ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 京大文系 2012 4 図形と式 / むう

(p)の証明が解説を見ても分かりません。特に下線の部分です。教えてください

No.40472 - 2016/11/23(Wed) 07:06:58

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / むう

解説です

No.40473 - 2016/11/23(Wed) 07:07:52

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / むう

解説ぇす

No.40474 - 2016/11/23(Wed) 07:08:27

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / IT

短時間の試験ですから、もっとあっさりした証明でいいような気がします。
「（必要なら番号をつけ変えることにより）」とか、を書かなくてもいいと思います。
この解答は、ていねいであることで、かえって本質が見えにくくなっている気がします。

河合塾の解答例、青空学園の解答例程度でいいと思います。

http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/12/k01.html?sc_cid=bat_tokka
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2012/12ka05a.htm

No.40475 - 2016/11/23(Wed) 07:59:38

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / angel

それは実際に図を描いてみれば…ですね。

添付の図は正11角形ですが、ピザを切る時のように11個の三角形に分けると、1つ1つの中心部分の角度は 360°÷11 ですよね。

今は、このピザのピースを何個か集めて120°にできるだろうか、というのが問題です。
で、この正11角形だと、
　360°÷11×1
　360°÷11×2
　360°÷11×3
　…
のどれも120°になりません。なので、問題で問われていた「60°の角を持つ三角形」は作れないと分かります。

これを正n角形に一般化すると、
「360°÷n ×(整数)=120°になることがあるか?」
という話になるのです。

No.40476 - 2016/11/23(Wed) 08:05:16

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / IT

下線部のところをていねいに書くと

∠A[1]OA[k]=120°…(1)
A[1]A[2],..,A[n]は正ｎ角形なので ∠A[i]OA[i+1]=360°/n、i=1..n-1　…(2)
∠A[1]OA[k]=∠A[1]OA[2]+∠A[2]OA[3]+...+∠A[k-1]OA[k]…(3)
(2)(3)より　∠A[1]OA[k]=(k-1)360°/n …(4)
(1)(4)より　(k-1)360°/n＝120°…(5)　

となります。どこが分かりませんか？

No.40477 - 2016/11/23(Wed) 08:16:56

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / むう

お2方ありがとうございます。理解することが出来ました！

No.40483 - 2016/11/23(Wed) 13:20:41

★ 相似な図形　　中学 / takeda

（２）解説よろしくお願いします。

No.40467 - 2016/11/22(Tue) 18:00:58

☆ Re: 相似な図形　　中学 / みずき

きれいな解法ではないですが。

まず △AEB は直角二等辺三角形です。
簡単のため HD=x,EB=EA=y,EC=z とおきます。

△BEC は直角三角形なので三平方の定理から
(3+1)^2=z^2+y^2 (1)

△BDHと△BECは相似なので
3:y=x:z (2)

△ACBと△DCEは相似なので
(∵4点A,E,D,Bは同一円周上にあるので
∠EDC=∠BED+∠EBD=∠BAD+∠EAD=∠BAC)
y+z:1=4:z (3)

(2)から
z=xy/3 (4)

(4)を(1)に代入して
16=(xy/3)^2+y^2 つまり y^2=144/(x^2+9) (5)

(4)を(3)に代入し整理して
36=xy^2(x+3) (6)

(5)(6)から y^2 を消去し整理して
x^2+4x-3=0 よって HD=x=-2+√7

No.40468 - 2016/11/22(Tue) 20:13:46

☆ Re: 相似な図形　　中学 / angel

実は、今回はより少ない条件でも解が求められます。
取り敢えず HD=x としておきます。

∠A=45°であることから△ABEが直角二等辺三角形でAE=BE
そのため2つの直角三角形AEH,BECが合同です。
ここから AH=BC=4

次に相似な直角三角形BDH,ADCに着目します。
相似により、対応する辺の比 BD:DH=AD:DC ですが、
BD=3, DH=x, AD=AH+HD=4+x, DC=1

