(p−q)^2を満たすaを求めよ。
自分の答え a=3 と( 3−2√2)/2 と√11/2

(4)二次不等式x^2−(4a−1)x+2a(2a−1)≦0・・・➀
x^2−2ax+2a^2−a−6≧0・・・➁がある。ただし、aは定数。

➊全てのxに対して➁が成り立つようaの値を求めよ。
自分の答え a≦−2 、3≦a

➋a>0とする。➀を満たす全てのxに対して➁が成り立つようなaの範囲を求めよ。
自分の答え 2≦a

以上です。
No.42520 - 2017/03/16(Thu) 19:28:58
☆ Re: 二次関数 / 匿名
間違えた問題だけ解説お願いします。
No.42524 - 2017/03/16(Thu) 20:19:10
☆ Re: 二次関数 / noname
(2),(3),(4)に関しては，(4)の?@のみが正答出来ております．以下，この問い以外の問いに関する考え方と略解となります．


[考え方]
(2)?@a＜0の時，f(x)のグラフがx軸の0＜x＜3の部分と交わるためには「f(0)＜0またはf(3)＜0である」が成立すればよい．後は，この条件を満たすaの範囲とa＜0の共通範囲を求めればよい．
?A次の2つ；

・a＜0の時，f(x)のグラフがx軸の0＜x＜3の部分と交わらないための条件は「f(0)≧0かつf(3)≧0である」が成り立つことである．
・a＞0の時，f(x)のグラフがx軸の0＜x＜3の部分と交わらないための条件は「f(x)のグラフの頂点のy座標の値が正である」が成立することである．

に注意して問題を考えればよい．
(3)?@f(x)のグラフの軸の位置に注意し，

・0＜a＜1,1＜a＜2の時
・a≧2の時

のそれぞれにおける，f(x)の最大値を考えるとよい．
?Af(x)の最小値は0＜a＜1の時とa＞1の時で異なる．このことに注意し，

・0＜a＜1の時
・1＜a＜2の時
・a≧2の時

の3つで場合分けをしてM+m＝4(p-q)^2を満たすaの値を求めればよい．
(4)?A放物線y＝f(x)の軸の位置に注意し，0＜a＜1の時とa＞1の時の2つに場合分けして考えればよい．前者の場合では放物線の頂点のy座標の値が正であればよく，後者の場合ではf(2a-1)≧0であればよい．

[略解]
(2)?@-3＜a＜0
?Aa≦-3,3＜a
(3)?@a＝(4+√10)/3
?Aa＝(3-2√2)/2,√11/2
(4)?Aa≧5/2
No.42525 - 2017/03/16(Thu) 20:53:31
☆ Re: 二次関数 / 匿名
わかりやすい解説ありがとうございます😊
No.42530 - 2017/03/16(Thu) 21:49:46
★ 二次関数 / 匿名
模範解答がないので、どなたか 合っているかどうか、確認お願いします。
(1)aとb は実数でa+b≦1を満たす。
f(x)=x^2+(2a+1)x+bの0≦x≦1における最小値を最大にするaとbを求めよ。
自分の答え −3/2≦aの時 a=−1/2 b=3/2
−3/2≧aの時 a=−3/2 b=5/2
No.42518 - 2017/03/16(Thu) 19:25:37
☆ Re: 二次関数 / IT
間違っていると思います。
（答えをどう出したかが大切だと思います。）

それぞれのとき　f(x)の0≦x≦1における最小値は、どうなりますか？
No.42523 - 2017/03/16(Thu) 20:16:58
☆ Re: 二次関数 / 匿名
なるほど
答えは一つになるということですね。
なので、a=−3/2 b=5/2 で、この時の最大値は5/2
アドバイスありがとうございます。
No.42527 - 2017/03/16(Thu) 21:29:59
☆ Re: 二次関数 / 匿名
訂正
最大値→最小値の最大
No.42528 - 2017/03/16(Thu) 21:37:08
☆ Re: 二次関数 / IT
a=−3/2 b=5/2 で、この時　最小値が5/2　
になりますか？
No.42529 - 2017/03/16(Thu) 21:39:29
☆ Re: 二次関数 / 匿名
x=0の時になると思いますが、、
No.42531 - 2017/03/16(Thu) 21:51:54
☆ Re: 二次関数 / IT
最大値では？
No.42532 - 2017/03/16(Thu) 21:54:17
☆ Re: 二次関数 / 匿名
いや、、やっぱり違います。
うーん 解説お願いします。
No.42533 - 2017/03/16(Thu) 21:57:33
☆ Re: 二次関数 / IT
b=1-a のときを調べればいいことは分かりますか？

