ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 記号　積分　二階微分 / 前進

積分は微分の逆で単純に微分の記号d/dtをとるというのがわかりません。
両辺にdt/dをかけているわけでもありませんし

微分の記号がd/dtというのがわかりません。
何をtで微分するのかの何がありませんし、
例えばdy/dt とかdf(x)/dとか

そもそも?凾ﾍちょっとという意味で

lim =?凉/?冲の時にdy/dt と習いました。
h→0

宜しくお願い致します。

No.42419 - 2017/03/08(Wed) 01:10:22

☆ Re: 記号　積分　二階微分 / 前進

画像です

No.42420 - 2017/03/08(Wed) 01:11:26

☆ Re: 記号　積分　二階微分 / 前進

最後です

No.42421 - 2017/03/08(Wed) 01:13:12

☆ Re: 記号　積分　二階微分 / angel

> 積分は微分の逆で単純に微分の記号d/dtをとる
結果と手続きと定義とを混同しないように注意すべきところです。
「積分」の定義というのは微分とは直接関係はありません。
しかし、その性質として微分の逆演算になることが分かっています。
つまり、関数f,Fがあって、F→(微分)→f なら、f→(積分)→F ということです。
※定数分の違いについては割愛

なので、x と dx/dt があるとき、後者は前者を微分したものになっているわけですから、「結果的に」dx/dt を積分すると x になるわけです。
※なお t での微分・積分の話なので、暗黙の前提として、両者とも t の関数です。

見た目としては、単純に d/dt を取っているわけなので、こういう場合の「特定の手続き」として、「積分するには d/dt を取る」とも言えるのです。
※念の為ですが、t については、何で微分・積分してるかで変わってきます。

No.42423 - 2017/03/08(Wed) 12:33:23

☆ Re: 記号　積分　二階微分 / angel

もう一歩進めると、微分というのは ( その中身は一旦置いておいて )、ある関数から別の関数を作り出す ( 或いは対応させる ) ものだと見ることができます。

このような「別の関数を作り出すもの」を独立させて考えると便利なこともあるため、「作用素」とか「演算子」という名前がついてます。
今回出て来るのは「微分作用素(演算子)」です。それを D や Dt と書いたり d/dt と書いたりします。( t での微分の場合 )

なので、これを例えば x に作用させれば、導関数 dx/dt ができるということです。
d/dt・x と書くか、dx/dt と書くか、見方はあるわけですが、内実としてはどれも一緒です。
ただ、この作用素としての書き方は色々便利なのでふつーに使われます。
導関数 dx/dt を更に微分した2次導関数は d/dt・dx/dt とか。

No.42424 - 2017/03/08(Wed) 12:48:43

☆ Re: 記号　積分　二階微分 / 前進

確かに結果と手続きと定義で混乱していました。理解できました。

簡単に言うと微分の定義は接線を求めることで積分は面積を求めることです。

No.42425 - 2017/03/08(Wed) 14:56:07

☆ Re: 記号　積分　二階微分 / 前進

訂正です

No.42426 - 2017/03/08(Wed) 15:00:13

★ 固有方程式の計算 / ふなっし

以下の写真のような計算をしたのですが、答えが合いませんでした。自分でも間違いの箇所に気づけていないので、添削をお願いしたいと思います。
メモっぽく書いてしまってわかり辛い箇所があるかもしれませんが、何卒よろしくお願い致します。

No.42409 - 2017/03/07(Tue) 18:15:39

☆ Re: 固有方程式の計算 / ふなっし

(続きです)

No.42410 - 2017/03/07(Tue) 18:16:41

☆ Re: 固有方程式の計算 / noname

問題で与えられている行列をAとする時，固有多項式det(A-λE)をどのように変形して解答の第一行目にある数式が得られましたか？

No.42411 - 2017/03/07(Tue) 21:41:20

☆ Re: 固有方程式の計算 / angel

最初の (34-λ) この34は行列のトレース( 対角成分の和 ) から来ているのでしょうか?
こういう計算はできないはずですが、なにを参考に計算されてますか?

