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★ (No Subject) / ゆう
4,5,6
お願いします！
No.40436 - 2016/11/20(Sun) 14:21:23
☆ 問4 / angel
問4.
答えは n=3 のみです。

まずΣを計算して、条件は「2^(n-1)・(2^n+1) が平方数」と同値と分かります。
そのため、2の素因数に着目すると、2^n+1 が奇数のため、2^(n-1) で2の素因数が偶数個、すなわち n が奇数。
同時に、2^n+1 が平方数です。

2^n+1 が平方数かつ奇数なので、(2k+1)^2 と置くと、

　2^n+1 = (2k+1)^2
　⇔ 2^n+1 = 4k(k+1)+1
　⇔ 2^(n-2) = k(k+1)

左辺は素因数を2以外に含まない点、右辺の項 k, (k+1) はどちらかが奇数であることから、その奇数の項は 1 であることが必要です。
k+1=1 では k(k+1) の値が 0 になって不適なので、k=1、この時 n=3 です。( これはちゃんと「nが奇数」も満たしています )
No.40441 - 2016/11/20(Sun) 16:52:02
☆ Re: / ゆう
ありがたいです
5、6もお願いできますか？
No.40442 - 2016/11/20(Sun) 17:42:28
☆ 問5 / angel
問5.
※小文字エルは見辛いので、大文字エルで代用します
(x,y)を極座標表現すると、(e^(aθ),θ)のため、曲線Cの方程式は r=e^(aθ) (0≦θ≦t) です。
なので、S,Lは淡々と次の積分計算を行います。

　L=∫[0,t] r・dθ=∫[0,t] e^(aθ)・dθ=1/a・(e^(at)-1)
　S=∫[0,t] 1/2・r^2・dθ=1/2・∫[0,t] e^(2aθ)・dθ=1/(4a)・(e^(2at)-1)

一旦 e^(at)=w と置きます ( e^(2at)=w^2, a,tが正であることから w＞1 )
すると、

　L=1/a・(w-1)
　S=1/4a・(w^2-1)

S=L^2 からまとめると、w=(4+a)/(4-a) なお、w＞1 ですから分母 4-a＞0 を満たしています。

で、w=e^(at) で戻します。

　e^(at)=(4+a)/(4-a)
　⇔ at=log( (4+a)/(4-a) )
　⇔ t=1/a・( log(4+a)-log(4-a) )

これで t が分かりました。極限 lim[a→+0] t ですが、
f(x)=log(4+x) ( x＞-4 ) という関数を導入して考えます。この導関数は f'(x)=1/(4+x) です。

ここから微分係数の定義に立ち返って、
　lim[x→0] ( f(x)-f(0) )/x=lim[x→0] (f(0)-f(-x))/x=f'(0)
よって、2つを足し合わせて
　lim[x→0] ( ( f(x)-f(0) )/x + (f(0)-f(-x))/x )=2f'(0)=1/2
　⇔ lim[x→0] (f(x)-f(-x))/x=1/2
　⇔ lim[x→0] 1/x・(log(4+x)-log(4-x))=1/2
この左辺は lim[a→+0] 1/a・(log(4+a)-log(4-a)) と等しくなりますから、lim[a→+0]t=1/2
※両側極限があるなら、片側極限も同じ値
No.40445 - 2016/11/20(Sun) 18:57:33
☆ 問6 / angel
問6.
なかなか一筋縄ではいかないので、w=cosθ+isinθ と置いてまとめます。

まず、平行四辺形の構成から z=1+w
1/z^2 の存在範囲を考える以上、z≠0 なので、w≠-1
w=cosθ+isinθ ( -π＜θ＜π ) と置くことができます。

この時、
　z=1+w
　=(1+cosθ)+isinθ
　=2(cos(θ/2))^2+2isin(θ/2)cos(θ/2)
　=2cos(θ/2)( cos(θ/2)+isin(θ/2) )

よって、
　z^2=4(cos(θ/2))^2・(cosθ+isinθ)=2(1+cosθ)・(cosθ+isinθ)
　1/z^2=1/( 2(1+cosθ) )・(cosθ-isinθ)
ということで、1/z^2 の満たす条件を極方程式で表すと、
　r=1/( 2(1+cos(-θ)) )=1/(2(1+cosθ))
　⇔ r+rcosθ=1/2