y=f(x)=x^2+(2a+1)x+1-a　のグラフはどうなりますか？（特に頂点の座標）

aについて整理するとy=f(x) が定点を通ることも分かります。
No.42534 - 2017/03/16(Thu) 22:03:57
☆ Re: 二次関数 / 匿名
なるほど
ありがとうございます。
No.42535 - 2017/03/16(Thu) 22:43:46
★ 比 / 尾形
（２）解けません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.42517 - 2017/03/16(Thu) 19:13:10
☆ Re: 比 / ヨッシー

ＤＥとＢＣの交点をＩとすると、
△ＡＥＤ∽△ＢＥＩ　かつ　ＡＥ＝ＢＥ　より
　ＡＤ＝ＢＩ
これより図のような比が明らかとなり
　ＦＧ：ＧＣ＝ＦＤ：ＣＩ＝１：４＝３：１２
　ＦＨ：ＨＣ＝ＦＤ：ＢＣ＝１：２＝５：１０
これより
　ＦＧ：ＧＨ：ＨＣ＝３：２：１０
を得ます。
No.42519 - 2017/03/16(Thu) 19:28:50
☆ Re: 比 / noname
次の様に考えてもよいです．


[別解]
点Fを通り直線ABと平行な直線と線分DEとの交点をIとし，CF＝xとする．すると，AE：FI＝AD：DF＝2：1,CD＝AB＝2AEより，FI：CD＝FI：4FI＝1：4である．ところで，三角形FGIと三角形CGDが相似であるから，FG：CG＝FI：CD＝1：4である．また，三角形DHFと三角形BHCが相似であることからCH：FH＝BC：DF＝2：1である．よって，

CH＝2x/3，CG＝4x/5，GH＝CG-CH＝2x/15.
∴CH：HG＝2x/3：2x/15＝5：1.
No.42536 - 2017/03/17(Fri) 00:44:28
☆ Re: 比 / 尾形
これより
　ＦＧ：ＧＨ：ＨＣ＝３：２：１０
を得ます。どの様に計算して比を求めたのか解りません。よろしくお願いします。
No.42537 - 2017/03/17(Fri) 07:12:28
☆ Re: 比 / 尾形
CH＝2x/3，CG＝4x/5，GH＝CG-CH＝2x/15.
∴CH：HG＝2x/3：2x/15＝5：1.すみません計算の仕方が解りません。よろしくお願いします。
No.42538 - 2017/03/17(Fri) 07:27:49
☆ Re: 比 / ヨッシー
　ＦＧ：ＧＣ＝ＦＤ：ＣＩ＝１：４＝３：１２
　ＦＨ：ＨＣ＝ＦＤ：ＢＣ＝１：２＝５：１０
を元に、ＦＣを１５等分する目盛りを打ってみましょう。
Ｆから３つ目の点がＧ、５つ目の点がＨです。

何のために
　１：４　を　３：１２
　１：２　を　５：１０
と数の大きな比に直しているか考えましょう。

この分だと、こちらも理解されていませんね？
No.42539 - 2017/03/17(Fri) 09:52:22
☆ Re: 比 / 尾形
ＦＣをＸとおいて、ＦＧ＝1/5Ｘ　ＧＣ＝4/5Ｘ　ＦＨ＝1/3Ｘ
ＨＣ＝2/3Ｘ　ＧＨ＝ＧＣ−ＨＣ＝2/15Ｘ　ＧＨ：ＨＣ＝　2/15X：10/15X　CH：HG＝５：１
No.42540 - 2017/03/17(Fri) 10:48:22
☆ Re: 比 / noname
>>尾形様


>CH＝2x/3，CG＝4x/5，GH＝CG-CH＝2x/15.
>∴CH：HG＝2x/3：2x/15＝5：1.すみません計算の仕方が解りません。よろしくお願いします。

