次の極値を指定された条件のもとでラグランジュの未定乗数法を用いて求めよ.
2xy^(2)+x^(2)y=8のときF(x,y)=x+2y
H(x,y)=x+2y-λ(2xy^(2)+x^(2)y-8)とおく.
G(x,y)=2xy^(2)+x^(2)y-8=0...?@
という条件のもとでF(x,y)の極値を求める.
G_x(x,y)=2y^2+2xy=0
2y(y+x)=0 ∴y=0またはy=-x
G_y(x,y)=4xy+x^2=0
x(4y+x)=0 ∴x=0またはy=-x/4
y=0のとき,x=0となるがG(0,0)=-8=0となり矛盾
y=-xのとき,y=-x/4のときx=0となり同様に矛盾する.
したがって,G(x,y)=G_x(x,y)=G_y(x,y)=0となる点は存在しない.(つまりラグランジュの未定乗数法が使える)
H_x(x,y)=1-2λy^2-2λxy=0...?A
H_y(x,y)=2-4λxy-λx^2=0...?B
?B-?A×2より,4λy^2=λx^2
λ=0のとき?Aより1=0となり矛盾するためλ≠0である.
よって4y^2=x^2 ∴x=±2y
これを?@に代入して,
x=2yのとき,y=1となるからx=2
x=-2yのとき,-8=0となり矛盾する.
以上より極値の候補点は(x,y)=(2,1)であり,
このときのF(x,y)の値は
F(2,1)=4である.
ここで質問です.この後に点(2,1)で極値をとるか判定したいのですがどうやってすればいいのですか?
陰関数はなるべく使わないようにと言われました.
また,別の例題では
D={(x,y)|x^2+y^2-1=0}(この例題では束縛条件がx^2+y^2=1でした.)を考えるとDは有界閉集合でありD上の連続関数F(x,y)は最大値と最小値をもつ.
よって(x,y)=〜〜のとき極小値〜〜
このようにして極値の候補点で実際に極値をとるという風に考えていました.
今回もこのように記述すればよいのですか?
僕自身上記のやり方はあまり理解していないので教えてほしいです.
調べたところワイヤシュトラスの定理?といってDが有界閉集合でありF(x,y)が連続ならば最大値と最小値をもち,それが極大値と極小値になる.
みたいな感じで理解しています(もしかしたら間違っているかもしれません.)
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No.40514 - 2016/11/25(Fri) 18:29:27
| ☆ Re: ラグランジュの未定乗数法 / らぐ | | | 調べたところ縁付きヘッシアンという行列式の値を考えれば極大か極小かわかるということも発見しました.
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No.40534 - 2016/11/26(Sat) 13:31:17 |
| ☆ Re: ラグランジュの未定乗数法 / noname | | | 条件付き極値問題に関する質問ですね．本問の場合では
F(x,y,λ)＝x+2y-λ(2xy^2+x^2y-8)
の様に3変数関数Fを定義し，次の?@,?A
?@Fの停留点を求める．すなわち，F_x＝F_y＝F_λ＝0を満たす点(x,y,λ)を求める．
?A?@で求めた各点に対する縁付きのHessianの値の正負を調べる．この結果によりf(x,y)＝x+2yの極値の存在について考える．
について考えればよいです．
※質問文中にあるHはx,yの2変数に関する関数として与えられていますが，正しくはx,y,λの3変数に関する関数ではありませんか？
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No.40559 - 2016/11/27(Sun) 20:09:17 |
| ☆ Re: ラグランジュの未定乗数法 / noname | | | >Dが有界閉集合でありF(x,y)が連続ならば最大値と最小値をもち,それが極大値と極小値になる.
今回はこれは使えません．実際，曲線2xy^2+x^2y＝8は有界ではないため，この曲線は有界閉なものではないです．有界閉集合上の連続関数に関する極値問題であれば最大或いは最小となる点を探すだけで十分なのですが，一般的には与えられた関数の定義域が有界閉なものであるとは限らないため，縁付きのHessianによる判別が必要となります．
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No.40560 - 2016/11/27(Sun) 20:37:55 |
| ☆ Re: ラグランジュの未定乗数法 / らぐ | | | 返信遅れてすみません.
確かにH(x,y,λ)が正しいですね.
極値判定は縁付きのヘッシアンで判定していこうと思います.
ありがとうございました.
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No.40642 - 2016/12/02(Fri) 01:39:10 |
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