これにより、x(4+x)=3・1 ということで、方程式 x^2+4x-3=0 が導かれます。

No.40469 - 2016/11/22(Tue) 21:11:17

★ (No Subject) / ゆう

3,5お願いします

No.40466 - 2016/11/22(Tue) 14:12:15

☆ 問5 / angel

問5
まず前提として、z^n=1 の解は 1 の n乗根、cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n) ( k=0,1,…,n-1 ) で、全部でn個あります。

それを踏まえて

(1)
整理すると (z^3-1)^2=0 なので、z の解は 1 の3乗根。ということで cos(2kπ/3)+isin(2kπ/3) (k=0,1,2) を計算

(2) (3)でのm=0 のケースなので省略

(3) z^(3n)+1/z^(3n)=z^(n+1)+1/z^(n+1) を整理して
　(z^(4n+1)-1)(z^(2n-1)-1)=0
これに n=3m+2 を代入して
　(z^(3(4m+3))-1)(z^(3(2m+1))-1)=0
よって解は、1 の 3(4m+3)乗根と 3(2m+1) 乗根
4m+3 と 2m+1 は互いに素であるため、3(4m+3), 3(2m+1) の最大公約数は 3
ここから、1 の3(4m+3)乗根と 3(2m+1)乗根とでは、1の3乗根の3個が重複していることが分かる。
解の個数は、それぞれの根の個数から重複分を引いて
　3(4m+3)+3(2m+1)-3=9(2m+1)

No.40470 - 2016/11/22(Tue) 22:19:54

☆ 問3 / angel

まず、(0,0,1), (p,1,0), (2p,0,-1) の3点を通る平面αの方程式は、x/p+z=1 です。ということを踏まえて。

(1)
S: x^2+y^2+(z-1)^2=4 と xy平面 ( 平面z=0 ) との交わりKは、円 x^2+y^2+(0-1)^2=4 すなわち、x^2+y^2=3 です。
そのため、中心は原点、半径は√3

次にKとαの交点ですが、先にαとxy平面の交わりを求めると、x/p+0=1 から x=p
よって、Kとαの交点は、xy平面上での Kとx=p の交点に他なりません。なので、(p,±√(3-p^2))
※0＜p＜√3 なので、必ず2交点ができる

(2)
平面αは、球面Sの中心(0,0,1)を含むため、Sとαの交わりはSの大円 ( Sと半径が一致する円 ) で、半径は 2 です。
(1)の結果から、Sとαの交わりと、更にxy平面との交点は (p,±√(3-p^2))、今 p=√2 の場合は (√2,±1) であり、この2交点間の距離は2です。

ということは、Sとαの交わりの円とxy平面の交わりでできる弦は長さ2であり、( 円の半径も2であることから ) z≦0 ( xy平面より下 ) の部分の弧の中心角はπ/3

結局、問題の領域は、半径2、中心角π/3の扇形から、1辺の長さ2の正三角形を取り除いたものとなり、面積は 2π/3-√3

No.40471 - 2016/11/22(Tue) 22:50:09

★ (No Subject) / 勉強生徒

ベクトルの問題で質問があります。問題と解答は添付画像に記してあります。
解答部分で赤線を引いてあるところが疑問です。

赤線?@ではなぜベクトルＯＱ⒦＝a⒦ベクトルｌと置くことができるのでしょうか？

赤線?Aではなぜa⒦＝（a⒦、b⒦×（cos,sin）と置くことができるのでしょうか？

No.40458 - 2016/11/21(Mon) 20:01:54

☆ Re: / 勉強生徒

ノートの続きです

No.40459 - 2016/11/21(Mon) 20:02:53

☆ Re: / angel

?@
Qが直線l上にあることと、直線lが原点を通ることから言えます。
※原点を通る直線 l 上の点の位置ベクトルは、l の方向ベクトルの実数倍になるのです。

?A
その赤線の3行上に「a(k)=ベクトルOP(k)・ベクトルl」という式がありますね。
それを成分表示に替えた式です。

No.40460 - 2016/11/21(Mon) 21:28:22

☆ Re: / IT

angel さんへ横から失礼します。
> ?@
> Qが直線l上にあることと、直線lが原点を通ることから言えます。
> ※原点を通る直線 l 上の点の位置ベクトルは、l の方向ベクトルの実数倍になるのです。

