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★ 対数のテイラー展開 / MaMa
ln(x)=ln(a)+ln(1+((x-a)/a))=ln(a)+Σ_{k=1..∞}(-1)^k((x-a)/a)^k/k
=ln(a)+Σ_{k=1..∞}(-1)^k((x-a)/a)^k/k
=ln(a)+Σ_{k=1..∞}(-1)^k(ka^k/k)(x-a)^k

lim_{n→+∞}[a^{k+1}/(1+k)]/[a^k/k]
=lim_{n→+∞} k/(k+1) a^{k+1}/a^k
=a
なので

ln(x)のaを中心とする収束半径は1/a

で正しいですか?
No.41919 - 2017/02/12(Sun) 07:14:06
★ (No Subject) / かつ
∫(1/sinxcosx)dxと∫√（x^2-a^2)dxの計算過程を教えてください。（思いつきにくくても）一番計算が少ないやり方がいいです

よろしくおねがいします
No.41916 - 2017/02/11(Sat) 18:28:03
☆ Re: / IT
∫1/(sinxcosx)dx=∫((cosx/sinx)+(sinx/cosx))dx
=∫((sinx)'/sinx)-(cosx)'/cosx))dx
= log|sinx|-log|cosx|+c です。

もちろんcosecx
tanx,cotanxの原始関数を既知とするとより簡単になります。

∫√（x^2-a^2)dx は結構面倒です。　検索するといくつかの方法が出てきます。
No.41917 - 2017/02/11(Sat) 18:42:15
☆ Re: / かつ
回答ありがとうございます

cosecx
tanx,cotanxの原始関数を既知としたときどう簡単になるのか教えてください

1/(sinxcosx)=(cosx/sinx)+(sinx/cosx)
の変形について右辺から左辺は分かりますが、
どういう計算で左辺から右辺に持っていけばいいのでしょうか
よろしくおねがいします
No.41930 - 2017/02/12(Sun) 17:55:03
☆ Re: / IT
>cosecxの原始関数を既知としたときどう簡単になるのか教えてください
∫1/(sinxcosx)dx=∫2/(sin2x)dx から　計算できます。
やってみてください。

>tanx,cotanxの原始関数を既知としたときどう簡単になるのか教えてください

∫((cosx/sinx)+(sinx/cosx))dx から直接計算できます。


> 1/(sinxcosx)=(cosx/sinx)+(sinx/cosx)
> の変形について右辺から左辺は分かりますが、
> どういう計算で左辺から右辺に持っていけばいいのでしょうか
1/(sinxcosx)=((cosx)^2+(sinx)^2)/(sinxcosx)=(cosx/sinx)+(sinx/cosx)

>(思いつきにくくても）一番計算が少ないやり方がいい
ということなので、そうしました。
No.41932 - 2017/02/12(Sun) 18:26:17
★ 指数関数と接線 / gl
添付した問題の(1)なのですが、どうも答えと数値があいません。どこから間違っているのかご指摘いただけませか。
No.41912 - 2017/02/11(Sat) 15:35:24
☆ Re: 指数関数と接線 / gl
答えはs＝1-(log_a/(a-1))です。
No.41913 - 2017/02/11(Sat) 15:37:24
☆ Re: 指数関数と接線 / noname
?@の式の右辺はae^{at}，?Aの式の右辺は(1-at)e^{at}となる筈です．一度ご確認ください．
No.41914 - 2017/02/11(Sat) 16:08:12
☆ Re: 指数関数と接線 / gl
そうでした。
ありがとうございます！
No.41915 - 2017/02/11(Sat) 17:30:22
★ (No Subject) / さき
(0→π)∫√(5−4cosx)dxはどのように計算しますか？ お願いします！
No.41908 - 2017/02/11(Sat) 12:49:20
★ ベクトル 球面の方程式 / 納豆菌
次の球面の方程式を求めよ。
(1)xy平面との交わりが、円(x-3)^2+(y+5)^2=77、z=0であって、xz平面との交わりが面積56πの円である。
(2)平面x=5との交わりが、円(y-7)^2+(z+6)^2=120、x=5であって、かつ平面x=-5に接する。
これらの問題で悩んでしまっています。解き方、考え方を教えていただきたいです、お願いします。
No.41904 - 2017/02/11(Sat) 10:58:40
☆ Re: ベクトル 球面の方程式 / angel
添付の図のような、
　・球の半径 R
　・球の中心-断面の距離 h ( 球の中心-断面の円の中心間の距離と同じ )
　・断面の円の半径 r
の関係を意識し、球の中心・距離の関係を整理します。

