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線形代数 / らぐ
写真の大問1の(3)の解答がわかんないです.解答は2つあり,1つは{e2,e,3}でありもう1つが{(1,0,0),1/√2 (0,1,-1)}となっています.後半の解答がなぜこうなるかわかんないです.
直交空間W⊥={x∈R3|〈x,a1〉=0}です.
〈〉は内積です.
このとき[0 1 1]x=0ですがここで止まってしまいました.
これって基底が1本しかありませんよね?

どなたか教えてください.

No.41776 - 2017/02/07(Tue) 18:10:28

Re: 線形代数 / らぐ
それと大問4の(2)なのですが,僕の示し方で大丈夫ですか?

〈Px,Py〉=t(Px)Py t(Px)は転置です
=t(x)t(P)Py ?@

一方〈x,y〉=t(x)y
=t(x)Ey Eは単位行列 ?A

仮定より?@と?Aは等しいから
t(P)P=E
つまりPは直交行列である.

No.41777 - 2017/02/07(Tue) 18:18:06

Re: 線形代数 / angel
大問4(2)だけ取り敢えず。

間違ってはいないですが、根拠不十分というか、論理の飛躍と言われそうな気がします。

具体的には、?@と?Aからt(P)P=Eと言っているところ。
ここは、問題にあるヒントを使うことを期待されています。

単位行列Eのことは一旦忘れて、t(e[i])Xe[j]=t(e[i])e[j] となるような行列Xのi,j成分を考えてみましょう。

No.41780 - 2017/02/07(Tue) 18:38:01

Re: 線形代数 / angel
で、大問1(3)ですが、これは「解答は2つ」ではなくて、「解答は1つじゃない」ととるところです。
実際、答えは無数にあります。
例えば、{(√2/2,1/2,-1/2),(√2/2,-1/2,1/2)}とかも。

3次元のグラフを思い起こしてください。
ベクトル(0,1,1)に垂直って何かと言えば、平面 y+z=a でしたよね?
この平面上で、直交する2ベクトルの組を探してください、と言われれば、答えが無数にあることも納得できるかと思います。

No.41781 - 2017/02/07(Tue) 19:02:03

Re: 線形代数 / らぐ
ご回答ありがとうございます.

大問4に関しては素直にヒントに従うことにします.
大問1ですが「例えば~~」のところでどうやってそのような解答が出ましたか?
解が無限にあることは理解できました.

No.41782 - 2017/02/07(Tue) 20:29:13

Re: 線形代数 / angel
> 大問1ですが「例えば~~」のところでどうやってそのような解答が出ましたか?

一つだけ、と言われれば「適当」に出すことができます。
(0,1,1)と垂直なベクトルは、大きさを考えなければ (t,1,-1) というのがあります。( 内積 0・t+1・1+1・(-1)=0 だから )
ここでベクトルの大きさの二乗 t^1+1^2+(-1)^2 をキリ良く平方数 4、つまり t^2=2 としたのがそれです。

まとめると、
 * (0,1,1) と (t,1,-1) は内積 0 だから垂直だ
 * 適当に、だけど大きさのキリがよい t=√2 にしてみよう
 * (√2,1,-1) の大きさ 2 を、半分の 1 にすると (√2/2,1/2,-1/2)
あとは、(0,1,1)と(√2,1,-1) 両方に垂直なベクトルを探すまでです。
「外積」という3次元限定の楽な方法はあるのですが、それは置いておいて、方程式を立てれば良いです。
目的のベクトルを (a,b,c) として

 0・a+1・b+1・c=0
 √2・a+1・b+(-1)・c=0

そうすると、a=√2・c, b=-c つまり、(a,b,c)=c・(√2,-1,1)
後は大きさが 1 になるように c=1/2 と整えて終わりです。
※c=-1/2 にしてももちろん良いです。

No.41783 - 2017/02/07(Tue) 20:55:14

Re: 線形代数 / らぐ
なるほど.
理解できました.
最後までお付き合いいただきありがとうごさいます.

No.41788 - 2017/02/07(Tue) 22:35:13
(No Subject) / 受験生
α>0、β>0、γ>0 α+β+γ=πを満たす
sinαsinβsinγの最大値を求める

という問題でα=k「定数」とおくと
sinαsinβsinγ=1/2sink[cosk-cos[2β+k]]となり
これは2β+k=πのとき最大値1/2sink[cosk+1」となることまでは答えに書いてある通りわかるのですが この次に
1/2sink[cosk+1」=1/2√[1-cosk][1+cosk]^3 となっているのですがなぜなのかわかりません

回答よろしくお願いします

No.41772 - 2017/02/07(Tue) 15:28:43

Re: / X
(1/2)sink(cosk+1)=(1/2){√{1-(cosk)^2}}(1+cosk)
=(1/2){√{(1-cosk)(1+cosk)}}(1+cosk)
=(1/2)√{(1-cosk)(1+cosk)^3}
となります。

No.41775 - 2017/02/07(Tue) 16:40:49

Re: / 受験生
理解できました ありがとうございます
No.41818 - 2017/02/08(Wed) 19:50:06
位置ベクトル / 前進
普通のベクトルと位置ベクトルの違い。
↑c-↑b=5-4ではないのでしょうか?
(1-s)↑b=(1-s)4ではないのでしょうか?
自分でも戻りながら前進しますが、よろしくお願いいたします

No.41769 - 2017/02/07(Tue) 14:49:21

Re: 位置ベクトル / 前進
数?Uでもしたように点にたいして計算するということでしょうか?
No.41770 - 2017/02/07(Tue) 14:50:38