ここまでは、分りますが、 a[k]倍になるのはなぜ言えるのでしょうか？　
a[k]は、最初に与えられた実数列と見えます。

＃質問者の投稿画像の文字（特にアルファベット）が　判別しづらいので　誤読しているかも知れません。

No.40462 - 2016/11/21(Mon) 21:54:03

☆ Re: / angel

> ここまでは、分りますが、 a[k]倍になるのはなぜ言えるのでしょうか？

あ!
ごめんなさい、最初の実数列の a(k) と、「ベクトルl のa(k)倍」とで、a が被っているの、すっかり失念していました。

同じものだとすると意味が通らないですね。逆に後者の a(k) をα(k) など、別の文字に置き換えれば意味が通ります。( というか、そのように自動的に読み替えていたようです )

No.40463 - 2016/11/21(Mon) 23:45:23

☆ Re: / IT

勉強生徒さんが、解答を転記ミスしておられるようですね

>赤線?@ではなぜベクトルＯＱ⒦＝a⒦ベクトルｌと置くことができるのでしょうか？

ＯＱ⒦＝α(k)ベクトルｌ　

>赤線?Aではなぜa⒦＝（a⒦、b⒦×（cos,sin）と置くことができるのでしょうか？
　α(k)＝（a⒦、b⒦)・(cosθ,sinθ）

などとすべきですね。

No.40464 - 2016/11/22(Tue) 00:16:30

☆ Re: / 勉強生徒

あよくよくみるとa⒦だと思っていた部分がα(k)
でした。a⒦ってＰ⒦のｘ座標なのになんでベクトルＬとそんな関係が成り立つのか不思議でしたがα(k)ってことはとりあえず置いた文字でa⒦とは関係ないですね。とりあえず納得できたと思います。

ありがとうございました。
これから解きなおすのでもしかしたらまた質問させていただくかもしれませんがその時はよろしくお願いします。

No.40465 - 2016/11/22(Tue) 00:31:20

★ (No Subject) / ゆう

平面上に同心円C,C'があり、半径をそれぞれr,1(0<r<1)とする
（１）C'に内接しCに外接する正三角形の１辺の長さとrの値を求めよ
（２）C'に内接するどのような鋭角三角形Cと共有点を持つようなrの取り得る値の範囲を求めよ

No.40457 - 2016/11/21(Mon) 19:54:26

☆ Re: / angel

(1)
これは図を描きましょう。
正三角形の1辺の長さは√3、正三角形に内接するCの半径は r=1/2

(2)
(1)の時がrの最小なので、1/2≦r＜1

…だと流石に手抜きなので一応。
三角形をPQRとすると、「Cと三角形が共有点を持つ」というのは、Cが、PQ,QR,RPいずれかの辺と共有点を持つということになります。

ここで、辺の1つQRに着目すると、円の中心からの距離は cosP です。( 円周角Pに対し、中心角2Pとなることに注意 )
そのため、QRと円が共有点を持つ条件は r≧cosP です。

他の辺も同様なので、結局円と三角形が共有点を持つのは、
　r≧cosP または r≧cosQ または r≧cosR
　⇔ r≧mim(cosP,cosQ,cosR)
　⇔ r≧cos(max(P,Q,R)) ※cosは角が大きいほど値が小さくなる
max(P,Q,R)の最小値は P=Q=R となる時の60°、つまり(1)の状況になるのです。

