ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数II 剰余の定理 / ふつく

解き方がわかりません
⑴の答えはR(x)=x³+7x²+10x-4
(2)P(x) =x³+7x²+10x-4
お願いしますm(__)m

No.84220 - 2022/12/07(Wed) 18:18:04

☆ Re: 数II 剰余の定理 / X

(1)
条件から、求める余りの次数は最大でも3ですので
P(x)を(x^2)(x^2+x+3)で割った商をQ(x)と置くと
P(x)=(x^2)(x^2+x+3)Q(x)+ax^3+bx^2+cx+d (A)
と置くことができます。
ここでP(x)をx^2で割った余りが10x-4ゆえ
(A)から
ax^3+bx^2+cx+dをx^2で割った余りは10x-4
∴cx+d=10x-4
これがxの恒等式ですので
c=10,d=-4
同様に、条件から
ax^3+bx^2+cx+dをx^2+x+3で割った余りはx-22
∴(ax^3+bx^2+cx+d)÷(x^2+x+3)
を実際に計算することにより、余りについて…

(2)
(1)の結果から(A)は
P(x)=(x^2)(x^2+x+3)Q(x)+x^3+7x^2+10x-4
∴Q(x)=0
のとき、P(x)の次数は最小となります。
ということで求めるP(x)は
P(x)=x^3+7x^2+10x-4

No.84221 - 2022/12/07(Wed) 18:51:49

☆ Re: 数II 剰余の定理 / ヨッシー

X さんの実際に計算することによりの部分を、逆をたどる方法で、やってみました。
c＝10, ｄ＝－4 は既知とします。

No.84222 - 2022/12/07(Wed) 19:03:15

★ 集合論 / ゆ

⑴からわからないので、教えてほしいです。よろしくお願いします。

No.84216 - 2022/12/07(Wed) 15:17:08

☆ Re: 集合論 / ポテトフライ

まずは以下の定義は言えますか？

位相を定める
近傍系
基本近傍系

証明は全て「定義を満たすことを確認する」ということをしています。
(1)であれば「位相を定める」ということの定義は何かわかってなければ、手が動かないのは当然です。
まずは定義は何かということを見返して下さい。

※集合論、位相空間論は微積分線形代数のようにゴリゴリ計算するもの(もちろん微積線形でも理論となるとそうでもありません)ではありませんので、考え方を抜本的に変えた方が良いです。

他の質問についても定義を再確認してください。

No.84224 - 2022/12/08(Thu) 13:06:56

★ 高校入試 / はるへこ

最後の(4)だけわからず、お助けくださいませ。
よろしくお願い致します。

下記解答です。
(1) 6
(2)8/3
(3)4/3
(4)512/243

No.84211 - 2022/12/07(Wed) 10:03:20

☆ Re: 高校入試 / ヨッシー

真っ向勝負の解法
要は、ＨがＥＦからどれだけ内側に入っているかがわかれば、
面積比で答えが出ます。
△ＧＨＥにおける三平方の定理から
　ＥＨ＝2√5/3
ＥＦの中点をＭとし、△ＨＥＭにおける三平方の定理から
　ＨＭ＝√2/3
を得ます。一方、ＡＭ＝3√2 を別途求めると、
　ＡＨ：ＭＨ＝８：１
となり、この切断によりＡ側の底面は、△ＡＥＦの(8/9)^2 倍になります。
高さは不変なので、(2) の結果より
　8/3×8/9×8/9＝512/243

No.84212 - 2022/12/07(Wed) 10:33:12

☆ Re: 高校入試 / ヨッシー

図形による方法

正方形ＡＢＣＤ上で、ＤＨを結んだ線分は、ＡＦに直交します。
同様に、ＢＨはＡＥに直行するので、点Ｈの位置は上の図のようになります。

メネラウスの定理から、ＥＨ：ＨＤ＝１：２　がわかり、
同時に、ＡＨ：ＨＣ＝２：１　とわかります。
また、ＡＭ：ＭＣ＝３：１であるので、
　ＡＨ：ＨＣ＝８：４
　ＡＭ：ＭＣ＝９：３
と置き直すと、
　ＡＨ：ＨＭ：ＭＣ＝８：１：３
となり、ＡＨはＡＭの 8/9 倍となります。

