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★ 三角形 / tetsu
三角形の画像の性質はどのように証明出来ますか？
No.42759 - 2017/04/10(Mon) 21:29:47
☆ Re: 三角形 / らすかる
前半は
△ABC=BC×AS÷2, △QBC=BC×QT÷2 から
△ABC：△QBC=BC×AS÷2：BC×QT÷2=AS：QT

後半は
△APS∽△QPTから AS：QT=AP：QP
No.42760 - 2017/04/10(Mon) 22:02:56
★ 積分を利用した重心の問題 / たなお
以下の問題が解けません。ご教授願います。

ーーーーーーーーーーーーーーーーー
次の図形の重心の座標を求めよ。

不等式 x^2 + y^2 =< a^2 , x^2 + y^2 => ax が表す領域　（a > 0）
ーーーーーーーーーーーーーーーーー

問題集では、答えは（-6/a , 0）となっていました。
また、私が問題を解く際に使用した、重心のx座標を計算するための式と図を画像として添付しました。考え方に間違いがあればご指摘願います。

よろしくお願いいたします。
No.42755 - 2017/04/10(Mon) 18:06:44
☆ Re: 積分を利用した重心の問題 / たなお
すいません、画像が添付できておりませんでした。
No.42756 - 2017/04/10(Mon) 18:07:40
☆ Re: 積分を利用した重心の問題 / たなお
なんども申し訳ありません。私の勘違いでした。
質問を取り下げさせていただきたいと思います。

よろしくお願いいたします。
No.42757 - 2017/04/10(Mon) 18:09:58
★ 無限和について。 / noes
無限級数同士を足しても、問題は無いのでしょうか？

例えば、
1+(1/2)-(1/4)-(1/5)+(1/7)+(1/8)-……＝2π/3√3
と、
1-(1/2)-(1/4)+(1/5)+(1/7)-(1/8)-……＝2/3*log[e]2
の和、
1-(1/4)+(1/7)-……＝π/3√3+1/3*log[e]2

は、計算上正しいのでしょうか？
No.42754 - 2017/04/10(Mon) 17:07:25
☆ Re: 無限和について。 / らすかる
lim[n→∞]Σ[k=1〜n]a[k]=a, lim[n→∞]Σ[k=1〜n]b[k]=b が成り立つときに
lim[n→∞]Σ[k=1〜n](a[k]+b[k])=a+b が成り立つか、という意味でしたら
正しいと思います。
実際、第3式の答えも正しいです。
No.42758 - 2017/04/10(Mon) 18:10:34
★ 無限級数の質問 / かっこう
宜しくお願いします。大学受験生です。
limXn,limYnを表すところまではわかったのですが、
公比が-1/2^2であるのがわかりません。
教えて下さい。
No.42748 - 2017/04/09(Sun) 14:12:30
☆ Re: 無限級数の質問 / X
解答の4行目において
{(-1)^(n-1)}{1/(2^(2n-2))}={(-1)^(n-1)}{1/{2^(2(n-1))}}
={(-1)^(n-1)}{1/{(2^2)^(n-1)}}
=(-1/2^2)^(n-1) (A)
これはlim[n→∞]x[n]が公比-1/2^2の無限等比級数
であることを示しています。
又、解答の7行目において)(A)と同様な変形により
{(-1)^(n-1)}{1/2^(2n-1)}=(1/2){(-1)^(n-1)}{1/2^(2n-2)}
=(1/2)(-1/2^2)^(n-1)
ですので
lim[n→∞]y[n]も公比-1/2^2の無限等比級数
となっています。
No.42749 - 2017/04/09(Sun) 14:34:52
☆ Re: 無限級数の質問 / かっこう
解説ありがとうございます。
指数のところを揃えるように式変形をするとわかりやすいですね。
ありがとうございます。理解出来ました
No.42753 - 2017/04/09(Sun) 21:51:02
★ 積分の質問です / たなお
以下の積分の解き方を教えていただけないでしょうか。

??1/√(1+x^4) dx

よろしくおねがいします。
No.42745 - 2017/04/09(Sun) 12:11:27
☆ Re: 積分の質問です / たなお
すいません、数式の頭の記号が間違っていたので訂正です。