No.40461 - 2016/11/21(Mon) 21:41:10

★ 解けなくて困っています。 / さいん

科甲の問題なんですけどいくら考えてもわかりません。
解法とかネットで調べても出てこなくて困っています。
数学的に解くにはどうすれば良いのでしょうか。

No.40450 - 2016/11/20(Sun) 23:46:48

☆ Re: 解けなくて困っています。 / さいん

問題です。

No.40451 - 2016/11/20(Sun) 23:47:27

☆ Re: 解けなくて困っています。 / みずき

Pizza theorem ですね。↓
https://en.wikipedia.org/wiki/Pizza_theorem

右の上から2個目の図が
Proof without words for 8 sectors
と書いてあります。

日本語では
『ピーター・フランクルの中学生でも分かる
大人が解けない問題集』
に載っていたような記憶があります。

No.40452 - 2016/11/21(Mon) 00:02:09

☆ Re: 解けなくて困っています。 / さいん

有難うございます！助かりました！

No.40453 - 2016/11/21(Mon) 00:12:14

★ 積分 / 酵母菌

(1)放物線y=2+2x-x^2とx軸で囲まれる図形の面積を直線y=mx+2が2等分するようなmの値を求めよ。
mが正の場合と負の場合とで分けて考えるのでしょうか？
(2)放物線y=-x^2+2x上の点P(t,-t^2+2t)における接線lと放物線y=x^2とで囲まれた部分の面積の最小値を求めよ。
添付画像のところまで解いたのですが、ここからどうすれば良いのかわかりません。
上記の事を教えていただきたいです。よろしくお願い致します。

No.40448 - 2016/11/20(Sun) 22:52:51

☆ Re: 積分 / 酵母菌

画像が見にくいですね…

No.40449 - 2016/11/20(Sun) 22:55:24

☆ Re: 積分 / angel

(2) もう解けたも同然だと思いますよ。
あー…、ただ惜しいことにちょっとミスがあります。

Sを件の面積だとして、S=1/6・(8t-8t+4)^3 のところ、3乗じゃなくて 3/2乗ですね。途中まではちゃんと 3/2乗なので、惜しいところです。

で、S=1/6・(8t^2-8t+4)^(3/2) と分かっていて、() の中身の t の2次式は t=1/2 で最小値を取ることも突き止めている ( 画像の最後の平方完成 )
であれば、8t^2-8t+4 の t=1/2 の時の値、2 を使って S=1/6・2^(3/2) を計算して終わりです。

なお、( 面積を計算して正の値が出る以上 ) 自明ではあるのですが、接線とy=x^2とが交点を持つことは、ちゃんと言っておく必要があると思います。

No.40454 - 2016/11/21(Mon) 00:12:17

☆ Re: 積分 / angel

(1) 場合分けは特に必要ありません。
添付の図のように、まず分かり易い所で線を引いて、どっちの方が大きいかを考えてみます。今回は右上の方が小さいです。

そしたら、半分の面積になるように境界線をずらすことを考えます。面積の変化は三角形で考えることができます。

なお、添付の図のグラフは適当に描いているので、答えとは合っていません。( 答えに合わせると非常に微妙な図になってしまうので… )

No.40455 - 2016/11/21(Mon) 00:39:52

★ 約数の個数 / 雪

ｐを素数、ｎを正の整数とする。(ｐ^ｎ)！はｐで何回割り切れるか。

自分の考え方のどこが間違えているのかがわからないので教えてください。

ｐで1回割り切れるのはｐ^ｎ－ｐ、ｐ^－２ｐ、…ｐ^ｎー(ｐ－１)ｐのｐー１個、ｐで2回割り切れるのはｐ^ｎーｐ^２、ｐ^ｎー２ｐ^２…ｐ^ｎー（ｐ－１）ｐ^２のｐ－１個、…ｐでｎー１回割り切れるのはｐ^ｎーｐ^(ｎー１)、ｐ^ｎー２ｐ^（ｎー１）…ｐ^ｎー(ｐ－１)ｐ^(ｎー１)のｐー１個なので、１・（ｐ－１）＋２・（ｐ－１）＋…＋（ｎー１）・（ｐ－１）＋ｎを計算して答えになると思ったんですが、全然違いました。どこが間違えているんでしょうか。

