組み合わせの問題で、男子5人と女子4人が居る時、A B Cの3部屋に、3人ずつ分ける時のパターンの問題で、「各室には女子が少なくとも1人入る」と言う問題なのですが、回答の1080通りがどうしても出ません。
自分の考えとしては、まず女子4人から3人取り出し、それを3!に並べた上で(4C3×3!)、残りの6人を、A B C に、2人ずつ分ける(6C2×4C2)、そして、4C3×3!×6C2×4C2=2160 となり、丁度答えの倍の値が出てしまいます…考え方で間違っている箇所を教えて下さい…
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No.40999 - 2016/12/25(Sun) 00:51:27
| ☆ Re: / angel | | | うわ。ABCが既に使われてる…。
それでは、男子を1〜5、女子をa〜dとして実際に割り当ててみましょう。
(1)
女子4人から3人を取り出す → a,b,cを選ぶ
並べてA,B,Cに割り当てる → A:a, B:b, C:c とする
残り6人を2人ずつ分ける → A:a,(d,1), B:b,(2,3), C:c,(4,5)
(2)
女子4人から3人を取り出す → b,c,dを選ぶ
並べてA,B,Cに割り当てる → A:d, B:b, C:c とする
残り6人を2人ずつ分ける → A:d,(a,1), B:b,(2,3), C:c,(4,5)
…違う取り出し方・並べ方をしたのに、重複した分け方になってしまいましたね。重複度は丁度2なので、答えの倍の数字が出るということです。
それが分かっていれば、この数字を2で割る、という解法でも良いです。
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No.41001 - 2016/12/25(Sun) 00:59:26 |
| ☆ Re: / angel | | | 或いは、紛れが出ないように次の解法とするのも良いです。
女子2人の部屋を1部屋選ぶ … 3C1通り
その部屋に入る女子2人を選ぶ … 4C2通り
残りの女子を1人ずつ分ける … 2!通り
男子を1・2・2 ( 区別あり ) に分ける … 5C1×4C2通り
全部かけて1080通り
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No.41002 - 2016/12/25(Sun) 01:02:32 |
| ☆ Re: / メ | | | そもそもの話なのですが、「C」と言う物の根本的な考えとして、取り出したものを「1つの組」とした上で、その組自体を並べる為の記号、と考えた方が良いんですかね…場合の数の分野が非常にイメージし辛く、困っております……
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No.41006 - 2016/12/25(Sun) 01:27:21 |
| ☆ Re: / angel | | | > 「C」と言う物の根本的な考えとして、
良く言われるように、nCr については
n個からr個を選び出す ( 選び出したものの扱いは対等、区別しない )
で良いと思うのですが。
だから、クラス30人の中で委員を3人選ぶ、だったら 30C3 で計算できるわけで。
「扱いが対等」でない場合は直接は使えません。例えば「委員を3人」じゃなくて「委員長と副委員長を ( 1人ずつ ) 選ぶ」だと、選ぶのは2人ですが対等ではないので。この場合は 30P2 ですね。
CとPの関係については、例えば 7C3 と 7P3 なら
* 7人中3人を選んで ( この時点ではまだ対等 )、その3人を並べる
→ 7C3×3!=7P3
* 7人中3人を並べて、並び順だけが異なるものを重複として絞る
→ 7C3=7P3÷3!
