ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 受験生

これです

No.41212 - 2017/01/14(Sat) 10:52:57

☆ Re: / IT

1行目のbnからanへの変換をていねいに書くと　（なお添え字[n]の表記は省略）
b=(-2a+3)/(a-2)
⇔b(a-2)=-2a+3かつa-2≠0.（a-2≠0はb(a-2)=-2a+3に含まれる)
⇔ba-2b=-2a+3
⇔(b+2)a=2b+3,(このときb+2≠0)
⇔a=(2b+3)/(b+2)かつb+2≠0

なお、まず最初に分母≠0であることを示すため
a[n+1]=(5a[n]-6)/(2a[n]-2)=2+(a[n]-2)/(2a[n]-2)
よって、a[n]>2 ならばa[n+1]>2 ,またa[1]=3>2なので任意の自然数nについてa[n]>2
などとしておいた方が良いのではないか思います。

No.41213 - 2017/01/14(Sat) 11:43:19

☆ Re: / 受験生

ありがとうございます！すごく分かりやすかったです！
助かりましたっ

No.41214 - 2017/01/14(Sat) 12:27:24

★ 整数の性質 / siho

10進法で表された整数6a5b2を考える。
ただし、a,bはいずれも0以上9以下の整数である。

(1)このような整数のうち9で割り切れるものは
　 ○○個あり、そのうちで最大のものは
　　6○5○2である。

(2)このような整数のうちで12で割り切れるもの
　は○○個あり、そのうちで最小のものは
　　6○5○2である。
　
　【答え】
　　　(1) 11個　69552　
(2) 16個　60552

解説をお願いします

No.41202 - 2017/01/12(Thu) 17:31:26

☆ Re: 整数の性質 / ヨッシー

(1)
各位の数の和、つまり、
　６＋ａ＋５＋ｂ＋２＝１３＋ａ＋ｂ
が９の倍数であれば、6a5b2 は９の倍数です。
よって、１３＋ａ＋ｂが９の倍数になるには、
　ａ＋ｂ＝５　または　ａ＋ｂ＝１４
である必要があります。
　ａ＋ｂ＝５を満たすものは（　　）個
　ａ＋ｂ＝１４を満たすものは（　　）個
合わせて１１個。最大のものは　６９５５２　です。

(2)
３の倍数かつ４の倍数であれば、１２の倍数になります。
各位の数の和、つまり、
　６＋ａ＋５＋ｂ＋２＝１３＋ａ＋ｂ
が３の倍数であれば、6a5b2 は３の倍数です。
下２桁　b2　が４の倍数なら　6a5b2　は４の倍数です。
ｂの候補は、１，３，５，７，９。
ｂ＝１のとき　ａ＝１，４，７
ｂ＝３のとき　ａ＝２，５，８
ｂ＝５のとき　ａ＝・・・
ｂ＝７のとき　ａ＝・・・
ｂ＝９のとき　ａ＝・・・
あわせて１６個。最小のものはａが一番小さい 60552 です。

No.41206 - 2017/01/12(Thu) 20:50:36

★ (No Subject) / なみ

関数f(x)-x^2+2x+8がある。

f(x)の定義域を-2≦x≦aとする。ただし,aは-2より大きい実数である。

f(x)の最大値が8となるのはa=?@のときであり,最大値が9となるのはa≧?Aのときである。
また,f(x)の最大値と最小値が9となるのは?B≦a≦?Cのときである。

【答え】
　　　?@ 0　
　　　?A 1
　　　?B 1
　　　?C 4

解き方が分かりません

No.41201 - 2017/01/12(Thu) 17:19:27

☆ Re: / noname

全く同様な質問が他の質問掲示板で投稿されており(質問者と同一人物かは分かりませんが…)，そちらに回答が付いています．ですので，一度次のURL先の同様の質問の投稿を参考にされるとよいかと思います．

http://www2.ezbbs.net/cgi/bbs?id=eijitkn&dd=34&p=5

※もしURL先に投稿が見つからない場合は，URL先の質問掲示板で何ページ目にあるかを探してみてください．

No.41209 - 2017/01/13(Fri) 23:10:30

★ 2次方程式 / kana

x^2-4x+a=0…(#)
x^2-2ax-a+6=0…(##)
がある。ただしaは実数の定数である。

(1)方程式(#)が重解をもつようなaの値は?@であり,
　　２つの方程式(#),(##)がともに実数解をもつよ　　うなaの値の範囲はa≦?A,?B≦a≦?Cである。