No.40443 - 2016/11/20(Sun) 18:17:21

☆ Re: 約数の個数 / angel

> ｐで1回割り切れるのは ( 中略 ) のｐー１個
ここが違います。もっと多いです。

例えば、p=3,n=4 の 81! で考えてみると、
1～81 までかけている中で、3で1回だけ割り切れるのは、

　3,6,　12,15,　21,24,　30,33,　39,42,　48,51,　57,60,　66,69,　75,78

の18個です。p-1より断然多いです。
この18がどこから出たかと言えば、81÷3-81÷9 ですね。

1回割り切れる場合以外でも似たような計算になります。

No.40444 - 2016/11/20(Sun) 18:29:41

★ (No Subject) / ゆう

4,5,6
お願いします！

No.40436 - 2016/11/20(Sun) 14:21:23

☆ 問4 / angel

問4.
答えは n=3 のみです。

まずΣを計算して、条件は「2^(n-1)・(2^n+1) が平方数」と同値と分かります。
そのため、2の素因数に着目すると、2^n+1 が奇数のため、2^(n-1) で2の素因数が偶数個、すなわち n が奇数。
同時に、2^n+1 が平方数です。

2^n+1 が平方数かつ奇数なので、(2k+1)^2 と置くと、

　2^n+1 = (2k+1)^2
　⇔ 2^n+1 = 4k(k+1)+1
　⇔ 2^(n-2) = k(k+1)

左辺は素因数を2以外に含まない点、右辺の項 k, (k+1) はどちらかが奇数であることから、その奇数の項は 1 であることが必要です。
k+1=1 では k(k+1) の値が 0 になって不適なので、k=1、この時 n=3 です。( これはちゃんと「nが奇数」も満たしています )

No.40441 - 2016/11/20(Sun) 16:52:02

☆ Re: / ゆう

ありがたいです
5、6もお願いできますか？

No.40442 - 2016/11/20(Sun) 17:42:28

☆ 問5 / angel

問5.
※小文字エルは見辛いので、大文字エルで代用します
(x,y)を極座標表現すると、(e^(aθ),θ)のため、曲線Cの方程式は r=e^(aθ) (0≦θ≦t) です。
なので、S,Lは淡々と次の積分計算を行います。

　L=∫[0,t] r・dθ=∫[0,t] e^(aθ)・dθ=1/a・(e^(at)-1)
　S=∫[0,t] 1/2・r^2・dθ=1/2・∫[0,t] e^(2aθ)・dθ=1/(4a)・(e^(2at)-1)

一旦 e^(at)=w と置きます ( e^(2at)=w^2, a,tが正であることから w＞1 )
すると、

　L=1/a・(w-1)
　S=1/4a・(w^2-1)

S=L^2 からまとめると、w=(4+a)/(4-a) なお、w＞1 ですから分母 4-a＞0 を満たしています。

で、w=e^(at) で戻します。

　e^(at)=(4+a)/(4-a)
　⇔ at=log( (4+a)/(4-a) )
　⇔ t=1/a・( log(4+a)-log(4-a) )

これで t が分かりました。極限 lim[a→+0] t ですが、
f(x)=log(4+x) ( x＞-4 ) という関数を導入して考えます。この導関数は f'(x)=1/(4+x) です。

ここから微分係数の定義に立ち返って、
　lim[x→0] ( f(x)-f(0) )/x=lim[x→0] (f(0)-f(-x))/x=f'(0)
よって、2つを足し合わせて
　lim[x→0] ( ( f(x)-f(0) )/x + (f(0)-f(-x))/x )=2f'(0)=1/2
　⇔ lim[x→0] (f(x)-f(-x))/x=1/2
　⇔ lim[x→0] 1/x・(log(4+x)-log(4-x))=1/2
この左辺は lim[a→+0] 1/a・(log(4+a)-log(4-a)) と等しくなりますから、lim[a→+0]t=1/2
※両側極限があるなら、片側極限も同じ値

No.40445 - 2016/11/20(Sun) 18:57:33

☆ 問6 / angel

問6.
なかなか一筋縄ではいかないので、w=cosθ+isinθ と置いてまとめます。

まず、平行四辺形の構成から z=1+w
1/z^2 の存在範囲を考える以上、z≠0 なので、w≠-1
w=cosθ+isinθ ( -π＜θ＜π ) と置くことができます。