No.42412 - 2017/03/07(Tue) 21:57:56

☆ Re: 固有方程式の計算 / ふなっし

> 問題で与えられている行列をAとする時，固有多項式det(A-λE)をどのように変形して解答の第一行目にある数式が得られましたか？

2,3,4行目すべてを1行目に加えると、全て(34-λ)になるため、それをくくった次第です。

No.42413 - 2017/03/07(Tue) 23:11:39

☆ Re: 固有方程式の計算 / angel

> 2,3,4行目すべてを1行目に加えると、全て(34-λ)になるため、それをくくった次第です。

お! それは気付きませんでした。これはなかなか賢いまとめかたですね。
であれば、(34-λ)でくくった直後、(14-λ)は14の誤りですかね。そこを直せばいけるんじゃないでしょうか。

No.42415 - 2017/03/07(Tue) 23:41:43

☆ Re: 固有方程式の計算 / ふなっし

>>angelさん

あ、確かにそこですね・・・＾＾；
その通りに計算し直したら、
=(λ-34)(λ^3-80λ)
=λ(λ-34)(λ+4√5)(λ-4√5)
まで計算できて、各固有値を求めることができました！
ありがとうございました。。

No.42416 - 2017/03/08(Wed) 00:03:34

★ 領域 / カザフ

このような形で解いたのですが、解答をもらっていないため答え合わせができません。合っているかどうかと、もしよければ詳細な解説をよろしくお願いします

No.42405 - 2017/03/06(Mon) 23:49:43

☆ Re: 領域 / カザフ

写真です（うまく投稿できたかわかりません）

No.42406 - 2017/03/06(Mon) 23:55:32

☆ Re: 領域 / X

最小のときの計算は問題ありませんが、最大のときの計算が
間違っています。

もし
y=Qx^2 (A)
のグラフが
直線 y=2x-2 (B)
とx座標が
3/2≦x≦5/2
の範囲になるような点で
接する場合は、その時に
Qが最大となります。
ですので、そのような接点が
存在するか否かを先に確かめる
必要があります。

そこで(B)が(A)に接するときの
Qの値と接点のx座標を求めてみます。
(A)より
y'=2Qx
∴(A)上の点(t,Qt^2)における接線の方程式は
y=2Qt(x-t)+Qt^2
整理して
y=2Qtx-Qt^2 (C)
(B)と(C)が一致するわけですので
係数比較により
2Qt=2 (D)
-Qt^2=-2 (E)
(D)(E)をQ,tについての連立方程式として解くと
(Q,t)=(1/2,2)
従って
3/2≦t≦5/2
を満たしますので求める最大値は
1/2
となります。

No.42407 - 2017/03/07(Tue) 00:30:40

★ 微分係数と微分　及び　式 / 前進

この式が分かりません。ただ単純に

dy/dx=dy/dxを両辺にdxをかけただけでしょうか？

dy/dxはここではやはり比なのでしょうか？傾きを求める式
yの増加量/xの増加量で
dy/dxはyをxで微分するとと習ったのですか

それと微分係数と微分が同じだとするとf'とf'(a)が同じだということでしょうか？

混乱してきたので宜しくお願い致します。

No.42399 - 2017/03/06(Mon) 15:36:01

☆ Re: 微分係数と微分　及び　式 / 前進

続です。

No.42400 - 2017/03/06(Mon) 15:37:25

☆ Re: 微分係数と微分　及び　式 / 前進

最後です

No.42401 - 2017/03/06(Mon) 15:38:10

☆ Re: 微分係数と微分　及び　式 / noname

例えば，私たちの住む地球の表面は球面ですが，その上で住んでいる私たちからすれば視界に見える範囲内では地面は平面の一部に見えます．つまり，曲線や曲面においては，それらの上の各点に対してその点を含む十分に狭い範囲での曲がった部分は直線や平面の一部で近似することが出来ることが分かります．このことから，微分を考えるとは「曲がったものの一部分を平らなものの一部分で近似する」ということだと思えます．