1/z^2=x+iy と置く時 ( r=√(x^2+y^2) )、x=rcosθのため、
　r+rcosθ=1/2 ⇔ r=1/2-x

ということで、1/z^2=x+iy の描く軌跡は、原点を焦点、x=1/2 を準線とする放物線 x=1/4-y^2
No.40446 - 2016/11/20(Sun) 19:14:16
☆ Re: / ゆう
5ですか極方程式の積分を使わずにそのまま媒介変数θの積分をすることは可能ですよね？
計算がすごく煩雑になるのですが
S=(1/2)e^(2at)sintcost+1/2∫[t→0]e^(2at)(asin2θ＋cos2θ-1)dθとなりました
これはあっていますかね？
またこの積分だと　同型出現型でかなり計算量膨らみますよね・・・
No.40447 - 2016/11/20(Sun) 22:48:24
☆ Re: / angel
> 5ですか極方程式の積分を使わずにそのまま媒介変数θの積分をすることは可能ですよね？

はい。それは可能です。
極座標でやるよりちょっと面倒ではありますが…、結果的には同じ 1/2・∫[0,t] e^(2aθ)・dθ が導かれます。

なお、計算の過程は次のような感じになります。

S=1/2・∫[0,t]|xdy/dθ-ydx/dθ|dθ
　=1/2・∫[0,t]|e^(aθ)・cosθ・e^(aθ)・(asinθ+cosθ)-e^(aθ)・sinθ・e^(aθ)・(acosθ-sinθ)|dθ
　=1/2・∫[0,t]|e^(2aθ)・( cosθ(asinθ+cosθ)-sinθ(acosθ-sinθ) )|dθ
　=1/2・∫[0,t] e^(2aθ)・dθ
No.40456 - 2016/11/21(Mon) 01:09:03
★ (No Subject) / ゆう
3番の問題お願いします
No.40435 - 2016/11/20(Sun) 14:20:39
☆ Re: / X
条件から
p=(1-1/e)(1-1/e^2)…(1-1/e^n) (A)
又、qはk秒後(k=1,2,…,n)にx=kに留まり、
l秒後(lは1≦l≦n,l≠kなる整数)は進む
確率の総和になるので
q=(1/e)(1-1/e)…{1-1/e^(n-1)}+(1-1/e)(1/e^2)(1-1/e^2)…{1-1/e^(n-1)}
+…+(1-1/e)(1-1/e^2)…{1-1/e^(n-1)}(1/e^n)
=(1/e+1/e^2+…+1/e^n)[(1-1/e)(1-1/e^2)…{1-1/e^(n-1)}] (B)
(A)より
(1-1/e)(1-1/e^2)…{1-1/e^(n-1)}=p/(1-1/e^n)
これと(B)により
q={(1/e)(1-1/e^n)/(1-1/e)}[p/(1-1/e^n)]
=p/(e-1) (B)'
よって
0＜e-1＜1、つまり1＜e＜2のとき
q＞p
e=2のとき
q=p
2＜eのとき
q＜p
No.40440 - 2016/11/20(Sun) 16:04:52
★ 数列 / ゆう
√nの整数部分をp[n]とするとき,
a[n]=n-(p[n])^2で定義される数列a[n]について,a[n]=50となる最小のnの値Nを求めよ.また、数列a[n]の初項から第N項までの総和を求めよ

お願いします
No.40434 - 2016/11/20(Sun) 14:19:16
☆ Re: 数列 / みずき
小さいnで様子を調べてみます。

n:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,...
p[n]:1,1,1,2,2,2,2,2,3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4,...
a[n]:0,1,2,0,1,2,3,4,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0,...

kを正の整数とします。
nがk^2以上(k+1)^2未満であるとき
k≦√n＜k+1なのでp[n]=k
a[n]=n-k^2は0以上2k+1未満の値を取ります。

前半部分：
n=(k+1)^2-1のときを調べればよく
(a[n]=)2k=50を解くとk=25だからN=26^2-1

後半部分：
Σ[n=1,N]a[n]
=(0+1+2)+(0+1+2+3+4)+・・・+(0+1+2+・・・+50)
=Σ[k=1,25](1+2+・・・+2k)
=Σ[k=1,25]k(2k+1)
=・・・（以下略）
No.40439 - 2016/11/20(Sun) 15:23:40
★ 指数関数の連立方程式 / ぽあそん
上の解答で、
X^2-4*5^2X-5^5=0
からいきなり
(X+5^2)(X-5^3)=0
に変形できる理由がわかりません。
途中式・解説をお願いします。
No.40432 - 2016/11/20(Sun) 00:55:31
☆ Re: 指数関数の連立方程式 / angel
5^5=5・5^4=5・(5^2)^2 だからです。

a=5^2 と置いてみるとよりスッキリします。

X^2-4・5^2・X-5^5
= X^2-4aX-5a^2
= (X+a)(X-5a)

