この問題を場合分けによって最大値を求めて解こうとすると途中で行き詰まって解けません。
この問題に有効な方針や解き方を教えてください。
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No.39582 - 2016/10/17(Mon) 19:19:05
| ☆ Re: / IT | | | M(a,b)=max(b^2,(a+b)^2) なので
任意の実数a,bに対して、b^2≦m∫[0,1](ax+b)^2dx かつ(a+b)^2≦m∫[0,1](ax+b)^2dx が成り立つmの条件を見つければいい。
任意の実数a,bに対して、b^2≦m∫[0,1](ax+b)^2dx…(1)
任意の実数a,bに対して、(a+b)^2≦m∫[0,1](ax+b)^2dx…(2)
(1)が成り立つmの範囲と(2)が成り立つmの範囲を求めます。
共通部分の最小値が答えです。
a＝0,b≠0のときは m≧1で(1),(2) が成立します
a≠0のとき (1),(2)の両辺をa^2 で割ってt=b/a とおくと簡単になりますね。
定積分を計算して整理してみてください。
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No.39584 - 2016/10/17(Mon) 19:42:08 |
| ☆ Re: / IT | | | 二次関数ｙ＝(ax+b)^2 とあるので a＝0 のときは考えなくてもいい気もしますが、
任意の実数a,b とあるので念のためa＝0のときも考慮しました。
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No.39605 - 2016/10/17(Mon) 23:20:43 |
| ☆ Re: / noname | | | a＝1,b＝0の時，(*)が成立しなければならないので，
1＝M(1,0)≦m∫_[0,1]x^2dx＝m/3.
∴m≧3.
以下，m≧3の下で考えることにします．a＝0の時，m≧3を用いると
m∫_[0,1]b^2dx＝mb^2≧3b^2≧b^2＝M(0,b).
よって，m≧3かつa≠0と仮定しても構いません．また，a≠0の下では
(a+b)^2≧b^2
⇔a(a+2b)≧0
⇔b/a≧-1/2,
(a+b)^2≦b^2
⇔a(a+2b)≦0
⇔b/a≦-1/2
であるから，t＝b/aとおくと，t≧-1/2の時
(a+b)^2＝M(a,b)≦m∫_[0,1](ax+b)^2＝m(a^2+3ab+3b^2)/3
∴3(m-1)t^2+3(m-2)t+(m-3)≧0.…?@
t≦-1/2の時は
b^2＝M(a,b)≦m∫_[0,1](ax+b)^2＝m(a^2+3ab+3b^2)/3.
∴3(m-1)t^2+3mt+m≧0.…?A
よって，t≧-1/2を満たす任意の実数tに対して?@が成り立つためのmの範囲(…(i))と，t≦-1/2を満たす任意の実数tに対して?Aが成り立つためのmの範囲(…(ii))を調べる必要があります．ここから先は2次関数の問題になりますので，一度ご自身でお考えください．なお，2次関数の軸の位置を考えると(i)や(ii)について考えやすいかと思います．
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No.39612 - 2016/10/18(Tue) 04:03:17 |
| ☆ Re: / ユー | | | ITさんの解答の(1)と(2)が(1)かつ(2)になるのがどうしてかわかりません。
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No.39616 - 2016/10/18(Tue) 11:58:00 |
| ☆ Re: / noname | | | >ITさんの解答の(1)と(2)が(1)かつ(2)になるのがどうしてかわかりません。
とりあえず，(1)のmの範囲と(2)のmの範囲をそれぞれ求めてみてください(それぞれのmの範囲を求めていない状況では，共通部分をとる意味はすぐにはピンと来ないかもしれない…)．なお，(1),(2)のそれぞれについては最終的には2次不等式の問題に帰着します．
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No.39617 - 2016/10/18(Tue) 13:47:22 |
| ☆ Re: / ユー | | | No.39618 - 2016/10/18(Tue) 15:28:40 |
| ☆ Re: / noname | | | >同じ範囲になりました。
そうなると，同じ2つの範囲の共通部分はそれ自体の範囲なので，その導出された範囲でのmの最小値を求めればよいです．ところで，なぜ共通部分をとらなければならないのかというと，(1)を満たすmの範囲と(2)を満たすmの範囲はそれぞれm≧M,m≧N(M,Nは正の実数)の様な形となり，(1),(2)の両方を満たす様なmが存在すれば，その様なmはm≧Mとm≧Nの両方を満たさなければなりません．よって，不等式を満たす全てのmはm≧Mとm≧Nの共通部分に属さなければならないのです．
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No.39621 - 2016/10/18(Tue) 16:47:17 |
| ☆ Re: / ユー | | | (1)と(2)のうち最大値になるのは-b/a=1/2時以外はどちらか一方なのでどちらか一方が成り立てば良いと思ってまたはとして考えてしまったのですが、どこで間違えてしまってるのでしょうか？
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No.39625 - 2016/10/18(Tue) 20:24:55 |
| ☆ Re: / IT | | | ユーさんの 考え違いを指摘する前に、私の考え方を説明しておきます。
f,g,h を実数とします。
max{ f, g }≦h ⇔ f≦h かつ g≦h です。
f, g の大小関係で場合分けして確認してみてください。
結果的に f, g の大小関係を考えなくていいのがメリットです。
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No.39626 - 2016/10/18(Tue) 20:39:22 |
| ☆ Re: / ユー | | | なるほど！
場合分けを意識しすぎて大小関係に拘泥していました。
ありがとうございました。
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No.39629 - 2016/10/18(Tue) 21:13:30 |
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