1、2お願いします
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No.40403 - 2016/11/18(Fri) 02:08:15
| ☆ Re: / X | | | 1
(1)
前半)
f(x)=√x-logx
と置くと
f'(x)=1/(2√x)-1/x=(1-2√x)/(2√x)
∴x＞0におけるf(x)の増減表を書くことにより
f(x)≧f(1/4)=1/2+2log2＞0
∴√x＞logx
後半)
x→∞を考えるので1＜xとしても問題ありません。
このとき前半の結果から
0＜logx＜√x
∴0＜(logx)/x^n＜1/x^(n-1/2)
よってはさみうちの原理により
lim[x→∞](logx)/x^n=0
(2)
商の微分により
f[n]'(x)={x^(n-1)-{nx^(n-1)}logx}/x^(2n)
=(1-nlogx)/x^(n+1)
∴x≧1におけるf[n](x)の増減表を書くことにより
α[n]=e^(1/n)
β[n]=1
M[n]=f[n](e^(1/n))=1/(ne)
m[n]=f[n](0)=0
(3)
(2)の結果により
s[n]=(M[n]-m[n])/(α[n]-β[n])
=({1/(ne)}/{e^(1/n)-1}
∴1/n=tと置くことにより
lim[n→∞]s[n]=lim[t→+0]{1/{(e^t-1)/t}}(1/e)
よって
g(t)=e^t
と置くと
lim[n→∞]s[n]={1/g'(0)}(1/e)=1/e
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No.40419 - 2016/11/19(Sat) 10:35:21 |
| ☆ Re: / X | | | 2
(1)
題意を満たすためのさいころの目の出方は
(i)2が二回、3が一回
(ii)3が二回、1が一回
ここで問題のサイコロを振ったときの
1,2,3の目が出る確率はそれぞれ
1/6,1/3,1/2
よって(i)となる確率は
(3C1)(1/2)(1/3)^2=1/6
(ii)となる確率は
(3C1)(1/6)(1/2)^2=1/8
∴求める確率は
1/6+1/8=7/24
(2)
これは
(I)6を超えずに3回で6に到達
(II)3回目で7から戻って6に到達
の二つの場合について考える必要があります。
(I)のとき
さいころの目の出方の組み合わせは
{2,2,2},{1,2,3}
の二つになりますので確率は
(1/3)^3+(3!)(1/2)(1/3)(1/6)=1/27+1/6
=11/54
(II)のとき
(i)二回目で5に進み、三回目で3の目が出る
(ii)二回目で6に進み、三回目で2の目が出る
のいずれかになります。
(i)のとき、二回目で5に進むようなさいころの目の出方
の組み合わせは
{2,3}
のみですので、確率は
{2(1/3)(1/2)}(1/2)=1/6
(ii)のとき、二回目で6に進むようなさいころの目の出方
の組み合わせは
{3,3}
のみですので確率は
{(1/2)^2}(1/3)=1/12
(i)(ii)より(II)のときの確率は
1/6+1/12=1/4
(I)(II)により求める確率は
11/54+1/4=49/108
(3)
まず、さいころを4回投げてちょうど7に到達する
確率を求めます。
さいころを3回投げて4に到達するような
さいころの目の出方の組み合わせは
{2,1,1}
のみですのでその確率は
(3C1)(1/3)(1/6)^2=1/36
又、3回投げて3に到達するような
さいころの目の出方の組み合わせは
{1,1,1}
のみですのでその確率は
(1/6)^3=1/108
これらと(1)(2)の結果により
さいころ3回投げて5に到達する確率は
1-7/24-49/108-1/36-1/108
=1-50/108-7/24-1/36
=58/108-(1/12)(7/2+1/3)
=58/108-23/72
=29/54-23/72
=(1/18)(29/3-23/4)
=(1/18)((116-69)/12)
=(1/18)(47/12)
よってさいころを4回投げてちょうど7に到達する確率は
(1/36)(1/2)+(1/18)(47/12)(1/3)+(49/108)(1/6)
となるので求める条件付き確率は
(49/108)(1/6)/{(1/36)(1/2)+(1/18)(47/12)(1/3)+(49/108)(1/6)}
=(49/(9・6・2))(1/6)/{(1/36)(1/2)+(1/18)(47/12)(1/3)+(49/108)(1/6)}
=(49/9)(1/6)/{(1/3)(1/2)+(1/18)(47/3)+49/54}
=(49/9)/{1+(1/3)(47/3)+49/9}
=49/(9+47+49)
=7/15
(計算間違いがあったらごめんなさい)
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No.40420 - 2016/11/19(Sat) 11:18:09 |
| ☆ Re: / angel | | | (3)計算間違いっぽいです。
4回目で7になるには、最初の3回の出目と最後の出目が、
*4* (1,1,2)→3
*5* (1,1,3 or 1,2,2 or 3,3,3)→2
*6* (1,2,3 or 2,2,2 or 2,3,3)→1
となる場合だけです。
そしてこれらは、3回目がそれぞれ 4,5,6 の位置になっているケースに該当します。
( 確率として、分母に 6^4 が来るのは共通なので ) 目の出方の場合の数を考えると、
*4* (3×1^2×2)×3=6×3=18
*5* (3×1^2×3 + 3×1×2^2 + 3^3)×2=48×2=96
*6* (6×1×2×3 + 2^3 + 3×2×3^2)×1=98×1=98
なので、求める条件付き確率は、
98/(18+96+98)=49/106
参考: 一応計算チェック用として
3回目に 3〜7 の位置にいる場合の数は、
3: 1 ( 1-1-1のみ )
4: 6
5: 48
6: 98
7: 63 ( (1)の結果より )
合計216通りで、ちゃんと 6^3 と一致します。
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No.40422 - 2016/11/19(Sat) 12:59:08 |
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