ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 角度問題 / kei

答えは50度らしいんですが…
どうやって証明すればいいのでしょうか、
どなたかよろしくお願いいたします。

No.42770 - 2017/04/11(Tue) 20:19:09

☆ Re: 角度問題 / 関数電卓

下のスレッド (No.42769) は、ここから出て来た問題ですね？
確かに 50°のようですが、簡単じゃないですね。ホントに中学入試？もう少し考えてみます。

No.42774 - 2017/04/11(Tue) 23:01:47

☆ Re: 角度問題 / らすかる

とりあえず証明はできましたが、
もう少し簡単な方法がありそうな気がします。

三角形の上の頂点をA、左下をB、右下をC、内部の3線分の交点をDとします。
CDを延長しABとの交点をEとします。角度からAC=EC=EBとなります。
∠BEF=20°となるようにBD上にFをとります。
∠CEG=20°となるように正三角形EFGを描きます。
∠EFD=30°ですから、BDはEGの垂直二等分線です。
よって△BGEはBG=BEの二等辺三角形であり、∠EBG=20°となります。
△CEF≡△BGEから∠FCE=20°でAC=EC=FCですから
△ACD≡△FCD、従って∠CAD=∠CFD=50°です。

No.42775 - 2017/04/12(Wed) 01:18:17

☆ Re: 角度問題 / 関数電卓

なるほど！

No.42778 - 2017/04/12(Wed) 10:14:08

★ (No Subject) / kei

中2です。aとbの出し方を教えてください。

No.42769 - 2017/04/11(Tue) 20:17:07

☆ Re: / 関数電卓

４辺 or 対角線から少なくとも２つの長さが与えられないと解けません。マス目から読むのかと思ったら、あまり正確な図でもなさそうだし。

No.42771 - 2017/04/11(Tue) 21:40:56

☆ Re: / angel

角度だけだと決まらない、というやつですね。尤も、適当に長さが与えられたとしても、綺麗な値として角度が計算できることはほぼ無いですが。
※計算の方法そのものは、高校の三角比の範囲です

No.42772 - 2017/04/11(Tue) 21:45:09

★ 平均値の問題 / たなお

以下問題が解けません。ご教授願います。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜問題＞
関数 y = Σ[k=1 → n] k*sin(kx) について、区間[0 , π]における y^2 の平均値を求めよ。

＜回答＞
{n(n+1)(2n+1)}/12
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

どのように考えていけば良いかわかりません。
回答から、自然数の平方の和の形にもって行っているようですが。。。

どうかよろしくお願いいたします。

No.42765 - 2017/04/11(Tue) 12:38:09

☆ Re: 平均値の問題 / ast

求める平均値を m とすれば, m = (1/(π-0))*∫_[0,π]y^2dx というのが平均の定義に従った表示です. また y は有限和なので分配法則に従って y^2 を展開すれば y^2=Σ_[i=1,…,n]Σ_[j=1,…,n] i*j*sin(ix)*sin(jx) と書けて, これもまた有限和ですから積分の性質 (線型性: 和の積分は積分の和, 定数倍の積分は積分の定数倍) によって

　m = Σ_[i,j] (ij/π)*∫_[0,π] sin(ix)*sin(jx)dx

という形にまとめられます. まずは大人しく中の積分 ∫_[0,π] sin(ix)*sin(jx)dx の計算を試みるべきです. 計算するなら (1) i=j のとき, (2) i≠j のとき, で場合分けする必要があるでしょう.
# (2) では三角函数の積を和にする公式を使えば原始函数もすぐにわかると思いますし,
# sin(πh)=0 (hは整数) から大半の項はあっさり消えることも分かると思います.

そうして残った項は
> 回答から、自然数の平方の和の形にもって行っているようですが。。。
とのご推察の通りであるはずです.