(2)方程式(#)が負の解をもつようなaの値の範囲はa 　　＜?Dであり,２つの方程式(#),(##)がいずれも負　　の解をもたないようなaの値の範囲は?E≦a≦?F　　　である。

【答】
　　 ?@　4　
　　 ?A　-3
　　 ?B　2
　　 ?C　4
　　 ?D　0
　　 ?E　0
　　 ?F　6

解き方を教えて下さい

No.41200 - 2017/01/12(Thu) 16:14:09

☆ Re: 2次方程式 / noname

別の質問掲示板に回答が付いているようです．一度目を通してみてください．

http://www2.ezbbs.net/cgi/bbs?id=eijitkn&dd=34&p=2

※もしURL先に投稿が見つからない場合は，URL先の掲示板で何ページ目にあるのか探してみてください．

No.41208 - 2017/01/13(Fri) 22:57:34

★ (No Subject) / でそうざ

教えて下さい！（3）です。

No.41199 - 2017/01/12(Thu) 13:05:44

☆ Re: / X

条件から
sin∠MAN=sin(π-A)=sinA
=√{1-(cosA)^2}
=(2/3)√2
sin∠ANM=sinB
=(4/9)√2((2)の結果より)
一方△AMNにおいて正弦定理により
MN/sin∠MAN=AM/sin∠ANM
以上から
MN=(AMsin∠MAN)/sin∠ANM
=3・{(2/3)√2}/{(4/9)√2}
=9/2
又
cos∠MAN=cos(π-A)=-cosA
=-1/3
∴△AMNにおいて余弦定理により
(9/2)^2=AN^2+3^2-2AN・3・(-1/3)
これより
(9/2)^2=AN^2+9+2AN
AN^2+2AN-45/4=0
4AN^2+8AN-45=0
(2AN+9)(2AN-5)=0
∴AN=5/2
よって
(△AMNの面積)=(1/2)AM・ANsin∠MAN
=(1/2)・3・(5/2)・(2√2)/3
=(5/2)√2

No.41204 - 2017/01/12(Thu) 18:28:23

★ ベクトル / たゆたゆ

画像の問題の(2)の解き方を教えてください。

No.41195 - 2017/01/11(Wed) 20:06:11

☆ Re: ベクトル / X

(1)の結果より
直線PMは辺BCの垂直二等分線 (A)
一方、辺ABの中点をNとすると(1)と同様にして
↑HC=2↑NP
(注)点Pの定義式
↑HP=(1/2)(↑HA+↑HB+↑HC)
は点A,B,Cに関する対称式になっています。)
∴直線PNは辺ABの垂直二等分線
となるので
点Pは辺ABの垂直二等分線上の点 (B)
(A)(B)から命題は成立します。

No.41196 - 2017/01/11(Wed) 21:44:14

☆ Re: ベクトル / たゆたゆ

理解できました。ありがとうございます。

No.41197 - 2017/01/11(Wed) 22:18:25

☆ Re: ベクトル / IT

（別解）ベクトル計算だけでやると
Hは垂心なので　AH↑・BC↑＝BH↑・CA↑＝CH↑・AB↑＝0 …?@

PA↑=PH↑+HA↑=-(1/2)(HA↑+HB↑+HC↑)+HA↑=(1/2)(HA↑-HB↑-HC↑)
=(1/2)(BA↑-HC↑)=(1/2)(CA↑-HB↑)
同様にPB↑=(1/2)(AB↑-HC↑),PC↑=(1/2)(AC↑-HB↑)
よって　4|PA↑|^2=(BA↑-HC↑)・(BA↑-HC↑)
　　　?@より　　=|BA↑|^2+|HC↑|^2.
同様に　4|PB↑|^2=|BA↑|^2+|HC↑|^2.
よって　|PA↑|=|PB↑|.
同様に　|PA↑|=|PC↑|.

