ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 場合の数 / おまる

続けてすいません。
次の解答でわからないところがあるので教えて欲しいです。
次の問題の解答で、赤で囲った部分の考え方がどのように考えているのかがわかりません。
よろしくお願いいたします。

No.40512 - 2016/11/25(Fri) 13:39:19

☆ Re: 場合の数 / おまる

解答です。

No.40513 - 2016/11/25(Fri) 13:39:52

☆ Re: 場合の数 / ヨッシー

(イ)
解答の図の１に当たる部分に入る数の選び方が５通り。
それにつながる３個の選び方が 4Ｃ3＝４（通り）。
残りの１個（５）を、３本の腕(2,3,4)のどれにつなげるかで３通り。
以上より　５×４×３＝６０（通り）です。

(2)(ウ)
図の３に当たる奇数に何を入れるかで３通り。
２と４の並べ方で２！(通り)
です。

(エ)(ii)
図の１に当たる数が奇数か偶数かで２通り。
１に当たる数に何を入れるかで３通り。
それにつなぐ３本の腕で、どれを（６のような）１個にするかで、３通り。
残りの２本の腕（２と４）の先に、何をつなぐか（３か５か）で２通り。
です。
(iii)
図の１に当たる部分に、どの奇数を入れるかで３通り。
図の２に当たる部分に、どの奇数を入れるかで３通り。
です。

No.40520 - 2016/11/26(Sat) 00:04:16

☆ Re: 場合の数 / おまる

ご回答ありがとうございました。
理解することができました。

No.40541 - 2016/11/26(Sat) 21:31:38

★ 場合の数 / おまる

いつもお世話になっております。
解説でわからないところがあるので教えて欲しいです。
次の問題の解答で、⑵以降の先の考え方がわかりません。説明をよろしくお願いいたします。

No.40510 - 2016/11/25(Fri) 10:26:28

☆ Re: 場合の数 / おまる

解答です

No.40511 - 2016/11/25(Fri) 10:27:09

☆ Re: 場合の数 / ヨッシー

例えば、ｎ＝３（１８角形）とします。

(2)
１つの直径 1-10 を決めると、それ以外の16個(6n-2個)の頂点とで、出来る三角形
　1-10-2, 1-10-3, 1-10-4, ・・・ 1-10-9, 1-10-11, ・・・1-10-18
は全て直角三角形です。
直径は全部で9本（3n本）選べるので、
　9×16＝144（個）　　(6n-2)・3n＝18n^2－6n
(3)
頂点 1 を決めると、直線 1-10 に対して対称な２点(2と18, 3と17, ・・・ 9と11)を
選ぶと二等辺三角形が
　1-2-18, 1-3-17, ・・・ 1-9-11
の８個出来ます。この内 1-7-13 は正三角形なので、除いておきます。
よって、頂点１個につき、正三角形でない二等辺三角形は７個（3n-2個)出来ます。
　18×7＝126　　6n(3n-2)＝18n^2－12n
これに正三角形 6個(2n個）を加え　132個　　18n^2－10n個

(4)
1-3 と同じ長さの線は18本（6n本）引けます。
この直線と他の１点を結んで出来る鈍角三角形は１個（1-3-2)
1-4 と同じ長さの線は18本（6n本）引けます。
この直線と他の１点を結んで出来る鈍角三角形は２個（1-4-2, 1-4-3)
1-5 と同じ長さの線は18本（6n本）引けます。
この直線と他の１点を結んで出来る鈍角三角形は３個（1-5-2, 1-5-3, 1-5-4)
　　・・・
1-9(3n) と同じ長さの線は18本（6n本）引けます。
この直線と他の１点を結んで出来る鈍角三角形は７個(3n-2個)（1-9-2, 1-9-3, ・・・ 1-9-8)
よって、鈍角三角形の数は
　18×(1＋2＋3＋・・・＋7)＝18×28＝504(個)
　6n(3n-1)(3n-2)/2＝27n^3－27n^2＋6n

上に貼られた解答の考え方は、
頂点１を決めると、
2～9 の 8個(3n-1個) から２個を選ぶか、
11～18 の8個(3n-1個) から２個を選び、それと 1 との３点で三角形を作ると、
1 が鈍角でない鈍角三角形が出来ます。(1-2-3, 1-2-4, 1-2-5 など）
(以下略)

