ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ゆう

平面上に同心円C,C'があり、半径をそれぞれr,1(0<r<1)とする
（１）C'に内接しCに外接する正三角形の１辺の長さとrの値を求めよ
（２）C'に内接するどのような鋭角三角形Cと共有点を持つようなrの取り得る値の範囲を求めよ

No.40457 - 2016/11/21(Mon) 19:54:26

☆ Re: / angel

(1)
これは図を描きましょう。
正三角形の1辺の長さは√3、正三角形に内接するCの半径は r=1/2

(2)
(1)の時がrの最小なので、1/2≦r＜1

…だと流石に手抜きなので一応。
三角形をPQRとすると、「Cと三角形が共有点を持つ」というのは、Cが、PQ,QR,RPいずれかの辺と共有点を持つということになります。

ここで、辺の1つQRに着目すると、円の中心からの距離は cosP です。( 円周角Pに対し、中心角2Pとなることに注意 )
そのため、QRと円が共有点を持つ条件は r≧cosP です。

他の辺も同様なので、結局円と三角形が共有点を持つのは、
　r≧cosP または r≧cosQ または r≧cosR
　⇔ r≧mim(cosP,cosQ,cosR)
　⇔ r≧cos(max(P,Q,R)) ※cosは角が大きいほど値が小さくなる
max(P,Q,R)の最小値は P=Q=R となる時の60°、つまり(1)の状況になるのです。

No.40461 - 2016/11/21(Mon) 21:41:10

★ 解けなくて困っています。 / さいん

科甲の問題なんですけどいくら考えてもわかりません。
解法とかネットで調べても出てこなくて困っています。
数学的に解くにはどうすれば良いのでしょうか。

No.40450 - 2016/11/20(Sun) 23:46:48

☆ Re: 解けなくて困っています。 / さいん

問題です。

No.40451 - 2016/11/20(Sun) 23:47:27

☆ Re: 解けなくて困っています。 / みずき

Pizza theorem ですね。↓
https://en.wikipedia.org/wiki/Pizza_theorem

右の上から2個目の図が
Proof without words for 8 sectors
と書いてあります。

日本語では
『ピーター・フランクルの中学生でも分かる
大人が解けない問題集』
に載っていたような記憶があります。

No.40452 - 2016/11/21(Mon) 00:02:09

☆ Re: 解けなくて困っています。 / さいん

有難うございます！助かりました！

No.40453 - 2016/11/21(Mon) 00:12:14

★ 積分 / 酵母菌

(1)放物線y=2+2x-x^2とx軸で囲まれる図形の面積を直線y=mx+2が2等分するようなmの値を求めよ。
mが正の場合と負の場合とで分けて考えるのでしょうか？
(2)放物線y=-x^2+2x上の点P(t,-t^2+2t)における接線lと放物線y=x^2とで囲まれた部分の面積の最小値を求めよ。
添付画像のところまで解いたのですが、ここからどうすれば良いのかわかりません。
上記の事を教えていただきたいです。よろしくお願い致します。

No.40448 - 2016/11/20(Sun) 22:52:51

☆ Re: 積分 / 酵母菌

画像が見にくいですね…

No.40449 - 2016/11/20(Sun) 22:55:24

☆ Re: 積分 / angel

(2) もう解けたも同然だと思いますよ。
あー…、ただ惜しいことにちょっとミスがあります。

Sを件の面積だとして、S=1/6・(8t-8t+4)^3 のところ、3乗じゃなくて 3/2乗ですね。途中まではちゃんと 3/2乗なので、惜しいところです。

で、S=1/6・(8t^2-8t+4)^(3/2) と分かっていて、() の中身の t の2次式は t=1/2 で最小値を取ることも突き止めている ( 画像の最後の平方完成 )
であれば、8t^2-8t+4 の t=1/2 の時の値、2 を使って S=1/6・2^(3/2) を計算して終わりです。

なお、( 面積を計算して正の値が出る以上 ) 自明ではあるのですが、接線とy=x^2とが交点を持つことは、ちゃんと言っておく必要があると思います。

No.40454 - 2016/11/21(Mon) 00:12:17

☆ Re: 積分 / angel

(1) 場合分けは特に必要ありません。
添付の図のように、まず分かり易い所で線を引いて、どっちの方が大きいかを考えてみます。今回は右上の方が小さいです。

そしたら、半分の面積になるように境界線をずらすことを考えます。面積の変化は三角形で考えることができます。

なお、添付の図のグラフは適当に描いているので、答えとは合っていません。( 答えに合わせると非常に微妙な図になってしまうので… )