なお、a=5^2 であれば 5a=5^3 なので、最終的に (X+5^2)(X-5^3) になっています。
No.40433 - 2016/11/20(Sun) 01:41:46
★ 確率について / ひなばああ
袋の中に1~6の数字を書いた玉を入れにこ同時に取り出した時にこの玉に書かれた数字の積が偶数になる確率をかきなさい。
No.40430 - 2016/11/20(Sun) 00:04:30
☆ Re: 確率について / IT
求める確率は(15-3)/15
No.40431 - 2016/11/20(Sun) 00:55:23
★ 2変数のマクローリン展開 / りんご
このマクローリン展開の過程を知りたいです。
No.40426 - 2016/11/19(Sat) 15:49:31
☆ Re: 2変数のマクローリン展開 / angel
今回、ほとんどの項が0になって消えますからねえ…。
具体例は http://mathtrain.jp/multitaylor あたりを参考にされると良いのではないでしょうか。

f(x,y)=ylog(1+x) として、x=y=0 における偏導関数の値を fx ( ∂f(x,y)/∂x ) とか fxy ( ∂^2(f(x,y))/∂x∂y ) とか表すことにすると、

　1/2!・2・fxy・xy + 1/3!・3・fxxy・x^2・y + (4次以上)

となっています。( その他は全て 0 で消える )

一般的には

　f
　+ 1/1!・( fx・x + fy・y )
　+ 1/2!・( fxx・x^2 + 2fxy・xy + fyy・y^2 )
　+ 1/3!・( fxxx・x^3 + 3fxxy・x^2・y + 3fxyy・xy^2 + fyyy・y^3 )
　+ …

というような計算になります。
No.40428 - 2016/11/19(Sat) 18:05:11
☆ Re: 2変数のマクローリン展開 / りんご
解決しました！
No.40429 - 2016/11/19(Sat) 22:26:24
★ 共通部分の基底について / りんご
(17)の解き方がわかりません
No.40423 - 2016/11/19(Sat) 13:16:00
☆ Re: 共通部分の基底について / angel
※縦で書くのが大変なので、ベクトルを [a,b,c,d] のように横に書きます。

W1 は書き換えると W1={ [x1,x2,x3,x4]=p[1,2,3,4]+q[4,3,2,1] } のように、基底の線型和で部分空間を表す形式、
W2 は W2={ [x1,x2,x3,x4] | x1+x2+x3+x4=0, 3x1-2x2-2x3+3x4=0 } と、方程式で表す形式です。

であれば、共通部分W1∩W2は、両者をミックスさせて

W1∩W2={ [x1,x2,x3,x4]=p[1,2,3,4]+q[4,3,2,1] | x1+x2+x3+x4=0, 3x1-2x2-2x3+3x4=0 }

とすることができます。
x1〜x4の条件を示す方程式は、p,qの方程式へと書き換えられますから、それでp,qどちらかを消すことで、1次元の空間が出てきます。
No.40424 - 2016/11/19(Sat) 13:48:21
☆ Re: 共通部分の基底について / りんご
ありがとうございました！
No.40425 - 2016/11/19(Sat) 13:56:16
★ (No Subject) / アンドロイドは電気羊
高1です。解説が書いてありません。
No.40413 - 2016/11/18(Fri) 20:54:06
☆ Re: / アンドロイドは電気羊
なぜsinθ+cosθの範囲が-ルート2からルート2になるか教えてください。
No.40414 - 2016/11/18(Fri) 20:55:22
☆ Re: / angel
三角関数の合成というやつです。教科書等でも確認してください。

sin(π/4)=cos(π/4)=1/√2 ですから、

　sinθ+cosθ
　= √2・(sinθ・1/√2 + cosθ・1/√2 )
　= √2・(sinθcos(π/4)+cosθsin(π/4))
　= √2・sin(θ+π/4)

sin(θ+π/4) は -1〜1 の範囲ですから、sinθ+cosθはその√2倍の範囲になるということです。
No.40415 - 2016/11/18(Fri) 21:08:52
☆ Re: / アンドロイドは電気羊
なるほど！　ありがとうございます。
ちなみに答えの求め方はどんなふうになりましたか？
No.40416 - 2016/11/18(Fri) 21:39:27
☆ Re: / angel
(sinθ+cosθ)^2
=(sinθ)^2+(cosθ)^2+2sinθcosθ
=1+2cosθsinθ

t=sinθ+cosθ とするとき、-√2≦t≦√2
2sinθcosθ=t^2-1, 元の方程式は t^2+t+a-1=0

-√2≦t≦√2 にこの方程式が少なくとも1つ解を持つ条件が答え
f(t)=t^2+t+a-1 と置くと、( 平方完成すると f(t)=(t+1/2)^2+a-5/4 )
次のいずれかの条件を満たす時