Re: 位置ベクトル / 前進
普通のベクトルを定義すると位置ベクトルは不必要でありませんか?
No.41771 - 2017/02/07(Tue) 14:54:28

Re: 位置ベクトル / ヨッシー
普通のベクトルと位置ベクトルの違い以前に、
ベクトルと普通の数値との違いが理解できていないようです。

また、AB を普通のベクトル、 を位置ベクトルと言われているのであれば、
それらは表記だけの違いであって同じものです。
(後者のほうが、字数が少なくて済む)

また、「点にたいして計算する」ということの意味が不明です。
どういう計算のことを言われているのか、説明してください。

No.41774 - 2017/02/07(Tue) 16:25:40

Re: 位置ベクトル / 前進
もう一度、ベクトルの定義(矢印であり、座標ではない)や成分表示からやりなおします。ベクトルと数列が終わったら、数?Vに突撃します。

また、AB を普通のベクトル、b を位置ベクトルと言われているのであれば、
それらは表記だけの違いであって同じものです。
(後者のほうが、字数が少なくて済む)
それで置き換えをしているということですか。なるほど

数?Uの内分点、座標つまり点でございましたので、位置ベクトルは点と思っていたいので、点なら座標と似ているところがありますが、普通のベクトルはただの矢印であり、この場合は絶対値の記号がついてないので大きさでもなく、それを内分することにたいして戸惑いを覚えました。

他にも疑問点がありますが、おそらく質問しても消化できないので、一度戻ります。

No.41792 - 2017/02/08(Wed) 00:24:48

Re: 位置ベクトル / 前進
内分点の画像です。説明不足で申し訳ありません。
No.41793 - 2017/02/08(Wed) 00:31:39

Re: 位置ベクトル / 前進

普通のベクトルと位置ベクトルの違い以前に、
ベクトルと普通の数値との違いが理解できていないようです。

ご指摘ありがとうございます。戻った方がはやいので、戻ります。急がば回れの格言通り。

No.41794 - 2017/02/08(Wed) 01:06:34

Re: 位置ベクトル / angel
> 数?Uの内分点、座標つまり点でございましたので、位置ベクトルは点と思っていたいので、点なら座標と似ているところがありますが、普通のベクトルはただの矢印であり、この場合は絶対値の記号がついてないので大きさでもなく、それを内分することにたいして戸惑いを覚えました。

似ているのも無理はないです。「高校範囲の」ベクトルは、座標計算、つまり、もっと言うと幾何の問題の別表現になっているからです。

しかしながら、ベクトルと点( 座標 ) は似てはいても別物です。なぜならば、ベクトルが表すのは「ある点からある点の相対位置」だからです。

例えば、点X(1,2),Y(1,1),Z(2,3)があったとして、「原点O(0,0)から見た点X(1,2)」と、「点Y(1,1)から見た点Z(2,3)」は、どちらも「x方向+1, y方向+2」という意味では同じ位置になっています。
このことをベクトルとして →(OX)=→(YZ) と表現しますが、その実体は「x方向+1, y方向+2」という「相対位置」なのです。なので、→x のように点を用いない表記だってします。( 紛らわしいかもしれませんが、座標と同じように(1,2)とも表記します )

ともあれ、ベクトルというのは「相対位置を表すモノ」なので、これまで習ってきた「数」とは別物です。数とベクトルを足したりはできません。ベクトル同士の足し算・引き算は、数の足し算・引き算に良く似ていますが、別物です。

絶対値記号が付くと数値化されますが、これも「絶対値」ではありません。
「相対位置」である以上、そこには距離がありますから、その距離のことを「ベクトルの大きさ」( 一般には「ノルム」といいます ) とし、絶対値記号で表すようにしているのです。

No.41795 - 2017/02/08(Wed) 01:23:37
平均 / ロク

平均を求める問題なんですが、これであってますか?

?@数学のテストでA君とB君の平均がx点、C君の点数がy点数のとき
3人のテストの平均をxとyを用いて表しなさい

答え (x+y)/2

?A群馬から東京まで行きは時速80km、帰りは100kmで往復したとき平均の速さを求めなさい

180/2=90 答え90km

No.41765 - 2017/02/07(Tue) 13:55:11

Re: 平均 / ヨッシー
両方ともあっていません。

A君0点、B君0点で平均0点。C君90点のとき
3人の平均は 45点でしょうか?

群馬、東京間をxkmとして、往復にかかった時間、進んだ距離、平均の速さを順に出しましょう。

No.41767 - 2017/02/07(Tue) 14:07:25

Re: 平均 / ロク
解き方がどうしてもわかりません
解答例教えてくれませんか?

No.41784 - 2017/02/07(Tue) 20:58:33

Re: 平均 / noname
>解き方がどうしてもわかりません


ヒントを与えておきますので,一度考えてみてください.

[ヒント]
(1)A君,B君,C君の数学の点数の平均は((A君の点数)+(B君の点数)+(C君の点数))÷3(…?@)で計算することが出来る.ここで,

(A君とB君の点数の平均)=((A君の点数)+(B君の点数))÷2

であるから,(A君の点数)+(B君の点数)=(A君とB君の点数の平均)×2(…?A)が成立する.式?@と式?Aを使うと3人の数学の点数の平均を求めることが出来る.
(2)群馬と東京の間での平均の速さは,

(平均の速さ)=(群馬と東京を往復する時の距離)÷(往復するのにかかる時間)…?B

で計算することが出来る.ここで,群馬と東京の間の距離をxkmとすると

(往復するのにかかる時間)=(往路でかかる時間)+(復路でかかる時間)=x/80+x/100…?C

である.後は,式?Bと式?Cを使うと平均の速さを求めることが出来る.