例えば (1)

　xy平面との交わりが、円(x-3)^2+(y+5)^2=77,z=0

球の中心は、円の中心(3,-5,0)から、xy平面に垂直に立った (
要はz軸に平行な ) 直線上にあります。
ということは、球の中心は文字 a を使って (3,-5,a) と置けます。同時に、球の中心-円の中心間の距離は |a| です。

そうすると、球の中心 R に対して、
　a^2+(√77)^2=R^2
という関係が成り立ちます。

(2)の「接する」はやや違うように見えるかも知れませんが、「断面が半径0の円」と考えれば、計算としては同じになります。
No.41905 - 2017/02/11(Sat) 11:31:06
★ 三平方の定理 / 中３生
図形をからめた問題が苦手です。（１）（２）解りません。解説お願いします。
No.41899 - 2017/02/11(Sat) 08:19:00
☆ Re: 三平方の定理 / IT
まずは　直角のところに　マーク（□）を付けましょう。
　
No.41901 - 2017/02/11(Sat) 08:42:59
☆ Re: 三平方の定理 / noname
(1)については，∠BAC＝∠CAD＝∠DABより，四面体ABCDの底面を直角三角形ABDとするとこの底面に対する高さは線分ACの長さとなります．このことをヒントに四面体の体積を計算してみましょう．


一方，(2)については求める高さをHとすれば，

((1)の結果の値)＝1/3・(三角形BCDの面積)・H

という式を立てることが出来ます．これを使ってHの値を求めてみましょう．
No.41906 - 2017/02/11(Sat) 11:44:35
★ 高1 / 計算の仕方がわかりません
1/9(x-1/6)-1/12=……
から
(x-1/6-1/3){…
までの式の変形がよくわかりません。
省略しないで詳しく式変形してくれますか？よろしくお願いします。
No.41898 - 2017/02/11(Sat) 07:41:26
☆ Re: 高1 / IT
t=(x-1/6)とおきます。

1/(9t)-(1/12)=(3/2)t^2+(1/12)
移項して(3/2)t^2+(1/6)-1/(9t)=0
tを掛けて(3/2)t^3+(1/6)t-1/9=0
(2/3)を掛けて　t^3+(1/9)t-2/27=0
t=1/3 を解に持つので　(t-(1/3))(t^2+(1/3)t+2/9)=0
No.41900 - 2017/02/11(Sat) 08:29:18
☆ Re: 高1 / 計算の仕方がわかりません
これってもしかして組立除法やるのですか？
t=1/3を解にもつので、っていうのはそういうことでしょうか。
No.41902 - 2017/02/11(Sat) 08:43:55
☆ Re: 高1 / 計算の仕方がわかりません
よくわかりました。ありがとうございます！
No.41903 - 2017/02/11(Sat) 08:53:37
★ (No Subject) / 〆
参考書の完全数に関する途中式において、疑問に感じたところがあったので質問させて頂きます。
2以上の自然数nについて、nを除くnの正の約数の和を。S(n)とする時、S(r²s)=r²s を満たす素数 r , s (r<s)を求めよ。
という問で、計算していくと、途中で、r²+r+1=s(r²-r-1) という式が出るかと思われますが、この次の作業で、参考書では、
s=3と断定して、r²+r+1≧3(r²-r-1) という不等式を作成しているのですが、なぜこの様に断定した上でこの不等式を作れるのかに疑問を感じています…
No.41896 - 2017/02/11(Sat) 05:35:16
☆ Re: / IT
> 途中で、r^2+r+1=s(r^2-r-1) という式が出るかと思われますが、この次の作業で、参考書では、
s=3と断定して、

s＝３と断定ではなくs≧3と断定では？（これは当然ですね）

あるいは、条件の記入が不足していませんか、該当の箇所をそのまま書き込んでください。
r=2,s=7 はr^2+r+1=s(r^2-r-1) を満たします。
No.41897 - 2017/02/11(Sat) 06:11:37
☆ Re: / 〆
確かに、s≧3 となっておりました…条件？は、一応全て記入しております…解も最終的には、r=2 , s=7 でした、が…やはり1つ、単純そうだけども疑問に思う箇所があります…
r²+r+1=s(r²-r-1) (s≧3) で、ここでなぜわざわざs＝3を代入するのか…別に5でも良くないか？という素朴な疑問が消えません…
No.41907 - 2017/02/11(Sat) 12:37:08
☆ Re: / IT
> r²+r+1=s(r²-r-1) (s≧3) で、ここでなぜわざわざs＝3を代入するのか…別に5でも良くないか？という素朴な疑問が消えません…
「わざわざ」という意味が不明です。
それなら、なぜ5なのですか？別に10でも良くないか？　ということになります。あなたが考える答案をすべて書いてみてください。

s,rは素数で　s>r だからs≧3です。
No.41909 - 2017/02/11(Sat) 12:50:07
☆ Re: / 〆
自分で答案は出す事は、まだできておりません……ただ、参考書にて解説も無しにイキナリ3を代入されて困惑している状況です……色々と考えて、r²+r+1=s(r²-r-1) → (r<s) なので、sをrと置換し、
r²+r+1＞r(r²-r-1) などとする事なども考えては見ましたが、上手くいきません…
両文字とも素数なので、(2≦r<s)よって(s≧3) というのは理解できます…
No.41910 - 2017/02/11(Sat) 13:02:10
☆ Re: / IT
> ただ、参考書にて解説も無しにイキナリ3を代入されて困惑している状況です

