ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 陰関数 / なにゃー

問題 x^3-3xy+y^3=0から定まる陰関数y=f(x)のdf/dx,d^2f/dx^2を求めよ

以下,先生が記した板書です
F(x,y)=x^3-3xy+y^3とおく
Fx(x,y)=3x^2-3y
Fy(x,y)=-3x+3y^2
Fy(x,y)≠0のとき,すなわちx=y^2のとき,陰関数の存在定理より
df/dx=-Fx(x,y)/Fy(x,y)=～～

解答の4行目にx=y^2のときとありますが,正しくはx≠y^2のとき
ですよね?

No.40224 - 2016/11/09(Wed) 21:31:35

☆ Re: 陰関数 / なにゃー

それと,この問題の後にy=f(x)のグラフを書いていたのですがどうやったらy=f(x)のグラフの概形がわかるのですか？
筆記体のlを少し傾けたようなグラフになっていました

No.40225 - 2016/11/09(Wed) 21:38:19

☆ Re: 陰関数 / ast

前半は「すなわち～」の部分は, 言い換えをしてるだけなので, 無くても意味が通じるところ (次の行に書かれてる式が論旨) ですから敢えてコメントするまでもないと思います.

後半ですが, x に対して y の複数の値が対応しうることには注意が必要ですが, dy/dx, d^2y/dx^2 の符号を調べて増減表を書くことは通常の陽函数表示での場合と同様です. 例えば dy/dx が正となる領域では x の増加にともなって y が増加するし, dy/dx=0 となる x (F(x,y)=0 かつ F_x(x,y)=0 なる x) のところで y は極値をとる.

(分母)=0 や (分子)=0 は二次曲線 (特に放物線) で, それらを境界として領域に分けて考えると状況を整理しやすいでしょう.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5E3-3xy%2By%5E3%3D0,+x%3Dy%5E2,+y%3Dx%5E2,+(x%5E2-y)%2F(x-y%5E2)%3E0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5E3-3xy%2By%5E3%3D0,+y%3Dx%5E2,+x%3Dy,+y%3D2%5E(2%2F3),+x%2By%2B1%3D0

本問における曲線 F(x,y)=0 はデカルトの正葉線と呼ばれるものです. よく知られた媒介変数表示があるので, それを使って曲線を追跡する方法などもありますが, 本問の文脈ではそれはおそらく埒外でありましょう.

No.40229 - 2016/11/10(Thu) 03:34:02

☆ Re: 陰関数 / なにゃー

すっきりしました。
ありがとうございました。

No.40249 - 2016/11/10(Thu) 23:59:25

★ (No Subject) / ユー

この問題のカッコ1番はどのような方針を立てればよいのでしょうか？

No.40217 - 2016/11/09(Wed) 17:55:17

☆ Re: / angel

(1) cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ という、cosθの3次式ですから、t の式も cosθ で統一して整理することを考えます。
　t=cosθ+√3・sinθ から、
　(t-cosθ)^2=3(sinθ)^2=3(1-(cosθ)^2) で cosθの2次式の条件を作り、そこからcos3θの3次式をまとめていきます。

No.40223 - 2016/11/09(Wed) 20:16:19

☆ Re: / ast

t の右辺を sin (または cos) で合成すると t = 2sin(θ+π/6) (= 2cos(θ-π/3)). ここで φ := θ+π/6 (あるいは ψ := θ-π/3) とでも置けば, 3θ = 3φ-π/2 (= 3ψ+π) となり, cos(3θ) = sin(3φ) (= -cos(3ψ)) と書き替えられます. 右辺は φ (または ψ) に関して三倍角の公式を使って sin(φ) (=cos(ψ)) = t/2 の三次式が得られるはずです.

