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★ (No Subject) / ふみ
|a+b|≦|a|+|b| ……?@ を利用して |a|-|b|≦|a+b| を証明するのに、
?@でa+bをa, aをa+bと置き換えて移項するのでは何故いけないのでしょうか？

答えはaをa+b, bを-bと置き換える、となってるのですが……
No.40563 - 2016/11/27(Sun) 21:48:26
☆ Re: / noname
問題ないと思います．ただ，

>?@でa+bをa, aをa+bと置き換えて移項する

という記述が紛らわしい書かれ方であるため，読み手に対して混乱を与える可能性があります．例えば，「不等式|x+y|≦|x|+|y|において，x+yをa，xをa+bと置き換えると，y＝-bであり，この時の不等式は|a|≦|a+b|+|-b|が成り立つ．よって，|a|-|b|≦|a+b|が成立する．」の様に書くとよいです．
No.40566 - 2016/11/27(Sun) 21:58:52
☆ Re: / ふみ
ありがとうございます‼
No.40569 - 2016/11/27(Sun) 22:17:26
★ 高2 / くるみ
回転体の体積についてなんですけど
（x＋2）^3のグラフ（x≧-2）とx軸、y軸で囲まれた面積をx軸、またy軸中心で回転させた回転体の体積を求めようとしたら何度やっても8/3πとなり解答とあいません。教えてください。
No.40561 - 2016/11/27(Sun) 21:36:51
☆ Re: 高2 / noname
体積を求める際の定積分の計算を書いていただくと，どこがまずいのかを指摘することが出来ます．ですので，計算過程を書かれることを推奨いたします．
No.40562 - 2016/11/27(Sun) 21:48:04
☆ Re: 高2 / X
回転軸がx軸のときの体積をV[1]とすると
V[1]=π∫[-2→0]{(x+2)^6}dx
=π[(1/7)(x+2)^7][-2→0]
=128π/7

回転軸がy軸のときの体積をV[2]とすると
V[2]=π∫[0→8]{(y^(1/3)-2)^2}dy
=π∫[0→8]{y^(2/3)-4y^(1/3)+4}dy
=π[(3/5)y^(5/3)-3y^(4/3)+4y][0→8]
=π(96/5-48+32)
=16π/5
No.40564 - 2016/11/27(Sun) 21:51:35
☆ Re: 高2 / くるみ
すみません問題の数値が変わってるのですがどこがまずいのかわかりますでしょうか？
No.40568 - 2016/11/27(Sun) 22:08:54
☆ Re: 高2 / noname
画像を拝見しましたが，用紙には「放物線y＝(x+1)^2，x軸及びy軸により囲まれる部分をx軸に関して1回転させることで得られる回転体」の体積の計算が書かれていますが，問題文は

>（x＋2）^3のグラフ（x≧-2）とx軸、y軸で囲まれた面積をx軸、またy軸中心で回転させた回転体の体積を求めよ

であり，問題に対して行っていることが正しくない様な気がします．


※V_xの計算では積分区間が0≦x≦1の範囲となっていますが，正しくは-1≦x≦0の範囲ではありませんか？
No.40570 - 2016/11/27(Sun) 22:24:12
☆ Re: 高2 / noname
>問題の数値が変わってるのですが

細かく読んでいませんでした．この点に関しては了解致しました．画像にある積分計算に関してですが，積分区間を-1≦x≦0に修正すれば問題ないと思います．同様に，質問内容にある問題においては，x軸に関して1回転させて得られる回転体の体積を計算する際には計算に必要な定積分の積分区間を-2≦x≦0とすればよいです．解答の詳細はX様に与えられているため，詳細についてはそちらを参照してください．
No.40571 - 2016/11/27(Sun) 22:29:12
☆ Re: 高2 / くるみ
詳しい解説ありがとうございました！
考え方はあってたので安心しました！
計算をしっかり演習しようと思います！
No.40572 - 2016/11/27(Sun) 22:52:09
★ (No Subject) / ABC
ベクトルの外積 ↑u×↑v の成分表示の公式の証明って高校範囲だとできないのですか？もしできるのなら教えてください。
No.40556 - 2016/11/27(Sun) 14:47:47
☆ Re: / X
高校数学の範囲で計算するのであれば
以下のようになります
まず
↑w=↑u×↑v=(x,y,z)
↑u=(u_x,u_y,u_z)
↑v=(v_x,v_y,v_z)
と置きます。
定義から
↑u//↑vでなく、かつ|↑u||↑v|≠0
の場合を考えます。
(これ以外の場合は定義から↑w=↑0となりますので。)
このとき、外積の定義により
↑w・↑u=0 (A)
↑w・↑v=0 (B)
|↑w|=√{(|↑u|||↑v|)^2-(↑u・↑v)^2} (C)
(A)(B)(C)をx,y,zの連立方程式として解きます。
(但し、計算式はかなり煩雑になります。)
方針としては(A)(B)をy,zの連立方程式として
解いてy,zをxの式で表し、その結果を(C)に
代入する、という流れになります。

得られる(x,y,z)の組は二組になりますが、そのうち
↑uから↑vに右ねじを巻く場合に進む向きになるのが
求める外積となります。
No.40558 - 2016/11/27(Sun) 18:14:23
☆ Re: / ABC
↑u=(u_x,u_y,u_z)
↑v=(v_x,v_y,v_z)と置けるのは何故ですか？
No.40580 - 2016/11/27(Sun) 23:52:05
☆ Re: / noname
>↑u=(u_x,u_y,u_z)
>↑v=(v_x,v_y,v_z)と置けるのは何故ですか？


