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★ (No Subject) / 紙
順列のグループ分けについて、考え方で悩んでおります。
例えば、9人を区別のある3つの部屋に、3人ずつ分ける時は、9C3×6C3 となると思いますが、これが、部屋の区別がなくなるだけで、÷3! をする感覚がいまいち掴めません。今考えてるのは、そもそも[C]と言うのは、「取り出す」と言うよりは、「取り出したものを1セットとして、そのセット自体を並べている(セット内の並びは何でも良)」感覚なのかなぁ〜と考えておりますが、どの様に考えれば良いのでしょう？
No.40931 - 2016/12/21(Wed) 17:24:45
☆ Re: / angel
一つの考え方として、「区別がなくなる」を「必ず小さい/大きい順に並べる」に置き換える、というのがあります。

例えば、8C3=8P3÷3! という関係は、
　8個の数字から3個を選んで、大小構わず並べるのは8P3だが、
　同じ組み合わせで小さい順に並ぶのはその1/3!しかない
と見ることができるわけです。

さて、今回の部屋分けですが、9人に1〜9の番号を振ったとして、
　部屋A:1,4,7、部屋B:2,5,8、部屋C:3,6,9
　部屋A:1,4,7、部屋B:3,6,9、部屋C:2,5,8
　部屋A:2,5,8、部屋B:1,4,7、部屋C:3,6,9
　部屋A:2,5,8、部屋B:3,6,9、部屋C:1,4,7
　部屋A:3,6,9、部屋B:1,4,7、部屋C:2,5,8
　部屋A:3,6,9、部屋B:2,5,8、部屋C:1,4,7
これは部屋の区別があるなら別々ですが、区別がないなら同一視されます。

ここで「部屋の代表者」を、その部屋で最も番号の小さい人だとして、「部屋の区別がなくなる」を「代表者が小さい順で並ぶ」に置き換えます。
そうすると、部屋の代表者は1,2,3ですから、小さい順に並ぶのは一番上のケースで、3!の並び方のうちの1つしかない、と考えることができるのです。
No.40935 - 2016/12/21(Wed) 20:39:20
☆ Re: / angel
なお、この「代表者」の考え方を使った別解もあります。

まず、一番小さい1の人は必ず部屋の代表者になります。この1と同室の2人を選ぶのが 8C2通り。
次に、余り具合によって時々変わりますが、やはり一番小さい人が必ず部屋の代表者になります。その人と同室の2人が 5C2通り。で、残りの3人を最後の部屋に放り込みます。
そうすれば、8C2×5C2 と計算することができます。
No.40936 - 2016/12/21(Wed) 20:42:50
★ 関数 / 鴉
画像の問題があいまいなので、答えと解き方を教えて下さい。お願いします😭
No.40930 - 2016/12/21(Wed) 16:01:40
☆ Re: 関数 / X
三角関数の合成から
f(θ)=2sin(θ+π/3)
ここで
0≦θ≦π
により
π/3≦θ+π/3≦4π/3
∴
f(θ)の最大値は2
(このときθ+π/3=π/2,つまりθ=π/6)
f(θ)の最小値は-√3
(このときθ+π/3=4π/3,つまりθ=π)
No.40932 - 2016/12/21(Wed) 18:33:01
★ (No Subject) / ゆうと
y=-x^3＋3x^2のグラフの概形はどのようになりますか？
No.40929 - 2016/12/21(Wed) 06:43:15
☆ Re: / X
単にグラフの概形だけであれば下の図のようになります。
No.40933 - 2016/12/21(Wed) 18:38:09
★ 場合の数？ / √
くだらない質問でスミマセン。

（下記の写真は、立体四目並べ　ですが）

先日、テレビで
「人間」対「最強コンピューター」で
「立体三目並べ」をやり、「人間」が勝ちました。

「立体三目並べ」は３ｘ３ｘ３の構造なので、
玉の数は、全部で２７個です。

コンピューターには、
次に相手が「Ａ」に置いた場合、「Ｂ」に置いた場合・・・
など、【場合の数】が全て入力されているはずなのに、
「コンピューター」の方が負けたということは、
データーを入力する時に、【場合の数の全て】が入力されていなかったということでしょうか？
No.40920 - 2016/12/20(Tue) 22:32:28
☆ Re: 場合の数？ / IT
「二人零和有限確定完全情報ゲーム」なので、お互いが最善手を指せば、「先手必勝」、「後手必勝」、「引き分け」のいずれかです。

