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★ 数検2級の過去問 / Triscuit
数検2級(数II、数Bくらい)の勉強をしています

問6についてです。
答えはx=16/3になるらしいのですが、何をつかって解くのかわかりません(-｡-;
No.42392 - 2017/03/05(Sun) 12:24:14
☆ Re: 数検2級の過去問 / noname
方べきの定理，或いは三角形の相似比を使うとこの問題を解くことが出来ます．解き方の詳細については以下をご参考ください．


[方べきの定理を使った解き方]
方べきの定理より，

AB・AC＝AT^2.
∴3(x+3)＝5^2.

後はこの方程式をxについて解けばよい．

[三角形の相似比を使った解き方]
三角形ACTと三角形ABTにおいて

∠ACT
＝∠BOT/2
＝{180°-(∠BTO+∠TBO)}/2
＝(180°-2∠BTO)/2
＝{180°-2(90°-∠ATB)}/2＝∠ATB.
∴∠ACT＝∠ATB.
(或いは「接弦定理より∠ACT＝∠ATBである」と述べてもよい)

また，共通な角であるから∠CAT＝∠TABである．以上により，三角形ACTと三角形ABTは相似である．この時，

AC：AT＝AT：AB.
∴AB・AC＝AT^2.
∴3(x+3)＝5^2.

後はこの方程式をxについて解けばよい．
No.42393 - 2017/03/05(Sun) 12:27:52
☆ Re: 数検2級の過去問 / Triscuit
ありがとうございます！
参考になりました
No.42402 - 2017/03/06(Mon) 17:01:04
★ 過去問 / みかん
オがわかりません。
No.42385 - 2017/03/04(Sat) 21:51:18
☆ Re: 過去問 / IT
1 のオですか？
加法定理は分かりますか？
No.42388 - 2017/03/04(Sat) 22:27:25
☆ Re: 過去問 / noname
大問2の空欄[オ]に関してであれば，次の過去の質問投稿

>No.42114 - 2017/02/19(Sun) 16:05:51

に付いている私の回答をご参考ください．
No.42390 - 2017/03/04(Sat) 22:52:23
☆ Re: 過去問 / みかん
わかりました。
No.42391 - 2017/03/04(Sat) 23:45:42
★ 微分方程式 / ふなっし
d^2y/dx^2+4y=sin2x・・・?@
という微分方程式を解く問題です。
右辺の形から、?@式の特殊解を
y_0=Acos2x+Bsin2xとおくことが出来ると思いますが、
これを?@に代入することで係数A,Bを消去するとどうなるのでしょうか？
結果としては、係数に変数xが混じるようなのですが、上記の解法は適用されるでしょうか？

※
d^2y/dx^2+4y=0・・・?Aの一般解は、λ^2+4=0の方程式を解くことなどにより、
y=Ccos2x+Dsin2xとなると思います。

以上、よろしくお願い致します。
No.42382 - 2017/03/04(Sat) 13:11:13
☆ Re: 微分方程式 / ペンギン
この場合は、y_0=Acos2x+Bsin2xは特殊解にはなりません。

右辺がλ≠2でsin(λx)の場合、特殊解は

-sin(λx)/(λ^2-4)となります。

ここからは技巧的ですが、一般解の要領で特殊解に
sin(2x)/(λ^2-4)を足しても解になり、
-[sin(λx)-sin(2x)]/(λ-2)/(λ+2)となります。

λ→2の極限で[sin(λx)-sin(2x)]/(λ-2)は微分になり、
結果は、-xcos(2x)/2となります。

これを代入すると、実際に特殊解になっていることが分かります。
No.42387 - 2017/03/04(Sat) 22:21:12
☆ Re: 微分方程式 / ふなっし
テクニック的なことを教えて頂き、ありがとうございました。
勉強してみます。
No.42389 - 2017/03/04(Sat) 22:34:21
★ (No Subject) / アリス
この問題の5、6行目の意味がわかりません。
Ｓ＝･･･ はどうしてこのようになるのですか、
具体例を示して説明しくれると有難いです。
No.42378 - 2017/03/04(Sat) 01:14:18
☆ Re: / らすかる
例えばp=2,n=4のとき1〜p^nすなわち1〜16の中の素因数2の個数を○の個数で表すと
1
2 ○
3
4 ○○
5
6 ○
7
8 ○○○
9
10 ○
11
12 ○○
13
14 ○
15
16 ○○○○
となりますね。
普通に考えると各行の○の個数を考えて
S=1+2+1+3+1+2+1+4=15 のように計算してしまいがちですが、
各列の○の個数を縦に数えて足すことにすれば
1列目に○があるのが2,4,6,8,10,12,14,16の8個（=2の倍数の個数）
2列目に○があるのが4,8,12,16の4個（=4の倍数の個数）
3列目に○があるのが8,16の2個（=8の倍数の個数）
4列目に○があるのが16の1個（=16の倍数の個数）
なので S=8+4+2+1=15 のように計算できます。
No.42379 - 2017/03/04(Sat) 01:53:42
☆ Re: / らすかる
同じことを計算で説明すると以下のようになります。