あとは、上と同じです。

No.84215 - 2022/12/07(Wed) 11:41:30

☆ Re: 高校入試 / はるへこ

ご丁寧に解説頂きありがとうございます。
よく理解致しました。
また、よろしくお願い致します。

No.84223 - 2022/12/07(Wed) 23:48:26

★ 条件付き確率 / ktdg

こちらの問題について質問です。答えはあっていたのですが、解説が自分の考え方と違っていため、確認していただきたいです。
https://www.fe-siken.com/kakomon/28_aki/q2.html

＜問題文＞
ある工場では，同じ製品を独立した二つのラインA，Bで製造している。ラインAでは製品全体の60%を製造し，ラインBでは40%を製造している。ラインAで製造された製品の2%が不良品であり，ラインBで製造された製品の1%が不良品であることが分かっている。いま，この工場で製造された製品の一つを無作為に抽出して調べたところ，それは不良品であった。その製品がラインAで製造された確率は何%か。

答え：75%

この問題は、「無作為に抽出した製品が不良品であった」という条件のもとでの、「その製品がラインAで製造された確率」を求める、という条件付き確率の問題と解釈しました。

製品1000個のうちAの不良品は12個、Bの不良品は4個なので、
無作為に抽出した製品が不良品である確率 = (12 + 4)/1000
無作為に抽出した製品が不良品であり、かつその製品がラインAで製造されたものである確率 = 12/1000
求める確率は (12/1000)/(16/1000) = 75%

このような考え方であっていますか？

No.84202 - 2022/12/06(Tue) 17:51:36

☆ Re: 条件付き確率 / X

その考え方で問題ありません。

No.84203 - 2022/12/06(Tue) 18:06:03

☆ Re: 条件付き確率 / ktdg

ありがとうございます

No.84206 - 2022/12/06(Tue) 19:33:27

★ 累次極限 / A

これらの問題に関して、(6)のみ累次極限が存在しない理由がよく分かりません。自分が計算した限りでは、(6)と他との違いはx→0やy→0とした時、(6)だけ値が複数求められたということでした。値がただひとつ求まるという事が累次極限の存在する条件なのでしょうか。意味のわからない質問をしてしまっていたら、累次極限の存在する条件を分かりやすく解説して頂けると幸いです。よろしくお願い致します。

No.84200 - 2022/12/06(Tue) 16:02:54

☆ Re: 累次極限 / X

>>値がただひとつ求まるという事が累次極限の存在する条件なのでしょうか。

その通りです。
その点は、単にある点における極限を考える場合と同じです。

例えば
lim[y→0]lim[x→0](2x-3y)/√(x^2+y^2) (A)
を考えるとき
(A)=lim[y→0](-3y/|y|)
ここで
lim[y→+0](-3y/|y|)=-3 (B)
lim[y→-0](-3y/|y|)=3 (C)
となり、(B)(C)の値は異なりますので
累次極限(A)は存在しません。

No.84204 - 2022/12/06(Tue) 18:16:24

☆ Re: 累次極限 / A

理解出来ました。ありがとうございました。

No.84219 - 2022/12/07(Wed) 15:23:56

★ 教えてください。 / こう

　中学生です。詳しい解説ありがとうございます(^_^)

(1) ｎを正の整数とする。a=n, b=3n+1の長方形の紙に対して、【操作】を行ったとき、正方形は全部で何枚できるか。nを使った式で表しなさい。は解けました。
ありがとうございます。

(2)　b=56の長方形の紙に対して【操作】を行ったところ、３種類の大きさの異なる正方形が５枚できた。このとき、考えられるaをすべて求めよ。
　（２）はよく分かりませんでした。答えは、a=21、32、40でした。よかったら詳しく教えていただけると嬉しいです。