No.42767 - 2017/04/11(Tue) 13:38:28

☆ Re: 平均値の問題 / たなお

ast さん

回答ありがとうございます。
理解できました。本当に助かりました。

お忙しい中、本当にありがとうございました。

No.42768 - 2017/04/11(Tue) 17:19:05

★ 数学の問題について。 / 玉串純一

（X－A）＾４＋（X－B）＾４＝（A－B）＾４を解きなさい。但A≠Bなりとする。という問題です。

この方程式はX＝A及びX＝Bの２根を有する。
よってこの方程式（X－A）＾４＋（X－B）＾４－（A－B）＾４は「X＝A及びX＝Bにて割ることが出来る。」
と書いてあって（X－A）＾４＋（X－B）＾４－（A－B）＾４
＝（X－A）（X－B）｛２X^2－2（A＋B）X＋４A^2＋4B^2－６AB｝と書いていました。

それで（X－A）＾４＋（X－B）＾４－（A－B）＾４を（X－A）（X－B）で実際にやってみたのですが
どうしても「（X－A）（X－B）｛２X^2－2（A＋B）X＋４A^2＋4B^2－６AB｝」になりませんでした。

そこで皆さんに教えてほしいのですが
「（X－A）＾４＋（X－B）＾４－（A－B）＾４」を「（X－A）（X－B）」で割る。
そして結果が「（X－A）（X－B）｛２X^2－2（A＋B）X＋４A^2＋4B^2－６AB｝」の答えが出るように
計算方法を教えてもらえませんでしょうか？よろしくお願いします。

No.42761 - 2017/04/11(Tue) 07:45:25

☆ Re: 数学の問題について。 / らすかる

(X-A)^4+(X-B)^4-(A-B)^4
=(X-A)^4+{(X-B)^2+(A-B)^2}{(X-B)^2-(A-B)^2}
=(X-A)^4+{(X-B)^2+(A-B)^2}{(X-B)+(A-B)}{(X-B)-(A-B)}
=(X-A)^4+{(X-B)^2+(A-B)^2}{(X-B)+(A-B)}(X-A)
=(X-A){(X-A)^3+{(X-B)^2+(A-B)^2}{(X-B)+(A-B)}}
=(X-A){(X-A)^3+(X-B)^3+(A-B)^3+(X-B)(A-B){(X-B)+(A-B)}}
=(X-A){(X-B)^3+(X-B)(A-B){(X-B)+(A-B)}+(X-A)^3+(A-B)^3}
=(X-A){(X-B)^3+(X-B)(A-B){(X-B)+(A-B)}+{(X-A)+(A-B)}{(X-A)^2-(X-A)(A-B)+(A-B)^2}}
=(X-A){(X-B)^3+(X-B)(A-B){(X-B)+(A-B)}+(X-B){(X-A)^2-(X-A)(A-B)+(A-B)^2}}
=(X-A)(X-B){(X-B)^2+(A-B){(X-B)+(A-B)}+{(X-A)^2-(X-A)(A-B)+(A-B)^2}}
=(X-A)(X-B){(A-B){(X-B)+(A-B)}-(X-A)(A-B)+(X-A)^2+(X-B)^2+(A-B)^2}
=(X-A)(X-B){(A-B){(X-B)+(A-B)-(X-A)}+(X-A)^2+(X-B)^2+(A-B)^2}
=(X-A)(X-B){(A-B)(2A-2B)+(X-A)^2+(X-B)^2+(A-B)^2}
=(X-A)(X-B){2(A-B)^2+(X-A)^2+(X-B)^2+(A-B)^2}
=(X-A)(X-B){(X-A)^2+(X-B)^2+3(A-B)^2}
=(X-A)(X-B)(X^2-2AX+A^2+X^2-2BX+B^2+3A^2-6AB+3B^2)
=(X-A)(X-B)(2X^2-2(A+B)X+4A^2+4B^2-6AB)
となりますね。

