ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / カズ

ここまでといたのですが、ここからどのように示していけばよいのでしょうか？

No.42038 - 2017/02/17(Fri) 17:37:45

☆ Re: / カズ

さいごのとこの分子がぬけていました
そこは2p[1]です

No.42039 - 2017/02/17(Fri) 17:39:40

☆ Re: / angel

これは、正直にやると ( というか段階を踏むような考え方をすると ) 面倒で、とてもゆる～くやるのが実は良いです。

まず、xの指数の奇数・偶数の違いを処理しているところは良いと思います。
そうすると、∫[-1,1] (px^m 幾つかの和) dx は、元の k+1 項 ( x^0～x^k ) から、高々 (k+1)/2 項に減ることになります。
※kが奇数なら (k+1)/2、偶数なら k/2 ですが、多く見積もることで場合分けを無くす

では各項がどう a[2n] の値に効いてくるか? というと、バラバラに積分を計算して良くて、∫[-1,1] px^(2n+2m)dx ( 0≦2m≦k-1 ) の所は 2p/(2n+2m+1) この絶対値は 2M/(2n+1) 以下ですね。mが大きくなるともうちょっと小さくなるわけですが、そんな細かいことは気にしない。

ということで、絶対値 2M/(2n+1) 以下の項を高々 (2k+1)/2 項足し合わせたら、というと、絶対値は 2M/(2n+1)×(2k+1)/2 で収まるだろう、と。そういう見積もりをやってるわけです。

翻って、問題を見た時に、どれくらいの緩さで見積もって良いのか、先にアタリをつけておくとスムーズに話が進みます。

※一応、絶対値の大小関係として |a+b|≦|a|+|b|、2数以上に拡張して |a+b+…|≦|a|+|b|+… という関係に注意

No.42047 - 2017/02/17(Fri) 19:08:38

★ 数3 / 匿名くん

関数y=e^(－x)sinxについて0≦x≦2πの区間における極値と変曲点を求めよ。

よろしくです

No.42033 - 2017/02/17(Fri) 15:36:08

☆ Re: 数3 / X

積の微分を使うと
y'={-e^(-x)}sinx+{e^(-x)}cosx
={-e^(-x)}(sinx-cosx)
=(-√2){e^(-x)}sin(x-π/4)

y"=(-√2){{-e^(-x)}sin(x-π/4)+{e^(-x)}cos(x-π/4)}
=(√2){e^(-x)}{sin(x-π/4)-cos(x-π/4)}
=2{e^(-x)}sin{(x-π/4)-π/4}
=2{e^(-x)}sin(x-π/2)
=-2{e^(-x)}cosx

後はよろしいですね。

No.42040 - 2017/02/17(Fri) 17:52:09

☆ Re: 数3 / 匿名くん

y'=0のときのxとy"=0のときのxも教えてください

No.42049 - 2017/02/17(Fri) 21:08:54

☆ Re: 数3 / noname

>y'=0のときのxとy"=0のときのxも教えてください

e^{-x}＞0に注意すると，

・y'＝0⇔sin(x-π/4)＝0
・y''＝0⇔cosx＝0

であることが分かります．ここで，次の問い

・方程式sin(x-π/4)＝0を満たす実数xであって0＜x＜2πを満たすものは何か？
・方程式cosx＝0を満たす実数xであって0＜x＜2πを満たすものは何か？

は分かりますか？
_________________________________________________________________

※もし両方ともわからなければ，数学?Uの三角関数の内容を直ちに復習されることを推奨致します．

No.42052 - 2017/02/17(Fri) 22:47:45

☆ Re: 数3 / 匿名くん

わかりました！ありがとうございます！

No.42053 - 2017/02/17(Fri) 23:41:38

★ 積分法 / カズ

2番からどのように解けばいいのかわからないので詳しく解説をおねがいします！

No.42021 - 2017/02/16(Thu) 23:38:52

☆ Re: 積分法 / 関数電卓

x－x^2＝－(x－1/2)^2＋1/4　だから　x－1/2＝(1/2)sinθ　と置換する。

No.42023 - 2017/02/16(Thu) 23:57:46

☆ Re: 積分法 / カズ

置換まではできたのですが、そこからの計算過程がわからないのでそこの解説をお願いしてもよろしいでしょうか？

No.42026 - 2017/02/17(Fri) 01:10:46

☆ Re: 積分法 / 関数電卓

上のように置換すると、x＝(1/2)(1＋sinθ)、x∈[0,1]⇔θ∈[－π/2,π/2]、dx＝(1/2)cosθdθ、√(x－x^2)＝(1/2)cosθ