と仰られている一方で

>ＦＣをＸとおいて、ＦＧ＝1/5Ｘ　ＧＣ＝4/5Ｘ　ＦＨ＝1/3Ｘ
>ＨＣ＝2/3Ｘ　ＧＨ＝ＧＣ−ＨＣ＝2/15Ｘ　ＧＨ：ＨＣ＝　2/15X：10/15X　CH：HG＝５：１

の様な書き込みをされている様です．疑問は自己解決されたという了解でよろしいでしょうか？
No.42546 - 2017/03/17(Fri) 20:59:14
☆ Re: 比 / 尾形
解りました。ありがとうございます。
No.42548 - 2017/03/17(Fri) 23:41:09
★ 場合の数 / 匿名
考えても、この問題がわからなかったので、解説お願いします。
No.42513 - 2017/03/16(Thu) 15:21:08
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
(1)
人をＡ，Ｂ，Ｃとします。
　||○○○○○○○○○
のように、２本の仕切りと９つの玉の並べ方を考えます。
例えば、
　○○○|○○○○|○○
　|○○○○○○○○○|
のようにです。
この時、左の仕切りより左の玉がＡが取る個数、仕切りと仕切りの間の
玉がＢが取る個数、右の仕切りより右の玉がＣが取る個数を表すことにします。
上の例では、Ａ３個、Ｂ４個、Ｃ２個　および　Ａ０個、Ｂ９個、Ｃ０個　を表します。
すると、玉の分け方は、これらの仕切りと玉を並べる方法と対応させることが出来ます。
並べ方の総数は、１１の置き場所の２つを選んで仕切りを置くと考えると
　11Ｃ2＝55（通り）

(2)
(1)の答えから、１人だけが取る方法、２人だけが取る方法を引きます。
　答えは２８通り

(3)
個数がそれぞれ
(1,1,7),(1,2,6),(1,3,5),(1,4,4),(2,2,5),(2,3,4),(3,3,3)
の７通り。

(4)
(1,1,7) に分ける方法：9Ｃ1×8Ｃ1×7Ｃ7÷２！＝３６（通り）
(1,2,6) に分ける方法：9Ｃ1×8Ｃ2×6Ｃ6÷１！＝２５２（通り）
(1,3,5) に分ける方法：9Ｃ1×8Ｃ3×5Ｃ5÷１！＝５０４（通り）
(1,4,4) に分ける方法：9Ｃ1×8Ｃ4×4Ｃ4÷２！＝３１５（通り）
(2,2,5) に分ける方法：9Ｃ2×7Ｃ2×5Ｃ5÷２！＝３７８（通り）
(2,3,4) に分ける方法：9Ｃ2×７Ｃ3×4Ｃ4÷１！＝１２６０（通り）
(3,3,3) に分ける方法：9Ｃ3×6Ｃ3×3Ｃ3÷３！＝２８０（通り）
を合計します。
答え　３０２５通り。
No.42514 - 2017/03/16(Thu) 16:42:35
☆ Re: 場合の数 / らすかる
(2)別解
最初に3人に1個ずつ配ってから残り6個について
(1)と同じ方法で分ければよいので、8C2=28通り

(4)別解
組に区別があって0個の組があってもよい場合は3^9通り
そのうち0個の組が2組になるのは3通り、1組になるのは3×(2^9-2)通りなので
組に区別があって0個の組がない場合は3^9-3-3×(2^9-2)通り
よって組に区別がなく0個の組がない場合は{3^9-3-3×(2^9-2)}÷3!=3025通り
No.42521 - 2017/03/16(Thu) 19:43:44
★ (No Subject) / 太郎
|x|<3はx^2<9であるための何条件か、という問題で、答えは必要十分条件だったのですが、例えばx=i(虚数単位)のとき、x^2<9は成り立ちますが、|x|<3は成り立ちません。これはなぜですか？どなたか教えてください。
No.42512 - 2017/03/16(Thu) 15:07:27
☆ Re: / ヨッシー
ｘが実数に限られているとか、複素数を習う前の単元だとか、
ｘは実数であることを仄めかす何らかの記述があるとか
いうことはないでしょうか？

ちなみに、ｘ＝ｉ だと |ｘ|＜３ も成り立ちます。
ｘ＝２ｉ とかなら成り立ちません。
No.42515 - 2017/03/16(Thu) 17:41:08
☆ Re: / noname
>例えばx=i(虚数単位)のとき、x^2<9は成り立ちますが、|x|<3は成り立ちません。これはなぜですか？


xが実数の場合で「|x|＜3はx^2＜9であるための何条件か」ということが問われているのだと思います．ただ，xが複素数の場合では，実数同士の大小の様に複素数同士の大小を考えることは出来ませんので，

