ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / D

自然数a,b,nは
a^2+b^2=n^2
を満たす。a,bが互いに素のとき次の問いに答えよ
（１）a,bは一方が奇数、他方が偶数であることを示せ
（２）aは偶数,bは奇数とするとき、n+a,n-aが互いに素であることを示せ
（３）b=1855のとき、最も小さいnの値を求めよ

お願いします

No.40481 - 2016/11/23(Wed) 11:35:58

☆ Re: / IT

(1)a,bの少なくとも一方は偶数である
なぜならa=2k+1,b=2L+1とすると
　a^2+b^2=4(k^2+k)+1+4(L^2+L)+1=4s+2 で4で割った余りは2
　ところが
　　n=2mのときn^2=4m^2,
　　n=2m+1のときn^2=4(m^2+m)+1なので
　　n^2を4で割った余りは2とならない
またa,bは互いに素なので少なくとも一方は奇数。

よってa,bは一方が奇数、他方が偶数である。

(2) nは奇数でaが偶数なのでn+a,n-a は奇数。
奇素数pがあって　p|(n+a),p|(n-a) と仮定する。
　2a=(n+a)-(n-a) なので　p|2a,よってp|a
　一方　b^2=(n+a)(n-a) よりp|b^2,pは素数なのでp|b
　これはa,bが互いに素であることに反する。

よってn+aとn-aは互いに素である。

＃x|y はxがyの約数であることを表します。

No.40491 - 2016/11/23(Wed) 18:06:11

☆ Re: / IT

(3)b が一定のとき、n が最小⇔a が最小⇔n+a とn-a の差が最小
b=1855を素因数分解すると5×7×53
b^2=(n+a)(n-a) でn+aとn-aは互いに素なので,5,7,53はそれぞれどちらか一方のみの素因数となる。

したがってn+a=53^2,n-a=(5×7)^2 のときnは最小で n=(53^2+(5×7)^2)/2=2017

このときa=792で,b=1855 と互いに素で適当。

＃　来年の西暦2017 を出す問題ですね！

No.40494 - 2016/11/23(Wed) 19:00:11

★ (No Subject) / D

各項が0でない複素数からなる数列{z[n]}を次のように定める
ただし、iは虚数単位とする
z[1]=i,z[2]=2,z[n+2]=2z[n+1]+4z[n] (n=1,2,3....)
また複素数平面上でz[n+1]/z[n]の表す点をPnとする
（１）z[3],z[4]を求めよ
（２）３点P1,P2,P3が通る円をCとする、円Ｃの中心を表す複素数αを求めよ
（３）点Pnは円Ｃ上にあることを示せ

お願いします

No.40480 - 2016/11/23(Wed) 11:33:05

☆ Re: / X

(1)
与えられた漸化式により
z[3]=2z[2]+4z[1]=4+4i
z[4]=2z[3]+4z[2]=2(4+4i)+8
=16+8i

(2)
点P[n]を表す複素数をa[n]とすると
条件から
a[1]=z[2]/z[1]=-2i
又(1)の結果を使うと
a[2]=z[3]/z[2]=2+2i
a[3]=z[4]/z[3]=(16+8i)/(4+4i)
=(4+2i)/(1+i)
=(2+i)(1-i)
=3-i
∴辺P[1]P[2]の垂直二等分線の方程式は
z={(2+2i-(-2i))i}t+{(2+2i)+(-2i)}/2
(tは実数)
整理して
z=-(4-2i)t+1 (A)
辺P[2]P[3]の垂直二等分線の方程式は
z={(2+2i-(3-i))i}u+{(2+2i)+(3-i)}/2
(uは実数)
整理して
z=-(3+i)u+(5+i)/2 (B)
よってαについて
α=-(4-2i)t+1=-(3+i)u+(5+i)/2
これをα,t,uについての連立方程式として
解きます。
(注)一見、方程式の数が1つ足りないように見えますが
複素数の相等の定義を使えば方程式は全部で3つに
なります。

こちらの計算では
α=1
となりました。

(3)
(2)の過程によりCの方程式は
|z-1|=|1-(-2i)|
つまり
|z-1|=√5
よって(2)のa[n]を使うと証明すべき等式は
|a[n]-1|=√5 (C)
ということで(C)を数学的帰納法により証明します。
(i)n=1のとき
(2)の結果により成立は明らか。
(ii)n=kのとき
(C)の成立を仮定します。
つまり
|a[k]-1|=√5 (C)'
さて、z[n]の漸化式、つまり
z[n+2]=2z[n+1]+4z[n]
により
z[k+2]=2z[k+1]+4z[k]
z[k+2]/z[k]=2z[k+1]/z[k]+4
(z[k+2]/z[k+1])(z[k+1]/z[k])=2z[k+1]/z[k]+4
∴a[k+1]a[k]=2a[k]+4
となるので
a[k]=4/(a[k+1]-2)
これを(C)'に代入して
|4/(a[k+1]-2)-1|=√5
これより
|(a[k+1]-6)/(a[k+1]-2)|=√5
|(a[k+1]-6)/(a[k+1]-2)|^2=5
|a[k+1]-6|^2=5|a[k+1]-2|^2
よって、例えば複素数zの共役複素数を
\zと表すことにすると
(a[k+1]-6){\(a[k+1]-6)}=5(a[k+1]-2){\(a[k+1]-2)}
(a[k+1]-6)(\a[k+1]-6)}=5(a[k+1]-2)(\a[k+1]-2)
両辺を展開して整理をすると
4a[k+1]\a[k+1]-4(a[k+1]+\a[k+1])-16=0
a[k+1]\a[k+1]-(a[k+1]+\a[k+1])-4=0
a[k+1]\a[k+1]-(a[k+1]+\a[k+1])+1=5
|a[k+1]-1|^2=5
|a[k+1]-1|=√5
よって(C)はn=k+1のときも成立。