(2^4)!
=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×15×16
2で何回割れるかを調べるので2で割れない奇数を右によける
=2×4×6×8×10×12×14×16×1×3×5×7×9×11×13×15
=2×4×6×8×10×12×14×16×(奇数)
2で割れる数をすべて2で割る（2の倍数の個数分、8回割れる）
=2^8×1×2×3×4×5×6×7×8×(奇数)
再び奇数をよける
=2^8×2×4×6×8×1×3×5×7×(奇数)
=2^8×2×4×6×8×(奇数)
2で割れる数をすべて2で割る（4の倍数の個数分、4回割れる）
=2^8×2^4×1×2×3×4×(奇数)
再び奇数をよける
=2^8×2^4×2×4×1×3×(奇数)
=2^8×2^4×2×4×(奇数)
2で割れる数をすべて2で割る（8の倍数の個数分、2回割れる）
=2^8×2^4×2^2×1×2×(奇数)
再び奇数をよける
=2^8×2^4×2^2×2×1×(奇数)
=2^8×2^4×2^2×2×(奇数)
2で割れる数をすべて2で割る（16の倍数の個数分、1回割れる）
=2^8×2^4×2^2×2^1×1×(奇数)
=2^8×2^4×2^2×2^1×(奇数)
=2^(8+4+2+1)×(奇数)
よって2で割れる回数は
(2の倍数の個数)+(4の倍数の個数)+(8の倍数の個数)+(16の倍数の個数)回です。
No.42380 - 2017/03/04(Sat) 07:14:58
★ 突き詰めると / 急がば回れ
二次方程式ax^2-(a-1)x+1-a=0がlxl<1と3<x<4にそれぞれ一つの解を持つような定数aの値の範囲を求めよ。
の答えが
与えられた二次方程式の左辺をf(x)とおくと、
f(-1)f(1)<0かつf(3)f(4)<0かつa≠０が求める条件

とありますが、これだと余分なaの範囲が出てしまうのではと疑問に思っています。

なぜなら
f(-1)f(1)<0かつf(3)f(4)<0には
例えば、f(-1)>0かつf(1)＜0かつｆ（３）＞０かつｆ（４）<０といった場合も含んでしまっていますよね？
も入ってますよね？

なぜ解答のようでいいのか教えてください。よろしくおねがいします
No.42371 - 2017/03/03(Fri) 23:40:44
☆ Re: 突き詰めると / ヨッシー
　ｆ（３）＞０かつｆ（４）＞０
ではなくて
　ｆ（３）＞０かつｆ（４）＜０　
のことかと思いますが、
放物線の形状からして、そういう場合は起こらないです。
No.42372 - 2017/03/03(Fri) 23:52:05
☆ Re: 突き詰めると / 急がば回れ
回答ありがとうございます。
質問1】なぜそういう場合が起こらないと即座にいえるのか。

質問2】ということは問題文の−１＜ｘ<1と3<x<4の-1,1,3,4の部分が値次第では、（例えばa<x<b,c<x<dのとき）
f(a)(b)<0かつf(c)f(d)<0とはできないということですか？できないのならばa,b,c,dがどのようなときですか？

よろしくおねがいします
No.42376 - 2017/03/04(Sat) 00:35:58
☆ Re: 突き詰めると / らすかる
> なぜそういう場合が起こらないと即座にいえるのか。

f(-1)＞0かつf(1)＜0かつf(3)＞0かつf(4)＜0 ならば
x=1とx=3の間にも解があることになり、
解が3つ（以上）になってしまいます。
二次方程式ですからこれはおかしいですね。
x=1とx=3の間に解がありませんので、
f(1)＞0かつf(3)＞0 か f(1)＜0かつf(3)＜0 しかあり得ません。