∴ 与式＝∫[－π/2,π/2](1/4)(1＋sinθ)^2(1/2)cosθ(1/2)cosθdθ
　　＝(1/16)∫[－π/2,π/2](1＋2sinθ＋(sinθ)^2)(cosθ)^2dθ
　　＝(1/8)∫[0,π/2](1＋(sinθ)^2)(cosθ)^2dθ　(∵第２項は奇関数）
　　＝(1/8)∫[0,π/2](2(cosθ)^2－(cosθ)^4)dθ
　　＝(1/8)(2･π/4－(3/16)π)
　　＝5π/128
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5Bx%5E2Sqrt%5Bx-x%5E2%5D,%7Bx,0,1%7D%5D

No.42027 - 2017/02/17(Fri) 09:25:31

☆ Re: 積分法 / 関数電卓

いま気がついたのですが、(1)を考えると x－1/2＝(1/2)cosθ と置いた方が良かったですね。同じことですが…

No.42028 - 2017/02/17(Fri) 09:30:57

☆ Re: 積分法 / カズ

なるほど！
ありがとうございます！

No.42037 - 2017/02/17(Fri) 17:24:14

★ できれば早くお願いします / TDJ万歳

以下の（２）について

どうしたらこのような置き換えをしようという発想が出てくるのですか？

そこに至るまでの思考プロセスを詳しく書いていただけると幸いです

よろしくお願いいたします。

No.42012 - 2017/02/16(Thu) 16:24:53

☆ Re: できれば早くお願いします / TDJ万歳

質問です。

No.42013 - 2017/02/16(Thu) 16:26:09

☆ Re: できれば早くお願いします / noname

置き換えを行っているのは，log(x)を上からだけでなく下からも値を評価したいからです．ただ，(1)の結果を使うという発想では(2)を解くのは困難かと思います．実際，xの値が1よりも大きくなると差(x-1)-log(x)の値は非常に大きくなり，これでは(1)の不等式をそのまま使ってもlog(101)に関する評価の精度の高い不等式は得られません．寧ろ「直線y＝x-1が曲線y＝log(x)上の点(1,0)における接線である」ということに気が付けるかどうかが重要です．このことから，

・曲線y＝log(x)上の点(100,log(100)),(101,log(101))における接線の方程式を考える

という発想が得られれば，(2)を上手く解くことが出来ます．これらの接線の式はそれぞれy＝x/100+2log(10)-1,y＝x/101+log(101)-1であり，(1)と同様の結果として

log(x)≦x/100+2log(10)-1,
log(x)≦x/101+log(101)-1

が成立します．これらを使うと，

2log(10)+1/101≦log(101)≦2log(10)+1/100

が得られ，2.30258＜log(10)＜2.30259,1/101＞0.00990を用いると，

4.61506＝4.60516+0.00990≦log(101)≦4.60518+1/100＝4.61518.

が成立し，これよりlog(101)の小数点第3位までの値が分かるかと思います．

No.42015 - 2017/02/16(Thu) 17:19:29

☆ Re: できれば早くお願いします / TDJ

ありがとうございました。

No.42019 - 2017/02/16(Thu) 19:26:30

★ (No Subject) / あっぷる

AとBどちらが合ってますか？
また、その考え方も教えて頂きたいです。
よろしくお願いします。

No.42010 - 2017/02/16(Thu) 13:37:17

☆ Re: / noname

Bが正しい解き方です．問題を考える際に2個の白玉と2個の黒玉のそれぞれを区別することにします．この時，4個の玉から2個の玉を取り出す時の取り出し方は4_C_2通りあり，2個の白玉から2個を取り出す時の取り出し方は2_C_2通りです．よって，求めるべき確率は2_C_2/4_C_2となります．