No.40516 - 2016/11/25(Fri) 23:21:04

☆ Re: 場合の数 / おまる

ご回答ありがとうございました。
大変わかりやすかったです。

No.40542 - 2016/11/26(Sat) 21:32:39

★ 解いてくださいお願いします。 / 龍太郎

センター対策用なのですが、少し難しくて合ってる自信がありません。これの答えがないので是非とも解いてもらいたいです！

四角の番号に0～9の数字が入ります！

No.40502 - 2016/11/24(Thu) 23:22:15

☆ Re: 解いてくださいお願いします。 / 龍太郎

大問2です。

No.40503 - 2016/11/24(Thu) 23:23:15

☆ Re: 解いてくださいお願いします。 / 龍太郎

大問3です

No.40504 - 2016/11/24(Thu) 23:24:45

☆ Re: 解いてくださいお願いします。 / 龍太郎

大問4です。

No.40505 - 2016/11/24(Thu) 23:26:08

☆ Re: 解いてくださいお願いします。 / 龍太郎

大問5です

No.40506 - 2016/11/24(Thu) 23:27:32

☆ Re: 解いてくださいお願いします。 / 龍太郎

答えだけで大丈夫です！解説はいりません！

No.40507 - 2016/11/24(Thu) 23:28:14

☆ Re: 解いてくださいお願いします。 / 龍太郎

すみませんいちばん上に０～9の数字とかきましたがマイナスもあります。

No.40508 - 2016/11/24(Thu) 23:37:20

☆ Re: 解いてくださいお願いします。 / さいん

一日中かんがえてるのですが大問1と大問4.5がドツボにはまってしまって解けません

No.40523 - 2016/11/26(Sat) 00:18:35

☆ Re: 解いてくださいお願いします。 / angel

大問1は、上のNo.40525に出ているのでご参考に。

No.40530 - 2016/11/26(Sat) 07:37:54

★ 確率 / ゆ

1､2､3､5､7の数字が1枚に１つずつ書かれた５枚のカードがある。この5枚のカードを裏返しにしてよく混ぜ、カードを二枚続けて出す。1枚に取り出したカードに書かれている数をａ、2枚目に取り出したカードに書かれている数をbとする。このとき2ａと3bの最大公約数が1以外になる確率を求めなさい。
ただし、どのカードの取り出し方も同様にたしからしいものとし、
2枚目のカードを取り出す前に
1枚目のカードは戻さないものとする。

答えは20/7になるのですがなぜそうなるか分かりません。
お願いします

No.40499 - 2016/11/24(Thu) 22:45:03

☆ Re: 確率 / angel

求める確率は

　(a=3 or b=2 になる確率)
　=(a=3になる確率)+(b=2になる確率)-(a=3 and b=2 になる確率)

ここで、(a=3になる確率), (b=2になる確率) とも 1/5 です。いつ引いたかに関わりなく、5枚中1枚しか当たりがないからです。

で、(a=3 and b=2 になる確率) は、全20通り中1通りしかありませんから、1/20 です。

結局、1/5+1/5-1/20=7/20 となります。

No.40500 - 2016/11/24(Thu) 23:02:43

☆ Re: 確率 / IT

具体的に数え上げてもできます。

２枚の取り出し方は全部で5×4=20 とおり
このうち
　2ａと3bの最大公約数が1以外になるのは
　(a,b)=({1,5,7},2),(3,{1,5,7}),(3,2) の7とおり

No.40501 - 2016/11/24(Thu) 23:13:21

★ (No Subject) / 大輝

全部お願いします

No.40495 - 2016/11/23(Wed) 22:12:19

☆ Re: / ｿﾞﾒ

清々しい丸投げっぷりに感心はするのですが
自分で考えるということをしたほうがよい気がします

No.40497 - 2016/11/24(Thu) 12:57:01

☆ Re: / 大輝

ときました
1の(3)はπ/6ですかね？

No.40509 - 2016/11/25(Fri) 10:10:52

☆ Re: / IT

[4]aを3以上の整数とし,x+1/x=aをみたす実数として数列{a[n]}をa[n]=x^n+1/x^nで定める
(1)a[n+1]-a[n]はa-2で割り切れることを示せ
(2)a[n+3]-a[n]はa+1で割り切れることを示せ
(3)すべての正の整数nについて、a[n+3]-a[n]がある素数pで割り切れるとき、a-2またはa+1のいずれかはpで割り切れることを示せ
---------------------------------------------------
[4]の(1)(2) の帰納法のメイン部分だけ
(1)
a(a[n+2])=a[n+3]+a[n+1] よりa[n+3]=a(a[n+2])-a[n+1] …(ア)
a(a[n+1])=a[n+2]+a[n]　よりa[n+2]=a(a[n+1])-a[n] …(イ)

よって a[n+3]-a[n+2]=a(a[n+2]-a[n+1])-(a[n+1]-a[n])

したがって　a[n+1]-a[n]とa[n+2]-a[n+1]とがともにa-2 の倍数であれば、a[n+3]-a[n+2] もa-2 の倍数　であるといえる。

a[2]-a[1],a[3]-a[2] がa-2 の倍数であることを示せば、任意の自然数nについてa[n+1]-a[n]はa-2 の倍数　であるといえる。（これは自分でどうぞ）

(2)
(ア)(イ)からa[n+3]-a[n]=(a+1)(a[n+2]-a[n+1])

No.40515 - 2016/11/25(Fri) 20:11:31

☆ Re: / IT

[4] の残り
(1)の帰納法の前半部
a[2]-a[1]=(x^2+1/x^2)-(x+1/x)=(x+1/x)^2-2-(1+1/x)=a^2-a-2=(a-2)(a+1)

a[3]=x^3+1/x^3=(x+1/x)(x^2+1/x^2)-(x+1/x)=aa[2]-a
a[3]-a[2]=(a-1)a[2]-a
a[2]=(x+1/x)^2-2=a^2-2 を代入
a[3]-a[2]=(a-1)(a^2-2)-a=a^3-a^2-2a+2-a=a^3-a^2-3a+2=(a-2)(a^2+a-1)

(3)p|(a+1)でないとき,
　a[n+3]-a[n]=(a+1)(a[n+2]-a[n+1])なので,p|(a[n+2]-a[n+1]).　
　n=1,2 とおくと　p|(a[3]-a[2])…<1>、p|(a[4]-a[3])…<2>.
　a[4]-a[3]=a(a[3]-a[2])-(a[2]-a[1])
　<1><2>より　p|(a[2]-a[1]),したがってp|(a-2)(a+1)
　また<1>より　p|(a-2)(a^2+a-1)
　ここで、a^2+a-1=(a+1)a-1なのでa^2+a-1とa+1 は互いに素
　よって　p|(a-2)

したがって,p|(a+1)またはp|(a-2).　

