ベクトルの外積 ↑u×↑v の成分表示の公式の証明って高校範囲だとできないのですか？もしできるのなら教えてください。
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No.40556 - 2016/11/27(Sun) 14:47:47
| ☆ Re: / X | | | 高校数学の範囲で計算するのであれば
以下のようになります
まず
↑w=↑u×↑v=(x,y,z)
↑u=(u_x,u_y,u_z)
↑v=(v_x,v_y,v_z)
と置きます。
定義から
↑u//↑vでなく、かつ|↑u||↑v|≠0
の場合を考えます。
(これ以外の場合は定義から↑w=↑0となりますので。)
このとき、外積の定義により
↑w・↑u=0 (A)
↑w・↑v=0 (B)
|↑w|=√{(|↑u|||↑v|)^2-(↑u・↑v)^2} (C)
(A)(B)(C)をx,y,zの連立方程式として解きます。
(但し、計算式はかなり煩雑になります。)
方針としては(A)(B)をy,zの連立方程式として
解いてy,zをxの式で表し、その結果を(C)に
代入する、という流れになります。
得られる(x,y,z)の組は二組になりますが、そのうち
↑uから↑vに右ねじを巻く場合に進む向きになるのが
求める外積となります。
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No.40558 - 2016/11/27(Sun) 18:14:23 |
| ☆ Re: / ABC | | | ↑u=(u_x,u_y,u_z)
↑v=(v_x,v_y,v_z)と置けるのは何故ですか？
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No.40580 - 2016/11/27(Sun) 23:52:05 |
| ☆ Re: / noname | | | >↑u=(u_x,u_y,u_z)
>↑v=(v_x,v_y,v_z)と置けるのは何故ですか？
理由を問うのはナンセンスかと思います．なぜなら，この様にベクトルの成分を設定して議論をしようとしているのですから．
そうではなくて，疑問に思われていることが「何故↑u,↑vが3次元空間のベクトルとして扱われているのか？」ということであれば，答えは「外積は2つの3次元ベクトルに関する概念であるから」です．
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No.40582 - 2016/11/28(Mon) 02:00:36 |
| ☆ Re: / ABC | | | つまり、↑u=(u_x,u_y,u_z)↑v=(v_x,v_y,v_z)は空間上の全ての点を表わしうるということですか？
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No.40583 - 2016/11/28(Mon) 07:40:29 |
| ☆ Re: / ABC | | | No.40584 - 2016/11/28(Mon) 07:44:55 |
| ☆ Re: / noname | | | >つまり、↑u=(u_x,u_y,u_z)↑v=(v_x,v_y,v_z)は空間上の全ての点を表わしうるということですか？
おそらく，記述が曖昧さがなく正確に書かれている方が質問者様にとってはかえって理解し易い気がしますので，次の記述
>↑w=↑u×↑v=(x,y,z)
↑u=(u_x,u_y,u_z)
↑v=(v_x,v_y,v_z)
と置きます。
をなるべく正確に書いてみることにします．この記述の言わんとするところは次の通りです：
[より正確な記述]
3次元ベクトル↑u,↑vであって↑u//↑vでなく，かつ|↑u||↑v|≠0を満たすものを任意に選ぶ．この↑u,↑vに対して，これらが3次元ベクトルであることから，ある実数u_x,u_y,u_z,v_x,v_y,v_zが存在して
↑u＝(u_x,u_y,u_z),↑v＝(v_x,v_y,v_z)
の様に成分表示することが出来る．また，この↑u,↑vに対して，外積↑u×↑vも3次元ベクトルであるから，ある実数x,y,zが存在して↑u×↑v＝(x,y,z)の様に成分表示することが出来る．
正確に書こうとすると上記の通りとなるのですが，通常ではこれを単に「↑u,↑vを任意の3次元ベクトルとする時，↑u,↑v,↑u×↑vの成分表示を↑u＝(u_x,u_y,u_z),↑v＝(v_x,v_y,v_z),↑u×↑v＝(x,y,z)の様に設定しておく．」などと書いたりします．
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※「より正確な記述」を基に答えるならば，
>↑u=(u_x,u_y,u_z)
>↑v=(v_x,v_y,v_z)と置けるのは何故ですか？
に対する答えは「↑u,↑vは3次元ベクトルであるから」です．ただ，
>↑w=↑u×↑v=(x,y,z)
>↑u=(u_x,u_y,u_z)
>↑v=(v_x,v_y,v_z)
>と置きます。
というのは「より正確な記述」の意味で座標設定を行っているだけですので，この意味で
>理由を問うのはナンセンスかと思います．なぜなら，この様にベクトルの成分を設定して議論をしようとしているのですから．
の様なことを申させていただきました．
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No.40585 - 2016/11/28(Mon) 13:04:38 |
| ☆ Re: / noname | | | 因みに，
>↑u=(u_x,u_y,u_z)
>↑v=(v_x,v_y,v_z)と置けるのは何故ですか？
という疑問は「『xy平面上の点を任意に1個選び，それをPとする．そして，Pの座標を(a,b)とする．』という記述に対して，『Pの座標を(a,b)とする』ことが出来るのはなぜか？」という疑問と似たようなものです．この『…』も言わんとすることは「Pの座標を設定しているだけ」ということ，或いは「Pはxy平面上の点だからある実数a,bを選んでPの座標が(a,b)である様に出来る」ということに過ぎません．
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No.40586 - 2016/11/28(Mon) 13:11:26 |
| ☆ Re: / ABC | | | なるほど、納得しました。わかりやすく教えていただき、本当にありがとうございます！
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No.40587 - 2016/11/28(Mon) 15:19:29 |
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