「イキナリ3を代入」の状況が不明です。
前後の数行を含めて参考書の答案をそのまま書いてもらえますか？
（出典はなんですか？）
No.41911 - 2017/02/11(Sat) 14:19:43
☆ Re: / noname
色々と混乱されている様ですね．

>r²+r+1=s(r²-r-1) (s≧3) で、ここでなぜわざわざs＝3を代入するのか

この解釈はあまりよろしくないかもしれません．確かに，s＝3を代入して得られる等式r^2+r+1＝3(r^2-r-1)より不等式r^2+r+1≧3(r^2-r-1)を導出することは「等号付きの不等号の記号の意味を考えれば論理的には正しい」ですが，実際には「s≧3なのだから不等式r^2+r+1≧3(r^2-r-1)が導かれる」と答えた方が筋がよいです．おそらく，解説で行われていることは次の様なことかと思われます．

[解説での該当箇所に関して]
rは素数であるからr≧2であり，sはr＜sを満たす素数であるからs≧3である．ここで，r≧2より

r^2-r-1＝r(r-1)-1≧2・1-1＝1＞0

であることに注意すると，s(r^2-r-1)≧3(r^2-r-1)である．このこととr^2+r+1＝s(r^2-r-1)よりr^2+r+1≧3(r^2-r-1)である．
No.41921 - 2017/02/12(Sun) 13:09:17
☆ Re: / noname
先程の回答において

>この解釈はあまりよろしくないかもしれません．

と述べたのは「s＝3を等式に代入したら別の等式が得られるが，あえてその等式の等号記号を等号付き不等号の記号に書きかえて不等式を導出する意図が分からない．等式なのだから等式として扱った方がよいのではないか？」という疑問を抱いたからです．
No.41922 - 2017/02/12(Sun) 13:15:34
★ 中３数学 / 長内中３生
（３）の面積の求め方が解りません。解説よろしくお願いします。答えは3/5㎠です。
No.41879 - 2017/02/10(Fri) 15:53:39
☆ Re: 中３数学 / ヨッシー
(1)
△ＢＣＤにおける三平方の定理より求めます。

(2)
四角形ＡＢＣＤは円に内接することに気付きます。
ＢＤはその直径で、∠ＢＡＤ＝90°とわかります。
△ＡＢＤにおける三平方の定理と(1) の結果からＡＢの長さがわかります。
　△ＥＡＢ∽△ＥＤＣ　（相似比は ＡＢ：ＤＣ）
　△ＥＢＣ∽△ＥＡＤ　（相似比は ＢＣ：ＡＤ）
から、面積比を求めます。

(3)
　ＢＥ：ＡＥ＝ＢＣ：ＡＤ　（既知）
　ＡＥ：ＤＥ＝ＡＢ：ＤＣ　（既知）
より、
　ＢＥ：ＤＥ
が求められます。
△ＡＢＤは直角三角形なので、面積はすぐに求められ、
それを、ＢＥ：ＥＤ に分けた内のＢＥ側が、△ＥＡＢとなります。
No.41881 - 2017/02/10(Fri) 16:10:14
☆ Re: 中３数学 / 長内中３生
（３）何となく解りました。比を使って解くのですね。別解があったら教えてください。ありがとうございました。
No.41883 - 2017/02/10(Fri) 16:54:27
★ 平面ベクトル / 前進
おそらく前の投稿とかぶってしまうところがあると思いますが、↑a...?@と|↑a|...?Aの違い分かりません。仮に画像のベクトルを
↑aとすると?@も?Aもどちらも５という大きさを持っています。?@が方向と大きさで?Aが大きさだけで↑a=(3,4)すなわちx,y軸に平行な基本ベクトルをそれぞれe1,e2とすると
　　
↑a=3e1+4e2 つまり↑a=↑b+↑cのように合成で成分表示は表せます。ここまではわかるのですが、
　
もしも|↑a|=5とすると向きは別にどうでもいいので、画像のように逆ベクトルも含まれてしまうというこでしょうか？