> 問題文の−１＜ｘ<1と3<x<4の-1,1,3,4の部分が値次第では、（例えばa<x<b,c<x<dのとき）
> f(a)(b)<0かつf(c)f(d)<0とはできないということですか？
> できないのならばa,b,c,dがどのようなときですか？

a＜b≦c＜d か c＜d≦a＜b ならば問題ありません。
a＜c＜b＜d とか a＜c＜d＜b のように区間が混ざっている場合は問題がありますね。
No.42377 - 2017/03/04(Sat) 01:02:28
☆ Re: 突き詰めると / 急がば回れ
回答ありがとうございます。確かに二次方程式ですから有り得ないですね。しかし、
f(-1)＞0かつf(1)＜0かつf(3)＞0かつf(4)＜0 がありえないのなら、f(-1)f(1)<0かつf(3)f(4)<0では有り得ない事象を含んでしまっている分、余分にaの範囲がでてしまうと考えるのが自然な気がするのですが、なぜ余分な場合を除外しなくていいのでしょうか？


よろしくおねがいします。
No.42381 - 2017/03/04(Sat) 09:56:27
☆ Re: 突き詰めると / らすかる
二次方程式なので
「f(-1)＞0かつf(1)＜0かつf(3)＞0かつf(4)＜0」や
「f(-1)＜0かつf(1)＞0かつf(3)＜0かつf(4)＞0」
となることはあり得ず、従ってそのようになるaは存在しませんので
「余分なaの範囲」がありません。
元々存在しないものは除外する必要はないですね。

つまり、二次方程式においては
「f(-1)f(1)＜0かつf(3)f(4)＜0」
と
「f(-1)＞0かつf(1)＜0かつf(3)＜0かつf(4)＞0
　または
　f(-1)＜0かつf(1)＞0かつf(3)＞0かつf(4)＜0」
は全く同じことです。
No.42383 - 2017/03/04(Sat) 16:02:49
☆ Re: 突き詰めると / 急がば回れ
回答ありがとうございます

なるほどです！納得できました！ありがとうございました。
No.42384 - 2017/03/04(Sat) 20:52:23
★ 過去問 / みかん
フヘホがわかりません。
No.42366 - 2017/03/03(Fri) 15:55:25
☆ Re: 過去問 / みかん
フヘホがわかりません。
No.42367 - 2017/03/03(Fri) 15:56:25
☆ Re: 過去問 / ヨッシー
k^2−16k＋20＝0 を解くと
　k＝8±√44
で解は１と２の間、１４と１５の間 にあるので、
ｋ＝１ のときは |20−16k＋k^2|＝20−16k＋k^2
ｋ＝２〜１４　のときは |20−16k＋k^2|＝−20＋16k−k^2
ｋ＝１５〜２０　のときは |20−16k＋k^2|＝20−16k＋k^2
となるので、これらの区間の和をを別々に計算して合計します。
No.42368 - 2017/03/03(Fri) 17:21:32
☆ Re: 過去問 / みかん
そのあとからの計算がわかりません。
No.42369 - 2017/03/03(Fri) 18:45:14
☆ Re: 過去問 / らすかる
Σ[k=1〜20]|20-16k+k^2|
=Σ[k=1〜1](20-16k+k^2)
　+Σ[k=2〜14]-(20-16k+k^2)
　+Σ[k=15〜20](20-16k+k^2)
=Σ[k=1〜1](20-16k+k^2)
　-Σ[k=2〜14](20-16k+k^2)
　+Σ[k=15〜20](20-16k+k^2)
=Σ[k=1〜20](20-16k+k^2)
　-2Σ[k=2〜14](20-16k+k^2)
=(ハ)(ヒ)
　-2{{Σ[k=1〜14](20-16k+k^2)}-{Σ[k=1〜1](20-16k+k^2)}}
=(ハ)(ヒ)
　-2{{Σ[k=1〜14](20-16k+k^2)}-5}
=(ハ)(ヒ)
　-2Σ[k=1〜14](20-16k+k^2)
　+10
のようにすれば計算できますね。
No.42370 - 2017/03/03(Fri) 22:08:57
☆ Re: 過去問 / みかん
ありがとうごさいます。
No.42373 - 2017/03/03(Fri) 23:58:45
★ 数学1A 余弦定理について / こんにゃく
指で指している
2・(√3-1)・√2 / (√3-1)^+(√2)^-2^ の式から
次の式の分子(√3-1)^がどこで消えたのかがわかりません。
崩して計算してみたりしましたが-√6になったり計算が合いません。
分かる方教えて頂けると助かります。
よろしくお願い致します。
No.42361 - 2017/03/03(Fri) 13:47:37
☆ Re: 数学1A 余弦定理について / こんにゃく
高1です。
お忙しいとは思いますがよろしくお願い致します。
No.42362 - 2017/03/03(Fri) 14:30:58
☆ Re: 数学1A 余弦定理について / ヨッシー
正しい書き方は
　{(√3-1)^2+(√2)^2-2^2}/{2・(√3-1)・√2 }
です。