No.40492 - 2016/11/23(Wed) 18:39:50

★ (No Subject) / D

正方形ABCDを底面とする正四角錐ABCDEと動点Pがある
点Pは初めAにあり、１秒ごとに次の試行を繰り返す
（試行）
PがA,B,C,Dのいずれかにあるときは、その点と辺で結ばれた３つの頂点のうちのいずれかへ等確率で移動する
PがEにあるときはそこにとどまり、他の点には移動しない

動点Pが移動した先の点に印をつけていく。Aには初めから印がついており、つけた印は消えないものとする。
（１）n秒後に点Eに印がついていない確率を求めよ
（２）ちょうどｎ秒後に点Eに初めて印がつけられる確率を求めよ
（３）ｎ秒後に点Dと点Eに印がついていない確率を求めよ
（４）nは２以上とする。ちょうど2n+1秒後に印がついて点が初めて5個となる確率を求めよ

長いですがお願いします

No.40479 - 2016/11/23(Wed) 11:28:59

☆ Re: / angel

(1)
Eに行かない限り、毎回3通りの選択肢があり、E以外の2通りを選び続けた場合に相当するので、(2/3)^n
(2)
n-1回目までEに行かず、n回目にEに行くため、(2/3)^(n-1)・1/3
(3)
D,Eに行かないということは、
　A→B→AorC→B→AorC→…
を延々と繰り返すということ。
B→AorC は2通り、AorC→B は1通りなので、nの偶奇で変わり、
　nが偶数: 2^(n/2)/3^n
　nが奇数: 2^((n-1)/2)/3^n
(4)
丁度2n秒後までにA,B,C,Dを全てめぐって最後にEにつく状況に相当します。
(2),(3)まで出た結果を利用して考えると、

　(2n秒後にEに印がついていない)
　-(2n秒後にD,Eに印がついていない)
　-(2n秒後にB,Eに印がついていない)
　=(2n秒後にA,B,Dに印がついているがEに印がついていない)

ここまでは分かります ( B,Dどちらかには必ず印がつくので、2項目・3項目の事象は被らない―排他―であることに注意 )。しかし、これではCのことが入っていません。後欲しいのは (2n秒後にA,B,Dに印がついているがC,Eに印がついていない) です。

C,Eに印がつかないということは、A→BorD→A→BorD→…を繰り返すということです。ただ、B,Dどちらかに印がつかないこともあり得るので、

　(2n秒後にA,B,Dに印がついているがC,Eに印がついていない)
　=(A→BorD→A→BorD→…を繰り返す)
　　-(A→B→A→B→…を繰り返す)
　　-(A→D→A→D→…を繰り返す)

これで全部揃いました。まとめてみます。

　(2n秒後にA,B,C,Dに印がつき、Eに印がついていない)
　=(2n秒後にEに印がついていない)
　　-(2n秒後にD,Eに印がついていない)
　　-(2n秒後にB,Eに印がついていない)
　　-(2n秒後にA,B,Dに印がついているがC,Eに印がついていない)
　=(2n秒後にEに印がついていない)
　　-(2n秒後にD,Eに印がついていない)
　　-(2n秒後にB,Eに印がついていない)
　　-(A→BorD→A→BorD→…を繰り返す)
　　+(A→B→A→B→…を繰り返す)
　　+(A→D→A→D→…を繰り返す)

2番目,3番目はB,Dが違うだけで、(3)の結果が流用できます。が、4番目も繰り返しが逆なだけで、2nが偶数であるこの問では(3)と同じです。最後2つはそれぞれ(1/3)^nなので、

　(2n秒後にA,B,C,Dに印がつき、Eに印がついていない)
　=(2/3)^(2n)-2^(2n/2)/3^(2n)・3+(1/3)^(2n)・2

答えは、最後にEに行く分も入れて
　( (2/3)^(2n)-2^(2n/2)/3^(2n)・3+(1/3)^(2n)・2 )・1/3
　=( 4^n-3・2^n+2 )/3^(2n+1)