　それと成分表示されて白紙の用紙に書かれたとあるベクトルdは確かに?@と?Aの共通点でもある大きさがないので、違いが明確になるというこでしょうか？

　要領を得ない長い質問になりましたがよろしくお願い致します
No.41875 - 2017/02/10(Fri) 12:22:09
☆ Re: 平面ベクトル / ヨッシー

この理屈はわかりますか？

逆ベクトル（とは普通言わなくて、向きが反対のベクトル）だけでなく、
|ａ|＝５となるベクトルは無数にあります。
No.41882 - 2017/02/10(Fri) 16:26:04
☆ Re: 平面ベクトル / angel
時期的にお読みではないかも知れませんが…
No.41769 ( http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=41769 ) の最新の回答で書いたようなことには、取り敢えず注意された方が良いかと。
No.41885 - 2017/02/10(Fri) 18:10:33
☆ Re: 平面ベクトル / 前進
//この理屈はわかりますか？

はい理解できました。
ありがとうございます
No.41887 - 2017/02/10(Fri) 23:29:24
☆ Re: 平面ベクトル / 前進
//時期的にお読みではないかも知れませんが…

一応読んだのですが、難しくて、回答に対する質問というのは新しいところを作って質問したほうがよろしいでしょうか？

それとも続きで投稿したほうがよろしいでしょうか？
No.41888 - 2017/02/10(Fri) 23:32:17
☆ Re: 平面ベクトル / angel
> 一応読んだのですが、難しくて、回答に対する質問というのは新しいところを作って質問したほうがよろしいでしょうか？
> それとも続きで投稿したほうがよろしいでしょうか？

それはお任せします…と言いたい所ですが、流石に元の場所に続けられても気付かないので、何かあれば新しくどうぞ。

が、まずは、今手をつけられている問題等々と併せてじっくり考えられた方が良いかと思います。
※抽象度が一段階あがった概念で、しかも今までの計算と似ているけれど別物、別物だけど似ている、ということで、混乱を招くのは確か
No.41891 - 2017/02/10(Fri) 23:47:03
☆ Re: 平面ベクトル / 前進
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=41769 )
労力を無駄にするわけにはいきませんので、コピペしてとってあります。
No.41892 - 2017/02/10(Fri) 23:49:28
☆ Re: 平面ベクトル / 前進
*/流石に元の場所に続けられても気付かないので、何かあれば新しくどうぞ。

まずは、今手をつけられている問題等々と併せてじっくり考えられた方が良いかと思います。
※抽象度が一段階あがった概念で、しかも今までの計算と似ているけれど別物、別物だけど似ている、ということで、混乱を招くのは確か

/*

分かりました。そうさせていただきます
No.41893 - 2017/02/10(Fri) 23:52:37
☆ Re: 平面ベクトル / 前進
あの時よりは理解は深まりましたが、じっくり考えさせていただきます。
　本来はお金を払わなければいけないレベルですので...せめてコピペや対応をはやくさせていただいております。
No.41894 - 2017/02/10(Fri) 23:57:59
★ ベクトル方程式　 / 前進
↑p=↑at+(1-t)↑bではおかしいでしょうか？
3:2≠2:3のように
よろしくお願いいたします
No.41872 - 2017/02/10(Fri) 11:55:51
☆ Re: ベクトル方程式　 / 前進
最後です
No.41873 - 2017/02/10(Fri) 11:57:29
☆ Re: ベクトル方程式　 / 前進
顔が出て、幽霊のようになってしまい、不快感を与えてしまう可能性があり、削除したいのですが、できないので、次回以降パスワードやプレビューなどを使って、編集や削除ができるように気を付けたいと思います。今回は申し訳ありません。
No.41874 - 2017/02/10(Fri) 12:06:02
☆ Re: ベクトル方程式　 / ヨッシー
おかしくありません。
ｐ＝0.3ａ＋0.7ｂ
を表すのに、
ｐ＝(1-t)ａ＋ｔｂ
では、t＝0.7 を、
ｐ＝tａ＋(1-t)ｂ
では、t＝0.3 を、代入するだけのことです。
No.41878 - 2017/02/10(Fri) 15:48:06
☆ Re: ベクトル方程式　 / ヨッシー
画面はパソコンですよね？
画面キャプチャ（PrintScreen）を使えばどうでしょうか？

Windows であれば、Snipping Tool（画面の好きな部分が切り取れる）が使えます。
No.41880 - 2017/02/10(Fri) 15:56:41
☆ Re: ベクトル方程式　 / 前進
//画面はパソコンですよね？

