全ての正の整数nに対して、6^5^n −1は5^n+1の倍数となることを示せ。
左は6の5乗のn乗から1を引いているものです
右は5のn+1乗です
お願いします
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No.41103 - 2017/01/04(Wed) 01:13:54
| ☆ Re: 高2 帰納法 / らすかる | | | 成り立ちませんので示せません。
n=2のとき、(6^5)^2-1=60466175 ですが
この値は5^(n+1)すなわち5^3=125の倍数ではありません。
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No.41106 - 2017/01/04(Wed) 01:59:37 |
| ☆ Re: 高2 帰納法 / noname | | | >左は6の5乗のn乗から1を引いているものです
6^{5^n}のことを仰っているのであれば，質問内容にある主張は成立します．実際，n＝kの時に6^{5^k}-1が5^{k+1}の倍数であると仮定すると，6^{5^k}＝5^{k+1}・N+1(Nは整数)の形で表すことが出来て，この時
6^{5^{k+1}}
＝(6^{5^k})^5
＝(5^{k+1}・N+1)^5
＝5_C_0・1+5_C_1・5^{k+1}・N+5_C_2・(5^{k+1}・N)^2+…+5_C_5・(5^{k+1}・N)^5
＝5^{k+2}・M+1（Mはある整数）
が成立するため，6^{5^{k+1}}-1は5^{k+2}の倍数です．これとn＝1の時の結果を合わせればnに関する数学的帰納法によりに主張の成立が従います．なお，n＝1の時に関してはご自身で確認してください．
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No.41108 - 2017/01/04(Wed) 02:47:26 |
| ☆ Re: 高2 帰納法 / noname | | | 帰納法を使わずに考える場合は，例えば二項定理を使って
6^{5^n}
＝(5+1)^{5^n}
＝{5^n}_C_{5^n}・5^{5^n}+…+{5^n}_C_1・5+{5^n}_C_0・1
＝5^{n+1}・K+1（Kはある整数）
の様に変形することで，各nに対して6^{5^n}-1が5^{n+1}の倍数であることが言えます．
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No.41109 - 2017/01/04(Wed) 03:01:48 |
| ☆ Re: 高2 帰納法 / noname | | | 漸化式をつくって解いてもよいかもしれません．各nに対して，
a_[n]＝6^{5^n},b_[n]＝(6^{5^n}を5^{n+1}で割った余り),c_[n]＝log_[10](b_[n])
とおくと，a_[n+1]＝(a_[n])^5(n＝1,2,3,...)が成立するため，この漸化式の両辺において5^{n+2}で割った時の余りの一意性からb_[n+1]＝(b_[n])^5(n＝1,2,3,...)が得られます．この漸化式の両辺において底が10の対数をとると
c_[n+1]＝5c_[n]（n＝1,2,3,...).
よって，数列{c_[n]}は公比が5の等比数列なので，その一般項はc_[n]＝5^{n-1}・c_[1](n≧1)となります．ところで，b_[1]＝1よりc_[1]＝0なので，c_[n]＝0(n≧1)です．よって，b_[n]＝1(n≧1)が成立します．すなわち，6^{5^n}-1は5^{n+1}の倍数です．
※数列{c_[n]}の一般項の定義において対数の底が10であることにはあまり意味はありません．c_[n]の式を定義するのに底の数は10以外のものでもよいです．
※数列{b_[n]}の各項が1であることをnに関する数学的帰納法で示すことにより，元々の問題を解いてもよいです．
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No.41110 - 2017/01/04(Wed) 03:15:26 |
| ☆ Re: 高2 帰納法 / あい | | | No.41111 - 2017/01/04(Wed) 08:00:13 |
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