誤：?刀@　正：∫

よろしくお願いいたします。
No.42746 - 2017/04/09(Sun) 12:15:19
☆ Re: 積分の質問です / X
以下のURLをご覧下さい。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%5B1%2F%E2%88%9A(1%2Bx%5E4),x%5D

答えの右下の方に灰色で説明が書かれていますが
楕円積分になるようです。
(問題文にタイプミスはありませんか？)
No.42747 - 2017/04/09(Sun) 13:27:30
☆ Re: 積分の質問です / たなお
Xさん

参考URLありがとうございます。
助かりました。
問題文にタイプミスはありません。

ありがとうございました。
No.42752 - 2017/04/09(Sun) 14:53:41
★ (No Subject) / たろー
この問題の、ノハヒがよく分かりません。
教えたください。
No.42743 - 2017/04/09(Sun) 12:02:57
☆ Re: / たろー
上のものは、最初の問題設定です。
ちなみに、(1)で、問題文の10個の数字から
出来る4桁の整数は175個は求めています。
No.42744 - 2017/04/09(Sun) 12:05:51
☆ Re: / X
(1)と同様な過程を使って千の位が1,2,3となるような
4桁の整数の個数をそれぞれ求めて和を取ります。
例えば千の位が1となるような4桁の整数の個数ですが、
10個の整数から1を一つ除いた9個の整数でできる
3桁の整数の個数と同じですので…。
No.42751 - 2017/04/09(Sun) 14:40:37
★ 数学1 / ポップコーン
差が30である大小2つの整数がある。
大きい数が、小さい数の4倍以上で5倍以下となる時小さい数を全て求めよ。

という問題なのですが、なんか途中式が意味不明になってしまって、どこで間違えてるのか分かりません教えてください！
No.42739 - 2017/04/08(Sat) 19:22:33
☆ Re: 数学1 / ポップコーン
すみません、写真違います。
本当のはこっちです！
No.42740 - 2017/04/08(Sat) 19:24:04
☆ Re: 数学1 / angel
不等式の場合、両辺を負の数で割る ( 或いは負の数をかける ) ということをすると、不等号の向きが逆転します。

例えば、-3x＞-30 とあるところ、両辺を -3 で割ると x＜10 です。x＞10 は誤りです。

私としては、そもそも不等式では割り算しないことをお勧めします。今回のように割る数が -3 等と分かっているならまだ何とでもなるのですが、文字式になってくると必ず混乱をきたします。

例えば

　x+30＞4x
　⇔ 0＞4x-x-30
　⇔ 0＞3(x-10) よって x＜10
　※逆に左辺に集めるなら
　　-3(x-10)＞0 よって x＜10

といった感じで

※追記
つまり、割り算して整理していくのではなく、
　(正の数)×(正の数)＞0
　(負の数)×(負の数)＞0
　(正の数)×(負の数)＜0
　(負の数)×(正の数)＜0
に持っていく、ということです
No.42741 - 2017/04/08(Sat) 19:40:00
★ 軌跡 / 初心者🏠
(3)(4)の途中式で符号がプラスマイナスになる理由がわかりません。
No.42731 - 2017/04/08(Sat) 09:30:44
☆ Re: 軌跡 / 初心者🏠
写真1です
No.42732 - 2017/04/08(Sat) 09:31:28
☆ Re: 軌跡 / 初心者🏠
解説です。
No.42733 - 2017/04/08(Sat) 09:32:06
☆ Re: 軌跡 / angel
形式的に
　|A|=|B|
の場合は、「A=B もしくは A=-B」です。

例えば、(A,B)=(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)のパターンで確かめてみて下さい。

今回の(3)であれば
　|x+y-1|=|x-y+2| ⇔ x+y-1=x-y+2 または x+y-1=-(x-y+2)
と、A,B それぞれが x+y-1, x-y+2 に対応していることになります。