#　整数x,y について、x|y はxがyの約数であることを表します。

No.40531 - 2016/11/26(Sat) 11:23:07

★ 二次曲線 / 輪島塗

楕円Ｃ１：x^2/9+y^2/5=1の焦点をＦ､F'とする。ただしFのｘ座標は正である。正の実数ｍに対し二直線ｙ＝±ｍｘを漸近線にもち、二点F,F'を焦点とする双曲線をC2とする。第一象限にあるC1とC2の交点をPとする。
（１）C2の方程式をｍを用いて表せ。
（２）線分FP、F'Pの長さをｍを用いて表せ
（３）∠F'PF=60°となるｍの値を求めよ。

解答はありませんが、（２）からができません。

楕円上の点を（ｘ、ｙ）とおくと
PF=3x-(2x)/3
双曲線上の点を（ｘ、ｙ）とおくと
PF=√(1+m^2)-2/√(1+m^2)
という結果はでました。(使い道はあるでしょうか？）

よろしくおねがいします

No.40488 - 2016/11/23(Wed) 17:45:58

☆ Re: 二次曲線 / X

(2)
(1)はできていますか？
(1)の結果とC[1]の方程式を連立して解けば
Pの座標をmを用いて表すことができますので
それとF,F'の座標からPF,PF'の長さを
計算します。

(3)
(2)の過程から↑PF,↑PF'の成分を計算できますので
↑PF・↑PF'を二通りの方法で表すことで
mについての方程式を立てます。

No.40493 - 2016/11/23(Wed) 18:48:14

☆ Re: 二次曲線 / 輪島塗

（１）番はできましたが少し汚いのでこれらを連立するのか、という気持ちです。より計算量が少なくて済む方法はありませんか？
楕円上の点を（ｘ、ｙ）とおくと
PF=3-(2x)/3
双曲線上の点を（ｘ、ｙ）とおくと
PF=√(1+m^2)ｘ-2/√(1+m^2)
答えを見ると
PF=3-2/√(1+m^2)となっており上記の定数項を足したものとなっており、もしかしたら工夫して簡単にもとまるのかなと思った次第です。全くの偶然なのでしょうか？

よろしくおねがいします

No.40538 - 2016/11/26(Sat) 20:31:41

☆ Re: 二次曲線 / 輪島塗

朗報です
偶然解説授業が聞けました。
楕円の定義から
PF+PF'＝２＊３＝６
双曲線の定義から
PF＋PF'=（頂点間距離）
この二式からPFとPF'が一瞬で求まりました

No.40605 - 2016/11/30(Wed) 20:24:22

★ 基底の求め方 / りんご

W2の基底の求め方がイマイチ理解できません

No.40485 - 2016/11/23(Wed) 16:24:40

☆ Re: 基底の求め方 / angel

ガウスの消去法は習ってないでしょうか?

もしまだなら、ベクトルの組の中から1次独立なもの ( で、要素数が最大なもの … 極大線形独立系 ) を方程式を使ってなんとか抜き出すことになります。

W2に現れるベクトルを、左からｖ1,ｖ2,ｖ3 とすると、今回は、
　ｖ1+ｖ2-2ｖ3=０
です。なので、この3ベクトルは一次従属、で、2つに減らせば明らかに一次独立なので、2次元、基底はｖ1,ｖ2,ｖ3から好きに2つ選べばよいです。

どうやって上の関係が分かったかというと…
　aｖ1+bｖ2+cｖ3=０
という方程式をたてて、淡々とa,b,cの関係を探っていけば、です。

No.40487 - 2016/11/23(Wed) 16:45:40

★ (No Subject) / D

自然数a,b,nは
a^2+b^2=n^2
を満たす。a,bが互いに素のとき次の問いに答えよ
（１）a,bは一方が奇数、他方が偶数であることを示せ
（２）aは偶数,bは奇数とするとき、n+a,n-aが互いに素であることを示せ
（３）b=1855のとき、最も小さいnの値を求めよ

お願いします

No.40481 - 2016/11/23(Wed) 11:35:58

☆ Re: / IT

(1)a,bの少なくとも一方は偶数である
なぜならa=2k+1,b=2L+1とすると
　a^2+b^2=4(k^2+k)+1+4(L^2+L)+1=4s+2 で4で割った余りは2
　ところが
　　n=2mのときn^2=4m^2,
　　n=2m+1のときn^2=4(m^2+m)+1なので
　　n^2を4で割った余りは2とならない
またa,bは互いに素なので少なくとも一方は奇数。

よってa,bは一方が奇数、他方が偶数である。

(2) nは奇数でaが偶数なのでn+a,n-a は奇数。
奇素数pがあって　p|(n+a),p|(n-a) と仮定する。
　2a=(n+a)-(n-a) なので　p|2a,よってp|a
　一方　b^2=(n+a)(n-a) よりp|b^2,pは素数なのでp|b
　これはa,bが互いに素であることに反する。

よってn+aとn-aは互いに素である。

＃x|y はxがyの約数であることを表します。

No.40491 - 2016/11/23(Wed) 18:06:11

☆ Re: / IT

(3)b が一定のとき、n が最小⇔a が最小⇔n+a とn-a の差が最小
b=1855を素因数分解すると5×7×53
b^2=(n+a)(n-a) でn+aとn-aは互いに素なので,5,7,53はそれぞれどちらか一方のみの素因数となる。