No.40498 - 2016/11/24(Thu) 21:24:14

★ (No Subject) / D

xyz平面で不等式0＜=z＜=2-x^2-y^2を満たす点全体からなる立体をKとする
（１）立体Kを平面x=a(0＜=a＜=√2)で切った断面をTとし,A(a,0,0)とする。点PがT上を動くときAPの長さの最大値をaを用いて表せ
（２）立体Kをx軸の回りに回転してできる立体Lの体積を求めよ

お願いします

No.40478 - 2016/11/23(Wed) 11:23:23

☆ Re: / X

(1)
0≦z≦2-x^2-y^2
にx=aを代入して
0≦z≦2-a^2-y^2
これをyz平面に図示して考えるとAPの長さが
最大のとき、点Pは少なくとも
曲線 z=2-a^2-y^2,x=a (A)
の上にあることが分かります。
そこで
P(a,t,2-a^2-t^2)(-√(2-a^2)≦t≦√(2-a^2) (B))
と置くと
AP^2=t^2+(2-a^2-t^2)^2
=t^4-(1-2a^2)t^2+(2-a^2)^2
=2{t^2-(1-2a^2)/2}^2+(2-a^2)^2-(1/2)(1-a^2)^2
=2{t^2-(1-2a^2)/2}^2+(1/2)(a^2-3)^2-3 (C)
ここで(B)より
0≦t^2≦2-a^2 (D)
又
(2-a^2)/2-(1-2a^2)/2=(1-a^2)/2 (E)
よって
f(t)=2{t^2-(1-2a^2)/2}^2+(1/2)(a^2-3)^2-3 (F)
と置き、横軸にt^2、縦軸にf(t)を
取った(F)のグラフを考えると
(C)のグラフを(D)の範囲で考えると
(i)0≦a≦1のとき
(2-a^2)/2≧(1-2a^2)/2
ですのでグラフの対称軸は(D)の範囲内
右寄り。よってf(t)は
t^2=0で最大値(2-a^2)^2
を取りますのでAPの最大値は
2-a^2(このときPの座標は(a,0,2-a^2))
(ii)1≦a≦√2のとき
(E)より
(2-a^2)/2≦(1-2a^2)/2
ですのでグラフの対称軸は(D)の範囲内
左寄り。よってf(t)は
t^2=2-a^2で最大値2-a^2
を取りますのでAPの最大値は
√(2-a^2)(このときPの座標は(a,√(2-a^2),0),(a,-√(2-a^2),0))

(2)
(1)の結果とKのyz平面に関する対称性により
求める体積をVとすると
V=2{∫[0→1]{π(2-a^2)^2}da+∫[1→√2]π(2-a^2)da}
=2π{[4a-(4/3)a^3+(1/5)a^5][0→1]+[2a-(1/3)a^3][1→√2]}
=2π{(8/3+1/5)+(4/3)√2-4/3}
=2π{23/15+(4/3)√2}
=(46+40√2)π/15

No.40482 - 2016/11/23(Wed) 13:13:33

☆ Re: / ゆう

計算ミスしてるとおもいます

No.40484 - 2016/11/23(Wed) 14:24:04

☆ Re: / angel

> 計算ミスしてるとおもいます

そう思われた根拠はなんですか?

No.40486 - 2016/11/23(Wed) 16:33:11

☆ Re: / X

>>ゆうさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>Dさんへ
ごめんなさい。計算ミスがありました。
No.40482を直接修正しましたので再度ご覧下さい。

No.40489 - 2016/11/23(Wed) 17:52:05

☆ Re: / ゆう

場合分け逆じゃないですか

No.40490 - 2016/11/23(Wed) 17:58:47

☆ Re: / X

>>ゆうさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>Dさんへ
ごめんなさい。計算ミスがありました。
No.40482を直接修正しましたので再度ご覧下さい。

No.40496 - 2016/11/24(Thu) 04:52:30

★ 京大文系 2012 4 図形と式 / むう

(p)の証明が解説を見ても分かりません。特に下線の部分です。教えてください

No.40472 - 2016/11/23(Wed) 07:06:58

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / むう

解説です

No.40473 - 2016/11/23(Wed) 07:07:52

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / むう

解説ぇす

No.40474 - 2016/11/23(Wed) 07:08:27

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / IT

短時間の試験ですから、もっとあっさりした証明でいいような気がします。
「（必要なら番号をつけ変えることにより）」とか、を書かなくてもいいと思います。
この解答は、ていねいであることで、かえって本質が見えにくくなっている気がします。

河合塾の解答例、青空学園の解答例程度でいいと思います。

http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/12/k01.html?sc_cid=bat_tokka
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2012/12ka05a.htm

No.40475 - 2016/11/23(Wed) 07:59:38

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / angel

それは実際に図を描いてみれば…ですね。

添付の図は正11角形ですが、ピザを切る時のように11個の三角形に分けると、1つ1つの中心部分の角度は 360°÷11 ですよね。

今は、このピザのピースを何個か集めて120°にできるだろうか、というのが問題です。
で、この正11角形だと、
　360°÷11×1
　360°÷11×2
　360°÷11×3
　…
のどれも120°になりません。なので、問題で問われていた「60°の角を持つ三角形」は作れないと分かります。

