ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 積分 / ゆう

お願いします

No.40197 - 2016/11/08(Tue) 16:32:45

☆ Re: 積分 / noname

とりあえず，(1)と(2)の前半のヒントだけ与えておきます．

[ヒント]
(1)：前半の不等式の証明については，微分法を用いるか或いはπ/2・sin(x)のグラフの凸性を用いればよい．後半の極限の問いについては，前半の結果より得られる不等式

0≦xcos^n(x)≦πsin(x)cos^n(x)（0≦x≦π/2）

の辺々をx＝0からx＝π/2まで積分してI_[n]に関する不等式をつくることが出来れば，後ははさみうちの原理を用いるのみである．
(2)の前半：a_[n+2]＝a_[n]-∫_[0,π/2]cos^n(x)sin(x)・sin(x)dxの様に変形し，この等式の第二項について部分積分法を実行すればよい．

No.40198 - 2016/11/08(Tue) 17:56:50

☆ Re: 積分 / noname

(2)の後半と(3)のヒントも与えておきます．

[ヒントの続き]
(2)の後半:b_[n]＝(n+1)a_[n+1]a_[n]とおくと，(2)の前半の問いの結果より数列{b_[n]}に関する漸化式が得られる．これより数列{b_[n]}の一般項を求めれば示すべき第一の等式を得る．第二の不等式に関しては，0≦cos^{n+1}(x)≦cos^n(x)(0≦x≦π/2)よりa_[n+1]≦a_[n]が成立し，これと第一の等式を用いれば第二の不等式を導出することが出来る．
(3):(1)の極限を求めるのに用いたI_[n]に関する不等式と(2)の結果を用いると(I_[n]/a_[n])^2に関する不等式が得られる．これとはさみうちの原理を用いれば(I_[n]/a_[n])^2の極限，特にI_[n]/a_[n]の極限の値が分かる．一方，J_[n]/a_[n]の極限については

J_[n]
＝∫_[0,π/2]xsin^n(x)dx
＝∫_[π/2,0](π/2-t)sin^n(π/2-t)・(-1)・dt
＝π/2a_[n]-I_[n]

とI_[n]/a_[n]の極限の値を用いれば，J_[n]/a_[n]の極限の値を求めることが出来る．

No.40208 - 2016/11/08(Tue) 23:30:42

★ (No Subject) / ゆう

お願いします

No.40195 - 2016/11/08(Tue) 16:31:43

☆ Re: / angel

(1)
順に計算しましょう

(2)
小文字のエルだと見辛いので、大文字Lに替えて書きます。
まず、f の値の上限を見積もります。
a1がL桁ということは、全て 9 の時に f が最大になります。
つまり、f(a1)≦9L で a2≦81L^2
後は、81L^2 が L-1桁以下、つまり 81L^2＜10^(L-1) を示せば十分です。これは、L=5開始の数学的帰納法で行えばよいです。
不等式の右辺が10倍ずつ増えていくのに対し、左辺は
　(L+1)^2/L^2=1+(2L+1)/L^2
で、2倍以下でしか増えないことが使えます。

(3)
(2)の結果を利用して、時々の上限を順に見積もっていきます。
加えて、a1が9の倍数であることから、帰納的に、桁の和f(an)も、その平方a[n+1]も、全て9の倍数になることに注意します。

* an が 5桁以上 … 先の項に進めば、いずれ4桁以下に減る
* 4桁以下で f(an)の最大 … an=9999 の時で 36、よって a[n+1]≦36^2=1296
* a[n+1]≦1296 で f(a[n+1])の最大値 … 3桁でのa[n+1]=999が上限で f(a[n+1])≦27、a[n+2]≦27^2=729
* 次同じようにして a[n+3]≦324
* a[n+3]=f(a[n+2])^2 に対して、f は今回9の倍数なので、a[n+3]は81の倍数、かつ平方数。324以下では81,324のみが該当する。
　そうすると、いずれにしても f(a[n+3])=9、a[n+4]=81
　以降ずっと、数列の値は81

No.40205 - 2016/11/08(Tue) 21:16:35

★ (No Subject) / う

xyz平面において方程式
x^2+y^2+z^2=6x-2z …(1)
の表す曲面と、平面α:2x-2y+z=-1 …(2)との交わりは何か、という問題で、 (1)と(2)を連立させると、
5x^２-8xy+5y^2-6x-1=0
と出るのですが、これは円の方程式ではありません。しかし、実際は中心が (5/3,4/3,-5/3)で半径が√6の円となります。なぜ私のやり方ではきちんと円の方程式が出なかったのでしょうか？

No.40192 - 2016/11/08(Tue) 11:49:19

☆ Re: / ast

(xy-平面に対して) 斜めに切った断面が円だからといって, (z=constant をいくつに設定したとしても) 交線の x-座標, y-座標のみたす式 (交線の xy-平面への直交射影) が円であるとは限らないですから, 何の不思議もないと思われます (いくら得られるものが円だと言っても, α の法線方向から見ないと楕円に見える).
# (1) は楕円体, 5x^２-8xy+5y^2-6x-1=0 は楕円になるようなので
# それでよいのではないでしょうか.

もう少し直接的には, xyz-空間内の平面図形を考えているのに z の値を無視しているから, あるいはあなたの考えている「円の方程式」は円の方程式ではないから, というふうに答えることもできるでしょう. 中学あたりから慣れ親しんでいる (xy-平面上の)「円の方程式」を xyz-空間で考えると (式に現れない z は任意の値をとるから)「円筒の方程式」であって円の方程式ではありません. 今の場合, (2) の式で x,y から z の値も決まるので z も含めて追跡すると結果として xyz-空間内の円が出てくるということになります.