No.40228 - 2016/11/09(Wed) 23:53:17

★ 場合の数 / 星

答えをなくしてしっまたので、解説をお願いします。
a a b b c dの中から4個選んでできる文字列は何通りか。

自分の答え(a a b o) (a a c d) (b b a o) (b b c d) (a a b b) (a b c d)
(ｏはc d が入る）があるので、
（a a b o ）(b b a o)の時
4!/2!・2・2=48
(a a c d) (b b c d)の時
4!/2!・2=24
(a a b b )の時
4!/(2!・2!)=6
(a b c d）の時
4!=24
よって 102通り

No.40215 - 2016/11/09(Wed) 15:03:24

☆ Re: 場合の数 / X

方針、計算結果ともに問題ないと思います。

No.40219 - 2016/11/09(Wed) 19:31:31

☆ Re: 場合の数 / 星

ありがとうございます。

No.40220 - 2016/11/09(Wed) 19:38:08

☆ Re: 場合の数 / angel

参考ですが、(a a b b) (a b c d)以外のケースは1つにまとめることができます。

それは、(x x y z) ( xはa,bのどちらか、y,zは(a,bの余り),c,dから2種 ) です。

* xをa,bどちらにするか2通り
* xを4か所のどこに配置するか 4C2通り
* 残りの2か所に、3種類のうち2種を並べる 3P2通り

全てかけて 72通りと分かります。

No.40221 - 2016/11/09(Wed) 19:43:52

★ フィボナッチ数列の変形型 / ブラッドマミ

お世話になります。ブラッドマミともうします。この度はフィボナッチ数列のa[2］＝2,a[1］＝1の場合の一般項が求められず、困っております。どなたか分かる方、出来れば、途中の計算を省かず教えて下さい。よろしくお願いします。

No.40206 - 2016/11/08(Tue) 21:18:32

☆ Re: フィボナッチ数列の変形型 / angel

フィボナッチ数列に限らず、ですが。

隣接3項間漸化式
　a[n+2]+pa[n+1]+qa[n]=0
の形式の数列は、2次方程式 t^2+pt+q=0 の解α,βに対して、
　a[n]=Aα^(n-1)+Bβ^(n-1)
と表すことができます。( 重解の場合は少し違いますが )
A,Bについては、a[1],a[2]によって定まる定数係数です。

フィボナッチ数列の場合、漸化式は a[n+2]=a[n+1]+a[n] つまり、
　a[n+2]-a[n+1]-a[n]=0
ですから、方程式 t^2-t-1=0 を解いて、t=(1±√5)/2 です。
なので、
　a[n]=A・((1+√5)/2)^(n-1)+B・((1-√5)/2)^(n-1)

問題の条件、a[2]=2,a[1]=1 より、
　2=A・(1+√5)/2+B・(1-√5)/2
　1=A+B
この連立方程式を解いて、A=(5+3√5)/10, B=(5-3√5)/10
a[n]=(5+3√5)/10・((1+√5)/2)^(n-1) + (5-3√5)/10・((1-√5)/2)^(n-1)

もしくは指数の所をちょっと変えると、
a[n]=1/√5・( ((1+√5)/2)^(n+1) - ((1-√5)/2)^(n+1) )
ともできますね。

No.40207 - 2016/11/08(Tue) 22:14:33

☆ Re: フィボナッチ数列の変形型 / ブラッドマミ

回答本当にありがとうございました。
ただ自分が求めた解答と違うのでどこがおかしいか指摘して頂きたいと思います。それでは
a[n＋1］－(1＋√5)/2・a[n］＝(3－√5)/2・(1－√5)/2∧n-1 ...?@
a[n＋1］－(1－√5)/2・a[n］＝(3＋√5)/2・(1＋√5)/2∧n-1 ....?A
?@－?Aより一般項
a[n］＝1/√5｛（3＋√5）/2・（1＋√5）/2∧n-1
－（3－√5）/2・（1－√5）/2∧n-1｝以上どこがおかしいかどなたか指摘お願いします。

