双曲線x²/9-y²/4=1をHとし、Hのx＞0の部分をH₁、Hのx＜0の部分をH₂とする。また、lを点(2，0)を通る傾きmの直線とする。
(1)直線lがHと共有点を2個持つようなmの範囲を求めよ。
(2)直線lがH₁とH₂の両方と共有点を持つようなmの範囲を求めよ。
(3)(2)のとき、直線lとH₁の共有点をP₁とし、lとH₂の共有点をP₂とする。このとき、線分P₁P₂の中点Mは、ある2次曲線Cの上を動く。Cの方程式を求めよ。
(4)(3)で求めた2次曲線Cの焦点の座標を求めよ。
長くてすみません。
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No.41934 - 2017/02/13(Mon) 00:06:55
| ☆ Re: 2次曲線⚠わからなくて困ってます。至急お願いします！！ / X | | | (1)
条件からlの方程式は
y=m(x-2) (A)
∴lとHの共有点のx座標について
(1/9)x^2-(1/4){m(x-2)}^2=1
これより
4x^2-9{m(x-2)}^2=36
(4-9m^2)x^2+(36m^2)x-36m^2-1=0 (B)
題意を満たすためには
(B)がxの二次方程式であり、
かつ
(B)が異なる二つの実数解を持つ
という条件を満たせばよいので、
まず(B)のx^2の係数について
4-9m^2≠0 (C)
次に(B)の解の判別式をDとすると
D/4=(18m^2)^2+(4-9m^2)(36m^2+1)＞0 (D)
(C)(D)を連立して解きます。
((D)はまずm^2についての二次不等式として
解きましょう。)
(2)
題意を満たすためには
(B)がxの二次方程式であり、
かつ
(B)が正と負の実数解を持てばよい
ので、まず解と係数の関係から
-(36m^2+1)/(4-9m^2)＜0 (E)
(C)(E)とを連立して解きます。
(3)
P[2](α,m(α-2)),P[1](β,m(β-2))
と置くと、α,βは(C)の解ですので
解と係数の関係から
α+β=-(36m^2)/(4-9m^2) (F)
又、M(X,Y)とすると
X=(α+β)/2 (G)
Y={m(α-2)+m(β-2)}/2
=(m/2)(α+β)-2m (H)
(F)(G)(H)からα,β,mを消去します。
まず(G)(H)から
Y=m(X-2) (H)'
次に(F)(G)から
X=-(18m^2)/(4-9m^2) (F)'
(F)'(G)'からmを消去します。
但し、(2)の結果と(F)'からXの値の範囲を
求めることを忘れないようにしましょう。
こちらの計算では双曲線の方程式が得られました。
(但しXに関する平方完成が必要になります。)
(4)
(3)の結果と双曲線の定義式による焦点の座標を使います。
但し、(3)の結果は双曲線の標準的な定義式のグラフを
x軸方向に平行移動してできる曲線の方程式の形に
なっていますので注意しましょう。
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No.41936 - 2017/02/13(Mon) 08:14:05 |
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