>x=i(虚数単位)のとき、x^2<9は成り立ちます

という記述は非常に曖昧(？)なものとなってしまいます．
No.42516 - 2017/03/16(Thu) 17:43:43
☆ Re: / 太郎
ご回答いただきありがとうございます。xが実数であるという記述はありませんでしたが、不等号で大小を考えてる時点でxが実数ということになるんでしょうかね。
No.42522 - 2017/03/16(Thu) 20:16:30
☆ Re: / noname
>不等号で大小を考えてる時点でxが実数ということになるんでしょうかね。

場合に依りますが，今回の場合はそう思っていただいても構わないかと思います．
No.42526 - 2017/03/16(Thu) 21:28:16
☆ Re: / 太郎
ありがとうございました。
No.42541 - 2017/03/17(Fri) 13:47:02
★ 図形 / 田中
上の問題は解答をみて何とか解りました。３(1)(2)解りません。数学不得意なので詳しい解説お願いします。
No.42503 - 2017/03/15(Wed) 18:00:29
☆ Re: 図形 / 田中
答えです。
No.42504 - 2017/03/15(Wed) 18:01:11
☆ Re: 図形 / noname
(1)については，三角形CEAの3辺の比が長さの短い辺の順番で3：4：5であることから，

AE＝5×3/4＝15/4，CE＝5×5/4＝25/4.

ここで，BC＝8よりBE＝8-25/4＝7/4となります．ところで，三角形CEAと三角形BEFが相似であることから，三角形BEFの3辺の比より

EF＝7/4×3/5＝21/20，BF＝7/4×4/5＝7/5.

ところで，直線ACと直線BFが平行であることから錯角の式として∠BFE＝∠CAE＝90°が成立し，三角形ABFは直角三角形となります．したがって，この三角形の面積は

1/2×7/5×(15/4+21/20)

を計算することで求まります．


次に(2)に関してですが，線分ABの中点をM，直線GHと直線BFの交点をI，I,Mから線分BDへの垂線の足をそれぞれJ,Kとします．すると，三角形AMGと三角形BMIが合同であることからBI＝AG＝7/5が成立します．また，いま直線ADと直線MKが平行であるから，Kは線分BDの中点であり，BK＝DK＝3/2，MK＝1/2×AD＝2となります．ところで，直角三角形BIJと直角三角形BADが相似であることから，直角三角形BIJの3辺の比より

BJ＝7/5×3/5＝21/25，IJ＝7/5×4/5＝28/25.

この時，直角三角形IJHと直角三角形MKHが相似であることからその相似比は

IJ：MK＝28/25：2＝14：25.

したがって，線分BHの長さは

BH＝BJ+JH＝21/25+(3/2-21/25)×14/(14+25)

により計算することが出来ます．
No.42505 - 2017/03/15(Wed) 20:09:05
☆ Re: 図形 / noname
(2)に関する図です．もしよければご参考ください．
No.42507 - 2017/03/15(Wed) 21:17:24
★ 比の計算 / 田丸
比の計算のしかたが解りません。解説お願いします。
No.42501 - 2017/03/14(Tue) 18:14:03
☆ Re: 比の計算 / ヨッシー

ＡＤとＢＧの交点をＩとすると、
　ＤＩ：ＢＣ＝ＤＧ：ＧＣ＝１：２
より、図のように辺の比が決まります。
あとは、
　ＢＧ：ＧＩ＝ＣＧ：ＧＤ＝２：１＝１４：７
　ＢＨ：ＨＩ＝ＢＦ：ＥＩ＝３：４＝９：１２
から、
　ＢＨ：ＨＧ：ＧＩ＝９：５：７
を得ます。
No.42502 - 2017/03/14(Tue) 19:04:16
☆ Re: 比の計算 / noname
次の様に考えてもよいです．


[別解]
BC＝AD＝xとする．また，Gを通り直線BCに平行な直線と線分EF,DFとの交点をそれぞれI,Jとする．この時，三角形CDFにおいて

CF：GJ＝CD：DG＝3：1.
∴GJ＝1/3・CF＝1/3・BC/4＝x/12.

また，三角形DEFにおいて

DE：JI＝DF：FJ＝DC：GC＝3：2.
∴JI＝2/3・DE＝2/3・AD/2＝x/3.