No.40211 - 2016/11/09(Wed) 13:14:48

☆ Re: フィボナッチ数列の変形型 / らすかる

{(1+√5)/2}^2=(3+√5)/2
{(1-√5)/2}^2=(3-√5)/2
ですから
(3+√5)/2・{(1+√5)/2}^(n-1)={(1+√5)/2}^(n+1)
(3-√5)/2・{(1-√5)/2}^(n-1)={(1-√5)/2}^(n+1)
なので
a[n]=(1/√5){(3+√5)/2・((1+√5)/2)^(n-1)
　　　　-(3-√5)/2・((1-√5)/2)^(n-1)}
=(1/√5){((1+√5)/2)^(n+1)-((1-√5)/2)^(n+1)}
となります。

No.40212 - 2016/11/09(Wed) 13:25:49

☆ Re: フィボナッチ数列の変形型 / ブラッドマミ

ご回答ありがとうございました。解決致しました。答え間違いなかったです。お手数おかけしました。

No.40214 - 2016/11/09(Wed) 14:14:44

★ 積分 / ゆう

お願いします

No.40197 - 2016/11/08(Tue) 16:32:45

☆ Re: 積分 / noname

とりあえず，(1)と(2)の前半のヒントだけ与えておきます．

[ヒント]
(1)：前半の不等式の証明については，微分法を用いるか或いはπ/2・sin(x)のグラフの凸性を用いればよい．後半の極限の問いについては，前半の結果より得られる不等式

0≦xcos^n(x)≦πsin(x)cos^n(x)（0≦x≦π/2）

の辺々をx＝0からx＝π/2まで積分してI_[n]に関する不等式をつくることが出来れば，後ははさみうちの原理を用いるのみである．
(2)の前半：a_[n+2]＝a_[n]-∫_[0,π/2]cos^n(x)sin(x)・sin(x)dxの様に変形し，この等式の第二項について部分積分法を実行すればよい．

No.40198 - 2016/11/08(Tue) 17:56:50

☆ Re: 積分 / noname

(2)の後半と(3)のヒントも与えておきます．

[ヒントの続き]
(2)の後半:b_[n]＝(n+1)a_[n+1]a_[n]とおくと，(2)の前半の問いの結果より数列{b_[n]}に関する漸化式が得られる．これより数列{b_[n]}の一般項を求めれば示すべき第一の等式を得る．第二の不等式に関しては，0≦cos^{n+1}(x)≦cos^n(x)(0≦x≦π/2)よりa_[n+1]≦a_[n]が成立し，これと第一の等式を用いれば第二の不等式を導出することが出来る．
(3):(1)の極限を求めるのに用いたI_[n]に関する不等式と(2)の結果を用いると(I_[n]/a_[n])^2に関する不等式が得られる．これとはさみうちの原理を用いれば(I_[n]/a_[n])^2の極限，特にI_[n]/a_[n]の極限の値が分かる．一方，J_[n]/a_[n]の極限については

J_[n]
＝∫_[0,π/2]xsin^n(x)dx
＝∫_[π/2,0](π/2-t)sin^n(π/2-t)・(-1)・dt
＝π/2a_[n]-I_[n]

とI_[n]/a_[n]の極限の値を用いれば，J_[n]/a_[n]の極限の値を求めることが出来る．

No.40208 - 2016/11/08(Tue) 23:30:42

★ (No Subject) / ゆう

お願いします

No.40195 - 2016/11/08(Tue) 16:31:43

☆ Re: / angel

(1)
順に計算しましょう

(2)
小文字のエルだと見辛いので、大文字Lに替えて書きます。
まず、f の値の上限を見積もります。
a1がL桁ということは、全て 9 の時に f が最大になります。
つまり、f(a1)≦9L で a2≦81L^2
後は、81L^2 が L-1桁以下、つまり 81L^2＜10^(L-1) を示せば十分です。これは、L=5開始の数学的帰納法で行えばよいです。
不等式の右辺が10倍ずつ増えていくのに対し、左辺は
　(L+1)^2/L^2=1+(2L+1)/L^2
で、2倍以下でしか増えないことが使えます。

(3)
(2)の結果を利用して、時々の上限を順に見積もっていきます。
加えて、a1が9の倍数であることから、帰納的に、桁の和f(an)も、その平方a[n+1]も、全て9の倍数になることに注意します。