はい
次回以降PrintScreen、Snipping Toolに挑戦してみますが多少の失敗は大目にお願いいたします。
No.41889 - 2017/02/10(Fri) 23:44:11
☆ Re: ベクトル方程式　 / 前進
いろいろな方法を教えていただきありがとうございます
No.41890 - 2017/02/10(Fri) 23:45:12
☆ Re: ベクトル方程式　 / 前進
//ｐ＝0.3ａ＋0.7ｂについて

なるほどありがとうございました。
No.41895 - 2017/02/11(Sat) 00:17:23
★ 空間ベクトル / 前進
なぜ３Ｄになるとx軸をたてにy軸を横にとるのでしょうか？今まで平面で考えていた時はx軸を横にy軸をたてにとっていました。
よろしくお願いいたします
No.41871 - 2017/02/10(Fri) 11:50:34
☆ Re: 空間ベクトル / ヨッシー

こういうのも普通に描きますよ。
こちらは、今まで慣れ親しんだ２Ｄでのｘｙ平面がイメージしやすい利点があります。

一方、ｘ軸を手前方向に向ける描き方は、ｘ，ｙ，ｚ全てが
正の場合（図を描く場合これが一番多い）の点が手前に来るので、描きやすいという利点があります。
No.41877 - 2017/02/10(Fri) 15:41:11
☆ Re: 空間ベクトル / 前進
分かりました。ありがとうございました。
No.41886 - 2017/02/10(Fri) 23:26:37
★ 等号の成立の条件について　 / 前進
//ベクトルは今勉強中です

?@5^2=3^2+4^2という式があって、これを?A5=√3^2+4^2ととするとき?Aを?@に戻すときに両辺をそれぞれの辺で累乗しますがそれはなぜでしょうか？等号の基本性質は両辺と同じものを+-×÷しかできないのになぜ左辺に×５をして左辺に√3^2+4^2をかけるのでしょうか？両辺に√3^2+4^2や５をかければよくないですか？ベクトル学習中に疑問に思ったのでよろしくお願いいたします
No.41863 - 2017/02/09(Thu) 21:26:31
☆ Re: 等号の成立の条件について　 / angel
a=b という式があったならば、
　a×a=b×a, a×b=b×b
は、同じものをかけるということでもちろん正しいですが、

やはり「同じもの」である a,b をかけて
　a×a=b×b
としても良いわけです。だって、a,b は ( 見た目の文字が違えど ) 同じモノなんですから。

なので、5=√(3^2+4^2) という式があれば 5×5=√(3^2+4^2)×√(3^2+4^2) つまり 5^2=( √(3^2+4^2) )^2 として良いのです。
No.41865 - 2017/02/09(Thu) 21:38:25
☆ Re: 等号の成立の条件について　 / noname
>等号の基本性質は両辺と同じものを+-×÷しかできないのになぜ左辺に×５をして左辺に√3^2+4^2をかけるのでしょうか？


5＝√(3^2+4^2)の時，

5・5＝5・√(3^2+4^2),5・√(3^2+4^2)＝√(3^2+4^2)・√(3^2+4^2)

であり，これらを用いると

5^2＝5・5＝√(3^2+4^2)・5＝√(3^2+4^2)・√(3^2+4^2)＝(√(3^2+4^2))^2＝3^2+4^2

が成立し，ゆえに，5^2＝3^2+4^2が成り立ちます．この様な式変形を行う際に「等式5＝√(3^2+4^2)の両辺を2乗すると5^2＝(√(3^2+4^2))^2＝3^2+4^2である」などと述べるのです．
No.41867 - 2017/02/09(Thu) 21:43:59
☆ Re: 等号の成立の条件について　 / 前進
angelさん nonameさん
　わかりやすい説明をありがとうございました。
No.41868 - 2017/02/09(Thu) 22:22:06
★ 三角関数を含む方程式 / え
2番のシス、ソ、セがわかりません。サは2個と出しましたが…
出来れば1番は問題の下のメモ書きの答えであるか確認してくれると尚更有り難いです。
No.41859 - 2017/02/09(Thu) 20:43:47
☆ Re: 三角関数を含む方程式 / X
サが求められているのであれば、その二つの
解のうち、鋭角であるものの値も求められて
いるはずです。
そのθの値を(*)に代入して、解の公式を
使って解きます。
No.41861 - 2017/02/09(Thu) 21:14:02
☆ Re: 三角関数を含む方程式 / noname
「ア」から「サ」までの空欄に入る数字は画像の通りで問題ありません．


次に(2)の後半の問いに関してですが，x＝sinθが(*)の解となる様なθの値はθ＝π/4,5π/4であり，これらのうちの鋭角はθ＝π/4です．このθの値の時では(*)は

x^2+(2-√2)x+1/2-√2＝0

という方程式であり，この方程式の左辺は

x^2+(2-√2)x+1/2-√2＝(x-√2/2){x+(2-√2/2)}

の様に因数分解されます．ここまでのことが理解できると「シ」から「ソ」に当てはまる数字が分かるかと思います．
No.41862 - 2017/02/09(Thu) 21:16:00
★ (No Subject) / 〆
次の二つの不定方程式？の違いについての確認をしたいのですが、