No.40455 - 2016/11/21(Mon) 00:39:52

★ 約数の個数 / 雪

ｐを素数、ｎを正の整数とする。(ｐ^ｎ)！はｐで何回割り切れるか。

自分の考え方のどこが間違えているのかがわからないので教えてください。

ｐで1回割り切れるのはｐ^ｎ－ｐ、ｐ^－２ｐ、…ｐ^ｎー(ｐ－１)ｐのｐー１個、ｐで2回割り切れるのはｐ^ｎーｐ^２、ｐ^ｎー２ｐ^２…ｐ^ｎー（ｐ－１）ｐ^２のｐ－１個、…ｐでｎー１回割り切れるのはｐ^ｎーｐ^(ｎー１)、ｐ^ｎー２ｐ^（ｎー１）…ｐ^ｎー(ｐ－１)ｐ^(ｎー１)のｐー１個なので、１・（ｐ－１）＋２・（ｐ－１）＋…＋（ｎー１）・（ｐ－１）＋ｎを計算して答えになると思ったんですが、全然違いました。どこが間違えているんでしょうか。

No.40443 - 2016/11/20(Sun) 18:17:21

☆ Re: 約数の個数 / angel

> ｐで1回割り切れるのは ( 中略 ) のｐー１個
ここが違います。もっと多いです。

例えば、p=3,n=4 の 81! で考えてみると、
1～81 までかけている中で、3で1回だけ割り切れるのは、

　3,6,　12,15,　21,24,　30,33,　39,42,　48,51,　57,60,　66,69,　75,78

の18個です。p-1より断然多いです。
この18がどこから出たかと言えば、81÷3-81÷9 ですね。

1回割り切れる場合以外でも似たような計算になります。

No.40444 - 2016/11/20(Sun) 18:29:41

★ (No Subject) / ゆう

4,5,6
お願いします！

No.40436 - 2016/11/20(Sun) 14:21:23

☆ 問4 / angel

問4.
答えは n=3 のみです。

まずΣを計算して、条件は「2^(n-1)・(2^n+1) が平方数」と同値と分かります。
そのため、2の素因数に着目すると、2^n+1 が奇数のため、2^(n-1) で2の素因数が偶数個、すなわち n が奇数。
同時に、2^n+1 が平方数です。

2^n+1 が平方数かつ奇数なので、(2k+1)^2 と置くと、

　2^n+1 = (2k+1)^2
　⇔ 2^n+1 = 4k(k+1)+1
　⇔ 2^(n-2) = k(k+1)

左辺は素因数を2以外に含まない点、右辺の項 k, (k+1) はどちらかが奇数であることから、その奇数の項は 1 であることが必要です。
k+1=1 では k(k+1) の値が 0 になって不適なので、k=1、この時 n=3 です。( これはちゃんと「nが奇数」も満たしています )

No.40441 - 2016/11/20(Sun) 16:52:02

☆ Re: / ゆう

ありがたいです
5、6もお願いできますか？

No.40442 - 2016/11/20(Sun) 17:42:28

☆ 問5 / angel

問5.
※小文字エルは見辛いので、大文字エルで代用します
(x,y)を極座標表現すると、(e^(aθ),θ)のため、曲線Cの方程式は r=e^(aθ) (0≦θ≦t) です。
なので、S,Lは淡々と次の積分計算を行います。

　L=∫[0,t] r・dθ=∫[0,t] e^(aθ)・dθ=1/a・(e^(at)-1)
　S=∫[0,t] 1/2・r^2・dθ=1/2・∫[0,t] e^(2aθ)・dθ=1/(4a)・(e^(2at)-1)

一旦 e^(at)=w と置きます ( e^(2at)=w^2, a,tが正であることから w＞1 )
すると、

　L=1/a・(w-1)
　S=1/4a・(w^2-1)

S=L^2 からまとめると、w=(4+a)/(4-a) なお、w＞1 ですから分母 4-a＞0 を満たしています。

で、w=e^(at) で戻します。

　e^(at)=(4+a)/(4-a)
　⇔ at=log( (4+a)/(4-a) )
　⇔ t=1/a・( log(4+a)-log(4-a) )

