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★ 定積分 / MIKE
以下の定積分を計算せよ。

∫[0→π] xsinx/(1+cos²x) dx

よろしくお願いします。
No.43161 - 2017/05/13(Sat) 10:40:14
☆ Re: 定積分 / らすかる
∫sinx/{1+(cosx)^2}dx は
cosx=tとおくと-sinxdx=dtなので
∫sinx/{1+(cosx)^2}dx
=-∫1/(1+t^2)dt
=-arctant
=-arctancosx
よって
∫[0→π]xsinx/{1+(cosx)^2}dx
=-[xarctancosx][0→π]+∫[0→π]arctancosx dx
=π^2/4+0
=π^2/4
No.43162 - 2017/05/13(Sat) 11:12:47
☆ Re: 定積分 / MIKE
ありがとうございました。
No.43163 - 2017/05/13(Sat) 11:28:15
★ 数1 / EX
次の方程式、不等式を解け。
（1）｜x-1|+|x-2|=x
(2) 2|x+1|-|x-1|＞x+2

お願いします。
No.43158 - 2017/05/12(Fri) 23:19:51
☆ Re: 数1 / ヨッシー
(1)
ｘ＜１ のとき
　|x-1|＝1-x, |x-2|＝2-x
　1-x+2-x＝x　より　ｘ＝１　・・・不適
１≦ｘ＜２ のとき
　|x-1|＝x-1, |x-2|＝2-x
　x-1+2-x＝x　より　ｘ＝１　・・・答１
２≦ｘ　のとき
　|x-1|＝x-1, |x-2|＝x-2
　x-1+x-2＝x　より　ｘ＝３　・・・答２
以上より　ｘ＝１，３

(2)
ｘ＜−１ のとき
　|x+1|＝-x-1, |x-1|＝1-x
　−2(x+1)−(1-x)＞x+2　より　x＜-2/5
−１≦ｘ＜１　のとき
　|x+1|＝x+1, |x-1|＝1-x
　2(x+1)−(1-x)＞x+2　より　x＞1/2
１≦ｘ　のとき
　|x+1|＝x+1, |x-1|＝x-1
　2(x+1)−(x-1)＞x+2　より　　１＞０
以上より
　ｘ＜-2/5、1/2＜ｘ
No.43159 - 2017/05/13(Sat) 07:19:00
★ (No Subject) / こんちき
a^1/nの極限で、指数関数の連続性を用いず場合分けでの解答を教えてください！a＞0で！
No.43152 - 2017/05/12(Fri) 15:27:05
☆ Re: / IT
a＞1 のときをやります。

f(n)=a^(1/n) とおくと　f(n)^n=a,またf(n)＞1

任意の自然数nについて
　f(n+1)^n＜f(n+1)^(n+1)=f(n)^n=a
　∴1＜f(n+1)＜f(n)

数列{f(n)}は単調減少で下に有界,したがって収束する。

lim[n→∞]f(n)=αとおく。
α≧1である。

α＝1+2h,(h＞0）のとき、
　自然数Mがあって、n≧Mなるすべての自然数nについて f(n)≧1+hとなる。
　このとき　a=f(n)^n≧(1+h)^n≧1+nh →∞(n→∞) となり不適。
　　　　　　（1+nh ＞a となるnが存在することを示せば十分です。）

したがってα＝１である。

０＜a＜1 のとき　b=1/a とすると　1 ＜b
よって lim[n→∞]b^(1/n) = 1
lim[n→∞]a^(1/n)=lim[n→∞](1/b^(1/n))=1
No.43155 - 2017/05/12(Fri) 19:11:26
☆ Re: / IT
同様の問題が下記に質問されて解答があります。
（こちらの解答の方がすっきりしていいかも）
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=76356
No.43160 - 2017/05/13(Sat) 08:50:06
★ 整数 / たゆたう
pを素数でない4以上の自然数とする。pを素数の積で表し、その素数すべての和をXとする。例えば、p=12のときは 12=2×2×3であるから、X=2+2+3=7とする。 X=nとなる自然数pのうち、素数の積で表したときに5以上の素数を含む数は最大の数ではないことを証明しなさい。という問題ですが解き方を教えてください。
No.43151 - 2017/05/12(Fri) 15:13:27
☆ Re: 整数 / WIZ
pの素因数の和を、X = S(p)と表すことにします。
u, vを自然数として、p = uvならば、S(p) = S(u)+S(v)です。
特にuが素数ならば、S(u) = uです。
1は素因数を持たないので、S(1) = 0と考えます。

qを5以上の素数とすると、qは奇数ですから、ある自然数mが存在してq = 2m+3と表せます。
kを自然数として、p = qkとすると、S(p) = S(qk) = q+S(k)です。
同様に、r = (2^m)*3*kとすると、S(r) = 2m+3+S(k) = q+S(k)です。

ここで、(2^m)*3 > 2m+3であることが証明できれば題意の成立が言えます。

m = 1のとき、(2^1)*3 > 2*1+3は成立します。
tを自然数として、m = tのときに (2^t)*3 ≧ 2t+3 が成立すると仮定します。
すると、(2^(t+1))*3 = (2^t)*2*3 ≧ (2t+3)*2 > 2(t+1)+3 ですから、m = t+1の場合も成立します。
以上から、数学的帰納法により任意の自然数mについて、(2^m)*3 ≧ 2m+3 です。

よって、5以上の素数qは自然数mを用いて q = 2m+3 と表せるので、任意の自然数kに対して、
S(qk) = S((2^m)*3*k)ですが、(2^m)*3*k > qkなので、qkは最大ではないといえます。
No.43153 - 2017/05/12(Fri) 15:59:23
☆ Re: 整数 / たゆたう
(2^m)*3 > 2m+3であることが証明できれば題意の成立が言えるのはなぜか教えてください。
No.43154 - 2017/05/12(Fri) 17:45:17
☆ Re: 整数 / WIZ
私の解説の繰り返しになりますが、

n = S(w) となる自然数wが5以上の素因数qを持っている場合、kを自然数として w = qk と表せる。
そして、w = qk が n = S(w) となる最大の自然数ではないと言えるのは、
qk より大きい自然数である (2^m)*3k が存在して、S((2^m)*3k) = n であるからです。

