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★ (No Subject) / 数学頑張るマン
申し訳ありませんが、至急よろしくお願いいたします。

高三です

例えば、微分方程式で「2yy'=1」のようなものを解くときに、両辺の「インテグラル dx」をとりますが、この変形は同値変形なのでしょうか？

理由付きでよろしくお願いいたします。
No.40746 - 2016/12/07(Wed) 14:52:10
☆ Re: / X
y'=f(x)⇔y=∫f(x)dx
となることはよろしいですか？
これと同じで同値変形です。
No.40749 - 2016/12/07(Wed) 17:47:44
☆ Re: / 数学頑張るマン
その変形は、定義ということでよろしいでしょうか？
No.40751 - 2016/12/07(Wed) 19:25:32
☆ Re: / X
高校数学の範囲でならそう考えても問題ありません。
No.40752 - 2016/12/07(Wed) 19:38:08
☆ Re: / 数学頑張るマン
ありがとうございました
No.40758 - 2016/12/08(Thu) 13:42:14
★ 高２:双曲線上の有理点 / どど
問)双曲線2x^2-y^2＝-1上の有理点をすべて求めよ。

この問題の解説の冒頭で、双曲線上の点(2,3)を通る傾きtの直線と双曲線との共有点を考えることで、双曲線を媒介変数tで表しています。
この点(2,3)のとり方に必然性はありますか？　双曲線上の点ならば、(2,3)でなくてもよいのでしょうか?
また、(2,3)とは違う点をとることで解答とは違うtの式がでてきても正解になるのでしょうか？

回答よろしくお願いします。
No.40743 - 2016/12/07(Wed) 00:15:07
☆ Re: 高２:双曲線上の有理点 / angel
> この点(2,3)のとり方に必然性はありますか？　双曲線上の点ならば、(2,3)でなくてもよいのでしょうか?
はい。有理点であればどこでも良いです。
ということであれば、(2,3)よりもtrivialな(0,1)あたりが第一感なんですけどね。

> また、(2,3)とは違う点をとることで解答とは違うtの式がでてきても正解になるのでしょうか？
はい。

なお、どんな点を取るにしても必ず媒介変数で表しきれない点が出てきますから、「この点がベスト」ってのはないです。
※(0,1)の場合なら(0,-1)が、(2,3)の場合なら(2,-3)がそう
No.40744 - 2016/12/07(Wed) 00:51:13
★ 絶対値 / Q
(3)の絶対値の問題がわかりません…
解説していただけるとありがたいです。
No.40730 - 2016/12/06(Tue) 15:50:56
☆ Re: 絶対値 / ヨッシー
例えば、｜ｘ−１｜ですが、
ｘ＝０　のときは　ｘ−１＜０ なので、
　｜ｘ−１｜＝１−ｘ　です。
ｘ＝２　のときは　ｘ−１＞０ なので、
　｜ｘ−１｜＝ｘ−１　です。
これはわかりますか？

　
No.40732 - 2016/12/06(Tue) 15:59:50
☆ Re: 絶対値 / Q
ｘ＝0のときは負で　
ｘ＝２のときは正になるということ…ですか？
No.40733 - 2016/12/06(Tue) 16:28:28
☆ Re: 絶対値 / ヨッシー
ｘ＝０ のときは絶対値の中が負になるので、
−１を掛けて正にすることで絶対値を外せる。
−２の絶対値は　−２×(-1)＝２ であるのと同じです。
（ｘ−１）×(-1)＝１−ｘ です。

ｘ＝２のときは絶対値の中が正になるので・・・（略）

です。

では、ｘが１＜ｘ＜２の範囲にあるとき
｜ｘ−１｜は？　｜ｘ−２｜は？
それぞれ、絶対値の中身の正負を考えましょう。
No.40734 - 2016/12/06(Tue) 16:53:45
☆ Re: 絶対値 / Q
ｘ＝1のとき｜ｘ-1｜＝0になり絶対値はそのまま外れ
｜ｘ-2｜＞0になり-1を掛けて2-ｘ
2つを計算して答えは1　これで良いのでしょうか
No.40741 - 2016/12/06(Tue) 22:43:52
☆ Re: 絶対値 / ヨッシー
結果は合っていますが、途中はかなりマズいです。

ｘ＝１ のときとありますが、１＜ｘ なので、ｘ＝１ になることはありません。
当てはめて見当をつけるなら x＝1.1 とか x=1.5 などです。
>｜ｘ-2｜＞0になり
も、絶対値が付いているので、ｘ＝２ 以外のすべての実数について
　|ｘ−２|＞０
です。問題なのは中身の　ｘ−２ が正か負かです。
正しくは、
　１＜ｘ＜２ のとき
　　ｘ−２＜０
　なので、｜ｘ−２｜＝２−ｘ　
です。その意味では、
>｜ｘ-1｜＝0になり絶対値はそのまま外れ
もかなりマズいです。