よって，GI＝JI+GJ＝x/3+x/12＝5x/12である．ところで，三角形BFHと三角形GIHが相似であることから，

BH：GH＝BF：GI＝3x/4：5x/12＝9：5.
_________________________________________________________________

※以下は参考図となります．
No.42508 - 2017/03/16(Thu) 01:46:14
★ 数列の計算について / 数学初心者
写真にある
4式目のΣがない式について
n=(k-1)^2+1 をnに代入する作業で?の部分がおかしいなと思いましたので質問をさして下さいm(_ _)m
No.42495 - 2017/03/14(Tue) 12:23:15
☆ Re: 数列の計算について / らすかる
Σ(1/n-1/(n+1)) では
始値の 1/n と終値の -1/(n+1) だけが残って間が消えますので、
1/n のnに始値の (k-1)^2+1 を代入して 1/{(k-1)^2+1}
-1/(n+1) のnに終値の k^2 を代入して -1/(k^2+1)
よって
1/{(k-1)^2+1} - 1/(k^2+1)
となります。
No.42496 - 2017/03/14(Tue) 12:36:57
☆ Re: 数列の計算について / 数学初心者
早速返信ありがとうございますm(_ _)m

そのk^2 はどこから導かれた値ですか？
No.42497 - 2017/03/14(Tue) 14:03:12
☆ Re: 数列の計算について / noname
>そのk^2 はどこから導かれた値ですか？


らすかる様の回答にある

>Σ(1/n-1/(n+1)) では
>始値の 1/n と終値の -1/(n+1) だけが残って間が消えますので、
>1/n のnに始値の (k-1)^2+1 を代入して 1/{(k-1)^2+1}
>-1/(n+1) のnに終値の k^2 を代入して -1/(k^2+1)

をもう一度一字一句曖昧さを残さないようにお読みください．
No.42499 - 2017/03/14(Tue) 17:22:45
☆ Re: 数列の計算について / noname
お読みになられても疑問が解決されない場合は，a,b(a＜b)を自然数とする時に和Σ_[n=a,b]1/(n(n+1))を計算してみてください．
No.42500 - 2017/03/14(Tue) 17:27:05
★ (No Subject) / 太郎
tが0以上のすべての実数値をとりながら変化するとき、2tx+y+t^2=0で表される直線が通りうる領域を図示せよ。という問題で、解説にt^2+2xt+y=0が0以上の解を少なくとも1つもつx,yの条件を求めれば良い。と書いてあったのですが、なぜ少なくとも1つなのかがわかりません。tが0以上と書いてあるから、1つでも0未満であったらダメだと思うのですが…。どなたか教えてください。m(__)m
No.42485 - 2017/03/12(Sun) 20:18:37
☆ Re: / 山旅人
> 1つでも 0 未満であったらダメ
としたとき導かれる (x，y) の領域と，いくつか t を与えて直線を何本か実際に描いてみると 「少なくとも１つ」 で良いことを納得されるでしょう。
No.42486 - 2017/03/12(Sun) 21:40:24
☆ Re: / noname
0以上の各実数tに対して直線y＝-2tx-t^2をℓ_[t]とし，tを色々と動かす時の各直線ℓ_[t]の通過領域をDとします．すると，平面上の点(x,y)に対して，

「点(x,y)はDに含まれる点である」
⇔「ある0以上の実数t_0が存在して，点(x,y)は直線ℓ_[t_[0]]上にある」
⇔「ある0以上の実数t_0が存在して，y＝-2t_[0]x-(t_[0])^2が成り立つ」
⇔「tについての2次方程式t^2+2xt+y＝0が0以上の実数解を持つ」

という言いかえが出来ます．このことに注意すると，

>解説にt^2+2xt+y=0が0以上の解を少なくとも1つもつx,yの条件を求めれば良い。と書いてあったのですが、なぜ少なくとも1つなのかがわかりません。

という疑問が解決するかと思います．
No.42487 - 2017/03/12(Sun) 21:52:59
☆ Re: / 太郎
みなさんありがとうございます。納得しました。
No.42489 - 2017/03/13(Mon) 12:51:31
★ 外積 / tetsu
外積を習ったのですが、空間で原点以外の3点の座標が与えられており、その3点が作る平面をαとするとき、αに原点から下ろした垂線の足をHとし、Hの座標を求めよという問題を外積で解く方法が分かりません。四面体などは求められるのですが、この問題は自分で考えても全く分からないのでお教えください。
No.42481 - 2017/03/12(Sun) 13:00:30
☆ Re: 外積 / noname
簡単のため，与えられている3点の位置ベクトルが一次独立であると仮定して話をすることにします．まず，↑OHは平面αの法線ベクトルの1つであるから，