※Aに関しては，うまく辻褄を合わせようとするならば，4個の玉の中から1個の玉を取り出す時に取り出された玉が白玉(黒玉)である確率の求め方だと言えます．

No.42011 - 2017/02/16(Thu) 14:02:42

☆ Re: / あっぷる

AとBの違いがわかりました。ありがとうございます。
そこで、もう一つ質問なのですがBのときに黒が2個、白が2個なので 4!/2!2!が必要だと思ったのですが、いらないのですか？
お願いします。

No.42014 - 2017/02/16(Thu) 16:29:52

☆ Re: / noname

>Bのときに黒が2個、白が2個なので 4!/2!2!が必要だと思ったのですが、いらないのですか？

質問に対して質問で返す様で申し訳ないのですが，何故その様に思われたのですか？

No.42016 - 2017/02/16(Thu) 17:22:03

☆ Re: / あっぷる

玉に、黒1黒2白1白2と識別をつけたとき、黒1白1と黒2白1のようにかぶりがでてきてしまうと思ったからです、、。

No.42017 - 2017/02/16(Thu) 17:26:12

☆ Re: / noname

>黒1黒2白1白2と識別をつけたとき、黒1白1と黒2白1のようにかぶりがでてきてしまう

黒1と黒2は異なるものなので，黒1白1の組み合わせと黒2白1の組み合わせは異なるのではありませんか？
(ピンと来なければ，黒_1,黒_2,白_1,白_2をそれぞれa,b,c,dという文字に置き換えて考えてみてください)

No.42018 - 2017/02/16(Thu) 17:50:19

★ (No Subject) / 義稙

これは合ってますでしょうか？

No.42000 - 2017/02/15(Wed) 16:20:49

☆ Re: / noname

特に問題ないと思います．ただ，?@の式を導出する前に「ベクトルの内分公式より」とか「P,Q,Rのとり方より」などと一言添えるとよいかもしれません．また，答案の最後の行において「よって，|↑OA|＝|↑OB|＝|↑OC|となり，正三角形PQRの外心Oは三角形ABCの外心である．したがって，題意を示すことが出来た．」などと書くとよいでしょう．

No.42001 - 2017/02/15(Wed) 17:11:56

☆ Re: / 義稙

ありがとうございます。
ご指摘くださった部分は直したいとおもいます。

この問題の別解でもっと分かりやすそうなものはないでしょうか？

No.42002 - 2017/02/15(Wed) 17:24:50

☆ Re: / angel

このようなベクトルの解が簡潔で良いと思います。

他には余弦定理から△ABCが正三角形であることを示して…というのもありますが、計算自体はそれほど難しくなくとも、ちょっと長くなります。

ただ、?@の次で ( 位置ベクトルをa,b,c,p,q,rで書いたとして )

　p=1/3・a+2/3・b
　q=1/3・b+2/3・c
　r=1/3・c+2/3・a
→
　p-2q+4r=3a
　q-2r+4p=3b
　r-2p+4q=3c

と、敢えて p+q+r=0 を使わずに対称性を保ったまま変形して、

　|p|^2=|q|^2=|r|^2=α
　p・q=q・r=r・p=β　　※β=α/2 だけど敢えて使わなくて良い

とおけるところから

　9|a|^2=9|b|^2=9|c|^2=21α-12β

とするのがすっきり書けて好みです。

No.42007 - 2017/02/16(Thu) 00:33:11

☆ Re: / 義稙

なるほど！
とてもスッキリしてますね！
ありがとうございます。

No.42020 - 2017/02/16(Thu) 19:47:56

★ これを解いていただきたい。 / まくすうぇる

確率が苦手で途中まではいけたのですが、条件付き確率からさっぱりわかんなくなりました

No.41997 - 2017/02/15(Wed) 16:18:20

☆ Re: これを解いていただきたい。 / まくすうぇる

お願いします

No.41998 - 2017/02/15(Wed) 16:19:22

☆ Re: これを解いていただきたい。 / まくすうぇる

サイコロを投げるという施行を繰り返し、次のルールに従って持ち点を加える。
これが一番上の文章です。途切れてました。すみまへん

No.41999 - 2017/02/15(Wed) 16:20:47

☆ Re: これを解いていただきたい。 / noname

事象A_[n]が起こった時に事象A_[n+1]が起こる条件付き確率とは「a_[n]を3で割った時の余りが1の時にa_[n+1]は3の倍数ではなく尚且つa_[n+2]を3で割った時の余りが1である確率」のことです．この確率は「a_[1]を3で割った時の余りが1の時にa_[2]が3の倍数ではなく尚且つa_[3]を3で割った時の余りが1である確率」に等しいです．このことに注意して一度考えてみてください．