>-1を掛けて
の辺り、操作方法は理解されてきているようなので、
説明部分をもっと慎重に正確に。
No.40745 - 2016/12/07(Wed) 09:03:52
☆ Re: 絶対値 / Q
1<x<2なので｜x-1|>0で正になりx-1
｜x-2|は|x-2|<0で負になり2-x
2つを計算して答えが1ということですね！
不等号の意味を間違えていたのですね。

(ｲ)は中の絶対値から外して|x-1|>0で正になりx-1
|x-1-1|=|x-2|になり
|x-2|<0で負になるから答えは2-x
これで合っているでしょうか。
No.40748 - 2016/12/07(Wed) 16:51:07
☆ Re: 絶対値 / ヨッシー
答えは合っています。

途中もだいぶ良くなってきましたが、
　|x-2|＜0 ではなく x-2＜0 です。（中身が負）
絶対値を付けると、(０以外の)どんな数も正になってしまいます。
No.40750 - 2016/12/07(Wed) 17:52:00
★ 偏微分 / りんご
大問4のZ_rrとZ_θθの導出過程をお願いします。
どちらも一次まではわかります
No.40725 - 2016/12/06(Tue) 14:26:53
☆ Re: 偏微分 / noname
合成関数の微分法より

∂z/∂r＝z_x・∂x/∂r+z_y・∂y/∂r,…?@
∂z/∂θ＝z_x・∂x/∂θ+z_y・∂y/∂θ…?A

であるから，積の微分法より

∂^2z/∂r^2
＝∂/∂r(z_x・∂x/∂r)+∂/∂r(z_y・∂y/∂r)
＝(∂z_x/∂r・∂x/∂r+z_x・∂^2x/∂r^2)+(∂z_y/∂r・∂y/∂r+z_y・∂^2y/∂r^2),…?B
∂^2z/∂θ^2
＝∂/∂θ(z_x・∂x/∂θ)+∂/∂θ(z_y・∂y/∂θ)
＝(∂z_x/∂θ・∂x/∂θ+z_x・∂^2x/∂θ^2)+(∂z_y/∂θ・∂y/∂θ+z_y・∂^2y/∂θ^2)…?C

が成立します．ここで，合成関数の微分法より

∂z_x/∂r＝z_xx・∂x/∂r+z_xy・∂y/∂r,…?D
∂z_y/∂r＝z_yx・∂x/∂r+z_yy・∂y/∂r,…?E
∂z_x/∂θ＝z_xx・∂x/∂θ+z_xy・∂y/∂θ,…?F
∂z_y/∂θ＝z_yx・∂x/∂θ+z_yy・∂y/∂θ,…?G

であるから，?@,?A,?B,?C,?D,?E,?F,?Gを使ってz_rr+1/r・z_r+1/r^2・z_θθを計算すればよいです．
No.40728 - 2016/12/06(Tue) 14:56:11
★ (No Subject) / あ
x座標、y座標共に整数である点を格子点という。任意の2つの異なる格子点P,Qは点T(√2,1/3)から等距離にないことを示せ。よろしくお願いします。
No.40717 - 2016/12/06(Tue) 11:31:47
☆ Re: / noname
図形的な解法がありそうですが，これも背理法を使うと証明し易いです．もしTから等距離にある様な異なる2個の格子点が存在するとし，それらのうち任意の2点をP(m,n),Q(k,ℓ)(m,n,k,ℓは整数)とすると，PT＝QTが成立します．この時，両辺を2乗して式変形すれば

√2(k-m)＝(k^2-m^2)/2+(ℓ-n)(3ℓ+3n-2)/6.…(*)

ここで，k＝mであると仮定すると，

(ℓ-n)(3ℓ+3n-2)＝0.
∴ℓ＝n，3(ℓ+n)＝2.

ところで，3(ℓ+n)＝2の左辺は3の倍数であるが右辺は3の倍数ではないため不適です．よって，ℓ＝nが成立します．この時，P＝Qが言えますが，今P≠Qであるため矛盾が生じます．よって，k≠mでなければなりません．この時，(*)の両辺をk-mで割ると，

√2＝(k+m)/2+(ℓ-n)(3ℓ+3n-2)/(6(k-m)).