先手必勝で人間が先手なら人間が常に最善手を選べば人間が勝ちます。
後手必勝の場合も同様です。

「最強」という根拠が不明ですが、すべての場合を入れていなかった可能性もありますし、先手必勝で人間が先手だったからかも知れません。
No.40922 - 2016/12/20(Tue) 22:42:39
☆ Re: 場合の数？ / angel
http://nyanyako.xyz/zunooo2016-apli
これのことでしょうかね。まず先手必勝な気がしますが。
※「5目並べ ( not 連珠 )」ですらほぼ先手必勝

後手でも人間側が勝ったのだとすれば、TVの演出的に、AIに穴を作っていたのかと。
No.40923 - 2016/12/20(Tue) 22:47:23
☆ Re: 場合の数？ / √
ＩＴさん　ａｎｇｅｌさん

有難うございます。

あっ、そうだったのですか。

「人間」が「先手」でした。
「先手必勝」のゲームの場合は、人間が先手になれば、
完璧なコンピューターにも勝つ可能性があるのですね。

私は「立体三目並べ」は、やったことがないのですが、
きっと「先手必勝」のゲームなのですね。

先日、テレビで「頭脳王」で対戦しているのを見て
ふと、不思議に思ったので質問させて頂きました。
有難うございました。
No.40925 - 2016/12/20(Tue) 23:40:59
☆ Re: 場合の数？ / angel
ちょっと考えてみました。
これくらいの規模の問題であれば、単純なプログラムでもさほど時間をかけずに解析できますが…。人間の力でも必勝手順を見つけるのは難しくないようです。

先手( O とします ) からは、初手隅に打てば必勝です。
次に後手( X とします ) は、2次元の〇×的に考えて、中央に打つしかありません。そこで、次の状況まで進めて後手に手を預けます。( 左の方が下の段だとします )

　-O-　---　---
　-X-　---　---
　OXO　---　---

この場面では、* から ! に連打する先手の勝ち筋があります。( y方向とz方向が同時にリーチになる )

　-O-　---　---
　*X-　!--　---
　OXO　!--　---

ところが、手番となっている後手が対処しようにも、右側にも全く同じ手筋があり、両方を防ぐことができません。防がずに勝つこともできないため、先手必勝となる、ということです。将棋で言うところの「必至」に相当します。
No.40934 - 2016/12/21(Wed) 20:20:46
☆ Re: 場合の数？ / √
ａｎｇｅｌさん

んー、スミマセン、私にはよく理解できません。

それから、付け足しなのですが、
本番のゲームでは、
座標で書くと（２・２・２）の位置は
両者、どちらにもカウントされない透明の玉が置かれました。
もちろん（２・２・１）に、どちらかの玉が置かれた後に
無カウントの透明の玉が置かれました。
No.40939 - 2016/12/21(Wed) 21:20:42
☆ Re: 場合の数？ / angel
んー。立体なので表現し辛いのですが、図にするとこんな感じです。

先手を赤(系の色)、後手を青(系の色)としたとき、
左上の状態まで進めた状態で、先手は図の1〜5までの勝ち筋 ( 2方向同時リーチ ) があり、手番でありながら後手には防ぐことができない ( 同じ手筋が右側にもあるから )、ということです。

なお、(2,2,2)の位置にその透明な玉を配置するかどうかは、この手順に影響するものではないですね。
No.40944 - 2016/12/21(Wed) 22:46:16
☆ Re: 場合の数？ / angel
> なお、(2,2,2)の位置にその透明な玉を配置するかどうかは、この手順に影響するものではないですね。

すいません。これは言いすぎでした。
これがあるおかげで、後手からの勝ち筋が防がれています。

もっとも、(2,2,2)に透明な玉が来なければ、初手を真ん中にすることであっさり先手が勝ってしまうのですけどね。
No.40946 - 2016/12/22(Thu) 00:15:57
☆ Re: 場合の数？ / √
ａｎｇｅｌさん