↑OH＝k(↑AB×↑AC)…?@

を満たす実数kが存在します．また，Hは平面α上の点であるから，

↑OH＝↑OA+p↑AB+q↑AC…?A

を満たす実数p,qが存在します．この時，?@,?Aの各成分を比較することで3元連立一次方程式が得られます．後はこの方程式を解けばk,p,qの値が決定され，Hの座標が得られます．細かな計算はご自身で行ってください．
No.42484 - 2017/03/12(Sun) 15:09:06
★ (No Subject) / 〆
この問題の意味が不明です…考え方を教えてください…
No.42479 - 2017/03/12(Sun) 12:13:04
☆ Re: / IT
まずイメージが大切かも知れません。
9x+11y=n のグラフを考えてみてください。

n=9のとき　条件を満たすのは(x,y)=(1,0) の１個です。
条件を満たす（x,ｙ）の数が増えるためには、ｎが大きくなる必要がある。ことが分かりませんか？

＃　9x+11y=n のとき　xを11減らして、ｙを9増やしても、解になります。
No.42480 - 2017/03/12(Sun) 12:39:54
☆ Re: / 〆
グラフの正確さは置いといて、適当に書いてみたのですが、この画像で言うグラフの「点」が10個にればよく、その時の、「n/11」の範囲を見れば良い、というイメージですか？
No.42482 - 2017/03/12(Sun) 13:12:35
☆ Re: / IT
イメージとすると　そういうことです。
ｘ軸ｙ軸上でも条件を満たす点になる場合もあります。
No.42483 - 2017/03/12(Sun) 13:52:08
☆ Re: / 〆
返信ありがとうございます…解答を見て少し理解できないところがありましたので、質問させて頂きたいです…解答を自分なりに解釈して書いてみたのですが、青線の所が理解出来ません…なぜ「9以上」なのですか？「=10」で良くないか？と思ってしまいます。さらにこの式によって得られる「n≧891」より、「k」の範囲に関する不等式に、891を代入すると、396≦k≦405。
で、解答にて、この次に書いてある一文
「405-396+1=10(個)となり条件を満たす」この一文の、「+1」の部分が理解出来ません…どういうことなんでしょう…
No.42491 - 2017/03/13(Mon) 19:03:38
☆ Re: / ヨッシー
３≦ｋ≦１２ を満たす整数ｋの個数は
　１２−３＋１＝１０(個)
の＋１と同じです。

ｋの下限と上限の差が９あれば、その範囲に含まれる整数は
１０個である可能性があるのです。３≦ｋ≦１２ のように。
ただし、必ず１０個とは限らないので、ｎを求めてから、
確かに１０個あることを確認しています。
No.42492 - 2017/03/13(Mon) 19:14:58
☆ Re: / 〆
すみません、ありがとうございます…
No.42493 - 2017/03/13(Mon) 19:20:43
☆ Re: / IT
数直線上に範囲を描いてみると分かりますが、
a≦k≦b…(1)　のa,bがともに整数なら
(1)を満たす　整数ｋの個数はb-(a-1)=b-a+1 です。

小さなa,bで具体的に調べてみるのは、けっこう大事です。
No.42494 - 2017/03/14(Tue) 08:31:54
☆ Re: / 〆
ありがとうございます…それと、今ふと新しく考えて見たのですが、nの「最大値」となる場合はどうなるのでしょうか…グラフにしてみても全く思い浮かびません…
No.42498 - 2017/03/14(Tue) 16:58:14
☆ Re: / IT
x,yについての不定方程式9x+11y=n が、ちょうど10組の負でない整数解(x,y)を持つような自然数nの最大値を求めよ。という問題だとします。

9x+11y=nを満たす負でない整数解(x,y)を辞書式順序でならべると
(s,t),(s+11,t-9),(s+11×2,t-9×2),....,(s+11×k,t-9×k),....　　s,ｔは負でない整数で0≦s＜11 と書ける.