No.41791 - 2017/02/07(Tue) 23:15:47

Re: 平均 / ロク
?@(2x+c)/3

?A2x÷(x/80+x/100)でいいんですかね
結局答えはわかりませんでした
ありがとうごさいました

No.41807 - 2017/02/08(Wed) 14:03:08

Re: 平均 / ロク
?Aの答えは 400/3kmとなるんですが合ってますか?

xには適当な距離の数字を代入すればいいんですか?

No.41820 - 2017/02/08(Wed) 20:05:19

Re: 平均 / ロク
答え訂正します

800/9 kmでいいですか?

No.41821 - 2017/02/08(Wed) 20:18:28

Re: 平均 / noname
>?@(2x+c)/3

cではなくyであれば,その答えは正解です.


>?A2x÷(x/80+x/100)でいいんですかね

平均の速さを求める式はそれでよいです.


>?Aの答えは 400/3kmとなるんですが合ってますか?
>答え訂正します
>800/9 kmでいいですか?


「時速800/9km」と答えていれば正解でした.


>xには適当な距離の数字を代入すればいいんですか?

そうではなく,東京と群馬の間の距離が問題からは読み取れないのでその距離を仮にxkmと設定しているのです.ただ,計算過程の中でxは消えて答えがxとは無関係のものとなりますから,この意味では初めの計算式を1÷(1/80+1/100)の様にしてもよいです(問題文をそのまま数式に書きかえた結果のものとしては間違っていますが).

No.41826 - 2017/02/08(Wed) 23:37:09

Re: 平均 / ロク
わかりやすい解説ありがとうございました!
スッキリしました
またよろしくお願い致しますm(_ _)m

No.41842 - 2017/02/09(Thu) 12:10:16

Re: 平均 / ヨッシー
両方ともあっていません。

A君0点、B君0点で平均0点。C君90点のとき
3人の平均は 45点でしょうか?

群馬、東京間をxkmとして、往復にかかった時間、進んだ距離、平均の速さを順に出しましょう。

No.41767 - 2017/02/07(Tue) 14:07:25

Re: 平均 / ロク
解き方がどうしてもわかりません
解答例教えてくれませんか?

No.41784 - 2017/02/07(Tue) 20:58:33

Re: 平均 / noname
>解き方がどうしてもわかりません


ヒントを与えておきますので,一度考えてみてください.

[ヒント]
(1)A君,B君,C君の数学の点数の平均は((A君の点数)+(B君の点数)+(C君の点数))÷3(…?@)で計算することが出来る.ここで,

(A君とB君の点数の平均)=((A君の点数)+(B君の点数))÷2

であるから,(A君の点数)+(B君の点数)=(A君とB君の点数の平均)×2(…?A)が成立する.式?@と式?Aを使うと3人の数学の点数の平均を求めることが出来る.
(2)群馬と東京の間での平均の速さは,

(平均の速さ)=(群馬と東京を往復する時の距離)÷(往復するのにかかる時間)…?B

で計算することが出来る.ここで,群馬と東京の間の距離をxkmとすると

(往復するのにかかる時間)=(往路でかかる時間)+(復路でかかる時間)=x/80+x/100…?C

である.後は,式?Bと式?Cを使うと平均の速さを求めることが出来る.

No.41791 - 2017/02/07(Tue) 23:15:47

Re: 平均 / ロク
?@(2x+c)/3

?A2x÷(x/80+x/100)でいいんですかね
結局答えはわかりませんでした
ありがとうごさいました

No.41807 - 2017/02/08(Wed) 14:03:08

Re: 平均 / ロク
?Aの答えは 400/3kmとなるんですが合ってますか?

xには適当な距離の数字を代入すればいいんですか?

No.41820 - 2017/02/08(Wed) 20:05:19

Re: 平均 / ロク
答え訂正します

800/9 kmでいいですか?

No.41821 - 2017/02/08(Wed) 20:18:28

Re: 平均 / noname
>?@(2x+c)/3

cではなくyであれば,その答えは正解です.


>?A2x÷(x/80+x/100)でいいんですかね

平均の速さを求める式はそれでよいです.


>?Aの答えは 400/3kmとなるんですが合ってますか?
>答え訂正します
>800/9 kmでいいですか?


「時速800/9km」と答えていれば正解でした.


>xには適当な距離の数字を代入すればいいんですか?

そうではなく,東京と群馬の間の距離が問題からは読み取れないのでその距離を仮にxkmと設定しているのです.ただ,計算過程の中でxは消えて答えがxとは無関係のものとなりますから,この意味では初めの計算式を1÷(1/80+1/100)の様にしてもよいです(問題文をそのまま数式に書きかえた結果のものとしては間違っていますが).

No.41826 - 2017/02/08(Wed) 23:37:09

Re: 平均 / ロク
わかりやすい解説ありがとうございました!
スッキリしました
またよろしくお願い致しますm(_ _)m

No.41842 - 2017/02/09(Thu) 12:10:16
平均 / ロク

平均を求める問題なんですが、これであってますか?