* an が 5桁以上 … 先の項に進めば、いずれ4桁以下に減る
* 4桁以下で f(an)の最大 … an=9999 の時で 36、よって a[n+1]≦36^2=1296
* a[n+1]≦1296 で f(a[n+1])の最大値 … 3桁でのa[n+1]=999が上限で f(a[n+1])≦27、a[n+2]≦27^2=729
* 次同じようにして a[n+3]≦324
* a[n+3]=f(a[n+2])^2 に対して、f は今回9の倍数なので、a[n+3]は81の倍数、かつ平方数。324以下では81,324のみが該当する。
　そうすると、いずれにしても f(a[n+3])=9、a[n+4]=81
　以降ずっと、数列の値は81

No.40205 - 2016/11/08(Tue) 21:16:35

★ (No Subject) / う

xyz平面において方程式
x^2+y^2+z^2=6x-2z …(1)
の表す曲面と、平面α:2x-2y+z=-1 …(2)との交わりは何か、という問題で、 (1)と(2)を連立させると、
5x^２-8xy+5y^2-6x-1=0
と出るのですが、これは円の方程式ではありません。しかし、実際は中心が (5/3,4/3,-5/3)で半径が√6の円となります。なぜ私のやり方ではきちんと円の方程式が出なかったのでしょうか？

No.40192 - 2016/11/08(Tue) 11:49:19

☆ Re: / ast

(xy-平面に対して) 斜めに切った断面が円だからといって, (z=constant をいくつに設定したとしても) 交線の x-座標, y-座標のみたす式 (交線の xy-平面への直交射影) が円であるとは限らないですから, 何の不思議もないと思われます (いくら得られるものが円だと言っても, α の法線方向から見ないと楕円に見える).
# (1) は楕円体, 5x^２-8xy+5y^2-6x-1=0 は楕円になるようなので
# それでよいのではないでしょうか.

もう少し直接的には, xyz-空間内の平面図形を考えているのに z の値を無視しているから, あるいはあなたの考えている「円の方程式」は円の方程式ではないから, というふうに答えることもできるでしょう. 中学あたりから慣れ親しんでいる (xy-平面上の)「円の方程式」を xyz-空間で考えると (式に現れない z は任意の値をとるから)「円筒の方程式」であって円の方程式ではありません. 今の場合, (2) の式で x,y から z の値も決まるので z も含めて追跡すると結果として xyz-空間内の円が出てくるということになります.

No.40193 - 2016/11/08(Tue) 14:26:54

☆ Re: / noname

もしかしたら不要かもしれませんが，念の為にこの問題の解答例の概要を与えておきます．

[解答例]
方程式(1)を平方完成すると(x-3)^2+y^2+(z+1)^2＝10であるから，(1)が表す図形は中心が点(3,0,-1)で半径が√10の球である(楕円体の特別な場合)．この球をCとする．ここで，点と平面の距離の公式より，球Cの中心と平面αの距離は

|2・3-2・0+(-1)+1|/√(2^2+(-2)^2+1^2)＝2.

よって，三平方の定理より球Cの平面αによる断面の円の半径は√((√10)^2-2^2)＝√6より√6である．

次に，断面の円の中心を求める．中心の座標を(a,b,c)と設定する．平面αの法線ベクトルの一つとして↑n＝(2,-2,1)がある．よって，実数kを用いて次のベクトルの成分に関する式が成り立つ．

(a,b,c)-(3,0,-1)＝k(2,-2,1).
∴(a,b,c)＝(2k+3,-2k,k-1).