したがってn+a=53^2,n-a=(5×7)^2 のときnは最小で n=(53^2+(5×7)^2)/2=2017

このときa=792で,b=1855 と互いに素で適当。

＃　来年の西暦2017 を出す問題ですね！

No.40494 - 2016/11/23(Wed) 19:00:11

★ (No Subject) / D

各項が0でない複素数からなる数列{z[n]}を次のように定める
ただし、iは虚数単位とする
z[1]=i,z[2]=2,z[n+2]=2z[n+1]+4z[n] (n=1,2,3....)
また複素数平面上でz[n+1]/z[n]の表す点をPnとする
（１）z[3],z[4]を求めよ
（２）３点P1,P2,P3が通る円をCとする、円Ｃの中心を表す複素数αを求めよ
（３）点Pnは円Ｃ上にあることを示せ

お願いします

No.40480 - 2016/11/23(Wed) 11:33:05

☆ Re: / X

(1)
与えられた漸化式により
z[3]=2z[2]+4z[1]=4+4i
z[4]=2z[3]+4z[2]=2(4+4i)+8
=16+8i

(2)
点P[n]を表す複素数をa[n]とすると
条件から
a[1]=z[2]/z[1]=-2i
又(1)の結果を使うと
a[2]=z[3]/z[2]=2+2i
a[3]=z[4]/z[3]=(16+8i)/(4+4i)
=(4+2i)/(1+i)
=(2+i)(1-i)
=3-i
∴辺P[1]P[2]の垂直二等分線の方程式は
z={(2+2i-(-2i))i}t+{(2+2i)+(-2i)}/2
(tは実数)
整理して
z=-(4-2i)t+1 (A)
辺P[2]P[3]の垂直二等分線の方程式は
z={(2+2i-(3-i))i}u+{(2+2i)+(3-i)}/2
(uは実数)
整理して
z=-(3+i)u+(5+i)/2 (B)
よってαについて
α=-(4-2i)t+1=-(3+i)u+(5+i)/2
これをα,t,uについての連立方程式として
解きます。
(注)一見、方程式の数が1つ足りないように見えますが
複素数の相等の定義を使えば方程式は全部で3つに
なります。

こちらの計算では
α=1
となりました。

(3)
(2)の過程によりCの方程式は
|z-1|=|1-(-2i)|
つまり
|z-1|=√5
よって(2)のa[n]を使うと証明すべき等式は
|a[n]-1|=√5 (C)
ということで(C)を数学的帰納法により証明します。
(i)n=1のとき
(2)の結果により成立は明らか。
(ii)n=kのとき
(C)の成立を仮定します。
つまり
|a[k]-1|=√5 (C)'
さて、z[n]の漸化式、つまり
z[n+2]=2z[n+1]+4z[n]
により
z[k+2]=2z[k+1]+4z[k]
z[k+2]/z[k]=2z[k+1]/z[k]+4
(z[k+2]/z[k+1])(z[k+1]/z[k])=2z[k+1]/z[k]+4
∴a[k+1]a[k]=2a[k]+4
となるので
a[k]=4/(a[k+1]-2)
これを(C)'に代入して
|4/(a[k+1]-2)-1|=√5
これより
|(a[k+1]-6)/(a[k+1]-2)|=√5
|(a[k+1]-6)/(a[k+1]-2)|^2=5
|a[k+1]-6|^2=5|a[k+1]-2|^2
よって、例えば複素数zの共役複素数を
\zと表すことにすると
(a[k+1]-6){\(a[k+1]-6)}=5(a[k+1]-2){\(a[k+1]-2)}
(a[k+1]-6)(\a[k+1]-6)}=5(a[k+1]-2)(\a[k+1]-2)
両辺を展開して整理をすると
4a[k+1]\a[k+1]-4(a[k+1]+\a[k+1])-16=0
a[k+1]\a[k+1]-(a[k+1]+\a[k+1])-4=0
a[k+1]\a[k+1]-(a[k+1]+\a[k+1])+1=5
|a[k+1]-1|^2=5
|a[k+1]-1|=√5
よって(C)はn=k+1のときも成立。

No.40492 - 2016/11/23(Wed) 18:39:50

★ (No Subject) / D

正方形ABCDを底面とする正四角錐ABCDEと動点Pがある
点Pは初めAにあり、１秒ごとに次の試行を繰り返す
（試行）
PがA,B,C,Dのいずれかにあるときは、その点と辺で結ばれた３つの頂点のうちのいずれかへ等確率で移動する
PがEにあるときはそこにとどまり、他の点には移動しない

動点Pが移動した先の点に印をつけていく。Aには初めから印がついており、つけた印は消えないものとする。
（１）n秒後に点Eに印がついていない確率を求めよ
（２）ちょうどｎ秒後に点Eに初めて印がつけられる確率を求めよ
（３）ｎ秒後に点Dと点Eに印がついていない確率を求めよ
（４）nは２以上とする。ちょうど2n+1秒後に印がついて点が初めて5個となる確率を求めよ

長いですがお願いします

No.40479 - 2016/11/23(Wed) 11:28:59

☆ Re: / angel

(1)
Eに行かない限り、毎回3通りの選択肢があり、E以外の2通りを選び続けた場合に相当するので、(2/3)^n
(2)
n-1回目までEに行かず、n回目にEに行くため、(2/3)^(n-1)・1/3
(3)
D,Eに行かないということは、
　A→B→AorC→B→AorC→…
を延々と繰り返すということ。
B→AorC は2通り、AorC→B は1通りなので、nの偶奇で変わり、
　nが偶数: 2^(n/2)/3^n
　nが奇数: 2^((n-1)/2)/3^n
(4)
丁度2n秒後までにA,B,C,Dを全てめぐって最後にEにつく状況に相当します。
(2),(3)まで出た結果を利用して考えると、

　(2n秒後にEに印がついていない)
　-(2n秒後にD,Eに印がついていない)
　-(2n秒後にB,Eに印がついていない)
　=(2n秒後にA,B,Dに印がついているがEに印がついていない)