ところで，この式の左辺は無理数，右辺は有理数であるから矛盾が生じます．したがって，Tと等距離にある様な異なる2個の格子点は存在しません．すなわち，任意の異なる2個の格子点に対してこれらはTから等距離にはないということが成立します．
No.40719 - 2016/12/06(Tue) 12:18:32
★ (No Subject) / あ
y=ax^2+bx+cとy=dx^2+ex+fがある。定数a〜fがbe=2(ac+df)を満たすとき、少なくとも一方の放物線はx軸との共有点を持つことを示せ。 よろしくお願いします。
No.40716 - 2016/12/06(Tue) 11:26:03
☆ Re: / noname
背理法を使うと証明し易いかもしれません．もし2つの放物線がともにx軸との共有点を持たないと仮定すると，2つの2次方程式ax^2+bx+c＝0とdx^2+ex+f＝0の判別式の値はともに負であるため，b^2＜4ac,e^2＜4dfが成立します．この時にこれらの不等式と仮定を用いると，

b^2+e^2＜4(ac+df)＝2be.
∴(b-e)^2＜0.…(*)

ところが，b,eは実数なのでb-eは実数であり，実数の平方数は常に非負です．よって，最後に得られた不等式を満たす実数b,eは存在しません．これは(*)に反するため，矛盾が生じたことになります．したがって，背理法により2つの放物線のうち少なくとも一方の放物線はx軸との共有点を持ちます．
No.40718 - 2016/12/06(Tue) 12:00:21
★ お教えください / 九州の暴走王
正解は2：3ですが、小学生にどう説明したら良いかご教授下さい。
No.40713 - 2016/12/06(Tue) 03:11:55
☆ Re: お教えください / 九州の暴走王
三平方を使えば比較的簡単に答えは導けるのですが、使わないで相似あるいは面積比で解ける方法があれば知りたいです。どなたかご教授下さい。
No.40724 - 2016/12/06(Tue) 14:20:02
☆ Re: お教えください / らすかる
では相似と面積比で。
CEに関してDと対称な点をD'とします。四角形A'D'CB'が正方形になる点です。
そして直線CDとA'Eの交点をGとします。
△DGEの面積を1とします。
△DGE∽△A'FEでDE：A'E=1：3なので、△A'EFの面積は9です。
A'E：A'D'=3：4なので、△A'D'Fの面積は12です。
次に、△DGE∽△D'GCでDE：CD'=1：4なので、△D'CGの面積は16です。
よって四角形CDED'の面積は15ですから、△D'CEの面積は15/2です。
D'E：D'A'=1：4から、△A'D'Cの面積は30です。
△A'D'B'の面積も30ですから、△FD'B'の面積は30-12=18、従って
A'F：B'F=12：18=2：3とわかります。
No.40729 - 2016/12/06(Tue) 15:01:18
☆ Re: お教えください / ヨッシー

らすかるさんの図はこれでいいのかな？

で、私の解いた方法です。

図のように、Ｄ’をＡ’Ｂ’ＣＤ’が正方形になるようにとります。
また、ＤＤ’とＥＣの交点をＧ（図の●）、ＤからＤ’Ｃ に下ろした垂線の足をＨとします。
このとき、∠ＤＣＤ’＝∠Ａ’ＥＦ であるので、
　△Ａ’ＦＥ∽△ＨＤＣ
となります。
正方形ＡＢＣＤの１辺を４とすると
　四角形ＣＤＥＤ’＝４
△ＥＤＧ∽△ＤＣＧ∽△ＥＣＤ より
　ＥＧ：ＧＤ＝ＧＤ：ＧＣ＝１：４
よって、ＥＧ：ＧＣ＝１：１６ となり、
　△ＤＣＤ’＝64/17
Ｄ’Ｃ＝４　なので　これを底辺とすると、高さＤＨは
　ＤＨ＝64/17÷4×2＝32/17
Ｄ’Ｈ：ＤＨ＝１：４ より
　Ｄ’Ｈ＝8/17
よって、
　ＨＣ＝４−8/17＝60/17
　ＨＣ：ＨＤ＝６０：３２＝15：8
これは、ＥＡ’：Ａ’Ｆ に等しいので、ＥＡ’＝３ より
　Ａ’Ｆ＝３×8/15＝8/5
　Ｂ’Ｆ＝12/5
　Ａ’Ｆ；Ｂ’Ｆ＝２：３
となります。
No.40731 - 2016/12/06(Tue) 15:51:13
☆ Re: お教えください / X
>>らすかるさんへ
重箱の隅をつつくようで恐縮ですが
小学生では二乗の概念は未学習のはず
ですので、相似の場合の面積比が
相似比の二乗であることは使えない
のでは？
No.40735 - 2016/12/06(Tue) 17:42:43
☆ Re: お教えください / ヨッシー
横から失礼します。


有理数以外の実数では難しいですが、たとえば、３倍なら、
上のような図を描けば、面積は９倍であることは理解させることが出来ます。
No.40736 - 2016/12/06(Tue) 18:19:05
☆ Re: お教えください / X
>>ヨッシーさんへ
なるほど。二乗であることを理解させなければ
いけない理由は確かにありませんね。
No.40737 - 2016/12/06(Tue) 18:52:18
☆ Re: お教えください / angel
図のように、面積をそれぞれ文字で置いて一次方程式にするのはどうでしょうか。
( 2+2+2x+2x+6-1.5x=16 )
本質的には一次方程式ですが、工夫すれば、そう見せないようにすることも可能です。
No.40739 - 2016/12/06(Tue) 21:38:32
☆ 相似の場合の面積比 / angel
> 相似の場合の面積比が相似比の二乗であることは使えないのでは？