No.40193 - 2016/11/08(Tue) 14:26:54

☆ Re: / noname

もしかしたら不要かもしれませんが，念の為にこの問題の解答例の概要を与えておきます．

[解答例]
方程式(1)を平方完成すると(x-3)^2+y^2+(z+1)^2＝10であるから，(1)が表す図形は中心が点(3,0,-1)で半径が√10の球である(楕円体の特別な場合)．この球をCとする．ここで，点と平面の距離の公式より，球Cの中心と平面αの距離は

|2・3-2・0+(-1)+1|/√(2^2+(-2)^2+1^2)＝2.

よって，三平方の定理より球Cの平面αによる断面の円の半径は√((√10)^2-2^2)＝√6より√6である．

次に，断面の円の中心を求める．中心の座標を(a,b,c)と設定する．平面αの法線ベクトルの一つとして↑n＝(2,-2,1)がある．よって，実数kを用いて次のベクトルの成分に関する式が成り立つ．

(a,b,c)-(3,0,-1)＝k(2,-2,1).
∴(a,b,c)＝(2k+3,-2k,k-1).

ところで，ベクトルk↑nの大きさは2である必要があるから，|k↑n|＝2の成立が必要であり，これをkについてとくとkの値が得られる．この時，球Cの中心が平面αに対して上側或いは下側のどちらの側にあるのかを調べ，kの値を決定せよ．その後で，今得られたkの値を用いると断面の円の中心の座標を求めることが出来る．

No.40194 - 2016/11/08(Tue) 15:26:01

☆ Re: / angel

既に回答がありますが、うさんの出した式は別に間違ってはいなくて、楕円柱 ( の側面 ) を表すものです。
色々な向きで切断すると、色々な楕円ができるのですが、αに平面に切断すると丁度円になります。

さて。xy平面の場合、
　* 等式が1つ … 直線や曲線
　　直線y=x+10, 円x^2+y^2=4 等
　* 等式が2つ … 点
　　x=0,y=0なら原点、y=x,x+y=10なら(5,5) 等

となりますが、今回のようにxyz空間だと、事情が変わってきます。
　* 等式が1つ … 平面や曲面
　　平面x+y+z=1, 球面x^2+y^2+z^2=1 等
　* 等式が2つ … 直線や曲線
　　直線x=y/2=z/3, 今回の問題の円
　* 等式が3つ … 点
です。

例えば、xy平面であれば、曲線の1つである円を表す x^2+y^2=1 であっても、xyz空間では、曲面である円筒 ( 円柱の側面 ) なのです。

※強引にまとめれば、より少ない等式で表すこともできるのですが、あまり意味がないので割愛します。

No.40203 - 2016/11/08(Tue) 19:56:24

☆ Re: / う

みなさんありがとうございます、納得しました。

No.40204 - 2016/11/08(Tue) 21:01:39

★ 図形 / 大輝

長さ２の線分ＡＢを直径とする半円の弧ＡＢ上に点Ｐ、線分ＡＢ上に点Ｑがある。三角形ＡＰＱがＡＰ＝ＡＱである二等辺三角形となるように点Ｐ、Ｑが動く
（１）三角形ＡＰＱがの面積の最大値を求めよ
（２）三角形ＡＰＱの周の長さの最大値を求めよ

お願いします

No.40168 - 2016/11/07(Mon) 19:22:15

☆ Re: 図形 / X

以下、極座標を学習済みであることを前提として
回答します。

まずは前準備。
極座標の平面上に
A(0,0),B(2,0)
と取ります。
すると
P(a,0)
(0＜a＜2 (A))
と取ることができ、又線分ABを
直径とする半円の極方程式は
r=2(1+cosθ) (B)
(但し0≦θ≦π)
とできます。
さて、このとき
Q(a,t)
とすると(B)より
a=2(1+cost)
∴cost=a/2-1 (C)
(1)
△APQの面積をS(a)とすると
S(a)=(1/2)OP・OQsint
=(1/2)(a^2)√{1-(a/2-1)^2}
後はS'(a)を求めて(A)の範囲で
S(a)の増減表を書きます。

(2)
△APQにおいて、余弦定理により
PQ^2=AP^2+AQ^2-2AP・AQcost
=(2a^2){1-(a/2-1)}
=(4-a)a^2
∴△APQの周囲の長さをL(a)とすると
L(a)=AP+AQ+PQ
=2a+a√(4-a)
後はL'(a)を求めて(A)の範囲で
L(a)の増減表を書きます。

No.40169 - 2016/11/07(Mon) 20:21:07

☆ Re: 図形 / noname

次の様に考えてもよいです．

[別解]
(1)∠APB＝θとおくと，θのとり得る値の範囲は0＜θ＜π/2である．また，直角三角形APBにおいてAP＝ABcosθ＝2cosθである．ゆえに，AP＝AQである二等辺三角形APQの面積は

1/2・2cosθ・2cosθ・sinθ
＝2cos^2θsinθ
＝2sinθ(1-sin^2θ).

ここで，t＝sinθとおくと0＜t＜1であり，三角形APQの面積の式をtで表すと2t(1-t^2)である．ここから先は，f(t)＝t(1-t^2)(0＜t＜1)とおいてf(t)の0＜t＜1での最大値を調べることにより，三角形APQの面積の最大値を求めればよい．
(2)二等辺三角形APQにおいて，

PQ＝2・APsin(θ/2)＝4cosθsin(θ/2).

よって，二等辺三角形APQの周りの長さは

2cosθ+2cosθ+4cosθsin(θ/2)
＝4cosθ(1+sin(θ/2))
＝4(1-2sin^2(θ/2))(1+sin(θ/2)).