* t=√2 を解に持つ: f(√2)=0
* t=-√2 を解に持つ: f(-√2)=0
* -√2＜t＜√2 に1つだけ解を持つ: f(√2)f(-√2)＜0
* -√2＜t＜√2 に2つ解を持つ ( 重解含む ):
f(√2)＞0 かつ f(-√2)＞0 かつ -√2＜-1/2＜√2 かつ a-5/4≦0

整理してまとめて -1-√2≦a≦5/4

最終的には、2次方程式の解の存在条件の問題になる、ということです。
No.40417 - 2016/11/18(Fri) 22:20:53
★ (No Subject) / 大輝
［1］だけお願いします
No.40410 - 2016/11/18(Fri) 14:54:03
☆ Re: / ヨッシー
[1](1)

図は、ｎ＝３ の時に対象となる格子点です。
個数を式で書くと
　{(2^3+1)−2^0}＋{(2^3+1)−2^1}＋{(2^3+1)−2^2}＋{(2^3+1)−2^3}
となります。一般のｎの場合は
　{(2^n+1)−2^0}＋{(2^n+1)−2^1}＋・・・＋{(2^n+1)−2^(n-1)}＋{(2^3+1)−2^n}
　＝(n+1)(2^n+1)−{2^0＋2^1＋・・・＋2^(n-1)＋2^n}
　＝(n+1)(2^n+1)−{2^(n+1)−1}
となります。

(2)

図のように、ｙが
１　のとき　格子点１個
２〜３　のとき　格子点２個
４〜７　のとき　格子点３個
　・・・
2^n〜2^(n+1)−1 のとき　格子点ｎ＋１個
ｙ＝１からｙ＝2^n−1 までの個数Ｓn は
　Ｓｎ＝1・1＋2・2＋4・3＋・・・＋2^(n-1)・n　　・・・(i)
２倍して
　２Ｓn＝　　2・1＋4・2＋8・3＋・・・＋2^n・n　　・・・(ii)
(ii)−(i)
　Ｓn＝−{1＋2＋4＋8＋・・・＋2^(n-1)}＋2^n・n
　　＝1−2^n＋2^n・n
　　＝1＋(n−1)2^n
これが 2017 に近くなるｎを見つけると
　Ｓ8＝1＋7・256＝1793
　Ｓ9＝1＋8・512＝4097
なので、ｙ＝１からｙ＝５１１ までで格子点は1793個。
ｙ＝2^9＝512 からは 10 個ずつ増えていくので
(以下略)
No.40411 - 2016/11/18(Fri) 16:02:05
★ 円と放物線の共通接線 / 中田健太
よろしくお願いいたします 解けませんでした
No.40407 - 2016/11/18(Fri) 05:15:48
☆ Re: 円と放物線の共通接線 / X
(1)
条件からlの方程式は
x(√3)/2-y/2=1
∴y=x√3-2 (A)
lとC[2]との接点のx座標について
x√3-2=ax^2+1
∴ax^2-x√3+3=0 (B)
(B)はxの二次方程式で条件から
重解をもつので解の判別式を
Dとすると
D=3-12a=0
∴a=1/4
これを(B)に代入して
x=2√3
(A)に代入して
y=4
∴(s,t)=(2√3,4)