それで、上記の根拠として、
(1) 5以上の素数qは自然数mを用いて q = 2m+3 と表せる。
(2) S(q) = q = 2m+3, S((2^m)*3) = 2+2+・・・+2+3 = 2m+3、つまり S(2m+3) = S((2^m)*3) である。
(3) (2^m)*3 > 2m+3 である。
・・・ということを補足説明した訳です。
No.43156 - 2017/05/12(Fri) 20:32:54
☆ Re: 整数 / たゆたう
理解できました。ありがとうございました。
No.43157 - 2017/05/12(Fri) 20:54:33
★ 円順列 / 前進
なぜ重複度が５とわかるのでしょうか？順列として考えているようですが図なので説明をお願いしたいです
No.43148 - 2017/05/12(Fri) 00:53:02
☆ Re: 円順列 / ヨッシー
上の図で、５つ描かれている円状の並べ方は、回転すればすべて同じなので、１通りと数えます。

つまり、順列では５通りに数えられるものが、円順列では１通りとなるので、重複度は５です。
No.43149 - 2017/05/12(Fri) 01:16:10
☆ Re: 円順列 / 前進
返信遅れて申し訳ありません。理解できました。ありがとうございました。
No.43224 - 2017/05/19(Fri) 08:53:36
★ 偏微分の問題 / たなお
偏微分についてわからない問題があります。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜問題＞
x = u^2 + v^2 , y = uv , z = f(sinx , cosy) とする。偏導関数 ∂z/∂u を ∂z/∂x , ∂z/∂y を用いて表せ。

＜回答＞
∂z/∂u = 2u*(∂z/∂x)*cosx - v*(∂z/∂y)*siny
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

自分で行った計算は添付画像の通りです。
どこで考え違いをしているのでしょうか。

よろしくお願い致します。
No.43130 - 2017/05/11(Thu) 15:51:36
☆ Re: 偏微分の問題 / たなお
すいません、画像の中に一部正しくない部分があったので再UPします。
訂正箇所は赤文字で表記しています。

ちなみに、書き間違いの部分は計算結果には影響ありません。
よろしくお願い致します。
No.43137 - 2017/05/11(Thu) 17:25:32
☆ Re: 偏微分の問題 / angel
これ、問題と答えが合ってないんじゃないでしょうか。

　x = u^2 + v^2 , y = uv , z = (何か)
　→ ∂z/∂u=2u・∂z/∂x + v・∂z/∂y

ですよ。z の形に関わらず。sin や cos は出てきません。

　偏導関数 ∂z/∂u を ∂f/∂x , ∂f/∂y を用いて表せ
　→∂z/∂u = 2u(∂f/∂x)cosx - v(∂f/∂y)siny

なのでは。それなら辻褄が合います。
No.43139 - 2017/05/11(Thu) 21:26:24
☆ Re: 偏微分の問題 / 関数電卓
∂z/∂u＝∂z/∂x･∂x/∂u＋∂z/∂y･∂y/∂u＝2u･∂z/∂x＋v･∂z/∂y
で終わりではないですか？
No.43141 - 2017/05/11(Thu) 21:50:52
☆ Re: 偏微分の問題 / 関数電卓
出題者の意図は，
　z＝f(X,Y), X＝sinx, Y＝cosy, x＝u^2＋v^2, y＝uv で
　∂z/∂u＝∂f/∂X･∂X/∂x･∂x/∂u＋∂f/∂Y･∂Y/∂y･∂y/∂u を上のように略記している
と解釈したのですが…
No.43142 - 2017/05/11(Thu) 22:03:28
☆ Re: 偏微分の問題 / たなお
angelさん、関数電卓さん

ご回答ありがとうございます。
念のため、実際に記載されている問題を写真に撮って添付します。
画像の３の(2)です。

実際には ∂z/∂u と ∂z/∂v を求めることになっていますが、片方がわかればもう片方は同じように解けると考え、 ∂z/∂u の解き方のみ伺いました。

私が何か勘違いをしていますでしょうか？
よろしくお願い致します。

＞angelさん
∂z/∂x と ∂f/∂x は同じものとして扱っていいと思っていましたが、もし違いがあるのなら、その部分も教えていただけますでしょうか。
No.43144 - 2017/05/11(Thu) 22:17:56
☆ Re: 偏微分の問題 / たなお
ちなみに本は裳華房の微分積分です。
最新の正誤表も確認しましたが、誤記載ではないようです。

あと念のため、回答のページの写真も送付します。
申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。
No.43145 - 2017/05/11(Thu) 22:27:36
☆ Re: 偏微分の問題 / 関数電卓
本の解答は，∂z/∂x という記号を，∂z/∂(sinx) の意味で使っていますね。間違いと言えば、間違いでしょう。
いずれにしても、例えば、f(sinx,cosy)＝sinx＋cosy のように f が具体的に与えられれば、間違うことはありません。
No.43146 - 2017/05/11(Thu) 22:50:14
☆ Re: 偏微分の問題 / angel
誤植でないことは了解しました。が、いずれにせよ、これは問題集の書き方が悪いです。

∂z/∂x ( 原文では z に下添え字 x ) での z は f(x,y) のことですし、
∂z/∂u ( 原文では z に下添え字 u ) での z は f(sinx,cosy) のことのようです。
つまり、別のものを同じ記号 z で表してしまっている訳で、紛らわしいことこの上ないです。