有難うございます。

一番下の図で
（１・１・３）
（１・３・２）
の、どちらの位置に「青玉」が置かれても
２方向あるから勝つという意味は分かるのですが、

「赤玉」→「青玉」の順に置いていくと　
個数が合わないところが混乱しています。

理解力がなくてスミマセン。
取り合えず、ご報告まで。
おやすみなさい。
No.40947 - 2016/12/22(Thu) 01:16:30
☆ Re: 場合の数？ / angel
> 個数が合わないところが混乱しています。
1 の直前にあるべき青玉は描いてないのです。個数が合わないのはそのためです。
しかし、「たとえどこに青玉を打ったとしても」左、或いは右、どちらかの先手の勝ち筋を防ぐことはできないのです。
No.40948 - 2016/12/22(Thu) 01:23:16
☆ Re: 場合の数？ / angel
例えば、ですが、後手(青)が先手の勝ち筋を防ごうと 0 と打ったとすると、今度は右の方を打たれてしまう、ということです。
No.40954 - 2016/12/22(Thu) 06:31:00
☆ Re: 場合の数？ / √
ａｎｇｅｌさん

やっと分かりました。

最初は、
順番に置いていってみて、玉の数が合わない等、
実際の状態をイメージしていたので混乱していました。
（勝ち方だけを描いていらっしゃったのですね）

今度は、理解できました。
この先手必勝法を画像保存しておきました。
有難うございました。
No.40960 - 2016/12/22(Thu) 14:10:03
★ 重積分 / らぐ
?島度^2√(x^2+y^2)dxdy をDの範囲で積分せよ.
D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦x}

単にこの積分ができませんので教えてください.
横線領域に変換して考えてみましたがそれでもダメでした.
No.40917 - 2016/12/20(Tue) 01:24:52
☆ Re: 重積分 / X
極座標に変換します。
x=rcosθ
y=rsinθ
と置くと
D={(r,θ)|0≦r≦1/cosθ,0≦θ≦π/4}
でヤコビヤンをJとすると
J=r
∴∬[D]x^2√(x^2+y^2)dxdy=∫[θ:0→π/4]∫[r:0→1/cosθ](r^4){(cosθ)^2}drdθ
=(1/5)∫[θ:0→π/4]dθ/(cosθ)^3
=(1/5)∫[θ:0→π/4]{(cosθ)/{1-(sinθ)^2}^2}dθ
ここでsinθ=tと置くと
∬[D]x^2√(x^2+y^2)dxdy=(1/5)∫[t:0→1/√2]dt/(1-t^2)^2
後は
1/(1-t^2)^2=1/{{(1-t)^2}{(1+t)^2}}
と変形して部分分数分解をします。
No.40918 - 2016/12/20(Tue) 04:23:31
☆ Re: 重積分 / らぐ
解答ありがとうございます.

5行目のD={(r,θ)|0≦r≦1/sinθ,0≦θ≦π/4}
のr≦1/sinθ はどこからでてきたのですか？
No.40919 - 2016/12/20(Tue) 22:31:35
☆ Re: 重積分 / X
ごめんなさい。
Dの変換を間違えていましたのでNo.40918を
直接修正しました。
再度ご覧下さい。
No.40924 - 2016/12/20(Tue) 22:54:13
☆ Re: 重積分 / らぐ
訂正ありがとうございます.

無事答えまで辿り着くことができました.
No.40927 - 2016/12/21(Wed) 01:56:29
★ 図形と方程式 / 太郎
訂正です。

xy平面上で曲線C:y=e^x、x軸、y軸に接する円のうち、第一象限、第二象限にあるものをそれぞれC1、C2とする。

(1)CとC1の接点をA、CとC2の接点をBとして、線分ABの長さと傾きを求めよ。

(2)C1とC2の中心間の距離を求めよ。

解答解説をお願いします。
No.40916 - 2016/12/20(Tue) 01:24:05
★ (No Subject) / 桂タフト協定
質問1）例えば４進法の12321を５進法で表すといった際、10進法を経由せずにすむ方法はありますか？