No.41198 - 2017/01/11(Wed) 22:44:16

★ (No Subject) / みかん

正方形ＡＢＣＤを底辺とする正四角推が半径1の円に内接しているものとする。正四角推の高さをhとすると正方形の一辺ＡＢの長さをｈを用いて表せ

模範解答　√｛４h−2×h^2｝
この答えを出すとしたら
直線ＡＣと直線ＢＤの交点をＦすると
ＡＦ＾2＋OF^2＝AO~2
(√2AB/2)^2＋（h−1）＾2＝1を計算すると模範解答と同じ√｛４h−2×h^2｝が出てくるんですけど……次の計算式だとなぜいけないのでしょうか？
ＡＦ＾2＋ｈ＾2＝ＡＥ＾２
(√2ＡＢ/2)^2＋ｈ＾2＝ＡＢ＾２……

No.41189 - 2017/01/10(Tue) 00:27:01

☆ Re: / angel

> 次の計算式だとなぜいけないのでしょうか？
> ＡＦ＾2＋ｈ＾2＝ＡＥ＾２
> (√2ＡＢ/2)^2＋ｈ＾2＝ＡＢ＾２……

左辺の変形は問題ないと思いますが、
右辺、AE=AB とは限りません ( 正四角錐にはそこまで強い条件はない ) ので、正しくないです。

No.41190 - 2017/01/10(Tue) 01:16:48

★ 図形 / みかん

一辺の長さが１三角形ＡＢＣがある。点ＡでＣＡ上に接し点Ｂで直線ＣＢに接する円で正三角形ＡＢＣに含まれる弧を弧ＡＢ、点Ｂで直線ＡＢに接し点ＣでＡＣに接する円で正三角形ＡＢＣに含まれるを弧ＢＣ、点Ｃで直線ＢＣに接し点Ａで直線ＢＡに接する円で正三角形に含まれる弧をＣＡとする

二つの弧で囲まれた部分の面積の和を求めたい
弧ＡＢの中心角ＡＯＢ＝2π/3
であり弧ＡＢの半径ＯＡ＝√3/3である。
また辺ＡＢと弧ＡＢが囲む面積は
（π/9）−（√3/12)って自分で計算したらなったんですけど……模範解答は（2π/9）−（√3/12)って書いてあるんですけど理由がわからない。どなたか説明してください。お願いします。

続き
これと正三角形ＡＢＣの面積が√3/4であることから求める面積は……

No.41187 - 2017/01/10(Tue) 00:09:24

☆ Re: 図形 / らすかる

(π/9)-(√3/12) で合ってますね。
(2π/9)-(√3/12) がその後の計算でも使われていれば
解答作成者の計算ミス、そうでなければ単なる誤植でしょう。

No.41188 - 2017/01/10(Tue) 00:22:08

★ (No Subject) / 〆

組み合わせの問題で、
1から15までの整数を書いたカードが各1枚、計15枚ある。この中から、同時に3枚のカードを取り出す時、取り出された3枚のカードに書かれた数が次の様になる選び方は何通りか。

(2)最小の数が5以下である

この解き方として、僕が考えたのは、1~5からの5個から1つ取り出し(5C1)、残りの14個から2個取り出した物(14C2)を掛けると言う物なんですが、答えの335通りと一致しません…この考え方は何が間違いなのでしょう……

No.41181 - 2017/01/09(Mon) 04:50:28

☆ Re: / 〆

一応、1~5の5個からまず1つ選び(5C1)、残りの14個から残りの2つ選ぶ、要するに、全てが5以下と言うパターンも含めてると思うのですが…

No.41182 - 2017/01/09(Mon) 04:56:33

☆ Re: / らすかる

1～5の5個から1つ「2」を取り出して残りの14個から「3」と「5」を取り出した場合と
1～5の5個から1つ「3」を取り出して残りの14個から「2」と「5」を取り出した場合と
1～5の5個から1つ「5」を取り出して残りの14個から「2」と「3」を取り出した場合は
全部同じで「2,3,5」の1通りですが、5C1×14C2では3通りと数えてしまいますね。
また
1～5の5個から1つ「2」を取り出して残りの14個から「3」と「6」を取り出した場合と
1～5の5個から1つ「3」を取り出して残りの14個から「2」と「6」を取り出した場合も
同様です。