> ∂z/∂x と ∂f/∂x は同じものとして扱っていいと思っていましたが、もし違いがあるのなら、その部分も教えていただけますでしょうか。

z=f(x,y) なのであれば、∂z/∂x のことを ∂f/∂x とも表しますし、それで問題ありません。
しかし、問題文で z=f(sinx,cosx) と言ってしまっている以上、∂z/∂x と ∂f/∂x は別物です。

ということで、やはり、
> 偏導関数 ∂z/∂u を ∂f/∂x , ∂f/∂y を用いて表せ
とすべきところを書き間違えた、と見るほかなさそうです
No.43147 - 2017/05/11(Thu) 23:28:06
☆ Re: 偏微分の問題 / たなお
関数電卓さん、angelさん

回答ありがとうございます。
なるほど。問題の書き方におかしいところがあるのですね。
理解できました。

本当に助かりました。
ありがとうございます。
No.43150 - 2017/05/12(Fri) 01:58:48
★ (No Subject) / アナザー
この問題がわからなくてこまってます。誰か解き方と答えを教えてください。お願いします。わかるとこだけでもかまいません。
No.43129 - 2017/05/11(Thu) 12:38:20
☆ Re: / たなお
こんにちは。
問題が複数あって書くのに時間かかるので、
書けたものから順番にアップしますね。
わからない部分があれば再度質問してください。

【６】
y = x^2 - 4ax - 6a
　= (x - 2a)^2 - 4a^2 - 6a

よって頂点の座標は
P（2a , -4a^4 - 6a）

よって、Pの軌道は媒介変数表示で以下のように表せる
　x = 2a ・・・（１）
　y = -4a^2 - 6a　・・・（２）

（１）より
　a = x/2

（２）に代入して
　 y = -4*(x/2)^2 - 6*(x/2)
= -x^2 -3x

よってPの軌道は

　y = -x^2 -3x
No.43131 - 2017/05/11(Thu) 16:07:24
☆ Re: / たなお
すいません、以下訂正です。

＜誤＞
よって頂点の座標は
P（2a , -4a^4 - 6a）

＜正＞
よって頂点の座標は
P（2a , -4a^2 - 6a）
No.43132 - 2017/05/11(Thu) 16:19:04
☆ Re: / たなお
【7】
　　x^2 + y^2 + 3ax - 2(a^2)y + a^4 + 2a^2 -1 = 0
⇔　(x+3a/2)^2 - (9a^2)/4 + (y-a^2)^2 + 2a^2 -1 = 0
⇔　(x+3a/2)^2 + (y-a^2)^2 = (5a^2)/4 +1

よって円の中心の座標（Qとする）は
Q（-3a/2 , a^2）

よって、Qの軌道は媒介変数表示で以下のように表せる
　x = -3a/2 ・・・（１）
　y = a^2　・・・（２）

（１）より
　a = -2x/3

（２）に代入して
　 y = (-2x/3)^2
　　= (4x^2)/9

よってQの軌道は

　y = (4x^2)/9
No.43133 - 2017/05/11(Thu) 16:22:36
☆ Re: / たなお
【８】
f(x) = x^2 + 4x - 4 - 4a(x-1)
= x^2 - 4(a-1) + 4(a-1)
= {x - (a-1)}^2 - 4(a-1)^2 + 4(a-1)
= {x - (a-1)}^2 - 4(a^2 - 2a + 1 - a + 1)
= {x - (a-1)}^2 - 4(a-2)(a-1)

よって頂点の座標は
（a-1 , -4(a-2)(a-1)）　　　　（←　★1問目の回答）

よって、頂点の軌道は媒介変数表示で以下のように表せる
　x = a-1 ・・・（１）
　y = -4(a-2)(a-1)　・・・（２）

（１）より
　a = x+1

（２）に代入して
　 y = -4*(x-1)*x
　　= -4x^2 + 4x
= -(2x-1)^2 + 1　　　　　（←　★2問目の回答）

（１）より、0 < a <= 2 のとき、-1 < x <= 1となるので、グラフを書くと画像のようになる（画像が３問目の回答）。
No.43135 - 2017/05/11(Thu) 16:48:51
☆ Re: / たなお
以上です。最後画像が横向きになってしまいすいません。

わからないところあれば再度質問願います。
No.43136 - 2017/05/11(Thu) 16:57:09
★ (No Subject) / ビット
ある池の周りをAとBが同じ地点Pから反対方向へ同時に出発さたところ、Aが12周、Bが7周した所で再びP地点で出会った。このとき、AとBは途中で何回出会ったことになるか。

18回です。よろしくお願いします
No.43124 - 2017/05/11(Thu) 00:09:03
☆ Re: / ヨッシー

図は、Ａ(青)が２周、Ｂ(赤)が３周してＰ地点で出会う例ですが、
右のようにＢの位置を固定して考えると、Ａだけが５周して
Ｐ地点に戻るのと同じです。
５周回るので、途中Ｂの位置を通るのは４回です。

元の問題では、１２＋７−１＝１８(回)　です。
No.43126 - 2017/05/11(Thu) 02:14:34
★ (No Subject) / アクア
この問題の解き方と答えを教えてください。お願いします。
No.43122 - 2017/05/10(Wed) 22:12:02
☆ Re: / X
9
P(X,Y)と置くと、条件から
X=-a (A)
Y=a-a^2 (B)
一方、条件からxの二次方程式
x^2+2ax+a=0
の解の判別式をDとすると
D/4=a^2-a＞0 (C)
(C)を解いてaの範囲を求め、これと(A)により
Xの値の範囲を求めます。
更に(A)(B)からaを消去してYをXの式で表します。

10
(1)
問題の方程式より
(x-2k)^2+{y+(3k-1)}^2=4k^2+(3k-1)^2-(14k^2-8k+1) (A)
これが円の方程式となるためには半径について
4k^2+(3k-1)^2-(14k^2-8k+1)＞0
これをkの不等式として解きます。