これを正n角形に一般化すると、
「360°÷n ×(整数)=120°になることがあるか?」
という話になるのです。

No.40476 - 2016/11/23(Wed) 08:05:16

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / IT

下線部のところをていねいに書くと

∠A[1]OA[k]=120°…(1)
A[1]A[2],..,A[n]は正ｎ角形なので ∠A[i]OA[i+1]=360°/n、i=1..n-1　…(2)
∠A[1]OA[k]=∠A[1]OA[2]+∠A[2]OA[3]+...+∠A[k-1]OA[k]…(3)
(2)(3)より　∠A[1]OA[k]=(k-1)360°/n …(4)
(1)(4)より　(k-1)360°/n＝120°…(5)　

となります。どこが分かりませんか？

No.40477 - 2016/11/23(Wed) 08:16:56

☆ Re: 京大文系 2012 4 図形と式 / むう

お2方ありがとうございます。理解することが出来ました！

No.40483 - 2016/11/23(Wed) 13:20:41

★ 相似な図形　　中学 / takeda

（２）解説よろしくお願いします。

No.40467 - 2016/11/22(Tue) 18:00:58

☆ Re: 相似な図形　　中学 / みずき

きれいな解法ではないですが。

まず △AEB は直角二等辺三角形です。
簡単のため HD=x,EB=EA=y,EC=z とおきます。

△BEC は直角三角形なので三平方の定理から
(3+1)^2=z^2+y^2 (1)

△BDHと△BECは相似なので
3:y=x:z (2)

△ACBと△DCEは相似なので
(∵4点A,E,D,Bは同一円周上にあるので
∠EDC=∠BED+∠EBD=∠BAD+∠EAD=∠BAC)
y+z:1=4:z (3)

(2)から
z=xy/3 (4)

(4)を(1)に代入して
16=(xy/3)^2+y^2 つまり y^2=144/(x^2+9) (5)

(4)を(3)に代入し整理して
36=xy^2(x+3) (6)

(5)(6)から y^2 を消去し整理して
x^2+4x-3=0 よって HD=x=-2+√7

No.40468 - 2016/11/22(Tue) 20:13:46

☆ Re: 相似な図形　　中学 / angel

実は、今回はより少ない条件でも解が求められます。
取り敢えず HD=x としておきます。

∠A=45°であることから△ABEが直角二等辺三角形でAE=BE
そのため2つの直角三角形AEH,BECが合同です。
ここから AH=BC=4

次に相似な直角三角形BDH,ADCに着目します。
相似により、対応する辺の比 BD:DH=AD:DC ですが、
BD=3, DH=x, AD=AH+HD=4+x, DC=1

これにより、x(4+x)=3・1 ということで、方程式 x^2+4x-3=0 が導かれます。

No.40469 - 2016/11/22(Tue) 21:11:17

★ (No Subject) / ゆう

3,5お願いします

No.40466 - 2016/11/22(Tue) 14:12:15

☆ 問5 / angel

問5
まず前提として、z^n=1 の解は 1 の n乗根、cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n) ( k=0,1,…,n-1 ) で、全部でn個あります。

それを踏まえて

(1)
整理すると (z^3-1)^2=0 なので、z の解は 1 の3乗根。ということで cos(2kπ/3)+isin(2kπ/3) (k=0,1,2) を計算

(2) (3)でのm=0 のケースなので省略

(3) z^(3n)+1/z^(3n)=z^(n+1)+1/z^(n+1) を整理して
　(z^(4n+1)-1)(z^(2n-1)-1)=0
これに n=3m+2 を代入して
　(z^(3(4m+3))-1)(z^(3(2m+1))-1)=0
よって解は、1 の 3(4m+3)乗根と 3(2m+1) 乗根
4m+3 と 2m+1 は互いに素であるため、3(4m+3), 3(2m+1) の最大公約数は 3
ここから、1 の3(4m+3)乗根と 3(2m+1)乗根とでは、1の3乗根の3個が重複していることが分かる。
解の個数は、それぞれの根の個数から重複分を引いて
　3(4m+3)+3(2m+1)-3=9(2m+1)

No.40470 - 2016/11/22(Tue) 22:19:54

☆ 問3 / angel

まず、(0,0,1), (p,1,0), (2p,0,-1) の3点を通る平面αの方程式は、x/p+z=1 です。ということを踏まえて。

(1)
S: x^2+y^2+(z-1)^2=4 と xy平面 ( 平面z=0 ) との交わりKは、円 x^2+y^2+(0-1)^2=4 すなわち、x^2+y^2=3 です。
そのため、中心は原点、半径は√3

次にKとαの交点ですが、先にαとxy平面の交わりを求めると、x/p+0=1 から x=p
よって、Kとαの交点は、xy平面上での Kとx=p の交点に他なりません。なので、(p,±√(3-p^2))
※0＜p＜√3 なので、必ず2交点ができる