(2)
求める面積をSとすると(1)の結果により
S=∫[0→2√3]{{(1/4)x^2+1}-(x√3-2)}dx
=…

(3)
三角関数の積分を学習済みであると仮定して
回答します。
(学習済みでないなら、別解を提示しますので
その旨をアップして下さい。)
(A)より
x=(y+1)/√3
又(1)の結果によりC[1]の方程式は
y=(1/4)x^2+1
∴x≧0の部分について
x=2√(y-1)
これらと(1)の結果により、求める面積を
Sとすると
S=∫[-1/2→4]{(y+1)/√3}dy-∫[-1/2→1]√(1-y^2)dy
-∫[1→4]2√(y-1)dy
=…
(第二項の積分はy=cosθと置きましょう。)
No.40412 - 2016/11/18(Fri) 17:04:12
★ (No Subject) / 大輝
お願いします
No.40405 - 2016/11/18(Fri) 02:20:06
☆ Re: / X
2
y=(a^2+1)x^2-2ax (A)
a≦-2,2≦a (B)
とします。
(i)x=0のとき
(A)より
y=0
となりますが、これは
(B)に無関係に成立します。
(ii)x≠0のとき
(A)より
(x^2)a^2-2xa+x^2-y=0 (C)
(C)をaの二次方程式としてみたときに
(B)の範囲に少なくとも一つ解を持つ
条件を求めます。
そこで(B)の範囲に解を持たない
条件をまず求めます。
その条件とは
(I)(C)のすべての実数解が-2＜x＜2に含まれる
(II)(C)が実数解を持たない
のいずれかになりますので…
No.40406 - 2016/11/18(Fri) 03:55:02
★ (No Subject) / 大輝
3、4、5お願いします
No.40404 - 2016/11/18(Fri) 02:19:42
☆ Re: / X
4
(1)
条件のときのD[1],D[2]の図を描き、S[1],S[2]を
定積分を用いて計算しましょう。

(2)
前半)
V[1]についてはご自分で計算してもらう
(教科書の回転体の体積の項目が理解できていれば容易です)
としてV[2]について。
曲線y=asinx(0≦x≦π)
と直線y=Y(0≦Y＜a)
との二つの交点の一方の点のx座標を
x=X(0≦X＜π/2)
とすると、もう一方の点のx座標は
π-X
となりますので、V[2]に対応する回転体を
点(0,Y)を通りy軸に垂直な平面で切った
断面の断面積は
π(π-X)^2-πX^2=(π^2)(π-2X) (P)
(P)はX=π/2のとき0となりますが
このことはV[2]に対応する回転体を
点(0,a)を通りy軸に垂直な平面で切った
断面の断面が0となっていることに対応
しています。
よって断面積が(P)となることは
0≦X≦π/2,0≦Y≦a
に対応していることが分かりますので
V[2]=∫[0→a](π^2)(π-2x)dy
(但しy=asinx (0≦x≦π/2) (A))
ここで(A)より
dy=acosxdx
これとx,yの値の範囲の対応関係により
∴V[2]=∫[0→π/2]a(π^2)(π-2x)cosxdx
後は部分積分を使います。
後半)
前半の結果を
V[1]=V[2]
に代入して、aについての方程式を導きます。
只、このaの方程式は定数項を含まない
二次方程式となりますので解くのは容易でしょう。
No.40421 - 2016/11/19(Sat) 12:08:37
☆ Re: / 大輝
３，５もお願いします
No.40438 - 2016/11/20(Sun) 14:26:15
★ (No Subject) / 大輝
1、2お願いします
No.40403 - 2016/11/18(Fri) 02:08:15
☆ Re: / X
1
(1)
前半)
f(x)=√x-logx
と置くと
f'(x)=1/(2√x)-1/x=(1-2√x)/(2√x)
∴x＞0におけるf(x)の増減表を書くことにより
f(x)≧f(1/4)=1/2+2log2＞0
∴√x＞logx
後半)
x→∞を考えるので1＜xとしても問題ありません。
このとき前半の結果から
0＜logx＜√x
∴0＜(logx)/x^n＜1/x^(n-1/2)
よってはさみうちの原理により
lim[x→∞](logx)/x^n=0

(2)
商の微分により
f[n]'(x)={x^(n-1)-{nx^(n-1)}logx}/x^(2n)
=(1-nlogx)/x^(n+1)
∴x≧1におけるf[n](x)の増減表を書くことにより
α[n]=e^(1/n)
β[n]=1
M[n]=f[n](e^(1/n))=1/(ne)
m[n]=f[n](0)=0