理由を問うのはナンセンスかと思います．なぜなら，この様にベクトルの成分を設定して議論をしようとしているのですから．

そうではなくて，疑問に思われていることが「何故↑u,↑vが3次元空間のベクトルとして扱われているのか？」ということであれば，答えは「外積は2つの3次元ベクトルに関する概念であるから」です．
No.40582 - 2016/11/28(Mon) 02:00:36
☆ Re: / ABC
つまり、↑u=(u_x,u_y,u_z)↑v=(v_x,v_y,v_z)は空間上の全ての点を表わしうるということですか？
No.40583 - 2016/11/28(Mon) 07:40:29
☆ Re: / ABC
すみません、点じゃなくてベクトルです。
No.40584 - 2016/11/28(Mon) 07:44:55
☆ Re: / noname
>つまり、↑u=(u_x,u_y,u_z)↑v=(v_x,v_y,v_z)は空間上の全ての点を表わしうるということですか？


おそらく，記述が曖昧さがなく正確に書かれている方が質問者様にとってはかえって理解し易い気がしますので，次の記述

>↑w=↑u×↑v=(x,y,z)
↑u=(u_x,u_y,u_z)
↑v=(v_x,v_y,v_z)
と置きます。

をなるべく正確に書いてみることにします．この記述の言わんとするところは次の通りです：

[より正確な記述]
3次元ベクトル↑u,↑vであって↑u//↑vでなく，かつ|↑u||↑v|≠0を満たすものを任意に選ぶ．この↑u,↑vに対して，これらが3次元ベクトルであることから，ある実数u_x,u_y,u_z,v_x,v_y,v_zが存在して

↑u＝(u_x,u_y,u_z),↑v＝(v_x,v_y,v_z)

の様に成分表示することが出来る．また，この↑u,↑vに対して，外積↑u×↑vも3次元ベクトルであるから，ある実数x,y,zが存在して↑u×↑v＝(x,y,z)の様に成分表示することが出来る．

正確に書こうとすると上記の通りとなるのですが，通常ではこれを単に「↑u,↑vを任意の3次元ベクトルとする時，↑u,↑v,↑u×↑vの成分表示を↑u＝(u_x,u_y,u_z),↑v＝(v_x,v_y,v_z),↑u×↑v＝(x,y,z)の様に設定しておく．」などと書いたりします．
_____________________________________________________________________

※「より正確な記述」を基に答えるならば，

>↑u=(u_x,u_y,u_z)
>↑v=(v_x,v_y,v_z)と置けるのは何故ですか？

に対する答えは「↑u,↑vは3次元ベクトルであるから」です．ただ，

>↑w=↑u×↑v=(x,y,z)
>↑u=(u_x,u_y,u_z)
>↑v=(v_x,v_y,v_z)
>と置きます。

というのは「より正確な記述」の意味で座標設定を行っているだけですので，この意味で

>理由を問うのはナンセンスかと思います．なぜなら，この様にベクトルの成分を設定して議論をしようとしているのですから．

の様なことを申させていただきました．
No.40585 - 2016/11/28(Mon) 13:04:38
☆ Re: / noname
因みに，

>↑u=(u_x,u_y,u_z)
>↑v=(v_x,v_y,v_z)と置けるのは何故ですか？

という疑問は「『xy平面上の点を任意に1個選び，それをPとする．そして，Pの座標を(a,b)とする．』という記述に対して，『Pの座標を(a,b)とする』ことが出来るのはなぜか？」という疑問と似たようなものです．この『…』も言わんとすることは「Pの座標を設定しているだけ」ということ，或いは「Pはxy平面上の点だからある実数a,bを選んでPの座標が(a,b)である様に出来る」ということに過ぎません．
No.40586 - 2016/11/28(Mon) 13:11:26
☆ Re: / ABC
なるほど、納得しました。わかりやすく教えていただき、本当にありがとうございます！
No.40587 - 2016/11/28(Mon) 15:19:29
★ (No Subject) / トランプ
センター模試の問題です。