(2)
円の中心の座標を(X,Y)と置くと(A)により
X=4k (B)
Y=-3k-1 (C)
(1)の結果と(B)よりXの値の範囲を求めます。
次に(B)(C)からｋを消去し、YをXの式で表します。
No.43127 - 2017/05/11(Thu) 06:04:04
☆ Re: / アクア
忙しいなか教えていただきありがとうございました。
No.43128 - 2017/05/11(Thu) 07:18:47
☆ Re: / X
もうみていないかもしれませんが、ごめんなさい。
10(1)において誤りがありましたので、No.43127を
直接修正しておきました。
再度ご覧下さい。
No.43138 - 2017/05/11(Thu) 17:32:32
★ (No Subject) / 〆
この例題の⑵が分かりません。⑵の➁の式k+l=c までは出せるのですが、何故この式の解(k l)が、(1 , c-1) (2 , c-2) ... (c-1 , 1) だから、題意を満たす格子点の個数が(c-1)個という事になるのでしょうか？
No.43117 - 2017/05/10(Wed) 14:33:58
☆ Re: / ヨッシー
ｋ＋ｌ＝ｃ の ｋ，ｌ，ｃ はすべて自然数なので、
例えば、ｋ＋ｌ＝５ を満たす(k, l) は、
　(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
の４個ですね？
ｋの値だけを見ると、
　１，２，３・・・ｃ−１
ですので、ｃ−１個です。
　
No.43118 - 2017/05/10(Wed) 14:58:48
☆ Re: / 〆
ありがとうございます！、
No.43120 - 2017/05/10(Wed) 15:18:22
☆ Re: / 〆
すみません…やはり少しわからないところがあります。そもそもなぜ、(x/a)+(y/b)=1 と言う式を変形しただけで、最終的に線分上の格子点の個数が分かるのでしょうか… この式と、その格子点の個数との関連性がイマイチ言葉として掴めません…
No.43121 - 2017/05/10(Wed) 20:17:31
☆ Re: / angel
例えば a=35,b=56 としましょうか。直線としては x/35+y/56=1

この上の格子点としては、(10,40) というのが1つあるんですが ( 10/35+40/56=1 が成立しますから )、その隣の、やはりこの直線上にある格子点はどこか? と考えてみます。

すると、
　x/35+y/56=1
　10/35+40/56=1
辺々引いて
　(x-10)/35+(y-40)/56=0
　8(x-10)=5(40-y)
なので、次 ( xが増える方 ) だと、x-10=5, 40-y=8 となる (15,32) となります。
つまりxは5ずつ増え、yが8ずつ減る。5,8は互いに素ですから、こうなるしかないのです。

で、この5,8がどこから出てきたかと言えば、a=35,b=56 の最大公約数 c=7 に対して、a/c=5, b/c=8 だからです。

格子点を全部書き出してみると、
　(5×1,8×6),(5×2,8×5),(5×3,8×4),(5×4,8×3),(5×5,8×2),(5×6,8×1)
この×の後ろだけ見れば 1〜c-1 が綺麗に並んでる、ということです。

※約分してみれば、
　5/35+48/56=1, 10/35+40/56=1, 15/35+32/56=1, …, 30/35+8/56=1 は
　1/7+6/7=1, 2/7+5/7=1, 3/7+4/7=1, …, 6/7+1/7=1
　という組を列挙してるのと変わらないと分かります
No.43123 - 2017/05/10(Wed) 22:17:12
☆ Re: / 〆
返信ありがとうございます。少し気になる事があったのですが、画像の最後に小さく書いてある、a b(切片)が互いに素の時、題意を満たす格子点は存在しなくなる。とありますが、これは要するに、a b切片が、両者整数値の時のみ、(a b の最大公約数-1)という認識でよろしいでしょうか？ a b が少数の時の最大公約数 となるとまた話は別ですか？
No.43125 - 2017/05/11(Thu) 01:03:28
☆ Re: / angel
> a b切片が、両者整数値の時のみ、(a b の最大公約数-1)という認識でよろしいでしょうか？

はい。そうですね。(a b の最大公約数)が c として表されていて、c=1 つまり「互いに素」であれば、条件を満たす格子点は 1-1=0個、つまり「存在しない」です。

> a b が少数の時の最大公約数 となると
あくまでa,bが整数ということで話を整理していますから、またそれは別の話ですね。( そもそも学校の範囲では小数の約数・倍数は扱わないというのもありますが )
No.43140 - 2017/05/11(Thu) 21:42:08
★ (No Subject) / ボルト
解き方が分かりません…
教えてください。よろしくお願いします。
No.43110 - 2017/05/09(Tue) 19:42:03
☆ Re: / angel
アプローチは2つ。幾何での性質を元に考えること、ベクトルとしての計算を元に条件を整理すること。
前者の方が圧倒的に楽ができますが、しかしそれはある程度幾何に明るければ、という条件付き。
後者は地道な計算になる代わりに、幾何に詳しくなくても答えに辿りつくことができる。得手不得手に合わせて選ぶのが良いかと思います。
No.43111 - 2017/05/09(Tue) 20:47:58
☆ 幾何的なアプローチ / angel
まずは幾何的なアプローチから。

これは(1),(2)

(1)はノーヒント
(2)は、∠AOBの二等分線とABの交点をQとした時のQの位置に着目する。→OP=k→OQ と書き表せることから s,t の関係を求める
No.43112 - 2017/05/09(Tue) 20:51:38
☆ ベクトルの計算 / angel
次はベクトルの計算

これは(2),(3)
※(1)は計算でどうこう、ではないし、(3)は幾何的な性質だけでは割とどうしようもない

(2)は、「Pが∠AOBの二等分線」を「∠AOP=∠BOP」と考えて、そこから「cos∠AOP=cos∠BOP」とする。そうすると内積の問題になる。
つまり、
　→OA・→OP=|→OA||→OP|cos∠AOP
　→OB・→OP=|→OB||→OP|cos∠BOP
なのだから、
　|→OB|→OA・→OP=|→OA|→OB・→OP

