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★ 関数 / 北村
?Aの解き方が解りません。解説宜しくお願い致します。う９え５です。
No.42581 - 2017/03/21(Tue) 20:14:52
☆ Re: 関数 / ヨッシー
△ＰＣＤ：△ＰＢＤ＝９：６＝３：２
よって、
△ＰＢＤは△ＡＣＰの4/15倍。
△ＰＢＣは△ＡＣＰの2/3倍
よって、
　ＡＰ：ＰＢ＝３：２
Ｐの座標は（3×3/5, 9×2/5)＝(9/5, 18/5)
No.42589 - 2017/03/21(Tue) 21:27:24
☆ Re: 関数 / 北村
△ＰＢＤは△ＡＣＰの4/15倍。
△ＰＢＣは△ＡＣＰの2/3倍
書いている内容が解りません。
No.42595 - 2017/03/22(Wed) 08:18:08
☆ Re: 関数 / ヨッシー
△ＰＢＤの面積は△ＡＣＰの面積の4/15倍
△ＰＢＣの面積は△ＡＣＰの面積の2/3倍
ということです。

ところで、
△ＣＤＰ：△ＣＢＰ＝３：５
よって、
△ＣＢＰの面積は△ＡＣＰの面積の
　2/5×5/3＝2/3 （倍）
とした方が、式が１つ少なくてすみますので紹介しておきます。
No.42599 - 2017/03/22(Wed) 09:31:47
★ 規則性の問題 / 一男
証明問題が解りません。解説お願いします。
No.42580 - 2017/03/21(Tue) 20:09:23
☆ Re: 規則性の問題 / noname
以下の手順で証明を行ってみてください．


[手順]
?@図2の様な表をつくり，格段の空欄にa,bのいずれかで表される式を記入していく．
?A表を完成させた後で，5段目の数の総和を計算する．
?B?Aで行った計算の結果が1段目の数の和の16倍であることを確認する．
?C結論を述べる．
__________________________________________________________________

※実際に証明を作成してここに書いてくだされば，証明の細部に対するツッコミを行うことは出来ます．
No.42590 - 2017/03/21(Tue) 22:04:34
☆ Re: 規則性の問題 / 一男
16(a+b)となる様に、５段目に入っている数を文字式で表して証明するのですね。
No.42594 - 2017/03/22(Wed) 07:34:26
☆ Re: 規則性の問題 / noname
>16(a+b)となる様に、５段目に入っている数を文字式で表して証明するのですね。

仰る通りです．平たく言えば，地道に行っていくと証明が完成するという感じでしょうか．
No.42640 - 2017/03/25(Sat) 17:29:13
★ 数列(数B) / あしょろ
写真の問題を教えて下さい。差の形に分解するタイプらしいのですが、解説を見てもよくわかりません。お願い致します。
No.42576 - 2017/03/21(Tue) 11:20:14
☆ Re: 数列(数B) / ヨッシー
{(k-2)2^(k-1)}/k!
＝k・2^(k-1)/k!−2^k/k!
＝2^(k-1)/(k−1)!−2^k/k!
と分解できるので、Σを取ると
　Ｓn＝(2^0/0!−2^1/1!)＋(2^1/1!−2^2/2!)＋(2^2/2!−2^3/3!)＋・・・＋{2^(n-1)/(n-1)!−2^n/n!}
と書けます。
ここまではわかりますか？
　
No.42577 - 2017/03/21(Tue) 11:29:23
☆ Re: 数列(数B) / あしょろ
はい、まず、ここまで理解しました。
No.42578 - 2017/03/21(Tue) 16:05:24
☆ Re: 数列(数B) / ヨッシー
ではこの式が
　(Ａ−Ｂ)＋(Ｂ−Ｃ)＋(Ｃ−Ｄ)＋・・・＋(Ｙ−Ｚ)
の形になっていて、カッコを外すと
　Ａ−Ｚ
だけになるのはわかりますか？
No.42579 - 2017/03/21(Tue) 16:15:49
☆ Re: 数列(数B) / あしょろ
なるほど！それで間が相殺されて最初と最後が残るのですね！わかりました！
しかし、一つ新たな疑問があるのですが、最初の部分に0!があるのですが、これって分母0になるから定義できないと思ったのですが0!は1となっています。覚えればいいのかもしれませんが理論を知りたいです。0!はなぜ1なのですか？
No.42597 - 2017/03/22(Wed) 08:48:14
☆ Re: 数列(数B) / ヨッシー
規則性を利用して、
　３！＝６
３で割って
　２！＝２
２で割って
　１！＝１
１で割って
　０！＝１
と理解すればどうでしょう。
No.42598 - 2017/03/22(Wed) 09:22:54
☆ Re: 数列(数B) / あしょろ
なるほど！ありがとうございます！またよろしくお願いします！
No.42600 - 2017/03/22(Wed) 10:49:36
★ 複素数平面（No.42561の続き） / らぎ
No.42561で複素数平面の質問をした者です。その問題は（１）から（３）まであり、（２）はわかったのですが、最後の（３）がわからなくてまた質問させていただきます。

（３）｜ｚ｜＝１の条件のもとでarg（ｚ₁-ｚ/ｚ₂-ｚ）を最大とするｚを求めよ。

という問題を教えてください。因みに答えは　ｚ＝i　です。


よろしくお願いします。
No.42570 - 2017/03/20(Mon) 00:01:24
☆ Re: 複素数平面（No.42561の続き） / noname
まず，中心が点6iで半径が5の円をC_1，原点中心の単位円をC_2とする時，C_1とC_2が互いに接することに注意しておきます．点zをz≠iを満たすC_2上の任意の点とします．この時，zはC_1の外部にあるため，線分z_1zと円C_1はこの線分の端点以外で交わります．その点をwとします．すると，円周角の定理より∠z_1iz_2＝∠z_1wz_2であり，三角形z_1zz_2に着目すると，

∠z_1zz_2+∠zz_2w＝∠z_1wz_2.
∴∠z_1zz_2＜∠z_1wz_2＝∠z_1iz_2.