(2)
平面αは、球面Sの中心(0,0,1)を含むため、Sとαの交わりはSの大円 ( Sと半径が一致する円 ) で、半径は 2 です。
(1)の結果から、Sとαの交わりと、更にxy平面との交点は (p,±√(3-p^2))、今 p=√2 の場合は (√2,±1) であり、この2交点間の距離は2です。

ということは、Sとαの交わりの円とxy平面の交わりでできる弦は長さ2であり、( 円の半径も2であることから ) z≦0 ( xy平面より下 ) の部分の弧の中心角はπ/3

結局、問題の領域は、半径2、中心角π/3の扇形から、1辺の長さ2の正三角形を取り除いたものとなり、面積は 2π/3-√3

No.40471 - 2016/11/22(Tue) 22:50:09

★ (No Subject) / 勉強生徒

ベクトルの問題で質問があります。問題と解答は添付画像に記してあります。
解答部分で赤線を引いてあるところが疑問です。

赤線?@ではなぜベクトルＯＱ⒦＝a⒦ベクトルｌと置くことができるのでしょうか？

赤線?Aではなぜa⒦＝（a⒦、b⒦×（cos,sin）と置くことができるのでしょうか？

No.40458 - 2016/11/21(Mon) 20:01:54

☆ Re: / 勉強生徒

ノートの続きです

No.40459 - 2016/11/21(Mon) 20:02:53

☆ Re: / angel

?@
Qが直線l上にあることと、直線lが原点を通ることから言えます。
※原点を通る直線 l 上の点の位置ベクトルは、l の方向ベクトルの実数倍になるのです。

?A
その赤線の3行上に「a(k)=ベクトルOP(k)・ベクトルl」という式がありますね。
それを成分表示に替えた式です。

No.40460 - 2016/11/21(Mon) 21:28:22

☆ Re: / IT

angel さんへ横から失礼します。
> ?@
> Qが直線l上にあることと、直線lが原点を通ることから言えます。
> ※原点を通る直線 l 上の点の位置ベクトルは、l の方向ベクトルの実数倍になるのです。

ここまでは、分りますが、 a[k]倍になるのはなぜ言えるのでしょうか？　
a[k]は、最初に与えられた実数列と見えます。

＃質問者の投稿画像の文字（特にアルファベット）が　判別しづらいので　誤読しているかも知れません。

No.40462 - 2016/11/21(Mon) 21:54:03

☆ Re: / angel

> ここまでは、分りますが、 a[k]倍になるのはなぜ言えるのでしょうか？

あ!
ごめんなさい、最初の実数列の a(k) と、「ベクトルl のa(k)倍」とで、a が被っているの、すっかり失念していました。

同じものだとすると意味が通らないですね。逆に後者の a(k) をα(k) など、別の文字に置き換えれば意味が通ります。( というか、そのように自動的に読み替えていたようです )

No.40463 - 2016/11/21(Mon) 23:45:23

☆ Re: / IT

勉強生徒さんが、解答を転記ミスしておられるようですね

>赤線?@ではなぜベクトルＯＱ⒦＝a⒦ベクトルｌと置くことができるのでしょうか？

ＯＱ⒦＝α(k)ベクトルｌ　

>赤線?Aではなぜa⒦＝（a⒦、b⒦×（cos,sin）と置くことができるのでしょうか？
　α(k)＝（a⒦、b⒦)・(cosθ,sinθ）

などとすべきですね。

No.40464 - 2016/11/22(Tue) 00:16:30

☆ Re: / 勉強生徒

あよくよくみるとa⒦だと思っていた部分がα(k)
でした。a⒦ってＰ⒦のｘ座標なのになんでベクトルＬとそんな関係が成り立つのか不思議でしたがα(k)ってことはとりあえず置いた文字でa⒦とは関係ないですね。とりあえず納得できたと思います。

ありがとうございました。
これから解きなおすのでもしかしたらまた質問させていただくかもしれませんがその時はよろしくお願いします。

No.40465 - 2016/11/22(Tue) 00:31:20

★ (No Subject) / ゆう

平面上に同心円C,C'があり、半径をそれぞれr,1(0<r<1)とする
（１）C'に内接しCに外接する正三角形の１辺の長さとrの値を求めよ
（２）C'に内接するどのような鋭角三角形Cと共有点を持つようなrの取り得る値の範囲を求めよ

No.40457 - 2016/11/21(Mon) 19:54:26

☆ Re: / angel

(1)
これは図を描きましょう。
正三角形の1辺の長さは√3、正三角形に内接するCの半径は r=1/2

(2)
(1)の時がrの最小なので、1/2≦r＜1

…だと流石に手抜きなので一応。
三角形をPQRとすると、「Cと三角形が共有点を持つ」というのは、Cが、PQ,QR,RPいずれかの辺と共有点を持つということになります。

ここで、辺の1つQRに着目すると、円の中心からの距離は cosP です。( 円周角Pに対し、中心角2Pとなることに注意 )
そのため、QRと円が共有点を持つ条件は r≧cosP です。