さて，曲線の場合に関する話に立ち戻りましょう．ある曲線C：y＝f(x)が与えられている時に，C上に異なる2点P,Qを「それらが互いに十分に近い位置にある」様にとると，P,Qを端点とする曲線弧は線分PQとほぼ同じ様なものだと思うことが出来ます．ここで，P,Qのx座標の変化分とy座標の変化分をdx,dyで表しましょう．すると，変数yの値のとり方は変数xの値のとり方と関数fに依存するため，dyはfとdxに依存する筈です．ところで，点Qが点Pに対して十分近い位置にあるならば，直線PQの傾きと点Pにおける曲線Cの接線の傾きはほぼ同じですので

dy＝dy/dx×dx≒(点Pでの接線の傾き)×dx

という近似式が成り立つ筈です．ここまでの話の中ではdy/dxは分数なのですが，曲線の直線による近似(1次近似)を考えているため，厳密にはdy/dx＝(点Pでの接線での傾き)の様に点Pでの接線の傾きはdy,dxによる分数では表されないのです．そのため，近似式の意味で「分数にdxをかけるとdyになる」と考えてもよいのですが「dy/dxとは点Pでの接線の傾きである」という理解は正確さに欠けるということです．

No.42403 - 2017/03/06(Mon) 18:54:15

☆ Re: 微分係数と微分　及び　式 / noname

ただ，先程の私の回答も直感に訴えかけて理解させようとするものであり，現代数学では「dy/dxなどという記法は慣習によるものであり，微分とは『曲線上の各点に対する微分係数を求めること』である」として考えます．その結果，微分に関する定義は厳密なものとなりましたがその一方で微分に関する直感的なものは損なわれた感じが否めません．一方，数学の「超準解析」と呼ばれる分野ではその直感的な部分が含まれるようにして関数の微分に関してが定義される様です(私はこの分野について殆ど知りませんので，その詳細を述べることは出来ません)．

No.42404 - 2017/03/06(Mon) 19:04:38

☆ Re: 微分係数と微分　及び　式 / 前進

明日か明後日にゆっくり考えたいと思います

No.42414 - 2017/03/07(Tue) 23:35:07

☆ Re: 微分係数と微分　及び　式 / 前進

ありがとうございました。理解できました。

https://studysapuri.jp/の大学版の数学などがあればいいですが、今のところはないので本、youtube、大学が用意してあるpdfや海外の大学のサイトなどを参考にしながら勉強していきます

No.42422 - 2017/03/08(Wed) 12:12:20

★ 法線ベクトルとは / ルイージ

法線ベクトルは具体的に何を表しているのでしょうか？
方向と長さを表すことは分かりますが、法線ベクトルx,y,zのそれぞれx,y,zは座標なのでしょうか？角度なのでしょうか？
面の座標値を透視変換、視野変換するプログラムを作成したのですが、法線ベクトルを表示しようとして、法線ベクトルの意味が分かっていないのでどうすれば良いのか分かりません。
どなたか分かる方よろしくお願いします。

No.42397 - 2017/03/06(Mon) 09:50:02

☆ Re: 法線ベクトルとは / ヨッシー

Wikipedia によると
　2次元ではある線に垂直なベクトル、3次元ではある面に垂直なベクトル。
となっており、これ以上の説明はありません。

高校数学で、平面の式
　ax＋by＋cz＋d＝0
において、(a,b,c) を法線ベクトルと言い、上式で表される平面に垂直なベクトルです。
向きは一意に決まらないといけませんが、長さは０でなければ、
どんな値もとります。

(x,y,z) の x,y,z は、ベクトルの成分です。
原点(0,0,0) を始点とした時の、終点の座標に一致します。

面に平行なベクトルですので、座標の変換だけでは決まらなくて、
変換前の面がどんな形状か、変換によって垂直性が維持されるのか
などの情報が必要です。
透視変換、視野変換が、垂直性を維持するかは私は知りません。

No.42398 - 2017/03/06(Mon) 10:49:37

☆ Re: 法線ベクトルとは / ルイージ

> (x,y,z) の x,y,z は、ベクトルの成分です。
> 原点(0,0,0) を始点とした時の、終点の座標に一致します。

有難うございます。法線(x,y,z)が具体的に何であるか分かりました。
面の重心を始点にして、終点を(x,y,z)＋重心座標とすれば表示できそうです。

No.42437 - 2017/03/10(Fri) 14:51:45

★ 小数の一般項の求め方 / ブラッドマミ

いつもお世話になっております。この度は少数からの数列の一般項の求め方が分からず、投稿させていただきました。では問題です。問い）0.3,0.33,0.333,0.3333,・・
のｎ項目の一般項を求めよ。
以上どのように解けば良いか分かりません。
どなたか分かる方よろしくお願いします。

No.42394 - 2017/03/05(Sun) 16:37:18

☆ Re: 小数の一般項の求め方 / noname

各nに対して，第(n+1)項を10倍したものは3.33…33(3がn個並んでいる)であり，小数点以下の部分に並んでいる数字とその個数は第n項のそれらと同じです．よって，第(n+1)項の10倍から第n項を引くと，計算結果は3になります．このことに注意して次の様に答えればよいかと思います．

[解答例]
数列の第n項をa_[n]とすれば，n≧1に対して

10a_[n+1]-a_[n]＝3.
∴a_[n+1]-1/3＝1/10・(a_[n]-1/3).