質問２）例えば3進法の12/23を３進法の小数に変換するにはどうしたらよいのでしょうか？

よろしくおねがいします
No.40913 - 2016/12/19(Mon) 23:51:07
☆ Re: / らすかる
5進法で
4^2=4+4+4+4=13+13=31,
4^3=31+31+31+31=112+112=224,
4^4=224+224+224+224=1003+1003=2011
なので
12321(4)=1×4^4+2×4^3+3×4^2+2×4+1(5)
=1×2011+2×224+3×31+2×4+1(5)
=2011+1003+143+13+1(5)
=3231(5)

3進法で3という数字は使えませんので12/23という数はありません。
No.40915 - 2016/12/20(Tue) 00:16:48
☆ Re: / 桂タフト協定
回答ありがとうございます。

12321(4)=1×4^4+2×4^3+3×4^2+2×4+1(5)は12321(4)=1×4^4+2×4^3+3×4^2+2×4+1(10)ではないのですか？

質問２訂正）例えば7進法の11/23を7進法の小数に変換するにはどうしたらよいのでしょうか？（でお願いします）

よろしくお願いします
No.40926 - 2016/12/20(Tue) 23:48:32
☆ Re: / らすかる
> 12321(4)=1×4^4+2×4^3+3×4^2+2×4+1(5)は
> 12321(4)=1×4^4+2×4^3+3×4^2+2×4+1(10)ではないのですか？

十進法の0〜4は5進法でも0〜4ですから、
1×4^4+2×4^3+3×4^2+2×4+1(5) と
1×4^4+2×4^3+3×4^2+2×4+1(10) は同じ値です。
# もし6桁あった場合、一番上の桁に掛ける値は
# 十進法では4^5、5進法では4^10となります。
「10進法を経由せずに」という指定でしたのですべて5進法で計算しました。

> 質問２訂正）例えば7進法の11/23を7進法の小数に変換するには
> どうしたらよいのでしょうか？

これも「10進法を経由せずに」ですか、
それとも10進法を使ってもよいのですか？
（計算内容は変わりませんが、10進法を経由しないと見にくくなるだけです）
No.40928 - 2016/12/21(Wed) 02:01:18
☆ Re: / 桂タフト協定
回答ありがとうございます。
質問2の方は十進法を経由しておねがいします

質問1の方は今からじっくり見ます。

よろしくおねがいします。
No.40942 - 2016/12/21(Wed) 22:35:03
☆ Re: / らすかる
7進法の11/23は十進法では8/17ですね。
順次7倍して整数部分をとれば7進小数になります。
8/17×7=56/17=3+5/17
5/17×7=35/17=2+1/17
1/17×7=7/17=0+7/17
7/17×7=49/17=2+15/17
15/17×7=105/17=6+3/17
3/17×7=21/17=1+4/17
4/17×7=28/17=1+11/17
11/17×7=77/17=4+9/17
9/17×7=63/17=3+12/17
12/17×7=84/17=4+16/17
16/17×7=112/17=6+10/17
10/17×7=70/17=4+2/17
2/17×7=14/17=0+14/17
14/17×7=98/17=5+13/17
13/17×7=91/17=5+6/17
6/17×7=42/17=2+8/17
最初の8/17が出てきましたので以上の「3202611434640552」の繰返しの
11/23(7)=0.32026114346405523202611434640552…(7)
となります。
No.40945 - 2016/12/21(Wed) 22:50:39
★ (No Subject) / ゆうと
画像の問題の解き方があいまいで分からないので教えて下さい。できれば答えもつけてくれるとありがたいです。お願いします🙇⤵
No.40911 - 2016/12/19(Mon) 22:33:32
☆ Re: / noname
ヒントを与えておきますので，一度ご自身で手を動かして考えてみてください．


[ヒント]
・第一問
(a)三角関数の2倍角の公式がどんな式であったかを思い出すとよい．
(b)(a)の結果を用いればよい．
(c)tの範囲が実数全体であれば，cos(t)のとり得る値の範囲がどういうものかを数学?Uの教科書などでふりかえるとよい．
(d)f(t)の関数式はxについての2次式となる．この2次式により与えられる2次関数をg(x)とする．f(t)の最大値と最小値を求めるためには，2次関数g(x)の(c)の範囲での最大値と最小値を求めればよい．
・第二問
例えば，x＝sin(t)(0≦t≦π/2)と変数変換すると