さて、分子を展開して整理すると
　(√3−1)^2＋(√2)^2−2^2
　＝4−2√3＋2−4
　＝2−2√3
　＝−2(√3−1)
この √3−1 が分母にもあるので、約分できて
　{(√3-1)^2+(√2)^2-2^2}/{2・(√3-1)・√2 }
　＝−2/2√2
　＝−√2/2
となります。
No.42363 - 2017/03/03(Fri) 14:44:50
☆ Re: 数学1A 余弦定理について / こんにゃく
書き方を間違えてしまいすみませんでした！
とても分かりやすかったです。
またよろしくお願い致します！
No.42364 - 2017/03/03(Fri) 14:56:02
★ 互除法 / みかん
2行目の式から3行目の式になるのがわかりません。
2行目の式まで理解できています。
No.42359 - 2017/03/03(Fri) 10:53:29
☆ Re: 互除法 / ヨッシー
「１，２，３の計算を逆にたどると」
と書いてある通りだと思うのですが、元の問題が
　１０８ｘ＋３５ｙ＝１
を満たす整数ｘ，ｙを求めよ、だとして、ユークリッドの互除法を
次々と実施して、
　１０８＝３５×３＋３　　・・・(1)
　３５＝３×１１＋２　　　・・・(2)
　３＝２×１＋１　　　　　・・・(3)
これを逆にたどって、(3) より
　１＝３−２×１
(2) を移項した ２＝３５−３×１１ を代入して
　１＝３−(３５−３×１１)×１
展開して
　１＝３×１２−３５×１
(1) を移項した　３＝１０８−３５×３　を代入して
　１＝(１０８−３５×３)×１２−３５×１
展開して
　１＝１０８×１２−３５×３７
ということです。
No.42360 - 2017/03/03(Fri) 11:27:48
☆ Re: 互除法 / みかん
わかりました
No.42365 - 2017/03/03(Fri) 15:51:04
★ 関係式の導き方を教えてください。 / いろはす
初めてです。よろしくお願いします。http://imgur.com/wWdRock.jpg
No.42353 - 2017/03/02(Thu) 19:13:49
☆ Re: 関係式の導き方を教えてください。 / いろはす
すみません。貼り方を間違えました。
No.42354 - 2017/03/02(Thu) 19:15:31
☆ Re: 関係式の導き方を教えてください。 / いろはす
高３です。
No.42355 - 2017/03/02(Thu) 19:20:54
☆ Re: 関係式の導き方を教えてください。 / ヨッシー
(n/k)＋(m/k)i と (n/k)−(m/k)i を掛けると１になるので、
　(n/k)^2＋(m/k)^2＝１
　n^2＋m^2＝k^2　（ただし　ｋ≠０）

ｋ＝１０のとき
　（ｎ，ｍ）＝（８，６）
ｍ＝１から７を順にあてはめます。
No.42356 - 2017/03/02(Thu) 19:49:45
☆ Re: 関係式の導き方を教えてください。 / いろはす
あ！！なるほど！！
ありがとうございます！
No.42358 - 2017/03/02(Thu) 19:55:41
★ 問題 / tuma
a|bかつ|b|<|a|であれば、b=0となることを示せ。
という問題で
a|bということはb=akとなる整数kが存在するということなので、|b|<|a|は|ak|<|a|と表せる。そして|ak|=|a||k|なので
|a||k|<|a|
|k|<1
となり、絶対値が１以下になる自然数は０のみなので、k=0よってak=0なのでb=0となる。
これであっていますか？
No.42347 - 2017/03/02(Thu) 16:23:07
☆ Re: 問題 / tuma
中２です。
No.42348 - 2017/03/02(Thu) 16:24:09
☆ Re: 問題 / ヨッシー
ｂはａの倍数であることを、ａ｜ｂ と書くのでしょうか？
そうであるとして、
ａ＝０ のときと、ａ≠０ のときとで分けて書く必要があるでしょう。
　ａ＝０ のときは、明らかにｂ＝０
で良いと思います。

