こんばんは。高校一年生です。
合同式の問題について、よく分からなかったので教えてください。
27^10を10で割ったときの余りを合同式を用いて求めよ。
27≡3(mod10)から始めるとどうやっていけばいいのでしょうか。
他に簡単なやり方があれば教えてください。
よろしくお願いいたします。
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No.40662 - 2016/12/03(Sat) 18:33:07
| ☆ Re: 合同式の問題 / noname | | | 正の整数Nを10で割った余りとはNの一の位の数のことです．よって，27≡7（mod.10）が成立します．ゆえに，
27^10≡7^10≡49^5≡9^5≡81^2・9≡1^2・9≡9（mod.10）
が成立します．
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No.40663 - 2016/12/03(Sat) 19:47:09 |
| ☆ Re: 合同式の問題 / noname | | | より一般に，n＝1,2,3,...に対して，
27^{n+4}-27^n
≡27^n・(27^4-1)
≡27^n・(7^4-1)
≡27^n・(49^2-1)
≡27^n・(9^2-1)
≡27^n・80≡0（mod.10）
が成り立つから，27^{n+4}と27^nの一の位の数は同じです．また，
27^1≡7（mod.10）
27^2≡7^2≡49≡9（mod.10）
27^3≡7^3≡49・7≡9・7≡63≡3（mod.10）
27^4≡7^4≡49^2≡9^2≡81≡1（mod.10）
であることから，27^nの一の位はnが変化する毎に7,9,3,1の順に周期的に変化することが言えます．
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No.40664 - 2016/12/03(Sat) 19:54:48 |
| ☆ Re: 合同式の問題 / ゆうり | | | > 正の整数Nを10で割った余りとはNの一の位の数のことです．よって，27≡7（mod.10）が成立します．ゆえに，
>
> 27^10≡7^10≡49^5≡9^5≡81^2・9≡1^2・9≡9（mod.10）
>
> が成立します．
すみません。間違えてました。
27≡3(mod10)でなく27≡7(mod10)ですね。
回答ありがとうございます。
わかりやすく説明してくださって助かります。
理解できました。
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No.40665 - 2016/12/03(Sat) 19:55:38 |
| ☆ Re: 合同式の問題 / ゆうり | | | > より一般に，n＝1,2,3,...に対して，
>
> 27^{n+4}-27^n
> ≡27^n・(27^4-1)
> ≡27^n・(7^4-1)
> ≡27^n・(49^2-1)
> ≡27^n・(9^2-1)
> ≡27^n・80≡0（mod.10）
>
> が成り立つから，27^{n+4}と27^nの一の位の数は同じです．また，
>
> 27^1≡7（mod.10）
> 27^2≡7^2≡49≡9（mod.10）
> 27^3≡7^3≡49・7≡9・7≡63≡3（mod.10）
> 27^4≡7^4≡49^2≡9^2≡81≡1（mod.10）
>
> であることから，27^nの一の位はnが変化する毎に7,9,3,1の順に周期的に変化することが言えます．
なるほど、面白いですね。
詳しく教えてくださりありがとうございます。
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No.40666 - 2016/12/03(Sat) 20:05:02 |
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