他の辺も同様なので、結局円と三角形が共有点を持つのは、
　r≧cosP または r≧cosQ または r≧cosR
　⇔ r≧mim(cosP,cosQ,cosR)
　⇔ r≧cos(max(P,Q,R)) ※cosは角が大きいほど値が小さくなる
max(P,Q,R)の最小値は P=Q=R となる時の60°、つまり(1)の状況になるのです。

No.40461 - 2016/11/21(Mon) 21:41:10

★ 解けなくて困っています。 / さいん

科甲の問題なんですけどいくら考えてもわかりません。
解法とかネットで調べても出てこなくて困っています。
数学的に解くにはどうすれば良いのでしょうか。

No.40450 - 2016/11/20(Sun) 23:46:48

☆ Re: 解けなくて困っています。 / さいん

問題です。

No.40451 - 2016/11/20(Sun) 23:47:27

☆ Re: 解けなくて困っています。 / みずき

Pizza theorem ですね。↓
https://en.wikipedia.org/wiki/Pizza_theorem

右の上から2個目の図が
Proof without words for 8 sectors
と書いてあります。

日本語では
『ピーター・フランクルの中学生でも分かる
大人が解けない問題集』
に載っていたような記憶があります。

No.40452 - 2016/11/21(Mon) 00:02:09

☆ Re: 解けなくて困っています。 / さいん

有難うございます！助かりました！

No.40453 - 2016/11/21(Mon) 00:12:14

★ 積分 / 酵母菌

(1)放物線y=2+2x-x^2とx軸で囲まれる図形の面積を直線y=mx+2が2等分するようなmの値を求めよ。
mが正の場合と負の場合とで分けて考えるのでしょうか？
(2)放物線y=-x^2+2x上の点P(t,-t^2+2t)における接線lと放物線y=x^2とで囲まれた部分の面積の最小値を求めよ。
添付画像のところまで解いたのですが、ここからどうすれば良いのかわかりません。
上記の事を教えていただきたいです。よろしくお願い致します。

No.40448 - 2016/11/20(Sun) 22:52:51

☆ Re: 積分 / 酵母菌

画像が見にくいですね…

No.40449 - 2016/11/20(Sun) 22:55:24

☆ Re: 積分 / angel

(2) もう解けたも同然だと思いますよ。
あー…、ただ惜しいことにちょっとミスがあります。

Sを件の面積だとして、S=1/6・(8t-8t+4)^3 のところ、3乗じゃなくて 3/2乗ですね。途中まではちゃんと 3/2乗なので、惜しいところです。

で、S=1/6・(8t^2-8t+4)^(3/2) と分かっていて、() の中身の t の2次式は t=1/2 で最小値を取ることも突き止めている ( 画像の最後の平方完成 )
であれば、8t^2-8t+4 の t=1/2 の時の値、2 を使って S=1/6・2^(3/2) を計算して終わりです。

なお、( 面積を計算して正の値が出る以上 ) 自明ではあるのですが、接線とy=x^2とが交点を持つことは、ちゃんと言っておく必要があると思います。

No.40454 - 2016/11/21(Mon) 00:12:17

☆ Re: 積分 / angel

(1) 場合分けは特に必要ありません。
添付の図のように、まず分かり易い所で線を引いて、どっちの方が大きいかを考えてみます。今回は右上の方が小さいです。

そしたら、半分の面積になるように境界線をずらすことを考えます。面積の変化は三角形で考えることができます。

なお、添付の図のグラフは適当に描いているので、答えとは合っていません。( 答えに合わせると非常に微妙な図になってしまうので… )

No.40455 - 2016/11/21(Mon) 00:39:52

★ 約数の個数 / 雪

ｐを素数、ｎを正の整数とする。(ｐ^ｎ)！はｐで何回割り切れるか。

自分の考え方のどこが間違えているのかがわからないので教えてください。

ｐで1回割り切れるのはｐ^ｎ－ｐ、ｐ^－２ｐ、…ｐ^ｎー(ｐ－１)ｐのｐー１個、ｐで2回割り切れるのはｐ^ｎーｐ^２、ｐ^ｎー２ｐ^２…ｐ^ｎー（ｐ－１）ｐ^２のｐ－１個、…ｐでｎー１回割り切れるのはｐ^ｎーｐ^(ｎー１)、ｐ^ｎー２ｐ^（ｎー１）…ｐ^ｎー(ｐ－１)ｐ^(ｎー１)のｐー１個なので、１・（ｐ－１）＋２・（ｐ－１）＋…＋（ｎー１）・（ｐ－１）＋ｎを計算して答えになると思ったんですが、全然違いました。どこが間違えているんでしょうか。