よって，数列{a_[n]-1/3}は初項がa_[1]-1/3で公比が1/10の等比数列であるから，各nに対して

a_[n]-1/3＝1/(10^{n-1})・(a_[1]-1/3)＝1/(10^n)・(-1/3).
∴a_[n]＝1/3+1/(10^n)・(-1/3)＝1/3・(1-1/(10^n)).
________________________________________________________________

※空欄補充形式の問題であれば，

0.3＝1/3・0.9＝1/3・(1-1/10),
0.33＝1/3・0.99＝1/3・(1-1/(10^2)),
0.333＝1/3・0.999＝1/3・(1-1/(10^3)),
0.3333＝1/3・0.9999＝1/3・(1-1/(10^4))

の様に考えて各項から数列の持つ規則を抽出し，第n項が1/3・(1-1/(10^n))であると類推して解答することが出来ます(記述式の場合でこの考えで解答を行うのであれば数学的帰納法を使う必要があります)．

No.42395 - 2017/03/05(Sun) 18:02:20

☆ Re: 小数の一般項の求め方 / ブラッドマミ

ありがとうございました。是非参考にさせて頂きます。回答ありがとうございました。

No.42396 - 2017/03/06(Mon) 07:44:34

★ 数検2級の過去問 / Triscuit

数検2級(数II、数Bくらい)の勉強をしています

問6についてです。
答えはx=16/3になるらしいのですが、何をつかって解くのかわかりません(-｡-;

No.42392 - 2017/03/05(Sun) 12:24:14

☆ Re: 数検2級の過去問 / noname

方べきの定理，或いは三角形の相似比を使うとこの問題を解くことが出来ます．解き方の詳細については以下をご参考ください．

[方べきの定理を使った解き方]
方べきの定理より，

AB・AC＝AT^2.
∴3(x+3)＝5^2.

後はこの方程式をxについて解けばよい．

[三角形の相似比を使った解き方]
三角形ACTと三角形ABTにおいて

∠ACT
＝∠BOT/2
＝{180°-(∠BTO+∠TBO)}/2
＝(180°-2∠BTO)/2
＝{180°-2(90°-∠ATB)}/2＝∠ATB.
∴∠ACT＝∠ATB.
(或いは「接弦定理より∠ACT＝∠ATBである」と述べてもよい)

また，共通な角であるから∠CAT＝∠TABである．以上により，三角形ACTと三角形ABTは相似である．この時，

AC：AT＝AT：AB.
∴AB・AC＝AT^2.
∴3(x+3)＝5^2.

後はこの方程式をxについて解けばよい．

No.42393 - 2017/03/05(Sun) 12:27:52

☆ Re: 数検2級の過去問 / Triscuit

ありがとうございます！
参考になりました

No.42402 - 2017/03/06(Mon) 17:01:04

★ 微分方程式 / ふなっし

d^2y/dx^2+4y=sin2x・・・?@
という微分方程式を解く問題です。
右辺の形から、?@式の特殊解を
y_0=Acos2x+Bsin2xとおくことが出来ると思いますが、
これを?@に代入することで係数A,Bを消去するとどうなるのでしょうか？
結果としては、係数に変数xが混じるようなのですが、上記の解法は適用されるでしょうか？

※
d^2y/dx^2+4y=0・・・?Aの一般解は、λ^2+4=0の方程式を解くことなどにより、
y=Ccos2x+Dsin2xとなると思います。

以上、よろしくお願い致します。

No.42382 - 2017/03/04(Sat) 13:11:13

☆ Re: 微分方程式 / ペンギン

この場合は、y_0=Acos2x+Bsin2xは特殊解にはなりません。

右辺がλ≠2でsin(λx)の場合、特殊解は

-sin(λx)/(λ^2-4)となります。

ここからは技巧的ですが、一般解の要領で特殊解に
sin(2x)/(λ^2-4)を足しても解になり、
-[sin(λx)-sin(2x)]/(λ-2)/(λ+2)となります。