No.84197 - 2022/12/06(Tue) 12:21:05

☆ Re: 教えてください。 / ヨッシー

ん？
下の方で回答付けましたよ？

No.84198 - 2022/12/06(Tue) 13:39:44

☆ Re: 教えてください。 / こう

(2) 最後は、どうあっても、同じ正方形を一列に何個か切るので、その個数で仕分けてみます。

　この内グレーの図は、３種類の正方形にならない場合で、
３種類になる場合の、長手方向が56cm になるとき、もう一方は何cm かを考えます。

↑の解説から、なぜ、答えが、a=21、32、40となる理由が分かりません。良かったら教えてください。

No.84199 - 2022/12/06(Tue) 14:59:59

☆ Re: 教えてください。 / ヨッシー

図を一番小さい正方形で埋めてみましょう。
問題に書かれている図ならば、↓こうです。

これでもし、長手方向の長さが4cm ではなく 56cm だったら、
小さい正方形の１辺は14cm、ａは42cm となりますね。

No.84201 - 2022/12/06(Tue) 16:41:32

★ 2変数関数連続性 / A

これらの問題に関して、自分の解答に過不足や間違いなどがありましたらご指摘頂けないでしょうか。答えしか載っていないため自分の解答が正確なものなのか自信が持てません。よろしくお願い致します。ちなみに(1)が1番自信がありません。

No.84177 - 2022/12/04(Sun) 21:39:08

☆ Re: 2変数関数連続性 / A

自分の解答です。

No.84178 - 2022/12/04(Sun) 21:39:57

☆ Re: 2変数関数連続性 / A

すみません。これが自分の解答です。

No.84179 - 2022/12/04(Sun) 21:40:34

☆ Re: 2変数関数連続性 / A

（４）はそもそも間違いなのですが、原点でも連続になる理由がよく分かりません。そこも合わせてご解説頂けないでしょうか。

No.84180 - 2022/12/04(Sun) 21:43:03

☆ Re: 2変数関数連続性 / らすかる

> （４）はそもそも間違いなのですが、原点でも連続になる理由がよく分かりません。
原点で不連続になるかどうかを考える理由がわかりません。
cos(x+y)は実数全体で連続なので
(cos(x+y))^2も実数全体で連続
1+(cos(x+y))^2も実数全体で連続で1+(cos(x+y))^2≧1
sin(x+y)も実数全体で連続であり
連続関数を正の値しかとらない連続関数で割ったものも連続関数ですから、
sin(x+y)/{1+(cos(x+y))^2}も実数全体で連続です。
原点が特に連続かどうかに関係することはないと思います。

No.84182 - 2022/12/05(Mon) 00:40:06

★ 最大公約数最小公倍数 / Sarasa

最大公約数と最小公倍数の問題です。

問.
3つの自然数40,56,nの最大公約数が８、最小公倍数が1400である時、nを全て求めよ。
（答：n=200,1400）

解答見てもわからなかったので、解説お願いします。

一応解答は、

40,　56, 8 , 1400をそれぞれ素因数分解すると　
４０＝2^3
56=2^3・７
８＝２^３
1400=2^3・5^2・7
よって、３つの自然数40,56,nの最大公約数が８、最小公倍数が1400であるせいの整数nは
2^3・5^2・7^a ただし、　a=0,1
と表される。
したがって　　　　n=2^3,　　　　　2^3・5^2・7
すなわち　　　　　n=200, 1400

です。なぜ7^aになるのかがどれだけ考えてもわからなかったです。
別の解き方、または簡略化していただけるとありがたいです。

No.84176 - 2022/12/04(Sun) 19:49:59

★ (No Subject) / りょうま

対偶証明法って全て背理法で良くないですか？AならばBを示すとして、
BでないならばAでないを示す
AかつBでないと仮定したときAであることに矛盾(つまりAでない)
やってること同じですよね。対偶証明法は√2が無理数である証明などの「ならば」を使わない命題のときは使えないので背理法が対偶証明法の上位互換のように思えるのですが、背理法より対偶証明法の方がいい場合はあるのでしょうか。

No.84175 - 2022/12/04(Sun) 19:33:12

☆ Re: / らすかる

対偶証明法の方が簡潔になる場合は結構多いと思います。例えばnは整数として、
n^2が奇数⇒nは奇数
を示すとしたら、背理法より対偶証明法の方が簡潔ですよね？

No.84181 - 2022/12/05(Mon) 00:31:38

☆ Re: / りょうま

そうでしょうか？その問題を背理法でやると
nが偶数と仮定する。n＝2k(kは整数)とおける。n²＝4k²よりn²は偶数。これはn²が奇数であることに矛盾する。したがってn²が奇数ならnは奇数。
で、瞬殺ではないでしょうか。