※(4)は漸化式を求めさせる問題，(5)はその漸化式より確率の列{P(A_[n])}の一般項の式を求めさせる問題という感じでしょうか．

No.42003 - 2017/02/15(Wed) 17:48:02

☆ Re: これを解いていただきたい。 / まくすうぇる

全部書き出して調べて大体2/9だろうという予想は立ったんですけど、式でどうすればよいかわからないです。。すみません本当にお手数かけます。

No.42006 - 2017/02/15(Wed) 22:33:43

☆ Re: これを解いていただきたい。 / angel

まず1つには、「条件付き確率」という言葉を難しく考えすぎないこと、もう1つは、重要なのは「漸化式」これは、ある状況から次の状況への変化・差分だけを意識すること ( 先頭からの出目全てを気にする必要はないということ ) です。

(3)の「条件付き確率」が何を聞いているかと言うと、

　* ある時、それまでを振り返ると a の値で3の倍数だったものがなく、最新の a の値が3で割って1余る数だった
　* 2回後の時点で、
　　* やはり a に3の倍数が1度も現れず
　　* 2回後の a も3で割って 1 余る

　このような「ある時点からの2回分の」出目は何が考えられるか…? ということです。あくまで2回分だけです。
　答えを計算するのに式を立てることもできますが、たてられなくても構いません。要は、全部の可能性を過不足なく挙げて数えられれば良いのです。

(4)は(3)の延長に過ぎません。
(3)の答えは確かに 2/9 なので、そのまま P(A[n+2])=2/9・P(A[n]) です。

(5)(4)が分かった時点で、

　P(A[4])=2/9・P(A[2]), P(A[6])=2/9・P(A[4]), P(A[8])=2/9・P(A[6]), …
　P(A[3])=2/9・P(A[1]), P(A[5])=2/9・P(A[3]), P(A[7])=2/9・P(A[5]), …

と、偶数/奇数番目の項でそれぞれ規則性が分かりますので、場合分けして求めます。
※まとめて1つの式に表すことも可能ですが、そこまでする必要はないです。

No.42008 - 2017/02/16(Thu) 01:56:30

☆ Re: これを解いていただきたい。 / noname

総括ですが，各nに対してa_[n]を3で割った時の余りをb_[n]とすれば，事象A_[n]とは次の事象

B_[n]：b_[1],b_[2],...,b_[n-1]はどれも0ではなく，尚且つb_[n]＝1である．

に他なりません．また，

・b_[k]＝0の時，b_[k+1]＝1,2である
・b_[k]＝1の時，b_[k+1]＝2,0である
・b_[k]＝2の時，b_[k+1]＝0,1である

ということに注意すると，事象B_[n]が起こるためには

・b_[1]＝1,b_[2]＝2,...,b_[n-2]＝1,b_[n-1]＝2,b_[n]＝1
(各b_[k]の値の変わり方は0→1→2→…→1→2→1の様になる)
・b_[1]＝2,b_[2]＝1,...,b_[n-1]＝2,b_[n]＝1
(各b_[k]の値の変わり方は0→2→1→…→2→1の様になる)

のいずれかのパターンである必要があるため，

・nが奇数の時，P(A_[n])＝1/3・(1/3・2/3)^{(n+1)/2-1}＝1/3・(2/9)^{(n-1)/2}である
・nが偶数の時，P(A_[n])＝2/3・(2/3・1/3)^{n/2-1}・2/3＝4/9・(2/9)^{n/2-1}＝2・(2/9)^{n/2}である