ところで，ベクトルk↑nの大きさは2である必要があるから，|k↑n|＝2の成立が必要であり，これをkについてとくとkの値が得られる．この時，球Cの中心が平面αに対して上側或いは下側のどちらの側にあるのかを調べ，kの値を決定せよ．その後で，今得られたkの値を用いると断面の円の中心の座標を求めることが出来る．

No.40194 - 2016/11/08(Tue) 15:26:01

☆ Re: / angel

既に回答がありますが、うさんの出した式は別に間違ってはいなくて、楕円柱 ( の側面 ) を表すものです。
色々な向きで切断すると、色々な楕円ができるのですが、αに平面に切断すると丁度円になります。

さて。xy平面の場合、
　* 等式が1つ … 直線や曲線
　　直線y=x+10, 円x^2+y^2=4 等
　* 等式が2つ … 点
　　x=0,y=0なら原点、y=x,x+y=10なら(5,5) 等

となりますが、今回のようにxyz空間だと、事情が変わってきます。
　* 等式が1つ … 平面や曲面
　　平面x+y+z=1, 球面x^2+y^2+z^2=1 等
　* 等式が2つ … 直線や曲線
　　直線x=y/2=z/3, 今回の問題の円
　* 等式が3つ … 点
です。

例えば、xy平面であれば、曲線の1つである円を表す x^2+y^2=1 であっても、xyz空間では、曲面である円筒 ( 円柱の側面 ) なのです。

※強引にまとめれば、より少ない等式で表すこともできるのですが、あまり意味がないので割愛します。

No.40203 - 2016/11/08(Tue) 19:56:24

☆ Re: / う

みなさんありがとうございます、納得しました。

No.40204 - 2016/11/08(Tue) 21:01:39

★ 図形 / 大輝

長さ２の線分ＡＢを直径とする半円の弧ＡＢ上に点Ｐ、線分ＡＢ上に点Ｑがある。三角形ＡＰＱがＡＰ＝ＡＱである二等辺三角形となるように点Ｐ、Ｑが動く
（１）三角形ＡＰＱがの面積の最大値を求めよ
（２）三角形ＡＰＱの周の長さの最大値を求めよ

お願いします

No.40168 - 2016/11/07(Mon) 19:22:15

☆ Re: 図形 / X

以下、極座標を学習済みであることを前提として
回答します。

まずは前準備。
極座標の平面上に
A(0,0),B(2,0)
と取ります。
すると
P(a,0)
(0＜a＜2 (A))
と取ることができ、又線分ABを
直径とする半円の極方程式は
r=2(1+cosθ) (B)
(但し0≦θ≦π)
とできます。
さて、このとき
Q(a,t)
とすると(B)より
a=2(1+cost)
∴cost=a/2-1 (C)
(1)
△APQの面積をS(a)とすると
S(a)=(1/2)OP・OQsint
=(1/2)(a^2)√{1-(a/2-1)^2}
後はS'(a)を求めて(A)の範囲で
S(a)の増減表を書きます。

(2)
△APQにおいて、余弦定理により
PQ^2=AP^2+AQ^2-2AP・AQcost
=(2a^2){1-(a/2-1)}
=(4-a)a^2
∴△APQの周囲の長さをL(a)とすると
L(a)=AP+AQ+PQ
=2a+a√(4-a)
後はL'(a)を求めて(A)の範囲で
L(a)の増減表を書きます。

No.40169 - 2016/11/07(Mon) 20:21:07

☆ Re: 図形 / noname

次の様に考えてもよいです．

[別解]
(1)∠APB＝θとおくと，θのとり得る値の範囲は0＜θ＜π/2である．また，直角三角形APBにおいてAP＝ABcosθ＝2cosθである．ゆえに，AP＝AQである二等辺三角形APQの面積は

1/2・2cosθ・2cosθ・sinθ
＝2cos^2θsinθ
＝2sinθ(1-sin^2θ).

ここで，t＝sinθとおくと0＜t＜1であり，三角形APQの面積の式をtで表すと2t(1-t^2)である．ここから先は，f(t)＝t(1-t^2)(0＜t＜1)とおいてf(t)の0＜t＜1での最大値を調べることにより，三角形APQの面積の最大値を求めればよい．
(2)二等辺三角形APQにおいて，

PQ＝2・APsin(θ/2)＝4cosθsin(θ/2).