No.84189 - 2022/12/05(Mon) 15:34:06

☆ Re: / らすかる

同じ内容を対偶証明法に変えると
nが偶数(n=2k)のとき、n²＝4k²よりn²は偶数。したがってn²が奇数ならnは奇数。
で済みますね。
「これはn²が奇数であることに矛盾する」
という文が丸々不要になります。

No.84191 - 2022/12/05(Mon) 15:47:33

☆ Re: / りょうま

対偶証明法も、「この命題の対偶〜を示す」だとか「対偶が真なので元の命題も真である」とか書くので結局一緒じゃないですか。どのみち記述量が減るだけで、背理法も対偶証明法も証明のためにやってることは同じなので、ならば系命題以外もいける背理法に比べて、対偶証明法の良さがよくわからないです。

No.84194 - 2022/12/05(Mon) 19:26:56

☆ Re: / らすかる

> 「この命題の対偶?を示す」だとか「対偶が真なので元の命題も真である」
これは省略可能と考えていますので、その分簡潔になると思っています。
背理法の「これは～に矛盾」は省略できませんね。

> どのみち記述量が減るだけで、
そこが重要なポイントです。対偶証明法で証明可能なものをすべて背理法にしたら、記述量の増加分の合計は相当なものになります。

# A⇒Bの証明においてBの否定から直接Aの否定が導ける場合は、対偶証明法なら
# 「Aを仮定すると矛盾」と言う必要がない分、意味的にも簡潔だと思います。

No.84195 - 2022/12/05(Mon) 22:34:39

☆ Re: / らすかる

対偶証明法ではスッキリ証明できるが、背理法ではあまりうまくない例を見つけました。
問題
nを自然数とするとき、「n＜-1」⇒「n＜-3」が成り立つことを示せ。

No.84196 - 2022/12/06(Tue) 10:32:40

☆ Re: / りょうま

対偶証明法の意義はわかりました。ただ、この問題はnは自然数ではなくて整数ですかね？あと仮定と結論が逆ではないでしょうか？この命題は偽だと思います。逆にすると普通に背理法で証明できると思います。

No.84205 - 2022/12/06(Tue) 19:24:31

☆ Re: / らすかる

整数ではありません。自然数です。
対偶は「n≧-3」⇒「n≧-1」
n≧-3は「すべての自然数」
n≧-1も「すべての自然数」
なので、真であることがすぐにわかりますね。
では、背理法は？

No.84207 - 2022/12/06(Tue) 20:24:18

☆ Re: / りょうま

理解しました

No.84208 - 2022/12/06(Tue) 21:47:34

★ (No Subject) / Sarasa

最大公約数と最小公倍数の問題です。

3つの自然数40,56,nの最大公約数が８、最小公倍数が1400である時、nを全て求めよ。
（答：n=200,1400）

解答見てもわからなかったので、解説お願いします。

No.84170 - 2022/12/04(Sun) 17:03:24

☆ Re: / IT

> 解答見てもわからなかったので、解説お願いします。
その解答を見ないと、それより分かり易い解説は難しいと思います。

No.84171 - 2022/12/04(Sun) 18:33:57

☆ Re: / Sarasa

解答は、

40,　56, 8 , 1400をそれぞれ素因数分解すると　
４０＝2^3
56=2^3・７
８＝２^３
1400=2^3・5^2・7
よって、３つの自然数40,56,nの最大公約数が８、最小公倍数が1400であるせいの整数nは
2^3・5^2・7^a ただし、　a=0,1
と表される。
したがって　　　　n=2^3,　　　　　2^3・5^2・7
すなわち　　　　　n=200, 1400

です。なぜ7^aになるのかがどれだけ考えてもわからなかったです。

No.84172 - 2022/12/04(Sun) 18:49:15

☆ Re: / Sarasa

訂正：
したがって　n＝2^3・5^2 , 2^3・5^2・７

No.84173 - 2022/12/04(Sun) 18:51:30

☆ Re: / けんけんぱ

最小公倍数に因数7が一つあり、56にも一つあります。
なので、nには因数7が1個または0個あります。
(と、これは解答に書いてあることを言葉に下だけですが)