λ→2の極限で[sin(λx)-sin(2x)]/(λ-2)は微分になり、
結果は、-xcos(2x)/2となります。

これを代入すると、実際に特殊解になっていることが分かります。

No.42387 - 2017/03/04(Sat) 22:21:12

☆ Re: 微分方程式 / ふなっし

テクニック的なことを教えて頂き、ありがとうございました。
勉強してみます。

No.42389 - 2017/03/04(Sat) 22:34:21

★ (No Subject) / アリス

この問題の5、6行目の意味がわかりません。
Ｓ＝･･･はどうしてこのようになるのですか、
具体例を示して説明しくれると有難いです。

No.42378 - 2017/03/04(Sat) 01:14:18

☆ Re: / らすかる

例えばp=2,n=4のとき1～p^nすなわち1～16の中の素因数2の個数を○の個数で表すと
1
2 ○
3
4 ○○
5
6 ○
7
8 ○○○
9
10 ○
11
12 ○○
13
14 ○
15
16 ○○○○
となりますね。
普通に考えると各行の○の個数を考えて
S=1+2+1+3+1+2+1+4=15 のように計算してしまいがちですが、
各列の○の個数を縦に数えて足すことにすれば
1列目に○があるのが2,4,6,8,10,12,14,16の8個（=2の倍数の個数）
2列目に○があるのが4,8,12,16の4個（=4の倍数の個数）
3列目に○があるのが8,16の2個（=8の倍数の個数）
4列目に○があるのが16の1個（=16の倍数の個数）
なので S=8+4+2+1=15 のように計算できます。

No.42379 - 2017/03/04(Sat) 01:53:42

☆ Re: / らすかる

同じことを計算で説明すると以下のようになります。

(2^4)!
=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×15×16
2で何回割れるかを調べるので2で割れない奇数を右によける
=2×4×6×8×10×12×14×16×1×3×5×7×9×11×13×15
=2×4×6×8×10×12×14×16×(奇数)
2で割れる数をすべて2で割る（2の倍数の個数分、8回割れる）
=2^8×1×2×3×4×5×6×7×8×(奇数)
再び奇数をよける
=2^8×2×4×6×8×1×3×5×7×(奇数)
=2^8×2×4×6×8×(奇数)
2で割れる数をすべて2で割る（4の倍数の個数分、4回割れる）
=2^8×2^4×1×2×3×4×(奇数)
再び奇数をよける
=2^8×2^4×2×4×1×3×(奇数)
=2^8×2^4×2×4×(奇数)
2で割れる数をすべて2で割る（8の倍数の個数分、2回割れる）
=2^8×2^4×2^2×1×2×(奇数)
再び奇数をよける
=2^8×2^4×2^2×2×1×(奇数)
=2^8×2^4×2^2×2×(奇数)
2で割れる数をすべて2で割る（16の倍数の個数分、1回割れる）
=2^8×2^4×2^2×2^1×1×(奇数)
=2^8×2^4×2^2×2^1×(奇数)
=2^(8+4+2+1)×(奇数)
よって2で割れる回数は
(2の倍数の個数)+(4の倍数の個数)+(8の倍数の個数)+(16の倍数の個数)回です。

No.42380 - 2017/03/04(Sat) 07:14:58

★ 突き詰めると / 急がば回れ

二次方程式ax^2-(a-1)x+1-a=0がlxl<1と3<x<4にそれぞれ一つの解を持つような定数aの値の範囲を求めよ。
の答えが
与えられた二次方程式の左辺をf(x)とおくと、
f(-1)f(1)<0かつf(3)f(4)<0かつa≠０が求める条件

とありますが、これだと余分なaの範囲が出てしまうのではと疑問に思っています。

なぜなら
f(-1)f(1)<0かつf(3)f(4)<0には
例えば、f(-1)>0かつf(1)＜0かつｆ（３）＞０かつｆ（４）<０といった場合も含んでしまっていますよね？
も入ってますよね？