?@ 4m+3n=60 を満たす自然数の組み(m , n) を「全て」求めよ

?A2x-3y=21 を満たす整数解を求めよ

この?@様に、「自然数」という明記がある物「のみ」、解を「全て」求める事が出来ると言う認識で正しいでしょうか
No.41857 - 2017/02/09(Thu) 19:58:54
☆ Re: / ヨッシー

これらの式は、ｍとｎまたはｘとｙの１次式なので、座標平面上で
直線として表せます。
その直線が、格子点を通ればそれが解となります。

青い直線のような関係なら、ｘ、ｙともに自然数となる解（第１象限にある解）は、数が限られますが、赤の直線だと、自然数といえども、無限に存在しますので、すべて書き上げることはできません。
No.41858 - 2017/02/09(Thu) 20:18:44
☆ Re: / 〆
青の直線上の「自然数」が解となる式、は、言葉で説明すると、例えば 4m+3n=60 であれば、m n 共に1以上なので、m=0と置いた時、n=20となり、mは1以上なので、nは20未満 となり、「mが増えて行くたびに、nが減る」という関係性が成り立っているから、全て求める事ができる。という事でしょうか？ですがこの場合「赤」の方の式や、言葉での説明が、イマイチ思い浮かばないのですが、具体的な例を教えて頂けないでしょうか…
No.41860 - 2017/02/09(Thu) 20:44:21
☆ Re: / ヨッシー
具体例としては?Aの問題がそれです。
自然数という条件を付けても、解は
(12,1), (15,3), (18,5), (21,7)
のように無数にあります。
No.41884 - 2017/02/10(Fri) 17:08:53
★ 積分の基礎の基礎 / gl
添付した画像の式は正しいですか。
No.41851 - 2017/02/09(Thu) 16:31:50
☆ Re: 積分の基礎の基礎 / ヨッシー
正しくありません。

左の項と中の項で、f(g(t)) と f(x) は同じものなので、
両者 t で積分したのでは、
積分区間が違う分、結果も異なります。
No.41853 - 2017/02/09(Thu) 17:22:38
☆ Re: 積分の基礎の基礎 / gl
中の項のdtをdxにすれば良いですか。
No.41854 - 2017/02/09(Thu) 17:34:41
☆ Re: 積分の基礎の基礎 / らすかる
ダメです。
例えばg(x)=e^xのとき
∫[a〜b]f(g(t))dt において
g(t)=xと置換すると
e^t=x
e^tdt=dx
dt=dx/x
t=aのときg(t)=g(a)
t=bのときg(t)=g(b)
なので
∫[a〜b]f(g(t))dt = ∫[g(a)〜g(b)]f(x)/x dx
となり、∫[g(a)〜g(b)]f(x) dx とは一致しませんね。
No.41855 - 2017/02/09(Thu) 17:51:26
☆ Re: 積分の基礎の基礎 / gl
ラスカルさん、お返事ありがとうございます。
dtをd(g^-1(x))としてもだめですか。
No.41856 - 2017/02/09(Thu) 19:07:55
☆ Re: 積分の基礎の基礎 / らすかる
∫[g(a)〜g(b)]f(x)d(g^(-1)(x)) は
∫[g(a)〜g(b)]f(x)dt と同じなので
ダメだと思います。
No.41869 - 2017/02/09(Thu) 22:38:30
★ (No Subject) / ロク
この問題を解くには何か公式のようなものが必要でしょうか
わかる方いればお願いします
No.41843 - 2017/02/09(Thu) 12:15:00
☆ Re: / ヨッシー
公式というなら
　ａ^m×ａ^n＝ａ^(m+n)
というのがあります。
No.41846 - 2017/02/09(Thu) 14:54:21
☆ Re: / ロク
ありがとうございます！
答えは
c＝a＋b
で合ってますでしょうか？
No.41847 - 2017/02/09(Thu) 15:21:34
☆ Re: / ヨッシー
はい。