(3)問題文の条件をベクトルとして扱えるように翻訳する。
つまり、
　「PがABの垂直二等分線上」
　⇔「ABの中点をMとするとき、MP⊥AB」
その上で、
　・ABの中点Mに関して→OMを→OA,→OBを使って表すと?
　・では→MPは?
と整理、⊥は「内積が0」つまり、→MP・→AB=0 として考える。

どちらの問題でも、→OA・→OB の値が必要になるので、cosθの値を元に計算しておきます。
No.43113 - 2017/05/09(Tue) 21:00:23
☆ Re: ベクトルの計算 / ボルト
(2)の答えは3s=2tなのですが、　|→OB|→OA・→OP=|→OA|→OB・→OPから答えにたどり着けません…。どのような考えで進めたらいいのでしょうか？
No.43115 - 2017/05/09(Tue) 23:23:38
☆ Re: / angel
> どのような考えで進めたらいいのでしょうか？

一度式が立ってしまえば、後はひたすら計算。それができるのがベクトルの良い所。
どう計算を進めるかと言うと、内積を計算できる →OA,→OB のみで表すようにひたすら整理していくこと。

→OA・→OB=|→OA||→OB|cosθ=5 を先に求めておいて
( あともちろん、→OA・→OA=|→OA|^2=9, →OB・→OB=|→OB|^2=4 )

→OA・→OP
=→OA・(s→OA+t→OB)
=s→OA・→OA + t→OA・→OB
=9s+5t

→OB・→OP
=→OB・(s→OA+t→OB)
=s→OA・→OB + t→OB・→OB
=5s+4t

なので、
|→OB|→OA・→OP=2(9s+5t)
|→OA|→OB・→OP=3(5s+4t)

2(9s+5t)=3(5s+4t) を整理すると答えに辿りつきます
No.43116 - 2017/05/10(Wed) 04:12:00
★ 無理数の大小比較 / ユノ

A＝2+√14,B＝1+√17 について次の方法で大小を比較せよ。

A^2とB^2を利用する方法。

解説付きで教えてください、よろしくお願いします。
No.43107 - 2017/05/09(Tue) 15:32:27
☆ Re: 無理数の大小比較 / ヨッシー
とりあえず　Ａ^2、Ｂ^2 を計算してみましょうか。
　
No.43109 - 2017/05/09(Tue) 15:42:41
★ (No Subject) / アクア
この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。5のこたえは3ルート7で6のこたえは3ルート5/5とルート10/10です。できれば図を書いていただけるとありがたいです
No.43106 - 2017/05/09(Tue) 12:35:22
☆ Re: / ヨッシー
[5]

底面の半径４と高さ3√5 から、母線の長さＯＡは６とわかります。

展開図を描くと、上の図のようになります。
ＡＰを直線で結んだときの長さが、ＡＰの最短距離となります。

　∠ＡＯＡ’（180°より大きい方）＝360°×4/6＝240°
よって、
　∠ＡＯＡ’（180°より小さい方）＝120°
ＡＡ’の中点をＱとすると、
　∠ＡＯＱ＝60°
なので、
　ＯＰ＝ＯＱ＝３，ＡＱ＝3√3
より、△ＡＰＱにおける三平方の定理より
　求めるＡＰ＝√{(3√3)^2＋6^2}＝3√7

[6]
(1)
ＣＢ＝ｘ とおくと、
　ＣＤ＝ＣＥ＝√3ｘ
　ＣＡ＝３ｘ
となります。∠ＣＡＢ＝θと置きます。
△ＣＡＥにおける余弦定理より
　cosθ＝(9ｘ^2＋1−3ｘ^2)/6x＝ｘ＋1/6x　　・・・(i)
△ＣＡＢにおける余弦定理より
　cosθ＝(9ｘ^2＋9−ｘ^2)/18x＝4x/9＋1/2x　・・・(ii)
(i)(ii)より
　ｘ＋1/6x＝4x/9＋1/2x
両辺ｘを掛けて整理すると
　5x^2/9＝1/3
　ｘ^2＝3/5
　ｘ＝√(3/5)＝√15/5
よって、ＣＤ＝√3ｘ＝3√5/5

(2)
(i) より
　cosθ＝√15/5＋5/6√15＝23√15/90

△ＡＣＦにおける余弦定理より
　ＣＦ^2＝ＡＣ^2＋ＡＦ^2−２ＡＣ・ＡＦcosθ
これに
　ＡＣ＝3√15/5、ＡＦ＝２
を代入して
　ＣＦ^2＝27/5＋4−46/5＝1/5
△ＣＤＦにおける三平方の定理より
　ＤＦ^2＝ＣＤ^2＋ＣＦ^2＝9/5＋1/5＝２
　（ＣＦ/ＤＦ)^2＝(1/5)／2＝1/10
よって、
　cos∠ＤＦＣ＝ＣＦ/ＤＦ＝√10/10
No.43108 - 2017/05/09(Tue) 15:41:27
★ (No Subject) / アース
この問題がわかりません。解き方を教えてください。下に書いてある計算は無視してください。よろしくお願いします。
No.43102 - 2017/05/08(Mon) 22:51:04
☆ Re: / angel
> 下に書いてある計算は無視してください。

ほぼほぼ合っているようですが…( 最後の計算間違いを除いて )。

半ば繰り返しになりますが、

・△BCPにおける正弦定理より
　BP = BCsin∠C/sin∠P = 100√3×√2/2/(1/2) = 100√6
・△ABQにおける正弦定理より
　BQ = ABsin∠A/sin∠Q = 400×1/2/(√2/2) = 200√2
・△BPQにおける余弦定理より
　PQ^2
　= BP^2+BQ^2-2BP・BQcos∠B
　= (100√6)^2 + (200√2)^2 - 2×100√6×200√2×√3/2
　= 60000 + 80000 - 120000
　= 20000

