ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 積分(至急お願いします) / かめるん

写真の１３０番の問題ですが、両辺をｘで微分するとなぜ、Ｆ(ｘ)＝log2ｘ+1-1になるのかわかりません。ｘで微分するのに、Ｆ(ｔ)はどこへ行ったのですか？ｘで微分する過程を教えてください

No.40643 - 2016/12/02(Fri) 02:06:03

☆ Re: 積分(至急お願いします) / noname

第一の等式から第二の等式が導かれる際に「微分積分学の基本定理」が用いられています．実際，この定理より

d/dx(∫_[a,x]f(t)dt)＝f(x)

が成立し，一方で

d/dx(xlog(2x)-x)＝d/dx(xlog(2x))-1＝log(2x)+x・1/x-1＝log(2x)

が成立するから，第一の等式の両辺をxについて微分するとf(x)＝log(2x)が得られます．微分積分学の基本定理については，一度教科書や参考書などで復習されることを薦めます．

No.40651 - 2016/12/02(Fri) 23:16:18

☆ Re: 積分(至急お願いします) / IT

数研の教科書「高等学校数学?V」では「微分積分学の基本定理」とは書いてなくて「定積分と導関数」としています。

かめるんさんがお持ちの教科書の「定積分」のところを確認されると良いと思います。

No.40655 - 2016/12/03(Sat) 00:35:42

★ (No Subject) / マーク

画像の問題でいくつか分からない点があるので、教えて下さい。お願いします。
1.赤で囲んである部分は何を求めようとしているのですか？
2.青で囲んである部分は、なぜそうなるのですか？√(-1)^2＋2^2 じゃないのですか？
3.赤青で囲んである部分は、根本的に何でそうなるか分かりません。2y-5はどこからきたのでしょう？

No.40631 - 2016/12/01(Thu) 20:44:51

☆ Re: / X

1.
これは問題の二つの不等式がそれぞれ表す領域の
境界線である
円x^2+y^2=5
直線y=2x
の交点のx座標を求める為の計算です。

2.
いいえ
2y-x=k
より
x-2y+k=0
ですので
√{1^2+(-2)^2}
で正しいです。

3.
これは直線
2y-x=k (A)
が領域の境界線に接するときの
kの値である
k=5 (B)
に対する接点のy座標を
求める計算です。
(B)のとき(A)より
x=2y-5
です。

No.40633 - 2016/12/01(Thu) 21:06:24

☆ Re: / マーク

ありがとうございました！！！

No.40636 - 2016/12/01(Thu) 21:33:48

★ 確率 / おまる

いつもお世話になっております。
問題の解答でわからないところがあるので教えて欲しいです。
次の問題の解答で、赤線部がどのように考えているのかがわかりません。
よろしくお願いします。

No.40623 - 2016/12/01(Thu) 14:57:56

☆ Re: 確率 / おまる

解答です

No.40624 - 2016/12/01(Thu) 14:58:24

☆ Re: 確率 / angel

まず
　Σ[k=1,n-2] 8/243・(7/9)^(n-3)
これは、上で
　「k日後に初めて出会って ( そこから1日以上ずっと会わず ) n日後に出会う」
の k を動かしたときの合計を表しています。

kの範囲に関しては、「1日以上会わない日が間にある」ことから、n-2までとなっています。
なお、Σの式の中に k が出てこないことに違和感をひょっとしたら感じるかもしれませんが、それは k を変化させても個々の確率が変わらないためです。

続いて
　2/9・(7/9)^(n-2)・1/3
は、「(初めはずっと会わず) n-1日後、n日後と2連続会う」確率です。間に会わない日を挟んでいないので、計算が別になります。

この2パターン分を合計したのが求める確率となっています。

No.40638 - 2016/12/01(Thu) 22:18:38

☆ Re: 確率 / おまる

ご回答ありがとうございました。
とてもわかりやすかったので理解しやすかったです。

No.40647 - 2016/12/02(Fri) 11:05:33

★ (No Subject) / €

4次方程式 x^4+2ax^2+a+6 が異なる4つの実数解をもつような実数の定数aの値の範囲を求めよ。よろしくお願いします。

No.40621 - 2016/12/01(Thu) 09:29:56

☆ Re: / X

>>x^4+2ax^2+a+6
を
x^4+2ax^2+a+6=0
のタイプミスとみて方針を。

x^2=t
と置くと問題はtの二次方程式
t^2+2at+a+6=0 (A)
が異なる二つの正の解を持つような
aの値の範囲を求めることに帰着します。
よって(A)の解をα、βとすると
解と係数の関係から
α+β=-2a＞0 (B)
αβ=a+6＞0 (C)
また、(A)の解の判別式をDとすると
D/4=a^2-(a+6)＞0 (D)
(B)(C)(D)を連立して解きます。