これで t が分かりました。極限 lim[a→+0] t ですが、
f(x)=log(4+x) ( x＞-4 ) という関数を導入して考えます。この導関数は f'(x)=1/(4+x) です。

ここから微分係数の定義に立ち返って、
　lim[x→0] ( f(x)-f(0) )/x=lim[x→0] (f(0)-f(-x))/x=f'(0)
よって、2つを足し合わせて
　lim[x→0] ( ( f(x)-f(0) )/x + (f(0)-f(-x))/x )=2f'(0)=1/2
　⇔ lim[x→0] (f(x)-f(-x))/x=1/2
　⇔ lim[x→0] 1/x・(log(4+x)-log(4-x))=1/2
この左辺は lim[a→+0] 1/a・(log(4+a)-log(4-a)) と等しくなりますから、lim[a→+0]t=1/2
※両側極限があるなら、片側極限も同じ値

No.40445 - 2016/11/20(Sun) 18:57:33

☆ 問6 / angel

問6.
なかなか一筋縄ではいかないので、w=cosθ+isinθ と置いてまとめます。

まず、平行四辺形の構成から z=1+w
1/z^2 の存在範囲を考える以上、z≠0 なので、w≠-1
w=cosθ+isinθ ( -π＜θ＜π ) と置くことができます。

この時、
　z=1+w
　=(1+cosθ)+isinθ
　=2(cos(θ/2))^2+2isin(θ/2)cos(θ/2)
　=2cos(θ/2)( cos(θ/2)+isin(θ/2) )

よって、
　z^2=4(cos(θ/2))^2・(cosθ+isinθ)=2(1+cosθ)・(cosθ+isinθ)
　1/z^2=1/( 2(1+cosθ) )・(cosθ-isinθ)
ということで、1/z^2 の満たす条件を極方程式で表すと、
　r=1/( 2(1+cos(-θ)) )=1/(2(1+cosθ))
　⇔ r+rcosθ=1/2

1/z^2=x+iy と置く時 ( r=√(x^2+y^2) )、x=rcosθのため、
　r+rcosθ=1/2 ⇔ r=1/2-x

ということで、1/z^2=x+iy の描く軌跡は、原点を焦点、x=1/2 を準線とする放物線 x=1/4-y^2

No.40446 - 2016/11/20(Sun) 19:14:16

☆ Re: / ゆう

5ですか極方程式の積分を使わずにそのまま媒介変数θの積分をすることは可能ですよね？
計算がすごく煩雑になるのですが
S=(1/2)e^(2at)sintcost+1/2∫[t→0]e^(2at)(asin2θ＋cos2θ-1)dθとなりました
これはあっていますかね？
またこの積分だと　同型出現型でかなり計算量膨らみますよね・・・

No.40447 - 2016/11/20(Sun) 22:48:24

☆ Re: / angel

> 5ですか極方程式の積分を使わずにそのまま媒介変数θの積分をすることは可能ですよね？

はい。それは可能です。
極座標でやるよりちょっと面倒ではありますが…、結果的には同じ 1/2・∫[0,t] e^(2aθ)・dθ が導かれます。

なお、計算の過程は次のような感じになります。

S=1/2・∫[0,t]|xdy/dθ-ydx/dθ|dθ
　=1/2・∫[0,t]|e^(aθ)・cosθ・e^(aθ)・(asinθ+cosθ)-e^(aθ)・sinθ・e^(aθ)・(acosθ-sinθ)|dθ
　=1/2・∫[0,t]|e^(2aθ)・( cosθ(asinθ+cosθ)-sinθ(acosθ-sinθ) )|dθ
　=1/2・∫[0,t] e^(2aθ)・dθ

No.40456 - 2016/11/21(Mon) 01:09:03

★ 数列 / ゆう

√nの整数部分をp[n]とするとき,
a[n]=n-(p[n])^2で定義される数列a[n]について,a[n]=50となる最小のnの値Nを求めよ.また、数列a[n]の初項から第N項までの総和を求めよ

お願いします

No.40434 - 2016/11/20(Sun) 14:19:16

☆ Re: 数列 / みずき

小さいnで様子を調べてみます。

n:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,...
p[n]:1,1,1,2,2,2,2,2,3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4,...
a[n]:0,1,2,0,1,2,3,4,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0,...