No.42764 - 2017/04/11(Tue) 08:56:10

☆ Re: 数学の問題について。 / angel

対称性に着目して、
　y=(X-A+X-B)/2
　c=(A-B)/2
と置いてあげると、
X-A=y-c, X-B=y+c, A-B=2c なので、結局、

　(y-c)^4+(y+c)^4=c^4

を解くのと同じことに。
整理すると (y^2-c^2)(y^2+7c^2)=0 なので…というのが分かり易いと思います。

No.42766 - 2017/04/11(Tue) 12:47:50

☆ Re: 数学の問題について。 / 玉串純一

らすかるさん。エンジェルさん。
どうもありがとうございました。
助かりました。

No.42783 - 2017/04/13(Thu) 19:49:18

★ 積分を利用した重心の問題 / たなお

以下の問題が解けません。ご教授願います。

ーーーーーーーーーーーーーーーーー
次の図形の重心の座標を求めよ。

不等式 x^2 + y^2 =< a^2 , x^2 + y^2 => ax が表す領域　（a > 0）
ーーーーーーーーーーーーーーーーー

問題集では、答えは（-6/a , 0）となっていました。
また、私が問題を解く際に使用した、重心のx座標を計算するための式と図を画像として添付しました。考え方に間違いがあればご指摘願います。

よろしくお願いいたします。

No.42755 - 2017/04/10(Mon) 18:06:44

☆ Re: 積分を利用した重心の問題 / たなお

すいません、画像が添付できておりませんでした。

No.42756 - 2017/04/10(Mon) 18:07:40

☆ Re: 積分を利用した重心の問題 / たなお

なんども申し訳ありません。私の勘違いでした。
質問を取り下げさせていただきたいと思います。

よろしくお願いいたします。

No.42757 - 2017/04/10(Mon) 18:09:58

★ 無限和について。 / noes

無限級数同士を足しても、問題は無いのでしょうか？

例えば、
1+(1/2)-(1/4)-(1/5)+(1/7)+(1/8)-……＝2π/3√3
と、
1-(1/2)-(1/4)+(1/5)+(1/7)-(1/8)-……＝2/3*log[e]2
の和、
1-(1/4)+(1/7)-……＝π/3√3+1/3*log[e]2

は、計算上正しいのでしょうか？

No.42754 - 2017/04/10(Mon) 17:07:25

☆ Re: 無限和について。 / らすかる

lim[n→∞]Σ[k=1～n]a[k]=a, lim[n→∞]Σ[k=1～n]b[k]=b が成り立つときに
lim[n→∞]Σ[k=1～n](a[k]+b[k])=a+b が成り立つか、という意味でしたら
正しいと思います。
実際、第3式の答えも正しいです。

No.42758 - 2017/04/10(Mon) 18:10:34

★ 無限級数の質問 / かっこう

宜しくお願いします。大学受験生です。
limXn,limYnを表すところまではわかったのですが、
公比が-1/2^2であるのがわかりません。
教えて下さい。

No.42748 - 2017/04/09(Sun) 14:12:30

☆ Re: 無限級数の質問 / X

解答の4行目において
{(-1)^(n-1)}{1/(2^(2n-2))}={(-1)^(n-1)}{1/{2^(2(n-1))}}
={(-1)^(n-1)}{1/{(2^2)^(n-1)}}
=(-1/2^2)^(n-1) (A)
これはlim[n→∞]x[n]が公比-1/2^2の無限等比級数
であることを示しています。
又、解答の7行目において)(A)と同様な変形により
{(-1)^(n-1)}{1/2^(2n-1)}=(1/2){(-1)^(n-1)}{1/2^(2n-2)}
=(1/2)(-1/2^2)^(n-1)
ですので
lim[n→∞]y[n]も公比-1/2^2の無限等比級数
となっています。