よって，二等辺三角形APQの周りの長さは

2cosθ+2cosθ+4cosθsin(θ/2)
＝4cosθ(1+sin(θ/2))
＝4(1-2sin^2(θ/2))(1+sin(θ/2)).

ここで，s＝sin(θ/2)とおくと0＜θ＜π/2より0＜s＜1/√2であり，二等辺三角形APQの周りの長さは4(1-2s^2)(1+s)の様に表される．ここから先は，g(s)＝(1-2s^2)(1+s)(0＜s＜1/√2)とおいてg(s)の0＜s＜1/√2における最大値を調べることにより，三角形APQの周りの長さの最大値を求めればよい．

No.40170 - 2016/11/07(Mon) 21:13:23

☆ Re: 図形 / noname

もし数学?Vの微分法の内容を学習済みであれば，三角形APQの面積については

2cos^2θsinθ＝sin(2θ)cosθ

の様に変形し，F(θ)＝sin(2θ)cosθとおいてF(θ)の0＜θ＜π/2における最大値を調べてもよいです．同様に，三角形APQの周りの長さについては，G(θ)＝4cosθ(1+sin(θ/2))とおいてG(θ)の0＜θ＜π/2における最大値を調べてもよいです．

No.40190 - 2016/11/08(Tue) 00:30:50

★ 図形 / 大輝

空間内に１辺の長さが１の立方体ＡＢＣＤーＥＦＧＨとその立方体のすべての頂点を通る球Ｓがある
（１）△ＢＤＥの内接円Ｋの半径を求めよ
（２）半径Ｒの球Ｔが△ＢＤＥの３辺に接するとき、Ｔの中心と平面ＢＤＥとの距離をＲを用いて表せ
（３）（２）の球Ｔが球Ｓに内接するとき、Ｒを求めよ

（２）（３）をお願いします

No.40167 - 2016/11/07(Mon) 19:19:53

☆ Re: 図形 / noname

(2)については，球Tが三角形BDEにより切り取られる図形が円Kであることに気が付くと，三平方の定理よりTの中心と平面BDEの距離を求めることが出来るかと思います．

一方，(3)については，立方体を三角形BDEにより2つに分けた時のAの側の部分をX,Gの側の部分をYとする時，Tの中心がXに含まれるかYに含まれるかで場合分けしなければなりません．Tの中心がXに含まれる場合では

(Aと平面BDEの距離)＝R+(Tの中心と平面BDEの距離)

が成立する必要があり，Tの中心がYに含まれる場合では

(Gと平面BDEの距離)＝R+(Tの中心と平面BDEの距離)

が成立する必要があります．細かな点に関しては一度ご自身でお考えください．

No.40175 - 2016/11/07(Mon) 22:05:41

★ 整数　６進法 / 大輝

自然数Ｎに対し、Ｎと２Ｎを６進法で表したとき、ともに５桁であり、数字の並びが逆になるという
このとき、Ｎを６進法であらわせ

お願いします

No.40165 - 2016/11/07(Mon) 19:16:02

☆ Re: 整数　６進法 / angel

6進法で、Nの各桁を、上位からa,b,c,d,e と置いてみます。
つまり、
　N =abcde(6)
　2N=edcba(6)
ということです。a～e は全て0以上5以下、a,eに限っては非0です。

まず、端のa,eから考えます。2Nの最下位の桁が a であるため、6進法の場合も10進法の時と同じように、a は偶数です。( これは6が偶数であるため )
もう一つ。Nを2倍しても桁数が変わっていませんから、最上位で繰り上がりが起っていません。つまり a は2以下です。
( aが3以上だと、2a が6以上になって繰り上がりが発生します )

ということで、非0、偶数、2以下ということで、a=2 以外にあり得ません。
Nの最下位の e を2倍して、a=2 になっているので、繰り上がりの有る無しを考えると、2e=2 or 2e=2+6 ですが、N,2Nの最上位を比較して a＜e であるため、e=4 です。