（ヒフヘ）の答えは（２３３）なのですが答えが合いません。

どこが間違っているのでしょうか？

よろしくお願いいたします。
No.40553 - 2016/11/27(Sun) 13:01:04
☆ Re: / トランプ
こう考えました。
No.40554 - 2016/11/27(Sun) 13:01:41
☆ Re: / ヨッシー
ＯＴ：ＴＧ＝７：２
ではないのでは？
No.40557 - 2016/11/27(Sun) 16:02:40
☆ Re: / トランプ
本当ですね。ありがとうございました。
No.40565 - 2016/11/27(Sun) 21:56:44
★ (No Subject) / アリス
(2)はどのように解きますか？
No.40540 - 2016/11/26(Sat) 21:23:11
☆ Re: / IT
(1.2, 2.0, 2.3, 2.4, 2.7, 3.2)
平均値から、誤っている数値の正しい値＝誤っている数値+0.6 が分かる。
中央値から、正しい(3番目+4番目)＝5.1
2.3と2.4 のうち少なくとも１つは3,4番目に残る
2.3+2.8=5.1 だが2.8もないし+0.6して2.8になる数値(2.2)もない
2.4+2.7=5.1 +0.6して2.7になる数値(2.1)はない。
よって2.7が4番目に2.4は3番目になった。
したがって2.3が+0.6 → 2.9 で5番目になったことが分かる。
No.40543 - 2016/11/26(Sat) 22:08:23
☆ Re: / らすかる
別解
(1.2, 2.0, 2.3, 2.4, 2.7, 3.2)
平均値から、誤っている数値の正しい値＝誤っている数値+0.6 が分かる。
1.2,2.7,3.2のいずれかに0.6を加えた場合は
中央値は2.35のまま変わらないから、これらは誤っていない。
2.0に0.6を加えると中央値が2.5になるから、これも誤っていない。
2.4に0.6を加えると中央値が2.5になるから、これも誤っていない。
2.3に0.6を加えると中央値が2.55になるから、これが誤りであったことがわかる。
No.40551 - 2016/11/27(Sun) 06:51:16
★ 角度の指定された円の接線の引き方 / Sonennmond
中央ヨーロッパ某国の中学２年生の数学の問題です。
"半径2.5センチの円とその円の中心から3.5センチ離れた直線gがある。
直線g上の点pからこの円に４５度の角度で接する接線を二本引け。"
どうかお知恵をお貸しくださいませ。
よろしくお願いいたします。
No.40539 - 2016/11/26(Sat) 20:32:00
☆ Re: 角度の指定された円の接線の引き方 / IT
「円に４５度の角度で接する」このような概念はないと思いますが、問題文の訳は正確ですか？
No.40544 - 2016/11/26(Sat) 22:14:02
☆ Re: 角度の指定された円の接線の引き方 / Sonennmond
早速のご返信をありがとうございます。
すみません、私の訳が不正確でした。直線g上の点pから円にむかう二本の接線の交わる角度が４５度という意味かと思います。
直線gに平行で円に直接接する接線を描き、22.5度の角度を持つ直角三角形を描き、その三角形の頂点が直線gにくるように移動させ、、、というふうにやってみたのですが、どこかに間違いはあるでしょうか。もっとよいやり方があるようにも思えます。説明がどうにも難しいので、写真を添付させていただきます。よろしくお願いします。
No.40545 - 2016/11/26(Sat) 23:04:57
☆ Re: 角度の指定された円の接線の引き方 / angel
特に間違いはないと思います。
※22.5°の角を持つ直角三角形をどう描くかは、おそらくもうちょっと詳しい説明が要りそうですが…、って図にちゃんと示されてましたね。失礼しました。

結局のところ、2本1組の接線が45°の角をなす点を1つ作れば、円の中心から等距離にあるところは全て同じ「45°の角をなす」になりますから、最初は?Aに拘る必要はないと思います。

そうすると、添付の図のような作図でもいけます。

　・円周上に適当にAを取る
　・OAと135°の角をなすように ( 逆側45°の方が楽 ) 円周上にBを取る
　・OA,OBの垂直二等分線の交点をCとする
　・OCを倍に延ばした点をDとする
　・Oを中心、ODを半径とする円と、直線gの交点が求めるP
No.40547 - 2016/11/26(Sat) 23:51:32
☆ Re: 角度の指定された円の接線の引き方 / angel
あ。一応根拠を示しておきます。

点Cは△OABの外心、ODは外接円の直径になりますから、□OADBが同じ円に内接、∠ADB=45°かつOA⊥AD, OB⊥BDつまり、AD,BDは元の円の接線ということです。

※Xさんとは、垂直二等分線から外心を作るか、接線を引いて交点を求めるかが違いますね。
No.40549 - 2016/11/27(Sun) 00:11:23
☆ Re: 角度の指定された円の接線の引き方 / Sonennmond
ご丁寧に作図までして説明してくださってどうもありがとうございました。
No.40550 - 2016/11/27(Sun) 00:34:23
☆ Re: 角度の指定された円の接線の引き方 / らすかる
別解
円の中心Oから直線gに垂線OAを下ろす。
点Aを中心として半径が2.5センチ（円Oの半径）である円と
線分OAとの交点を点B、直線gとの交点の一つを点Cとする。
点Cを中心として点Bを通る円と直線gとの交点のうち、点Aから遠い方の点を点Dとする。
Oを中心として半径がBDである円と直線gとの交点（の一つ）をPとする。
No.40552 - 2016/11/27(Sun) 07:04:20
★ 未定乗数法 / らぐ
x^2-2xy^2+4xy+1=0のとき,F(x,y)=x+2yの極値を求めよ.

H(x,y)=x+2y-λ(x^2-2xy^2+4xy+1)とおき,
G(x,y)=x^2-2xy^2+4xy+1=0...?@のときの極値を求める.
G_x(x,y)=2x-2y^2+4y=0...?A
G_y(x,y)=-4xy+4x=0...?B
(x,y)=(-1,1)のときG(-1,1)=G_x(-1,1)=G_y(-1,1)=0となってしまいこの時にはラグランジュの未定乗数法が使えません.