なぜ解答のようでいいのか教えてください。よろしくおねがいします

No.42371 - 2017/03/03(Fri) 23:40:44

☆ Re: 突き詰めると / ヨッシー

　ｆ（３）＞０かつｆ（４）＞０
ではなくて
　ｆ（３）＞０かつｆ（４）＜０　
のことかと思いますが、
放物線の形状からして、そういう場合は起こらないです。

No.42372 - 2017/03/03(Fri) 23:52:05

☆ Re: 突き詰めると / 急がば回れ

回答ありがとうございます。
質問1】なぜそういう場合が起こらないと即座にいえるのか。

質問2】ということは問題文の－１＜ｘ<1と3<x<4の-1,1,3,4の部分が値次第では、（例えばa<x<b,c<x<dのとき）
f(a)(b)<0かつf(c)f(d)<0とはできないということですか？できないのならばa,b,c,dがどのようなときですか？

よろしくおねがいします

No.42376 - 2017/03/04(Sat) 00:35:58

☆ Re: 突き詰めると / らすかる

> なぜそういう場合が起こらないと即座にいえるのか。

f(-1)＞0かつf(1)＜0かつf(3)＞0かつf(4)＜0 ならば
x=1とx=3の間にも解があることになり、
解が3つ（以上）になってしまいます。
二次方程式ですからこれはおかしいですね。
x=1とx=3の間に解がありませんので、
f(1)＞0かつf(3)＞0 か f(1)＜0かつf(3)＜0 しかあり得ません。

> 問題文の－１＜ｘ<1と3<x<4の-1,1,3,4の部分が値次第では、（例えばa<x<b,c<x<dのとき）
> f(a)(b)<0かつf(c)f(d)<0とはできないということですか？
> できないのならばa,b,c,dがどのようなときですか？

a＜b≦c＜d か c＜d≦a＜b ならば問題ありません。
a＜c＜b＜d とか a＜c＜d＜b のように区間が混ざっている場合は問題がありますね。

No.42377 - 2017/03/04(Sat) 01:02:28

☆ Re: 突き詰めると / 急がば回れ

回答ありがとうございます。確かに二次方程式ですから有り得ないですね。しかし、
f(-1)＞0かつf(1)＜0かつf(3)＞0かつf(4)＜0 がありえないのなら、f(-1)f(1)<0かつf(3)f(4)<0では有り得ない事象を含んでしまっている分、余分にaの範囲がでてしまうと考えるのが自然な気がするのですが、なぜ余分な場合を除外しなくていいのでしょうか？

よろしくおねがいします。

No.42381 - 2017/03/04(Sat) 09:56:27

☆ Re: 突き詰めると / らすかる

二次方程式なので
「f(-1)＞0かつf(1)＜0かつf(3)＞0かつf(4)＜0」や
「f(-1)＜0かつf(1)＞0かつf(3)＜0かつf(4)＞0」
となることはあり得ず、従ってそのようになるaは存在しませんので
「余分なaの範囲」がありません。
元々存在しないものは除外する必要はないですね。

つまり、二次方程式においては
「f(-1)f(1)＜0かつf(3)f(4)＜0」
と
「f(-1)＞0かつf(1)＜0かつf(3)＜0かつf(4)＞0
　または
　f(-1)＜0かつf(1)＞0かつf(3)＞0かつf(4)＜0」
は全く同じことです。

No.42383 - 2017/03/04(Sat) 16:02:49

☆ Re: 突き詰めると / 急がば回れ

回答ありがとうございます

なるほどです！納得できました！ありがとうございました。

No.42384 - 2017/03/04(Sat) 20:52:23

★ 過去問 / みかん

フヘホがわかりません。

No.42366 - 2017/03/03(Fri) 15:55:25

☆ Re: 過去問 / みかん

フヘホがわかりません。

No.42367 - 2017/03/03(Fri) 15:56:25

☆ Re: 過去問 / ヨッシー

k^2－16k＋20＝0 を解くと
　k＝8±√44
で解は１と２の間、１４と１５の間にあるので、
ｋ＝１のときは |20－16k＋k^2|＝20－16k＋k^2
ｋ＝２～１４　のときは |20－16k＋k^2|＝－20＋16k－k^2
ｋ＝１５～２０　のときは |20－16k＋k^2|＝20－16k＋k^2
となるので、これらの区間の和をを別々に計算して合計します。