No.42749 - 2017/04/09(Sun) 14:34:52

☆ Re: 無限級数の質問 / かっこう

解説ありがとうございます。
指数のところを揃えるように式変形をするとわかりやすいですね。
ありがとうございます。理解出来ました

No.42753 - 2017/04/09(Sun) 21:51:02

★ 積分の質問です / たなお

以下の積分の解き方を教えていただけないでしょうか。

??1/√(1+x^4) dx

よろしくおねがいします。

No.42745 - 2017/04/09(Sun) 12:11:27

☆ Re: 積分の質問です / たなお

すいません、数式の頭の記号が間違っていたので訂正です。

誤：?刀@　正：∫

よろしくお願いいたします。

No.42746 - 2017/04/09(Sun) 12:15:19

☆ Re: 積分の質問です / X

以下のURLをご覧下さい。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%5B1%2F%E2%88%9A(1%2Bx%5E4),x%5D

答えの右下の方に灰色で説明が書かれていますが
楕円積分になるようです。
(問題文にタイプミスはありませんか？)

No.42747 - 2017/04/09(Sun) 13:27:30

☆ Re: 積分の質問です / たなお

Xさん

参考URLありがとうございます。
助かりました。
問題文にタイプミスはありません。

ありがとうございました。

No.42752 - 2017/04/09(Sun) 14:53:41

★ (No Subject) / たろー

この問題の、ノハヒがよく分かりません。
教えたください。

No.42743 - 2017/04/09(Sun) 12:02:57

☆ Re: / たろー

上のものは、最初の問題設定です。
ちなみに、(1)で、問題文の10個の数字から
出来る4桁の整数は175個は求めています。

No.42744 - 2017/04/09(Sun) 12:05:51

☆ Re: / X

(1)と同様な過程を使って千の位が1,2,3となるような
4桁の整数の個数をそれぞれ求めて和を取ります。
例えば千の位が1となるような4桁の整数の個数ですが、
10個の整数から1を一つ除いた9個の整数でできる
3桁の整数の個数と同じですので…。

No.42751 - 2017/04/09(Sun) 14:40:37

★ 数学1 / ポップコーン

差が30である大小2つの整数がある。
大きい数が、小さい数の4倍以上で5倍以下となる時小さい数を全て求めよ。

という問題なのですが、なんか途中式が意味不明になってしまって、どこで間違えてるのか分かりません教えてください！

No.42739 - 2017/04/08(Sat) 19:22:33

☆ Re: 数学1 / ポップコーン

すみません、写真違います。
本当のはこっちです！

No.42740 - 2017/04/08(Sat) 19:24:04

☆ Re: 数学1 / angel

不等式の場合、両辺を負の数で割る ( 或いは負の数をかける ) ということをすると、不等号の向きが逆転します。

例えば、-3x＞-30 とあるところ、両辺を -3 で割ると x＜10 です。x＞10 は誤りです。

私としては、そもそも不等式では割り算しないことをお勧めします。今回のように割る数が -3 等と分かっているならまだ何とでもなるのですが、文字式になってくると必ず混乱をきたします。

例えば

　x+30＞4x
　⇔ 0＞4x-x-30
　⇔ 0＞3(x-10) よって x＜10
　※逆に左辺に集めるなら
　　-3(x-10)＞0 よって x＜10

といった感じで

※追記
つまり、割り算して整理していくのではなく、
　(正の数)×(正の数)＞0
　(負の数)×(負の数)＞0
　(正の数)×(負の数)＜0
　(負の数)×(正の数)＜0
に持っていく、ということです

No.42741 - 2017/04/08(Sat) 19:40:00

★ 軌跡 / 初心者🏠

(3)(4)の途中式で符号がプラスマイナスになる理由がわかりません。

No.42731 - 2017/04/08(Sat) 09:30:44

☆ Re: 軌跡 / 初心者🏠

写真1です

No.42732 - 2017/04/08(Sat) 09:31:28

☆ Re: 軌跡 / 初心者🏠

解説です。

No.42733 - 2017/04/08(Sat) 09:32:06

☆ Re: 軌跡 / angel

形式的に
　|A|=|B|
の場合は、「A=B もしくは A=-B」です。

例えば、(A,B)=(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)のパターンで確かめてみて下さい。

