写真の大問1の(3)の解答がわかんないです.解答は２つあり,1つは{e2,e,3}でありもう１つが{(1,0,0),1/√2 (0,1,-1)}となっています.後半の解答がなぜこうなるかわかんないです.
直交空間W⊥={x∈R3|〈x,a1〉=0}です.
〈〉は内積です.
このとき[0 1 1]x=0ですがここで止まってしまいました.
これって基底が1本しかありませんよね？
どなたか教えてください.
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No.41776 - 2017/02/07(Tue) 18:10:28
| ☆ Re: 線形代数 / らぐ | | | それと大問4の(2)なのですが,僕の示し方で大丈夫ですか？
〈Px,Py〉=t(Px)Py t(Px)は転置です
=t(x)t(P)Py ?@
一方〈x,y〉=t(x)y
=t(x)Ey Eは単位行列 ?A
仮定より?@と?Aは等しいから
t(P)P=E
つまりPは直交行列である.
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No.41777 - 2017/02/07(Tue) 18:18:06 |
| ☆ Re: 線形代数 / angel | | | 大問4(2)だけ取り敢えず。
間違ってはいないですが、根拠不十分というか、論理の飛躍と言われそうな気がします。
具体的には、?@と?Aからt(P)P=Eと言っているところ。
ここは、問題にあるヒントを使うことを期待されています。
単位行列Eのことは一旦忘れて、t(e[i])Xe[j]=t(e[i])e[j] となるような行列Xのi,j成分を考えてみましょう。
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No.41780 - 2017/02/07(Tue) 18:38:01 |
| ☆ Re: 線形代数 / angel | | | で、大問1(3)ですが、これは「解答は2つ」ではなくて、「解答は1つじゃない」ととるところです。
実際、答えは無数にあります。
例えば、{(√2/2,1/2,-1/2),(√2/2,-1/2,1/2)}とかも。
3次元のグラフを思い起こしてください。
ベクトル(0,1,1)に垂直って何かと言えば、平面 y+z=a でしたよね?
この平面上で、直交する2ベクトルの組を探してください、と言われれば、答えが無数にあることも納得できるかと思います。
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No.41781 - 2017/02/07(Tue) 19:02:03 |
| ☆ Re: 線形代数 / らぐ | | | ご回答ありがとうございます.
大問4に関しては素直にヒントに従うことにします.
大問1ですが「例えば〜〜」のところでどうやってそのような解答が出ましたか？
解が無限にあることは理解できました.
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No.41782 - 2017/02/07(Tue) 20:29:13 |
| ☆ Re: 線形代数 / angel | | | > 大問1ですが「例えば〜〜」のところでどうやってそのような解答が出ましたか？
一つだけ、と言われれば「適当」に出すことができます。
(0,1,1)と垂直なベクトルは、大きさを考えなければ (t,1,-1) というのがあります。( 内積 0・t+1・1+1・(-1)=0 だから )
ここでベクトルの大きさの二乗 t^1+1^2+(-1)^2 をキリ良く平方数 4、つまり t^2=2 としたのがそれです。
まとめると、
* (0,1,1) と (t,1,-1) は内積 0 だから垂直だ
* 適当に、だけど大きさのキリがよい t=√2 にしてみよう
* (√2,1,-1) の大きさ 2 を、半分の 1 にすると (√2/2,1/2,-1/2)
あとは、(0,1,1)と(√2,1,-1) 両方に垂直なベクトルを探すまでです。
「外積」という3次元限定の楽な方法はあるのですが、それは置いておいて、方程式を立てれば良いです。
目的のベクトルを (a,b,c) として
0・a+1・b+1・c=0
√2・a+1・b+(-1)・c=0
そうすると、a=√2・c, b=-c つまり、(a,b,c)=c・(√2,-1,1)
後は大きさが 1 になるように c=1/2 と整えて終わりです。
※c=-1/2 にしてももちろん良いです。
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No.41783 - 2017/02/07(Tue) 20:55:14 |
| ☆ Re: 線形代数 / らぐ | | | なるほど.
理解できました.
最後までお付き合いいただきありがとうごさいます.
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No.41788 - 2017/02/07(Tue) 22:35:13 |
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