したがって，arg((z_1-z)/(z_2-z))が最大となるのはz＝iとなる時であることが分かります．
No.42571 - 2017/03/20(Mon) 01:04:35
☆ Re: 複素数平面（No.42561の続き） / noname
図を付け忘れていました．図は以下の様になります．
No.42572 - 2017/03/20(Mon) 01:05:16
☆ Re: 複素数平面（No.42561の続き） / らぎ
大変わかりやすい回答ありがとうございます！
助かりました！
No.42573 - 2017/03/20(Mon) 21:10:04
★ 二次元トーラス / 前進
ほかの大学専門サイトでは容量オーバーで載せれませんでしたので、もう一度載せます。

ドーナッツのように変形していただけるとありがたいです。
できれば図での説明をお願いいたします。
No.42565 - 2017/03/19(Sun) 20:08:33
☆ Re: 二次元トーラス / ヨッシー

こういうふうに筒にして、

こういうふうにドーナツにします。

すると
　０→１→２→３→４→５→・・・→１３→１４→０
と環になります。
No.42567 - 2017/03/19(Sun) 23:10:23
☆ Re: 二次元トーラス / angel
紙に描いて筒状にしてみればいいじゃないですか、と思わなくもないですが。

流石にドーナツを図にするのは…。( できなくもないですが、きっと見てもワケわからんと思います )

この図のような筒が伸縮自在だとして、ぐにっと伸ばして回して輪にしてつなげる、というのを思い描いてください。
No.42568 - 2017/03/19(Sun) 23:17:53
☆ Re: 二次元トーラス / 前進
上から行ったり下から行ったりしてできました。
問題の意味が分からず、番号の11 2 8をくり抜き1と7の上とかに移動して、ドーナッツにすると思っていましたが理解できました
No.42574 - 2017/03/21(Tue) 02:50:47
☆ Re: 二次元トーラス / 前進
ありがとうございました。
No.42575 - 2017/03/21(Tue) 02:52:30
★ 複素数平面 / らぎ
複素数の偏角θは0≦θ<2πの範囲で考えるとし、
Z₁＝5+6i , Z₂＝3+2i とおく。
（１）曲線｜ｚ-α｜＝ｒがｚ₁、ｚ₂およびiを通るように複素数αと実数ｒを定めよ。

という問題なのですが解答解説を見てもわかりません。教えてください。
※（３）までありますがまずは（１）のみ質問させていただき、またわからなかったら質問させていただきます。

よろしくお願いします。
No.42561 - 2017/03/19(Sun) 16:20:32
☆ Re: 複素数平面 / noname
まずは，線分z_1z_2,z_2i,iz_1の垂直二等分線を複素平面上に引きましょう．その際に，これら3本の直線が1点で交わることをチェックしてください．この点をPとします．ところで，これら3点が同一円周上にあるならば，その中心は線分z_1z_2,z_2i,iz_1の垂直二等分線の交点と一致します．よって，複素数αは点Pに対応する複素数であることが分かります．ここまでのことを図を描いての考察で理解できると，複素数αは6iであり，実数rは5であることが分かるかと思います．
No.42564 - 2017/03/19(Sun) 17:13:38
☆ Re: 複素数平面 / らぎ
To　noname（No.42564）さん

図にしてαが三点を通る円の中心だとわかりました。こんなわかりやすくかつ考えるヒントをくださる方初めてです！
また何かあったらよろしくお願いします！

本当にありがとうございました！！
No.42569 - 2017/03/19(Sun) 23:25:32
★ 積分の計算 / ふなっし
∫[0→1]√{(1-r^2)/(1+r^2)}*rdr

という積分はどのように計算すればいいのでしょうか？
※√の中身は分数であり、またその外からrが掛けられている形です。
よろしくお願い致します。
No.42555 - 2017/03/19(Sun) 03:00:31
☆ Re: 積分の計算 / らすかる
tanθ=√{(1-r^2)/(1+r^2)} とおくと
(tanθ)^2=(1-r^2)/(1+r^2)=2/(1+r^2)-1
2/(1+r^2)=(tanθ)^2+1=1/(cosθ)^2
2(tanθ)/(cosθ)^2 dθ=-4r/(1+r^2)^2 dr
2(sinθ)/(cosθ)^3 dθ=-1/(cosθ)^4・rdr
∴rdr=-2sinθcosθdθ
また
r=0のときtanθ=1なのでθ=π/4、
r=1のときtanθ=0なのでθ=0
よって
∫[0→1]√{(1-r^2)/(1+r^2)}rdr
=∫[π/4→0]tanθ・-2sinθcosθdθ
=∫[0→π/4]2(sinθ)^2 dθ
∫[0→π/4]1-cos2θ dθ
=π/4-1/2
No.42556 - 2017/03/19(Sun) 06:38:44
☆ Re: 積分の計算 / noname
らすかる様の提示された解法と殆ど変わらないですが，まずは√((1-r^2)/(1+r^2))＝xと変数変換して