ここまでは分かります ( B,Dどちらかには必ず印がつくので、2項目・3項目の事象は被らない―排他―であることに注意 )。しかし、これではCのことが入っていません。後欲しいのは (2n秒後にA,B,Dに印がついているがC,Eに印がついていない) です。

C,Eに印がつかないということは、A→BorD→A→BorD→…を繰り返すということです。ただ、B,Dどちらかに印がつかないこともあり得るので、

　(2n秒後にA,B,Dに印がついているがC,Eに印がついていない)
　=(A→BorD→A→BorD→…を繰り返す)
　　-(A→B→A→B→…を繰り返す)
　　-(A→D→A→D→…を繰り返す)

これで全部揃いました。まとめてみます。

　(2n秒後にA,B,C,Dに印がつき、Eに印がついていない)
　=(2n秒後にEに印がついていない)
　　-(2n秒後にD,Eに印がついていない)
　　-(2n秒後にB,Eに印がついていない)
　　-(2n秒後にA,B,Dに印がついているがC,Eに印がついていない)
　=(2n秒後にEに印がついていない)
　　-(2n秒後にD,Eに印がついていない)
　　-(2n秒後にB,Eに印がついていない)
　　-(A→BorD→A→BorD→…を繰り返す)
　　+(A→B→A→B→…を繰り返す)
　　+(A→D→A→D→…を繰り返す)

2番目,3番目はB,Dが違うだけで、(3)の結果が流用できます。が、4番目も繰り返しが逆なだけで、2nが偶数であるこの問では(3)と同じです。最後2つはそれぞれ(1/3)^nなので、

　(2n秒後にA,B,C,Dに印がつき、Eに印がついていない)
　=(2/3)^(2n)-2^(2n/2)/3^(2n)・3+(1/3)^(2n)・2

答えは、最後にEに行く分も入れて
　( (2/3)^(2n)-2^(2n/2)/3^(2n)・3+(1/3)^(2n)・2 )・1/3
　=( 4^n-3・2^n+2 )/3^(2n+1)

No.40498 - 2016/11/24(Thu) 21:24:14

★ (No Subject) / D

xyz平面で不等式0＜=z＜=2-x^2-y^2を満たす点全体からなる立体をKとする
（１）立体Kを平面x=a(0＜=a＜=√2)で切った断面をTとし,A(a,0,0)とする。点PがT上を動くときAPの長さの最大値をaを用いて表せ
（２）立体Kをx軸の回りに回転してできる立体Lの体積を求めよ

お願いします

No.40478 - 2016/11/23(Wed) 11:23:23

☆ Re: / X

(1)
0≦z≦2-x^2-y^2
にx=aを代入して
0≦z≦2-a^2-y^2
これをyz平面に図示して考えるとAPの長さが
最大のとき、点Pは少なくとも
曲線 z=2-a^2-y^2,x=a (A)
の上にあることが分かります。
そこで
P(a,t,2-a^2-t^2)(-√(2-a^2)≦t≦√(2-a^2) (B))
と置くと
AP^2=t^2+(2-a^2-t^2)^2
=t^4-(1-2a^2)t^2+(2-a^2)^2
=2{t^2-(1-2a^2)/2}^2+(2-a^2)^2-(1/2)(1-a^2)^2
=2{t^2-(1-2a^2)/2}^2+(1/2)(a^2-3)^2-3 (C)
ここで(B)より
0≦t^2≦2-a^2 (D)
又
(2-a^2)/2-(1-2a^2)/2=(1-a^2)/2 (E)
よって
f(t)=2{t^2-(1-2a^2)/2}^2+(1/2)(a^2-3)^2-3 (F)
と置き、横軸にt^2、縦軸にf(t)を
取った(F)のグラフを考えると
(C)のグラフを(D)の範囲で考えると
(i)0≦a≦1のとき
(2-a^2)/2≧(1-2a^2)/2
ですのでグラフの対称軸は(D)の範囲内
右寄り。よってf(t)は
t^2=0で最大値(2-a^2)^2
を取りますのでAPの最大値は
2-a^2(このときPの座標は(a,0,2-a^2))
(ii)1≦a≦√2のとき
(E)より
(2-a^2)/2≦(1-2a^2)/2
ですのでグラフの対称軸は(D)の範囲内
左寄り。よってf(t)は
t^2=2-a^2で最大値2-a^2
を取りますのでAPの最大値は
√(2-a^2)(このときPの座標は(a,√(2-a^2),0),(a,-√(2-a^2),0))

(2)
(1)の結果とKのyz平面に関する対称性により
求める体積をVとすると
V=2{∫[0→1]{π(2-a^2)^2}da+∫[1→√2]π(2-a^2)da}
=2π{[4a-(4/3)a^3+(1/5)a^5][0→1]+[2a-(1/3)a^3][1→√2]}
=2π{(8/3+1/5)+(4/3)√2-4/3}
=2π{23/15+(4/3)√2}
=(46+40√2)π/15

No.40482 - 2016/11/23(Wed) 13:13:33

☆ Re: / ゆう

計算ミスしてるとおもいます

No.40484 - 2016/11/23(Wed) 14:24:04

☆ Re: / angel

> 計算ミスしてるとおもいます

そう思われた根拠はなんですか?