ここで，s＝sin(θ/2)とおくと0＜θ＜π/2より0＜s＜1/√2であり，二等辺三角形APQの周りの長さは4(1-2s^2)(1+s)の様に表される．ここから先は，g(s)＝(1-2s^2)(1+s)(0＜s＜1/√2)とおいてg(s)の0＜s＜1/√2における最大値を調べることにより，三角形APQの周りの長さの最大値を求めればよい．

No.40170 - 2016/11/07(Mon) 21:13:23

☆ Re: 図形 / noname

もし数学?Vの微分法の内容を学習済みであれば，三角形APQの面積については

2cos^2θsinθ＝sin(2θ)cosθ

の様に変形し，F(θ)＝sin(2θ)cosθとおいてF(θ)の0＜θ＜π/2における最大値を調べてもよいです．同様に，三角形APQの周りの長さについては，G(θ)＝4cosθ(1+sin(θ/2))とおいてG(θ)の0＜θ＜π/2における最大値を調べてもよいです．

No.40190 - 2016/11/08(Tue) 00:30:50

★ 図形 / 大輝

空間内に１辺の長さが１の立方体ＡＢＣＤーＥＦＧＨとその立方体のすべての頂点を通る球Ｓがある
（１）△ＢＤＥの内接円Ｋの半径を求めよ
（２）半径Ｒの球Ｔが△ＢＤＥの３辺に接するとき、Ｔの中心と平面ＢＤＥとの距離をＲを用いて表せ
（３）（２）の球Ｔが球Ｓに内接するとき、Ｒを求めよ

（２）（３）をお願いします

No.40167 - 2016/11/07(Mon) 19:19:53

☆ Re: 図形 / noname

(2)については，球Tが三角形BDEにより切り取られる図形が円Kであることに気が付くと，三平方の定理よりTの中心と平面BDEの距離を求めることが出来るかと思います．

一方，(3)については，立方体を三角形BDEにより2つに分けた時のAの側の部分をX,Gの側の部分をYとする時，Tの中心がXに含まれるかYに含まれるかで場合分けしなければなりません．Tの中心がXに含まれる場合では

(Aと平面BDEの距離)＝R+(Tの中心と平面BDEの距離)

が成立する必要があり，Tの中心がYに含まれる場合では

(Gと平面BDEの距離)＝R+(Tの中心と平面BDEの距離)

が成立する必要があります．細かな点に関しては一度ご自身でお考えください．

No.40175 - 2016/11/07(Mon) 22:05:41

★ 整数　６進法 / 大輝

自然数Ｎに対し、Ｎと２Ｎを６進法で表したとき、ともに５桁であり、数字の並びが逆になるという
このとき、Ｎを６進法であらわせ

お願いします

No.40165 - 2016/11/07(Mon) 19:16:02

☆ Re: 整数　６進法 / angel

6進法で、Nの各桁を、上位からa,b,c,d,e と置いてみます。
つまり、
　N =abcde(6)
　2N=edcba(6)
ということです。a～e は全て0以上5以下、a,eに限っては非0です。

まず、端のa,eから考えます。2Nの最下位の桁が a であるため、6進法の場合も10進法の時と同じように、a は偶数です。( これは6が偶数であるため )
もう一つ。Nを2倍しても桁数が変わっていませんから、最上位で繰り上がりが起っていません。つまり a は2以下です。
( aが3以上だと、2a が6以上になって繰り上がりが発生します )

ということで、非0、偶数、2以下ということで、a=2 以外にあり得ません。
Nの最下位の e を2倍して、a=2 になっているので、繰り上がりの有る無しを考えると、2e=2 or 2e=2+6 ですが、N,2Nの最上位を比較して a＜e であるため、e=4 です。

ここまで、
　N =2bcd4
　2N=4dcb2
一旦切ります。

No.40171 - 2016/11/07(Mon) 21:23:58

☆ Re: 整数　６進法 / angel

次にb,d です。N,2Nの最下位・最上位を改めて見返すと、
最下位は 4×2→2 なので繰り上がりが発生、なので2Nの次の位 b は奇数です。
一方、最上位は 2×2→4 で下からの繰り上がりがありません。ということは、b も ( aと同じく ) 2以下だと分かります。

そのため、奇数・2以下という条件から b=1 です。
N,2N下から2桁目の計算、繰り上がりの有無を考えると、
　2d+1=b or 2d+1=b+6
のどちらか、つまり d=0 or 3 なのですが、上から2桁目で、b×2→d となっていることから d=2 or 3 ( 後者は繰り上がりがある場合 )
ということで、d=3 です。併せて、真ん中の桁 ( c×2→c ) からの繰り上がりがあることが分かります。

ここまでを整理すると、
　N =21c34
　2N=43c12

最後に。真ん中の桁は、下の桁 ( 3×2→1 ) からの繰り上がりがあり、かつ、上の桁 ( 1×2→3 ) にも繰り上がりがあります。
ということは、c+6=c×2+1 ( +6は上への繰り上がり、+1は下からの繰り上がり ) で c=5 です。

ということで、答えは N=21534 です。

No.40172 - 2016/11/07(Mon) 21:31:55

★ 不等式の証明 / ゆう

正の実数a,b,cと２以上の自然数nに対して(a+b+c)^n＜＝3^(n-1)(a^n+b^n+c^n)が成り立つことを示せという問題（＜＝はショウナリイコールの意味です）について

数学的帰納法を使うのはわかるのですが、コーシーシュワルツの不等式も使えるかなと思いました（試しましたがうまくいきませんでした・・・）
そこで数学的帰納法の解答でいいので教えてください
また、コーシーシュワルツの不等式を利用した解答は思いつく方いらっしゃいますか？？

No.40164 - 2016/11/07(Mon) 19:13:17

☆ Re: 不等式の証明 / IT

０＜a≦b≦c と仮定　しても一般性を失わない。
(a+b+c)^n≦3^(n-1)(a^n+b^n+c^n)は、両辺をc^nで割った
(a/c+b/c+1)^n≦3^(n-1)((a/c)^n+(b/c)^n+1) と同値　
a/c=s,b/c=t とおくと　0＜s≦t≦1