kを正の整数とします。
nがk^2以上(k+1)^2未満であるとき
k≦√n＜k+1なのでp[n]=k
a[n]=n-k^2は0以上2k+1未満の値を取ります。

前半部分：
n=(k+1)^2-1のときを調べればよく
(a[n]=)2k=50を解くとk=25だからN=26^2-1

後半部分：
Σ[n=1,N]a[n]
=(0+1+2)+(0+1+2+3+4)+・・・+(0+1+2+・・・+50)
=Σ[k=1,25](1+2+・・・+2k)
=Σ[k=1,25]k(2k+1)
=・・・（以下略）

No.40439 - 2016/11/20(Sun) 15:23:40

★ 2変数のマクローリン展開 / りんご

このマクローリン展開の過程を知りたいです。

No.40426 - 2016/11/19(Sat) 15:49:31

☆ Re: 2変数のマクローリン展開 / angel

今回、ほとんどの項が0になって消えますからねえ…。
具体例は http://mathtrain.jp/multitaylor あたりを参考にされると良いのではないでしょうか。

f(x,y)=ylog(1+x) として、x=y=0 における偏導関数の値を fx ( ∂f(x,y)/∂x ) とか fxy ( ∂^2(f(x,y))/∂x∂y ) とか表すことにすると、

　1/2!・2・fxy・xy + 1/3!・3・fxxy・x^2・y + (4次以上)

となっています。( その他は全て 0 で消える )

一般的には

　f
　+ 1/1!・( fx・x + fy・y )
　+ 1/2!・( fxx・x^2 + 2fxy・xy + fyy・y^2 )
　+ 1/3!・( fxxx・x^3 + 3fxxy・x^2・y + 3fxyy・xy^2 + fyyy・y^3 )
　+ …

というような計算になります。

No.40428 - 2016/11/19(Sat) 18:05:11

☆ Re: 2変数のマクローリン展開 / りんご

解決しました！

No.40429 - 2016/11/19(Sat) 22:26:24

★ 共通部分の基底について / りんご

(17)の解き方がわかりません

No.40423 - 2016/11/19(Sat) 13:16:00

☆ Re: 共通部分の基底について / angel

※縦で書くのが大変なので、ベクトルを [a,b,c,d] のように横に書きます。

W1 は書き換えると W1={ [x1,x2,x3,x4]=p[1,2,3,4]+q[4,3,2,1] } のように、基底の線型和で部分空間を表す形式、
W2 は W2={ [x1,x2,x3,x4] | x1+x2+x3+x4=0, 3x1-2x2-2x3+3x4=0 } と、方程式で表す形式です。

であれば、共通部分W1∩W2は、両者をミックスさせて

W1∩W2={ [x1,x2,x3,x4]=p[1,2,3,4]+q[4,3,2,1] | x1+x2+x3+x4=0, 3x1-2x2-2x3+3x4=0 }

とすることができます。
x1～x4の条件を示す方程式は、p,qの方程式へと書き換えられますから、それでp,qどちらかを消すことで、1次元の空間が出てきます。

No.40424 - 2016/11/19(Sat) 13:48:21

☆ Re: 共通部分の基底について / りんご

ありがとうございました！

No.40425 - 2016/11/19(Sat) 13:56:16

★ (No Subject) / アンドロイドは電気羊

高1です。解説が書いてありません。

No.40413 - 2016/11/18(Fri) 20:54:06

☆ Re: / アンドロイドは電気羊

なぜsinθ+cosθの範囲が-ルート2からルート2になるか教えてください。

No.40414 - 2016/11/18(Fri) 20:55:22

☆ Re: / angel

三角関数の合成というやつです。教科書等でも確認してください。

sin(π/4)=cos(π/4)=1/√2 ですから、

　sinθ+cosθ
　= √2・(sinθ・1/√2 + cosθ・1/√2 )
　= √2・(sinθcos(π/4)+cosθsin(π/4))
　= √2・sin(θ+π/4)

sin(θ+π/4) は -1～1 の範囲ですから、sinθ+cosθはその√2倍の範囲になるということです。

No.40415 - 2016/11/18(Fri) 21:08:52

☆ Re: / アンドロイドは電気羊

なるほど！　ありがとうございます。
ちなみに答えの求め方はどんなふうになりましたか？

No.40416 - 2016/11/18(Fri) 21:39:27

☆ Re: / angel

(sinθ+cosθ)^2
=(sinθ)^2+(cosθ)^2+2sinθcosθ
=1+2cosθsinθ

t=sinθ+cosθ とするとき、-√2≦t≦√2
2sinθcosθ=t^2-1, 元の方程式は t^2+t+a-1=0

-√2≦t≦√2 にこの方程式が少なくとも1つ解を持つ条件が答え
f(t)=t^2+t+a-1 と置くと、( 平方完成すると f(t)=(t+1/2)^2+a-5/4 )
次のいずれかの条件を満たす時

