自然数a,bはどちらも3で割り切れないが、a^3+b^3は81で割り切れる。このような(a,b)のうち、a^2+b^2の値を最小にするものと、そのときのa^2+b^2の値を求めよ。よろしくお願いします。
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No.42932 - 2017/04/23(Sun) 12:53:51
| ☆ Re: / IT | | | （2014京大理系５ ）ですね。
（条件）：自然数a,bはどちらも3で割り切れないが、a^3+b^3は81で割り切れる。
以下においてk,l,m,m',n,c,d、定数１、定数２は整数を表す。
a^3+b^3は81で割り切れるので、a^3+b^3=81n (n≧1）とおける。
一般に(3k+1)^3=3m+1、(3k-1)^3=3m'-1であり
a,bはいずれも3の倍数でないことから、a=3c+1、b=3d-1,またはa=3d-1 ,b=3c+1とおける (c≧0、d≧1）
a=3c+1、b=3d-1のとき,
a^3+b^3=(3c+1)^3+(3d-1)^3=27c^3+27c^2+9c+1+27d^3-27d^2+9d-1=81n
両辺を9で割って,3c^3+3c^2+c+3d^3-3d^2+d=9n
左辺整理して(c+d)(3(c^2-cd+d^2)+3(c-d)+1)=9n
3(c^2-cd+d^2)+3(c-d)+1は３で割り切れないので、c+dは9の倍数、よってc+d=9k (k≧1)とおける。このとき(a,b)は条件をみたす。
k≧2のとき c+d≧18 よって c≧9またはd≧10
c≧9 のとき a' =3(c-9)+1,bも条件を満たし,a' ^2+b^2＜a^2+b^2 である。
d≧10のとき a, b' =3(d-9)-1も条件を満たし,a^2+b' ^2＜a^2+b^2 である。
したがってa^2+b^2が最小となるとき、k=1すなわちc+d=9でなければならない。
このとき、d=9-c、0≦c≦8
a^2+b^2＝(3c+1)^2+(3(9-c)-1)^2
＝9c^2+6c+9(9-c)^2-6(9-c)+定数１
＝18(c-(25/6))^2+定数2
cは0以上8以下の整数なので、a^2+b^2が最小となるのはc=4のときである。
このときd=5, a=13,b=14で、a^2+b^2=13^2+14^2=365
a=3d-1 ,b=3c+1のときも同様に、a=14,b=13、a^2+b^2=365
# a' など 「’」を付けた 文字が判別しにくいので注意してください。
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No.42934 - 2017/04/23(Sun) 16:51:26 |
| ☆ Re: / ノロク | | | 京大の問題だったんですね。わかりやすい解説ありがとうございました。
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No.42938 - 2017/04/24(Mon) 00:17:43 |
| ☆ Re: / IT | | | 答案には、途中
「自然数a,bはどちらも3で割り切れないが、a^3+b^3は81で割り切れる。」と
「a=3c+1、b=3d-1,またはa=3d-1 ,b=3c+1 (c≧0、d≧1）かつc+dは9の倍数」が同値であることを明記した方がいいとですね。
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No.42956 - 2017/04/24(Mon) 19:27:38 |
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