0＜s≦t≦1 のとき　(s+t+1)^n≦3^(n-1)(s^n+t^n+1) を示せばよい　

n=2 のとき　成立（省略）

2以上の自然数kについて,(s+t+1)^k≦3^(k-1)(s^k+t^k+1) と仮定すると

　(s+t+1)^(k+1)≦3^(k-1)(s^k+t^k+1)(s+t+1)
右辺＝3^(k-1)(s^(k+1)+t^(k+1)+ts^k+st^k+s^k+t^k+s+t+1)

ここで　3(s^(k+1)+t^(k+1)+1)-(s^(k+1)+t^(k+1)+ts^k+st^k+s^k+t^k+s+t+1)
　＝2-s-t+2s^(k+1)+2t^(k+1)-s^k-t^k-ts^k-st^k
　＝(1-s)(1-s^k)+(1-t)(1-t^k)+(t^k-s^k)(t-s)≧0,　なぜなら0＜s≦t≦1

よって　(s+t+1)^(k+1)≦(3^k)(s^(k+1)+t^(k+1)+1)　

No.40176 - 2016/11/07(Mon) 22:16:59

☆ Re: 不等式の証明 / ゆう

ありがとうございます

このような解法はどうして思いつくのでしょうか？？
帰納法ではできないのですか？？

No.40177 - 2016/11/07(Mon) 23:07:22

☆ Re: 不等式の証明 / noname

IT様の提示された解法は数学的帰納法を用いたものですよ．

No.40179 - 2016/11/07(Mon) 23:20:06

☆ Re: 不等式の証明 / IT

> このような解法はどうして思いつくのでしょうか？？
似たような問題を解くことによって、いくつかの技法を習得できます。あとは労を惜しまず頭と手を動かして試行錯誤することですね。

・０＜a≦b≦c と仮定　しても一般性を失わない。
　　→a,b,cについての対称性を使って考える範囲を絞る
・両辺をc^nで割り、a/c=s,b/c=t とおくと　0＜s≦t≦1
　　→同次性を使って変数の個数を３つから２つに減らす。
・差　≧0　を示す。　→　評価し易くする

No.40184 - 2016/11/07(Mon) 23:44:36

☆ Re: 不等式の証明 / ゆう

ありがとうございました

すごいですね　とても思いつきそうにないです・・・

No.40187 - 2016/11/08(Tue) 00:04:54

☆ Re: 不等式の証明 / noname

別解答の提示ではありませんが，nが2の冪で表されている場合は以下の様にコーシー・シュワルツの不等式を用いて不等式の成立を示すことが出来ます．一般の場合もうまく試行錯誤すればエレガントな解き方が見つかるかもしれませんが今のところそこまでは思いついていないため，現状報告だけさせていただきます．

[n＝2^k(kは自然数)の場合]
A_[k]＝3^{2^k-1}・(a^{2^k}+b^{2^k}+c^{2^k})とおくと，コーシー・シュワルツの不等式より

A_[k]＝(3^{2^k-2}+3^{2^k-2}+3^{2^k-2})(a^{2^k}+b^{2^k}+c^{2^k})
≧(3^{2^{k-1}-1}・a^{2^{k-1}}+3^{2^{k-1}-1}・b^{2^{k-1}}+3^{2^{k-1}-1}・c^{2^{k-1}})^2
＝{3^{2^{k-1}-1}・(a^{2^{k-1}}+b^{2^{k-1}}+c^{2^{k-1}}}^2＝(A_[k-1])^2.
∴A_[k]
≧(A_[k-1])^2
≧(A_[k-2])^{2^2}
≧……
≧(A_[0])^{2^k}
＝(a+b+c)^{2^k}.

No.40191 - 2016/11/08(Tue) 01:41:52

★ (No Subject) / あ

2次方程式 x^2-2mx+m+6=0が次のような異なる2つの解をもつように、定数mの値の範囲を求めよ。
(1)2つとも負
(2)異符号
という問題で、(1)では判別式>0 の条件を考えなけらばならないのに、(2)ではその条件を考えなくても良いのはなぜですか？

No.40159 - 2016/11/07(Mon) 13:17:19

☆ Re: / ヨッシー

おそらく
　f(x)＝ｘ^2－2mx＋m＋6
において、
　f(0)＜0
のみで決定できることへの疑問と思いますが、

１つの納得する方法は、下に凸なグラフを、ｙ軸とｙ＜０の
位置で交わるように書いてみると、どうしたって、ｘ軸の
ｘ＜０の部分と、ｘ＞０の部分とで交わります。
ｘ軸と交わらない（虚数解）ということはありません。

虚数解を持つということは、グラフ全体がｘ軸より上の方
（ｙ＞０の領域）にあるということなので、f(x)＜0 のように、
グラフがｙ＜０の領域に入り込んでいるというだけで、実数解であることは保証されます。

また、一般に
　f(x)＝ax^2＋bx＋c＝0　（ただし、ａ＞０：下に凸）
において、f(0)＜0 である、つまり、ｃ＜０であるならば、
判別式は　b^2－4ac＞0　（a＞0 かつｃ＜0 なので）
と、必ず正になります。
「必ず正」なので、取り立てて確認する必要はないということになります。

さらに逆説的な見方をすると、解と係数の関係より
２解の積は　c/a＜0。
もし、２解が虚数解なら、それらは共役な複素数なので、
積は正になる。よって、解は実数に限る。
ということも出来ます。

No.40160 - 2016/11/07(Mon) 14:52:07

★ 確率 / ゆう

お願いします！

No.40153 - 2016/11/07(Mon) 01:18:34

☆ Re: 確率 / noname

とりあえず，ヒントを与えておきます．

[ヒント]
(1)X_1,X_2,X_3の値の出方を考察し，考察した結果をもとに説明を行えばよい．なお，答えは紙に書かれている通りである．
(2)X_n＝1である確率をp_n,X_n＝2である確率をq_n,X_n＝4である確率をr_nとすると，次の漸化式を得る．

p_[n+1]＝1/2・p_[n]+1/2・r_[n],
q_[n+1]＝1/2・p_[n]+1/2・r_[n],
r_[n+1]＝q_[n].