ここまで、
　N =2bcd4
　2N=4dcb2
一旦切ります。

No.40171 - 2016/11/07(Mon) 21:23:58

☆ Re: 整数　６進法 / angel

次にb,d です。N,2Nの最下位・最上位を改めて見返すと、
最下位は 4×2→2 なので繰り上がりが発生、なので2Nの次の位 b は奇数です。
一方、最上位は 2×2→4 で下からの繰り上がりがありません。ということは、b も ( aと同じく ) 2以下だと分かります。

そのため、奇数・2以下という条件から b=1 です。
N,2N下から2桁目の計算、繰り上がりの有無を考えると、
　2d+1=b or 2d+1=b+6
のどちらか、つまり d=0 or 3 なのですが、上から2桁目で、b×2→d となっていることから d=2 or 3 ( 後者は繰り上がりがある場合 )
ということで、d=3 です。併せて、真ん中の桁 ( c×2→c ) からの繰り上がりがあることが分かります。

ここまでを整理すると、
　N =21c34
　2N=43c12

最後に。真ん中の桁は、下の桁 ( 3×2→1 ) からの繰り上がりがあり、かつ、上の桁 ( 1×2→3 ) にも繰り上がりがあります。
ということは、c+6=c×2+1 ( +6は上への繰り上がり、+1は下からの繰り上がり ) で c=5 です。

ということで、答えは N=21534 です。

No.40172 - 2016/11/07(Mon) 21:31:55

★ 不等式の証明 / ゆう

正の実数a,b,cと２以上の自然数nに対して(a+b+c)^n＜＝3^(n-1)(a^n+b^n+c^n)が成り立つことを示せという問題（＜＝はショウナリイコールの意味です）について

数学的帰納法を使うのはわかるのですが、コーシーシュワルツの不等式も使えるかなと思いました（試しましたがうまくいきませんでした・・・）
そこで数学的帰納法の解答でいいので教えてください
また、コーシーシュワルツの不等式を利用した解答は思いつく方いらっしゃいますか？？

No.40164 - 2016/11/07(Mon) 19:13:17

☆ Re: 不等式の証明 / IT

０＜a≦b≦c と仮定　しても一般性を失わない。
(a+b+c)^n≦3^(n-1)(a^n+b^n+c^n)は、両辺をc^nで割った
(a/c+b/c+1)^n≦3^(n-1)((a/c)^n+(b/c)^n+1) と同値　
a/c=s,b/c=t とおくと　0＜s≦t≦1

0＜s≦t≦1 のとき　(s+t+1)^n≦3^(n-1)(s^n+t^n+1) を示せばよい　

n=2 のとき　成立（省略）

2以上の自然数kについて,(s+t+1)^k≦3^(k-1)(s^k+t^k+1) と仮定すると

　(s+t+1)^(k+1)≦3^(k-1)(s^k+t^k+1)(s+t+1)
右辺＝3^(k-1)(s^(k+1)+t^(k+1)+ts^k+st^k+s^k+t^k+s+t+1)

ここで　3(s^(k+1)+t^(k+1)+1)-(s^(k+1)+t^(k+1)+ts^k+st^k+s^k+t^k+s+t+1)
　＝2-s-t+2s^(k+1)+2t^(k+1)-s^k-t^k-ts^k-st^k
　＝(1-s)(1-s^k)+(1-t)(1-t^k)+(t^k-s^k)(t-s)≧0,　なぜなら0＜s≦t≦1

よって　(s+t+1)^(k+1)≦(3^k)(s^(k+1)+t^(k+1)+1)　

No.40176 - 2016/11/07(Mon) 22:16:59

☆ Re: 不等式の証明 / ゆう

ありがとうございます

このような解法はどうして思いつくのでしょうか？？
帰納法ではできないのですか？？

No.40177 - 2016/11/07(Mon) 23:07:22

☆ Re: 不等式の証明 / noname

IT様の提示された解法は数学的帰納法を用いたものですよ．

No.40179 - 2016/11/07(Mon) 23:20:06

☆ Re: 不等式の証明 / IT

> このような解法はどうして思いつくのでしょうか？？
似たような問題を解くことによって、いくつかの技法を習得できます。あとは労を惜しまず頭と手を動かして試行錯誤することですね。