で、「A=BもしくはA=-B」この2つをまとめた書き方として A=±B としています。±というのを1つの記号とはあまり見ない方が良いです。
かなりの頻度で「+○○または-○○」という2条件の和として考えることになるからです。
No.42736 - 2017/04/08(Sat) 18:34:08
☆ Re: 軌跡 / angel
ただし、A=±B の両辺を平方すると A^2=B^2 が導かれますから、この話をする時だけは±を1つの記号と見ると便利です。
※「A=B ならば A^2=B^2, A=-B でも A^2=B^2 つまり『A=B または A=-B』ならば A^2=B^2」と書くとクドイ

|A|=|B|⇔A=BまたはA=-B については、

　|A|=|B|
⇔|A|^2=|B|^2　( 両辺とも0以上なので平方しても同値 )
⇔ A^2=B^2
⇔ A^2-B^2=0
⇔ (A-B)(A+B)=0
⇔ A=BまたはA=-B

のように導くことができます。
念のため繰り返しますが、途中で平方しても同値関係が崩れないのは、絶対値記号がついて0以上の値になっていることが保証されているからです。

ここの話では関係ありませんが、もし負の値をとる可能性もあるような状況であれば、平方した瞬間に同値関係が崩れます。
No.42737 - 2017/04/08(Sat) 18:46:14
★ 偏微分(ﾏﾙﾁﾎﾟｽﾄ) / ふなっし
偏微分の計算の添削をお願いいたします。

2変数関数f(x,y)=(1-y^2)arctan(x+y)の∂^3f/(∂^2x∂y)(1/2,1/2)の値を求めよ。
ただし、-π/2<arctanx<π/2とする。

まず、∂f/∂y=-2y*arctan(x+y)+(1-y^2)*1/{1+(x+y)^2}
ここで、arctan(x+y)=A,1/{1+(x+y)^2}=B とおく。
∂A/∂x=B,
∂^2A/∂x^2=-2x/{1+(x+y)^2}^2
また、
∂B/∂x=-2x/{1+(x+y)^2}^2
∂^2B/∂x^2=[-2{1+(x+y)^2}^2+2x*2{1+(x+y)^2}*2x]/{1+(x+y)^2}^4
以上に(x,y)=(1/2,1/2)を代入すると、
{1+(x+y)^2}=2となるため、求める係数値は
1/4+3/4*(-2*4+2*2)/16=・・・
としたのですが、答えが合いませんでした。
どこかが間違っています。

添削をお願いいたします。
No.42729 - 2017/04/08(Sat) 00:54:17
☆ Re: 偏微分(ﾏﾙﾁﾎﾟｽﾄ) / ふなっし
解決致しました。
No.42735 - 2017/04/08(Sat) 12:11:16
★ (No Subject) / ７７７
∫（０〜π/6)(sin^3x+cos^3x)dxの答えを出すにはどうするのが一番楽ですか？方法は問いません

よろしくおねがいします
No.42727 - 2017/04/07(Fri) 23:07:08
☆ Re: / X
一番楽かどうかはわかりませんが、三倍角の公式などを
用いて、被積分関数の次数を落とす方針が考えられます。
No.42730 - 2017/04/08(Sat) 09:27:46
☆ Re: / ふなっし
または、3乗の和の公式で因数分解し、2乗+2乗は公式により=1,
それを展開して、sin,cos単体の単純な積分と、微分が掛けられた形の積分(例題頻出)だけになると思うので、その方法もいかがでしょう。
No.42734 - 2017/04/08(Sat) 12:10:41
☆ Re: / angel
3倍角のsin,cosを計算しない ( この場合なら 0,π/6 の sin,cos だけですむ ) という意味では、