∫_[0,1]r√((1-r^2)/(1+r^2))dr
＝∫_[1,0](-2x^2)/(1+x^2)^2dx
＝∫_[0,1]2x^2/(1+x^2)^2dx

の様に変形した後で，x＝tan(θ/2)(-π＜θ＜π)の様に変数変換して

∫_[0,1]2x^2/(1+x^2)^2dx
＝∫_[0,π/2]2tan(θ/2)/(1+tan^2(θ/2))・tan(θ/2)/(1+tan^2(θ/2))・1/(2cos^2(θ/2))・dθ
＝∫_[0,π/2]1/2・sinθtan(θ/2)dθ
＝∫_[0,π/2]1/2・2sin(θ/2)cos(θ/2)tan(θ/2)dθ
＝∫_[0,π/2]sin^2(θ/2)dθ
＝∫_[0,π/2](1-cosθ)/2dθ
＝π/4-1/2

の様にして定積分の値を求めてもよいです．
No.42559 - 2017/03/19(Sun) 12:52:03
☆ Re: 積分の計算 / ふなっし
お二方ともありがとうございます!
勉強します!
No.42566 - 2017/03/19(Sun) 22:39:41
★ (No Subject) / 名無し
ヤコビ行列 階数
--------------------------
f:R^4→R,
f(x, y, z, w) = x^2+y^2+z^2+w^2-1
f^(-1) (0)の各点でのfのヤコビ行列
J(f) = ((∂f/∂x), (∂f/∂y), (∂f/∂z), (∂f/∂w))
の階数を求めよ。
--------------------------
この問題がわかりません。
どなたか教えて頂いけませんか？
No.42551 - 2017/03/18(Sat) 14:24:23
★ 中学数学 / 浦田
長さの求め方が解りません。解説お願いします。
No.42544 - 2017/03/17(Fri) 20:03:22
☆ Re: 中学数学 / noname
まず，三角形EFBと三角形CFDが相似であり，これらの相似比を考えることにより

EF：CF＝EB：CD＝6：10＝3：5.

また，三角形EGFと三角形EBCが相似であり，これらの相似比を考えれば

EG：EB＝EF：EC＝3：8.

よって，EG＝EB×3/8＝6×3/8により，線分EGの長さを求めることが出来ます．
No.42545 - 2017/03/17(Fri) 20:17:07
☆ Re: 中学数学 / 浦田
解りました。
No.42549 - 2017/03/18(Sat) 07:45:47
★ 図形問題（１）（２） / 一男
考えてみたんですが解りません。解説よろしくお願いします。
No.42542 - 2017/03/17(Fri) 18:44:07
☆ Re: 図形問題（１）（２） / X
(1)
条件から
AB=BF
AC=CE
従って
AF:AB=CE:AC=2:1
ですので
△AEF∽△ABC
であり、その相似比は
2:1
よって面積比は4:1
となるので、例えば△ABCの面積を
S[△ABC]
と書くことにすると
S[△ABC]=(1/4)S[△AEF]
=(1/4){(1/2)S[四角形AEDF]}
=(1/8)S[四角形AEDF]
従って△ABCの面積は四角形AEDFの1/8倍です。

(2)
図1,2,3において点を表すアルファベットが重複しているので
混同しないように注意して、以下の回答をご覧下さい。

図2において、線分AD,EFの交点をIとすると
(1)の過程により
AG=(1/2)AI=(1/2){(1/2)AD}
=(1/4)AD=2[cm]
となるので
GD=AD-AG=6[cm]
又、△DFIにおいて三平方の定理から
DF=√(DI^2+FI^2)
=√{((1/2)AD)^2+((1/2)EF)^2}
=5[cm]

次に図3で図2との対応関係を考えると
AG=2[cm]
GD=6[cm]
AD=5[cm]
となるので
AH=x[cm],GH=y[cm]
と置くと、△AGH,△ADHにおいて
三平方の定理により
x^2+y^2=4 (A)
x^2+(6-y)^2=25 (B)
(A)(B)をx,yの連立方程式として
解きます。
さて、その解き方ですが以下のようになります。
(B)より
x^2+(y^2-12y+36)=25
x^2+y^2-12y=-11 (B)'
(B)'-(A)により
-12y=-15
よって
y=5/4
これを(A)に代入して
x^2=4-25/16=39/16
よって
x=(√39)/4

以上からAHの長さは
(√39)/4[cm]
となります。
No.42543 - 2017/03/17(Fri) 19:41:05
☆ Re: 図形問題（１）（２） / noname
(2)に関しては次の様に考えてもよいです．


[(2)の別解]
線分EFと線分BD,DGの交点をそれぞれI,Jとし，Fを通り直線BDに直交する直線とEを通り直線CDに直交する直線の交点をKとする．点Hは点Kと一致することに注意しておく．直角三角形BDGと直角三角形IDJが相似であることから，これらの三角形の相似比はDG：DJ＝(2+4)：4＝3：2である．よって，

BG：IJ＝FJ/2：IJ＝3/2：IJ，BG：IJ＝DG：DJ＝3：2.
∴IJ＝1.

