kとnは1≦k≦nを満たす正の整数とする
k個の整数からなる数列(a1,a2,a3,……ak)で条件(1)(2)をすべて満たすものはいくつあるか
kとnを用いて表せ
(1)1≦a1＜a2＜a3＜……＜ak≦n
(2)各i(1≦i≦k)に対してai−iは偶数である
高３です
全然わからなくて困ってます 教えてください！
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No.41723 - 2017/02/06(Mon) 20:34:42
| ☆ Re: / IT | | | a[1]=1,a[2]=2,a[3]=3,...a[i]=i...a[k]=k は条件を満たします。
kの後ろのnまでの余裕n-kを2個1組にしてa[1]の前,a[1]とa[2]の間、a[2]とa[3]の間...a[i]とa[i+1]の間、...a[k]の後ろに分配して、ずらしても条件を満たします。（最初の例はa[k]の後ろにすべて分配した場合です。）
n-k が奇数の場合は２で割った余りの1は常にa[k] の後ろに分配。
逆に、条件をみたすa[1],a[2],a[3],...a[i]...a[k]について
a[1]-1,a[2]-a[1]-1,a[3]-a[2]-1,...a[i+1]-a[i]-1,...a[k]-a[k-1]-1 は、０以上の偶数です。
これは、[(n-k)/2] 個の区別できないものをk+1箇所に分配する方法の数になる。と思います。
(ざっと考えたので間違いがあるかも）
直線上に1,2,3,...k,...,n その上にa[1],a[2],a[3],...,a[k] を書いて考えるといいと思います。
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No.41726 - 2017/02/06(Mon) 21:09:52 |
| ☆ Re: / みすず | | | ITさん
たとえばn=5 k=2のときは
(a1,a2)=(1,2)(1,4)(3,4)の3通りですが
(5−2)/2は分数になってしまいます
これだとうまくいかないです
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No.41730 - 2017/02/06(Mon) 21:28:46 |
| ☆ Re: / IT | | | [(n-k)/2] 個の[ ]は、ガウス記号で [(n-k)/2] ＝「(n-k)/2 以下の最大の整数」です。
例示の場合[(5−2)/2]=1 で k+1 ＝3 箇所に１個を分配する方法＝３通り となります。
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No.41731 - 2017/02/06(Mon) 21:32:35 |
| ☆ Re: / angel | | | 例えば、添付の図のような n=8,k=3 で考えてみます。
しかし、最後の8は a3 として使えないので、無いのと同じです。
つまり、n=8,k=3 は n=7,k=3 と状況的に同じです。
一般に、n,kの偶奇が合わない場合は nの代わりに n-1 で考えるということです。
さて。a1,…,ak に割り当てるところとそうでないところを色分けすると、実は2色の玉の並び替えであることが分かります。
ただし「そうでないところ」( 図中水色の玉 ) は必ずペアにする必要があります。
結局、n=8,k=3 or n=7,k=3 のケースでは、3個(k=3に対応)と2塊( (n-k)/2端数切捨ての2に対応 )の並び替え、5C3 と分かります。
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No.41732 - 2017/02/06(Mon) 21:37:42 |
| ☆ Re: / みすず | | | なるほど！よくわかりました！
お二方とも丁寧に説明してくださって
ありがとうございました！
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No.41733 - 2017/02/06(Mon) 21:54:36 |
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