と、どちらでも見ることができます。( もちろん得られる関係式は同値です )
なお「扱いが対等」というのは「必ず大きい順/小さい順で並べる」と置き換えて考えることもできます。
つまり、7C3 であれば「7人から3人を選ぶ」を「7人中3人を並べるけど、必ず出席番号順に並べるようにする」等と同一視できるのです。
最近のNo.40931なんかでちょっと説明してたりしますので、参考にどうぞ。
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No.41009 - 2016/12/25(Sun) 01:54:15 |
| ☆ Re: / メ | | | やっぱり少し意識し辛いのですが…
最初の問題は、要するに、1つの部屋に2人セットで入る女子達を「1人」と 見れば、「女子が3人」と見ることが出来、「3!と並べる」と見る事が出来る。そしてそこに「そもそものその2人の選び方(4C2)」を掛ける。
後は残りの男子を、2 2 1 と分ける(5C2×3C2) そして「男子の並び」に関しては、既に先程女子3人(正確には4)を3!と並べる時に、一緒に計算されている。と見る事が出来る。
よって、(3!)(4C2)(5C2×3C2)
となる。という事でしょうか…
ですが、この考えだと、この問題とはまた別の問題にて少し疑問が生じてしまいまして……その別の問題は次の返信で書かせて頂きます……
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No.41018 - 2016/12/26(Mon) 04:07:49 |
| ☆ Re: / メ | | | 例えば、男子5人と女子6人の中から、6人を選ぶ選び方。で「男女のペアを3組選ぶ選び方」なのですが、女子6人から3人を選び(6C3)、後は男子5人を、1 1 1 と並べる(5C1×4C1×3C1) これを掛けるだけで、1200と言う正解が出ますが、先程の問題と、何か似た考えをする事が出来そうに思ったのですが、こちらには、「3!」が出て来ません…
この２つの問題間における「共通の考え方」と「ここは違う考えをしなければならない」などの点を教えて頂けたら有難いのですが……
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No.41019 - 2016/12/26(Mon) 04:09:44 |
| ☆ Re: / angel | | | > よって、(3!)(4C2)(5C2×3C2)
> となる。という事でしょうか…
うーん…。式は合っていますし、今回の問題はそのように考えることができます。が、やや危ういような気がします。
> 「男子の並び」に関しては、既に先程女子3人(正確には4)を3!と並べる時に、一緒に計算されている。と見る事が出来る。
ここが危ういかな、と思えるところです。
部屋自体はもともと区別されています。だから、女子の状況に関わらず「男子の並び」ということで 3! を掛けるというのは、そもそも考えないです。
例えば別の問題で、「男子9人を3人ずつ、部屋A,B,Cに割り当てる」というのがあれば、
9C3×6C3 (×3C3 …省略可)
です。×3! の出る余地はありません。
もう一つ、「男子5人を、部屋A(定員1)、部屋B(定員2)、部屋C(定員2)に割り当てる」であれば、
5C1×4C2 (×2C2…省略可)
です。こちらも ×3!はありません。
では今回の問題は、というと、部屋A,B,Cにそれぞれ男子が何名入れるかが揺れ動きます。それは、先に割り当てを行うように考えている女子の状況に引きずられるからです。
しかしながら、「X:女子2名部屋(男子定員1名)」「Y:女子1名部屋で部屋名が先(男子定員2名)」「Z:女子1名部屋で部屋名が後(男子定員1名)」と考えて区別すれば。
例えば、部屋Bに女子を2名割り当てたとすれば X=B,Y=A,Z=C というように考えれば、1つ前の例と状況が同じになって、
5C1×4C2
と計算できるのです。
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No.41023 - 2016/12/26(Mon) 22:38:14 |
| ☆ Re: / angel | | | > この２つの問題間における「共通の考え方」と「ここは違う考えをしなければならない」などの点
〇共通な点…(女子を選んだあとの)男子の割り当て方
1つ目の問題は、「区別のある部屋」にそれぞれ1人・2人・2人割り当てるので、5C1×4C2 (×2C2…省略可) です。
2つ目の問題は、「1人1人違う人間(の女子)」にそれぞれ1人・1人・1人割り当てるので、5C1×4C1×3C1 です。
〇異なる点…女子の選び方
1つ目の問題は、部屋がそもそもA,B,Cと「区別」されていて、なおかつ1部屋を女子2人用にします。なので、3C1×4C2×2! あるいは 3!×4C2 です。
しかし、2つ目「ペアを作る」というのはペア同士の区別があるわけではありません。これは「区別しない部屋に女子を1人ずつ割り当てる」のと同じ状況であり、部屋が区別されている1つ目の問題とは異なります。なので、6C3
しかし、どちらの問題でも、一旦女子を選んでしまえば、その後は「区別」がつく状態になりますから、男子の選び方については同じ考え方ができるのです。
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No.41024 - 2016/12/26(Mon) 23:27:05 |
| ☆ Re: / メ | | | No.41031 - 2016/12/27(Tue) 12:11:58 |
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