考えては見たものの、わかりません。どうすればいいのでしょうか？
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No.39918 - 2016/10/27(Thu) 22:11:32
| ☆ Re: 数学 / angel | | | ある程度は数式として整理しますが、ある程度は数の組み合わせを1つ1つ力技で試していかざるを得ません。
先に条件を整理します。
* M,Nは2桁、Mの1の位とNの10の位が等しい
M=10a+b, N=10b+c, 1≦a≦9, 1≦b≦9 と置ける
* 〜分数の値が等しい
M/N=a/c, 1≦c≦9
* M,Nは異なる
a=b=c ではない
ここから、M/N=a/c を整理して
M/N=a/c
⇔ cM=aN
⇔ c(10a+b)=a(10b+c)
⇔ c(9a+b)=10ab
まとめると、
1≦a,b,c≦9, c(9a+b)=10ab, not( a=b=c )
ここまでが、数式上で整理できる条件です。
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No.39919 - 2016/10/27(Thu) 23:39:38 |
| ☆ Re: 数学 / angel | | | ここから、整数の性質に着目して、またある程度は力技で調べていきます。
c(9a+b)=10ab から、左辺、c, (9a+b) どちらかは5の倍数となります。そこで場合分けして、
(1) cが5の倍数になる場合 ⇒ c=5
5(9a+b)=10ab
⇔ 2ab-9a-b=0
⇔ 4ab-18a-2b=0 (全体を2倍)
⇔ 4ab-18a-2b+9=9
⇔ (2a-1)(2b-9)=9
これで、(2a-1),(2b-9)の積が9になる組み合わせを調べると、
(a,b)=(1,9),(2,6),(5,5) の3通りが出てきます。
ただ、(a,b)=(5,5)は、c=5 と併せると not(a=b=c) に抵触するため、除外します。
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No.39920 - 2016/10/27(Thu) 23:44:53 |
| ☆ Re: 数学 / angel | | | (2) c≠5 の場合
(9a+b)が5の倍数になります。
ここで、9a+b=10a+(b-a) であることに注意すると、
10a は既に5の倍数ですから、残りの b-a が5の倍数、つまり
(2)-1. a=b
(2)-2. a=b+5
(2)-3. b=a+5
のいずれかになります。
(2)-1. a=b
c(9a+b)=10ab に a=b を代入して整理すると b=c
つまり、a=b=c になり、not(a=b=c) に抵触するため除外
(2)-2. a=b+5
c(9a+b)=10ab に a=b+5 を代入して整理すると
c=2b(b+5)/(2b+9)
なので、右辺の分数が割り切れるかどうか、なのですが、これ実はb=1〜9 全て試しても割り切れません。
※整数の性質から説明することもできるのですが、9通りなので力技で十分
ということで、このケースも除外
(2)-3. b=a+5
c(9a+b)=10ab に b=a+5 を代入して整理すると
c=2a(a+5)/(2a+1)
これもa=1〜9全て試すと、右辺の分数が割り切れるのは a=1,4
※これも整数の性質から…以下略
このケースでは(a,b,c)=(1,6,4),(4,9,8)
最終的に、(1),(2)併せて、
(a,b,c)=(1,9,5),(2,6,5),(1,6,4),(4,9,8) の4通りが条件を満たす組み合わせです。
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No.39921 - 2016/10/27(Thu) 23:55:21 |
| ☆ Re: 数学 / 名無し | | | ありがとうございます！完全に理解しました！なお途中までの式変形はあってた模様です。
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No.39923 - 2016/10/28(Fri) 00:32:17 |
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