∫_[1/√2,√3/2]dx/√(1-x^2)＝∫_[π/4,π/3]1/√(1-sin^2(x))・(sin(t))'・dt

の様に変形することが出来る．この後は簡単な定積分の計算を行うのみである．
No.40912 - 2016/12/19(Mon) 22:50:19
★ シグマ / のいみ
Σ[k=1,n] 4^k-3^k/5^kを教えてください！
No.40909 - 2016/12/19(Mon) 18:08:24
★ (No Subject) / のいみ
Σ[k=1,n] 4^k-3^k/5^kを教えてください！
No.40908 - 2016/12/19(Mon) 18:08:09
☆ Re: / X
方針を。
Σ[k=1,n](4^k-3^k)/5^k=Σ[k=1,n]{(4/5)^k-(3/5)^k}
=Σ[k=1,n](4/5)^k-Σ[k=1,n](3/5)^k
=Σ[k=1,n](4/5)(4/5)^(k-1)-Σ[k=1,n](3/5)(3/5)^(k-1)
=…
No.40910 - 2016/12/19(Mon) 19:14:32
★ ベクトルの成分表示 / しみず
問題に関する質問じゃないですが、質問させてください。
ベクトルの成分表示で、縦に書くやり方と、横に書くやり方があると思うのですが、縦のやり方は教科書に乗ってないので、大学入試では減点されてしまうのでしょうか。また、減点されないとしても好まれない書き方なのでしょうか？縦の方が計算ミスしにくいと聞いたので気になってます。今は横書きです。
教えて下さい。
No.40900 - 2016/12/18(Sun) 16:03:40
☆ Re: ベクトルの成分表示 / IT
大学のテキストでは、ベクトルを縦書きで表しているものも多いですし、横書きを「行ベクトル」、縦書きを「列ベクトル」として両方使っているものもあります。
縦書きが「好まれない書き方」ということはないと思います。
高校の教科書や参考書は、紙面のレイアウトの関係と点の座標表示との関係などから　横書きになってなっていると思います。

問題にベクトルが横書きで書いてあるときは微妙ですが、そうでないときは、縦書きでまったく問題ないと思います。

たしかに縦書きのほうが計算および確認がし易いですね。
（答案用紙に書くとき　縦のスペースをとりますが）
No.40901 - 2016/12/18(Sun) 16:33:42
★ (No Subject) / 高３もやし
解説お願いします…
No.40898 - 2016/12/18(Sun) 12:52:38
☆ Re: / X
条件から
↑OP=s{(1/3)↑OA}+t{(1/2)↑OB}
よって点Pが描く図形は
辺OAを1:2に内分する点をD
辺OBの中点をE
としたときの△ODEの周及び内部
となりますのでその面積は△OAB
の面積の
(1/3)(1/2)=1/6
になります。
後はよろしいですね。
No.40899 - 2016/12/18(Sun) 14:53:58
☆ Re: / 高３もやし
ありがとうございます‼
No.40902 - 2016/12/18(Sun) 16:34:04
★ 計算 / りんご
この式をh=にしたいです。
No.40891 - 2016/12/18(Sun) 00:29:46
☆ Re: 計算 / noname
等式をh+√2a＝√2・√(a^2+h^2)の形に変形し，この式の両辺を2乗すると

h^2+2√2ah+2a^2＝2(a^2+h^2)

となります．これをさらに変形すると

h^2-2√2ah＝0

となるため，この式をhに関する2次方程式だと思ってhについて解けばよいです．
No.40892 - 2016/12/18(Sun) 00:50:34
☆ Re: 計算 / みずき
a=0 のとき
h=|h|√2 なので h=0

a＞0 のとき
右辺は 0 以上なので h≧0 が必要。
(h/√2)+a=√(a^2+h^2)
両辺を2乗して整理すると
h(h-2√2a)=0
よって、h=0,2a√2 (これらは十分)

a＜0のとき
右辺は正なので h＞0 が必要。
上と同様にして h=0,2a√2
しかし、これらはともに 0 以下で不適。
No.40893 - 2016/12/18(Sun) 00:54:39
☆ Re: 計算 / noname
次の様に考えてもよいかもしれません．


[別解]
h＝0の時は0＝√2(|a|-a)より|a|＝a，すなわちa≧0である．また，h≠0の時は，等式の両辺に√(a^2+h^2)+aをかけると

h(√(a^2+h^2)+a)＝√2h^2.
∴√(a^2+h^2)+a＝√2h.