これがちょうど10組なので　t-9×9≧0かつt-9×10＜0
すなわち 0≦s≦10かつ81≦t≦89
よって条件を満たすnの最大値は9×10+11×89 = 1069
解がちょうど10組となるnの最小値は9×0+11×81 = 891
No.42506 - 2017/03/15(Wed) 20:59:58
☆ Re: / 〆
一個上の画像の様な解き方で、nの最大値を求めて見たところ、「989」出て、実際に、負でない解の組も10組だったのですが、これはどこが間違いなのでしょうか……
No.42509 - 2017/03/16(Thu) 07:11:50
☆ Re: / IT
答案をすべて見ないとどこが間違いか分かりません。
No.42510 - 2017/03/16(Thu) 07:47:16
☆ Re: / 〆
一個上の画像の、青線の不等式の不等号を「<10 」として、整数nの最大値を出しました…
(5n/11)-(4n/9)<10 とすれば、
(4n/9)≦k≦(5n/11) の「k」の個数(x,yの解の組数)が、9+1 個となり、nの最大値も分かるかと思ったのですが、これをグラフ的に考えようにも全く考えが浮かばず、悩んでおります…
何が分からないのかが、もはや分からなく、駄文となってしまい申し訳ないのですが、整理いたしますと、
(5n/11)-(4n/9) が10以上になった時点で、(4n/9)≦k≦(5n/11) のkは、そもそも11以上になってしまうのでは？という事です…そもそも、nの最大値を求める場合は、「この」考え方を利用するのはナンセンスなのでしょうか…
No.42511 - 2017/03/16(Thu) 07:53:29
☆ Re: / IT
>整理いたしますと、
>(5n/11)-(4n/9) が10以上になった時点で、
>(4n/9)≦k≦(5n/11) のkは、そもそも11以上になってしまうのでは？という事です

　(4n/9)≦k≦(5n/11) を満たす整数kの個数は、nの増加にしたがって 単調増加するのではなくて少し増減(±1）しながら大きな動きとしては増加します。
No.42552 - 2017/03/18(Sat) 19:16:20
★ 関数の極限値をもとめる問題です / あざらし
大学受験生です
lim(x→∞)(1-2^x)/2^1/x
の極限値がうまく求まりません。教えていただけませんか。
No.42477 - 2017/03/12(Sun) 09:51:34
☆ Re: 関数の極限値をもとめる問題です / IT
他で解決済みのようですね。
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=75464
No.42478 - 2017/03/12(Sun) 11:49:24
★ 分数を含む因数分解 / ふなっし
x^2+2x+2+1/xを因数分解したいのですが、
どのようにやるのでしょうか。
相反方程式では上手くいきませんでした。
因数定理しか方法はないのでしょうか？
解法を教えて下さい、よろしくお願いします。
No.42470 - 2017/03/11(Sat) 17:49:13
☆ Re: 分数を含む因数分解 / らすかる
分数だと結果が一意に定まりませんが、例えば
x^2+2x+2+1/x
=(x^3+2x^2+2x+1)/x
={(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1)}/x
={x(x^2+x+1)+(x^2+x+1)}/x
=(x+1)(x^2+x+1)/x
=(x+1)(x+1+1/x)
とはできますね。
No.42471 - 2017/03/11(Sat) 19:22:01
☆ Re: 分数を含む因数分解 / ふなっし
参考にさせて頂きます。
ありがとうございました。
No.42474 - 2017/03/11(Sat) 21:46:57
★ どう整理しろと？ / 数学初心者
これを整理すると、とありますが
ちょっとうまくいきませんので
ご教授よろしくお願い申し上げますm(_ _)m
No.42466 - 2017/03/11(Sat) 17:00:49
☆ Re: どう整理しろと？ / noname
整理する前の等式の左辺と右辺はそれぞれ

(左辺)＝-dc(a+d)x^2+{-d(bc+d^2)+bc(a+d)}x+b(bc+d^2),
(右辺)＝c(a^2+bc)x^2+{cb(a+d)-a(a^2+bc)}x-ab(a+d)

であるから，

(右辺)-(左辺)
＝{c(a^2+bc)+dc(a+d)}x^2+{cb(a+d)-a(a^2+bc)+d(bc+d^2)-bc(a+d)}x-ab(a+d)-b(bc+d^2)
＝c(a^2+ad+d^2+bc)x^2+{-a(a^2+bc)+d(bc+d^2)}x-b(a^2+ad+d^2+bc)
＝c(a^2+ad+d^2+bc)x^2+{d^3-a^3+bc(d-a)}x-b(a^2+ad+d^2+bc)

が成立し，ゆえに整理後の等式が得られます．


※式変形のコツは，全部展開しようとせずに式の整理をうまく行うことです．
No.42469 - 2017/03/11(Sat) 17:31:20
☆ Re: どう整理しろと？ / 数学初心者
返信遅れました