よって PQ=100√2(m)
※途中、長さの単位 m は全て省略
No.43104 - 2017/05/08(Mon) 23:28:16
★ (No Subject) / りー
この問題を教えてください。
因みに、
(2)自分の答えは、1/80になり、
(3)は、3/10と1/4
になりました。
No.43099 - 2017/05/08(Mon) 22:23:43
☆ Re: / angel
答え合わせ、でしょうか。

画像にある(1)の1/8と、りーさんの(2)1/80は正解です。

が、(3)は 3/16, 2/5 で不正解です。

(3)ですが、先に

　○○○△△から3個出した時
　・○○○ … 確率 1/10 ( 3C3×2C0÷5C3 )
　・○○△ … 確率 6/10 ( 3C2×2C1÷5C3 )
　・○△△ … 確率 3/10 ( 3C1×2C2÷5C3 )
　※合計 1 つまり、この3パターンのみ

というのを確認しておきます。

そうすると、X=2 に関しては、

　・表×2+裏×1 → 赤赤白白白から赤赤白
　　3/8×3/10=9/80
　・表×3 → 赤赤赤白白から赤赤白
　　1/8×6/10=6/80

の2パターンですから、X=2の確率は 9/80+6/80

で、条件付き確率については、6/80÷(9/80+6/80) です。
No.43103 - 2017/05/08(Mon) 22:59:14
☆ Re: / りー
ありがとうございます。
理解できました。
No.43105 - 2017/05/09(Tue) 06:44:37
★ (No Subject) / ダルメシアン
この問題の解き方を教えてください。こたえは2187通りと1806通りです。よろしくお願いします。
No.43095 - 2017/05/08(Mon) 21:12:57
☆ Re: / IT
ア
７人をABCDEFGとすると
Aに配る風船は赤青黄の３通り。
Bに配るのも３通り、Cに配るのも３通り、Dに配るのも３通り、Eに配るのも３通り、Fに配るのも３通り、Gに配るのも３通り。
よって風船の配り方は全部で３^7 通り。

イ
赤青の２色だけから配るのは、２^7= 128通り、そのうち赤だけ配るのは１通り、青だけ配るのは１通り。
よって、赤青の２色を配るのは　128-2＝126通り。
同様に、赤黄の２色を配るのは　126通り、青黄の２色を配るのは　126通り　
　
１色だけ配るのは３通り。

よって３色必ず配る方法は　3^7-126-126-126-3= 1806通り。
No.43096 - 2017/05/08(Mon) 21:59:47
☆ Re: / ダルメシアン
イの答えの解き方で、なぜ2色だけから配るのを調べているんですか？
No.43097 - 2017/05/08(Mon) 22:19:07
☆ Re: / IT
すべての配り方の数から条件を満たさない配り方の数を引くためです。

>よって３色必ず配る方法は　3^7-126-126-126-3= 1806通り。
No.43100 - 2017/05/08(Mon) 22:42:12
☆ Re: / ダルメシアン
わかりました。ありがとうございます。
No.43101 - 2017/05/08(Mon) 22:49:00
★ 面積 / ICE
【問題】
z軸を軸とする半径2の円柱の側面のうち、0≦z≦yを満たす部分の面積を求めよ。

以上の問いの解法を教えてください！特に空間図形の考察に依るところのあまり大きくない、数式処理ルートでの解法があれば教えて頂きたいです。

よろしくお願いします。
No.43093 - 2017/05/08(Mon) 08:58:31
☆ Re: 面積 / ヨッシー

図において、ｘｙ平面上で、ｘ軸から角度θにおける、
断面上の点（図の●）の座標は、
　(2cosθ, 2sinθ, 2sinθ)
です。
(2,0,0) から (-2,0,0) に至るｘｙ平面上の円周を横軸（ｔ）
ｚ座標を縦軸に取ると、
　ｔ＝2θ
　ｚ＝2sinθ
より、
　ｚ＝2sin(t/2)
という関係式が出来て、これを、0≦ｔ≦2π の範囲で、
積分すれば、求める側面積となります。

答えは８となります。
No.43094 - 2017/05/08(Mon) 10:48:26
☆ Re: 面積 / WIZ
# 既にヨッシーさんによるスマートな回答があるので、以下の込み入った方法など
# お呼びでないでしょうが、一生懸命計算したのと、こういった方法もあるという紹介の意味で
# 書き込ませて頂きます。

先ず、補題として以下を解説します。

【補題】
xy平面の原点を中心とする、半径2の円の円周或いは円弧の長さを積分で求める。

円の方程式はx^2+y^2 = 2^2となりますから、x = √(4-y^2)またはx = -√(4-y^2)です。
但し、-2 ≦ y ≦ 2の範囲となります。
そして、円周の長さをLとすると、Lの値は以下の積分で与えられます。
∫[-2, 2]{√(1+(dx/dy)^2)}dy

ここで、x = √(4-y^2)のときのdx/dyは、
dx/dy = (1/2)(-2y)((4-y^2)^(-1/2)) = -y/√(4-y^2)なので、
(dx/dy)^2 = (y^2)/(4-y^2)です。

また、x ≦ 0の部分とx ≧ 0の部分の円弧の長さは同じと考えられますので、
x ≧ 0の部分、つまりx = √(4-y^2)の部分の円弧の長さを求めて2倍します。
L = 2∫[-2, 2]{√(1+(y^2)/(4-y^2))}dy = 2∫[-2, 2]{√(4/(4-y^2))}dy = 4∫[-2, 2]{1/√(4-y^2)}dy