No.40486 - 2016/11/23(Wed) 16:33:11

☆ Re: / X

>>ゆうさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>Dさんへ
ごめんなさい。計算ミスがありました。
No.40482を直接修正しましたので再度ご覧下さい。

No.40489 - 2016/11/23(Wed) 17:52:05

☆ Re: / ゆう

場合分け逆じゃないですか

No.40490 - 2016/11/23(Wed) 17:58:47

☆ Re: / X

>>ゆうさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>Dさんへ
ごめんなさい。計算ミスがありました。
No.40482を直接修正しましたので再度ご覧下さい。

No.40496 - 2016/11/24(Thu) 04:52:30

★ 京大文系 2012 4 図形と式 / むう

(p)の証明が解説を見ても分かりません。特に下線の部分です。教えてください

No.40472 - 2016/11/23(Wed) 07:06:58

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / むう

解説です

No.40473 - 2016/11/23(Wed) 07:07:52

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / むう

解説ぇす

No.40474 - 2016/11/23(Wed) 07:08:27

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / IT

短時間の試験ですから、もっとあっさりした証明でいいような気がします。
「（必要なら番号をつけ変えることにより）」とか、を書かなくてもいいと思います。
この解答は、ていねいであることで、かえって本質が見えにくくなっている気がします。

河合塾の解答例、青空学園の解答例程度でいいと思います。

http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/12/k01.html?sc_cid=bat_tokka
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2012/12ka05a.htm

No.40475 - 2016/11/23(Wed) 07:59:38

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / angel

それは実際に図を描いてみれば…ですね。

添付の図は正11角形ですが、ピザを切る時のように11個の三角形に分けると、1つ1つの中心部分の角度は 360°÷11 ですよね。

今は、このピザのピースを何個か集めて120°にできるだろうか、というのが問題です。
で、この正11角形だと、
　360°÷11×1
　360°÷11×2
　360°÷11×3
　…
のどれも120°になりません。なので、問題で問われていた「60°の角を持つ三角形」は作れないと分かります。

これを正n角形に一般化すると、
「360°÷n ×(整数)=120°になることがあるか?」
という話になるのです。

No.40476 - 2016/11/23(Wed) 08:05:16

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / IT

下線部のところをていねいに書くと

∠A[1]OA[k]=120°…(1)
A[1]A[2],..,A[n]は正ｎ角形なので ∠A[i]OA[i+1]=360°/n、i=1..n-1　…(2)
∠A[1]OA[k]=∠A[1]OA[2]+∠A[2]OA[3]+...+∠A[k-1]OA[k]…(3)
(2)(3)より　∠A[1]OA[k]=(k-1)360°/n …(4)
(1)(4)より　(k-1)360°/n＝120°…(5)　

となります。どこが分かりませんか？

No.40477 - 2016/11/23(Wed) 08:16:56

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / むう

お2方ありがとうございます。理解することが出来ました！

No.40483 - 2016/11/23(Wed) 13:20:41

★ 相似な図形　　中学 / takeda

（２）解説よろしくお願いします。

No.40467 - 2016/11/22(Tue) 18:00:58

☆ Re: 相似な図形　　中学 / みずき

きれいな解法ではないですが。

まず △AEB は直角二等辺三角形です。
簡単のため HD=x,EB=EA=y,EC=z とおきます。

△BEC は直角三角形なので三平方の定理から
(3+1)^2=z^2+y^2 (1)

△BDHと△BECは相似なので
3:y=x:z (2)

△ACBと△DCEは相似なので
(∵4点A,E,D,Bは同一円周上にあるので
∠EDC=∠BED+∠EBD=∠BAD+∠EAD=∠BAC)
y+z:1=4:z (3)

(2)から
z=xy/3 (4)

(4)を(1)に代入して
16=(xy/3)^2+y^2 つまり y^2=144/(x^2+9) (5)

(4)を(3)に代入し整理して
36=xy^2(x+3) (6)

(5)(6)から y^2 を消去し整理して
x^2+4x-3=0 よって HD=x=-2+√7

No.40468 - 2016/11/22(Tue) 20:13:46

☆ Re: 相似な図形　　中学 / angel

実は、今回はより少ない条件でも解が求められます。
取り敢えず HD=x としておきます。

∠A=45°であることから△ABEが直角二等辺三角形でAE=BE
そのため2つの直角三角形AEH,BECが合同です。
ここから AH=BC=4

次に相似な直角三角形BDH,ADCに着目します。
相似により、対応する辺の比 BD:DH=AD:DC ですが、
BD=3, DH=x, AD=AH+HD=4+x, DC=1

これにより、x(4+x)=3・1 ということで、方程式 x^2+4x-3=0 が導かれます。

No.40469 - 2016/11/22(Tue) 21:11:17

★ (No Subject) / ゆう

3,5お願いします

No.40466 - 2016/11/22(Tue) 14:12:15

☆ 問5 / angel

問5
まず前提として、z^n=1 の解は 1 の n乗根、cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n) ( k=0,1,…,n-1 ) で、全部でn個あります。

それを踏まえて

(1)
整理すると (z^3-1)^2=0 なので、z の解は 1 の3乗根。ということで cos(2kπ/3)+isin(2kπ/3) (k=0,1,2) を計算

(2) (3)でのm=0 のケースなので省略

(3) z^(3n)+1/z^(3n)=z^(n+1)+1/z^(n+1) を整理して
　(z^(4n+1)-1)(z^(2n-1)-1)=0
これに n=3m+2 を代入して
　(z^(3(4m+3))-1)(z^(3(2m+1))-1)=0
よって解は、1 の 3(4m+3)乗根と 3(2m+1) 乗根
4m+3 と 2m+1 は互いに素であるため、3(4m+3), 3(2m+1) の最大公約数は 3
ここから、1 の3(4m+3)乗根と 3(2m+1)乗根とでは、1の3乗根の3個が重複していることが分かる。
解の個数は、それぞれの根の個数から重複分を引いて
　3(4m+3)+3(2m+1)-3=9(2m+1)