ａ＝２，ｂ＝３だと
　５^2×５^3＝(５×５)×(５×５×５)
　　＝５×５×５×５×５＝５^5
です。
公式を覚えるより、こういう途中の計算を理解しましょう。
No.41848 - 2017/02/09(Thu) 15:40:38
☆ Re: / ロク
なるほど！
よくわかりました詳しい説明ありがとうございます！
No.41852 - 2017/02/09(Thu) 16:45:12
★ 色々な曲線 / たまご
質問です。
1枚目の写真の(3)の問題についてです。外積を用いて面積を出そうとして、1/2 | x2y3 - x3y2 | に、2枚目の写真のx2,y2,x3,y3 (A,Bのx,y座標です)を代入したところ、面積がなぜか0になってしまいました。見直してもどこでミスしているのかわかりません。教えてください。
No.41827 - 2017/02/08(Wed) 23:40:12
☆ Re: 色々な曲線 / たまご
すみません。上の写真が文章中の2枚目にあたるものです。
この投稿に添付してある写真が1枚目です。
No.41828 - 2017/02/08(Wed) 23:42:50
☆ Re: 色々な曲線 / noname
y_[3]の符号が正しくないです．この部分が修正できると，三角形OABの面積が0ではなくabとなる筈です．
No.41833 - 2017/02/09(Thu) 00:49:48
☆ Re: 色々な曲線 / noname
>y_[3]の符号が正しくないです．

つまり，「y_[3]＝ab^2/(bx_[1]+ay_[1])ではなくy_[3]＝-ab^2/(bx_[1]+ay_[1])である」ということです．
No.41834 - 2017/02/09(Thu) 00:52:03
☆ Re: 色々な曲線 / たまご
ありがとうございました！
No.41845 - 2017/02/09(Thu) 12:51:56
★ 中3数学 / 田丸
この問題の解き方を教えてください。答え　４√２cm ,８√２cm, １６√５cm よろしくお願いします。


No.41824 - 2017/02/08(Wed) 22:16:13
☆ Re: 中3数学 / noname
ヒントを与えておきますので，一度お考えください．


[ヒント]
(1)台形ABCDにおいてDから辺ABに向けて垂線を引き，この垂線と辺ABの交点をIとする．この時，BI＝CD＝4cm,AB＝8cmよりAI＝4cmであるから，直角三角形ADIにおいて三平方の定理を使うと辺DIの長さが分かり，よって，辺BCの長さが分かる．
(2)EF＝AB＝8cm,FG＝BCと(1)の結果より，直角三角形EFGにおいて三平方の定理を使うと線分EGの長さが分かる．また，AE＝BF＝BCと(1)の結果に注意すると，直角三角形AEGにおいて三平方の定理を使うと線分AGの長さが分かる．
(3)簡単な確認により，三角形ACFはAC＝AFの二等辺三角形であることが分かる．ここで，この三角形においてAから辺CFに向けて垂線を引き，この垂線と辺CFの交点をJとするとCJ＝FJである．この時，直角三角形ACJにおいて三平方の定理を使うと線分AJの長さが分かる．よって，二等辺三角形ACFの面積を計算することが出来る．
No.41825 - 2017/02/08(Wed) 23:25:58
☆ Re: 中3数学 / 田丸
ヒントありがとうございました。解けました。
No.41866 - 2017/02/09(Thu) 21:41:50
★ 気になった問題 / √
図形を表示できなくて、すみません。
ホームのマークをクリックお願い致します。

灘中の算数で、
「２日目」の「問４」の解き方を教えてください。

「３：４：５」の直角三角形の周りに出来ていく図形達
で特に（２）の答えから、
また「３：４：５」ができることに気づきました。

よろしくお願い致します。
No.41823 - 2017/02/08(Wed) 21:32:48
☆ Re: 気になった問題 / 関数電卓
とりあえず（１）
△ABC を B を中心に反時計回りに 90°回転させると 赤 に、C を中心に時計回りに 90°回転させると 緑 になる。
図から △BDI＝△CEF＝6 だから、
六角形 DEFGHI＝9＋16＋25＋6×4＝74
No.41829 - 2017/02/09(Thu) 00:10:55
☆ Re: 気になった問題 / angel
取り敢えず、この問題の核心だけ。

3,4,5の長さに関係なく、この図のようなことが分かります。
No.41830 - 2017/02/09(Thu) 00:12:41
☆ Re: 気になった問題 / angel
ということで、色々三角形と正方形の面積が分かります。
この時点で(1)の答えが出ますね。
No.41831 - 2017/02/09(Thu) 00:23:24
☆ Re: 気になった問題 / angel
後は、残った部分 ( 台形めいた4角形3つ ) を、△ABCの方に寄せてきます。
丁度、N,M、O,J、K,L がくっつくように
( A,G,H、B,D,I、C,E,F もくっつきます )

そうすると、実はくっついた時の境界線が、△ABCの各中線になっていて、元の三角形の4倍拡大になっていることが分かります。

なので、(2)の各長さと、残りの面積も分かる、ということになります。
No.41832 - 2017/02/09(Thu) 00:40:27
☆ Re: 気になった問題 / angel
あっと。
AG,ANしか確かめてないのに、なんで全体が4倍拡大と分かるんだ、と思われるかも知れません。