この時，√(a^2+h^2)+a＝√2hと√(a^2+h^2)-a＝h/√2の辺々を引くと

2a＝√2h-h/√2.
∴h＝2√2a.

この時，h＝√2(√(a^2+h^2)-a)≧√2(|a|-a)≧0であることとh≠0よりh＞0であるから，a＞0である．したがって，aとhはともに正であり，h＝2√2aである．したがって，

・a＝0の時，h＝0である．
・a＞0の時，h＝0,2√2aである．
No.40907 - 2016/12/19(Mon) 16:30:47
★ 円順列 / haruki
この問題をどうして、円順列と同じように(6-1)！と出来ないのでしょうか？
No.40890 - 2016/12/18(Sun) 00:07:48
☆ Re: 円順列 / らすかる
円でないからです。つまり、円のように1人分ずれても
「回転して一致する」パターンにならないからです。
No.40894 - 2016/12/18(Sun) 01:28:10
☆ Re: 円順列 / noname
テーブルの形が円形である場合は，1つの座り方に対して回転させることで6通りの場合があることが分かります．よって，これらを全て同じとみなすならば，座り方の総数は6!/6＝5!(通り)となります．ゆえに，円形テーブルの場合では(6-1)!の式で計算することが可能です．

一方で，本問の様な長方形の形のテーブルの場合は，1つの座り方に対して回転させることで2通りの場合があることが分かります．よって，座り方の総数は6!/2＝360(通り)となります．
No.40895 - 2016/12/18(Sun) 01:30:07
☆ Re: 円順列 / IT
正多角形のテーブルの各辺に１人ずつ座る場合は、円形テーブルと同等と考えられますね。
No.40896 - 2016/12/18(Sun) 01:47:32
★ (No Subject) / ゆうと
つづけてすみません😣💦
次の問題もお願いします。
No.40885 - 2016/12/17(Sat) 20:43:18
☆ Re: / X
自然対数の底の定義により
(与式)=lim[Δt→0]C{(1+aΔt)^{1/(aΔt)}}^(at)
=Ce^(at)
No.40886 - 2016/12/17(Sat) 21:13:02
☆ Re: / ゆうと
ありがとうございました_(._.)_
No.40906 - 2016/12/19(Mon) 07:10:28
★ 分かりません。 / ゆうと
画像の問題が全く分かりません。
解き方と答えをそれぞれ教えて下さると助かります。お願いいたします。
No.40884 - 2016/12/17(Sat) 20:40:03
☆ Re: 分かりません。 / X
1.
n→∞を考えるのでn≧2としても問題ありません。
このとき二項定理により
2^n=(1+1)^n=Σ[k=0〜n]nCk＞nC2=n(n-1)/2
∴0＜n/(2^n)＜2/(n-1)
よってはさみうちの原理により
lim[n→∞]n/2^n=0

2.
(与式)=lim[n→∞](log2)(√n)/logn (A)
ここで
f(x)=x-logx
と置くと
f'(x)=(x-1)/x
∴x≧1においてf(x)は単調増加となり
f(x)≧1＞0
∴x＞logx (x≧1)
となるので
0＜(log2)(√n)/logn＜(log2)(√n)/n
∴0＜(log2)(√n)/logn＜(log2)/√n
よって(A)とはさみうちの原理により
(与式)=0

3.
(与式)=lim[n→∞](1+1/n+1/n^2)/{(2-1/n)(1+1/n)}
=1/2

4.
n→∞を考えるのでn≧11と考えても問題ありません。
このとき
0＜(10^n)/n!={(10^10)/10!}(10/11)(10/12)・…・(10/n)
＜{(10^10)/10!}(10/11)^(n-10)
よってはさみうちの原理により
lim[n→∞](10^n)/n!=0