?@数学のテストでA君とB君の平均がx点、C君の点数がy点数のとき
3人のテストの平均をxとyを用いて表しなさい

答え (x+y)/2

?A群馬から東京まで行きは時速80km、帰りは100kmで往復したとき平均の速さを求めなさい

180/2=90 答え90km

No.41765 - 2017/02/07(Tue) 13:55:11

Re: 平均 / ヨッシー
両方ともあっていません。

A君0点、B君0点で平均0点。C君90点のとき
3人の平均は 45点でしょうか?

群馬、東京間をxkmとして、往復にかかった時間、進んだ距離、平均の速さを順に出しましょう。

No.41767 - 2017/02/07(Tue) 14:07:25

Re: 平均 / ロク
解き方がどうしてもわかりません
解答例教えてくれませんか?

No.41784 - 2017/02/07(Tue) 20:58:33

Re: 平均 / noname
>解き方がどうしてもわかりません


ヒントを与えておきますので,一度考えてみてください.

[ヒント]
(1)A君,B君,C君の数学の点数の平均は((A君の点数)+(B君の点数)+(C君の点数))÷3(…?@)で計算することが出来る.ここで,

(A君とB君の点数の平均)=((A君の点数)+(B君の点数))÷2

であるから,(A君の点数)+(B君の点数)=(A君とB君の点数の平均)×2(…?A)が成立する.式?@と式?Aを使うと3人の数学の点数の平均を求めることが出来る.
(2)群馬と東京の間での平均の速さは,

(平均の速さ)=(群馬と東京を往復する時の距離)÷(往復するのにかかる時間)…?B

で計算することが出来る.ここで,群馬と東京の間の距離をxkmとすると

(往復するのにかかる時間)=(往路でかかる時間)+(復路でかかる時間)=x/80+x/100…?C

である.後は,式?Bと式?Cを使うと平均の速さを求めることが出来る.

No.41791 - 2017/02/07(Tue) 23:15:47

Re: 平均 / ロク
?@(2x+c)/3

?A2x÷(x/80+x/100)でいいんですかね
結局答えはわかりませんでした
ありがとうごさいました

No.41807 - 2017/02/08(Wed) 14:03:08

Re: 平均 / ロク
?Aの答えは 400/3kmとなるんですが合ってますか?

xには適当な距離の数字を代入すればいいんですか?

No.41820 - 2017/02/08(Wed) 20:05:19

Re: 平均 / ロク
答え訂正します

800/9 kmでいいですか?

No.41821 - 2017/02/08(Wed) 20:18:28

Re: 平均 / noname
>?@(2x+c)/3

cではなくyであれば,その答えは正解です.


>?A2x÷(x/80+x/100)でいいんですかね

平均の速さを求める式はそれでよいです.


>?Aの答えは 400/3kmとなるんですが合ってますか?
>答え訂正します
>800/9 kmでいいですか?


「時速800/9km」と答えていれば正解でした.


>xには適当な距離の数字を代入すればいいんですか?

そうではなく,東京と群馬の間の距離が問題からは読み取れないのでその距離を仮にxkmと設定しているのです.ただ,計算過程の中でxは消えて答えがxとは無関係のものとなりますから,この意味では初めの計算式を1÷(1/80+1/100)の様にしてもよいです(問題文をそのまま数式に書きかえた結果のものとしては間違っていますが).

No.41826 - 2017/02/08(Wed) 23:37:09

Re: 平均 / ロク
わかりやすい解説ありがとうございました!
スッキリしました
またよろしくお願い致しますm(_ _)m

No.41842 - 2017/02/09(Thu) 12:10:16

Re: 平均 / ヨッシー
両方ともあっていません。

A君0点、B君0点で平均0点。C君90点のとき
3人の平均は 45点でしょうか?

群馬、東京間をxkmとして、往復にかかった時間、進んだ距離、平均の速さを順に出しましょう。

No.41767 - 2017/02/07(Tue) 14:07:25

Re: 平均 / ロク
解き方がどうしてもわかりません
解答例教えてくれませんか?

No.41784 - 2017/02/07(Tue) 20:58:33

Re: 平均 / noname
>解き方がどうしてもわかりません


ヒントを与えておきますので,一度考えてみてください.

[ヒント]
(1)A君,B君,C君の数学の点数の平均は((A君の点数)+(B君の点数)+(C君の点数))÷3(…?@)で計算することが出来る.ここで,

(A君とB君の点数の平均)=((A君の点数)+(B君の点数))÷2

であるから,(A君の点数)+(B君の点数)=(A君とB君の点数の平均)×2(…?A)が成立する.式?@と式?Aを使うと3人の数学の点数の平均を求めることが出来る.
(2)群馬と東京の間での平均の速さは,

(平均の速さ)=(群馬と東京を往復する時の距離)÷(往復するのにかかる時間)…?B

で計算することが出来る.ここで,群馬と東京の間の距離をxkmとすると

(往復するのにかかる時間)=(往路でかかる時間)+(復路でかかる時間)=x/80+x/100…?C

である.後は,式?Bと式?Cを使うと平均の速さを求めることが出来る.

No.41791 - 2017/02/07(Tue) 23:15:47

Re: 平均 / ロク
?@(2x+c)/3

?A2x÷(x/80+x/100)でいいんですかね
結局答えはわかりませんでした
ありがとうごさいました

No.41807 - 2017/02/08(Wed) 14:03:08

Re: 平均 / ロク
?Aの答えは 400/3kmとなるんですが合ってますか?

xには適当な距離の数字を代入すればいいんですか?

No.41820 - 2017/02/08(Wed) 20:05:19

Re: 平均 / ロク
答え訂正します

800/9 kmでいいですか?