また，簡単な議論によりp_[n]＝q_[n](n≧1)が導かれる．これらを用いると

p_[n+2]+1/2・p_[n+1]＝p_[n+1]+1/2・p_[n]

が得られ，これを利用するとp_[n+1],p_[n]に関する関係式(確率の列{p_[n]}に関する隣接二項間漸化式)が得られる．この関係式を使えばp_[n]の式が得られ，これよりn＞1の場合のr_[n]の式が得られる．なお，n＞1の時のr_[n]の式は紙に書かれている通りである．n＝1の時はX_1＝1,2ゆえにr_1＝0である．
(3)求める確率を計算するために，X_[2n+1]＝4である確率r_[2n+1]とX_[n]＝2かつX_[2n+1]＝4となる確率を求めればよい．r_[2n+1]の式については(2)の結果を利用すればよい．他方の確率に関しては，X_[n]＝2の時にX_[n+1]＝4となることに注意すれば，

(X_[n]＝2かつX_[2n+1]＝4となる確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(X_[n+1]＝4の時にX_[2n+1]＝4となる確率)
＝q_[n]・r_[n+1]

が成り立つ．これを利用すればよい．

No.40156 - 2016/11/07(Mon) 04:19:42

☆ Re: 確率 / ゆう

X_[n]＝2かつX_[2n+1]＝4となる確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(X_[n+1]＝4の時にX_[2n+1]＝4となる確率)
＝q_[n]・r_[n+1]
これの最後がわかりません
X_[n]＝2かつX_[2n+1]＝4となる確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(X_[n+1]＝4の時にX_[2n]＝２となる確率)
＝q_[n]・r_[n+1]・q_[2n]
ではないのですか？？

No.40178 - 2016/11/07(Mon) 23:19:05

☆ Re: 確率 / noname

>X_[n]＝2かつX_[2n+1]＝4となる確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(X_[n+1]＝4の時にX_[2n]＝２となる確率)
＝q_[n]・r_[n+1]・q_[2n]
ではないのですか？？

最後の等号が正しくないです．最右辺の数式は正しくはq_[n]・q_[n]ではないですか？

また，r_[n+1]＝q_[n]より質問者様の提示された等式と私が提示した等式は本質的には同じです．

No.40180 - 2016/11/07(Mon) 23:24:57

☆ Re: 確率 / noname

一部誤植がみられましたので，(3)の解説を改めて与えておきます．失礼致しました．

[(3)の解説(訂正版)]
求める確率を計算するために，X_[2n+1]＝4である確率r_[2n+1]とX_[n]＝2かつX_[2n+1]＝4となる確率を求めればよい．r_[2n+1]の式については(2)の結果を利用すればよい．他方の確率に関しては，X_[n]＝2の時にX_[n+1]＝4となることに注意すれば，

(X_[n]＝2かつX_[2n+1]＝4となる確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(X_[n+1]＝4の時にX_[2n+1]＝4となる確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(初期時に画面に表れている数が4であり，試行をn回行った結果画面に現れる数字が4である確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(X_[n]＝4となる確率)
＝q_[n]・r_[n]

が成り立つ．これを利用すればよい．
________________________________________________________________________

※一つ前のコメントで

>最後の等号が正しくないです．最右辺の数式は正しくはq_[n]・q_[n]ではないですか？

と申しましたが，正しくは「q_[n]・q_[n-1]ではないか？」でした．失礼致しました．

No.40181 - 2016/11/07(Mon) 23:35:49

☆ Re: 確率 / ゆう

＝(X_[n]＝2となる確率)・(初期時に画面に表れている数が4であり，試行をn回行った結果画面に現れる数字が4である確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(X_[n]＝4となる確率)

この変形がわかりません

No.40183 - 2016/11/07(Mon) 23:42:12

☆ Re: 確率 / noname

ある秒に画面に現れる数字が1の時，次の秒に画面に現れる数字は1か2のいずれかです．同様に，ある秒に画面に現れる数字が4の時，次の秒に画面に現れる数字は1か2です．このことに注意すると，初期時に画面に表れている数字が4であろうと1であろうと，X_n＝4となる時の樹形図はどちらの初期の場合においても形は同じです(特に初期時の数字が1か4かの違いしかない)．よって，

>＝(X_[n]＝2となる確率)・(初期時に画面に表れている数が4であり，試行をn回行った結果画面に現れる数字が4である確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(X_[n]＝4となる確率)

が言えます．もし分からなければ，例えばX_5＝4となる場合の樹形図を初期時の数字が1の時と4の時の両方において考えてみるとよいでしょう．

No.40185 - 2016/11/07(Mon) 23:54:23

☆ Re: 確率 / ゆう

周期性には気づけました！
ただ、そこから確率が等しいという発想には持って行くことができませんでした。。。

No.40186 - 2016/11/07(Mon) 23:58:46

☆ Re: 確率 / noname

周期性というよりは寧ろ「ある秒から次の秒へ時間が変わる時の数字の変わり方」についてでしょうか．この手の問題は，(n+1)秒から先の試行は初期時からn秒までの試行の結果に依存しないということに気付けるかどうかがカギです．依存しないということは，(n+1)秒から先の試行については(n+1)秒の時を初期時だと思って考えてもよいということになります．

No.40188 - 2016/11/08(Tue) 00:09:34

★ 3と5お願いします！ / ゆう

3の(2)と5をお願いします！

No.40150 - 2016/11/07(Mon) 00:40:26

☆ Re: 3と5お願いします！ / noname

とりあえず，５に関するヒントを与えておきます．

[ヒント]
(1)0≦x≦1ではx^nとsin(πx)はともに非負値をとるから，これらの積もこのxの範囲においては非負値をとる．ゆえに，I_[n]≧0である．特に，x^nsin(πx)は0≦x≦1では恒等的に0というわけではないから，I_[n]＞0である．一方，0≦x≦1では0≦sin(πx)≦1であるから，I_n≦∫_[0,1]x^ndxが成り立つ．以上により示すべき不等式を得る．
(2)I_[n+2]について，xの冪の部分を微分するもの，三角関数を積分するものと捉えて部分積分法を行えばよい．なお，計算結果は画像の右側に書かれている数式で恐らく問題ない．
(3)(1),(2)の結果を用いると次の不等式

n^2π/((n+1)(n+2))-n^2π^2/((n+1)(n+2)(n+3))＜n^2I_[n]＜π

が得られる．この不等式の最右辺については次の様に考えればよい．(2)の結果より

n^2I_[n]＝π-{(2n+1)I_[n]+π^2I_[n+2]}.