昔学習塾に通っていた時は普通に使ってましたね…。

一応建前としても、連比を挟めば ( 底辺がα倍で高さもα倍と )、結局2乗と同じになることは言えてしまうので、あまり変わらないように思います。
No.40740 - 2016/12/06(Tue) 22:02:55
☆ Re: お教えください / 九州の暴走王
皆さま、ありがとうございます。

某塾のテストで出題されたものですが、想定解法が気になるところです。今後の参考にさせていただきます。
No.40742 - 2016/12/06(Tue) 23:58:07
★ 三角錐の高さ / メ
この三角錐の、三角形BCDを底面とした時の高さの求め方がいまいち分かりません…三角錐自体の体積は、√3/6 なのですが、元々体積は分からない状態で出題されていますので、体積以外からのアプローチ法を教えて頂けたら有り難いです…
No.40701 - 2016/12/05(Mon) 23:49:40
☆ Re: 三角錐の高さ / メ
△ABDの、Aから線分BD上に垂線を下ろし、その足をHとした時、△ACHが三角錐内に出来上がり、その△ACHの高さを出せば良いと考えたのですが、全くうまくいきません…どうかご教授下さい…
No.40702 - 2016/12/05(Mon) 23:55:59
☆ Re: 三角錐の高さ / みずき
BD=xのままでは三角形BCDを底面としたときの高さは定まらないと思います。
No.40703 - 2016/12/06(Tue) 00:25:05
☆ Re: 三角錐の高さ / メ
すいません。BD=√2です
No.40704 - 2016/12/06(Tue) 00:37:46
☆ Re: 三角錐の高さ / らすかる
Aから平面BCDに下ろした垂線の足をMとすると
BM⊥BC、DM⊥DCであることからBM=√14/7と求まります。
（上から見た図を書いて考えて下さい。）
よって (高さ)=√(AB^2-BM^2)=2√2/7 となります。
No.40705 - 2016/12/06(Tue) 01:22:07
☆ Re: 三角錐の高さ / noname
>>らすかる様


BD＝√2の時，三角形BCDはBC＝BD＝√2,CD＝1の二等辺三角形であるから，この三角形の底辺を辺BCとすると高さは三平方の定理より

√((√2)^2-(1/2)^2)＝√7/2

となるため，四角錐ABCDの1つの面である三角形BCDを底面とみた時の高さをHとすると，体積の式として

√3/6＝1/3・1/2・1・√7/2・H.

が成り立つのでH＝2√21/7が導かれますが，これは

>(高さ)=√(AB^2-BM^2)=2√2/7

と一致しません．
No.40706 - 2016/12/06(Tue) 01:29:40
☆ Re: 三角錐の高さ / noname
>>らすかる様


> (高さ)=√(AB^2-BM^2)

を計算してみたところ，2√21/7と一致しました．というわけで，先程の私のコメントは無視してください．早とちりをしてしまい失礼致しました．
No.40707 - 2016/12/06(Tue) 01:33:15
☆ Re: 三角錐の高さ / メ
> Aから平面BCDに下ろした垂線の足をMとすると
> BM⊥BC、DM⊥DCである

ここに関して、非常に素朴な疑問があるのですが、三角錐の頂点から底面に降ろした垂線の足の、場所、位置関係が正確に分からなければ、これらの事は分からないと思うのですが、足の位置関係はどの様にしてここまで正確に特定出来るのでしょうか？ご教授願えませんでしょうか…？
No.40708 - 2016/12/06(Tue) 01:46:49
☆ Re: 三角錐の高さ / noname
点Dを通り辺BCに直交する直線をℓとすると，Mは直線ℓ上にあることが分かります．この時，直角三角形AMDにおいて三平方の定理を使うと

DM^2＝AD^2-AM^2＝3-AM^2

であり，この時に直角三角形BMDにおいて三平方の定理を使うと

CM^2＝CD^2+DM^2＝4-AM^2.…?@

また，直角三角形ABMにおいて三平方の定理を使うと

BM^2＝AB^2-AM^2＝2-AM^2.…?A

この時に?AとBC＝√2を用いると，

BC^2+BM^2＝2+(2-AM^2)＝4-AM^2.…?B

よって，?@,?BよりBC^2+BM^2＝CM^2が成立するため，三平方の定理の逆により三角形BMCは∠CBMが90度の直角三角形であることが分かります．以上をまとめると，