(3)
(2)の結果により
s[n]=(M[n]-m[n])/(α[n]-β[n])
=({1/(ne)}/{e^(1/n)-1}
∴1/n=tと置くことにより
lim[n→∞]s[n]=lim[t→+0]{1/{(e^t-1)/t}}(1/e)
よって
g(t)=e^t
と置くと
lim[n→∞]s[n]={1/g'(0)}(1/e)=1/e
No.40419 - 2016/11/19(Sat) 10:35:21
☆ Re: / X
2
(1)
題意を満たすためのさいころの目の出方は
(i)2が二回、3が一回
(ii)3が二回、1が一回
ここで問題のサイコロを振ったときの
1,2,3の目が出る確率はそれぞれ
1/6,1/3,1/2
よって(i)となる確率は
(3C1)(1/2)(1/3)^2=1/6
(ii)となる確率は
(3C1)(1/6)(1/2)^2=1/8
∴求める確率は
1/6+1/8=7/24
(2)
これは
(I)6を超えずに3回で6に到達
(II)3回目で7から戻って6に到達
の二つの場合について考える必要があります。
(I)のとき
さいころの目の出方の組み合わせは
{2,2,2},{1,2,3}
の二つになりますので確率は
(1/3)^3+(3!)(1/2)(1/3)(1/6)=1/27+1/6
=11/54
(II)のとき
(i)二回目で5に進み、三回目で3の目が出る
(ii)二回目で6に進み、三回目で2の目が出る
のいずれかになります。
(i)のとき、二回目で5に進むようなさいころの目の出方
の組み合わせは
{2,3}
のみですので、確率は
{2(1/3)(1/2)}(1/2)=1/6
(ii)のとき、二回目で6に進むようなさいころの目の出方
の組み合わせは
{3,3}
のみですので確率は
{(1/2)^2}(1/3)=1/12
(i)(ii)より(II)のときの確率は
1/6+1/12=1/4
(I)(II)により求める確率は
11/54+1/4=49/108

(3)
まず、さいころを4回投げてちょうど7に到達する
確率を求めます。

さいころを3回投げて4に到達するような
さいころの目の出方の組み合わせは
{2,1,1}
のみですのでその確率は
(3C1)(1/3)(1/6)^2=1/36
又、3回投げて3に到達するような
さいころの目の出方の組み合わせは
{1,1,1}
のみですのでその確率は
(1/6)^3=1/108
これらと(1)(2)の結果により
さいころ3回投げて5に到達する確率は
1-7/24-49/108-1/36-1/108
=1-50/108-7/24-1/36
=58/108-(1/12)(7/2+1/3)
=58/108-23/72
=29/54-23/72
=(1/18)(29/3-23/4)
=(1/18)((116-69)/12)
=(1/18)(47/12)
よってさいころを4回投げてちょうど7に到達する確率は
(1/36)(1/2)+(1/18)(47/12)(1/3)+(49/108)(1/6)
となるので求める条件付き確率は
(49/108)(1/6)/{(1/36)(1/2)+(1/18)(47/12)(1/3)+(49/108)(1/6)}
=(49/(9・6・2))(1/6)/{(1/36)(1/2)+(1/18)(47/12)(1/3)+(49/108)(1/6)}
=(49/9)(1/6)/{(1/3)(1/2)+(1/18)(47/3)+49/54}
=(49/9)/{1+(1/3)(47/3)+49/9}
=49/(9+47+49)
=7/15
(計算間違いがあったらごめんなさい)
No.40420 - 2016/11/19(Sat) 11:18:09
☆ Re: / angel
(3)計算間違いっぽいです。
4回目で7になるには、最初の3回の出目と最後の出目が、

*4* (1,1,2)→3
*5* (1,1,3 or 1,2,2 or 3,3,3)→2
*6* (1,2,3 or 2,2,2 or 2,3,3)→1

となる場合だけです。
そしてこれらは、3回目がそれぞれ 4,5,6 の位置になっているケースに該当します。

( 確率として、分母に 6^4 が来るのは共通なので ) 目の出方の場合の数を考えると、

*4* (3×1^2×2)×3=6×3=18
*5* (3×1^2×3 + 3×1×2^2 + 3^3)×2=48×2=96
*6* (6×1×2×3 + 2^3 + 3×2×3^2)×1=98×1=98

なので、求める条件付き確率は、
　98/(18+96+98)=49/106

参考: 一応計算チェック用として
3回目に 3〜7 の位置にいる場合の数は、
　3: 1 ( 1-1-1のみ )
　4: 6
　5: 48
　6: 98
　7: 63 ( (1)の結果より )
合計216通りで、ちゃんと 6^3 と一致します。
No.40422 - 2016/11/19(Sat) 12:59:08
★ (No Subject) / 高2
(2)でk,nをそれぞれ分けてk≧2,n≧2と置く意味と
k,nの使い分けについて教えてください。
お願いします。