No.84190 - 2022/12/05(Mon) 15:44:46

☆ Re: / IT

補足説明
nに素因数７が２つ以上あったら、nの(0以外の)倍数も素因数７を２つ以上持ちます。

また、素因数7が56に一つありますので
nに素因数7が１つもなくても　nと56の公倍数は素因数７を1つ以上持ちます。

No.84192 - 2022/12/05(Mon) 18:07:58

★ 仕事の速さ / やゆん

算数6年
問題 Aの自動車のタイヤは、1秒間に5回転し、そのときの時速が40kmです。また、同じタイヤで、Bの自動車は、1秒間に8回転する。Bの自動車の時速を求めよ。

40÷5×8=64で時速64kmが答え
この上記の式が何故こうなるのか分かりません。
比を使って解くのかなとも思いますが…。

No.84167 - 2022/12/04(Sun) 13:39:11

☆ Re: 仕事の速さ / X

40÷5=8
により、1秒間にタイヤが1回転するときの時速は
8km
後はこれに8をかけると8回転するときの時速が
求められます。

No.84174 - 2022/12/04(Sun) 19:28:49

☆ Re: 仕事の速さ / やゆん

> 40÷5=8
> により、1秒間にタイヤが1回転するときの時速は
> 8km
> 後はこれに8をかけると8回転するときの時速が
> 求められます。

時速と秒数と時間が違いますが、変換計算などは無しで大丈夫ですか？大丈夫な場合、理由を教えてください。

No.84243 - 2022/12/11(Sun) 16:49:57

★ limｘ→∞｛sinx/x｝＝1 / TOM

「limｘ→∞｛sinx/x｝＝1を証明せよ」という問題がありました。

limx→0ならばわかるのですが、limｘ→∞です。
（また、limｘ→∞｛sinx/x｝＝0の問題でもないです）

ｘは実数でなく複素数など何か条件があるのでしょうか。
解き方を教えてください。

No.84165 - 2022/12/04(Sun) 12:17:31

☆ Re: limｘ→∞｛sinx/x｝＝1 / GandB

　微分積分学および複素関数論の参考書を開くと
　　lim[x→∞]sin(x)/x = 0 （x は実数）
　　lim[z→∞]sin(z)/z は発散（z は複素数）
であることが証明付きで載っている。

>「limｘ→∞｛sinx/x｝＝1を証明せよ」という問題がありました。
　ちょっと信じがたい問題なので、元ネタ（どの本、どんなサイトに載っていたのか）をぜひとも知りたい。

No.84166 - 2022/12/04(Sun) 12:37:16

☆ Re: limｘ→∞｛sinx/x｝＝1 / らすかる

問題の間違いでしょう。
実数でlim[x→∞]sinx/x=0なのですから、
複素数で極限が1になることはありません。

No.84184 - 2022/12/05(Mon) 01:46:23

☆ Re: limｘ→∞｛sinx/x｝＝1 / TOM

問題の誤りですね。

誤りであれば、理解はしていますので大丈夫です。

ありがとうございました。

No.84188 - 2022/12/05(Mon) 12:04:11

★ 最後の質問です。 / こう

　中学生です。詳しい解説お願いします(^_^)最後です。よろしくお願いします。

　平行四辺形ABCDがある。辺BC上にCD=DEとなるEをとり、AEとBDの交点をFとする。CFとAB、DEとの交点をG,Hとする。AD:DE＝２：１,∠DAE＝∠CDEのとき、

(1)　BE:ECを簡単な比で表せ。

(2)　△CHEは△AGFの面積の何倍か。

No.84162 - 2022/12/04(Sun) 11:03:21

☆ Re: 最後の質問です。 / らすかる

(1)
条件から△DECはDE=DCの二等辺三角形
∠ADE=∠DEC（錯角）、∠DAE=∠CDEなので△ADE∽△DECとなり
△AEDはAE=ADの二等辺三角形
そしてAD：DE=2：1からDE：EC=2：1なのでAD：DE：EC=4：2：1
よってBC：EC=AD：EC=4：1なのでBE：EC=3：1