No.41183 - 2017/01/09(Mon) 04:57:29

☆ Re: / 〆

すみません理解しました！いつもありがとうございます！(*´ω｀人)

No.41184 - 2017/01/09(Mon) 05:16:19

★ (No Subject) / ゲノ）

この問題の（3）のノ〜解説見てもわかりません(TT)
数学が苦手な僕にもわかるように解説していただけないでしょうか？(;_;)(;_;)

No.41177 - 2017/01/08(Sun) 21:54:46

☆ Re: / ゲノ）

すみません言い忘れてました
数2の図形と方程式の問題です

No.41178 - 2017/01/08(Sun) 21:56:23

☆ Re: / noname

C_1とC_2の接点をC，Cから直線ℓ_1への垂線の足をD，直線ℓ_1とy軸の交点をE，Bから直線ℓ_1への垂線の足をFとすると，直線OEと直線CDは平行でありOA：OD＝√5：1であるから，

(Cのx座標)＝DE＝AE・DE/AE＝4・OD/OA＝4/√5.

また，Cが直線OA上にあることからCの座標は(4/√5,2/√5)であることが分かります．ここで，C_2の中心Bの座標を(X,Y)と設定すると，Bが直線OA上にあることからY＝X/2が成立し，BC＝(C_2の半径)＝BFであることと

BC^2＝(X-4/√5)^2+(X/2-2/√5)^2,
BF^2＝(X/2+2)^2

により，次の式が成立します．

(X-4/√5)^2+(X/2-2/√5)^2＝(X/2+2)^2.

このXについての2次方程式を解けばBのx座標の値が分かり，この値と直線OAの式よりBのy座標の値も直ちに分かるかと思います．C_2の半径の計算は線分BFの式で計算するとよいでしょう．

No.41191 - 2017/01/11(Wed) 00:51:36

☆ Re: / noname

別解を思いついたので以下に与えておきます(こちらが想定される主な解答例の様な気がします…)．

[別解]
C_2とℓ_1がたがいに接することとBが直線OA上にあることから，Bの座標を(X,Y)と設定するとY＝X/2が成立し，

(C_2の半径)＝Y-(-2)＝X/2+2.

また，C_1とC_2は互いに外接しているから，これらの中心間の距離はC_1とC_2の半径の和に等しい．よって，

(X/2+2)+2＝√(X^2+(X/2)^2).
∴X/2+4＝√5X/2.
∴X＝…….

この時，Yの値とC_2の半径の値が容易に分かる．

No.41192 - 2017/01/11(Wed) 01:44:15

★ 数1 / あ

数1の問題なのですが、解答がついておりません。
2の（2）以外の解答お願いいたします。

No.41173 - 2017/01/08(Sun) 02:02:29

☆ Re: 数1 / IT

１だけ　x=1/(√5-2) 分母分子に√5+2を掛けて　分母を有理化　x=√5+2 …(1)
y=1/(√5+2) 分母分子に√5-2を掛けて　分母を有理化　y=√5-2 …(2)
xy=1…(3),x+y=2√5…(4)

(x/y)+(y/x)=(x^2+y^2)/xy
(3)より
=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy ,このあと(4)(3) を使う

(1)(2)より
x^3-y^3=(√5+2)^3 - ((√5-2)^3 = 2(3((√5)^2)2+2^3)

No.41176 - 2017/01/08(Sun) 18:18:47

☆ Re: 数1 / あ

ありがとうございます。
1⑴18
⑵76
2⑴（4x+9）（6x+7）
3⑴3±√17
⑵x=1,3
4⑴x>11/3
⑵-2√2<x<5/2
⑶-3/2<x<1
で合ってますでしょうか？