今回の(3)であれば
　|x+y-1|=|x-y+2| ⇔ x+y-1=x-y+2 または x+y-1=-(x-y+2)
と、A,B それぞれが x+y-1, x-y+2 に対応していることになります。

で、「A=BもしくはA=-B」この2つをまとめた書き方として A=±B としています。±というのを1つの記号とはあまり見ない方が良いです。
かなりの頻度で「+○○または-○○」という2条件の和として考えることになるからです。

No.42736 - 2017/04/08(Sat) 18:34:08

☆ Re: 軌跡 / angel

ただし、A=±B の両辺を平方すると A^2=B^2 が導かれますから、この話をする時だけは±を1つの記号と見ると便利です。
※「A=B ならば A^2=B^2, A=-B でも A^2=B^2 つまり『A=B または A=-B』ならば A^2=B^2」と書くとクドイ

|A|=|B|⇔A=BまたはA=-B については、

　|A|=|B|
⇔|A|^2=|B|^2　( 両辺とも0以上なので平方しても同値 )
⇔ A^2=B^2
⇔ A^2-B^2=0
⇔ (A-B)(A+B)=0
⇔ A=BまたはA=-B

のように導くことができます。
念のため繰り返しますが、途中で平方しても同値関係が崩れないのは、絶対値記号がついて0以上の値になっていることが保証されているからです。

ここの話では関係ありませんが、もし負の値をとる可能性もあるような状況であれば、平方した瞬間に同値関係が崩れます。

No.42737 - 2017/04/08(Sat) 18:46:14

★ 偏微分(ﾏﾙﾁﾎﾟｽﾄ) / ふなっし

偏微分の計算の添削をお願いいたします。

2変数関数f(x,y)=(1-y^2)arctan(x+y)の∂^3f/(∂^2x∂y)(1/2,1/2)の値を求めよ。
ただし、-π/2<arctanx<π/2とする。

まず、∂f/∂y=-2y*arctan(x+y)+(1-y^2)*1/{1+(x+y)^2}
ここで、arctan(x+y)=A,1/{1+(x+y)^2}=B とおく。
∂A/∂x=B,
∂^2A/∂x^2=-2x/{1+(x+y)^2}^2
また、
∂B/∂x=-2x/{1+(x+y)^2}^2
∂^2B/∂x^2=[-2{1+(x+y)^2}^2+2x*2{1+(x+y)^2}*2x]/{1+(x+y)^2}^4
以上に(x,y)=(1/2,1/2)を代入すると、
{1+(x+y)^2}=2となるため、求める係数値は
1/4+3/4*(-2*4+2*2)/16=・・・
としたのですが、答えが合いませんでした。
どこかが間違っています。

添削をお願いいたします。

No.42729 - 2017/04/08(Sat) 00:54:17

☆ Re: 偏微分(ﾏﾙﾁﾎﾟｽﾄ) / ふなっし

解決致しました。

No.42735 - 2017/04/08(Sat) 12:11:16

★ (No Subject) / ７７７

∫（０～π/6)(sin^3x+cos^3x)dxの答えを出すにはどうするのが一番楽ですか？方法は問いません

よろしくおねがいします

No.42727 - 2017/04/07(Fri) 23:07:08

☆ Re: / X

一番楽かどうかはわかりませんが、三倍角の公式などを
用いて、被積分関数の次数を落とす方針が考えられます。

No.42730 - 2017/04/08(Sat) 09:27:46

☆ Re: / ふなっし

または、3乗の和の公式で因数分解し、2乗+2乗は公式により=1,
それを展開して、sin,cos単体の単純な積分と、微分が掛けられた形の積分(例題頻出)だけになると思うので、その方法もいかがでしょう。