の様にP(A_[n])を求めることが出来ます．本問の作成者は解答者に対して漸化式を使ってP(A_[n])を求めさせようとしている様ですが，個人的にはb[n]の値の変わり方の規則を見つけてP(A_[n])を計算した方が寧ろ解き易いのではないかと思います．

No.42009 - 2017/02/16(Thu) 02:56:59

★ (No Subject) / 〆

不定方程式でユークリッドの互除法を使い続けると、最後には余りが1になる事、は、必ず常に成り立つのでしょうか？

No.41988 - 2017/02/15(Wed) 00:10:34

☆ Re: / ヨッシー

１）１３ｘ＋１５ｙ＝１
２）１２ｘ＋２３ｙ＝０
３）２４ｘ＋１６ｙ＝８
４）１２ｘ＋６ｙ＝５
これらをどう考えますか？

No.41992 - 2017/02/15(Wed) 07:26:26

☆ Re: / 〆

すいません…よくよく考えたら、係数が互いに素同士の不定方程式で互除法を使えば、最終的に最大公約数1が余る、と理解できました…デスが、そもそもの話、なぜ互除法では、有限回で最終的に必ず最大公約数が出るのかという事に疑問を感じ始めたのですが、考え方を教えて頂けませんでしょうか…

No.41993 - 2017/02/15(Wed) 08:59:25

☆ Re: / ヨッシー

それは、本当にそもそもの話なので、こちらやこちらを読まれるのが良いでしょう。
　

No.41994 - 2017/02/15(Wed) 14:07:49

★ 比例式？ / ロク

何度もすみません
比例？式を使った問題ですがこれでいいのかわかりません
チェックよろしくお願いします

?@第32回夏季オリンピックが西暦2020年に東京で行われることに決まりました。オリンピックは４年ごとに開催されるものとすると、第x回夏季オリンピックは西暦y年に行われます。(ただしxは33以上の自然数とします)第100回の夏季オリンピックはいつおこなわれるか求めなさい。

全然違うかもしれませんがy=axの公式を使ってxの増加量yの増加量を求めるとして...
y=4x+2000
xが100のときyは400なので

答えは　2400年　

?A山が100mの高度を増すごとに気温は0.6度づつ下がります
地上(高度0m)の温度を30度のとき、高度xmの気温をy度とします

?@yをxの式で表しなさい
答え　y＝30-(0.6x/100)　

?A山を3800mとしたとき、山頂の気温を求めなさい
答え　7.2度

No.41972 - 2017/02/14(Tue) 19:19:18

☆ Re: 比例式？ / X

(1)
西暦2000年ではなくて2020年を基準に考えます。
すると
y=4(x-32)+2020
よって…

(2)
(1)
式の立て方は正しいですが整理が足りません。
最低でも分子に小数が出ないように通分しましょう。
(2)
正解です。

No.41974 - 2017/02/14(Tue) 19:42:28

☆ Re: 比例式？ / ロク

ありがとうございます！

> (1)
> 西暦2000年ではなくて2020年を基準に考えます。
> すると
> y=4(x-32)+2020
> よって…　

2292年でいいでしょうか？
その公式がどうしてそうなるのかがわかりません

>
> (2)
> (1)
> 式の立て方は正しいですが整理が足りません。
> 最低でも分子に小数が出ないように通分しましょう。

y＝30-(3x/500)
小数点を消すのはこれで合ってますか？

No.41979 - 2017/02/14(Tue) 20:45:48

☆ Re: 比例式？ / X

＞＞2292年でいいでしょうか？
こちらの計算でも同じになりました。

＞＞その公式がどうしてそうなるのかがわかりません
第x回夏季オリンピックが第32回を0回目として
X回目の夏季オリンピックであるとすると
X=x-32 (A)
一方
y=4X+2020 (B)
(A)(B)より
y=4(x-32)+2020
となります。

＞＞小数点を消すのはこれで合ってますか？
それで問題ありません。

No.41982 - 2017/02/14(Tue) 20:55:39

☆ Re: 比例式？ / ロク

なるほど！すっきりしました
ありがとうございます
またよろしくお願いします

No.41986 - 2017/02/14(Tue) 23:03:37

★ これといていただけませんか？ / まくすうぇる

どうとけば良いのかわからなくて困っています。
教えていただけると助かります

No.41971 - 2017/02/14(Tue) 18:57:25

☆ Re: これといていただけませんか？ / X

見易くするため、双曲線関数である
tanhx(=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)))
を使っています。
学習されていなければ、元の式である
(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x))
に読み替えて以下の回答をご覧下さい。
又、正攻法でガリガリ解いているだけですので
もっと簡単な方法があるかもしれません。