No.41180 - 2017/01/09(Mon) 01:34:21

☆ Re: 数1 / IT

4(1),(2) は、まちがっていると思います。
途中式を書かれるとアドバイスが受けられやすいですよ。

No.41185 - 2017/01/09(Mon) 08:37:57

★ 台形の相似条件 / √

教えてください。
基本が分からなくなってしまいました。

「三角形」の場合は、その三角形の中に、
底辺に平行な線を引けば、全ての角度が同じになり、
相似になりますが、

「台形」の場合は、その台形の中に、
底辺に平行な線を引けば、全ての角度が同じに
なりますが、相似になりません。

「台形」の場合の相似条件は、
「全ての角度が同じ」かつ
「上底の長さ　対　下底の長さ　の比が同じ」
であってますでしょうか？

No.41163 - 2017/01/07(Sat) 22:45:54

☆ Re: 台形の相似条件 / らすかる

長方形は台形に含まれますが、
ある長方形と「全ての角度が同じ」（＝全ての角度が90°）かつ
「上底の長さ　対　下底の長さ　の比が同じ」（＝対辺の長さの比が１）
では相似になりませんね。
もう少し条件が必要です。
（平行四辺形でも同様に反例になります）

No.41164 - 2017/01/07(Sat) 22:58:36

☆ Re: 台形の相似条件 / √

らすかるさん　有難うございます。

では、二つの四角形において（台形や平行四辺形）
?@対応する角度が全て同じ
　かつ
?A「上底」　対　「下底」の比が同じ
　かつ
?B「上底ｏｒ下底」　対　「高さ」の比が同じ

で、どうでしょうか？

宜しくお願いいたします。

No.41166 - 2017/01/07(Sat) 23:42:29

☆ Re: 台形の相似条件 / らすかる

問題ないと思いますが、?Bがあれば?Aは不要ですね。

No.41168 - 2017/01/08(Sun) 00:33:45

☆ Re: 台形の相似条件 / √

らすかるさん
有難うございます。

では、
全ての対応する角度が同じなら相似になるのは、
三角形だけと考えれば良いですか？

No.41170 - 2017/01/08(Sun) 00:50:15

☆ Re: 台形の相似条件 / らすかる

多角形の中では三角形だけですね。

No.41171 - 2017/01/08(Sun) 01:19:34

☆ Re: 台形の相似条件 / √

> 多角形の中では三角形だけですね。

らすかるさん
有難うございました。

中学の時は、合同条件・相似条件を教わったのは、
「三角形」だけで、「多角形」の場合や「立体」の場合は
教わってないんですよね。

お返事、遅くなって、すみませんでした。

No.41174 - 2017/01/08(Sun) 13:38:34

★ 関数 / サラ

画像の問題の1)の軌跡はどのような感じになりますか？ご教授願います。

No.41155 - 2017/01/07(Sat) 12:50:34

☆ Re: 関数 / noname

{f(t)}^2,{g(t)}^2を式展開してみましょう．その後に両者の式の形を比べてみましょう．

No.41156 - 2017/01/07(Sat) 13:05:08

☆ Re: 関数 / angel

あるいは、a^t=…, a^(-t)=… の形で整理して、
　a^t・a^(-t)=1
を利用するのもありますね。

※ α=(p+q)/2, β=(p-q)/2 の形があれば、p=α+β, q=α-β になりますよね。

No.41159 - 2017/01/07(Sat) 19:34:31

★ 図形 / わかりません

円周角の定理を利用する問題なのですが、いろいろ考えて見ましたが、何かを見落としてるのか答えまでたどり着けません。ご指導よろしくお願いいたします。中学3年レベルです。

No.41148 - 2017/01/06(Fri) 22:10:21

☆ Re: 図形 / noname

条件より三角形ABPと三角形ACQが合同であることが分かります．よって，

∠ACQ＝∠ABP＝90°－38°＝52°

No.41151 - 2017/01/06(Fri) 22:46:55

☆ Re: 図形 / わかりません

ありがとうございました。
合同条件見落としてました。

No.41152 - 2017/01/06(Fri) 23:10:42

★ 因数分解 / あ

こちらの回答、解説お願いいたします。
数１です。

No.41145 - 2017/01/06(Fri) 19:51:31

☆ Re: 因数分解 / らすかる

x^2-5xy+6y^2 を因数分解すると (x-2y)(x-3y)
x^2+3x-4を因数分解すると (x+4)(x-1)
6y^2-10y-4を因数分解すると (3y+1)(2y-4)=(-3y-1)(-2y+4)
この3つを見ると
(x-2y)と(x+4)と(-2y+4)を混ぜて (x-2y+4)
(x-3y)と(x-1)と(-3y-1)を混ぜて (x-3y-1)
とすればすべてうまくいくことがわかります。
従って答えは(x-2y+4)(x-3y-1)です。