>BM⊥BC、DM⊥DCである

ことが言えます．
No.40709 - 2016/12/06(Tue) 02:06:36
☆ Re: 三角錐の高さ / らすかる
> 足の位置関係はどの様にしてここまで正確に特定出来るのでしょうか？
∠ABCは直角ですから、例えばxyz空間においてBを原点、Cを(√2,0,0)とすると
BCを軸に△ABCをどう回転しても、Aは必ず平面x=0上にあります。
従ってAからxy平面に下ろした垂線の足も平面x=0上すなわちy軸上にありますので、
∠MBCは直角となります。∠MDCの方も同様です。
No.40710 - 2016/12/06(Tue) 02:22:31
☆ Re: 三角錐の高さ / メ
点Cを通りBDに直行する線ではなぜダメなのでしょうか…そもそも、全ての三角錐に共通できる、三角錐の高さを求める方法って、体積から逆算する以外で無いのでしょうか…？
No.40711 - 2016/12/06(Tue) 02:27:35
☆ Re: 三角錐の高さ / らすかる
> 点Cを通りBDに直行する線ではなぜダメなのでしょうか

Aから平面BCDに下ろした垂線の足は点Cを通りBDに直交する直線上にありませんので、
点Cを通りBDに直交する直線を考えても求まりません。

> そもそも、全ての三角錐に共通できる、三角錐の高さを求める方法って、体積から逆算する以外で無いのでしょうか

そんなことはありません。どんな三角錐でも上と同様の方法で求められるはずです。
例えば∠ABCが鋭角の場合は△ABC上でAからBCに垂線AHを下ろして
AHやHCを求め、△AHCについて考えれば同様に考えられます。
（この場合MはHを通りBCに垂直な直線上にあることになります。）
No.40712 - 2016/12/06(Tue) 02:48:45
☆ Re: 三角錐の高さ / noname
座標設定をせずにBMの長さを求めるならば，次の様に考えてもよいです．


[考え方]
BM＝tとすると三平方の定理より

DM^2＝CM^2-CD^2＝(BC^2+BM^2)-CD^2＝t^2+1

が成り立つからDM＝√(t^2+1)であり，四角形BCDMの面積の式として

(三角形BCDの面積)+(三角形BDMの面積)＝(三角形BCMの面積)+(三角形CDMの面積).
∴1/2・1・√7/2+1/2・1/2・√(t^2+1)＝1/2・√2・t+1/2・1・√(t^2+1).
∴√7-2√2t＝√(t^2+1).
∴(√7-2√2t)^2＝t^2+1.
∴7t^2-4√14t+6＝0.
∴t＝√14/7,3√14/7.

ところで，DM≦√7/2，すなわちt≦√3/2であるから，これを満たすtの値はt＝√14/7である．ゆえに，BM＝√14/7である．
No.40714 - 2016/12/06(Tue) 03:18:29
☆ Re: 三角錐の高さ / らすかる
BMは三角形の相似を用いて以下のように算出することもできます。

BからCDに垂線BPを下ろすとBP=√(BC^2-CP^2)=√7/2
MからBPに垂線MQを下ろすとMQ=DP=1/2で
△BMQ∽△CBPなのでBM=(BC/BP)MQ=√14/7
No.40715 - 2016/12/06(Tue) 04:30:07
☆ Re: 三角錐の高さ / メ
> 点Dを通り辺BCに直交する直線をℓとすると，Mは直線ℓ上にあることが分かります

何度もすみません…そもそもの所なんですが、なぜ頂点Aから底面へ引いた垂線の足(M)、が、点Dを通り辺BCに直交する線分上にあると特定できているのでしょう…何度も申しわけありません…
No.40720 - 2016/12/06(Tue) 12:20:05
☆ Re: 三角錐の高さ / noname
>なぜ頂点Aから底面へ引いた垂線の足(M)、が、点Dを通り辺BCに直交する線分上にあると特定できているのでしょう

三角形BCDが存在する平面をαとし，α上にある点E,Fを添付された図の様にとります．そして，半径が線分DEの長さで中心がDである円上で点Pを一回り動かすと，Pからαに向けて引いた垂線の足をIとするとIは線分EF上を動きます．特に，Mは直線ℓ上にあることが分かります．
No.40721 - 2016/12/06(Tue) 14:02:12
☆ Re: 三角錐の高さ / らすかる
どういう間違いかわからずコメントのしようがなかったので
静観していたのですが、その図ならば
「点Dを通り辺BCに直交する直線」は
「点Dを通り辺CDに直交する直線」の誤りですね。
No.40722 - 2016/12/06(Tue) 14:10:37
☆ Re: 三角錐の高さ / メ
すみません…自分高1なのですが、これって高1数学の範囲内なのでしょうか…
No.40723 - 2016/12/06(Tue) 14:16:27
☆ Re: 三角錐の高さ / noname
>>らすかる様