　∫(sinx)^3 dx = -cosx+1/3・(cosx)^3 +C
　∫(cosx)^3 dx = sinx-1/3・(sinx)^3 +C

を使うのも。

※これらに関しては
　∫(sinx)^3 dx
　= ∫sinx・(sinx)^2 dx
　= ∫-(cosx)'・(1-(cosx)^2)dx
　= ∫( -(cosx)'+(cosx)'(cosx)^2 )dx
　= -cosx+1/3・(cosx)^3+C
　のように求められます
No.42738 - 2017/04/08(Sat) 19:13:23
☆ Re: / ７７７
御三方ありがとうございます。
よくわかりました。ありがとうございました！
No.42742 - 2017/04/09(Sun) 04:34:31
★ 図形 数1 / 初心者🏠
黄線が図形の性質のどの定理かわかりません。
No.42724 - 2017/04/07(Fri) 19:11:18
☆ Re: 図形 数1 / 初心者🏠
黄線です
No.42725 - 2017/04/07(Fri) 19:11:58
☆ Re: 図形 数1 / らすかる
「四角形AC'IB'の4つの角の合計は360°」から言えます。
No.42726 - 2017/04/07(Fri) 19:20:48
☆ Re: 図形 数1 / 初心者🏠
ありがとうございます。
No.42728 - 2017/04/08(Sat) 00:15:41
★ お願いします / ばに
Qを通っている線に平行な線の間隔から，AQ：AB＝3：7なので，AQ＝90÷7＝12と6/7　cmです。よって，PQ＝AQ−AP＝6と6/7　cm

↑この問題に出てくる式に『９０÷７』ってありますけど、９０ってどこからきたんですか？
No.42718 - 2017/04/06(Thu) 19:06:00
☆ Re: お願いします / ばに
url貼るの忘れてました
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/blog-category-19.html
このｻｲﾄの2014年２問目の所です
No.42719 - 2017/04/06(Thu) 19:08:18
☆ Re: お願いします / IT
AQ:AB=3:7　より
AQ/AB=3/7
AQ=(AB×3)/7=(30×3)/7=90/7　(AB＝30 ですから）
No.42720 - 2017/04/06(Thu) 19:48:21
☆ Re: お願いします / ばに
なんで３０かけるんですか？
No.42721 - 2017/04/06(Thu) 23:15:55
☆ Re: お願いします / ばに
３０÷７ だと思ってました
No.42722 - 2017/04/06(Thu) 23:17:29
☆ Re: お願いします / IT
AQ:AB=3:7
(1)すなわち
　AQ/AB=3/7
(2)両辺にABを掛けて
　AQ=(AB×3)/7
(3)AB＝30を代入
　AQ=(30×3)/7=90/7

どこが分かりませんか？
No.42723 - 2017/04/06(Thu) 23:49:09
★ 数学1 / ポップコーン
x＋y＝2√5
xy＝1

の時、1/x＋1/yは何かという問題です。
答えは2√5ですが、途中式がわかりません。
お願いします！
No.42716 - 2017/04/06(Thu) 15:38:28
☆ Re: 数学1 / ヨッシー
1/x＋1/y を通分してみてください。
　
No.42717 - 2017/04/06(Thu) 15:45:36
★ 数学1について / EX
x²-2y²+xy+yz-zx = (-x+y)z+x²+xy-2y²
= -(x-y)z+(x+2y)(x-y)
=(x-y){-z+(x+2y)}
= (x-y)(x+2y-z)
と解答ではなっていますが、
x²-2y²+xy+yz-zx = yz-zx+x²+xy-2y²
= (y-x)z+(x+2y)(x-y)
= (y-x)z-(y-x)(x+2y)
= (y-x){z-(x+2y)}
= (y-x)(z-x-2y)
でもよろしいのですか？
符号が全て違っていれば いいんですよね。
No.42714 - 2017/04/06(Thu) 08:25:06
☆ Re: 数学1について / ヨッシー
それでも良いです。

「符号が全て」というのは微妙ですが、因数が２個なら、
その考えで良いです。
　(x-y)(y-z)(z-x)＝(y-x)(z-y)(z-x)
と言う場合もありますから、正しくは、
　符号が逆になっている因数が偶数個であれば良い
です。
No.42715 - 2017/04/06(Thu) 10:44:41
★ 東大の問題 / ぷー
以下の問いに答えよ。ただし（１）については結論のみを書けばよい
（１）ｎを正の整数とし、３＾ｎを１０で割った余りをanとする。anを求めよ
（２）ｎを正の整数とし、３＾ｎを４で割った余りをｂnとする。ｂnを求めよ
（３）整数｛xn}を次のように定める。ｘ１＝１、x(n+1)=3^(x(n))(n=１，２，３、...)
x10を１０で割った余りを求めよ