No.42368 - 2017/03/03(Fri) 17:21:32

☆ Re: 過去問 / みかん

そのあとからの計算がわかりません。

No.42369 - 2017/03/03(Fri) 18:45:14

☆ Re: 過去問 / らすかる

Σ[k=1～20]|20-16k+k^2|
=Σ[k=1～1](20-16k+k^2)
　+Σ[k=2～14]-(20-16k+k^2)
　+Σ[k=15～20](20-16k+k^2)
=Σ[k=1～1](20-16k+k^2)
　-Σ[k=2～14](20-16k+k^2)
　+Σ[k=15～20](20-16k+k^2)
=Σ[k=1～20](20-16k+k^2)
　-2Σ[k=2～14](20-16k+k^2)
=(ハ)(ヒ)
　-2{{Σ[k=1～14](20-16k+k^2)}-{Σ[k=1～1](20-16k+k^2)}}
=(ハ)(ヒ)
　-2{{Σ[k=1～14](20-16k+k^2)}-5}
=(ハ)(ヒ)
　-2Σ[k=1～14](20-16k+k^2)
　+10
のようにすれば計算できますね。

No.42370 - 2017/03/03(Fri) 22:08:57

☆ Re: 過去問 / みかん

ありがとうごさいます。

No.42373 - 2017/03/03(Fri) 23:58:45

★ 数学1A 余弦定理について / こんにゃく

指で指している
2・(√3-1)・√2 / (√3-1)^+(√2)^-2^ の式から
次の式の分子(√3-1)^がどこで消えたのかがわかりません。
崩して計算してみたりしましたが-√6になったり計算が合いません。
分かる方教えて頂けると助かります。
よろしくお願い致します。

No.42361 - 2017/03/03(Fri) 13:47:37

☆ Re: 数学1A 余弦定理について / こんにゃく

高1です。
お忙しいとは思いますがよろしくお願い致します。

No.42362 - 2017/03/03(Fri) 14:30:58

☆ Re: 数学1A 余弦定理について / ヨッシー

正しい書き方は
　{(√3-1)^2+(√2)^2-2^2}/{2・(√3-1)・√2 }
です。

さて、分子を展開して整理すると
　(√3－1)^2＋(√2)^2－2^2
　＝4－2√3＋2－4
　＝2－2√3
　＝－2(√3－1)
この √3－1 が分母にもあるので、約分できて
　{(√3-1)^2+(√2)^2-2^2}/{2・(√3-1)・√2 }
　＝－2/2√2
　＝－√2/2
となります。

No.42363 - 2017/03/03(Fri) 14:44:50

☆ Re: 数学1A 余弦定理について / こんにゃく

書き方を間違えてしまいすみませんでした！
とても分かりやすかったです。
またよろしくお願い致します！

No.42364 - 2017/03/03(Fri) 14:56:02

★ 互除法 / みかん

2行目の式から3行目の式になるのがわかりません。
2行目の式まで理解できています。

No.42359 - 2017/03/03(Fri) 10:53:29

☆ Re: 互除法 / ヨッシー

「１，２，３の計算を逆にたどると」
と書いてある通りだと思うのですが、元の問題が
　１０８ｘ＋３５ｙ＝１
を満たす整数ｘ，ｙを求めよ、だとして、ユークリッドの互除法を
次々と実施して、
　１０８＝３５×３＋３　　・・・(1)
　３５＝３×１１＋２　　　・・・(2)
　３＝２×１＋１　　　　　・・・(3)
これを逆にたどって、(3) より
　１＝３－２×１
(2) を移項した２＝３５－３×１１を代入して
　１＝３－(３５－３×１１)×１
展開して
　１＝３×１２－３５×１
(1) を移項した　３＝１０８－３５×３　を代入して
　１＝(１０８－３５×３)×１２－３５×１
展開して
　１＝１０８×１２－３５×３７
ということです。

No.42360 - 2017/03/03(Fri) 11:27:48

☆ Re: 互除法 / みかん

わかりました

No.42365 - 2017/03/03(Fri) 15:51:04

★ 関係式の導き方を教えてください。 / いろはす

初めてです。よろしくお願いします。http://imgur.com/wWdRock.jpg

No.42353 - 2017/03/02(Thu) 19:13:49

☆ Re: 関係式の導き方を教えてください。 / いろはす

すみません。貼り方を間違えました。

No.42354 - 2017/03/02(Thu) 19:15:31

☆ Re: 関係式の導き方を教えてください。 / いろはす

高３です。

No.42355 - 2017/03/02(Thu) 19:20:54

☆ Re: 関係式の導き方を教えてください。 / ヨッシー

(n/k)＋(m/k)i と (n/k)－(m/k)i を掛けると１になるので、
　(n/k)^2＋(m/k)^2＝１
　n^2＋m^2＝k^2　（ただし　ｋ≠０）