・０＜a≦b≦c と仮定　しても一般性を失わない。
　　→a,b,cについての対称性を使って考える範囲を絞る
・両辺をc^nで割り、a/c=s,b/c=t とおくと　0＜s≦t≦1
　　→同次性を使って変数の個数を３つから２つに減らす。
・差　≧0　を示す。　→　評価し易くする

No.40184 - 2016/11/07(Mon) 23:44:36

☆ Re: 不等式の証明 / ゆう

ありがとうございました

すごいですね　とても思いつきそうにないです・・・

No.40187 - 2016/11/08(Tue) 00:04:54

☆ Re: 不等式の証明 / noname

別解答の提示ではありませんが，nが2の冪で表されている場合は以下の様にコーシー・シュワルツの不等式を用いて不等式の成立を示すことが出来ます．一般の場合もうまく試行錯誤すればエレガントな解き方が見つかるかもしれませんが今のところそこまでは思いついていないため，現状報告だけさせていただきます．

[n＝2^k(kは自然数)の場合]
A_[k]＝3^{2^k-1}・(a^{2^k}+b^{2^k}+c^{2^k})とおくと，コーシー・シュワルツの不等式より

A_[k]＝(3^{2^k-2}+3^{2^k-2}+3^{2^k-2})(a^{2^k}+b^{2^k}+c^{2^k})
≧(3^{2^{k-1}-1}・a^{2^{k-1}}+3^{2^{k-1}-1}・b^{2^{k-1}}+3^{2^{k-1}-1}・c^{2^{k-1}})^2
＝{3^{2^{k-1}-1}・(a^{2^{k-1}}+b^{2^{k-1}}+c^{2^{k-1}}}^2＝(A_[k-1])^2.
∴A_[k]
≧(A_[k-1])^2
≧(A_[k-2])^{2^2}
≧……
≧(A_[0])^{2^k}
＝(a+b+c)^{2^k}.

No.40191 - 2016/11/08(Tue) 01:41:52

★ (No Subject) / あ

2次方程式 x^2-2mx+m+6=0が次のような異なる2つの解をもつように、定数mの値の範囲を求めよ。
(1)2つとも負
(2)異符号
という問題で、(1)では判別式>0 の条件を考えなけらばならないのに、(2)ではその条件を考えなくても良いのはなぜですか？

No.40159 - 2016/11/07(Mon) 13:17:19

☆ Re: / ヨッシー

おそらく
　f(x)＝ｘ^2－2mx＋m＋6
において、
　f(0)＜0
のみで決定できることへの疑問と思いますが、

１つの納得する方法は、下に凸なグラフを、ｙ軸とｙ＜０の
位置で交わるように書いてみると、どうしたって、ｘ軸の
ｘ＜０の部分と、ｘ＞０の部分とで交わります。
ｘ軸と交わらない（虚数解）ということはありません。

虚数解を持つということは、グラフ全体がｘ軸より上の方
（ｙ＞０の領域）にあるということなので、f(x)＜0 のように、
グラフがｙ＜０の領域に入り込んでいるというだけで、実数解であることは保証されます。

また、一般に
　f(x)＝ax^2＋bx＋c＝0　（ただし、ａ＞０：下に凸）
において、f(0)＜0 である、つまり、ｃ＜０であるならば、
判別式は　b^2－4ac＞0　（a＞0 かつｃ＜0 なので）
と、必ず正になります。
「必ず正」なので、取り立てて確認する必要はないということになります。

さらに逆説的な見方をすると、解と係数の関係より
２解の積は　c/a＜0。
もし、２解が虚数解なら、それらは共役な複素数なので、
積は正になる。よって、解は実数に限る。
ということも出来ます。

No.40160 - 2016/11/07(Mon) 14:52:07