(2)
△AFE∽△EFBなのでBF：FD=BE：AD=BE：BC=3：4
△FGB∽△FCDなのでGF：FC=BF：FD=3：4
またAF：FE=AD：BE=4：3なので
「AからGCに下した垂線の長さ」：「EからGCに下した垂線の長さ」=4：3
よって△AGFと△ECFは直線GCを共通底辺とすると
「△AGFの底辺」：「△ECFの底辺」=3：4
「△AGFの高さ」：「△ECFの高さ」=4：3
なので△AGF=△ECF
従って△CHE/△AGF=△CHE/△ECF=CH/CFなのでこの値を調べればよい。
Fを通りDEと平行な直線とBCの交点をPとすると
△BPF∽△BEDでBF：FD=3：4なのでBP：PE=3：4
またBE：EC=3：1なので
BP：PE：EC=9：12：7
よって△CHE∽△CFPでPE：EC=12：7なのでFH：HC=12：7となり、CH/CF=7/19。
従って△CHEは△AGFの面積の7/19倍。

No.84183 - 2022/12/05(Mon) 01:43:19

★ (No Subject) / こう

　中学生です。詳しい解説お願いします(^_^)

　図のように、y=ax^2のグラフ上に３点A、B、Cがある。ｙ軸上にDを、四角形ABCDが平行四辺形となるようにとり、四角形ABCDの辺ABとｙ軸との交点をEとする。A（－４、４）、B（２、ｐ）である。

（１）　ｘ軸上にFをとり、△DCFをつくる。△DCFと△ADEの面積が等しくなるとき、Fのｘ座標を求めよ。

No.84161 - 2022/12/04(Sun) 10:57:37

☆ Re: / ヨッシー

Ａ：(-4, 4) を通ることから、a＝1/4。
よって、Ｂの座標は　(2, 1)、つまりｐ＝１。
Ｅの座標は(0, 2)
Ｃのｘ座標は６なので、Ｃの座標は (6, 9)
Ｄの座標は(0, 12)

ＡＥ＝(2/3)ＣＤ　および
ＤＥ＝10 に対して
ＤＧ＝10×2/3＝20/3 となる点を線分ＤＥ上にとると、
Ｇ：(0, 16/3)
このとき、△ＣＤＧ＝△ＡＤＥとなっています。

点Ｇを通り、ＤＣと平行な直線
　ｙ＝－x/2＋16/3
と、ｘ軸との交点がＦなので、Ｆのｘ座標は
　16/3×2＝32/3　・・・答え

No.84163 - 2022/12/04(Sun) 11:19:26

☆ Re: / こう

ＡＥ＝(2/3)ＣＤ　および
ＤＥ＝10 に対して
ＤＧ＝10×2/3＝20/3 となる点を線分ＤＥ上にとると、
Ｇ：(0, 16/3)
このとき、△ＣＤＧ＝△ＡＤＥとなっています。

解答のこの部分何でですか？

No.84168 - 2022/12/04(Sun) 15:23:19

☆ Re: / こう

上の

　ＤＧ＝10×2/3＝20/3 となる点を線分ＤＥ上にとると、
Ｇ：(0, 16/3)
このとき、△ＣＤＧ＝△ＡＤＥとなっています。

解答のこの部分です。理由を教えていただけると嬉しいです。

No.84169 - 2022/12/04(Sun) 15:39:36

☆ Re: / ヨッシー

△ＡＤＥと△ＣＤＧで、
底辺がＡＥ→ＣＤで 3/2 倍になっている分、
高さを2/3 倍にしてやれば、面積は等しくなります。
ＤＧ、ＤＥは高さそのものではありませんが、
平行線（ＤＣ//ＧＦ//ＡＥ）に挟まれているので、同じ比で扱えます。

No.84186 - 2022/12/05(Mon) 09:11:18

★ １つ目の質問 / こう

中学生です。詳しい解説お願いします(^_^)

(1) ｎを正の整数とする。a=n, b=3n+1の長方形の紙に対して、【操作】を行ったとき、正方形は全部で何枚できるか。nを使った式で表しなさい。

(2)　b=56の長方形の紙に対して【操作】を行ったところ、３種類の大きさの異なる正方形が５枚できた。このとき、考えられるaをすべて求めよ。

No.84160 - 2022/12/04(Sun) 10:50:09

☆ Re: １つ目の質問 / ヨッシー

(1)

こうなりますね。
数えましょう。

(2) 最後は、どうあっても、同じ正方形を一列に何個か切るので、
その個数で仕分けてみます。

この内グレーの図は、３種類の正方形にならない場合で、
３種類になる場合の、長手方向が56cm になるとき、もう一方は何cm かを考えます。

No.84193 - 2022/12/05(Mon) 18:36:39