この時、
　z=1+w
　=(1+cosθ)+isinθ
　=2(cos(θ/2))^2+2isin(θ/2)cos(θ/2)
　=2cos(θ/2)( cos(θ/2)+isin(θ/2) )

よって、
　z^2=4(cos(θ/2))^2・(cosθ+isinθ)=2(1+cosθ)・(cosθ+isinθ)
　1/z^2=1/( 2(1+cosθ) )・(cosθ-isinθ)
ということで、1/z^2 の満たす条件を極方程式で表すと、
　r=1/( 2(1+cos(-θ)) )=1/(2(1+cosθ))
　⇔ r+rcosθ=1/2

1/z^2=x+iy と置く時 ( r=√(x^2+y^2) )、x=rcosθのため、
　r+rcosθ=1/2 ⇔ r=1/2-x

ということで、1/z^2=x+iy の描く軌跡は、原点を焦点、x=1/2 を準線とする放物線 x=1/4-y^2

No.40446 - 2016/11/20(Sun) 19:14:16

☆ Re: / ゆう

5ですか極方程式の積分を使わずにそのまま媒介変数θの積分をすることは可能ですよね？
計算がすごく煩雑になるのですが
S=(1/2)e^(2at)sintcost+1/2∫[t→0]e^(2at)(asin2θ＋cos2θ-1)dθとなりました
これはあっていますかね？
またこの積分だと　同型出現型でかなり計算量膨らみますよね・・・

No.40447 - 2016/11/20(Sun) 22:48:24

☆ Re: / angel

> 5ですか極方程式の積分を使わずにそのまま媒介変数θの積分をすることは可能ですよね？

はい。それは可能です。
極座標でやるよりちょっと面倒ではありますが…、結果的には同じ 1/2・∫[0,t] e^(2aθ)・dθ が導かれます。

なお、計算の過程は次のような感じになります。

S=1/2・∫[0,t]|xdy/dθ-ydx/dθ|dθ
　=1/2・∫[0,t]|e^(aθ)・cosθ・e^(aθ)・(asinθ+cosθ)-e^(aθ)・sinθ・e^(aθ)・(acosθ-sinθ)|dθ
　=1/2・∫[0,t]|e^(2aθ)・( cosθ(asinθ+cosθ)-sinθ(acosθ-sinθ) )|dθ
　=1/2・∫[0,t] e^(2aθ)・dθ

No.40456 - 2016/11/21(Mon) 01:09:03

★ 数列 / ゆう

√nの整数部分をp[n]とするとき,
a[n]=n-(p[n])^2で定義される数列a[n]について,a[n]=50となる最小のnの値Nを求めよ.また、数列a[n]の初項から第N項までの総和を求めよ

お願いします

No.40434 - 2016/11/20(Sun) 14:19:16

☆ Re: 数列 / みずき

小さいnで様子を調べてみます。

n:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,...
p[n]:1,1,1,2,2,2,2,2,3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4,...
a[n]:0,1,2,0,1,2,3,4,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0,...

kを正の整数とします。
nがk^2以上(k+1)^2未満であるとき
k≦√n＜k+1なのでp[n]=k
a[n]=n-k^2は0以上2k+1未満の値を取ります。

前半部分：
n=(k+1)^2-1のときを調べればよく
(a[n]=)2k=50を解くとk=25だからN=26^2-1

後半部分：
Σ[n=1,N]a[n]
=(0+1+2)+(0+1+2+3+4)+・・・+(0+1+2+・・・+50)
=Σ[k=1,25](1+2+・・・+2k)
=Σ[k=1,25]k(2k+1)
=・・・（以下略）