Cと辺QRとの接点をT(X,-(e^X+e^(-X))/2)
とします。
Cの方程式から
y'=-(e^x-e^(-x))/2
∴直線QRの方程式は
y={-(e^X-e^(-X))/2}(x-X)-(e^X+e^(-X))/2 (A)
一方
MT=∫[0→X]√{1+{-(e^x-e^(-x))/2}^2}dx
=(1/2)∫[0→X](e^x+e^(-x))dx
=(1/2)(e^X-e^(-X)) (B)
(A)より
M(t,{-(e^X-e^(-X))/2}(t-X)-(e^X+e^(-X))/2)
と置くことができますので(B)により
(t-X)^2+{{-(e^X-e^(-X))/2}(t-X)-(e^X+e^(-X))/2)+(e^X+e^(-X))/2}^2
=(1/4)(e^X-e^(-X))^2 (C)
t≦Xに注意して(C)を解くと
t=X-tanhX
∴M(X-tanhX,-2/(e^X+e^(-X)))
よって直線PMの方程式は
y=(x-(X-tanhX))/{(e^X-e^(-X))/2}-2/(e^X+e^(-X))
となるので
P(u,(u-(X-tanhX))/{(e^X-e^(-X))/2}-2/(e^X+e^(-X)))
(X-tanhX≦u (D))
と置くことができます。
よってPMの長さについて
(u-(X-tanhX))^2
+{(u-(X-tanhX))/{(e^X-e^(-X))/2}-2/(e^X+e^(-X))+2/(e^X+e^(-X))}^2
=(3/4)a^2 (E)
(D)に注意して(E)をuの方程式として解くと
u=(X-tanhX)+{(a√3)/2}tanhX
よってPのy座標をYとすると
Y={{(a√3)/2}tanhX}/{(e^X-e^(-X))/2}-2/(e^X+e^(-X))
=(a√3-2)/(e^X+e^(-X))
これがXの値によらない定数になるので
a√3-2=0
∴a=2/√3

No.41977 - 2017/02/14(Tue) 20:24:50

★ 確率 / 受験者

答え教えてください。

ちなみに自分の答えは3/28 15/28 になりました

No.41970 - 2017/02/14(Tue) 17:30:54

☆ Re: 確率 / IT

合っていると思いますが、考え方が大切です。どうやって求めましたか？

No.41973 - 2017/02/14(Tue) 19:40:11

☆ Re: 確率 / 受験者

すべての場合の数が 8C3 ✖ 8C2 でだして、それを分母にします。

(1)は分母は👆のやつで、分子は 8C3 ✖3C2 で 3/28 です！

(2)は 1つも一致しない場合の数を 8C3✖5C2 でだして、
余事象を考え、(1)の答えと1つも一致しないものを1から引きます。
1 － (3/28 ➕ 10/28) ＝ 15/28 です！

No.41975 - 2017/02/14(Tue) 19:56:09

☆ Re: 確率 / IT

考え方もそれでいいと思います。

（別解）Aの組の取り出し方の数は計算しません。

(1)Bの組から２枚を取り出す組み合わせは、8C2=28とおり
そのうちAの組から取り出した3枚のうちの2枚と一致するのは3C2=3とおり
よって求める確率は3/28

(2)Bの組から２枚を取り出す組み合わせは、8C2=28とおり
そのうち１枚がAの組から取り出したある1枚と一致し
残りの１枚はAの組から取り出したものと一致しないのは
一致する１枚は３とおり
残りの１枚は8-3＝5とおり
よって求める確率は(5×3)/28=15/28

No.41981 - 2017/02/14(Tue) 20:52:57

☆ Re: 確率 / 受験者

別解までわざわざありがとうございます！！

No.41984 - 2017/02/14(Tue) 21:44:11