上の解答ですが、流れはそれでいいと思います。
|a||k|＜|a| を |k|＜1 にする時は、「|a|＞０ より」を入れましょう。
絶対値が１以下　ではなく、１未満　または　１より小さい
０は自然数に含まないのが、中高では一般的なので、ここは「整数」が良いでしょう。
最後の部分も、
　ｋ＝０
よって、
　ｂ＝ｋａ＝０
の方がスマートです。
No.42350 - 2017/03/02(Thu) 17:17:39
☆ Re: 問題 / tuma
回答ありがとうございます！
No.42351 - 2017/03/02(Thu) 18:12:32
☆ Re: 問題 / らすかる
> ａ＝０ のときは、明らかにｂ＝０

a=0のときは|b|＜|a|が成り立たないのでa≠0ですね。
No.42352 - 2017/03/02(Thu) 18:15:59
☆ Re: 問題 / ヨッシー
そうですね。

失礼しました。
No.42357 - 2017/03/02(Thu) 19:50:49
★ 過去問 / みかん
カッコ3、カッコ4がわかりません。
No.42345 - 2017/03/02(Thu) 11:26:17
☆ Re: 過去問 / ヨッシー
(3)
２θ＝φ＝∠ＡＯＢ とおくと、半角の公式より
　cos^2θ＝(1＋cosφ)／２
　sin^2θ＝(1−cosφ)／２
これと
　０≦θ≦π/2
より cosθ, sinθ を求めます。

(4)
ｌ3 の傾きは tanθ です。
No.42346 - 2017/03/02(Thu) 12:43:31
☆ Re: 過去問 / noname
次の様に考えてもよいです．


[別の考え方?@]
(3)点Aからx軸へ垂線を引いた時にこの垂線とx軸との交点をCとする．また，直線ℓ_3と線分ACの交点をDとする．この時，三角形OACにおいて角の二等分線と比の性質を使えばAD：CD＝OA：OCであるから，内分点の公式よりDの座標を求めることが出来て，ODの長さが計算できる．後は

sinθ＝CD/OD，cosθ＝OC/OD

としてsinθとcosθを計算すればよい．
(4)tanθ＝CD/OCとしてtanθを計算すると，直線ℓ_3の式が得られる．

[別の考え方?A]
(4)2倍角の公式より

2tanθ/(1-tan^2θ)＝4/3

という式をたてて，tanθの値を求める．
(3)tanθの結果を使ってcosθの値を1+tan^2θ＝1/cos^2θの式で求め，その次にcos^2θ+sin^2θ＝1の式を使ってsinθの値を求めればよい．
No.42349 - 2017/03/02(Thu) 16:38:19
★ (No Subject) / みかん
カッコ2がわかりません。
No.42341 - 2017/03/01(Wed) 23:39:32
☆ Re: / みかん
すみません、解決しました。
No.42342 - 2017/03/02(Thu) 00:15:31
★ 相似　連比　中学　小学生 / 前進
長らくやってきましたが、ひとまずこれで区切りとしたいと思います。これからも数学は勉強しますが、割合を減らしていきたいと思います。レベルを上げたり、大学の数学をしたりなど
No.42330 - 2017/03/01(Wed) 15:51:40
☆ Re: 相似　連比　中学　小学生 / 前進
またはほかの勉強に飽きたり、疲れた時などに、数学はそんなに甘くはないともいますが...
No.42331 - 2017/03/01(Wed) 15:54:48
☆ Re: 相似　連比　中学　小学生 / 前進
さて本題ですが、画像を順番にローマ数字の?T　?U　?Vとおく?Tとのように比が連比の場合、最小公倍数で合わせますが、?Vのように比を使う場合、全体や個々が例えば全体ならばＤ11ｇＣ55ｇのように上がっていますが、?Tの問題にそれをあてはめるとおかしくなります。

そもそも比とは全体または一つの値に対する割合であるため(比の値のように)今回ならば?Gや5⃣に対する?Bや3⃣です。これを数直線に当てはめると、40に対する?Nや㉕は?B:?Dに確かになります。