で（３）はx(n+1)=3^(x(n))(n=１，２，３、...)にｘ＝１を代入してｘ２＝３
ｘ＝２を代入するとx3=3^(x2)≡３＾３≡７
ｘ＝３を代入するとx4=3^(x3)≡3＾7≡3^3*3^4≡７*81≡７
以下同様にしてx5≡x6≡x7≡x8≡x9≡x10≡７
で問題ありますか？ただ指数部分に代入するだけの解答になりましたが、解答はかなり異なっており（１）（２）を使って解いています。答えは偶然にも一致しています

よろしくおねがいします
No.42706 - 2017/04/05(Wed) 09:22:19
☆ Re: 東大の問題 / ぷー
解答はかなり異なっており、というのは（手元の）という意味です
No.42707 - 2017/04/05(Wed) 09:23:43
☆ Re: 東大の問題 / ヨッシー
　ａ≡ｂ　→　３^a≡３^b
は一般には成り立たないので、「3^(x3)≡3＾7」 および 「以下同様にして」は
少し乱暴でしょう。
「７は特別であること」または「以下同様にしての根拠」をきちんと言う必要があると思います。
No.42709 - 2017/04/05(Wed) 10:03:59
☆ Re: 東大の問題 / らすかる
例えば3^17=129140163≡3ですから
x3≡7からx4=3^(x3)≡3^7とは言えませんね。
No.42711 - 2017/04/05(Wed) 12:23:15
☆ Re: 東大の問題 / angel
(1),(2)をすっ飛ばしてやりたいなら、mod 20 の話をすれば一応は。( (1),(2)を合成したようなものではありますが )

なぜならば、3^4=81≡1 mod 20 であることから、3^20≡1 mod 20 ということで、指数・べき乗の値、両方 mod 20 で揃うからです。

加えて、3^7=3^4・3^3=81・27≡7 mod 20 のため、
　x[n]≡7 mod 20 ⇒ x[n+1]=3^x[n]≡7 mod 20
ということで、一旦 x[n]≡7 mod 20 となれば、以降は全て mod 20 で 7 と合同です。

実際、x[3]=27≡7 mod 20 ですから x[10]≡7 mod 20、mod 10 で考えても x[10]≡7 mod 10 ということになります。
No.42713 - 2017/04/05(Wed) 21:24:26
★ (No Subject) / ぽっぷ
ｋを自然数とする。
√(n^2+7^k)が自然数となるような自然数ｎを求めよ
私の作った解答）
√(n^2+7^k)＝N（Nは自然数とする）とおける
両辺正より両辺二乗しても同値
よって
n^2+7^k=N^2
(N+n)(N-n)=7^k
N+n=7^(k-l)
N-n=7^l

n=(1/2)(7^(k-l)-7^l)

N+n>N-n
⇔7^(k-l)>7^l
⇔k>2l
N+n>0
⇔ｋ≧ｌ
N-n>0
⇔ｌ≧０
以上より

n=(1/2)(7^(k-l)-7^l)
（ただしｌは0以上の整数でｋ＞２ｌ）
この解答で何か問題ありますでしょうか？
冊子には
ｎ=(1/2)(7^l-7^(k-l)),lはk/2<l≦kをみたす自然数
とあり結構違うのですが大丈夫でしょうか？

よろしくおねがいします
No.42705 - 2017/04/05(Wed) 06:40:46
☆ Re: / ヨッシー
ぽっぷさんが、
>N+n=7^(k-l)
>N-n=7^l
と置いたところを、冊子では
N+n=7^l
N-n=7^(k-l)
と置いているだけなので、ｌ＝ｋ−ｌ で変換すると
n=(1/2)(7^(k-l)-7^l)　→　ｎ=(1/2)(7^l-7^(k-l))
0≦ｌ＜k/2　→　0≦ｋ−ｌ＜2l/2　⇔　k/2＜ｌ≦ｋ
となるので、問題ありません。

ただし、本文中の
>N-n＞0
>⇔ｌ≧０
は、N-n＞0 だからではなく、N-n が整数だから、です。
No.42710 - 2017/04/05(Wed) 10:42:24
★ (No Subject) / ふ
中学生です
x²−12x＋36を因数分解すると(x−6)²ですが(−x＋6)²と解答してはいけないのでしょうか。本来の意味と異なるとのご指摘をいただいたのですが、、、
No.42702 - 2017/04/04(Tue) 21:49:09
☆ Re: / ヨッシー
いけなくはありませんし、間違いでもありません。
が、「なぜわざわざ？」という感は否めません。
（−６＋ｘ）2、（６−ｘ）2 も同様です。