5.
面積比較により
Σ[j=1〜k]1/j＞∫[1→k+1]dx/x=log(k+1)
∴Σ[k=1〜∞]1/k=lim[k→∞]Σ[j=1〜k]1/j=∞
ということで発散します。
No.40887 - 2016/12/17(Sat) 21:43:43
☆ Re: 分かりません。 / noname
最後の問いについては次の様に考えてもよいです．


自然数n＞1に対して2^m≦n≦2^{m+1}を満たす自然数mを選ぶ時，

Σ_[j＝1,n]1/j
≧Σ_[j＝1,2^m]1/j
＝1+Σ_[j＝2,2^m]1/j
＝1+Σ_[k＝0,m-1](Σ_[j＝2^k+1,2^{k+1}]1/j)
≧1+Σ_[k＝0,m-1](Σ_[j＝2^k+1,2^{k+1}]1/2^{k+1})
＝1+Σ_[k＝0,m-1]1/2
＝1+m/2.

ここで，n→∞の時m→∞であるから，1+m/2→∞となります．よって，

Σ_[j＝1,n]1/j→∞(n→∞)

が成立します．
No.40904 - 2016/12/19(Mon) 00:27:25
☆ (No Subject) / ゆうと
ありがとうございました_(._.)_
No.40905 - 2016/12/19(Mon) 07:09:59
★ (No Subject) / アーサー
画像の問題が分からないので教えて下さい。お願いします。🙇
No.40882 - 2016/12/17(Sat) 20:28:15
☆ ベクトル / アーサー
ベクトルの問題です
No.40883 - 2016/12/17(Sat) 20:29:14
☆ Re: / X
(a)
条件から
↑AD=(1/3)↑b
↑AE=(2/3)↑c

(2)
(b)の結果により
↑AP=u↑AD+v↑AE
=(u/3)↑b+(2v/3)↑c
(但しu+v=1 (A))
と表すことができますので
s↑b+t↑c=(u/3)↑b+(2v/3)↑c (B)
ここで
↑b//↑cでなくかつ↑b≠↑0かつ↑c≠↑0
∴(B)の両辺の係数を比較することができ
(s,t)=(u/3,2v/3)
これより
(u,v)=(3s,3t/2)
これを(A)に代入して
3s+(3/2)t=1
よって
α=3,β=3/2

(c)
(a)の結果と(b)におけるα、βの定義
により求める領域は
△ADEの周及び内部
となります。
No.40888 - 2016/12/17(Sat) 21:53:58
★ 方程式 / be　中三
2√t-√(4t-16)=2　の解き方を教えてください。
No.40880 - 2016/12/17(Sat) 18:51:47
☆ Re: 方程式 / IT
２で割って　√t-√(t-4)=1　＃必須ではないですが後の計算が少し簡単になります。
移項して　√t-１=√(t-4)
両辺二乗して整理してみてください。
　
No.40881 - 2016/12/17(Sat) 20:25:44
☆ Re: 方程式 / angel
少しテクニカルになりますが。

2で割った √t-√(t-4)=1 の形から。( 割らなくてもできますが )

両辺に (√t+√(t-4))をかけます。すると、

　(√t-√(t-4))(√t+√(t-4))=(√t+√(t-4))
　⇔ (√t)^2-(√(t-4))^2=√t+√(t-4)
　⇔ t-(t-4)=√t+√(t-4)
　⇔ 4=√t+√(t-4)