40等分の?Nや?G等分の?Bは分数にすると同じですし、比の値も同じです。

わり算と比は縦と横の違いであって本質は同じだからです。

要領を得ない質問になりましたがよろしくお願いいたします
No.42332 - 2017/03/01(Wed) 16:11:17
☆ Re: 相似　連比　中学　小学生 / 前進
つまり何を言いたいかというと、全体を8センチと40センチにすると5BDとし、BDを五本書かないといけないし、全体を8センチとしたときの3センチと40センチにしたときの15センチを同じBDの中で考えるのは少し合点がいかないです。

よろしくお願いいたします
No.42333 - 2017/03/01(Wed) 16:16:39
☆ Re: 相似　連比　中学　小学生 / 前進
比にある単位をつけそれで証明してもそれが成立しないことも今回のセンチで分かりますし、今回は等分の考え方で理解はできますがよろしくお願いいたします
No.42334 - 2017/03/01(Wed) 16:21:27
☆ Re: 相似　連比　中学　小学生 / ヨッシー
比が３：５から１５：２５になったところで、
全体の長さが変わるわけではありません。

全体を８等分する目盛りと５等分する目盛りが書いてあるが、それでは長さの比がわからないので、４０等分する目盛りを書くことによって、両方の目盛りが、すべて載るようにした。
というふうに考えてはどうでしょうか？
No.42335 - 2017/03/01(Wed) 16:36:13
☆ Re: 相似　連比　中学　小学生 / 前進
はいそうします。理解できました。ありがとうございました。

ちなみに皆さんパソコンで図などを書くときにどのようにやっているのでしょうか？

今後質問するときに使いたいので、よろしくお願いいたします
No.42340 - 2017/03/01(Wed) 23:31:05
★ 過去問 / みかん
問6のモヤユ、リがわかりません。
No.42328 - 2017/03/01(Wed) 13:46:22
☆ Re: 過去問 / ヨッシー
ヨラ はわかるのでしょうか？
　
No.42329 - 2017/03/01(Wed) 15:14:11
☆ Re: 過去問 / みかん
わかります。
No.42336 - 2017/03/01(Wed) 17:19:47
☆ Re: 過去問 / noname
n枚のカードのそれぞれに対して，A君，B君，C君のどの人に渡すかで3通りの可能性があるため，3人のうちカードを貰っていない人もいてよい場合のカードの渡し方の全総数は3^n通りであり，このうちで

・2人にのみカードを渡す場合は，カードを貰っていない人もいてよい時の総数2^n通りから一方のみがカードをすべて持っている場合の数2を引いた(2^n-2)通りだけある．
・1人だけにカード渡す場合は，1通りである．

であることに注意すると，T_[n]は

T_[n]＝3^n-{3C2・(2^n-2)+3C1・1}＝3^n-3・2^n+3

であり，よって，T_[100]＝3^{100}-3・2^{100}+3となります．ここで，

log_[10](3^{100})＝100・0.4771＝47.71,
log_[10](3・2^{100})＝0.4771+100・0.3010＝30.5771

であることから，3^{100}と3・2^{100}の桁数はそれぞれ48,31であることが分かります．ここで，

log_[10](4)＝2・0.3010＝0.6020,
log_[10](5)＝1-0.3010＝0.6990,
log_[10](6)＝0.3010+0.4771＝0.7781

であることに注意すると，

47+log_[10](5)＜log_[10](3^{100})＜47+log_[10](6),
30+log_[10](3)＜log_[10](3・2^{100})＜30+log_[10](4).
∴5・10^{47}＜3^{100}＜6・10^{47},3・10^{30}＜3・2^{100}＜4・10^{30}.

よって，これらの不等式を使うと

499…99600…003
＝5・10^{47}-4・10^{30}+3
＜T_[100]
＜6・10^{47}-3・10^{30}+3
＝599…99700…003.
(0は29個，9は16個並んでいる)

したがって，T_[100]の桁数は48となります．最後に，T_[100]の一の位の数についてですが，一の位の数はT_[100]を10で割った時の余りに等しいため，この余りを求めればよいです．3^4＝81と2^4＝16を10で割った余りはそれぞれ1,6なので，

T_[100]
＝3^{100}-3・2^{100}+3
＝(3^4)^{25}-3・(2^4)^{25}+3
＝(10k+1)^{25}-3・(10ℓ+6)^{25}+3
＝10K+1-3・(10L+6^{25})+3（二項定理を使った）
＝10(K-3L)+4-3・6^{25}

ここで，k,ℓ,K,Lはある整数です．ところで，n＝1,2,3,...に対して

6^{n+1}-6^n＝6^n・5＝6^{n-1}・3・10

により6^{n+1}-6^nは10の倍数であり，ゆえに6^{n+1}と6^nを10で割った時の余りはどちらも等しいです．特に，6,6^2,6^3,6^4,...のそれぞれを10で割った時の余りは全て6です．したがって，

T_[100]
＝10(K-3L)+4-3・6^{25}
＝10(K-3L)+4-3・(10M+6)
＝10(K-3L-3M)-14
＝10(K-3L-3M-2)+6.