この後(-1,1)を除いて〜〜と議論を続けましたが,極値の候補点に(-1,1)が出てきませんでした.このときは(-1,1)で極値をとるかとらないかの議論は必要ないですか?
それとも
F(-1,1)=1,F(-1,0)=-1,F(-1,2)=3となり(-1,1)の点の周辺ではF(-1,1)<F(x,y)となったり,F(-1,1)>F(x,y)となるため(-1,1)では極値をとらない.
のように個別で議論しなくてはいけませんか?
No.40536 - 2016/11/26(Sat) 18:24:52
★ (No Subject) / くん。
これはどうやれば面積と体積がでるのしょうか？
No.40532 - 2016/11/26(Sat) 12:10:48
☆ Re: / ヨッシー

Ａ，Ｂからｘ軸に下ろした垂線の足をＣ，Ｄとすると、
△ＡＣＯ≡△ＯＤＢ　なので、
領域Ｄに△ＯＤＢを足して、△ＡＣＯを引くと、
y＝1/x をｘ＝1/3 から x=3 まで積分したものが、領域Ｄと
同じ面積であることがわかります。

同じく、△ＡＯＣをｘ軸回りに回転した立体と
y=1/x の 1/3≦ｘ≦3 の部分をｘ軸回りに回転させた立体を足したものから、
△ＯＤＢをｘ軸回りに回転した立体を引くと、求める体積が出ます。
No.40535 - 2016/11/26(Sat) 13:39:31
★ 高2 / アプリ
楕円曲線に関する問題ですが、これ、面積ってどう出せばよいのですか？
積分ですけど、積分をどうすればよいのかわかりません
No.40527 - 2016/11/26(Sat) 01:44:39
☆ Re: 高2 / X
積分は必要ありません。

P(a,b)と置くと条件から
(a^2)/16+(b^2)/25=1 (A)
a＞0 (B)
b＞0 (B)'
又、lの方程式は
ax/16+by/25=1 (C)
(B)(B)'よりab≠0に注意すると
(C)より
Q(16/a,0),R(25/b,0)
よって
(1)
S=(1/2)OQ・OR=200/(ab) (D)
後は(A)に注意して(D)の分母に対して
相加平均と相乗平均の関係を使う
ことを考えます。

(2)
(C)と点と直線との間の距離の公式により
OH=|a・0/16+b・0/25-1|/√{(a/16)^2+(b/25)^2}
=1/√{(a^2)/16^2+(b^2)/25^2}
ここで(A)(B)'より
(b^2)/25=1-(a^2)/16＞0
∴(B)により
0＜a＜4 (B)"
又
f(a)=(a^2)/16^2+(b^2)/25^2
と置いて(A)からbを消去すると
f(a)=…
f(a)が(B)"において取りうる値の範囲は…
No.40529 - 2016/11/26(Sat) 05:20:17
☆ Re: 高2 / くん。
Dの分母に対してソウカソウジョウを使っても2という数字だけでてきて二桁という条件を満たしません。
また、とり得る範囲なのですが、判別式を実行したのですが、うまくいきませんでした
No.40533 - 2016/11/26(Sat) 12:20:37
☆ Re: 高2 / X
>>Dの分母に対して〜満たしません。

相加平均と相乗平均の関係から
1=(a^2)/16+(b^2)/25≧2√{{(a^2)/16}{(b^2)/25}}
(不等号の下の等号はa/4=b/5のとき成立)
これより
1≧2(ab/20)
ab≦10
1/10≦1/(ab)
∴S≧200・(1/10)=20
ということでSの最小値は20です。

>>また、とり得る範囲〜
どこで解の判別式を使ったかが不明ですが
解の判別式を使う必要はありません。

f(a)=(a^2)/16^2+(b^2)/25^2
と置いて(A)からbを消去すると
f(a)=(a^2)/16^2+(1/25){1-(a^2)/16}
=(1/16)(1/16-1/25)a^2+1/25
これの(B)"における値の範囲は
(1/16)(1/16-1/25)・0^2+1/25＜f(a)＜(1/16)(1/16-1/25)・4^2+1/25
整理して
1/25＜f(a)＜1/16
∴√{1/(1/16)}＜OH=1/√f(a)＜√{1/(1/25)}
つまり
4＜OH＜5
No.40537 - 2016/11/26(Sat) 18:58:28
★ これが理解できません / あんどーなつ
質問いいですか。夜遅くにすみません。
この問題なのですが、よくわかりません。
面積の無限和は計算が大変なだけですが、面積を求めることができません。どうすればよいのでしょうか
No.40525 - 2016/11/26(Sat) 00:35:53
☆ Re: これが理解できません / angel
二等辺三角形を半分に割ってできる直角三角形の相似に注目します。

正方形の辺の長さを x とするとき、直角三角形BEDが、その半分に割った直角三角形と相似です。
なので、直角を挟む辺の比

　BE:ED=2:√(a^2-4)
　⇔ (2-x):x=2:√(a^2-4)

ここから、2x=(2-x)√(a^2-4) これで x が求められます。

ついでに(2)では、次々作っていく正方形の相似比が x/4、面積比 x^2/16=S1/16 となりますから、S1,S2,…は公比 S1/16 の等比数列になります。
No.40526 - 2016/11/26(Sat) 01:26:59
☆ Re: これが理解できません / アプリ
ありがとうございます。
No.40528 - 2016/11/26(Sat) 01:45:36
★ どうやればよいのかがわかりません / さいん
a,bを0<a<1<bを満たす定数とし、f（r）＝?刀maからb］x^（r-1）dx（r>0）とする。

