【問題】
z軸を軸とする半径2の円柱の側面のうち、0≦z≦yを満たす部分の面積を求めよ。
以上の問いの解法を教えてください！特に空間図形の考察に依るところのあまり大きくない、数式処理ルートでの解法があれば教えて頂きたいです。
よろしくお願いします。
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No.43093 - 2017/05/08(Mon) 08:58:31
| ☆ Re: 面積 / ヨッシー  | | | 
図において、ｘｙ平面上で、ｘ軸から角度θにおける、
断面上の点（図の●）の座標は、
(2cosθ, 2sinθ, 2sinθ)
です。
(2,0,0) から (-2,0,0) に至るｘｙ平面上の円周を横軸（ｔ）
ｚ座標を縦軸に取ると、
ｔ＝2θ
ｚ＝2sinθ
より、
ｚ＝2sin(t/2)
という関係式が出来て、これを、0≦ｔ≦2π の範囲で、
積分すれば、求める側面積となります。
答えは８となります。
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No.43094 - 2017/05/08(Mon) 10:48:26 |
| ☆ Re: 面積 / WIZ | | | # 既にヨッシーさんによるスマートな回答があるので、以下の込み入った方法など
# お呼びでないでしょうが、一生懸命計算したのと、こういった方法もあるという紹介の意味で
# 書き込ませて頂きます。
先ず、補題として以下を解説します。
【補題】
xy平面の原点を中心とする、半径2の円の円周或いは円弧の長さを積分で求める。
円の方程式はx^2+y^2 = 2^2となりますから、x = √(4-y^2)またはx = -√(4-y^2)です。
但し、-2 ≦ y ≦ 2の範囲となります。
そして、円周の長さをLとすると、Lの値は以下の積分で与えられます。
∫[-2, 2]{√(1+(dx/dy)^2)}dy
ここで、x = √(4-y^2)のときのdx/dyは、
dx/dy = (1/2)(-2y)((4-y^2)^(-1/2)) = -y/√(4-y^2)なので、
(dx/dy)^2 = (y^2)/(4-y^2)です。
また、x ≦ 0の部分とx ≧ 0の部分の円弧の長さは同じと考えられますので、
x ≧ 0の部分、つまりx = √(4-y^2)の部分の円弧の長さを求めて2倍します。
L = 2∫[-2, 2]{√(1+(y^2)/(4-y^2))}dy = 2∫[-2, 2]{√(4/(4-y^2))}dy = 4∫[-2, 2]{1/√(4-y^2)}dy
上記は、y = 2sin(t)と置換すると、tの積分範囲は[-π/2, π/2]で、
dy/dt = 2cos(t), 1/√(4-y^2) = 1/√(4-4sin(t)^2) = (1/2)/√(cos(t)^2) = 1/(2cos(t))
# -π/2 ≦ t ≦ π/2で、cos(t) ≧ 0の為。
よって、
L = 2∫[-π/2, π/2]{1/(2cos(t))}*2cos(t)dt = 4∫[-π/2, π/2]{1}dt = 4π
ある定数aが、-2 ≦ a ≦ 2である場合の、y ≧ aを満たす円弧の長さをL(a)とすると、
L(a) = 4∫[a, 2]{1/√(4-y^2)}dyとなります。
y = 2sin(t)と置換すると、tの積分範囲は[arcsin(a/2), π/2]ですので、
L(a) = 4∫[arcsin(a/2), π/2]{1}dt = 2π-4arcsin(a/2)
【補題終了】
hを正の実数として、題意の円柱をz軸正方向に高さhで輪切りにしていきます。
1個の輪の側面積は(円周の長さ)*(高さ) = 4πhで与えられます。
また、0 ≦ z ≦ yという条件を付ければ、円周の長さの代わりに補題で求めた円弧の長さを用いることになります。
y > 2なら円弧の長さは0になりますので、意味を持つ面積を計算するのは0 ≦ z ≦ y ≦ 2の範囲となります。
nを自然数として、0 ≦ z ≦ 2の範囲をn等分し、h = 2/nとします。
すると、題意の面積をSとし、Sの近似値は、S ≒ Σ[k=1, n]{L(k*2/n)*(2/n)}となり、
区分求積法から積分へ持ち込めそうです。
S = lim[n→∞]{Σ[k=1, n]{L(k*2/n)*(2/n)}}
= ∫[0, 2]L(z)dz
= ∫[0, 2]{2π-4arcsin(z/2)}dz
= 4π-4∫[0, 2]{arcsin(z/2)}dz
u = arcsin(z/2)とおくと、sin(u) = z/2, cos(u) = (1/2)dz/duで、uの積分範囲は[0, π/2]です。
S = 4π-4∫[0, π/2]{u}*2cos(u)du
= 4π-8∫[0, π/2]{u*cos(u)}du
= 4π-8[u*sin(u)]_[0, π/2]+8∫[0, π/2]{sin(u)}du
= 4π-4π+8[-cos(u)]_[0, π/2]
= 8
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No.43098 - 2017/05/08(Mon) 22:23:37 |
| ☆ Re: 面積 / ICE | | | No.43119 - 2017/05/10(Wed) 15:16:38 |
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