ここで，(1)よりI_[n]＞0(n≧1)ゆえ，

(2n+1)I_[n]+π^2I_[n+2]＞0.
∴n^2I_[n]＝π-{(2n+1)I_[n]+π^2I_[n+2]}＜π.

一方，不等式の最左辺に関しては一度ご自身で考えてもらいたい．

No.40155 - 2016/11/07(Mon) 02:53:38

☆ Re: 3と5お願いします！ / ゆう

ありがたいです理解できました

3の(2)はどうすればいいんですかね

No.40157 - 2016/11/07(Mon) 11:24:32

☆ Re: 3と5お願いします！ / angel

3(2)
ありがちですが、3(1)の結果がヒントになっています。
　f(θ)g(θ)/g(2θ)=(一定)
ということは、これはθを2θ,4θ,8θ,…,2^(n-1)・θに取り換えても同じことですよね。
つまり、
　f(θ)g(θ)/g(2θ)=f(2θ)g(2θ)/g(4θ)=…=f(2^(n-1)・θ)g(2^(n-1)・θ)/g(2^n・θ)=(一定)

ということは、これらの各項をかけ合わせれば…? すなわち、
　f(θ)g(θ)/g(2θ)・f(2θ)g(2θ)/g(4θ)・…・f(2^(n-1)・θ)g(2^(n-1)・θ)/g(2^n・θ)
これの値も分かりますね。
ところがこの式、分母・分子が色々消えて
　f(θ)f(2θ)…f(2^(n-1)・θ)g(θ)/g(2^n・θ)
となります。

ということは、f(θ)f(2θ)…f(2^(n-1)・θ)の正負は、g(θ)/g(2^n・θ)の正負と丁度1対1に対応づく、ということです。

なお、**注意事項**としては、この話はあくまで、各項の分母が0でないことが前提です。
つまり、g(2θ),g(4θ),…,g(2^n・θ) が全て0でない時です。ここは除外しましょう。
といっても、どれかが0になるとしても1点ずつですから、「区間の幅」には影響しません。あくまで解答を書く上で、ちゃんと 0 になるθを調べて、断りを入れておきましょうね、ということです。

No.40174 - 2016/11/07(Mon) 21:42:31

☆ Re: 3と5お願いします！ / ゆう

> 3(2)
> ありがちですが、3(1)の結果がヒントになっています。
> 　f(θ)g(θ)/g(2θ)=(一定)
> ということは、これはθを2θ,4θ,8θ,…,2^(n-1)・θに取り換えても同じことですよね。
> つまり、
> 　f(θ)g(θ)/g(2θ)=f(2θ)g(2θ)/g(4θ)=…=f(2^(n-1)・θ)g(2^(n-1)・θ)/g(2^n・θ)=(一定)
>
> ということは、これらの各項をかけ合わせれば…? すなわち、
> 　f(θ)g(θ)/g(2θ)・f(2θ)g(2θ)/g(4θ)・…・f(2^(n-1)・θ)g(2^(n-1)・θ)/g(2^n・θ)
> これの値も分かりますね。
> ところがこの式、分母・分子が色々消えて
> 　f(θ)f(2θ)…f(2^(n-1)・θ)g(θ)/g(2^n・θ)
> となります。
>
> ということは、f(θ)f(2θ)…f(2^(n-1)・θ)の正負は、g(θ)/g(2^n・θ)の正負と丁度1対1に対応づく、ということです。
>
> なお、**注意事項**としては、この話はあくまで、各項の分母が0でないことが前提です。
> つまり、g(2θ),g(4θ),…,g(2^n・θ) が全て0でない時です。ここは除外しましょう。
> といっても、どれかが0になるとしても1点ずつですから、「区間の幅」には影響しません。あくまで解答を書く上で、ちゃんと 0 になるθを調べて、断りを入れておきましょうね、ということです。

この先がわかりません
和積を使うことにより、sin(3・2^(n-1)θ）sin(2^(n-1)θ)<0となりました

No.40182 - 2016/11/07(Mon) 23:38:34

☆ Re: 3と5お願いします！ / angel

> sin(3・2^(n-1)θ）sin(2^(n-1)θ)<0となりました
良いと思います。

では、一旦2^(n-1)θの部分を置き換えて…。
φ=2^(n-1)θとしますか。
そうすると、sin(3φ)sin(φ)＜0 を考えることになります。

0≦φ＜2π の範囲で考えると、1/3・π＜φ＜2/3・π, 4/3・π＜φ＜5/3・π ですから、
φの値2π毎に繰り返すことを考えると、実は
　(k+1/3)π＜φ＜(k+2/3)π　( kは整数 )
と、π周期にまとめることができます。

ここで、φ=2^(n-1)θに立ち戻ります。

n=1 の時はφ=θで、θの範囲からすると、1/3・π＜θ＜1/2・π が条件を満たすθです。これだけちょっと特殊なので、別に計算しておきます。

n≧2 の時は、(k+1/3)π＜2^(n-1)θ＜(k+2/3)π
一方で、0＜θ＜π/2 ですから 0＜2^(n-1)θ＜2^(n-2)・π
ということは、kの範囲は 0≦k＜2^(n-2)
つまり、(k+1/3)π＜2^(n-1)θ＜(k+2/3)π という、各幅 π/(3・2^(n-1)) の区間が、2^(n-2)個できることになります。