ところで，直角三角形DIJと直角三角形FKJが相似であることから，

4：3＝1：JK.
∴JK＝3/4.
∴GK＝GJ-JK＝2-3/4＝5/4.

ここで，H＝KよりGH＝5/4である．したがって，直角三角形AGHにおいて三平方の定理を使うと，

AH＝√(AG^2-GH^2)＝√(2^2-(5/4)^2)＝√39/4.
No.42547 - 2017/03/17(Fri) 21:57:46
☆ Re: 図形問題（２） / 一男
Fを通り直線BDに直交する直線とEを通り直線CDに直交する直線の交点をKとする．点Hは点Kと一致することに注意しておく．点Hは点Kと一致する、別解がよく解りません。できれば図も付けて解説お願いします。
No.42550 - 2017/03/18(Sat) 08:29:20
☆ Re: 図形問題（１）（２） / noname
では，机の上に下図のひし形AEDFの形の紙があり，この紙には図にある様な線分BC,CD,DBの様な折り目が付いているとします．この時，

・三角形ABCを線分BCを折り目として折ると，頂点Aの真下への影の点は線分AA'上をAからA'へと移動する．
・三角形BDFを線分BDを折り目として折ると，頂点Fの真下への影の点は線分FF'上をFからF'へと移動する．
・三角形CDEを線分CDを折り目として折ると，頂点Eの真下への影の点は線分EE'上をEからE'へと移動する．

ということが分かります．では，3つの三角形ABC,BDF,CDEを同時に折るとどうなるかというと，それぞれの三角形の頂点A,F,Eの真下への影はそれぞれの移動先の点A',F',E'へ同時に移動しますが，3つの三角形の頂点A,F,E空中のある地点のある1点で一致します．この時，A,F,Eの真下への影も一致している筈です．そして，これら3つの影が一致する点はそれぞれの影の軌跡である線分AA',FF',EE'の交点であることが分かります．
No.42553 - 2017/03/18(Sat) 22:22:14
☆ Re: 図形問題（１）（２） / noname
図を付け忘れていました．図は以下の様になります．
No.42554 - 2017/03/18(Sat) 22:24:48
☆ Re: 図形問題（２） / 一男
直角三角形DIJと直角三角形FKJが相似であることが解りません。何回もすみません。
No.42557 - 2017/03/19(Sun) 07:55:42
☆ Re: 図形問題（１）（２） / noname
∠DLK＝90°であることに注意すると，

∠FKJ＝∠DKL＝∠DLK-∠KDL＝90°-∠KDL＝90°-∠IDJ＝∠DIJ.
∴∠FKJ＝∠DIJ.

また，∠FJK＝90°＝∠DJIであるから，2組の角がそれぞれ等しいことが成立し，ゆえに直角三角形DIJと直角三角形FKJが相似であることが分かります．
No.42558 - 2017/03/19(Sun) 11:55:59
☆ Re: 図形問題（１）（２） / 一男
∠DLK＝90°であることに注意すると、Ｌがどこの位置になるのか解りません。よろしくお願いします。
No.42560 - 2017/03/19(Sun) 12:55:03
☆ Re: 図形問題（１）（２） / noname
>Ｌがどこの位置になるのか解りません。

Lに関する説明がありませんでしたね．失礼致しました．Lは線分BDと直線FKの交点です．
No.42563 - 2017/03/19(Sun) 16:57:29
★ 二次関数 / 匿名
下の続きです。

(2)二次関数 y=ax^2+2ax+a^2のグラフをx軸方向に3、y軸方向に−a−3だけ平行移動したグラフを表す2次関数をy=f(x)とする。
➀a<0とする。y=f(x)のグラフがx軸の0<x<3の部分と交わるようなaの範囲を求めよ。
自分の答え (1−√13)/2<a<−1
➁aは0ではないとする。y=f(x)のグラフがx軸の0<x<3の部分と共有点を持たないようなaの範囲を求めよ。
自分の答え a≦−3 、3≦a 、−1<a<0 、0<a<1

(3)二次関数f(x)=−2x^2+8x−a^2+3がある。ただし、aは1ではない正の定数とする。
➀a≦x≦a+2におけるf(x)の最大値が5の時、aの値を求めよ。
自分の答えa=√6 と(4+√10)/3
➁a≦x≦a+2において、f(x)がx=pの時、最大値M、x=qの時、最小値mをとるとする。M+m=4(p−q)^2を満たすaを求めよ。
自分の答え a=3 と( 3−2√2)/2 と√11/2

(4)二次不等式x^2−(4a−1)x+2a(2a−1)≦0・・・➀
x^2−2ax+2a^2−a−6≧0・・・➁がある。ただし、aは定数。

➊全てのxに対して➁が成り立つようaの値を求めよ。
自分の答え a≦−2 、3≦a

➋a>0とする。➀を満たす全てのxに対して➁が成り立つようなaの範囲を求めよ。
自分の答え 2≦a

以上です。
No.42520 - 2017/03/16(Thu) 19:28:58
☆ Re: 二次関数 / 匿名
間違えた問題だけ解説お願いします。
No.42524 - 2017/03/16(Thu) 20:19:10
☆ Re: 二次関数 / noname
(2),(3),(4)に関しては，(4)の?@のみが正答出来ております．以下，この問い以外の問いに関する考え方と略解となります．