（1）ab≧のとき、f（r）は単調増加であることを示せ。
（2）ab<1のとき、f（r）を最小にするrが、ただ１つ存在することを示せ。
（3） f（r）がr＝1で最小値mを持つとする。mのとり得る値の範囲を求めよ。なお必要ならばlim［x→＋0］xlogx＝0を用いてよい。
No.40519 - 2016/11/26(Sat) 00:03:07
☆ Re: どうやればよいのかがわかりません / さいん
どういう風にすればよいのかわかりません
No.40524 - 2016/11/26(Sat) 00:32:17
★ (No Subject) / ABC
△ABCで ↑AB・↑BC=↑BC・↑CA=↑CA・↑AB が成り立つとき、△ABCはどんな三角形か。 という問題で、 ↑AB・↑BC=↑BC・↑CAより、↑AB=↑CA
↑BC・↑CA=↑CA・↑ABより、↑BC=↑AB
したがって、↑AB=↑BC=↑CA
という風に解いていったのですが、よくよく考えてみると三角形の辺のベクトルが全て等しいのはあり得ないということに気づきました。一体この解法のどこが間違っていたのでしょうか？
No.40517 - 2016/11/25(Fri) 23:42:54
☆ Re: / ヨッシー
>↑AB・↑BC=↑BC・↑CAより、↑AB=↑CA
および、その下の行が誤りで、
↑AB・↑BC=↑BC・↑CA だからといって、↑AB=↑CA とは限りません。
No.40521 - 2016/11/26(Sat) 00:08:05
☆ Re: / angel
> 一体この解法のどこが間違っていたのでしょうか？

ベクトルの内積は「掛け算」によく似ていますが、掛け算そのものではありません。
具体的には、割り算 ( 内積÷ベクトル ) という操作ができません。

↑AB・↑BC=↑BC・↑CA という関係からできるのは、

　↑AB・↑BC = ↑BC・↑CA
　⇔ (↑AB-↑CA)・↑BC = 0
　⇔ (↑AB+↑AC)・↑BC = 0

です。ここで、BCの中点をMと置くと、↑AM=1/2・(↑AB+↑AC) ですから、

　(↑AB+↑AC)・↑BC = 0
　⇔ 2↑AM・↑BC = 0
　⇔ ↑AM・↑BC = 0
　⇔ AM⊥BC

すなわち中線 ( 辺の中点と相対する頂点を結ぶ線分 ) が辺に垂直ということで、AB=AC の二等辺三角形と分かります。
他の条件も合わせると、全ての辺の長さが等しい、ということで、結局正三角形が答えです。
No.40522 - 2016/11/26(Sat) 00:14:10
☆ Re: / ABC
なるほど、わかりました。ありがとうございます。
No.40555 - 2016/11/27(Sun) 14:45:56
★ ラグランジュの未定乗数法 / らぐ
次の極値を指定された条件のもとでラグランジュの未定乗数法を用いて求めよ.
2xy^(2)+x^(2)y=8のときF(x,y)=x+2y

H(x,y)=x+2y-λ(2xy^(2)+x^(2)y-8)とおく.
G(x,y)=2xy^(2)+x^(2)y-8=0...?@
という条件のもとでF(x,y)の極値を求める.
G_x(x,y)=2y^2+2xy=0
2y(y+x)=0 ∴y=0またはy=-x
G_y(x,y)=4xy+x^2=0
x(4y+x)=0 ∴x=0またはy=-x/4
y=0のとき,x=0となるがG(0,0)=-8=0となり矛盾
y=-xのとき,y=-x/4のときx=0となり同様に矛盾する.
したがって,G(x,y)=G_x(x,y)=G_y(x,y)=0となる点は存在しない.(つまりラグランジュの未定乗数法が使える)

H_x(x,y)=1-2λy^2-2λxy=0...?A
H_y(x,y)=2-4λxy-λx^2=0...?B
?B-?A×2より,4λy^2=λx^2
λ=0のとき?Aより1=0となり矛盾するためλ≠0である.
よって4y^2=x^2 ∴x=±2y
これを?@に代入して,
x=2yのとき,y=1となるからx=2
x=-2yのとき,-8=0となり矛盾する.
以上より極値の候補点は(x,y)=(2,1)であり,
このときのF(x,y)の値は
F(2,1)=4である.

ここで質問です.この後に点(2,1)で極値をとるか判定したいのですがどうやってすればいいのですか?
陰関数はなるべく使わないようにと言われました.
また,別の例題では

D={(x,y)|x^2+y^2-1=0}(この例題では束縛条件がx^2+y^2=1でした.)を考えるとDは有界閉集合でありD上の連続関数F(x,y)は最大値と最小値をもつ.
よって(x,y)=〜〜のとき極小値〜〜

このようにして極値の候補点で実際に極値をとるという風に考えていました.
今回もこのように記述すればよいのですか?
僕自身上記のやり方はあまり理解していないので教えてほしいです.
調べたところワイヤシュトラスの定理?といってDが有界閉集合でありF(x,y)が連続ならば最大値と最小値をもち,それが極大値と極小値になる.
みたいな感じで理解しています(もしかしたら間違っているかもしれません.)
No.40514 - 2016/11/25(Fri) 18:29:27
☆ Re: ラグランジュの未定乗数法 / らぐ
調べたところ縁付きヘッシアンという行列式の値を考えれば極大か極小かわかるということも発見しました.
No.40534 - 2016/11/26(Sat) 13:31:17
☆ Re: ラグランジュの未定乗数法 / noname
条件付き極値問題に関する質問ですね．本問の場合では

F(x,y,λ)＝x+2y-λ(2xy^2+x^2y-8)

の様に3変数関数Fを定義し，次の?@,?A

?@Fの停留点を求める．すなわち，F_x＝F_y＝F_λ＝0を満たす点(x,y,λ)を求める．
?A?@で求めた各点に対する縁付きのHessianの値の正負を調べる．この結果によりf(x,y)＝x+2yの極値の存在について考える．

について考えればよいです．


※質問文中にあるHはx,yの2変数に関する関数として与えられていますが，正しくはx,y,λの3変数に関する関数ではありませんか？
No.40559 - 2016/11/27(Sun) 20:09:17
☆ Re: ラグランジュの未定乗数法 / noname
>Dが有界閉集合でありF(x,y)が連続ならば最大値と最小値をもち,それが極大値と極小値になる.