No.40443 - 2016/11/20(Sun) 18:17:21

☆ Re: 約数の個数 / angel

> ｐで1回割り切れるのは ( 中略 ) のｐー１個
ここが違います。もっと多いです。

例えば、p=3,n=4 の 81! で考えてみると、
1～81 までかけている中で、3で1回だけ割り切れるのは、

　3,6,　12,15,　21,24,　30,33,　39,42,　48,51,　57,60,　66,69,　75,78

の18個です。p-1より断然多いです。
この18がどこから出たかと言えば、81÷3-81÷9 ですね。

1回割り切れる場合以外でも似たような計算になります。

No.40444 - 2016/11/20(Sun) 18:29:41

★ (No Subject) / ゆう

4,5,6
お願いします！

No.40436 - 2016/11/20(Sun) 14:21:23

☆ 問4 / angel

問4.
答えは n=3 のみです。

まずΣを計算して、条件は「2^(n-1)・(2^n+1) が平方数」と同値と分かります。
そのため、2の素因数に着目すると、2^n+1 が奇数のため、2^(n-1) で2の素因数が偶数個、すなわち n が奇数。
同時に、2^n+1 が平方数です。

2^n+1 が平方数かつ奇数なので、(2k+1)^2 と置くと、

　2^n+1 = (2k+1)^2
　⇔ 2^n+1 = 4k(k+1)+1
　⇔ 2^(n-2) = k(k+1)

左辺は素因数を2以外に含まない点、右辺の項 k, (k+1) はどちらかが奇数であることから、その奇数の項は 1 であることが必要です。
k+1=1 では k(k+1) の値が 0 になって不適なので、k=1、この時 n=3 です。( これはちゃんと「nが奇数」も満たしています )

No.40441 - 2016/11/20(Sun) 16:52:02

☆ Re: / ゆう

ありがたいです
5、6もお願いできますか？

No.40442 - 2016/11/20(Sun) 17:42:28

☆ 問5 / angel

問5.
※小文字エルは見辛いので、大文字エルで代用します
(x,y)を極座標表現すると、(e^(aθ),θ)のため、曲線Cの方程式は r=e^(aθ) (0≦θ≦t) です。
なので、S,Lは淡々と次の積分計算を行います。

　L=∫[0,t] r・dθ=∫[0,t] e^(aθ)・dθ=1/a・(e^(at)-1)
　S=∫[0,t] 1/2・r^2・dθ=1/2・∫[0,t] e^(2aθ)・dθ=1/(4a)・(e^(2at)-1)

一旦 e^(at)=w と置きます ( e^(2at)=w^2, a,tが正であることから w＞1 )
すると、

　L=1/a・(w-1)
　S=1/4a・(w^2-1)

S=L^2 からまとめると、w=(4+a)/(4-a) なお、w＞1 ですから分母 4-a＞0 を満たしています。

で、w=e^(at) で戻します。

　e^(at)=(4+a)/(4-a)
　⇔ at=log( (4+a)/(4-a) )
　⇔ t=1/a・( log(4+a)-log(4-a) )

これで t が分かりました。極限 lim[a→+0] t ですが、
f(x)=log(4+x) ( x＞-4 ) という関数を導入して考えます。この導関数は f'(x)=1/(4+x) です。

ここから微分係数の定義に立ち返って、
　lim[x→0] ( f(x)-f(0) )/x=lim[x→0] (f(0)-f(-x))/x=f'(0)
よって、2つを足し合わせて
　lim[x→0] ( ( f(x)-f(0) )/x + (f(0)-f(-x))/x )=2f'(0)=1/2
　⇔ lim[x→0] (f(x)-f(-x))/x=1/2
　⇔ lim[x→0] 1/x・(log(4+x)-log(4-x))=1/2
この左辺は lim[a→+0] 1/a・(log(4+a)-log(4-a)) と等しくなりますから、lim[a→+0]t=1/2
※両側極限があるなら、片側極限も同じ値

No.40445 - 2016/11/20(Sun) 18:57:33

☆ 問6 / angel

問6.
なかなか一筋縄ではいかないので、w=cosθ+isinθ と置いてまとめます。

まず、平行四辺形の構成から z=1+w
1/z^2 の存在範囲を考える以上、z≠0 なので、w≠-1
w=cosθ+isinθ ( -π＜θ＜π ) と置くことができます。

この時、
　z=1+w
　=(1+cosθ)+isinθ
　=2(cos(θ/2))^2+2isin(θ/2)cos(θ/2)
　=2cos(θ/2)( cos(θ/2)+isin(θ/2) )

よって、
　z^2=4(cos(θ/2))^2・(cosθ+isinθ)=2(1+cosθ)・(cosθ+isinθ)
　1/z^2=1/( 2(1+cosθ) )・(cosθ-isinθ)
ということで、1/z^2 の満たす条件を極方程式で表すと、
　r=1/( 2(1+cos(-θ)) )=1/(2(1+cosθ))
　⇔ r+rcosθ=1/2

1/z^2=x+iy と置く時 ( r=√(x^2+y^2) )、x=rcosθのため、
　r+rcosθ=1/2 ⇔ r=1/2-x

ということで、1/z^2=x+iy の描く軌跡は、原点を焦点、x=1/2 を準線とする放物線 x=1/4-y^2

No.40446 - 2016/11/20(Sun) 19:14:16

☆ Re: / ゆう

5ですか極方程式の積分を使わずにそのまま媒介変数θの積分をすることは可能ですよね？
計算がすごく煩雑になるのですが
S=(1/2)e^(2at)sintcost+1/2∫[t→0]e^(2at)(asin2θ＋cos2θ-1)dθとなりました
これはあっていますかね？
またこの積分だと　同型出現型でかなり計算量膨らみますよね・・・