只今確認できました、
ありがとうございますm(_ _)m

複雑に考えすぎずに確実に計算の整理ができるように他の類題も解いてみて力をつけたいと思います。
No.42490 - 2017/03/13(Mon) 13:57:24
★ 累乗根 / Triscuit
累乗根（数B、数IIくらいだと思います）についてのことです
どうやって解くのか教えてください！
小さい数字が一緒ならわかるのですが…
ちなみに答えは「3」です
No.42461 - 2017/03/11(Sat) 14:16:04
☆ Re: 累乗根 / IT
3^(1/6) などの記法は習っておられますか？
No.42462 - 2017/03/11(Sat) 14:22:09
☆ Re: 累乗根 / IT
> 小さい数字が一緒ならわかるのですが…
小さい数字 を6,3,4の 最小公倍数の12に統一するといいのでは？
No.42463 - 2017/03/11(Sat) 14:34:44
☆ Re: 累乗根 / Triscuit
ありがとうございます！
わかりました＼(≧ω≦)／
No.42464 - 2017/03/11(Sat) 14:59:45
★ 文章題 / 田丸
（１）（２）の問題は、ひとつずつ組み合わせて解くのですか？よろしくお願いします。
No.42451 - 2017/03/11(Sat) 09:22:40
☆ Re: 文章題 / ヨッシー
ひとつずつというのは
　９００について考えて、
　１１３０について考えて、
　　・・・
を４回やるのか？ということでしょうか？

やり方としては、そういうことになりますが、
見つけ方は工夫することで楽にはなります。
No.42452 - 2017/03/11(Sat) 09:34:05
☆ Re: 文章題 / 田丸
そうです。見つけ方は工夫することで楽にはなります。どの様に解くのか教えてください。
No.42456 - 2017/03/11(Sat) 13:02:56
☆ Re: 文章題 / IT
横から失礼します。　
>どの様に解くのか教えてください.
解答手順を教えて欲しいということですか？解いて見せてということですか？

x,yの方程式は使っていいですか？

(1) x,yの方程式を使った解答手順を示しますので出来るところまでやって書き込んでください。
１　５０円切手の枚数をｘ、８０円切手の枚数をｙとして式を立てる。
２　全体を10で割る。

３　移項して整理する。

４　整数の性質（約数・倍数）を使ってｘ、ｙを絞る。

５　ｘが最小のとき（すなわちｙが最大のとき）合計枚数が最も少なくなるので、そのときを調べる。
No.42458 - 2017/03/11(Sat) 13:42:11
☆ Re: 文章題 / IT
方程式より、表を作って調べた方が確実で速いかも知れません。
５０円切手は0から7枚までの場合を調べれば良いです。
50円×8枚＝400円は80円切手5枚にした方が合計枚数が少なくなりますから。
No.42459 - 2017/03/11(Sat) 13:49:43
☆ Re: 文章題 / 田丸
ｘが２ｙが１０
ｘが５ｙが１１
ｘが６ｙが１３
ｘが４ｙが１７
80円切手の枚数を多くした方が合計枚数が少なくなるからですよね。
No.42475 - 2017/03/12(Sun) 07:27:40
☆ Re: 文章題 / IT
そうですね。
No.42476 - 2017/03/12(Sun) 07:58:57
☆ Re: 文章題 / ヨッシー
例えば、目標の金額に３０を次々足していって、
最初に８０の倍数になるまでに足した回数が、５０円の枚数です。
（最初から８０の倍数の時は、５０円は０枚）
　９００＋３０＋３０＝９６０　５０円が２枚（８０円が１０枚）
　１１３０＋３０×５＝１２８０　５０円が５枚（８０円が１１枚）
といった具合です。

３０は８０と５０の差額です。
No.42488 - 2017/03/12(Sun) 22:55:10
★ 数列 / 名無し
(1)と(2)の解き方がわかりません。よろしくお願いします。
No.42447 - 2017/03/11(Sat) 00:35:01
☆ Re: 数列 / X
(1)
(与式)=Σ[k=1〜n](k^2)(n-k+1)
=Σ[k=1〜n](nk^2-k^3+k^2)
=nΣ[k=1〜n]k^2-Σ[k=1〜n]k^3+Σ[k=1〜n]k^2
=…

(2)も同様な方針で与式をまずΣで
表すことを考えます。
No.42448 - 2017/03/11(Sat) 06:00:38
☆ Re: 数列 / 名無し
ありがとうございます。
No.42467 - 2017/03/11(Sat) 17:15:11
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