[考え方]
(2)?@a＜0の時，f(x)のグラフがx軸の0＜x＜3の部分と交わるためには「f(0)＜0またはf(3)＜0である」が成立すればよい．後は，この条件を満たすaの範囲とa＜0の共通範囲を求めればよい．
?A次の2つ；

・a＜0の時，f(x)のグラフがx軸の0＜x＜3の部分と交わらないための条件は「f(0)≧0かつf(3)≧0である」が成り立つことである．
・a＞0の時，f(x)のグラフがx軸の0＜x＜3の部分と交わらないための条件は「f(x)のグラフの頂点のy座標の値が正である」が成立することである．

に注意して問題を考えればよい．
(3)?@f(x)のグラフの軸の位置に注意し，

・0＜a＜1,1＜a＜2の時
・a≧2の時

のそれぞれにおける，f(x)の最大値を考えるとよい．
?Af(x)の最小値は0＜a＜1の時とa＞1の時で異なる．このことに注意し，

・0＜a＜1の時
・1＜a＜2の時
・a≧2の時

の3つで場合分けをしてM+m＝4(p-q)^2を満たすaの値を求めればよい．
(4)?A放物線y＝f(x)の軸の位置に注意し，0＜a＜1の時とa＞1の時の2つに場合分けして考えればよい．前者の場合では放物線の頂点のy座標の値が正であればよく，後者の場合ではf(2a-1)≧0であればよい．

[略解]
(2)?@-3＜a＜0
?Aa≦-3,3＜a
(3)?@a＝(4+√10)/3
?Aa＝(3-2√2)/2,√11/2
(4)?Aa≧5/2
No.42525 - 2017/03/16(Thu) 20:53:31
☆ Re: 二次関数 / 匿名
わかりやすい解説ありがとうございます😊
No.42530 - 2017/03/16(Thu) 21:49:46
★ 二次関数 / 匿名
模範解答がないので、どなたか 合っているかどうか、確認お願いします。
(1)aとb は実数でa+b≦1を満たす。
f(x)=x^2+(2a+1)x+bの0≦x≦1における最小値を最大にするaとbを求めよ。
自分の答え −3/2≦aの時 a=−1/2 b=3/2
−3/2≧aの時 a=−3/2 b=5/2
No.42518 - 2017/03/16(Thu) 19:25:37
☆ Re: 二次関数 / IT
間違っていると思います。
（答えをどう出したかが大切だと思います。）

それぞれのとき　f(x)の0≦x≦1における最小値は、どうなりますか？
No.42523 - 2017/03/16(Thu) 20:16:58
☆ Re: 二次関数 / 匿名
なるほど
答えは一つになるということですね。
なので、a=−3/2 b=5/2 で、この時の最大値は5/2
アドバイスありがとうございます。
No.42527 - 2017/03/16(Thu) 21:29:59
☆ Re: 二次関数 / 匿名
訂正
最大値→最小値の最大
No.42528 - 2017/03/16(Thu) 21:37:08
☆ Re: 二次関数 / IT
a=−3/2 b=5/2 で、この時　最小値が5/2　
になりますか？
No.42529 - 2017/03/16(Thu) 21:39:29
☆ Re: 二次関数 / 匿名
x=0の時になると思いますが、、
No.42531 - 2017/03/16(Thu) 21:51:54
☆ Re: 二次関数 / IT
最大値では？
No.42532 - 2017/03/16(Thu) 21:54:17
☆ Re: 二次関数 / 匿名
いや、、やっぱり違います。
うーん 解説お願いします。
No.42533 - 2017/03/16(Thu) 21:57:33
☆ Re: 二次関数 / IT
b=1-a のときを調べればいいことは分かりますか？

y=f(x)=x^2+(2a+1)x+1-a　のグラフはどうなりますか？（特に頂点の座標）

aについて整理するとy=f(x) が定点を通ることも分かります。
No.42534 - 2017/03/16(Thu) 22:03:57
☆ Re: 二次関数 / 匿名
なるほど
ありがとうございます。
No.42535 - 2017/03/16(Thu) 22:43:46
★ 比 / 尾形
（２）解けません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.42517 - 2017/03/16(Thu) 19:13:10
☆ Re: 比 / ヨッシー

ＤＥとＢＣの交点をＩとすると、
△ＡＥＤ∽△ＢＥＩ　かつ　ＡＥ＝ＢＥ　より
　ＡＤ＝ＢＩ
これより図のような比が明らかとなり
　ＦＧ：ＧＣ＝ＦＤ：ＣＩ＝１：４＝３：１２
　ＦＨ：ＨＣ＝ＦＤ：ＢＣ＝１：２＝５：１０
これより
　ＦＧ：ＧＨ：ＨＣ＝３：２：１０
を得ます。
No.42519 - 2017/03/16(Thu) 19:28:50
☆ Re: 比 / noname
次の様に考えてもよいです．


[別解]
点Fを通り直線ABと平行な直線と線分DEとの交点をIとし，CF＝xとする．すると，AE：FI＝AD：DF＝2：1,CD＝AB＝2AEより，FI：CD＝FI：4FI＝1：4である．ところで，三角形FGIと三角形CGDが相似であるから，FG：CG＝FI：CD＝1：4である．また，三角形DHFと三角形BHCが相似であることからCH：FH＝BC：DF＝2：1である．よって，