No.40626 - 2016/12/01(Thu) 18:44:41

☆ Re: / €

ありがとうございます。

No.40639 - 2016/12/01(Thu) 22:38:04

★ (No Subject) / €

x^3+(2m-1)x^2+(m+1)x-m+3=0 が、1つの実数解と異なる2つの虚数解をもつとき、mのとりうる値の範囲を求めよ。
よろしくお願いします。

No.40620 - 2016/12/01(Thu) 09:28:16

☆ Re: / X

方針を。

問題の方程式から
x^3-x^2+x+3+(2x^2+x-1)m=0
(x+1)(x^2-2x+3)+(2x-1)(x+1)m=0
(x+1){x^2-2(1-m)x+3-m}=0
よって題意を満たすためにはxの二次方程式
x^2-2(1-m)x+3-m=0 (A)
が虚数解を持てばいいので、(A)の解の
判別式をDとすると
D/4=(1-m)^2-(3-m)＜0
これをmの不等式として解きます。

No.40627 - 2016/12/01(Thu) 18:49:34

☆ Re: / €

ありがとうございます。

No.40640 - 2016/12/01(Thu) 22:39:14

★ (No Subject) / マーク

すみません。画像の問題が分かりません。教えて下さい_(._.)_

No.40618 - 2016/12/01(Thu) 06:39:43

☆ Re: / X

添付されている図に既に解答が書かれていますが、
この解答のどこからが分かりませんか？

No.40628 - 2016/12/01(Thu) 18:51:31

☆ Re: / マーク

画像の赤でカッコしている部分が根本的に何をしているか分かりません。

No.40630 - 2016/12/01(Thu) 20:27:12

☆ Re: / X

条件から
線分BB'⊥直線x-2y+6=0
∴線分BB'の傾きは-2

又、線分BB'の中点は
直線x-2y+6=0
の上にあります。

以上のことを踏まえてもう一度赤カッコ
の中の式の意味を考えてみて下さい。

No.40632 - 2016/12/01(Thu) 20:53:41

☆ Re: / マーク

恐らく、もともとはこういう形だったのでしょうが、なぜ-1が右辺に出てくるのですか？

No.40634 - 2016/12/01(Thu) 21:15:31

☆ Re: / X

一般に二つの直線
y=ax+b
y=cx+d
が垂直になっているとき、傾きa,cについて
ac=-1
が成立します。

このことを踏まえてもう一度ご質問の式を
参照してみて下さい。

No.40635 - 2016/12/01(Thu) 21:19:21

☆ Re: / マーク

やっと出来ました！
ありがとうございました！

No.40637 - 2016/12/01(Thu) 21:34:33

★ 円周上の扇形の中心角 / たけほうき

シンプルな問題なのですが解法が分かりません。

半径rの円周上に3点A, B, Cを取る。
扇形ABCの面積が円の面積の1/3となるときの扇形の中心角を求めよ。
※但し、円の中心をOとするとき、AO=BO=COとする。

---------------------------------------
扇形中心角の頂点を点Aとする。
求める中心角をθとする。
点Aから見て点B側の半円で考えてみる。
・(半円の面積)*1/3=(πr^2)/6…?@

・(三角形AOBの面積)=1/2*r^2*sinθ…?A

直線AOと円周の交点をEとする。
・(扇形OBEの面積)=π*r^2*θ/(2π)…?B

ここで、?A+?B=?@より
sinθ+θ=π/3…?C
となりますが、この方程式が解けません。
何か他のやり方があるのでしょうか。
---------------------------------------