仰る通りですね．らすかる様，ご指摘感謝致します．


>>質問者様

らすかる様のご指摘の通り，誤りが見られました．失礼致しました．さて，この問題が高1数学の知識で解けるものなのかどうかについてですが，「その範囲内で解けるもの」です．また，先程の図の3次元版も添付しておきます．
No.40726 - 2016/12/06(Tue) 14:41:36
★ (No Subject) / マーク
画像の問題でかなり後のほうにあるy-7=x-3がいきなり出てきた理由が分かりません😖
連立方程式では駄目なのですか？
No.40699 - 2016/12/05(Mon) 17:07:54
☆ Re: / X
>>いきなり出てきた理由が分かりません
いきなり出てきたように見えますが
直線AB'が
点B'(3,7)を通ること
と
傾きが1となること(これは点A,B'の座標から計算できます)
から容易に導かれます。

一般に点(p,q)を通り傾きaとなる直線の方程式は
直線y=axを平行移動させる観点から見ると
y-q=a(x-p)
と書くことができます。

>>連立方程式では駄目なのですか？
直線の方程式を
y=ax+b
と置いてa,bについての連立方程式を立てる
という意味であればもちろんそれでも
問題ありません。
No.40700 - 2016/12/05(Mon) 19:30:22
★ (No Subject) / ﾓﾓ
誤差に関してです…
参考書にのっていたのですが
相対誤差で誤差の限界/近似値である理由がわかりません…
よろしければ教えてください！
No.40693 - 2016/12/05(Mon) 00:44:08
★ (No Subject) / ふみ
度々失礼します。

1から10までの10個の整数から異なる2数を取り出し、それら2数の積を考える。考えられる全ての積の和はいくらか。

という問題で、手間がかかる方法ですが、

1(2+3+4+....+10)+2(3+4+....+10)+....+9•10
=1•1/2•9•(2+10)+.....

という感じで計算して求めると1330と出てきたのですが、解答は1320で、どうしても合いません。
この方法では解けないのでしょうか？
No.40691 - 2016/12/04(Sun) 23:59:54
☆ Re: / みずき
>この方法では解けないのでしょうか？

その方法で解けます。
どこかで計算間違いをされていると思います。
No.40692 - 2016/12/05(Mon) 00:39:41
☆ Re: / ふみ
ありがとうございます。
もう一度計算し直してみます。
No.40694 - 2016/12/05(Mon) 02:09:09
★ (No Subject) / らぐ
等高線を図示したいのですがこれでいいのですか？
(勝手にx+yの範囲も決めてしまっていますし)
No.40690 - 2016/12/04(Sun) 23:33:30
☆ Re: / X
よろしくありません。
(1)
c=sin(x+y)
と置くと
x+y=arcsinc+2nπ,-arcsinc+(2n+1)π
(nは整数)
となります。
グラフを描くと、
直線
x+y=arcsinc,π-arcsinc
を基準にして傾き-1の直線が
等間隔で無限本並んでいるような
形になります。

(2)も同様です。
No.40695 - 2016/12/05(Mon) 05:18:20
☆ Re: / らぐ
理解できました.
僕の考えがいろいろ違ってました.
ありがとうございます.
No.40698 - 2016/12/05(Mon) 16:09:52
★ (No Subject) / 坂田
高3です (3)が分からなくて困ってます 教えてください
f (x)=ax^2+xsin2x+1/2(cos2x) (aは実数) x＞0で極地をもつ
(1)aの範囲
(2)0＜x＜πでf(x)が極小値を１つもつ証明
(3)0＜x＜πでaが(1)の範囲を動くときf(x)極小値の取りうる範囲
お願いします。
No.40689 - 2016/12/04(Sun) 23:31:34
☆ Re: / 坂田
どなたかお願いします
No.40738 - 2016/12/06(Tue) 21:27:50
★ 整理するとの理由が分かりません / たざわ
整理した時の式が、分かりません
No.40685 - 2016/12/04(Sun) 21:36:11
☆ Re: 整理するとの理由が分かりません / noname
x＝(10+x)×1/√3の式の両辺を√3倍して，その後に〇x＝△の様な形になる様に式変形してみてください．
No.40686 - 2016/12/04(Sun) 21:52:10
★ 帰納法 / わん
連投ごめんなさい
こちらの問題も2行目からわからなくなってしまったので
教えていただきたいです
よろしくお願いします
No.40683 - 2016/12/04(Sun) 20:40:09
☆ Re: 帰納法 / IT
帰納法のメイン部分は
(n!)^2≧n^n を仮定して　{(n+1)!}^2≧(n+1)^(n+1) を示せばいいです。
割り算して
(n+1)^2≧(n+1)^(n+1)/(n^n) を示せばいい。
n^n≧(n+1)^(n-1)を示せばいい。

これは1行めの不等式から示せます。

（別解）2行目の式を直接示す方法
n! の一方の順番をひっくり返して掛けると
(n!)^2=Π[a=1,n]((n-a+1)a)
ここで(n-a+1)a - n =(n-a)(a-1)≧0なので　(n-a+1)a ≧ n
よって(n!)^2≧ n^n　

No.40684 - 2016/12/04(Sun) 21:08:07
☆ Re: 帰納法 / noname
次の様に考えてもよいです．


[別解]
(1)の不等式より，x≧1の時

xlog(x)≧(x-1)log(x+1)＝(x+1)log(x+1)-2log(x+1).
∴2log(x+1)≧(x+1)log(x+1)-xlog(x).