* t=√2 を解に持つ: f(√2)=0
* t=-√2 を解に持つ: f(-√2)=0
* -√2＜t＜√2 に1つだけ解を持つ: f(√2)f(-√2)＜0
* -√2＜t＜√2 に2つ解を持つ ( 重解含む ):
f(√2)＞0 かつ f(-√2)＞0 かつ -√2＜-1/2＜√2 かつ a-5/4≦0

整理してまとめて -1-√2≦a≦5/4

最終的には、2次方程式の解の存在条件の問題になる、ということです。

No.40417 - 2016/11/18(Fri) 22:20:53

★ (No Subject) / 大輝

［1］だけお願いします

No.40410 - 2016/11/18(Fri) 14:54:03

☆ Re: / ヨッシー

[1](1)

図は、ｎ＝３の時に対象となる格子点です。
個数を式で書くと
　{(2^3+1)－2^0}＋{(2^3+1)－2^1}＋{(2^3+1)－2^2}＋{(2^3+1)－2^3}
となります。一般のｎの場合は
　{(2^n+1)－2^0}＋{(2^n+1)－2^1}＋・・・＋{(2^n+1)－2^(n-1)}＋{(2^3+1)－2^n}
　＝(n+1)(2^n+1)－{2^0＋2^1＋・・・＋2^(n-1)＋2^n}
　＝(n+1)(2^n+1)－{2^(n+1)－1}
となります。

(2)

図のように、ｙが
１　のとき　格子点１個
２～３　のとき　格子点２個
４～７　のとき　格子点３個
　・・・
2^n～2^(n+1)－1 のとき　格子点ｎ＋１個
ｙ＝１からｙ＝2^n－1 までの個数Ｓn は
　Ｓｎ＝1・1＋2・2＋4・3＋・・・＋2^(n-1)・n　　・・・(i)
２倍して
　２Ｓn＝　　2・1＋4・2＋8・3＋・・・＋2^n・n　　・・・(ii)
(ii)－(i)
　Ｓn＝－{1＋2＋4＋8＋・・・＋2^(n-1)}＋2^n・n
　　＝1－2^n＋2^n・n
　　＝1＋(n－1)2^n
これが 2017 に近くなるｎを見つけると
　Ｓ8＝1＋7・256＝1793
　Ｓ9＝1＋8・512＝4097
なので、ｙ＝１からｙ＝５１１までで格子点は1793個。
ｙ＝2^9＝512 からは 10 個ずつ増えていくので
(以下略)

No.40411 - 2016/11/18(Fri) 16:02:05

★ 円と放物線の共通接線 / 中田健太

よろしくお願いいたします解けませんでした

No.40407 - 2016/11/18(Fri) 05:15:48

☆ Re: 円と放物線の共通接線 / X

(1)
条件からlの方程式は
x(√3)/2-y/2=1
∴y=x√3-2 (A)
lとC[2]との接点のx座標について
x√3-2=ax^2+1
∴ax^2-x√3+3=0 (B)
(B)はxの二次方程式で条件から
重解をもつので解の判別式を
Dとすると
D=3-12a=0
∴a=1/4
これを(B)に代入して
x=2√3
(A)に代入して
y=4
∴(s,t)=(2√3,4)

(2)
求める面積をSとすると(1)の結果により
S=∫[0→2√3]{{(1/4)x^2+1}-(x√3-2)}dx
=…

(3)
三角関数の積分を学習済みであると仮定して
回答します。
(学習済みでないなら、別解を提示しますので
その旨をアップして下さい。)
(A)より
x=(y+1)/√3
又(1)の結果によりC[1]の方程式は
y=(1/4)x^2+1
∴x≧0の部分について
x=2√(y-1)
これらと(1)の結果により、求める面積を
Sとすると
S=∫[-1/2→4]{(y+1)/√3}dy-∫[-1/2→1]√(1-y^2)dy
-∫[1→4]2√(y-1)dy
=…
(第二項の積分はy=cosθと置きましょう。)