今回はこれは使えません．実際，曲線2xy^2+x^2y＝8は有界ではないため，この曲線は有界閉なものではないです．有界閉集合上の連続関数に関する極値問題であれば最大或いは最小となる点を探すだけで十分なのですが，一般的には与えられた関数の定義域が有界閉なものであるとは限らないため，縁付きのHessianによる判別が必要となります．
No.40560 - 2016/11/27(Sun) 20:37:55
☆ Re: ラグランジュの未定乗数法 / らぐ
返信遅れてすみません.
確かにH(x,y,λ)が正しいですね.
極値判定は縁付きのヘッシアンで判定していこうと思います.
ありがとうございました.
No.40642 - 2016/12/02(Fri) 01:39:10
★ 場合の数 / おまる
続けてすいません。
次の解答でわからないところがあるので教えて欲しいです。
次の問題の解答で、赤で囲った部分の考え方がどのように考えているのかがわかりません。
よろしくお願いいたします。
No.40512 - 2016/11/25(Fri) 13:39:19
☆ Re: 場合の数 / おまる
解答です。
No.40513 - 2016/11/25(Fri) 13:39:52
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
(イ)
解答の図の１に当たる部分に入る数の選び方が５通り。
それにつながる３個の選び方が 4Ｃ3＝４（通り）。
残りの１個（５）を、３本の腕(2,3,4)のどれにつなげるかで３通り。
以上より　５×４×３＝６０（通り）です。

(2)(ウ)
図の３に当たる奇数に何を入れるかで３通り。
２と４の並べ方で２！(通り)
です。

(エ)(ii)
図の１に当たる数が奇数か偶数かで２通り。
１に当たる数に何を入れるかで３通り。
それにつなぐ３本の腕で、どれを（６のような）１個にするかで、３通り。
残りの２本の腕（２と４）の先に、何をつなぐか（３か５か）で２通り。
です。
(iii)
図の１に当たる部分に、どの奇数を入れるかで３通り。
図の２に当たる部分に、どの奇数を入れるかで３通り。
です。
No.40520 - 2016/11/26(Sat) 00:04:16
☆ Re: 場合の数 / おまる
ご回答ありがとうございました。
理解することができました。
No.40541 - 2016/11/26(Sat) 21:31:38
★ 場合の数 / おまる
いつもお世話になっております。
解説でわからないところがあるので教えて欲しいです。
次の問題の解答で、⑵以降の先の考え方がわかりません。説明をよろしくお願いいたします。
No.40510 - 2016/11/25(Fri) 10:26:28
☆ Re: 場合の数 / おまる
解答です
No.40511 - 2016/11/25(Fri) 10:27:09
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
例えば、ｎ＝３（１８角形）とします。

(2)
１つの直径 1-10 を決めると、それ以外の16個(6n-2個)の頂点とで、出来る三角形
　1-10-2, 1-10-3, 1-10-4, ・・・ 1-10-9, 1-10-11, ・・・1-10-18
は全て直角三角形です。
直径は全部で9本（3n本）選べるので、
　9×16＝144（個）　　(6n-2)・3n＝18n^2−6n
(3)
頂点 1 を決めると、直線 1-10 に対して対称な２点(2と18, 3と17, ・・・ 9と11)を
選ぶと二等辺三角形が
　1-2-18, 1-3-17, ・・・ 1-9-11
の８個出来ます。この内 1-7-13 は正三角形なので、除いておきます。
よって、頂点１個につき、正三角形でない二等辺三角形は７個（3n-2個)出来ます。
　18×7＝126　　6n(3n-2)＝18n^2−12n
これに正三角形 6個(2n個）を加え　132個　　18n^2−10n個

(4)
1-3 と同じ長さの線は18本（6n本）引けます。
この直線と他の１点を結んで出来る鈍角三角形は１個（1-3-2)
1-4 と同じ長さの線は18本（6n本）引けます。
この直線と他の１点を結んで出来る鈍角三角形は２個（1-4-2, 1-4-3)
1-5 と同じ長さの線は18本（6n本）引けます。
この直線と他の１点を結んで出来る鈍角三角形は３個（1-5-2, 1-5-3, 1-5-4)
　　・・・
1-9(3n) と同じ長さの線は18本（6n本）引けます。
この直線と他の１点を結んで出来る鈍角三角形は７個(3n-2個)（1-9-2, 1-9-3, ・・・ 1-9-8)
よって、鈍角三角形の数は
　18×(1＋2＋3＋・・・＋7)＝18×28＝504(個)
　6n(3n-1)(3n-2)/2＝27n^3−27n^2＋6n