No.42734 - 2017/04/08(Sat) 12:10:41

☆ Re: / angel

3倍角のsin,cosを計算しない ( この場合なら 0,π/6 の sin,cos だけですむ ) という意味では、

　∫(sinx)^3 dx = -cosx+1/3・(cosx)^3 +C
　∫(cosx)^3 dx = sinx-1/3・(sinx)^3 +C

を使うのも。

※これらに関しては
　∫(sinx)^3 dx
　= ∫sinx・(sinx)^2 dx
　= ∫-(cosx)'・(1-(cosx)^2)dx
　= ∫( -(cosx)'+(cosx)'(cosx)^2 )dx
　= -cosx+1/3・(cosx)^3+C
　のように求められます

No.42738 - 2017/04/08(Sat) 19:13:23

☆ Re: / ７７７

御三方ありがとうございます。
よくわかりました。ありがとうございました！

No.42742 - 2017/04/09(Sun) 04:34:31

★ お願いします / ばに

Qを通っている線に平行な線の間隔から，AQ：AB＝3：7なので，AQ＝90÷7＝12と6/7　cmです。よって，PQ＝AQ－AP＝6と6/7　cm

↑この問題に出てくる式に『９０÷７』ってありますけど、９０ってどこからきたんですか？

No.42718 - 2017/04/06(Thu) 19:06:00

☆ Re: お願いします / ばに

url貼るの忘れてました
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/blog-category-19.html
このｻｲﾄの2014年２問目の所です

No.42719 - 2017/04/06(Thu) 19:08:18

☆ Re: お願いします / IT

AQ:AB=3:7　より
AQ/AB=3/7
AQ=(AB×3)/7=(30×3)/7=90/7　(AB＝30 ですから）

No.42720 - 2017/04/06(Thu) 19:48:21

☆ Re: お願いします / ばに

なんで３０かけるんですか？

No.42721 - 2017/04/06(Thu) 23:15:55

☆ Re: お願いします / ばに

３０÷７だと思ってました

No.42722 - 2017/04/06(Thu) 23:17:29

☆ Re: お願いします / IT

AQ:AB=3:7
(1)すなわち
　AQ/AB=3/7
(2)両辺にABを掛けて
　AQ=(AB×3)/7
(3)AB＝30を代入
　AQ=(30×3)/7=90/7

どこが分かりませんか？

No.42723 - 2017/04/06(Thu) 23:49:09

★ 数学1について / EX

x²-2y²+xy+yz-zx = (-x+y)z+x²+xy-2y²
= -(x-y)z+(x+2y)(x-y)
=(x-y){-z+(x+2y)}
= (x-y)(x+2y-z)
と解答ではなっていますが、
x²-2y²+xy+yz-zx = yz-zx+x²+xy-2y²
= (y-x)z+(x+2y)(x-y)
= (y-x)z-(y-x)(x+2y)
= (y-x){z-(x+2y)}
= (y-x)(z-x-2y)
でもよろしいのですか？
符号が全て違っていればいいんですよね。

No.42714 - 2017/04/06(Thu) 08:25:06

☆ Re: 数学1について / ヨッシー

それでも良いです。

「符号が全て」というのは微妙ですが、因数が２個なら、
その考えで良いです。
　(x-y)(y-z)(z-x)＝(y-x)(z-y)(z-x)
と言う場合もありますから、正しくは、
　符号が逆になっている因数が偶数個であれば良い
です。

No.42715 - 2017/04/06(Thu) 10:44:41

★ 東大の問題 / ぷー

以下の問いに答えよ。ただし（１）については結論のみを書けばよい
（１）ｎを正の整数とし、３＾ｎを１０で割った余りをanとする。anを求めよ
（２）ｎを正の整数とし、３＾ｎを４で割った余りをｂnとする。ｂnを求めよ
（３）整数｛xn}を次のように定める。ｘ１＝１、x(n+1)=3^(x(n))(n=１，２，３、...)
x10を１０で割った余りを求めよ