これで、

　√t-√(t-4)=1
　√t+√(t-4)=4

の2条件が揃ったので、辺々足して2で割って √t=5/2 と分かります。( 辺々引けば √(t-4)=3/2 こちらでも良いです )
No.40897 - 2016/12/18(Sun) 01:51:47
☆ Re: 方程式 / be 中三
皆さんありがとうございます。自分の力では全然解き方がわからなかったので助かりました。
No.40903 - 2016/12/18(Sun) 17:16:33
★ (No Subject) / カイト
画像の問題が分からないので教えて下さい。
お願いします🙇⤵
No.40869 - 2016/12/17(Sat) 08:07:03
☆ Re: / X
(a)
f(t),g(t)にt=0を代入します。
(b)
相加平均と相乗平均の関係を使います。
(c)
{f(t)}^2=(1/4){a^t+a^(-t)}^2
=…(展開します)
(d)
x=f(t)
y=g(t)
と置くと
x^2-y^2=…
ここで(b)の結果によりxの値の範囲は…
No.40870 - 2016/12/17(Sat) 12:26:31
☆ Re: / angel
> (b)
> 相加平均と相乗平均の関係を使います。
いやこれ、相加平均・相乗平均使うのはマズイでしょう…。
「値域を求めよ」なので。
2次方程式の解の存在条件 ( 判別式 ) から行くところだと思います。
No.40871 - 2016/12/17(Sat) 13:39:55
☆ Re: / noname
u＝a^tとおくとf(t)の式の左辺は1/2・(u+1/u)となるため，関数f(t)の値域を求めるためには関数F(u)＝1/2・(u+1/u)(u＞0)の値域を考えれば十分だということが分かります．そこで，もし数学?Vの微分法の内容を学習済みであれば，F(u)のu＞0での増減及びグラフの概形を調べることでF(u)の値域を求めてもよいです．ちなみに，F(u)のu＞0でのグラフの概形は下の図のようになります．
No.40872 - 2016/12/17(Sat) 15:15:58
☆ Re: / noname
>u＝a^tとおくとf(t)の式の左辺

誤植が見られました．正しくは「式の右辺」です．失礼致しました．
No.40873 - 2016/12/17(Sat) 15:18:26
☆ Re: / noname
補足ですが，本問は双曲線x^2-y^2＝1のパラメータ表示に関する問題です．特にaが自然対数の底eである場合は，f(t)やg(t)は双曲線関数などと呼ばれます．双曲線関数には

・双曲線正弦関数sinh(x)＝(e^x-e^{-x})/2
・双曲線余弦関数cosh(x)＝(e^x+e^{-x})/2
・双曲線正接関数tanh(x)＝(e^x-e^{-x})/(e^x+e^{-x})

などがあり，これらは三角関数の性質に類似した性質を持ちます．興味があれば適当な資料を参考に知識を深めてみてください．
No.40874 - 2016/12/17(Sat) 15:30:19
☆ Re: / X
>>angelさんへ
f(t)が実数全体で連続で
lim[t→±∞]f(t)=∞
を押さえておけば、相加平均と相乗平均の関係
でf(t)の最小値を求めれば十分と考えたのですが
確かに関数の発散を学んでいないと使えませんね。

>>カイトさんへ
もし、教科書の関数の極限の項目で関数の発散
について学習していないのであれば、(b)の私の
解答の方針では問題がありますので、使わない
ようにしてください。
No.40877 - 2016/12/17(Sat) 17:07:37
☆ Re: / angel
> f(t)の最小値を求めれば十分と考えたのですが

いずれにせよ注意は必要かと思います。

* 相加平均・相乗平均での不等号の等号成立
* 連続関数
* +∞への発散

全部が揃う必要がありますから…。
いや、問題的には大体揃っているのでしょうが、説明しないと根拠不足になるところです。
そこまで分かっていて使うのはもちろん構わないのですが、そこまで分かってるならそもそも質問しないだろうというのもありまして。
No.40878 - 2016/12/17(Sat) 17:14:51
★ (No Subject) / カイト
ベクトルの問題が分からないので教えて下さると助かります。お願いします。
No.40861 - 2016/12/16(Fri) 22:11:21
☆ Re: / ヨッシー
ｐ＝ｓａ＋ｔｂ と書けたとすると
　ｘ＝ｓ−ｔ
　ｙ＝２ｓ＋ｔ
ｓ、ｔ について解いて、　ｓ＝(x+y)/3、ｔ＝(y-2x)/3
よって、
　ｐ＝{(x+y)/3}ａ＋{(y-2x)/3}ｂ
No.40862 - 2016/12/16(Fri) 22:30:45
☆ Re: / カイト
ありがとうございました_(._.)_
No.40868 - 2016/12/17(Sat) 07:57:47
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