y=f(x)の逆関数をy=g(x)とします。y=f(x)のグラフが(a,b)を通るとき、a=g(b)になるらしいのですが、ここがよくわからないです。
y=f(x)の逆関数を求めるには、xとyを入れ替えてからyについて解くと教わりました。
b=f(a)から、aとbを入れ替えて、a=f(b)となり、これをbについて解くとb=g(a)になります。どこを考え違いしているのでしょうか。
わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。
|
No.42835 - 2017/04/17(Mon) 22:33:56
| ☆ Re: 逆関数 / たなお | | | こんばんは。わかりにくかったら再度質問してください。
「y = x^2 + 1」を例にして説明していきますね。
＞b=f(a)から、aとbを入れ替えて、a=f(b)となり、これをbについて解くとb=g(a)になります。
これはただ単に、逆関数を求める作業をしていることと同じです（x,yをそれぞれa,bと置いただけ）。
ーーーーーーーーーー
y = x^2 + 1
↓
x = y^2 + 1
↓
y^2 = x - 1
↓
y = ±√(x - 1)
ーーーーーーーーーー
それに対して、
＞y=f(x)の逆関数をy=g(x)とします。y=f(x)のグラフが(a,b)を通るとき、a=g(b)になる
が言っていることを表すと以下のようになります。
ーーーーーーーーーー
y = x^2 + 1
↓（入れ替えずに）
x^2 = y - 1
↓
x = ±√(y - 1) ←逆関数のxとyを入れ替えた形になった！
ーーーーーーーーーー
要するに、逆関数y=g(x)のxとyを入れ替えてあげると、y=f(x)におけるxを求める式になるということです。
|
No.42837 - 2017/04/17(Mon) 23:17:58 |
| ☆ Re: 逆関数 / angel | | | 例えば f(1)=1, f(2)=4, f(3)=9, … となるような f が有ったとして、
値を逆転させた g(1)=1, g(4)=2, g(9)=3, … が成立すること。これこそが「 g が f の逆関数」であることの最重要ポイント ( というよりほとんど定義 ) です。
※これは、f(x)=x^2 ( x≧0 ) に対する逆関数 g(x)=√x ( x≧0 ) の例です
なので、g が f の逆関数で f(a)=b と分かっているのであれば、g(b)=a となるのは逆関数としての基本的な性質となります。
> y=f(x)の逆関数を求めるには、xとyを入れ替えてからyについて解くと教わりました。
これ自身特に間違ってはいないのですが、それは f の形から g を具体的に導くための計算手段と見てください。
f(a)=b ⇒ g(b)=a というのは、逆関数としての性質なのです。
|
No.42838 - 2017/04/17(Mon) 23:21:29 |
| ☆ Re: 逆関数 / たなお | | | ※補足※
恵さんは以下の操作を実施してますね。
＞b=f(a)から、aとbを入れ替えて、a=f(b)となり、これをbについて解くとb=g(a)になります。
勘違いしやすいですが、a と b は y=f(x) 上の具体的な点(a,b)のパラメータです。なので、それぞれ定数として扱う必要があります。
従って、y=f(x)に a と b を代入してから入れ替えるのは間違った操作になります。
実際に定数を使って示すと、点(1,2) だった場合、
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
2 = 1^2 + 1
↓入れ替える
1 = 2^2 + 1
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
とやっているのと同じことです。これは明らかに変ですよね。
変数として扱う文字と、定数として扱う文字の区別には注意しましょう。
|
No.42839 - 2017/04/17(Mon) 23:51:02 |
| ☆ Re: 逆関数 / 恵 | | | No.42856 - 2017/04/18(Tue) 22:42:56 |
|