ここで，Mはある整数です．したがって，T_[100]の一の位の数は6です．
(T_[5]についてはご自身で計算してください)
________________________________________________________________________________

※もし合同式を御存知であれば，T_[100]の一の位の数の問いについては

T_[100]
≡3^{100}-3・2^{100}+3
≡3^{4・25}-3・2^{4・25}+3
≡1-3・6+3
≡-14
≡-14+20≡6（mod.10）

の様に計算してもよいです．
No.42337 - 2017/03/01(Wed) 17:29:44
☆ Re: 過去問 / らすかる
T[100]の桁数の求め方は以下のようにしてもよいと思います。

T[100]=3^100-3・2^100+3
log[10](3^100)=100log[10]3=47.71、0.71＞0.4771 なので
3^100は48桁で最上位桁が3以上の数
log[10](3・2^100)=log[10]3+100log[10]2=30.5771 なので
3・2^100は31桁の数
よって
T[100]=3^100-3・2^100+3
=(48桁で最上位桁が3以上の数)-{(31桁の数)-3}
=(48桁の数)
なので、T[100]は48桁。
No.42338 - 2017/03/01(Wed) 18:10:56
☆ Re: 過去問 / みかん
ご丁寧にありがとうごさいます。
No.42339 - 2017/03/01(Wed) 21:49:49
★ 領域？ / tetsu
連立方程式log[2](x+2)-log[1/2](-x+2)>=log[√2]yとlog[2]y>=0で表される領域をDとする。点(x,y)がD内の点であるとき、2x+√3yの取りうる値の範囲を求めよ。
という問題の解説をお願いします。
No.42321 - 2017/02/28(Tue) 22:04:25
☆ Re: 領域？ / noname
まずは，真数条件よりx+2＞0かつ-x+2＞0かつy＞0，すなわち，-2＜x＜2かつy＞0(…?@)が成立します．次に，対数の底の変換公式を使うと

log_[1/2](-x+2)＝log_[2](-x+2)/log_[2](1/2)＝-log_[2](-x+2),
log_[√2](y)＝log_[2](y)/log_[2](√2)＝2log_[2](y)＝log_[2](y^2)

となるため，

log_[2](x+2)+log_[2](-x+2)≧log_[2](y^2)

が成立します．後は，この不等式よりx,yに関する条件を導出し，その条件と?@を満たす点(x,y)が含まれる範囲を図示すればDの図が得られます．ここから先は線形計画法の問題の解き方を参考に一度お考えください．
No.42324 - 2017/02/28(Tue) 22:35:22
☆ Re: 領域？ / tetsu
log_[2](y)/log_[2](√2)＝2log_[2](y)＝log_[2](y^2)となっているのですが、log_[2](y)/log_[2](√2)=1/2log_[2](y)とはなりませんか？
No.42325 - 2017/02/28(Tue) 23:22:20
☆ Re: 領域？ / らすかる
log[2]y/log[2]√2
=log[2]y/log[2]{2^(1/2)}
=log[2]y/{(1/2)log[2]2}
=log[2]y/(1/2)
=2log[2]y
となりますので、
1/2log[2]yにはなりません。
No.42326 - 2017/02/28(Tue) 23:25:37
★ 弦の長さの応用？ / なぷぅ
はじめまして、すみません図のｒの求め方を教えてください。
No.42319 - 2017/02/28(Tue) 21:39:34
☆ Re: 弦の長さの応用？ / らすかる
rを斜辺とする直角三角形について三平方の定理を適用すると
(r-1)^2+3^2=r^2
となりますね。
No.42320 - 2017/02/28(Tue) 21:53:45
☆ Re: 弦の長さの応用？ / なぷぅ
参考になりました。どうもありがとうございます。
No.42322 - 2017/02/28(Tue) 22:15:37
★ 約分 / ひー
Xについて解いて約分はこれでいいですか？
No.42316 - 2017/02/28(Tue) 16:59:19
☆ Re: 約分 / ヨッシー
それでいいです。