今得られた式のxの部分に1,2,...,n-1を代入したものを辺々足すと，

2Σ_[k＝1,n-1]log(k+1)≧Σ_[k＝1,n-1]((k+1)log(k+1)-klog(k)).
∴2log(n!)≧nlog(n).
∴log((n!)^2)≧log(n^n).
∴(n!)^2≧n^n.
No.40688 - 2016/12/04(Sun) 22:46:25
☆ Re: 帰納法 / わん
丁寧に教えてくださって本当にありがとうございます！
理解できました
No.40696 - 2016/12/05(Mon) 12:13:02
★ 数列・極限 / わん
こんにちは
2行目からの数列の部分の解き方がどうしてもわからないので教えていただけると助かります　
お願いします
No.40680 - 2016/12/04(Sun) 20:34:27
☆ Re: 数列・極限 / わん
ごめんなさい、画像はこちらです
No.40681 - 2016/12/04(Sun) 20:35:17
☆ Re: 数列・極限 / わん
ごめんなさい、プレビューしてしまって
No.40682 - 2016/12/04(Sun) 20:35:58
☆ Re: 数列・極限 / noname
>数列の部分の解き方がどうしてもわからない


とあるので，(2)に関する質問であると解釈しました．以下に(2)の解説を与えておきます．

[(2)の解説]
x_[k]＝1を満たす自然数kが存在する時は，f(1)＝1と数列{x_[n]}の定義よりx_[n]＝1(n≧k)である．この時，lim_[n→∞]x_[n]＝1が成り立つ．一方，x_[n]≠1(n≧0)の時は，各番号nに対して平均値の定理と(1)の結果を用いると，

|x_[n+1]-1|＝|f(x_[n])-f(1)|＝|f'(c_[n])||x_n-1|＜1/2・|x_[n]-1|

が成り立つ．ここで，c_[n]はx_[n]と1の間に存在する様なある実数である．この時，n＞0に対して

|x_[n]-1|＜1/2・|x_[n-1]-1|＜…＜(1/2)^n・|x_[0]-1|.
∴0≦|x_[n]-1|＜(1/2)^n・|x_[0]-1|.

ここから先ははさみうちの原理を用いて考えればよいです．
No.40687 - 2016/12/04(Sun) 22:28:55
☆ Re: 数列・極限 / わん
丁寧に教えていただけてありがたいです！
お力添えのおかげで理解できました
No.40697 - 2016/12/05(Mon) 12:15:25
★ (No Subject) / ふみ
いつもお世話になっております。

下の問題の（2）ですが、私の解答のような解き方では、なぜいけないのでしょうか？
解答の内容は理解できますし、自分の解答に違和感もあるのですが、どうして間違いになるのかがわからないので、教えてほしいです。
No.40675 - 2016/12/04(Sun) 11:10:29
☆ Re: / ふみ
私の解答です
No.40676 - 2016/12/04(Sun) 11:11:05
☆ Re: / ふみ
すみません、なぜか横倒しになってしまいました……

一応、解答も載せておきます
No.40677 - 2016/12/04(Sun) 11:12:20
☆ Re: / IT
式?Dは、どうやって出てきましたか？
No.40678 - 2016/12/04(Sun) 11:38:15
☆ Re: / ふみ
（1）で求めたαとβを代入する時に符号を間違えていました！

正しい式で計算すると、結局右辺と左辺同じになってしまって解けないんですね。

ありがとうございました。
No.40679 - 2016/12/04(Sun) 12:40:50
★ 確率 / マリリン
⇨⇨↑、⇨↑⇨、↑⇨⇨のとき（2，1）を通り、この確率は3p三乗になると書いてあるのですがどうしてそうなるのか教えてください！
No.40670 - 2016/12/03(Sat) 23:04:30
☆ Re: 確率 / マリリン
> ⇨⇨↑、⇨↑⇨、↑⇨⇨のとき（2，1）を通り、この確率は3p三乗になると書いてあるのですがどうしてそうなるのか教えてください！
No.40671 - 2016/12/03(Sat) 23:07:42
☆ Re: 確率 / マリリン
すいません！解決しました
No.40672 - 2016/12/03(Sat) 23:08:41
★ n進法 / ゆうり
高校一年生です。数A 整数の性質 n進法の問題です。
3進法の乗法、5進法の加法・乗法の計算の仕方がわかりません。
例えば
2(3)×2(3)
1(5)+4(5)
3(5)×2(5)
など…。
計算の方法を教えてください。どなたかよろしくお願いいたします。
No.40667 - 2016/12/03(Sat) 20:40:53
☆ Re: n進法 / noname
2_(3)×2_(3)については，10進数のかけ算として計算すれば4ですが，これは3進数表示すると11_(3)なので，