No.40447 - 2016/11/20(Sun) 22:48:24

☆ Re: / angel

> 5ですか極方程式の積分を使わずにそのまま媒介変数θの積分をすることは可能ですよね？

はい。それは可能です。
極座標でやるよりちょっと面倒ではありますが…、結果的には同じ 1/2・∫[0,t] e^(2aθ)・dθ が導かれます。

なお、計算の過程は次のような感じになります。

S=1/2・∫[0,t]|xdy/dθ-ydx/dθ|dθ
　=1/2・∫[0,t]|e^(aθ)・cosθ・e^(aθ)・(asinθ+cosθ)-e^(aθ)・sinθ・e^(aθ)・(acosθ-sinθ)|dθ
　=1/2・∫[0,t]|e^(2aθ)・( cosθ(asinθ+cosθ)-sinθ(acosθ-sinθ) )|dθ
　=1/2・∫[0,t] e^(2aθ)・dθ

No.40456 - 2016/11/21(Mon) 01:09:03

★ 数列 / ゆう

√nの整数部分をp[n]とするとき,
a[n]=n-(p[n])^2で定義される数列a[n]について,a[n]=50となる最小のnの値Nを求めよ.また、数列a[n]の初項から第N項までの総和を求めよ

お願いします

No.40434 - 2016/11/20(Sun) 14:19:16

☆ Re: 数列 / みずき

小さいnで様子を調べてみます。

n:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,...
p[n]:1,1,1,2,2,2,2,2,3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4,...
a[n]:0,1,2,0,1,2,3,4,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0,...

kを正の整数とします。
nがk^2以上(k+1)^2未満であるとき
k≦√n＜k+1なのでp[n]=k
a[n]=n-k^2は0以上2k+1未満の値を取ります。

前半部分：
n=(k+1)^2-1のときを調べればよく
(a[n]=)2k=50を解くとk=25だからN=26^2-1

後半部分：
Σ[n=1,N]a[n]
=(0+1+2)+(0+1+2+3+4)+・・・+(0+1+2+・・・+50)
=Σ[k=1,25](1+2+・・・+2k)
=Σ[k=1,25]k(2k+1)
=・・・（以下略）

No.40439 - 2016/11/20(Sun) 15:23:40

★ 2変数のマクローリン展開 / りんご

このマクローリン展開の過程を知りたいです。

No.40426 - 2016/11/19(Sat) 15:49:31

☆ Re: 2変数のマクローリン展開 / angel

今回、ほとんどの項が0になって消えますからねえ…。
具体例は http://mathtrain.jp/multitaylor あたりを参考にされると良いのではないでしょうか。

f(x,y)=ylog(1+x) として、x=y=0 における偏導関数の値を fx ( ∂f(x,y)/∂x ) とか fxy ( ∂^2(f(x,y))/∂x∂y ) とか表すことにすると、

　1/2!・2・fxy・xy + 1/3!・3・fxxy・x^2・y + (4次以上)

となっています。( その他は全て 0 で消える )

一般的には

　f
　+ 1/1!・( fx・x + fy・y )
　+ 1/2!・( fxx・x^2 + 2fxy・xy + fyy・y^2 )
　+ 1/3!・( fxxx・x^3 + 3fxxy・x^2・y + 3fxyy・xy^2 + fyyy・y^3 )
　+ …

というような計算になります。

No.40428 - 2016/11/19(Sat) 18:05:11

☆ Re: 2変数のマクローリン展開 / りんご

解決しました！

No.40429 - 2016/11/19(Sat) 22:26:24

★ 共通部分の基底について / りんご

(17)の解き方がわかりません

No.40423 - 2016/11/19(Sat) 13:16:00

☆ Re: 共通部分の基底について / angel

※縦で書くのが大変なので、ベクトルを [a,b,c,d] のように横に書きます。

W1 は書き換えると W1={ [x1,x2,x3,x4]=p[1,2,3,4]+q[4,3,2,1] } のように、基底の線型和で部分空間を表す形式、
W2 は W2={ [x1,x2,x3,x4] | x1+x2+x3+x4=0, 3x1-2x2-2x3+3x4=0 } と、方程式で表す形式です。

であれば、共通部分W1∩W2は、両者をミックスさせて

W1∩W2={ [x1,x2,x3,x4]=p[1,2,3,4]+q[4,3,2,1] | x1+x2+x3+x4=0, 3x1-2x2-2x3+3x4=0 }

とすることができます。
x1～x4の条件を示す方程式は、p,qの方程式へと書き換えられますから、それでp,qどちらかを消すことで、1次元の空間が出てきます。

No.40424 - 2016/11/19(Sat) 13:48:21

☆ Re: 共通部分の基底について / りんご

ありがとうございました！

No.40425 - 2016/11/19(Sat) 13:56:16