No.40189 - 2016/11/08(Tue) 00:21:19

★ (No Subject) / 佐藤

座標平面において曲線Cy＝sinx（0＜x＜π/2）上の点P（a,sina）におけるCの法線がx軸と交わる点をQとする。線分PQを直径とする円が、x軸と交わるQ以外の点をRとする。このとき三角形PQRの面積S（a）を求めよ。次にaが動くとき、S（a）の最大値を求めよ。
この問題の解き方を教えて下さい。

No.40142 - 2016/11/06(Sun) 18:59:53

☆ Re: / X

前半)
y=sinx
より
y'=cosx
∴点PにおけるCの法線の方程式は
y=(-1/cosa)(x-a)+sina
∴点Qのx座標について
0=(-1/cosa)(x-a)+sina
これより
x=a+sinacosa
∴Q(a+sinacosa,0)
円周角により、点Rが点Pからx軸に下ろした
垂線の足になっていることに注意すると
R(a,0)
以上から
S(a)=(1/2)QR・PR
=(1/2){(a+sinacosa)-a}sina
=(1/2){(sina)^2}cosa

後半)
S(a)をaについて微分をして
0＜a＜π/2
におけるS(a)についての増減表
を書くのが定石です。

只、この問題の場合は
S(a)=(1/2){1-(cosa)^2}cosa
となりますので
t=cosa
と置いてS(a)をtの三次関数
として扱い、
0＜t＜1
におけるS(a)の増減表を書く
という処理をした方が多少
簡単にできます。

No.40143 - 2016/11/06(Sun) 20:47:34

☆ Re: / 関数電卓

ご参考まで

No.40144 - 2016/11/06(Sun) 20:59:56

☆ Re: / 関数電卓

上に貼ったつもりでしたが…

No.40145 - 2016/11/06(Sun) 21:01:19

☆ Re: / 関数電卓

すみません。上の図で，Q と R が逆でした。

No.40147 - 2016/11/06(Sun) 21:52:05

★ 一対一対応の数学A / しみず

解答を見てもよくわからなかったので、解説よろしくお願いします。
答えは、上から空所で（2√3-3）、（√2+1）、（3-2√2）、1/3、4/9です。

No.40127 - 2016/11/05(Sat) 21:30:52

☆ Re: 一対一対応の数学A / IT

> 解答を見てもよくわからなかったので、解説よろしくお願いします。
どんな解答を見られて分らなかったか、分らないと、それより分りやすい解説・解答をするのは難しいと思います。

No.40128 - 2016/11/05(Sat) 21:35:10

☆ Re: 一対一対応の数学A / しみず

すいません。
まず（1）なんですが、なぜ三角形の重心と円cの中心が一致してるんでしょうか？そして、途中ででてくるr3とは？

No.40129 - 2016/11/05(Sat) 21:45:11

☆ Re: 一対一対応の数学A / しみず

そして、（2）はなぜ円O2とO3の接線が円cの中心を通るんでしょうか？

No.40130 - 2016/11/05(Sat) 21:50:58

☆ Re: 一対一対応の数学A / IT

> まず（1）なんですが、なぜ三角形の重心と円cの中心が一致してるんでしょうか？
△O1O2O3 は正三角形なのでr1+r2=r2+r3=r3+r1
よってr1=r2=r3,すなわちC1,C2,C3 は同じ大きさの円
したがって円Ｃの中心と△O1O2O3 の重心は一致します。

「対称性より」というのは、不十分な感じですね。

> 途中ででてくるr3とは？
C3 の半径のことですが　r3=r2 なので,r2 とすべきですね。（私もまちがえました。）

No.40131 - 2016/11/05(Sat) 22:08:28

☆ Re: 一対一対応の数学A / しみず

解答ありがとうございました。やっぱ、間違いでしたか。

No.40132 - 2016/11/05(Sat) 22:52:34

☆ Re: 一対一対応の数学A / IT

> （2）はなぜ円O2とO3の接線が円cの中心を通るんでしょうか？

円C2の半径と円C3の半径が等しいからです。図を描いて確認してくださいOO2＝OO3　などから言えます。

（証明（説明）なしで使っていいと思います。）

No.40133 - 2016/11/05(Sat) 23:09:41

☆ Re: 一対一対応の数学A / しみず

怪盗ありがとうございます

No.40141 - 2016/11/06(Sun) 12:05:16

★ 確率 / ふみ

こんばんは。いつもお世話になっております。

下の問題なのですが、

?@私の解答のように求めても合っているように感じるのですが、なぜ間違いなのでしょうか？

?A余事象の確率の求め方ですが、例えば、1回投げた時、（ア）AとBに異なる目が出る確率（イ）AとCに異なる目が出る確率（ウ）AとBとCに異なる目が出る確率、を考えて、（ア）＋（イ）－（ウ）を計算したあとで、その値をn乗するのではどうしていけないのでしょうか？

No.40124 - 2016/11/05(Sat) 19:20:57

☆ Re: 確率 / ふみ

私の解答です
解答の5行目以降の部分から書いてます

No.40125 - 2016/11/05(Sat) 19:22:34

☆ Re: 確率 / angel

?@
この問題に限らず、一般的な話として、ですが、
P(E),P(F),P(E∩F),P(E∪F),P(E∩~F),P(~E∩F)　(※~X は Xの補集合として読んでください ) があったとき、

　P(E∩~F)=P(E)-P(E∩F)
　P(~E∩F)=P(F)-P(E∩F)
　P(E∪F)=P(E)+P(F)-P(E∩F)=P(E∩~F)+P(~E∩F)+P(E∩F)

は必ず成立します。なので、それに合わない値が出てきてしまった時点で、何かしら間違えているということになります。
※つまり、今回はP(E∩~F),P(~E∩F)の値から間違いということに。