No.40617 - 2016/12/01(Thu) 06:34:25

☆ Re: 円周上の扇形の中心角 / たけほうき

問題文注釈に間違っていました。
※中心角を点Aで定義するとき、線分AB=ACとする。
が正しいです。

No.40619 - 2016/12/01(Thu) 06:45:01

☆ Re: 円周上の扇形の中心角 / X

他のやり方云々以前に計算が間違っています。
問題文から下のような図が描けていますか。
(ちなみにたけほうきさんが計算で
用いられた点Eも参考のため図に
描き込んでおきました。)
この図から扇形ABCの半径ABを
円周の半径r
と
扇形ABCの中心角θ
を用いて表すことを考えると
面積の条件から最終的に
θ(1+cosθ)=π/3
が導かれます。
しかし、これを解く場合は
近似解しか得られません。
(問題文に誤りはありませんか？)

No.40629 - 2016/12/01(Thu) 19:20:55

☆ Re: 円周上の扇形の中心角 / たけほうき

ご回答ありがとうございます。図まで用意して頂いて感激です。
恥ずかしながら、扇形を何となく定義していました。弧の部分は当然円弧ですね。
いえ、本問題は知人からの出題だったので、正確な答えが無くても構いません。近似解しか得られないという答が答だと思われます。

No.40645 - 2016/12/02(Fri) 05:58:23

☆ Re: 円周上の扇形の中心角 / X

もう見ていないかもしれませんが、
扇形の面積が円の面積の1/3
ではなくて1/2であれば
θ=π/3,π/2
という結果が得られます。
参考までに。

No.40657 - 2016/12/03(Sat) 04:59:13

★ 一次関数中学 / ポップコーン

図のように、座標平面上に四点A,B,C,Dがある。
原点Oを通り、五角形OABCDの面積を二等分する直線が辺BCと交わる点をEとする。
B（３、√3）、角BOC＝30度のとき、
BE:ECを最も簡単な整数の比で表せ。

という問題です。
ちなみに、答えは、5:3です！

わかりやすい解説お願いします！

No.40613 - 2016/11/30(Wed) 23:59:19

☆ Re: 一次関数中学 / みずき

B(3,√3)なので△OABは30度60度90度の三角形です。
また、このことから△OCDも30度60度90度の三角形です。
これらのことから、辺の長さが次々と分かります：
OB=2√3,BC=2,OC=4,DC=2,OD=2√3
BE+EC=2　(1)

Eの定義から
[△OAB]+[△OBE]=[△OEC]+[△OCD]
(1/2)×3√3+(1/2)×BE×2√3=(1/2)×EC×2√3+(1/2)×2×2√3
これを整理すると
BE-EC=1/2　(2)

(1)(2)から BE=5/4,EC=3/4 です。

No.40614 - 2016/12/01(Thu) 00:46:11

★ (No Subject) / まる

すみません！質問よろしいですか？非常に簡単かもしれないんですが、積分の初歩的なところがわからなくてこれ教えて欲しいんですけどよろしいですか？

No.40609 - 2016/11/30(Wed) 21:04:28

☆ Re: / X

問題の等式を(A)とします。
(1)
(A)においてsin(t-x)を加法定理を用いて展開しましょう。

(2)
一般に関数g(x)に対し
(∫[0→x]g(t)dt)'=g(x)
となることと積の微分を使って
(1)の結果を微分してみましょう。

(3)
(2)の結果をさらに微分してその結果を使って
(1)の結果から定積分の項を消去してみましょう。

(4)
(3)の結果をf(x)についての微分方程式として解きます。
その際(A)と(2)の結果にx=0を代入して
初期条件となるf(0),f'(0)の値を求めましょう。

No.40611 - 2016/11/30(Wed) 21:30:40

☆ Re: / まる

んんん。なんか最初のところから手こずってる。。すみません。

No.40612 - 2016/11/30(Wed) 23:35:26

☆ Re: / まる

加法定理施すのはどこで施せば？

No.40615 - 2016/12/01(Thu) 01:10:01

☆ Re: / X

f(t)sin(t-x)=f(t)(sinxcost+cosxsint)
=f(t)sinxcost+f(t)cosxsint
ということです。
ここでsinx,cosxは定積分のパラメータ
であるtに対しては定数ですので…