ペンの書き込みは関係ありません。
No.40401 - 2016/11/18(Fri) 00:15:41
☆ Re: / angel
≧2 については、画像にあるテキストの右側の注釈の通りです。
つまり「初項は特別扱い」「a[n]が1つの式にまとめられない」
だから、1 の時と、≧2 の時とを分けて、別々に考えなくてはならないのです。

k,nを使い分けているのは、
　S[1]+S[4]+S[7]+…+S[3n-2]
を計算するためです。

もうちょっと書き換えると、
　S[3×1-2]+S[3×2-2]+S[3×3-2]+…+S[3n-2]
ということで、S[3×(何か)-2] の項を、(何か)の部分が1〜nの範囲で足しています。
そこで、この(何か)を代表して、文字 k で表しています。n と k とで分けているのは、既に n が範囲の上限値として使われているからです。
No.40402 - 2016/11/18(Fri) 00:26:15
★ (No Subject) / И
y>1/2のとき、?Aを満たすtが必ず存在するのはなぜですか？
No.40397 - 2016/11/17(Thu) 22:16:26
☆ Re: / angel
f(t)の2次の係数が負となるからです。

2次関数のグラフは放物線となりますが、2次の係数が負の場合、上に凸で下に「限りなく」伸びていく形になります。

なので、必ずどこかで f(t) が負になる範囲があるということになります。
※逆に2次の係数が正であれば、必ずどこかで f(t) が正になると言えます。…この問題では関係ありませんが。
No.40398 - 2016/11/17(Thu) 22:32:57
☆ Re: / И
ありがとうございます。
No.40408 - 2016/11/18(Fri) 08:19:35
★ (No Subject) / И
解説では、uとvの実数条件を考えていないですが、実数条件が要らないのはなぜですか？
No.40396 - 2016/11/17(Thu) 22:12:10
☆ Re: / angel
?Cにある
　u=2x+1/2, v=2y
という対応が単純 ( 素直 ) だから…、ですかね。
※ちゃんとした言い方をすれば「全単射」ということなんですが。

u=2x+1/2, v=2y ( または変形して x=u/2-1/4, y=v/2 ) という関係のもと、u^2+v^2=1 を変換して (x+1/4)^2+y^2=1/4 にできますし、逆に (x+1/4)^2+y^2=1/4 を u^2+v^2=1 に変換することもできます。幾らでも行ったり来たりできるのです。

なので、ある(u,v)の値があったとき、それに対応する(x,y)を作ることもできますし、逆に(x,y)の値があったとすれば、それに対応する(u,v)を作り直すこともできます。
…ということが明らかなので、そして、値を作ったり作り直したりで出てくるのが実数なのも明らかなので、特段断らなくてもいいことになります。
※もちろん説明しても構いません
No.40400 - 2016/11/17(Thu) 22:48:29
☆ Re: / И
なるほど、理解しました。ありがとうございます。
No.40409 - 2016/11/18(Fri) 08:22:13
★ 二元一次不定方程式 / ゆうり
不定方程式7x-7y=1の整数解を求めよ。

この問題について、先生の解説がよくわかりませんでした。

17=7・2+3 より 17-7・2=3
7=3・2+1 より 7-3・2=1

7-(17-7・2)・2=1
7・5-17・2=1

よって x=5，y=2

この解き方についてどなたか解説をお願いします。
No.40390 - 2016/11/17(Thu) 20:03:35
☆ Re: 二元一次不定方程式 / noname
>不定方程式7x-7y=1の整数解を求めよ。


質問内容を見る限り，不定方程式は7x-7y＝1ではなく正しくは7x-17y＝1である様に思えます．この了解でよろしいでしょうか？

もしよろしければ，恐らくユークリッドの互除法を利用して不定方程式の特殊解を求めようとしているのだと思います．個人的には「式が成り立つ理由を考える」よりも
「その様な式を導いて利用することで不定方程式の解の一つを見つけることが出来る」という様に，あくまで方法として身に付けられるとよいかと思います．
No.40391 - 2016/11/17(Thu) 21:02:58
☆ Re: 二元一次不定方程式 / angel
拡張ユークリッドの互除法と呼ばれる方法です。

　17×1 + 7×0 = 17　…(1)
　17×0 + 7×1 = 7　…(2)

という2つの式を始まりとして、1つ前の式に何かかけて2つ前の式から引くことを繰り返します。

　(1)-(2)×2 :
　　17×(1-0×2) + 7×(0-1×2) = 17-7×2
　　⇔ 17×1 + 7×(-2) = 3 …(3)
　(2)-(3)×2 :
　　17×(0-1×2) + 7×(1-(-2)×2) = 7-3×2
　　⇔ 17×(-2) + 7×5 = 1 …(4)