No.41821 - 2017/02/08(Wed) 20:18:28

Re: 平均 / noname
>?@(2x+c)/3

cではなくyであれば,その答えは正解です.


>?A2x÷(x/80+x/100)でいいんですかね

平均の速さを求める式はそれでよいです.


>?Aの答えは 400/3kmとなるんですが合ってますか?
>答え訂正します
>800/9 kmでいいですか?


「時速800/9km」と答えていれば正解でした.


>xには適当な距離の数字を代入すればいいんですか?

そうではなく,東京と群馬の間の距離が問題からは読み取れないのでその距離を仮にxkmと設定しているのです.ただ,計算過程の中でxは消えて答えがxとは無関係のものとなりますから,この意味では初めの計算式を1÷(1/80+1/100)の様にしてもよいです(問題文をそのまま数式に書きかえた結果のものとしては間違っていますが).

No.41826 - 2017/02/08(Wed) 23:37:09

Re: 平均 / ロク
わかりやすい解説ありがとうございました!
スッキリしました
またよろしくお願い致しますm(_ _)m

No.41842 - 2017/02/09(Thu) 12:10:16
(No Subject) / サラ
y=2sinxとy=3sinxで囲まれた部分が、x軸の周りに1回転してできる回転体の体積は何ですか?0≦x≦πの範囲でお願いします。
No.41764 - 2017/02/07(Tue) 13:49:27

Re: / ヨッシー
この問題に取り組むということは、
y=3sinx とx軸で囲まれた部分が、x軸の周りに1回転してできる回転体の体積は何ですか?
は、当然出来るのですよね?
同じく 0≦x≦π です。

No.41766 - 2017/02/07(Tue) 13:58:00

Re: / サラ
あっているか分かりませんが、その問題に関しては9π^2/2になりました。つまり、問題の答えは5π^2/2ですか?
No.41768 - 2017/02/07(Tue) 14:21:48

Re: / ヨッシー
正解です。

これだけの導入で出来るのですから、最初の問題も
もう少しでしたね。

No.41773 - 2017/02/07(Tue) 15:30:58
(No Subject) / サラ
y=tanxとx軸とx軸とx=π/4で囲まれる面積の答えはlog√2ですか?
また、(3sinx)^2を解くと、3-cos2x/2とかになりますか?

No.41755 - 2017/02/07(Tue) 12:23:43

Re: / サラ
すみません、x軸とy軸です。
No.41756 - 2017/02/07(Tue) 12:24:38

Re: / スベンソン式
>log√2
ですが問題文の設定がちょっと気になります。せっかく訂正してあるのですが、y軸が「囲まれる」に何ら寄与していない気がします。

>3-cos2x/2とかに
なりません。「解く」の意味が不明ですが、cos2xを用いて表すと解釈しました。

・・・欲張らずに数IIに戻ってきちんと三角関数の復習をしてみては?

No.41758 - 2017/02/07(Tue) 13:07:20

Re: / サラ
y軸という設定を無くしたら、log√2ですか?
あと、log√2じゃないなら、1/2log2とかですか?お願いします。

No.41759 - 2017/02/07(Tue) 13:17:04

Re: / スベンソン式
ああ書き方が変だったので適宜修正しときます。
その設定がなければそれで正しいです。

No.41760 - 2017/02/07(Tue) 13:19:55

Re: / サラ
あと、(sinx)^2は変形すると、(1-cos2x)/2じゃないですか?
それでは、(3sinx)^2は同じように変形するとどうなるのか知りたくて質問しました。

No.41761 - 2017/02/07(Tue) 13:20:43

Re: / スベンソン式
(3sinx)^2=9(sinx)^2=9(1-cos2x)/2ですよね。
No.41762 - 2017/02/07(Tue) 13:23:08

Re: / サラ
ですよね‼
ありがとうございましたm(__)m

No.41763 - 2017/02/07(Tue) 13:45:25
Re: 数学 / 凡人
aは、0以上4/3π未満を満たし
xの変域は、a以上a+2/3π以下とする

y=sinxの最小値がー1となるようなaの値の範囲をもとめよ


高校2年です
お願いします。

No.41753 - 2017/02/07(Tue) 06:35:28

Re: 数学 / らすかる
aが変化してもxは0以上2π未満ですから、sinx=-1となるxは(3/2)πだけです。
従ってx=(3/2)πがa≦x≦a+(2/3)πを満たさなければいけません。
a≦(3/2)π≦a+(2/3)πを解くと(5/6)π≦a≦(3/2)πとなり、
条件の0≦a<(4/3)πと合わせて(5/6)π≦a<(4/3)πとなります。

No.41754 - 2017/02/07(Tue) 11:05:59
複素解析2 / abc
(z-1-i)^6=1 はどのような図形か。
これはどのように解くのでしょうか。

No.41748 - 2017/02/07(Tue) 00:36:52

Re: 複素解析2 / noname
方程式w^6=1を満たす複素数wは

w=e^{2πk/6・√-1}=e^{(πk√-1)/3}(k=0,1,2,3,4,5)…?@

であるから,{z-(1+i)}^6=1を満たす複素数zは

z=e^{(πk√-1)/3}+(1+i)(k=0,1,2,3,4,5)

となります.よって,方程式を満たす複素数zの表す図形は「原点中心の単位円を?@を満たす様に6等分する6個の点を1+iの分だけそれらを平行移動して得られる6個の点」です.