上記は、y = 2sin(t)と置換すると、tの積分範囲は[-π/2, π/2]で、
dy/dt = 2cos(t), 1/√(4-y^2) = 1/√(4-4sin(t)^2) = (1/2)/√(cos(t)^2) = 1/(2cos(t))
# -π/2 ≦ t ≦ π/2で、cos(t) ≧ 0の為。

よって、
L = 2∫[-π/2, π/2]{1/(2cos(t))}*2cos(t)dt = 4∫[-π/2, π/2]{1}dt = 4π

ある定数aが、-2 ≦ a ≦ 2である場合の、y ≧ aを満たす円弧の長さをL(a)とすると、
L(a) = 4∫[a, 2]{1/√(4-y^2)}dyとなります。

y = 2sin(t)と置換すると、tの積分範囲は[arcsin(a/2), π/2]ですので、
L(a) = 4∫[arcsin(a/2), π/2]{1}dt = 2π-4arcsin(a/2)
【補題終了】

hを正の実数として、題意の円柱をz軸正方向に高さhで輪切りにしていきます。
1個の輪の側面積は(円周の長さ)*(高さ) = 4πhで与えられます。
また、0 ≦ z ≦ yという条件を付ければ、円周の長さの代わりに補題で求めた円弧の長さを用いることになります。

y > 2なら円弧の長さは0になりますので、意味を持つ面積を計算するのは0 ≦ z ≦ y ≦ 2の範囲となります。
nを自然数として、0 ≦ z ≦ 2の範囲をn等分し、h = 2/nとします。
すると、題意の面積をSとし、Sの近似値は、S ≒ Σ[k=1, n]{L(k*2/n)*(2/n)}となり、
区分求積法から積分へ持ち込めそうです。

S = lim[n→∞]{Σ[k=1, n]{L(k*2/n)*(2/n)}}
= ∫[0, 2]L(z)dz
= ∫[0, 2]{2π-4arcsin(z/2)}dz
= 4π-4∫[0, 2]{arcsin(z/2)}dz

u = arcsin(z/2)とおくと、sin(u) = z/2, cos(u) = (1/2)dz/duで、uの積分範囲は[0, π/2]です。
S = 4π-4∫[0, π/2]{u}*2cos(u)du
= 4π-8∫[0, π/2]{u*cos(u)}du
= 4π-8[u*sin(u)]_[0, π/2]+8∫[0, π/2]{sin(u)}du
= 4π-4π+8[-cos(u)]_[0, π/2]
= 8
No.43098 - 2017/05/08(Mon) 22:23:37
☆ Re: 面積 / ICE
お二方とも、回答ありがとうございました！
No.43119 - 2017/05/10(Wed) 15:16:38
★ 仕事算 / やのげ
連立方程式の問題
Aは仕事に慣れているチーム、Bはあまり慣れていないチーム
合わせて50人、今の人数割では一日の仕事量は同じ。
AとBの人数を逆にすると、同じ仕事が、Aは4日で終わり、
Bは9日で終わる。もともとのA、Bチームの人数を求めよ。
No.43086 - 2017/05/07(Sun) 21:09:36
☆ Re: 仕事算 / やのげ
中学１年の問題です。
Aグループ１人の仕事量をA、Bグループ１人の仕事量をB。
AグループはX人、BグループはY人。
AX＝BY、X+Y＝50、4AY＝9BX。
この式そのものは正しいですか？
でも答えは出ませんよね！
No.43087 - 2017/05/07(Sun) 21:58:23
☆ Re: 仕事算 / らすかる
AX=BYからB/A=X/Y
4AY=9BXからB/A=4Y/9X
よってX/Y=4Y/9Xなので4Y^2=9X^2すなわち2Y=3X
これとX+Y=50からX=20,Y=30
No.43088 - 2017/05/07(Sun) 22:03:54
☆ Re: 仕事算 / やのげ
とてもよくわかりました。
ありがとうございました。
今後ともよろしくお願いします。

「4Y^2=9X^2すなわち2Y=3X」
これがわからないと解けないと思うのですが。
問題作成者としては、ここがポイントになるのですか？
連立方程式のセクションの問題として、
標準的な解答は他にあるのでしょうか？
No.43089 - 2017/05/07(Sun) 22:20:37
☆ Re: 仕事算 / noname
次の様に考えてもよいです．


[別解]
仕事の量を1とすると，

・Aは一日当たり1/4の量の仕事を片付ける
・Bは一日当たり1/9の量の仕事を片付ける

が言える．さて，元々のAの人数をx，Bの人数をyとすると，AとBの人数を逆にする前のAとBの一日の仕事量は同じであるから，

1/4÷y×x＝1/9÷x×y.
∴x：y＝2：3.

よって，元々のAの人数は50×2/5＝20，Bの人数は50×3/5＝30である．
No.43090 - 2017/05/07(Sun) 22:24:20
☆ Re: 仕事算 / らすかる
> 「4Y^2=9X^2すなわち2Y=3X」
> これがわからないと解けないと思うのですが。

X+Y=50からY=50-X
4Y^2=9X^2のYに代入して4(50-X)^2=9X^2
4X^2-400X+10000=9X^2
5X^2+400X-10000=0
X^2+80X-2000=0
(X+100)(X-20)=0
X＞0なのでX=20
のようにしても解けます。
No.43091 - 2017/05/07(Sun) 22:33:20
☆ Re: 仕事算 / やのげ
ありがとうございました。
二次方程式の勉強をして、理解を深めたいと思います。
これからもよろしくお願いします。
No.43092 - 2017/05/08(Mon) 08:00:34
★ 相似 / 桂
中学数学（２）が解けません。解説お願いします。
No.43083 - 2017/05/07(Sun) 18:10:22
☆ Re: 相似 / IT
ＡＤを底辺としたときの高さの比から
　△ＡＢＤ：△ＡＥＤ＝3:1
よって
　△ＡＥＢ＝2△ＡＥＤ,同様に△ＤＥＣ＝2△ＡＥＤ
よって
　□ＡＢＣＤ＝△ＡＥＤ+△ＡＥＢ+△ＣＥＢ+△ＤＥＣ
　　　　　　＝(1+2+4+2)△ＡＥＤ

