数?Uの指数対数の範囲で分からない問題が二問あったので解説していただきたいです。
?@ a,b,cを自然数とする。a^(b^c)=(a^b)^cが成立するa,b,cを全て求めよ
?A(a^x)(b^y)(c^z)＝(a^y)(b^z)(c^x)＝(a^z)(b^x)(c^y)が成立する時、x,y,zの間の関係式(a,b,cを含まないもの)を求めよ。ただし、a,b,cは正の数とし、そのうち少なくとも一つは1ではなく、abc≠1とする
よろしくお願いします。
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No.83058 - 2022/08/07(Sun) 01:54:17
| ☆ Re: / IT | | | 1つめ (略解）
a^(b^c)=(a^b)^c=a^(bc)
a＝1のとき b,cは任意
a≧2のとき b^c＝bc
b＝1のとき c＝1.
b＝2のとき 2^c=2c
∴c=1,2 (y=2^xとy=2xのグラフの交点の位置に注意）
b≧3のとき
f(x)=b^x-bxとおくと f(1)=0, f'(x)=(log[e](b))b^x-b。
よって、x≧1で f'(x)＞0でありf(x)は真に増加。
f(x)=0 となる自然数はx=1
したがってc=1
※b≧3のとき 指数関数の微分を使わないなら、数学的帰納法を使う。
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No.83064 - 2022/08/07(Sun) 10:45:22 |
| ☆ Re: / IT | | | ２つめ
a,b,c の条件はそれで合っていますか？
abc≠1から 「a,b,c のうち少なくとも一つは1ではなく」は言えますし
a=b=c のときは、任意のx,y,zが条件を満たすので、a,b,c の値によってx,y,zの間の関係式が異なってくると思うのですが？
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No.83065 - 2022/08/07(Sun) 12:32:08 |
| ☆ Re: / IT | | | ２つめ できてませんが、方針案は
(a^x)(b^y)(c^z)＝(a^y)(b^z)(c^x)＝(a^z)(b^x)(c^y)
から
s=x-y,t=y-z,u=z-x とおくと s+t+u=0で
(a^s)(b^t)(c^u)=1
(a^t)(b^u)(c^s)=1
(a^u)(b^s)(c^t)=1
s=t=u=0 のときは条件を満たすので、そうでないときを考える。
a,b,c,1 の大小関係とs,t,uの正負で分類する。
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No.83068 - 2022/08/07(Sun) 13:53:28 |
| ☆ Re: / 指数対数 | | | まず1題めについて 指数関数の微分は習っていないので数学的帰納法で再度取り組みたいと思います。
2題めの条件について、問題文に不備がありました。(a^x)(b^y)(c^z)＝(a^y)(b^z)(c^x)＝(a^z)(b^x)(c^y)=1 でした。大切な時間を使わせてしまい、申し訳ございません。a,b,cの条件については問題文そのままです。
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No.83073 - 2022/08/07(Sun) 16:22:46 |
| ☆ Re: / IT | | | (a^x)(b^y)(c^z)＝(a^y)(b^z)(c^x)＝(a^z)(b^x)(c^y)=1
３つを掛け合わせると(abc)^(x+y+z)=1
abc≠1なのでx+y+z=0
x=y=z=0のとき条件を満たす。
x=y=z=0でないとき、
a,b,c,と1 の大小関係で分類する。
x,y,z のうち少なくとも１つは正で、少なくとも１つは負である。
たとえば、x＞0、ｙ≧0、z＜0のとき
z乗すると1との大小関係が逆転することに注意すると
a,b,c のうち1との大小関係で分けたとき 仲間外れの１つをz乗することによって1との大小関係を同一にすることができる。
例えば
a＞1,b≧1,c＜1だと (a^x)(b^y)(c^z)＞1となり不適
a＜1,b≦1,c＞1だと (a^x)(b^y)(c^z)＜1となり不適
a＞1,b＜1,c≧1だと (a^y)(b^z)(c^x)＞1となり不適
a＜1,b＞1,c≦1だと (a^y)(b^z)(c^x)＜1となり不適
・・・
すべてのケースが不適であることが分かる。
（分類と説明をうまくすると簡潔になると思います）
・・・
したがって、求める関係はx=y=z=0。 になると思います。
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No.83080 - 2022/08/07(Sun) 23:15:19 |
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