画像の問題が全く分かりません。 解き方と答えをそれぞれ教えて下さると助かります。お願いいたします。
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No.40884 - 2016/12/17(Sat) 20:40:03
| ☆ Re: 分かりません。 / X | | | 1. n→∞を考えるのでn≧2としても問題ありません。 このとき二項定理により 2^n=(1+1)^n=Σ[k=0〜n]nCk>nC2=n(n-1)/2 ∴0<n/(2^n)<2/(n-1) よってはさみうちの原理により lim[n→∞]n/2^n=0
2. (与式)=lim[n→∞](log2)(√n)/logn (A) ここで f(x)=x-logx と置くと f'(x)=(x-1)/x ∴x≧1においてf(x)は単調増加となり f(x)≧1>0 ∴x>logx (x≧1) となるので 0<(log2)(√n)/logn<(log2)(√n)/n ∴0<(log2)(√n)/logn<(log2)/√n よって(A)とはさみうちの原理により (与式)=0
3. (与式)=lim[n→∞](1+1/n+1/n^2)/{(2-1/n)(1+1/n)} =1/2
4. n→∞を考えるのでn≧11と考えても問題ありません。 このとき 0<(10^n)/n!={(10^10)/10!}(10/11)(10/12)・…・(10/n) <{(10^10)/10!}(10/11)^(n-10) よってはさみうちの原理により lim[n→∞](10^n)/n!=0
5. 面積比較により Σ[j=1〜k]1/j>∫[1→k+1]dx/x=log(k+1) ∴Σ[k=1〜∞]1/k=lim[k→∞]Σ[j=1〜k]1/j=∞ ということで発散します。
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No.40887 - 2016/12/17(Sat) 21:43:43 |
| ☆ Re: 分かりません。 / noname | | | 最後の問いについては次の様に考えてもよいです.
自然数n>1に対して2^m≦n≦2^{m+1}を満たす自然数mを選ぶ時,
Σ_[j=1,n]1/j ≧Σ_[j=1,2^m]1/j =1+Σ_[j=2,2^m]1/j =1+Σ_[k=0,m-1](Σ_[j=2^k+1,2^{k+1}]1/j) ≧1+Σ_[k=0,m-1](Σ_[j=2^k+1,2^{k+1}]1/2^{k+1}) =1+Σ_[k=0,m-1]1/2 =1+m/2.
ここで,n→∞の時m→∞であるから,1+m/2→∞となります.よって,
Σ_[j=1,n]1/j→∞(n→∞)
が成立します.
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No.40904 - 2016/12/19(Mon) 00:27:25 |
| ☆ (No Subject) / ゆうと | | | No.40905 - 2016/12/19(Mon) 07:09:59 |
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