ｋ＝１０のとき
　（ｎ，ｍ）＝（８，６）
ｍ＝１から７を順にあてはめます。

No.42356 - 2017/03/02(Thu) 19:49:45

☆ Re: 関係式の導き方を教えてください。 / いろはす

あ！！なるほど！！
ありがとうございます！

No.42358 - 2017/03/02(Thu) 19:55:41

★ 問題 / tuma

a|bかつ|b|<|a|であれば、b=0となることを示せ。
という問題で
a|bということはb=akとなる整数kが存在するということなので、|b|<|a|は|ak|<|a|と表せる。そして|ak|=|a||k|なので
|a||k|<|a|
|k|<1
となり、絶対値が１以下になる自然数は０のみなので、k=0よってak=0なのでb=0となる。
これであっていますか？

No.42347 - 2017/03/02(Thu) 16:23:07

☆ Re: 問題 / tuma

中２です。

No.42348 - 2017/03/02(Thu) 16:24:09

☆ Re: 問題 / ヨッシー

ｂはａの倍数であることを、ａ｜ｂと書くのでしょうか？
そうであるとして、
ａ＝０のときと、ａ≠０のときとで分けて書く必要があるでしょう。
　ａ＝０のときは、明らかにｂ＝０
で良いと思います。

上の解答ですが、流れはそれでいいと思います。
|a||k|＜|a| を |k|＜1 にする時は、「|a|＞０より」を入れましょう。
絶対値が１以下　ではなく、１未満　または　１より小さい
０は自然数に含まないのが、中高では一般的なので、ここは「整数」が良いでしょう。
最後の部分も、
　ｋ＝０
よって、
　ｂ＝ｋａ＝０
の方がスマートです。

No.42350 - 2017/03/02(Thu) 17:17:39

☆ Re: 問題 / tuma

回答ありがとうございます！

No.42351 - 2017/03/02(Thu) 18:12:32

☆ Re: 問題 / らすかる

> ａ＝０のときは、明らかにｂ＝０

a=0のときは|b|＜|a|が成り立たないのでa≠0ですね。

No.42352 - 2017/03/02(Thu) 18:15:59

☆ Re: 問題 / ヨッシー

そうですね。

失礼しました。

No.42357 - 2017/03/02(Thu) 19:50:49

★ 過去問 / みかん

カッコ3、カッコ4がわかりません。

No.42345 - 2017/03/02(Thu) 11:26:17

☆ Re: 過去問 / ヨッシー

(3)
２θ＝φ＝∠ＡＯＢとおくと、半角の公式より
　cos^2θ＝(1＋cosφ)／２
　sin^2θ＝(1－cosφ)／２
これと
　０≦θ≦π/2
より cosθ, sinθ を求めます。

(4)
ｌ3 の傾きは tanθ です。

No.42346 - 2017/03/02(Thu) 12:43:31

☆ Re: 過去問 / noname

次の様に考えてもよいです．

[別の考え方?@]
(3)点Aからx軸へ垂線を引いた時にこの垂線とx軸との交点をCとする．また，直線ℓ_3と線分ACの交点をDとする．この時，三角形OACにおいて角の二等分線と比の性質を使えばAD：CD＝OA：OCであるから，内分点の公式よりDの座標を求めることが出来て，ODの長さが計算できる．後は

sinθ＝CD/OD，cosθ＝OC/OD

としてsinθとcosθを計算すればよい．
(4)tanθ＝CD/OCとしてtanθを計算すると，直線ℓ_3の式が得られる．

[別の考え方?A]
(4)2倍角の公式より

2tanθ/(1-tan^2θ)＝4/3

という式をたてて，tanθの値を求める．
(3)tanθの結果を使ってcosθの値を1+tan^2θ＝1/cos^2θの式で求め，その次にcos^2θ+sin^2θ＝1の式を使ってsinθの値を求めればよい．

No.42349 - 2017/03/02(Thu) 16:38:19