No.41752 - 2017/02/07(Tue) 03:11:56
複素解析 / abc
(z+1/z)^(2n)のローラン展開のz^0の係数の求め方を教えてください。
No.41739 - 2017/02/06(Mon) 23:43:22

Re: 複素解析 / noname
(z+1/z)^{2n}を二項展開すると

(z+1/z)^{2n}=Σ_[k=0,2n]b(2n,k)z^{2(k-n)}

の様に表されます.ここで,各k=0,1,...,2nに対して,b(2n,k)は2n個の異なるものからk個のものを取り出す時の組み合わせの数です.後は,この式の右辺の1/zの項の係数を確認すればよいです.
____________________________________________________________

※複素積分を用いるならば,Cを原点中心の単位円の周であって反時計回りの向きがはいったものとすると,

a_[0]
=1/(2π√-1)・∫_[C](z+1/z)^{2n}/zdz
=1/(2π√-1)・Σ_[k=0,2n]b(2n,k)∫_[C]z^{2(k-n)-1}dz

の様に計算出来て,ここで,mを整数とする時

・m=-1の時,∫_[C]z^mdz=2π√-1
・m≠-1の時,∫_[C]z^mdz=0

を使うとa_[0]の値が得られます.

No.41751 - 2017/02/07(Tue) 02:58:29
(No Subject) / 受験生
質問です 以下の問題の赤?T部分ではどういった発想のもとでpq-[p[p-1]+1]の計算を行っているのでしょうか
また赤?T部分でp-1<pと出てなぜ赤?U部分であるといえるのでしょうか?

また?@?AのpqCp pqCqについて求めたものからnCkの最大公倍数が1と出るのはなぜですか?

全体的にどういう発想のもとにこの問題を解いているのかよくわかりません
回答よろしくお願いします

No.41737 - 2017/02/06(Mon) 23:22:37

Re: / 受験生
つづき
No.41738 - 2017/02/06(Mon) 23:24:54

Re: / angel
全体方針です。

まずは、nCk の中で最も小さい数に着目します。それは、nC1=nC(n-1)=pq です。

これは、素因数を p と q しか持ちませんから、nCk 全体の最大公約数も、せいぜい p あるいは q あるいは pq にしかなりません。

しかしながら示したいのは (最大公約数)=1 です。そのために、

 not (pが公約数) ⇔ not ( 全てのnCk がpの倍数 ) ⇔ pの倍数でないnCkの存在
 not (qが公約数) ⇔ not ( 全てのnCk がqの倍数 ) ⇔ qの倍数でないnCkの存在

の2つを示すことを目的とします。

No.41742 - 2017/02/07(Tue) 00:09:01

Re: / noname
>赤?T部分ではどういった発想のもとでpq-[p[p-1]+1]の計算を行っているのでしょうか
>赤?T部分でp-1<pと出てなぜ赤?U部分であるといえるのでしょうか?



補足すると,その箇所の説明は次の様になります:p(q-1)+1=pq-(p-1)であることに注意すると,

0<p(q-1)+1=pq-(p-1)<…<pq-2<pq-1.
∴0<pq-(pq-1)<pq-(pq-2)<…<pq-{pq-(p-1)}=pq-{p(q-1)+1}.…?@

ここで,差pq-{p(q-1)+1}を計算するとその結果はp-1であるから,このことと?@より(p-1)個の正の整数pq-(pq-1),pq-(pq-2),...,pq-{p(q-1)+1}はどれもp-1未満であることが分かります.ところで,pが素数であることからp未満の正の整数はpの倍数ではありません.よって,(p-1)個の正の整数pq-(pq-1),pq-(pq-2),...,pq-{p(q-1)+1}はどれもpの倍数ではありません.

No.41745 - 2017/02/07(Tue) 00:18:15

Re: / angel
さて、その目的の2つなんですが、実は nCp と nCq を調べればそれで終わります。…ここは気付かなかったらどうするんだろう、というところではあるのですが、小さな実例で考えてみます。

例えば p=5,q=3 で 15C5 を見てみます。

 15C5 = (15・14・13・12・11)/(5・4・3・2・1)
    = 15/5・(14・13・12・11)/(4・3・2・1)

…15/5で、素因数5が消えていますね。しかも他の項は素因数5を持ちませんから、確かに15C5は5の倍数ではありません。

この15/5で素因数5が消えるところ、分子が5^2の倍数だと5が残るのですが、ここは5×3なので5^2の倍数にはなりえません。
また、他の4項 ( 14~11 ) が素因数5を持たないのは、連続する5項で5の倍数が1つしかなく、既に15で出てしまっているからです。

…というのを、一般のp,qにあてはめても全く同じ話ができます。念のため挙げると
 * pqCp の計算において、pq/p の部分で p が消える
 * 分子の他の p-1項はいずれも素因数 p を持たない
 ※p,qを入れ替えても同じ

こういう話をちゃんと数式で表すなら、その解答例のようになるのですが、感覚的には「約分すると5が消えるよね」が全てなのです。

No.41746 - 2017/02/07(Tue) 00:20:11

Re: / 受験生
0<p(q-1)+1=pq-(p-1)<…<pq-2<pq-1

0<pq-(pq-1)<pq-(pq-2)<…<pq-{pq-(p-1)}=pq-{p(q-1)+1}.…?@

はどうしてそうなったのでしょうか?