No.40470 - 2016/11/22(Tue) 22:19:54

☆ 問3 / angel

まず、(0,0,1), (p,1,0), (2p,0,-1) の3点を通る平面αの方程式は、x/p+z=1 です。ということを踏まえて。

(1)
S: x^2+y^2+(z-1)^2=4 と xy平面 ( 平面z=0 ) との交わりKは、円 x^2+y^2+(0-1)^2=4 すなわち、x^2+y^2=3 です。
そのため、中心は原点、半径は√3

次にKとαの交点ですが、先にαとxy平面の交わりを求めると、x/p+0=1 から x=p
よって、Kとαの交点は、xy平面上での Kとx=p の交点に他なりません。なので、(p,±√(3-p^2))
※0＜p＜√3 なので、必ず2交点ができる

(2)
平面αは、球面Sの中心(0,0,1)を含むため、Sとαの交わりはSの大円 ( Sと半径が一致する円 ) で、半径は 2 です。
(1)の結果から、Sとαの交わりと、更にxy平面との交点は (p,±√(3-p^2))、今 p=√2 の場合は (√2,±1) であり、この2交点間の距離は2です。

ということは、Sとαの交わりの円とxy平面の交わりでできる弦は長さ2であり、( 円の半径も2であることから ) z≦0 ( xy平面より下 ) の部分の弧の中心角はπ/3

結局、問題の領域は、半径2、中心角π/3の扇形から、1辺の長さ2の正三角形を取り除いたものとなり、面積は 2π/3-√3

No.40471 - 2016/11/22(Tue) 22:50:09

★ (No Subject) / 勉強生徒

ベクトルの問題で質問があります。問題と解答は添付画像に記してあります。
解答部分で赤線を引いてあるところが疑問です。

赤線?@ではなぜベクトルＯＱ⒦＝a⒦ベクトルｌと置くことができるのでしょうか？

赤線?Aではなぜa⒦＝（a⒦、b⒦×（cos,sin）と置くことができるのでしょうか？

No.40458 - 2016/11/21(Mon) 20:01:54

☆ Re: / 勉強生徒

ノートの続きです

No.40459 - 2016/11/21(Mon) 20:02:53

☆ Re: / angel

?@
Qが直線l上にあることと、直線lが原点を通ることから言えます。
※原点を通る直線 l 上の点の位置ベクトルは、l の方向ベクトルの実数倍になるのです。

?A
その赤線の3行上に「a(k)=ベクトルOP(k)・ベクトルl」という式がありますね。
それを成分表示に替えた式です。

No.40460 - 2016/11/21(Mon) 21:28:22

☆ Re: / IT

angel さんへ横から失礼します。
> ?@
> Qが直線l上にあることと、直線lが原点を通ることから言えます。
> ※原点を通る直線 l 上の点の位置ベクトルは、l の方向ベクトルの実数倍になるのです。

ここまでは、分りますが、 a[k]倍になるのはなぜ言えるのでしょうか？　
a[k]は、最初に与えられた実数列と見えます。

＃質問者の投稿画像の文字（特にアルファベット）が　判別しづらいので　誤読しているかも知れません。

No.40462 - 2016/11/21(Mon) 21:54:03

☆ Re: / angel

> ここまでは、分りますが、 a[k]倍になるのはなぜ言えるのでしょうか？

あ!
ごめんなさい、最初の実数列の a(k) と、「ベクトルl のa(k)倍」とで、a が被っているの、すっかり失念していました。

同じものだとすると意味が通らないですね。逆に後者の a(k) をα(k) など、別の文字に置き換えれば意味が通ります。( というか、そのように自動的に読み替えていたようです )

No.40463 - 2016/11/21(Mon) 23:45:23

☆ Re: / IT

勉強生徒さんが、解答を転記ミスしておられるようですね

>赤線?@ではなぜベクトルＯＱ⒦＝a⒦ベクトルｌと置くことができるのでしょうか？

ＯＱ⒦＝α(k)ベクトルｌ　

>赤線?Aではなぜa⒦＝（a⒦、b⒦×（cos,sin）と置くことができるのでしょうか？
　α(k)＝（a⒦、b⒦)・(cosθ,sinθ）

などとすべきですね。

No.40464 - 2016/11/22(Tue) 00:16:30

☆ Re: / 勉強生徒

あよくよくみるとa⒦だと思っていた部分がα(k)
でした。a⒦ってＰ⒦のｘ座標なのになんでベクトルＬとそんな関係が成り立つのか不思議でしたがα(k)ってことはとりあえず置いた文字でa⒦とは関係ないですね。とりあえず納得できたと思います。

ありがとうございました。
これから解きなおすのでもしかしたらまた質問させていただくかもしれませんがその時はよろしくお願いします。

No.40465 - 2016/11/22(Tue) 00:31:20

★ (No Subject) / ゆう

平面上に同心円C,C'があり、半径をそれぞれr,1(0<r<1)とする
（１）C'に内接しCに外接する正三角形の１辺の長さとrの値を求めよ
（２）C'に内接するどのような鋭角三角形Cと共有点を持つようなrの取り得る値の範囲を求めよ

No.40457 - 2016/11/21(Mon) 19:54:26

☆ Re: / angel

(1)
これは図を描きましょう。
正三角形の1辺の長さは√3、正三角形に内接するCの半径は r=1/2

(2)
(1)の時がrの最小なので、1/2≦r＜1

…だと流石に手抜きなので一応。
三角形をPQRとすると、「Cと三角形が共有点を持つ」というのは、Cが、PQ,QR,RPいずれかの辺と共有点を持つということになります。