No.40134 - 2016/11/06(Sun) 00:52:44

☆ Re: 確率 / angel

?@続き
では、P(E∩~F)=(5/36)^n がどうして間違いか、というところですが。
　E: A,Bの目が毎回一致しない
　F: A,Cの目が毎回一致しない
ということから、
　E∩~F: A,Bの目は毎回一致しないけれど、A,Cの目は1回以上一致する
になるんですね。

ということは、
　A,Cの目が丁度1回一致する (A,Bは1度も一致しない)
　A,Cの目が丁度2回一致する (同上)
　…
　A,Cの目が丁度n回一致する (同上)
という全部の確率の合計ということになります。単純には。

なので、(5/36)^n という計算式にはできないんですね。
求めるとすれば、P(E)-P(E∩F) でやる位しかないでしょう。

P(~E∩F) についても同じような話になります。

No.40135 - 2016/11/06(Sun) 01:00:30

☆ Re: 確率 / angel

?A質問の意図を取り違えてましたので、一旦回答を削除しました。申し訳ありません。

> 1回投げた時、（ア）AとBに異なる目が出る確率（イ）AとCに異なる目が出る確率（ウ）AとBとCに異なる目が出る確率、を考えて、（ア）＋（イ）－（ウ）を計算

これで出る確率は、「1回投げた時、AとBが異なるか、AとCが異なるか」であり、これは「A=B=Cとなる」の余事象です。
つまり、n乗して1から引くと、「A=B=Cとなる時がある」という確率を求めることになります。

しかし、今回求められているのは「A=Bとなる時も、A=Cとなる時もある」です。A=BとA=Cが同時に起こる ( A=B=Cとなる ) 必要はありません。なので、求めているものが違うということになります。

No.40137 - 2016/11/06(Sun) 02:43:13

☆ Re: 確率 / ふみ

納得しました！
とってもわかりやすかったです！ありがとうございました。

No.40158 - 2016/11/07(Mon) 12:00:29

★ 相似な図形 / 加藤

（２）の解き方が解りません。図形不得意なので解説お願いします。

No.40114 - 2016/11/05(Sat) 10:06:41

☆ Re: 相似な図形 / 関数電卓

(1) EF＝(AD＋BC)/2＝3.5
　　EG＝HF＝1 だから，GH＝1.5 cm
(2) △GHI＝(3/7)△GHD＝(3/7)(3/5)△GFD＝(3/7)(3/5)(1/4)△BCD
　　　　＝(3/7)(3/5)(1/4)(5/7)台形ABCD＝(9/196)台形ABCD
　　よって，196/9 倍

No.40119 - 2016/11/05(Sat) 14:11:53

☆ Re: 相似な図形 / 加藤

(2)よく解りません。

No.40120 - 2016/11/05(Sat) 14:28:02

☆ Re: 相似な図形 / ヨッシー

△ＢＣＤ＝(5/7)台形ＡＢＣＤ
△ＧＦＤ＝(1/4)△ＢＣＤ
△ＧＨＤ＝(3/5)△ＧＦＤ
△ＧＨＩ＝(3/7)△ＧＨＤ
という４つの関係が使われていますが、このうちどれが分かりませんか？

No.40121 - 2016/11/05(Sat) 16:01:41

☆ Re: 相似な図形 / 加藤

△ＧＨＩ＝(3/7)△ＧＨＤ　解りません。
△ＢＣＤ＝(5/7)台形ＡＢＣＤを三角形にして考えるのですか

No.40122 - 2016/11/05(Sat) 16:29:38

☆ Re: 相似な図形 / 関数電卓

図で，赤･青の数字は実際の辺の長さを表し，黒･緑の数字は辺の長さの比を表しています。

> △ＧＨＩ＝(3/7)△ＧＨＤ　解りません。
GH：AD＝1.5：2＝3：4　より，IG：ID＝3：4　∴ IG：DG＝3：7　∴ △IGH：△GDH＝3：7

> △ＢＣＤ＝(5/7)台形ＡＢＣＤを三角形にして考えるのですか
△ABD の面積＝△DCJ の面積だから，△DBJ の面積＝台形ABCD の面積
∴ △DBC＝(5/7)△DBJ＝(5/7)台形ABCD

No.40126 - 2016/11/05(Sat) 20:02:51

★ 中学 / 塾なし受験生　中三

√72n/7が自然数になる整数nの最も小さい値を求める問題の解説の「6√(2n/49)に変形できる」までわかりますが、「だからn=2×49」となる理由が分りません。

No.40112 - 2016/11/05(Sat) 09:09:00

☆ Re: 中学 / angel

√(72n)/7=6√(2n/49) じゃなくて √(72n)/7=√(6・6/49・2n) の方が分かり易いかもしれませんね。

まず、√ の中が自然数でなければ、√全体も自然数になりえませんから、√の中 6・6/49・2n が自然数になることを考えると、n は49の倍数です。

改めて n=49m と置くと、
　6・6/49・2n = 6・6/49・2(49m) = 6・6・2m
です。
√全体が自然数になるので、6・6・2m が平方数 ( 何かの整数の2乗 ) となっています。

ここで、平方数がどのような数か。
例えば 90^2=8100 であれば、
　8100=(2・2)・(3・3)・(3・3)・(5・5)
のように、同じ素因数が必ずペアになるものです。

では今回の 6・6・2m で考えた場合。6=2・3 は既にペアを作っていますから、残った2のペアを完成させる必要があります。
で、最小ということであれば他のペアは要りませんから、m=2 として
　6・6・2m = (6・6)・(2・2)
が最小になるということです。

なので、n の最小は n=49・2 です。

No.40118 - 2016/11/05(Sat) 12:48:46

☆ Re: 中学 / 塾なし受験生　中三

素因数のペアを作るという考え方を忘れていました。ありがとうございます。

No.40149 - 2016/11/07(Mon) 00:27:41