No.40439 - 2016/11/20(Sun) 15:23:40

★ 2変数のマクローリン展開 / りんご

このマクローリン展開の過程を知りたいです。

No.40426 - 2016/11/19(Sat) 15:49:31

☆ Re: 2変数のマクローリン展開 / angel

今回、ほとんどの項が0になって消えますからねえ…。
具体例は http://mathtrain.jp/multitaylor あたりを参考にされると良いのではないでしょうか。

f(x,y)=ylog(1+x) として、x=y=0 における偏導関数の値を fx ( ∂f(x,y)/∂x ) とか fxy ( ∂^2(f(x,y))/∂x∂y ) とか表すことにすると、

　1/2!・2・fxy・xy + 1/3!・3・fxxy・x^2・y + (4次以上)

となっています。( その他は全て 0 で消える )

一般的には

　f
　+ 1/1!・( fx・x + fy・y )
　+ 1/2!・( fxx・x^2 + 2fxy・xy + fyy・y^2 )
　+ 1/3!・( fxxx・x^3 + 3fxxy・x^2・y + 3fxyy・xy^2 + fyyy・y^3 )
　+ …

というような計算になります。

No.40428 - 2016/11/19(Sat) 18:05:11

☆ Re: 2変数のマクローリン展開 / りんご

解決しました！

No.40429 - 2016/11/19(Sat) 22:26:24

★ 共通部分の基底について / りんご

(17)の解き方がわかりません

No.40423 - 2016/11/19(Sat) 13:16:00

☆ Re: 共通部分の基底について / angel

※縦で書くのが大変なので、ベクトルを [a,b,c,d] のように横に書きます。

W1 は書き換えると W1={ [x1,x2,x3,x4]=p[1,2,3,4]+q[4,3,2,1] } のように、基底の線型和で部分空間を表す形式、
W2 は W2={ [x1,x2,x3,x4] | x1+x2+x3+x4=0, 3x1-2x2-2x3+3x4=0 } と、方程式で表す形式です。

であれば、共通部分W1∩W2は、両者をミックスさせて

W1∩W2={ [x1,x2,x3,x4]=p[1,2,3,4]+q[4,3,2,1] | x1+x2+x3+x4=0, 3x1-2x2-2x3+3x4=0 }

とすることができます。
x1～x4の条件を示す方程式は、p,qの方程式へと書き換えられますから、それでp,qどちらかを消すことで、1次元の空間が出てきます。

No.40424 - 2016/11/19(Sat) 13:48:21

☆ Re: 共通部分の基底について / りんご

ありがとうございました！

No.40425 - 2016/11/19(Sat) 13:56:16

★ (No Subject) / アンドロイドは電気羊

高1です。解説が書いてありません。

No.40413 - 2016/11/18(Fri) 20:54:06

☆ Re: / アンドロイドは電気羊

なぜsinθ+cosθの範囲が-ルート2からルート2になるか教えてください。

No.40414 - 2016/11/18(Fri) 20:55:22

☆ Re: / angel

三角関数の合成というやつです。教科書等でも確認してください。

sin(π/4)=cos(π/4)=1/√2 ですから、

　sinθ+cosθ
　= √2・(sinθ・1/√2 + cosθ・1/√2 )
　= √2・(sinθcos(π/4)+cosθsin(π/4))
　= √2・sin(θ+π/4)

sin(θ+π/4) は -1～1 の範囲ですから、sinθ+cosθはその√2倍の範囲になるということです。

No.40415 - 2016/11/18(Fri) 21:08:52

☆ Re: / アンドロイドは電気羊

なるほど！　ありがとうございます。
ちなみに答えの求め方はどんなふうになりましたか？

No.40416 - 2016/11/18(Fri) 21:39:27

☆ Re: / angel

(sinθ+cosθ)^2
=(sinθ)^2+(cosθ)^2+2sinθcosθ
=1+2cosθsinθ

t=sinθ+cosθ とするとき、-√2≦t≦√2
2sinθcosθ=t^2-1, 元の方程式は t^2+t+a-1=0

-√2≦t≦√2 にこの方程式が少なくとも1つ解を持つ条件が答え
f(t)=t^2+t+a-1 と置くと、( 平方完成すると f(t)=(t+1/2)^2+a-5/4 )
次のいずれかの条件を満たす時