よって
　△ＡＥＢ：□ＡＢＣＤ＝2:9
No.43084 - 2017/05/07(Sun) 19:14:09
★ 三角関数の不等式 / ICE
以下の問いについて、"僕の解答"よりスマートな(場合分けが煩雑でない)解法を教えてください！

【問題】
0≦x≦2π、0≦y≦2π、sinx+siny≧cosx+cosy …?@ を満たす点(x,y)の存在領域をxy平面上に図示せよ。

【僕の解答(不完全)】

与式?@の両辺に和積公式を適用し、整理すると

cos{(x-y)/2}×sin{(x+y)/2-π/4}≧0

⇔【cos{(x-y)/2}≧0 且つ sin{(x+y)/2-π/4}≧0】または【cos{(x-y)/2}≦0 且つ sin{(x+y)/2-π/4}≦0】

⇔【0≦x-y≦π 且つ 0≦(x+y)/2-π/4≦π】または【π≦x-y≦2π 且つ 〈-π/4≦(x+y)/2-π/4≦0 または π≦(x+y)/2-π/4≦7/4π〉】

⇔【x-π≦y≦x 且つ -x+π/2≦y≦-x+(5/2)π】または【x-2π≦y≦x-π 且つ 〈-x-π/2≦y≦-x+π/2 または -x+(5/2)π≦y≦-x+4π〉】

が得られる。

セオリー通りにここまで条件を変換してみたのですが、(僕の拙い数式処理技術からしてみれば)極めて煩雑な場合分けがこの後待ち受けていることに気づいてしまい、戦意を喪失しました…。そこでこのような場合分けを避けることのできるルートはないものかと思い、皆様の知恵を拝借しようと考えた次第です。
回答をお待ちしています！
No.43079 - 2017/05/07(Sun) 06:45:16
☆ Re: 三角関数の不等式 / IT
> 極めて煩雑な場合分けがこの後待ち受けていることに気づいてしまい

後は、作図でやればよいのでは？（ここまで合っているか確認してないですが）

なお境界線を頂点以外で越えると正負が変わりますので、求める領域は、市松模様（チェス盤）を斜めにしたものの一部といったものになります。
No.43080 - 2017/05/07(Sun) 09:32:15
☆ Re: 三角関数の不等式 / らすかる
sinx+siny≧cosx+cosy
(sinx-cosx)+(siny-cosy)≧0
cos(x-3π/4)+cos(y-3π/4)≧0
cos(|x-3π/4|)+cos(|y-3π/4|)≧0
cos((|x-3π/4|+|y-3π/4|)/2)cos((|x-3π/4|-|y-3π/4|)/2)≧0
x,yの範囲を限定しない場合、求めるグラフは
x方向,y方向とも周期2πで繰返すから、
幅2πのどこかの区間でグラフの形を調べて
それを繰返し、後で0≦x≦2π,0≦y≦2πの部分を
切り出せばよい。そこでまず
-π≦x-3π/4≦π, -π≦y-3π/4≦πとすると
0≦|x-3π/4|≦π, 0≦|y-3π/4|≦πなので
-π/2≦(|x-3π/4|-|y-3π/4|)/2≦π/2となり
cos((|x-3π/4|-|y-3π/4|)/2)≧0
従って
cos((|x-3π/4|+|y-3π/4|)/2)≧0 または cos((|x-3π/4|-|y-3π/4|)/2)=0
cos((|x-3π/4|+|y-3π/4|)/2)≧0 から
(|x-3π/4|+|y-3π/4|)/2≦π/2
∴|x-3π/4|+|y-3π/4|≦π … (1)
cos((|x-3π/4|-|y-3π/4|)/2)=0 から
|x-π/4|=π,|y-3π/4|=0 または |x-π/4|=0,|y-3π/4|=π
これは(1)に含まれる。
|x|+|y|≦1のグラフは(1,0)(0,1)(-1,0)(0,-1)を4頂点とする正方形なので
|x-3π/4|+|y-3π/4|≦πのグラフは(π,0)(0,π)(-π,0)(0,-π)を
4頂点とする正方形をx軸方向に3π/4,y軸方向に3π/4ずらしたもの、
すなわち(7π/4,3π/4)(3π/4,7π/4)(-π/4,3π/4)(3π/4,-π/4)を
4頂点とする正方形
このグラフは
-π≦x-3π/4≦π, -π≦y-3π/4≦πすなわち
-π/4≦x≦7π/4, -π/4≦y≦7π/4の範囲で考えたものであり、
範囲を限定しなければx方向,y方向とも周期2πとなるから
上記の正方形を縦横につなげた
◆◆◆
◆◆◆
◆◆◆
のような形になる。よって求めるグラフは
上記の正方形を縦横につなげて
0≦x≦2π, 0≦y≦2πの範囲を切り出したもの、すなわち
(7π/4,3π/4)(3π/4,7π/4)(-π/4,3π/4)(3π/4,-π/4)を
4頂点とする正方形のうちx＜0の部分の直角二等辺三角形を
xの正方向に2π移動し、y＜0の部分の直角二等辺三角形を
yの正方向に2π移動したものとなる。
No.43081 - 2017/05/07(Sun) 10:29:18
☆ Re: 三角関数の不等式 / ICE
>>ITさん

頂いたアドバイスに従い、グラフを用いて考察してみたところ、瞬殺でした(笑)これを数式(連立不等式)のまま処理しようとした自分が信じられないほどですね…。
ありがとうございました！
No.43082 - 2017/05/07(Sun) 16:44:32
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