No.40412 - 2016/11/18(Fri) 17:04:12

★ (No Subject) / 大輝

3、4、5お願いします

No.40404 - 2016/11/18(Fri) 02:19:42

☆ Re: / X

4
(1)
条件のときのD[1],D[2]の図を描き、S[1],S[2]を
定積分を用いて計算しましょう。

(2)
前半)
V[1]についてはご自分で計算してもらう
(教科書の回転体の体積の項目が理解できていれば容易です)
としてV[2]について。
曲線y=asinx(0≦x≦π)
と直線y=Y(0≦Y＜a)
との二つの交点の一方の点のx座標を
x=X(0≦X＜π/2)
とすると、もう一方の点のx座標は
π-X
となりますので、V[2]に対応する回転体を
点(0,Y)を通りy軸に垂直な平面で切った
断面の断面積は
π(π-X)^2-πX^2=(π^2)(π-2X) (P)
(P)はX=π/2のとき0となりますが
このことはV[2]に対応する回転体を
点(0,a)を通りy軸に垂直な平面で切った
断面の断面が0となっていることに対応
しています。
よって断面積が(P)となることは
0≦X≦π/2,0≦Y≦a
に対応していることが分かりますので
V[2]=∫[0→a](π^2)(π-2x)dy
(但しy=asinx (0≦x≦π/2) (A))
ここで(A)より
dy=acosxdx
これとx,yの値の範囲の対応関係により
∴V[2]=∫[0→π/2]a(π^2)(π-2x)cosxdx
後は部分積分を使います。
後半)
前半の結果を
V[1]=V[2]
に代入して、aについての方程式を導きます。
只、このaの方程式は定数項を含まない
二次方程式となりますので解くのは容易でしょう。

No.40421 - 2016/11/19(Sat) 12:08:37

☆ Re: / 大輝

３，５もお願いします

No.40438 - 2016/11/20(Sun) 14:26:15

★ (No Subject) / 大輝

1、2お願いします

No.40403 - 2016/11/18(Fri) 02:08:15

☆ Re: / X

1
(1)
前半)
f(x)=√x-logx
と置くと
f'(x)=1/(2√x)-1/x=(1-2√x)/(2√x)
∴x＞0におけるf(x)の増減表を書くことにより
f(x)≧f(1/4)=1/2+2log2＞0
∴√x＞logx
後半)
x→∞を考えるので1＜xとしても問題ありません。
このとき前半の結果から
0＜logx＜√x
∴0＜(logx)/x^n＜1/x^(n-1/2)
よってはさみうちの原理により
lim[x→∞](logx)/x^n=0

(2)
商の微分により
f[n]'(x)={x^(n-1)-{nx^(n-1)}logx}/x^(2n)
=(1-nlogx)/x^(n+1)
∴x≧1におけるf[n](x)の増減表を書くことにより
α[n]=e^(1/n)
β[n]=1
M[n]=f[n](e^(1/n))=1/(ne)
m[n]=f[n](0)=0

(3)
(2)の結果により
s[n]=(M[n]-m[n])/(α[n]-β[n])
=({1/(ne)}/{e^(1/n)-1}
∴1/n=tと置くことにより
lim[n→∞]s[n]=lim[t→+0]{1/{(e^t-1)/t}}(1/e)
よって
g(t)=e^t
と置くと
lim[n→∞]s[n]={1/g'(0)}(1/e)=1/e

No.40419 - 2016/11/19(Sat) 10:35:21

☆ Re: / X

2
(1)
題意を満たすためのさいころの目の出方は
(i)2が二回、3が一回
(ii)3が二回、1が一回
ここで問題のサイコロを振ったときの
1,2,3の目が出る確率はそれぞれ
1/6,1/3,1/2
よって(i)となる確率は
(3C1)(1/2)(1/3)^2=1/6
(ii)となる確率は
(3C1)(1/6)(1/2)^2=1/8
∴求める確率は
1/6+1/8=7/24
(2)
これは
(I)6を超えずに3回で6に到達
(II)3回目で7から戻って6に到達
の二つの場合について考える必要があります。
(I)のとき
さいころの目の出方の組み合わせは
{2,2,2},{1,2,3}
の二つになりますので確率は
(1/3)^3+(3!)(1/2)(1/3)(1/6)=1/27+1/6
=11/54
(II)のとき
(i)二回目で5に進み、三回目で3の目が出る
(ii)二回目で6に進み、三回目で2の目が出る
のいずれかになります。
(i)のとき、二回目で5に進むようなさいころの目の出方
の組み合わせは
{2,3}
のみですので、確率は
{2(1/3)(1/2)}(1/2)=1/6
(ii)のとき、二回目で6に進むようなさいころの目の出方
の組み合わせは
{3,3}
のみですので確率は
{(1/2)^2}(1/3)=1/12
(i)(ii)より(II)のときの確率は
1/6+1/12=1/4
(I)(II)により求める確率は
11/54+1/4=49/108