「本来の意味」が何を指すのかは分かりません。
No.42704 - 2017/04/04(Tue) 22:55:27
★ 数学III 不等式の質問 / かっこう
宜しくお願いします。
大学受験生です。
69(3)で、場合分け[1],[2]をしなくてはいけない理由がわかりません。教えて下さい。
No.42699 - 2017/04/04(Tue) 20:08:22
☆ Re: 数学III 不等式の質問 / ヨッシー
両辺２乗して同値性が保たれるのは、両辺がともに０以上の時だからです。

２乗できる場合と、そうでない場合とで分けています。
No.42700 - 2017/04/04(Tue) 20:21:53
☆ Re: 数学III 不等式の質問 / かっこう
解説ありがとうございます。
理解出来ました。
No.42703 - 2017/04/04(Tue) 22:30:36
★ 極限 反例についての問題 / あまゆき
こんにちは。大学受験生です
反例を求める問題で、それぞれなぜこの答えになるのか分かりません。教えて下さると嬉しいです
?(5)そもそも問題文の平均をbnとするという意味がわかりません
?(7)基礎事項の説明で『数列{Ｓn}がＳに収束するとき、無限級数?蚤nは収束するといい、Sをこの無限級数の和という』と書いてあるのにこれはなぜまちがってるのでしょうか
?(8)問題文から分からないです💧
No.42698 - 2017/04/04(Tue) 18:00:15
☆ Re: 極限 反例についての問題 / ヨッシー
(5)
b[1]＝a[1], b[2]＝(a[1]+a[2])/2, b[3]＝(a[1]+a[2]+a[3])/3
b[n]＝(a[1]+a[2]+a[3]＋・・・＋a[n])/n
ということです。
(7)基礎事項に書いてあるのは、「数列{Ｓ[n]}がＳに収束するとき」であって、
　ａ[n] が収束するときではありません。
　ａ[n]＝1/n は収束しますが、Ｓn は収束しないことが知られています。
(8)0より大きく、1未満の数を、無限個かけたら０に収束する　ということです。
No.42701 - 2017/04/04(Tue) 20:33:00
★ 整数問題 / 道雄
次の連立方程式を満たす正の整数x,y,zを求めよ。
x^3-y^3-z^3=3xyz
x^2=2(y+z)

解き方がわからないので教えていただけませんか？
No.42695 - 2017/04/04(Tue) 13:30:41
☆ Re: 整数問題 / ヨッシー
因数分解の公式
　x^3＋y^3＋z^3−3xyz＝(x+y+z)(x^2＋y^2＋z^2−yz−zx−xy)
で、ｙ→−ｙ、ｚ→−ｚ に変えると
　x^3−y^3−z^3−3xyz＝(x−y−z)(x^2＋y^2＋z^2−yz＋zx＋xy)
となります。
　x^3−y^3−z^3−3xyz＝(x−y−z)(x^2＋y^2＋z^2−yz＋zx＋xy)＝０
より、
　x−y−z＝０　または　x^2＋y^2＋z^2−yz＋zx＋xy＝０
i) x−y−z＝０ のとき
　２ｘ−２(ｙ＋ｚ)＝０
　２ｘ−ｘ^2＝０
ｘ＞０ より ｘ＝２
　２（ｙ＋ｚ）＝４
　ｙ＋ｚ＝２
より、ｙ＝ｚ＝１

ii) x^2＋y^2＋z^2−yz＋zx＋xy＝０ のとき
両辺に２を掛けて
　2x^2＋2y^2＋2z^2−2yz＋2zx＋2xy＝０
　(左辺)＝(x＋y)^2＋(y−z)^2＋(z＋x)^2＞０
より、x^2＋y^2＋z^2−yz＋zx＋xy＝０ となることはありません。

以上より、答えは
　（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２，１，１）
の１組です。
No.42697 - 2017/04/04(Tue) 14:41:39
☆ Re: 整数問題 / 道雄
ありがとうございます。
No.42708 - 2017/04/05(Wed) 09:43:58
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