が、これは上の「核心」から分かるようになっています。

Cから引いた△ABCの中線と、EFの長さの比が 1:2 となるのです。

CGは中線の2/3倍、くっつけた後のCK(CL)はEFと同じ長さですから、結局 CG:CK(CL)=1:3
Cに限らず、A,Bでも同じこと、というわけです。
※Aを実際の長さでやってるのは、直接長さが計算しやすかったからです。
No.41836 - 2017/02/09(Thu) 01:20:19
☆ Re: 気になった問題 / √
関数電卓さん　ａｎｇｅｌさん

有難うございます。
お陰さまで（１）は理解できました。

図の中の、外側の正方形で、
「５２」と「７３」の求め方が分かりません。
No.41837 - 2017/02/09(Thu) 08:59:56
☆ Re: 気になった問題 / ヨッシー

７３の方の説明をします。

三平方の定理は、中学受験では普通に使うし、等積変形で示せるので、使えるものと解釈して、
上の図のように直角を挟む２辺が３と８の直角三角形を作ると
その斜辺を１辺とする正方形の面積は
　3^2＋8^2＝73
となります。

５２の方も同様に、
　4^2＋6^2＝５２
です。
No.41839 - 2017/02/09(Thu) 10:59:29
☆ Re: 気になった問題 / √
ヨッシーさん

有難うございます。
大変よく分かりました！！
ここまでは、スッキリです。

この後が分かりません。
この問題、本当に小学生が解くの？　って感じです。
自分のバカさ加減がイヤになってました。
No.41840 - 2017/02/09(Thu) 11:41:39
☆ Re: 気になった問題 / angel
ちなみに、私の想定した正方形面積の計算は、中線定理で分かった辺の長さの二乗そのものです。

で、埋まっていないところの面積は、△ABCも含めて、「4倍拡大」ということで16倍の96、で終わりなのですが、どこが不明でしょうか?
※(2)の辺の長さは「4倍拡大」で、単純にAB,BC,CAの4倍です。

要は、この「4倍拡大」に気付けるかどうかで、ヒラメキ命です。
※答えが分かれば良いので、最悪、論理の検証はなしでも解答しちゃいます。

なお、根拠については、ざっくりと、ながら、上に一通り挙げていますので、じっくりご覧ください。
No.41844 - 2017/02/09(Thu) 12:45:11
☆ Re: 気になった問題 / √
ａｎｇｅｌさん

> 要は、この「4倍拡大」に気付けるかどうかで、ヒラメキ命です。

核心の中線定理が、あまり分かってないのか
命の部分・なぜ４倍になるのかが分かっていません。
（私は基礎が分かっていません）
小学生は、どうやって４倍だと分かるのですか？
No.41849 - 2017/02/09(Thu) 15:41:45
☆ Re: 気になった問題 / √
ａｎｇｅｌさん

やっと計算が合いました。
有難うございました。

でも小学生には大変難しい計算だと思います。
塾とかでは４倍になると覚え込ませて
しまっているのでしょうか？
No.41850 - 2017/02/09(Thu) 16:27:22
☆ Re: 気になった問題 / angel
> でも小学生には大変難しい計算だと思います。
> 塾とかでは４倍になると覚え込ませて
> しまっているのでしょうか？

流石に覚え込ませることはないです。それに4倍というのは流石に計算してます。
というか、いちいち覚えていたらいくらなんでも記憶力がもちません。

で、問題としてはもちろん難しいですが、計算として難しくはないと思います。
実は、「計算して答えが出せる」ということ自体が大きなヒントなのです。あまり変な形だと計算できなくなりますから。

つまり、図のように台形っぽい四角形を寄せた時にできる三角形、これが元の三角形の相似形 ( 拡大 ) ではないか、という推理です。
※受験算数では相似は定番です。

で、私の場合は直角三角形に由来する性質から、中線の存在に気付きました。中線を3本集めればできるのは重心です。つまり、重心を中心とした拡大であろうと。

図の中線と上の正方形の長さは簡単に出ます。
ここから、No.41832で説明したAG=5/3,AN=5 につながって、「4倍」と。

拡大 ( 相似 ) の根拠はある意味後付けなのです。
No.41864 - 2017/02/09(Thu) 21:27:41
☆ Re: 気になった問題 / √
ａｎｇｅｌさん

有難うございます。
中学受験の小学生は、重心は２：１の内分点であることも
知っているのですね。
私は、それさえも忘れていた状態だったので、
５／３ｃｍという数字が、どこから出てくるのかさえ
分かりませんでした。
今の小学生はスゴイ！
No.41876 - 2017/02/10(Fri) 13:26:22
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