(3)
まず、さいころを4回投げてちょうど7に到達する
確率を求めます。

さいころを3回投げて4に到達するような
さいころの目の出方の組み合わせは
{2,1,1}
のみですのでその確率は
(3C1)(1/3)(1/6)^2=1/36
又、3回投げて3に到達するような
さいころの目の出方の組み合わせは
{1,1,1}
のみですのでその確率は
(1/6)^3=1/108
これらと(1)(2)の結果により
さいころ3回投げて5に到達する確率は
1-7/24-49/108-1/36-1/108
=1-50/108-7/24-1/36
=58/108-(1/12)(7/2+1/3)
=58/108-23/72
=29/54-23/72
=(1/18)(29/3-23/4)
=(1/18)((116-69)/12)
=(1/18)(47/12)
よってさいころを4回投げてちょうど7に到達する確率は
(1/36)(1/2)+(1/18)(47/12)(1/3)+(49/108)(1/6)
となるので求める条件付き確率は
(49/108)(1/6)/{(1/36)(1/2)+(1/18)(47/12)(1/3)+(49/108)(1/6)}
=(49/(9・6・2))(1/6)/{(1/36)(1/2)+(1/18)(47/12)(1/3)+(49/108)(1/6)}
=(49/9)(1/6)/{(1/3)(1/2)+(1/18)(47/3)+49/54}
=(49/9)/{1+(1/3)(47/3)+49/9}
=49/(9+47+49)
=7/15
(計算間違いがあったらごめんなさい)

No.40420 - 2016/11/19(Sat) 11:18:09

☆ Re: / angel

(3)計算間違いっぽいです。
4回目で7になるには、最初の3回の出目と最後の出目が、

*4* (1,1,2)→3
*5* (1,1,3 or 1,2,2 or 3,3,3)→2
*6* (1,2,3 or 2,2,2 or 2,3,3)→1

となる場合だけです。
そしてこれらは、3回目がそれぞれ 4,5,6 の位置になっているケースに該当します。

( 確率として、分母に 6^4 が来るのは共通なので ) 目の出方の場合の数を考えると、

*4* (3×1^2×2)×3=6×3=18
*5* (3×1^2×3 + 3×1×2^2 + 3^3)×2=48×2=96
*6* (6×1×2×3 + 2^3 + 3×2×3^2)×1=98×1=98

なので、求める条件付き確率は、
　98/(18+96+98)=49/106

参考: 一応計算チェック用として
3回目に 3～7 の位置にいる場合の数は、
　3: 1 ( 1-1-1のみ )
　4: 6
　5: 48
　6: 98
　7: 63 ( (1)の結果より )
合計216通りで、ちゃんと 6^3 と一致します。

No.40422 - 2016/11/19(Sat) 12:59:08

★ (No Subject) / 高2

(2)でk,nをそれぞれ分けてk≧2,n≧2と置く意味と
k,nの使い分けについて教えてください。
お願いします。

ペンの書き込みは関係ありません。

No.40401 - 2016/11/18(Fri) 00:15:41

☆ Re: / angel

≧2 については、画像にあるテキストの右側の注釈の通りです。
つまり「初項は特別扱い」「a[n]が1つの式にまとめられない」
だから、1 の時と、≧2 の時とを分けて、別々に考えなくてはならないのです。

k,nを使い分けているのは、
　S[1]+S[4]+S[7]+…+S[3n-2]
を計算するためです。

もうちょっと書き換えると、
　S[3×1-2]+S[3×2-2]+S[3×3-2]+…+S[3n-2]
ということで、S[3×(何か)-2] の項を、(何か)の部分が1～nの範囲で足しています。
そこで、この(何か)を代表して、文字 k で表しています。n と k とで分けているのは、既に n が範囲の上限値として使われているからです。

No.40402 - 2016/11/18(Fri) 00:26:15