で（３）はx(n+1)=3^(x(n))(n=１，２，３、...)にｘ＝１を代入してｘ２＝３
ｘ＝２を代入するとx3=3^(x2)≡３＾３≡７
ｘ＝３を代入するとx4=3^(x3)≡3＾7≡3^3*3^4≡７*81≡７
以下同様にしてx5≡x6≡x7≡x8≡x9≡x10≡７
で問題ありますか？ただ指数部分に代入するだけの解答になりましたが、解答はかなり異なっており（１）（２）を使って解いています。答えは偶然にも一致しています

よろしくおねがいします

No.42706 - 2017/04/05(Wed) 09:22:19

☆ Re: 東大の問題 / ぷー

解答はかなり異なっており、というのは（手元の）という意味です

No.42707 - 2017/04/05(Wed) 09:23:43

☆ Re: 東大の問題 / ヨッシー

　ａ≡ｂ　→　３^a≡３^b
は一般には成り立たないので、「3^(x3)≡3＾7」および「以下同様にして」は
少し乱暴でしょう。
「７は特別であること」または「以下同様にしての根拠」をきちんと言う必要があると思います。

No.42709 - 2017/04/05(Wed) 10:03:59

☆ Re: 東大の問題 / らすかる

例えば3^17=129140163≡3ですから
x3≡7からx4=3^(x3)≡3^7とは言えませんね。

No.42711 - 2017/04/05(Wed) 12:23:15

☆ Re: 東大の問題 / angel

(1),(2)をすっ飛ばしてやりたいなら、mod 20 の話をすれば一応は。( (1),(2)を合成したようなものではありますが )

なぜならば、3^4=81≡1 mod 20 であることから、3^20≡1 mod 20 ということで、指数・べき乗の値、両方 mod 20 で揃うからです。

加えて、3^7=3^4・3^3=81・27≡7 mod 20 のため、
　x[n]≡7 mod 20 ⇒ x[n+1]=3^x[n]≡7 mod 20
ということで、一旦 x[n]≡7 mod 20 となれば、以降は全て mod 20 で 7 と合同です。

実際、x[3]=27≡7 mod 20 ですから x[10]≡7 mod 20、mod 10 で考えても x[10]≡7 mod 10 ということになります。

No.42713 - 2017/04/05(Wed) 21:24:26

★ (No Subject) / ぽっぷ

ｋを自然数とする。
√(n^2+7^k)が自然数となるような自然数ｎを求めよ
私の作った解答）
√(n^2+7^k)＝N（Nは自然数とする）とおける
両辺正より両辺二乗しても同値
よって
n^2+7^k=N^2
(N+n)(N-n)=7^k
N+n=7^(k-l)
N-n=7^l

n=(1/2)(7^(k-l)-7^l)

N+n>N-n
⇔7^(k-l)>7^l
⇔k>2l
N+n>0
⇔ｋ≧ｌ
N-n>0
⇔ｌ≧０
以上より

n=(1/2)(7^(k-l)-7^l)
（ただしｌは0以上の整数でｋ＞２ｌ）
この解答で何か問題ありますでしょうか？
冊子には
ｎ=(1/2)(7^l-7^(k-l)),lはk/2<l≦kをみたす自然数
とあり結構違うのですが大丈夫でしょうか？

よろしくおねがいします

No.42705 - 2017/04/05(Wed) 06:40:46

☆ Re: / ヨッシー

ぽっぷさんが、
>N+n=7^(k-l)
>N-n=7^l
と置いたところを、冊子では
N+n=7^l
N-n=7^(k-l)
と置いているだけなので、ｌ＝ｋ－ｌで変換すると
n=(1/2)(7^(k-l)-7^l)　→　ｎ=(1/2)(7^l-7^(k-l))
0≦ｌ＜k/2　→　0≦ｋ－ｌ＜2l/2　⇔　k/2＜ｌ≦ｋ
となるので、問題ありません。

ただし、本文中の
>N-n＞0
>⇔ｌ≧０
は、N-n＞0 だからではなく、N-n が整数だから、です。

No.42710 - 2017/04/05(Wed) 10:42:24