ここで、辺の1つQRに着目すると、円の中心からの距離は cosP です。( 円周角Pに対し、中心角2Pとなることに注意 )
そのため、QRと円が共有点を持つ条件は r≧cosP です。

他の辺も同様なので、結局円と三角形が共有点を持つのは、
　r≧cosP または r≧cosQ または r≧cosR
　⇔ r≧mim(cosP,cosQ,cosR)
　⇔ r≧cos(max(P,Q,R)) ※cosは角が大きいほど値が小さくなる
max(P,Q,R)の最小値は P=Q=R となる時の60°、つまり(1)の状況になるのです。

No.40461 - 2016/11/21(Mon) 21:41:10

★ 解けなくて困っています。 / さいん

科甲の問題なんですけどいくら考えてもわかりません。
解法とかネットで調べても出てこなくて困っています。
数学的に解くにはどうすれば良いのでしょうか。

No.40450 - 2016/11/20(Sun) 23:46:48

☆ Re: 解けなくて困っています。 / さいん

問題です。

No.40451 - 2016/11/20(Sun) 23:47:27

☆ Re: 解けなくて困っています。 / みずき

Pizza theorem ですね。↓
https://en.wikipedia.org/wiki/Pizza_theorem

右の上から2個目の図が
Proof without words for 8 sectors
と書いてあります。

日本語では
『ピーター・フランクルの中学生でも分かる
大人が解けない問題集』
に載っていたような記憶があります。

No.40452 - 2016/11/21(Mon) 00:02:09

☆ Re: 解けなくて困っています。 / さいん

有難うございます！助かりました！

No.40453 - 2016/11/21(Mon) 00:12:14

★ 積分 / 酵母菌

(1)放物線y=2+2x-x^2とx軸で囲まれる図形の面積を直線y=mx+2が2等分するようなmの値を求めよ。
mが正の場合と負の場合とで分けて考えるのでしょうか？
(2)放物線y=-x^2+2x上の点P(t,-t^2+2t)における接線lと放物線y=x^2とで囲まれた部分の面積の最小値を求めよ。
添付画像のところまで解いたのですが、ここからどうすれば良いのかわかりません。
上記の事を教えていただきたいです。よろしくお願い致します。

No.40448 - 2016/11/20(Sun) 22:52:51

☆ Re: 積分 / 酵母菌

画像が見にくいですね…

No.40449 - 2016/11/20(Sun) 22:55:24

☆ Re: 積分 / angel

(2) もう解けたも同然だと思いますよ。
あー…、ただ惜しいことにちょっとミスがあります。

Sを件の面積だとして、S=1/6・(8t-8t+4)^3 のところ、3乗じゃなくて 3/2乗ですね。途中まではちゃんと 3/2乗なので、惜しいところです。

で、S=1/6・(8t^2-8t+4)^(3/2) と分かっていて、() の中身の t の2次式は t=1/2 で最小値を取ることも突き止めている ( 画像の最後の平方完成 )
であれば、8t^2-8t+4 の t=1/2 の時の値、2 を使って S=1/6・2^(3/2) を計算して終わりです。

なお、( 面積を計算して正の値が出る以上 ) 自明ではあるのですが、接線とy=x^2とが交点を持つことは、ちゃんと言っておく必要があると思います。

No.40454 - 2016/11/21(Mon) 00:12:17

☆ Re: 積分 / angel

(1) 場合分けは特に必要ありません。
添付の図のように、まず分かり易い所で線を引いて、どっちの方が大きいかを考えてみます。今回は右上の方が小さいです。

そしたら、半分の面積になるように境界線をずらすことを考えます。面積の変化は三角形で考えることができます。

なお、添付の図のグラフは適当に描いているので、答えとは合っていません。( 答えに合わせると非常に微妙な図になってしまうので… )

No.40455 - 2016/11/21(Mon) 00:39:52

★ 約数の個数 / 雪

ｐを素数、ｎを正の整数とする。(ｐ^ｎ)！はｐで何回割り切れるか。

自分の考え方のどこが間違えているのかがわからないので教えてください。

ｐで1回割り切れるのはｐ^ｎ－ｐ、ｐ^－２ｐ、…ｐ^ｎー(ｐ－１)ｐのｐー１個、ｐで2回割り切れるのはｐ^ｎーｐ^２、ｐ^ｎー２ｐ^２…ｐ^ｎー（ｐ－１）ｐ^２のｐ－１個、…ｐでｎー１回割り切れるのはｐ^ｎーｐ^(ｎー１)、ｐ^ｎー２ｐ^（ｎー１）…ｐ^ｎー(ｐ－１)ｐ^(ｎー１)のｐー１個なので、１・（ｐ－１）＋２・（ｐ－１）＋…＋（ｎー１）・（ｐ－１）＋ｎを計算して答えになると思ったんですが、全然違いました。どこが間違えているんでしょうか。

No.40443 - 2016/11/20(Sun) 18:17:21

☆ Re: 約数の個数 / angel

> ｐで1回割り切れるのは ( 中略 ) のｐー１個
ここが違います。もっと多いです。

例えば、p=3,n=4 の 81! で考えてみると、
1～81 までかけている中で、3で1回だけ割り切れるのは、

　3,6,　12,15,　21,24,　30,33,　39,42,　48,51,　57,60,　66,69,　75,78

の18個です。p-1より断然多いです。
この18がどこから出たかと言えば、81÷3-81÷9 ですね。

1回割り切れる場合以外でも似たような計算になります。

No.40444 - 2016/11/20(Sun) 18:29:41