今回の問題は 7x-17y=1 ということなので、丁度 (x,y)=(5,2) が解になっているということです。

ところで、
　(1)-(2)×2 → (3)
　(2)-(3)×2 → (4)
を計算していますが、この2か所の×2は、

　17÷7 = 2 ... 3
　7÷3 = 2 ... 1

と、割り算を繰り返して 1 ( 2数の最大公約数 ) を導く時の割り算で出てくる商たちです。この方法はユークリッドの互除法と呼ばれるものです。

なので、これを利用して x,y の整数解を求める方法は、拡張ユークリッドの互除法と言われます。
No.40392 - 2016/11/17(Thu) 21:03:48
☆ Re: 二元一次不定方程式 / angel
ちなみに地味に見えるかもしれませんが、コンピュータで整数の計算をする時に良く出てくるもので、結構重要です。ちょー有名な暗号技術の一つ RSA でも出てきます。( まあ、これが主役ではないですが )
No.40393 - 2016/11/17(Thu) 21:18:14
★ (No Subject) / И
4点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)を頂点とする正方形の内部及び周上を動く点P(x,y)に点Q(2x+y,x+3y)を対応させるとき、点Qの動く範囲を図示せよ。という問題で、
0≦x≦1,0≦y≦1 だから、0≦2x+y≦3,0≦x+3y≦4
Q(X,Y)とおくと、X＝2x+y,Y=x+3y
したがって、0≦X≦3,0≦Y≦4

としてはいけないのはなぜですか？
No.40388 - 2016/11/17(Thu) 13:28:31
☆ Re: / ヨッシー

Ｑのｘ座標、y座標の範囲は確かに
　0≦X≦3,0≦Y≦4
ですが、Ｑはこの範囲をくまなく動くわけではないからです。
例えば、Ｘ＝３，Ｙ＝０ となるような元の点Ｐは元の正方形内には存在しません。
No.40389 - 2016/11/17(Thu) 13:57:27
☆ Re: / И
なるほど、ありがとうございます！
No.40394 - 2016/11/17(Thu) 21:21:42
★ (No Subject) / マーク
画面の問題の(3)の問題はなぜこのような解き方をするのか教えて下さい。まったく分かりません。
No.40375 - 2016/11/16(Wed) 19:00:36
☆ Re: / ＿
そりゃまあ、そうすりゃ解けるからです。解けること自体に疑問があるわけではないですよね？

＃最初に思いついた人はすごいなと思いつつしっかり記憶する類のものであって、
＃これを1から思いつくことを要求しているわけではありません。
No.40377 - 2016/11/16(Wed) 19:49:33
☆ Re: / angel
1つの攻め口としては、1+sinx という形があれば、1-sinx をかけて (1+sinx)(1-sinx)=1-(sinx)^2=(cosx)^2 という形を作れること、1/(cosx)^2 という形があれば積分して tanx にできること、そういったことからやってみたくなる手ではありますね。

だからといって、式を眺めていたら自動的に思い浮かぶ訳もなく、色々な計算を試して形を身に着けていくという蓄積の結果なので。「なぜ」と考えてもあまり意味がありません。
No.40379 - 2016/11/16(Wed) 20:34:44
☆ Re: / angel
なお、

　1+sinx
　=1+cos(x-π/2)
　=1+cos( 2(x/2-π/4) )
　=2(cos(x/2-π/4))^2

を利用して、

　∫dx/(1+sinx)
　= ∫dx/2(cos(x/2-π/4))^2
　= tan(x/2-π/4)+C

という手もあります。
※式の形は一見違いますが、変形すれば同じにできます。
No.40380 - 2016/11/16(Wed) 20:37:05
★ (No Subject) / マーク
画面の問題で赤で囲ってある計算で、なぜcosaは1/√5,sinaは2/√5になるのですか？そのようになる解き方を教えて下さい。
No.40374 - 2016/11/16(Wed) 18:57:42
☆ Re: / X
教科書で三角関数の合成をもう一度復習しましょう。
No.40378 - 2016/11/16(Wed) 20:31:15
☆ Re: / angel
一応ツッコミ入れておくと、考え方が逆で

　sinx-2cosx=√5・sin(x-a) だったら cosa=1/√5, sina=2/√5

ではなくて ( いや、これはこれで正しいんですが )、

　cosa=1/√5, sina=2/√5 となるような a を持ってくれば、
　sinx-2cosx=√5・(sinx・cosa-cosx・sina)=√5・sin(x-a)
　と変形できて、問題を解き進めるのに役立つよ

って話なので。
No.40382 - 2016/11/16(Wed) 21:39:21
☆ Re: / マーク
単純に復習不足でした。教えて下さりありがとうございました。
No.40387 - 2016/11/17(Thu) 05:41:34
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