CH＝2x/3，CG＝4x/5，GH＝CG-CH＝2x/15.
∴CH：HG＝2x/3：2x/15＝5：1.
No.42536 - 2017/03/17(Fri) 00:44:28
☆ Re: 比 / 尾形
これより
　ＦＧ：ＧＨ：ＨＣ＝３：２：１０
を得ます。どの様に計算して比を求めたのか解りません。よろしくお願いします。
No.42537 - 2017/03/17(Fri) 07:12:28
☆ Re: 比 / 尾形
CH＝2x/3，CG＝4x/5，GH＝CG-CH＝2x/15.
∴CH：HG＝2x/3：2x/15＝5：1.すみません計算の仕方が解りません。よろしくお願いします。
No.42538 - 2017/03/17(Fri) 07:27:49
☆ Re: 比 / ヨッシー
　ＦＧ：ＧＣ＝ＦＤ：ＣＩ＝１：４＝３：１２
　ＦＨ：ＨＣ＝ＦＤ：ＢＣ＝１：２＝５：１０
を元に、ＦＣを１５等分する目盛りを打ってみましょう。
Ｆから３つ目の点がＧ、５つ目の点がＨです。

何のために
　１：４　を　３：１２
　１：２　を　５：１０
と数の大きな比に直しているか考えましょう。

この分だと、こちらも理解されていませんね？
No.42539 - 2017/03/17(Fri) 09:52:22
☆ Re: 比 / 尾形
ＦＣをＸとおいて、ＦＧ＝1/5Ｘ　ＧＣ＝4/5Ｘ　ＦＨ＝1/3Ｘ
ＨＣ＝2/3Ｘ　ＧＨ＝ＧＣ−ＨＣ＝2/15Ｘ　ＧＨ：ＨＣ＝　2/15X：10/15X　CH：HG＝５：１
No.42540 - 2017/03/17(Fri) 10:48:22
☆ Re: 比 / noname
>>尾形様


>CH＝2x/3，CG＝4x/5，GH＝CG-CH＝2x/15.
>∴CH：HG＝2x/3：2x/15＝5：1.すみません計算の仕方が解りません。よろしくお願いします。

と仰られている一方で

>ＦＣをＸとおいて、ＦＧ＝1/5Ｘ　ＧＣ＝4/5Ｘ　ＦＨ＝1/3Ｘ
>ＨＣ＝2/3Ｘ　ＧＨ＝ＧＣ−ＨＣ＝2/15Ｘ　ＧＨ：ＨＣ＝　2/15X：10/15X　CH：HG＝５：１

の様な書き込みをされている様です．疑問は自己解決されたという了解でよろしいでしょうか？
No.42546 - 2017/03/17(Fri) 20:59:14
☆ Re: 比 / 尾形
解りました。ありがとうございます。
No.42548 - 2017/03/17(Fri) 23:41:09
★ 場合の数 / 匿名
考えても、この問題がわからなかったので、解説お願いします。
No.42513 - 2017/03/16(Thu) 15:21:08
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
(1)
人をＡ，Ｂ，Ｃとします。
　||○○○○○○○○○
のように、２本の仕切りと９つの玉の並べ方を考えます。
例えば、
　○○○|○○○○|○○
　|○○○○○○○○○|
のようにです。
この時、左の仕切りより左の玉がＡが取る個数、仕切りと仕切りの間の
玉がＢが取る個数、右の仕切りより右の玉がＣが取る個数を表すことにします。
上の例では、Ａ３個、Ｂ４個、Ｃ２個　および　Ａ０個、Ｂ９個、Ｃ０個　を表します。
すると、玉の分け方は、これらの仕切りと玉を並べる方法と対応させることが出来ます。
並べ方の総数は、１１の置き場所の２つを選んで仕切りを置くと考えると
　11Ｃ2＝55（通り）

(2)
(1)の答えから、１人だけが取る方法、２人だけが取る方法を引きます。
　答えは２８通り

(3)
個数がそれぞれ
(1,1,7),(1,2,6),(1,3,5),(1,4,4),(2,2,5),(2,3,4),(3,3,3)
の７通り。

(4)
(1,1,7) に分ける方法：9Ｃ1×8Ｃ1×7Ｃ7÷２！＝３６（通り）
(1,2,6) に分ける方法：9Ｃ1×8Ｃ2×6Ｃ6÷１！＝２５２（通り）
(1,3,5) に分ける方法：9Ｃ1×8Ｃ3×5Ｃ5÷１！＝５０４（通り）
(1,4,4) に分ける方法：9Ｃ1×8Ｃ4×4Ｃ4÷２！＝３１５（通り）
(2,2,5) に分ける方法：9Ｃ2×7Ｃ2×5Ｃ5÷２！＝３７８（通り）
(2,3,4) に分ける方法：9Ｃ2×７Ｃ3×4Ｃ4÷１！＝１２６０（通り）
(3,3,3) に分ける方法：9Ｃ3×6Ｃ3×3Ｃ3÷３！＝２８０（通り）
を合計します。
答え　３０２５通り。
No.42514 - 2017/03/16(Thu) 16:42:35
☆ Re: 場合の数 / らすかる
(2)別解
最初に3人に1個ずつ配ってから残り6個について
(1)と同じ方法で分ければよいので、8C2=28通り