No.41757 - 2017/02/07(Tue) 13:03:33

Re: / IT
> 0<p(q-1)+1=pq-(p-1)<…<pq-2<pq-1
> ↓
> 0<pq-(pq-1)<pq-(pq-2)<…<pq-{pq-(p-1)}=pq-{p(q-1)+1}.…?@
> はどうしてそうなったのでしょうか?


横から失礼します。
pq から 1行目の各項を引くと3行目の各項になる。(大きさの順番が逆になることに注意)のですが、
いきなり
0<pq-(pq-1)=1<pq-(pq-2)=2<…<pq-{pq-(p-1)}=pq-{p(q-1)+1}=p-1.…?@ としてもいいと思います。

noname さんへ
>pq-(pq-1),pq-(pq-2),...,pq-{p(q-1)+1}はどれもp-1未満であることが分かります.
「p未満」あるいは「p-1以下」の誤りですよね?

No.41786 - 2017/02/07(Tue) 22:10:01

Re: / noname
>>IT様


>「p未満」あるいは「p-1以下」の誤りですよね?

はまさに仰る通りです.ご指摘感謝致します.

No.41787 - 2017/02/07(Tue) 22:30:29

Re: / 受験生
回答ありがとうございます。
理解できたところとできなかったところがあるので
自分の中で少し整理したいと思います
もしかしたらまた質問すると転がるかもしれませんがその時はよろしくお願いします

No.41819 - 2017/02/08(Wed) 19:52:48
(No Subject) / 凡人
nは、2以上の整数
自然数a,bは1/n=1/a-1/b……(1)

n=4のとき(1)を満たすa,bの組をすべて求めよ

No.41734 - 2017/02/06(Mon) 22:00:37

Re: 数学 / 凡人
高校2年です
よろしくお願いします🙇⤵

No.41735 - 2017/02/06(Mon) 22:08:40

Re: / noname
マルチポスト先に回答が付いている様です.一度そちらをご参考になさってください.
No.41736 - 2017/02/06(Mon) 22:21:59
(No Subject) / みすず
kとnは1≦k≦nを満たす正の整数とする
k個の整数からなる数列(a1,a2,a3,……ak)で条件(1)(2)をすべて満たすものはいくつあるか
kとnを用いて表せ
(1)1≦a1<a2<a3<……<ak≦n
(2)各i(1≦i≦k)に対してai-iは偶数である

高3です
全然わからなくて困ってます 教えてください!

No.41723 - 2017/02/06(Mon) 20:34:42

Re: / IT
a[1]=1,a[2]=2,a[3]=3,...a[i]=i...a[k]=k は条件を満たします。
kの後ろのnまでの余裕n-kを2個1組にしてa[1]の前,a[1]とa[2]の間、a[2]とa[3]の間...a[i]とa[i+1]の間、...a[k]の後ろに分配して、ずらしても条件を満たします。(最初の例はa[k]の後ろにすべて分配した場合です。)
n-k が奇数の場合は2で割った余りの1は常にa[k] の後ろに分配。

逆に、条件をみたすa[1],a[2],a[3],...a[i]...a[k]について
a[1]-1,a[2]-a[1]-1,a[3]-a[2]-1,...a[i+1]-a[i]-1,...a[k]-a[k-1]-1 は、0以上の偶数です。

これは、[(n-k)/2] 個の区別できないものをk+1箇所に分配する方法の数になる。と思います。
(ざっと考えたので間違いがあるかも)

直線上に1,2,3,...k,...,n その上にa[1],a[2],a[3],...,a[k] を書いて考えるといいと思います。

No.41726 - 2017/02/06(Mon) 21:09:52

Re: / みすず
ITさん
たとえばn=5 k=2のときは
(a1,a2)=(1,2)(1,4)(3,4)の3通りですが
(5-2)/2は分数になってしまいます
これだとうまくいかないです

No.41730 - 2017/02/06(Mon) 21:28:46

Re: / IT
[(n-k)/2] 個の[ ]は、ガウス記号で [(n-k)/2] =「(n-k)/2 以下の最大の整数」です。

例示の場合[(5-2)/2]=1 で k+1 =3 箇所に1個を分配する方法=3通り となります。

No.41731 - 2017/02/06(Mon) 21:32:35

Re: / angel
例えば、添付の図のような n=8,k=3 で考えてみます。
しかし、最後の8は a3 として使えないので、無いのと同じです。
つまり、n=8,k=3 は n=7,k=3 と状況的に同じです。
一般に、n,kの偶奇が合わない場合は nの代わりに n-1 で考えるということです。

さて。a1,…,ak に割り当てるところとそうでないところを色分けすると、実は2色の玉の並び替えであることが分かります。
ただし「そうでないところ」( 図中水色の玉 ) は必ずペアにする必要があります。

結局、n=8,k=3 or n=7,k=3 のケースでは、3個(k=3に対応)と2塊( (n-k)/2端数切捨ての2に対応 )の並び替え、5C3 と分かります。

No.41732 - 2017/02/06(Mon) 21:37:42

Re: / みすず
なるほど!よくわかりました!
お二方とも丁寧に説明してくださって
ありがとうございました!