上に貼られた解答の考え方は、
頂点１を決めると、
2〜9 の 8個(3n-1個) から２個を選ぶか、
11〜18 の8個(3n-1個) から２個を選び、それと 1 との３点で三角形を作ると、
1 が鈍角でない鈍角三角形が出来ます。(1-2-3, 1-2-4, 1-2-5 など）
(以下略)
No.40516 - 2016/11/25(Fri) 23:21:04
☆ Re: 場合の数 / おまる
ご回答ありがとうございました。
大変わかりやすかったです。
No.40542 - 2016/11/26(Sat) 21:32:39
★ 解いてくださいお願いします。 / 龍太郎
センター対策用なのですが、少し難しくて合ってる自信がありません。これの答えがないので是非とも解いてもらいたいです！

四角の番号に0〜9の数字が入ります！
No.40502 - 2016/11/24(Thu) 23:22:15
☆ Re: 解いてくださいお願いします。 / 龍太郎
大問2です。
No.40503 - 2016/11/24(Thu) 23:23:15
☆ Re: 解いてくださいお願いします。 / 龍太郎
大問3です
No.40504 - 2016/11/24(Thu) 23:24:45
☆ Re: 解いてくださいお願いします。 / 龍太郎
大問4です。
No.40505 - 2016/11/24(Thu) 23:26:08
☆ Re: 解いてくださいお願いします。 / 龍太郎
大問5です
No.40506 - 2016/11/24(Thu) 23:27:32
☆ Re: 解いてくださいお願いします。 / 龍太郎
答えだけで大丈夫です！解説はいりません！
No.40507 - 2016/11/24(Thu) 23:28:14
☆ Re: 解いてくださいお願いします。 / 龍太郎
すみませんいちばん上に０〜9の数字とかきましたがマイナスもあります。
No.40508 - 2016/11/24(Thu) 23:37:20
☆ Re: 解いてくださいお願いします。 / さいん
一日中かんがえてるのですが大問1と大問4.5がドツボにはまってしまって解けません
No.40523 - 2016/11/26(Sat) 00:18:35
☆ Re: 解いてくださいお願いします。 / angel
大問1は、上のNo.40525に出ているのでご参考に。
No.40530 - 2016/11/26(Sat) 07:37:54
★ 確率 / ゆ
1､2､3､5､7の数字が1枚に１つずつ書かれた５枚のカードがある。この5枚のカードを裏返しにしてよく混ぜ、カードを二枚続けて出す。1枚に取り出したカードに書かれている数をａ、2枚目に取り出したカードに書かれている数をbとする。このとき2ａと3bの最大公約数が1以外になる確率を求めなさい。
ただし、どのカードの取り出し方も同様にたしからしいものとし、
2枚目のカードを取り出す前に
1枚目のカードは戻さないものとする。

答えは20/7になるのですがなぜそうなるか分かりません。
お願いします
No.40499 - 2016/11/24(Thu) 22:45:03
☆ Re: 確率 / angel
求める確率は

　(a=3 or b=2 になる確率)
　=(a=3になる確率)+(b=2になる確率)-(a=3 and b=2 になる確率)

ここで、(a=3になる確率), (b=2になる確率) とも 1/5 です。いつ引いたかに関わりなく、5枚中1枚しか当たりがないからです。

で、(a=3 and b=2 になる確率) は、全20通り中1通りしかありませんから、1/20 です。

結局、1/5+1/5-1/20=7/20 となります。
No.40500 - 2016/11/24(Thu) 23:02:43
☆ Re: 確率 / IT
具体的に数え上げてもできます。

２枚の取り出し方は全部で5×4=20 とおり
このうち
　2ａと3bの最大公約数が1以外になるのは
　(a,b)=({1,5,7},2),(3,{1,5,7}),(3,2) の7とおり
No.40501 - 2016/11/24(Thu) 23:13:21
★ (No Subject) / 大輝
全部お願いします
No.40495 - 2016/11/23(Wed) 22:12:19
☆ Re: / ｿﾞﾒ
清々しい丸投げっぷりに感心はするのですが
自分で考えるということをしたほうがよい気がします
No.40497 - 2016/11/24(Thu) 12:57:01
☆ Re: / 大輝
ときました
1の(3)はπ/6ですかね？
No.40509 - 2016/11/25(Fri) 10:10:52
☆ Re: / IT
[4]aを3以上の整数とし,x+1/x=aをみたす実数として数列{a[n]}をa[n]=x^n+1/x^nで定める
(1)a[n+1]-a[n]はa-2で割り切れることを示せ
(2)a[n+3]-a[n]はa+1で割り切れることを示せ
(3)すべての正の整数nについて、a[n+3]-a[n]がある素数pで割り切れるとき、a-2またはa+1のいずれかはpで割り切れることを示せ
---------------------------------------------------
[4]の(1)(2) の帰納法のメイン部分だけ
(1)
a(a[n+2])=a[n+3]+a[n+1] よりa[n+3]=a(a[n+2])-a[n+1] …(ア)
a(a[n+1])=a[n+2]+a[n]　よりa[n+2]=a(a[n+1])-a[n] …(イ)

よって a[n+3]-a[n+2]=a(a[n+2]-a[n+1])-(a[n+1]-a[n])