別の方法として、
　４ｘ−２ｙ＝１０
を先に両辺２で割っておいて、
　２ｘ−ｙ＝５
　２ｘ＝ｙ＋５
　ｘ＝(ｙ＋５)/２
という解き方もあります。
　
No.42317 - 2017/02/28(Tue) 17:10:02
☆ Re: 約分 / ひー
参考になりましたありがとうございました。
もう一つ聞きたいのですがこういう約分の仕方もしていいんですか？
No.42318 - 2017/02/28(Tue) 17:47:57
☆ Re: 約分 / ヨッシー
いいです。
No.42323 - 2017/02/28(Tue) 22:22:54
★ 三角関数　高校生 / 前進
なぜいつもtanθはx=1で考えるのでしょうか？やはり分子の符号に集中することが出来、符号間違えが減るということなのでしょうか？

赤丸ので囲ったのは、三角形の相似から比の値が等しいことは分かりますが、なぜtanθはπ/2＜θ＜−π/2つまり第1,4象限で考えるのでしょうか？
よろしくお願いいたします。

第2,3象限にできる三角形も対角線上で移動すると合同ですし、確かに符号も一致します。
No.42313 - 2017/02/28(Tue) 16:08:33
☆ Re: 三角関数　高校生 / ヨッシー
符号間違えが減るというより、ｙ座標がそのままtanθの値になるからです。
そのへんは、sinθ、cosθ と同じ感覚です。
No.42314 - 2017/02/28(Tue) 16:13:57
☆ Re: 三角関数　高校生 / noname
>なぜいつもtanθはx=1で考えるのでしょうか？

tanθはx軸正の部分とのなす角がθである様な直線の傾きを表し，この直線と平行な直線で原点を通るものを考えた時，傾きはx＝1の時のyの値として求めることが出来ます．そういうわけで，x＝1として考えているのだと思います．要するに，直線の傾きを求めやすくしているだけなので，別にx＝1でなくてもよいです．


>なぜtanθはπ/2＜θ＜−π/2つまり第1,4象限で考えるのでしょうか？

tanθの定義域は無限個の範囲-π/2+nπ＜x＜π/2+nπ(n＝0,±1,±2,...)の合併(和集合のこと)であり，それぞれの範囲上で同じ形のグラフが現れる(要するに，周期がπの周期関数である)から，通常ではtanθの値を考える場合はθの範囲を1個指定するのです．勿論，指定しない場合もあります．そういうわけで，指定の仕方によってはtanθの角θの範囲は-π/2＜θ＜π/2ではない場合もあります．
No.42315 - 2017/02/28(Tue) 16:21:49
☆ Re: 三角関数　高校生 / 前進
ありがとうございました。すっきりしました。
No.42327 - 2017/03/01(Wed) 12:16:32
★ お願いします / いちご
この解説においてどうして○したような場合わけをするのかわかりません。
a<０
a≧０ではダメなんでしょうか？



高校二年生です
No.42308 - 2017/02/28(Tue) 02:34:02
☆ Re: お願いします / らすかる
a＜0のとき → f(x)は単調増加
a＝0のとき → f(x)は単調増加
a＞0のとき → f(x)は極大値と極小値を持つ
となりますので、
a≦0 と a＞0 に分けないと不都合です。
No.42309 - 2017/02/28(Tue) 03:10:55
★ 過去問 / みかん
問5がわかりません。
No.42302 - 2017/02/27(Mon) 23:53:46
☆ Re: 過去問 / noname
c＝0,c＜0,c＞0のそれぞれで場合分けをして考えればよいです．c＝0の時は関数f(x)は常に負の値をとるため，特に問題の条件が成立します．c＞0とc＜0の時は，

f'(x)＝3c(x+√2)(x-√2)

であることからf(x)の増減表をかき，増減表とf(0)＜0に注意してf(x)のグラフの概形をかくと

・c＞0の時は，0≦x≦3の範囲でf(x)＜0となるためにはf(3)＜0でなけれなならない．
・c＜0の時は，0≦x≦3の範囲でf(x)＜0となるためにはf(√2)＜0でなけれなならない．

がグラフより分かります．ここから先はご自身で一度お考えください．
No.42306 - 2017/02/28(Tue) 00:31:30
☆ Re: 過去問 / みかん
ありがとうございます。
No.42307 - 2017/02/28(Tue) 02:02:12
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