No.41733 - 2017/02/06(Mon) 21:54:36
ベクトル / たゆたゆ
一枚目の画像の問題についてなんですが、解答が2枚目の画像のようになっているのですが、その中で線分MCを2:1に内分する点の位置ベクトルの9倍という部分から線分MCを2:1に内分する点の位置ベクトルが四面体OABCの高さになると考えられるのですがなぜそのようにいえるか分かりません。教えてください。
No.41719 - 2017/02/06(Mon) 19:57:39

Re: ベクトル / たゆたゆ
2枚目の画像です。
No.41720 - 2017/02/06(Mon) 19:58:27

Re: ベクトル / angel
> 線分MCを2:1に内分する点の位置ベクトルが四面体OABCの高さになると考えられる

実際の「高さ」がどこになるか、この問題で特定はできませんし、逆にする必要がありません。
添付の図のように、頂点同士を結ぶ線分が、底面によって何対何に分けられるかが分かっていれば、錐体の高さの比も同じになることが分かるのです。
※図中、赤・青・灰の点線で形作られる三角形の相似により

なので、頂点同士を結ぶ線分が底面によって 8:1 に分けられる、それだけで体積の比が 8:1 と言えるのです。

No.41725 - 2017/02/06(Mon) 20:45:13

Re: ベクトル / たゆたゆ
分かりやすかったです。ありがとうございました。
No.41729 - 2017/02/06(Mon) 21:23:26
(No Subject) / サラ
画像の計算でなぜこれらは=なのですか?
No.41707 - 2017/02/06(Mon) 17:33:01

Re: / noname
>画像の計算でなぜこれらは=なのですか?


このことを理解するために,まずは定積分∫_[-1/3,1/3]|tan(x)|dxを

∫_[-1/3,1/3]|tan(x)|dx=∫_[-1/3,0]|tan(x)|dx+∫_[0,1/3]|tan(x)|dx

の様に式変形し,その次にこの式の右辺のそれぞれの項の定積分の被積分関数の絶対値記号を外してみましょう.

No.41708 - 2017/02/06(Mon) 18:02:46

Re: / ヨッシー

こういうことです。

No.41709 - 2017/02/06(Mon) 18:05:09

Re: / サラ
なるほど‼わかりました
No.41715 - 2017/02/06(Mon) 19:11:18
(No Subject) / アバンドン
(1はあってますか?
また、(2)をおしえていただきたい。

No.41706 - 2017/02/06(Mon) 17:25:56

Re: / noname
(1)については,上から5行目の数式の左辺のizとiz'の符号が正しくないです.ここで,z'はzの共役複素数です.
No.41710 - 2017/02/06(Mon) 18:07:48

Re: / X
>>(1はあってますか?
nonameさんの仰る通り、5行目が間違っています。
zの複素数を\zと書くことにすると
5行目は
3z\z-3iz+3i\z=0
これより
z\z-iz+i\z=0
|z+i|^2=1
∴|z+i|=1
となります。

(2)
w=iz-2+i
と置くと
z=-iw-2i-1
これを(1)の結果に代入すると
|-iw-i-1|=1
これより
|iw+i+1|=1
|-w-1+i|=1
|w+1-i|=1
w=rcosθ+irsinθ
(r≧0)
と置くと
|rcosθ+irsinθ+1-i|=1
これより
(rcosθ+1)^2+(rsinθ-1)^2=1
r^2-2r(sinθ-cosθ)+1=0 (A)
(A)をrの二次方程式とみたときに
正の実数解を持たなければならない
ので、まず解と係数の関係から
2(sinθ-cosθ)≧0 (B)
次に(A)の解の判別式をDとすると
D/4=(sinθ-cosθ)^2-1≧0 (C)
(B)(C)をθの連立不等式とみて解きます。

No.41712 - 2017/02/06(Mon) 18:25:30

Re: / ラディカル
こっちの方が圧倒的簡単ですよね。
No.41728 - 2017/02/06(Mon) 21:18:42
高校数学 / あ

x2+y2=1のとき、
z=x+2y+3の極値を求める
という問題なのですが、
x=cosθ,y=sinθで代入して合成するのがいいでしょうか?解法解説お願いします。

No.41705 - 2017/02/06(Mon) 15:46:08
(No Subject) / サラ
すみません。画像の計算をしていたらπ^2が出てきてしまいます。どこで間違えたのでしょう。お願いします。
No.41702 - 2017/02/06(Mon) 14:46:54
(No Subject) / サラ
画像の計算の答えがそうなるのはなぜですか?
計算過程を教えて下さい。お願いします。

No.41699 - 2017/02/06(Mon) 14:30:56

Re: / ヨッシー
2[-log{cos(π/3)}+log{cos(0)}]
=2[-log(1/2)+log(1)]
1/2=2^(-1) より log(1/2)=-log(2)
および log(1)=0 より
よって、
(与式)=2log(2)

No.41703 - 2017/02/06(Mon) 15:27:21
合同式 / かつお
10≡4(mod.6)⇒10^m≡4^m(mod.6)は分かるのですが、その逆の証明である
10≡4(mod.6)←10^m≡4^m(mod.6)
はどうしたらよいのでしょうか?

よろしくおねがいします

No.41694 - 2017/02/06(Mon) 04:25:56

Re: 合同式 / angel
いえ。これ、逆はなりたたないです。
合同式じゃなくても、x^4=y^4→x=y とはならないのと同じです。

No.41695 - 2017/02/06(Mon) 07:29:34

Re: 合同式 / らすかる
もし「a^m≡b^m(modc)⇒a≡b(modc)」の証明について質問されているのでしたら
回答はangelさんのおっしゃる通りですが、
質問が記述通りの「10^m≡4^m(mod6)⇒10≡4(mod6)」ならば、
10^m≡4^m(mod6)も10≡4(mod6)も真なので
「10^m≡4^m(mod6)⇒10≡4(mod6)」は真⇒真により真です。

No.41696 - 2017/02/06(Mon) 10:13:30
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