No.41150 - 2017/01/06(Fri) 22:43:19

☆ Re: 因数分解 / あ

ありがとうございます！
解いてみます。

No.41172 - 2017/01/08(Sun) 01:58:25

☆ Re: 因数分解 / あ

x^2-5xy+6y^2 を因数分解すると (x-2y)(x-3y)までは解くことができたのですが、
そこからx^2+3x-4のx^2はどこから出てきましたか？
本当に訳が分からなくなってしまいました。。

No.41179 - 2017/01/09(Mon) 01:23:35

☆ Re: 因数分解 / らすかる

x^2-5xy+6y^2+3x-10y-4 から 2次の項を取り出すと x^2-5xy+5y^2
x^2-5xy+6y^2+3x-10y-4 から yを含まない項を取り出すと x^2+3x-4
x^2-5xy+6y^2+3x-10y-4 から xを含まない項を取り出すと 6y^2-10y-4
です。

No.41186 - 2017/01/09(Mon) 16:20:18

★ 式の変形 / ひーこ

画像の（3）と（4）の問題が二乗があって解き方と答えがわかりません
よろしくお願いします

No.41136 - 2017/01/05(Thu) 20:51:11

☆ Re: 式の変形 / angel

(3)
(1-x^2)=4 だと、xについて解くと「複素数」というものが出てくるのですが、これは中学範囲外のはずです。問題は合ってるでしょうか?

(4)
V=1/3・a^2・h を h について解く、なので
最終形として h=～の形にどうもってくるか、です。

h には 1/3 や a^2 といった余計なものが掛けられているので、それをどうやってはがしていくか、がカギになります。

　V=1/3・a^2・h
　⇔ 3・V=3・1/3・a^2・h　( 両辺に3をかける )
　⇔ 3V=a^2・h
　⇔ 3V/a^2=a^2・h/a^2　( 両辺をa^2で割る )
　⇔ 3V/a^2=h ⇔ h=3V/a^2

というようにしていきます。

No.41139 - 2017/01/05(Thu) 21:54:56

☆ Re: 式の変形 / ひーこ

（3）の問題は私の書き間違いのミスでした
すいません
これが正しい問題でした
（4）は理解できました
丁寧に答えてくれてありがとうございます

No.41141 - 2017/01/05(Thu) 22:10:41

☆ Re: 式の変形 / angel

(3) (1-x)^2=4 ですね。了解です。

多分模範解答的には、2乗の差の因数分解を使うことになると思います。

　5^2-3^2=(5+3)(5-3)=16

みたいにするヤツです。

つまり、

　(1-x)^2=4
　⇔ (1-x)^2-2^2=0　( 4=2^2だから )
　⇔ ( (1-x)+2 )( (1-x)-2 )=0
　⇔ (3-x)(-1-x)=0
　⇔ x=3,-1　※これは x=3 or x=-1 の意味であることに注意

ただ、別に泥臭くやっても悪いことはないです。
A^2=4 のような形があれば A=2 or A=-2 ( 一般には A=±2 と書いてますが ) なので、

　(1-x)^2=4
　⇔ 1-x=2 or 1-x=-2
　⇔ x=-1 or x=3 ( 書くなら x=3,-1 )

ということで、どちらでやっても同じ結果になります。( 3 と -1 の順序はどっちがどっちでも良いので… )

No.41142 - 2017/01/05(Thu) 22:29:01

☆ Re: 式の変形 / ひーこ

解き方がよくわかりました
本当にありがとうございました
またわからないところがあればよろしくお願いします

No.41143 - 2017/01/05(Thu) 22:47:47