No.40616 - 2016/12/01(Thu) 04:28:36

☆ Re: / まる

あっなるほど！わかりました！ご丁寧にどうもありがとうございした！

No.40625 - 2016/12/01(Thu) 17:13:28

★ (No Subject) / くるみ

?刀m0→π］（nsinx-cosnx）dxの値と
?刀m0→π］（nsinx-cosnx）^2dxを計算して特にnが偶数であるときの値を求めてください

No.40607 - 2016/11/30(Wed) 20:46:45

☆ Re: / X

これは定積分の計算というより、定積分の計算後の
処理に対するご質問になります。
一般に任意の整数nに対し
cosnπ=(-1)^n
sinnπ=0
このときに注意して、まず問題の定積分を計算して
sinnπ,cosnπ
を使った式で表すことを考えます。

一問目)
cosnxの原始関数が分からないようであれば
(与式)=∫[0→π]nsinxdx-∫[0→π]cosnxdx
と分離して、第二項の定積分に対して
nx=t
と置いてみましょう。

二問目)
(nsinx-cosnx)^2=(nsinx)^2-2nsinxcosx+(cosnx)^2
=(n^2)(1-cos2x)/2-nsin2x+(1+cos2nx)/2
となりますので…
(cos2nxの定積分について、原始関数が分からない
場合は一問目と同様な分離の後に
2nx=t
と置いてみましょう。)

No.40610 - 2016/11/30(Wed) 21:12:15

★ (No Subject) / マーク

画像の問題で点線があると思いますが、これはy=x-kなのですか？だとしたら点線が2本ありますが、上の点線はy=x-kだとおかしくないですか？

No.40604 - 2016/11/30(Wed) 20:18:39

☆ Re: / X

>>これはy=x-kなのですか？
その通りです。
>>だとしたら点線が2本ありますが、
おかしくありません。
向かって左上の点線は
点(-2,4)を通るようなkの値に対する直線y=x-k
向かって左下の点線は
点(1,-2)を通るようなkの値に対する直線y=x-k
となっています。

No.40608 - 2016/11/30(Wed) 20:56:26

★ (No Subject) / マーク

なぜ、この方法で画像の問題が解けるのですか？
模範解答が分かりづらいので教えて下さると助かります。お願いします。

No.40600 - 2016/11/30(Wed) 19:30:09

☆ Re: / noname

説明の都合上，円x^2+y^2-2x+4y-4＝0と円x^2+y^2-8x-4y+a＝0をそれぞれC_1,C_2とします．C_1とC_2が異なる2点で交わる場合を絵を描いて考えてみると，

?@C_1の中心がC_2の外側にある場合
?AC_1の中心がC_2の内側にある場合

の2つの場合があることが分かるかと思います．?@の時では，

(C_1とC_2の中心間の距離)＜(C_1の半径)+(C_2の半径)

が成立する必要があり，?Aの時では

(C_2の半径)＜(C_1の半径)+(C_1とC_2の中心間の距離)

が成立する必要があります．それぞれの不等式を用いると，2＜√(20-a)＜8という不等式が得られます．

No.40648 - 2016/12/02(Fri) 17:11:15

☆ Re: / noname

念の為，?@,?Aのそれぞれの場合でのC_1とC_2の位置関係に関する図を与えておきます．

※青線で描かれた円はC_1，赤線で描かれた円はC_2です．特にC_2の図に関してはa＝10,-20の場合のものが描かれています．

No.40649 - 2016/12/02(Fri) 17:14:02

★ (No Subject) / noname

円に内接する正三角形ABCがあり、孤BCの中点をDとする。孤AB上に点Pをとり、PCとABの交点をQ、PDとABの交点をRとする。このとき、AQ×BR＝RQ×ABが成り立つことの証明をしてください。

No.40596 - 2016/11/30(Wed) 17:43:29

☆ Re: / angel

三角形の相似と、等しい円周角からできる角の二等分線に着目します。

まず、△QAP∽△QCB から PA:BC=PQ:BQ
ここから、PA・BQ/PQ=BC

次に、PCが∠APBの二等分線であることから PA:PB=AQ:BQ
ここから、AQ=PA・BQ/PB

最後に、PDが∠CPBの二等分線であることから、PQ:PB=RQ:BR
ここから、BR=RQ・PB/PQ

これらをまとめると、
　AQ・BR
　= PA・BQ/PB・RQ・PB/PQ
　= RQ・(PA・BQ/PQ)
　= RQ・BC
で、正三角形ABCに対してBC=ABであるため、結局 AQ・BR=RQ・AB