したがって　a[n+1]-a[n]とa[n+2]-a[n+1]とがともにa-2 の倍数であれば、a[n+3]-a[n+2] もa-2 の倍数　であるといえる。

a[2]-a[1],a[3]-a[2] がa-2 の倍数であることを示せば、任意の自然数nについてa[n+1]-a[n]はa-2 の倍数　であるといえる。（これは自分でどうぞ）

(2)
(ア)(イ)からa[n+3]-a[n]=(a+1)(a[n+2]-a[n+1])
No.40515 - 2016/11/25(Fri) 20:11:31
☆ Re: / IT
[4] の残り
(1)の 帰納法の前半部
a[2]-a[1]=(x^2+1/x^2)-(x+1/x)=(x+1/x)^2-2-(1+1/x)=a^2-a-2=(a-2)(a+1)

a[3]=x^3+1/x^3=(x+1/x)(x^2+1/x^2)-(x+1/x)=aa[2]-a
a[3]-a[2]=(a-1)a[2]-a
a[2]=(x+1/x)^2-2=a^2-2 を代入
a[3]-a[2]=(a-1)(a^2-2)-a=a^3-a^2-2a+2-a=a^3-a^2-3a+2=(a-2)(a^2+a-1)


(3)p|(a+1)でないとき,
　a[n+3]-a[n]=(a+1)(a[n+2]-a[n+1])なので,p|(a[n+2]-a[n+1]).　
　n=1,2 とおくと　p|(a[3]-a[2])…<1>、p|(a[4]-a[3])…<2>.
　a[4]-a[3]=a(a[3]-a[2])-(a[2]-a[1])
　<1><2>より　p|(a[2]-a[1]),したがってp|(a-2)(a+1)
　また<1>より　p|(a-2)(a^2+a-1)
　ここで、a^2+a-1=(a+1)a-1なのでa^2+a-1とa+1 は互いに素
　よって　p|(a-2)

したがって,p|(a+1)またはp|(a-2).　

#　整数x,y について、x|y はxがyの約数であることを表します。

No.40531 - 2016/11/26(Sat) 11:23:07
★ 二次曲線 / 輪島塗
楕円Ｃ１：x^2/9+y^2/5=1の焦点をＦ､F'とする。ただしFのｘ座標は正である。正の実数ｍに対し二直線ｙ＝±ｍｘを漸近線にもち、二点F,F'を焦点とする双曲線をC2とする。第一象限にあるC1とC2の交点をPとする。
（１）C2の方程式をｍを用いて表せ。
（２）線分FP、F'Pの長さをｍを用いて表せ
（３）∠F'PF=60°となるｍの値を求めよ。

解答はありませんが、（２）からができません。

楕円上の点を（ｘ、ｙ）とおくと
PF=3x-(2x)/3
双曲線上の点を（ｘ、ｙ）とおくと
PF=√(1+m^2)-2/√(1+m^2)
という結果はでました。(使い道はあるでしょうか？）

よろしくおねがいします
No.40488 - 2016/11/23(Wed) 17:45:58
☆ Re: 二次曲線 / X
(2)
(1)はできていますか？
(1)の結果とC[1]の方程式を連立して解けば
Pの座標をmを用いて表すことができますので
それとF,F'の座標からPF,PF'の長さを
計算します。

(3)
(2)の過程から↑PF,↑PF'の成分を計算できますので
↑PF・↑PF'を二通りの方法で表すことで
mについての方程式を立てます。
No.40493 - 2016/11/23(Wed) 18:48:14
☆ Re: 二次曲線 / 輪島塗
（１）番はできましたが少し汚いのでこれらを連立するのか、という気持ちです。より計算量が少なくて済む方法はありませんか？
楕円上の点を（ｘ、ｙ）とおくと
PF=3-(2x)/3
双曲線上の点を（ｘ、ｙ）とおくと
PF=√(1+m^2)ｘ-2/√(1+m^2)
答えを見ると
PF=3-2/√(1+m^2)となっており上記の定数項を足したものとなっており、もしかしたら工夫して簡単にもとまるのかなと思った次第です。全くの偶然なのでしょうか？

よろしくおねがいします
No.40538 - 2016/11/26(Sat) 20:31:41
☆ Re: 二次曲線 / 輪島塗
朗報です
偶然解説授業が聞けました。
楕円の定義から
PF+PF'＝２＊３＝６
双曲線の定義から
PF＋PF'=（頂点間距離）
この二式からPFとPF'が一瞬で求まりました
No.40605 - 2016/11/30(Wed) 20:24:22
★ 基底の求め方 / りんご
W2の基底の求め方がイマイチ理解できません
No.40485 - 2016/11/23(Wed) 16:24:40
☆ Re: 基底の求め方 / angel
ガウスの消去法は習ってないでしょうか?

もしまだなら、ベクトルの組の中から1次独立なもの ( で、要素数が最大なもの … 極大線形独立系 ) を方程式を使ってなんとか抜き出すことになります。

W2に現れるベクトルを、左から ｖ1,ｖ2,ｖ3 とすると、今回は、
　ｖ1+ｖ2-2ｖ3=０
です。なので、この3ベクトルは一次従属、で、2つに減らせば明らかに一次独立なので、2次元、基底はｖ1,ｖ2,ｖ3から好きに2つ選べばよいです。

どうやって上の関係が分かったかというと…
　aｖ1+bｖ2+cｖ3=０
という方程式をたてて、淡々とa,b,cの関係を探っていけば、です。
No.40487 - 2016/11/23(Wed) 16:45:40
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