(4)別解
組に区別があって0個の組があってもよい場合は3^9通り
そのうち0個の組が2組になるのは3通り、1組になるのは3×(2^9-2)通りなので
組に区別があって0個の組がない場合は3^9-3-3×(2^9-2)通り
よって組に区別がなく0個の組がない場合は{3^9-3-3×(2^9-2)}÷3!=3025通り
No.42521 - 2017/03/16(Thu) 19:43:44
★ (No Subject) / 太郎
|x|<3はx^2<9であるための何条件か、という問題で、答えは必要十分条件だったのですが、例えばx=i(虚数単位)のとき、x^2<9は成り立ちますが、|x|<3は成り立ちません。これはなぜですか？どなたか教えてください。
No.42512 - 2017/03/16(Thu) 15:07:27
☆ Re: / ヨッシー
ｘが実数に限られているとか、複素数を習う前の単元だとか、
ｘは実数であることを仄めかす何らかの記述があるとか
いうことはないでしょうか？

ちなみに、ｘ＝ｉ だと |ｘ|＜３ も成り立ちます。
ｘ＝２ｉ とかなら成り立ちません。
No.42515 - 2017/03/16(Thu) 17:41:08
☆ Re: / noname
>例えばx=i(虚数単位)のとき、x^2<9は成り立ちますが、|x|<3は成り立ちません。これはなぜですか？


xが実数の場合で「|x|＜3はx^2＜9であるための何条件か」ということが問われているのだと思います．ただ，xが複素数の場合では，実数同士の大小の様に複素数同士の大小を考えることは出来ませんので，

>x=i(虚数単位)のとき、x^2<9は成り立ちます

という記述は非常に曖昧(？)なものとなってしまいます．
No.42516 - 2017/03/16(Thu) 17:43:43
☆ Re: / 太郎
ご回答いただきありがとうございます。xが実数であるという記述はありませんでしたが、不等号で大小を考えてる時点でxが実数ということになるんでしょうかね。
No.42522 - 2017/03/16(Thu) 20:16:30
☆ Re: / noname
>不等号で大小を考えてる時点でxが実数ということになるんでしょうかね。

場合に依りますが，今回の場合はそう思っていただいても構わないかと思います．
No.42526 - 2017/03/16(Thu) 21:28:16
☆ Re: / 太郎
ありがとうございました。
No.42541 - 2017/03/17(Fri) 13:47:02
★ 図形 / 田中
上の問題は解答をみて何とか解りました。３(1)(2)解りません。数学不得意なので詳しい解説お願いします。
No.42503 - 2017/03/15(Wed) 18:00:29
☆ Re: 図形 / 田中
答えです。
No.42504 - 2017/03/15(Wed) 18:01:11
☆ Re: 図形 / noname
(1)については，三角形CEAの3辺の比が長さの短い辺の順番で3：4：5であることから，

AE＝5×3/4＝15/4，CE＝5×5/4＝25/4.

ここで，BC＝8よりBE＝8-25/4＝7/4となります．ところで，三角形CEAと三角形BEFが相似であることから，三角形BEFの3辺の比より

EF＝7/4×3/5＝21/20，BF＝7/4×4/5＝7/5.

ところで，直線ACと直線BFが平行であることから錯角の式として∠BFE＝∠CAE＝90°が成立し，三角形ABFは直角三角形となります．したがって，この三角形の面積は

1/2×7/5×(15/4+21/20)

を計算することで求まります．


次に(2)に関してですが，線分ABの中点をM，直線GHと直線BFの交点をI，I,Mから線分BDへの垂線の足をそれぞれJ,Kとします．すると，三角形AMGと三角形BMIが合同であることからBI＝AG＝7/5が成立します．また，いま直線ADと直線MKが平行であるから，Kは線分BDの中点であり，BK＝DK＝3/2，MK＝1/2×AD＝2となります．ところで，直角三角形BIJと直角三角形BADが相似であることから，直角三角形BIJの3辺の比より

BJ＝7/5×3/5＝21/25，IJ＝7/5×4/5＝28/25.

この時，直角三角形IJHと直角三角形MKHが相似であることからその相似比は

IJ：MK＝28/25：2＝14：25.

したがって，線分BHの長さは

BH＝BJ+JH＝21/25+(3/2-21/25)×14/(14+25)

により計算することが出来ます．
No.42505 - 2017/03/15(Wed) 20:09:05
☆ Re: 図形 / noname
(2)に関する図です．もしよければご参考ください．
No.42507 - 2017/03/15(Wed) 21:17:24
★ 比の計算 / 田丸
比の計算のしかたが解りません。解説お願いします。
No.42501 - 2017/03/14(Tue) 18:14:03
☆ Re: 比の計算 / ヨッシー

ＡＤとＢＧの交点をＩとすると、
　ＤＩ：ＢＣ＝ＤＧ：ＧＣ＝１：２
より、図のように辺の比が決まります。
あとは、
　ＢＧ：ＧＩ＝ＣＧ：ＧＤ＝２：１＝１４：７
　ＢＨ：ＨＩ＝ＢＦ：ＥＩ＝３：４＝９：１２
から、
　ＢＨ：ＨＧ：ＧＩ＝９：５：７
を得ます。
No.42502 - 2017/03/14(Tue) 19:04:16
☆ Re: 比の計算 / noname
次の様に考えてもよいです．


[別解]
BC＝AD＝xとする．また，Gを通り直線BCに平行な直線と線分EF,DFとの交点をそれぞれI,Jとする．この時，三角形CDFにおいて

CF：GJ＝CD：DG＝3：1.
∴GJ＝1/3・CF＝1/3・BC/4＝x/12.