2_(3)×2_(3)＝11_(3)

となります．また，1_(5)+4_(5)については，これも10進数の和として計算すれば5ですが，これを5進数表示すると10_(5)なので，

1_(5)+4_(5)＝10_(5)

となります．最後に，3_(5)×2(5)についてですが，これも10進数のかけ算の式とみれば計算結果は6となりますが，これを5進数表示すると11_(5)であるから，

3_(5)×2_(5)＝11_(5)

が成立します．


※10進数の計算と同様に，どの場合でどう繰り上がるのかについて慣れていただくと，段々と容易に計算できるようになるかと思います．
No.40668 - 2016/12/03(Sat) 22:15:50
☆ Re: n進法 / noname
もう少し丁寧に計算すると，2_(3)×2_(3)については

(3^0×2)×(3^0×2)
＝3^0×4
＝3^0×(3+1)
＝3^1×1+3^0×1

により2_(3)×2_(3)＝11_(3)であり，1_(5)+4_(5)については

5^0×1+5^0×4
＝5^0×5
＝5^1×1+5^0×0

により1_(5)+4_(5)＝10_(5)であり，3_(5)×2(5)については

3_(5)×2(5)
＝(5^0×3)×(5^0×2)
＝5^0×6
＝5^0×(5+1)
＝5^1×1+5^0×1

により3_(5)×2_(5)＝11_(5)が成立します．
No.40669 - 2016/12/03(Sat) 22:22:56
☆ Re: n進法 / ゆうり
なるほど！すっきりしました。
丁寧に教えてくださりありがとうございました。
No.40674 - 2016/12/04(Sun) 02:39:51
★ 合同式の問題 / ゆうり
こんばんは。高校一年生です。
合同式の問題について、よく分からなかったので教えてください。

27^10を10で割ったときの余りを合同式を用いて求めよ。

27≡3(mod10)から始めるとどうやっていけばいいのでしょうか。
他に簡単なやり方があれば教えてください。

よろしくお願いいたします。
No.40662 - 2016/12/03(Sat) 18:33:07
☆ Re: 合同式の問題 / noname
正の整数Nを10で割った余りとはNの一の位の数のことです．よって，27≡7（mod.10）が成立します．ゆえに，

27^10≡7^10≡49^5≡9^5≡81^2・9≡1^2・9≡9（mod.10）

が成立します．
No.40663 - 2016/12/03(Sat) 19:47:09
☆ Re: 合同式の問題 / noname
より一般に，n＝1,2,3,...に対して，

27^{n+4}-27^n
≡27^n・(27^4-1)
≡27^n・(7^4-1)
≡27^n・(49^2-1)
≡27^n・(9^2-1)
≡27^n・80≡0（mod.10）

が成り立つから，27^{n+4}と27^nの一の位の数は同じです．また，

27^1≡7（mod.10）
27^2≡7^2≡49≡9（mod.10）
27^3≡7^3≡49・7≡9・7≡63≡3（mod.10）
27^4≡7^4≡49^2≡9^2≡81≡1（mod.10）

であることから，27^nの一の位はnが変化する毎に7,9,3,1の順に周期的に変化することが言えます．
No.40664 - 2016/12/03(Sat) 19:54:48
☆ Re: 合同式の問題 / ゆうり
> 正の整数Nを10で割った余りとはNの一の位の数のことです．よって，27≡7（mod.10）が成立します．ゆえに，
>
> 27^10≡7^10≡49^5≡9^5≡81^2・9≡1^2・9≡9（mod.10）
>
> が成立します．

すみません。間違えてました。
27≡3(mod10)でなく27≡7(mod10)ですね。

回答ありがとうございます。
わかりやすく説明してくださって助かります。
理解できました。
No.40665 - 2016/12/03(Sat) 19:55:38
☆ Re: 合同式の問題 / ゆうり
> より一般に，n＝1,2,3,...に対して，
>
> 27^{n+4}-27^n
> ≡27^n・(27^4-1)
> ≡27^n・(7^4-1)
> ≡27^n・(49^2-1)
> ≡27^n・(9^2-1)
> ≡27^n・80≡0（mod.10）
>
> が成り立つから，27^{n+4}と27^nの一の位の数は同じです．また，
>
> 27^1≡7（mod.10）
> 27^2≡7^2≡49≡9（mod.10）
> 27^3≡7^3≡49・7≡9・7≡63≡3（mod.10）
> 27^4≡7^4≡49^2≡9^2≡81≡1（mod.10）
>
> であることから，27^nの一の位はnが変化する毎に7,9,3,1の順に周期的に変化することが言えます．

なるほど、面白いですね。
詳しく教えてくださりありがとうございます。
No.40666 - 2016/12/03(Sat) 20:05:02
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