* t=√2 を解に持つ: f(√2)=0
* t=-√2 を解に持つ: f(-√2)=0
* -√2＜t＜√2 に1つだけ解を持つ: f(√2)f(-√2)＜0
* -√2＜t＜√2 に2つ解を持つ ( 重解含む ):
f(√2)＞0 かつ f(-√2)＞0 かつ -√2＜-1/2＜√2 かつ a-5/4≦0

整理してまとめて -1-√2≦a≦5/4

最終的には、2次方程式の解の存在条件の問題になる、ということです。

No.40417 - 2016/11/18(Fri) 22:20:53

★ (No Subject) / 大輝

［1］だけお願いします

No.40410 - 2016/11/18(Fri) 14:54:03

☆ Re: / ヨッシー

[1](1)

図は、ｎ＝３の時に対象となる格子点です。
個数を式で書くと
　{(2^3+1)－2^0}＋{(2^3+1)－2^1}＋{(2^3+1)－2^2}＋{(2^3+1)－2^3}
となります。一般のｎの場合は
　{(2^n+1)－2^0}＋{(2^n+1)－2^1}＋・・・＋{(2^n+1)－2^(n-1)}＋{(2^3+1)－2^n}
　＝(n+1)(2^n+1)－{2^0＋2^1＋・・・＋2^(n-1)＋2^n}
　＝(n+1)(2^n+1)－{2^(n+1)－1}
となります。

(2)

図のように、ｙが
１　のとき　格子点１個
２～３　のとき　格子点２個
４～７　のとき　格子点３個
　・・・
2^n～2^(n+1)－1 のとき　格子点ｎ＋１個
ｙ＝１からｙ＝2^n－1 までの個数Ｓn は
　Ｓｎ＝1・1＋2・2＋4・3＋・・・＋2^(n-1)・n　　・・・(i)
２倍して
　２Ｓn＝　　2・1＋4・2＋8・3＋・・・＋2^n・n　　・・・(ii)
(ii)－(i)
　Ｓn＝－{1＋2＋4＋8＋・・・＋2^(n-1)}＋2^n・n
　　＝1－2^n＋2^n・n
　　＝1＋(n－1)2^n
これが 2017 に近くなるｎを見つけると
　Ｓ8＝1＋7・256＝1793
　Ｓ9＝1＋8・512＝4097
なので、ｙ＝１からｙ＝５１１までで格子点は1793個。
ｙ＝2^9＝512 からは 10 個ずつ増えていくので
(以下略)

No.40411 - 2016/11/18(Fri) 16:02:05

★ 円と放物線の共通接線 / 中田健太

よろしくお願いいたします解けませんでした

No.40407 - 2016/11/18(Fri) 05:15:48

☆ Re: 円と放物線の共通接線 / X

(1)
条件からlの方程式は
x(√3)/2-y/2=1
∴y=x√3-2 (A)
lとC[2]との接点のx座標について
x√3-2=ax^2+1
∴ax^2-x√3+3=0 (B)
(B)はxの二次方程式で条件から
重解をもつので解の判別式を
Dとすると
D=3-12a=0
∴a=1/4
これを(B)に代入して
x=2√3
(A)に代入して
y=4
∴(s,t)=(2√3,4)

(2)
求める面積をSとすると(1)の結果により
S=∫[0→2√3]{{(1/4)x^2+1}-(x√3-2)}dx
=…

(3)
三角関数の積分を学習済みであると仮定して
回答します。
(学習済みでないなら、別解を提示しますので
その旨をアップして下さい。)
(A)より
x=(y+1)/√3
又(1)の結果によりC[1]の方程式は
y=(1/4)x^2+1
∴x≧0の部分について
x=2√(y-1)
これらと(1)の結果により、求める面積を
Sとすると
S=∫[-1/2→4]{(y+1)/√3}dy-∫[-1/2→1]√(1-y^2)dy
-∫[1→4]2√(y-1)dy
=…
(第二項の積分はy=cosθと置きましょう。)

No.40412 - 2016/11/18(Fri) 17:04:12