写真の問題ですが、何をしているのか全く分かりません。解説してください。どういう変形をしているのか、積分範囲はどこから出てきたのかわかりません。
![]() |
No.40644 - 2016/12/02(Fri) 02:07:11
| ☆ Re: 積分(至急お願いします) / noname | | | どの問題についての質問かがよく分かりません．ですので，念の為に(1)から(3)までを解説することにします．
まずは(1)についてですが，
lim_[n→∞]Σ_[k＝n+1,2n]1/k
＝lim_[n→∞]Σ_[k＝1,n]1/(n+k)
＝lim_[n→∞]1/n・Σ_[k＝1,n]n/(n+k)
＝lim_[n→∞]1/n・Σ_[k＝1,n]1/(1+k/n)
＝∫_[0,1]dx/(1+x)
の様に変形して計算すればよいです．或いは，
lim_[n→∞]Σ_[k＝n+1,2n]1/k
＝lim_[n→∞](Σ_[k＝1,2n]1/k-Σ_[k＝1,n]1/k)
＝lim_[n→∞](1/n・Σ_[k＝1,2n]1/(k/n)-1/n・Σ_[k＝1,n]1/(k/n))
＝∫_[0,2]dx/x-∫_[0,1]dx/x
の様に計算してもよいです．
次に(2)に関してですが，
lim_[n→∞]π/n・Σ_[k＝1,n]cos^2(kπ/6n)
＝πlim_[n→∞]1/n・Σ_[k＝1,n]cos^2(kπ/6n)
＝π∫_[0,1]cos^2(πx/6)dx
の様に区分求積法を用いて変形して計算すればよいです．そして，式変形の最後に現れる定積分については三角関数の半角公式を利用すればよいかと思います 。
最後に(3)についてですが，
lim_[n→∞]nΣ_[k＝1,2n]1/(n+2k)^2
＝lim_[n→∞]nΣ_[k＝1,2n](1/n^2)/((n+2k)^2/n^2)
＝lim_[n→∞]n/n^2・Σ_[k＝1,2n]1/(n+2k)/n)^2
＝lim_[n→∞]1/n・Σ_[k＝1,2n]1/(1+2k/n)^2
＝∫_[0,2]dx/(1+2x)^2
の様に区分求積法を用いて計算すればよいです．
__________________________________________________________________
※区分求積法について簡単に説明することにします．話を簡単にするために，fを実数全体で定義された連続関数とします．a,bを自然数とする時，1/nΣ_[k＝an+1,bn]f(k/n)或いは1/nΣ_[k＝an,bn-1]f(k/n)は関数y＝f(x)のグラフと直線x＝an,x＝bn,y＝0により囲まれる部分を(b-a)n個の微小長方形で近似したものの面積を表します．誤差の部分はnを十分に大きくしていくと0に限りなく近づくことが言えるため，
lim_[n→∞]1/nΣ_[k＝an+1,bn]f(k/n)＝∫_[a,b]f(x)dx
或いは
lim_[n→∞]1/nΣ_[k＝an,bn-1]f(k/n)＝∫_[a,b]f(x)dx
が成り立つことが分かります．
※上の説明を考慮すると，(1)については
lim_[n→∞]Σ_[k＝n+1,2n]1/k
＝lim_[n→∞]1/n・Σ_[k＝n+1,2n]1/(k/n)
＝∫_[1,2]dx/x
の様に計算することが出来ます．
|
No.40656 - 2016/12/03(Sat) 00:46:52 |
|