また，三角形DEFにおいて

DE：JI＝DF：FJ＝DC：GC＝3：2.
∴JI＝2/3・DE＝2/3・AD/2＝x/3.

よって，GI＝JI+GJ＝x/3+x/12＝5x/12である．ところで，三角形BFHと三角形GIHが相似であることから，

BH：GH＝BF：GI＝3x/4：5x/12＝9：5.
_________________________________________________________________

※以下は参考図となります．
No.42508 - 2017/03/16(Thu) 01:46:14
★ 数列の計算について / 数学初心者
写真にある
4式目のΣがない式について
n=(k-1)^2+1 をnに代入する作業で?の部分がおかしいなと思いましたので質問をさして下さいm(_ _)m
No.42495 - 2017/03/14(Tue) 12:23:15
☆ Re: 数列の計算について / らすかる
Σ(1/n-1/(n+1)) では
始値の 1/n と終値の -1/(n+1) だけが残って間が消えますので、
1/n のnに始値の (k-1)^2+1 を代入して 1/{(k-1)^2+1}
-1/(n+1) のnに終値の k^2 を代入して -1/(k^2+1)
よって
1/{(k-1)^2+1} - 1/(k^2+1)
となります。
No.42496 - 2017/03/14(Tue) 12:36:57
☆ Re: 数列の計算について / 数学初心者
早速返信ありがとうございますm(_ _)m

そのk^2 はどこから導かれた値ですか？
No.42497 - 2017/03/14(Tue) 14:03:12
☆ Re: 数列の計算について / noname
>そのk^2 はどこから導かれた値ですか？


らすかる様の回答にある

>Σ(1/n-1/(n+1)) では
>始値の 1/n と終値の -1/(n+1) だけが残って間が消えますので、
>1/n のnに始値の (k-1)^2+1 を代入して 1/{(k-1)^2+1}
>-1/(n+1) のnに終値の k^2 を代入して -1/(k^2+1)

をもう一度一字一句曖昧さを残さないようにお読みください．
No.42499 - 2017/03/14(Tue) 17:22:45
☆ Re: 数列の計算について / noname
お読みになられても疑問が解決されない場合は，a,b(a＜b)を自然数とする時に和Σ_[n=a,b]1/(n(n+1))を計算してみてください．
No.42500 - 2017/03/14(Tue) 17:27:05
★ (No Subject) / 太郎
tが0以上のすべての実数値をとりながら変化するとき、2tx+y+t^2=0で表される直線が通りうる領域を図示せよ。という問題で、解説にt^2+2xt+y=0が0以上の解を少なくとも1つもつx,yの条件を求めれば良い。と書いてあったのですが、なぜ少なくとも1つなのかがわかりません。tが0以上と書いてあるから、1つでも0未満であったらダメだと思うのですが…。どなたか教えてください。m(__)m
No.42485 - 2017/03/12(Sun) 20:18:37
☆ Re: / 山旅人
> 1つでも 0 未満であったらダメ
としたとき導かれる (x，y) の領域と，いくつか t を与えて直線を何本か実際に描いてみると 「少なくとも１つ」 で良いことを納得されるでしょう。
No.42486 - 2017/03/12(Sun) 21:40:24
☆ Re: / noname
0以上の各実数tに対して直線y＝-2tx-t^2をℓ_[t]とし，tを色々と動かす時の各直線ℓ_[t]の通過領域をDとします．すると，平面上の点(x,y)に対して，

「点(x,y)はDに含まれる点である」
⇔「ある0以上の実数t_0が存在して，点(x,y)は直線ℓ_[t_[0]]上にある」
⇔「ある0以上の実数t_0が存在して，y＝-2t_[0]x-(t_[0])^2が成り立つ」
⇔「tについての2次方程式t^2+2xt+y＝0が0以上の実数解を持つ」

という言いかえが出来ます．このことに注意すると，

>解説にt^2+2xt+y=0が0以上の解を少なくとも1つもつx,yの条件を求めれば良い。と書いてあったのですが、なぜ少なくとも1つなのかがわかりません。

という疑問が解決するかと思います．
No.42487 - 2017/03/12(Sun) 21:52:59
☆ Re: / 太郎
みなさんありがとうございます。納得しました。
No.42489 - 2017/03/13(Mon) 12:51:31
★ 外積 / tetsu
外積を習ったのですが、空間で原点以外の3点の座標が与えられており、その3点が作る平面をαとするとき、αに原点から下ろした垂線の足をHとし、Hの座標を求めよという問題を外積で解く方法が分かりません。四面体などは求められるのですが、この問題は自分で考えても全く分からないのでお教えください。
No.42481 - 2017/03/12(Sun) 13:00:30
☆ Re: 外積 / noname
簡単のため，与えられている3点の位置ベクトルが一次独立であると仮定して話をすることにします．まず，↑OHは平面αの法線ベクトルの1つであるから，

↑OH＝k(↑AB×↑AC)…?@

を満たす実数kが存在します．また，Hは平面α上の点であるから，

↑OH＝↑OA+p↑AB+q↑AC…?A

を満たす実数p,qが存在します．この時，?@,?Aの各成分を比較することで3元連立一次方程式が得られます．後はこの方程式を解けばk,p,qの値が決定され，Hの座標が得られます．細かな計算はご自身で行ってください．
No.42484 - 2017/03/12(Sun) 15:09:06
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