条件付き確率がよくわかりません。
次の問題を教えてください。
n枚のカードが２組ある。いずれの組のカードも1 , 2 , 3 ,⋯,n と通し番号が書いてある。
１組目のカードは通し番号の順に１列に並べてある。
２組目のカードを１組目のカードの上にそれぞれ１枚ずつ置く。
このとき, 上下のカードの番号が一致するところが全くないようにする。
このような２組目のカードの置き方の総数をa(n)として, 次の問いに答えなさい。
（１）a(n+2)をa(n) とa(n+1) を用いて表しなさい。
（２）a(n)=n!??(k=1~n)(-1)^k/k! を証明しなさい。
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No.40265 - 2016/11/11(Fri) 21:14:14
| ☆ Re: / angel | | | 条件付き確率…?
は兎も角として、具体例は一度書き出してみるのが良いでしょう。a(5)=44 なので辛いですが、a(4)=9 なら手頃です。
2-1-4-3, 2-3-4-1, 2-4-1-3, 3-1-4-2, 3-4-1-2,
3-4-2-1, 4-1-2-3, 4-3-1-2, 4-3-2-1
で、実はこれらは、ある基準でまとめることができます。
2-1-4-3 ( 2-1-x-x ), 3-4-1-2 ( 3-x-1-x ), 4-3-2-1 ( x-3-2-x )
2-3-4-1, 2-4-1-3, 4-3-1-2 ( 2-3-1+4 )
3-1-4-2, 3-4-2-1, 4-1-2-3 ( 3-1-2+4 )
…でまあ、問題文がヒントになっているのですが、これが a(2)=1, a(3)=2 と何かしら関係があるわけです。
(2)はひたすら帰納法です。
…問題、a(n)=n!Σ[k=2,n](-1)^k/k! じゃないでしょうか。
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No.40269 - 2016/11/11(Fri) 21:57:25 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | angel
いつもお世話になります。ありがとうございます。
悪戦苦闘してますが、明日まで考え続けます。
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No.40272 - 2016/11/11(Fri) 23:37:35 |
| ☆ Re: / angel | | | a(3)=2 と a(4)=9 から a(5)=44 も書いておきます。
n=3の時
2-3-1, 3-1-2 の2通り、a(3)=2
n=4の時
2-1-4-3, 2-3-4-1, 2-4-1-3, 3-1-4-2, 3-4-1-2,
3-4-2-1, 4-1-2-3, 4-3-1-2, 4-3-2-1
の9通り、a(4)=9
n=5の時、
2-3-1-5-4, 2-4-5-1-3, 3-5-4-1-2, 5-3-4-2-1
( b-c-a-x-x, b-c-x-a-x, b-x-c-a-x, x-b-c-a-x )
3-1-2-5-4, 4-1-5-2-3, 4-5-1-3-2, 1-4-2-3-5
( c-a-b-x-x, c-a-x-b-x, c-x-a-b-x, x-c-a-b-x )
の8通りと、
5-1-4-3-2, 2-5-4-3-1, 2-1-5-3-4, 2-1-4-5-3 ( 2-1-4-3+5 )
5-3-4-4-2, 2-5-4-1-3, 2-3-5-4-1, 2-3-4-5-1 ( 2-3-4-1+5 )
5-4-1-3-2, 2-5-1-3-4, 2-4-5-3-1, 2-4-1-5-3 ( 2-4-1-3+5 )
5-1-4-2-3, 3-5-4-2-1, 3-1-5-2-4, 3-1-4-5-2 ( 3-1-4-2+5 )
5-4-1-2-3, 3-5-1-2-4, 3-4-5-1-2, 3-4-1-5-2 ( 3-4-1-2+5 )
5-4-2-1-3, 3-5-2-1-4, 3-4-5-2-1, 3-4-2-5-1 ( 3-4-2-1+5 )
5-1-2-3-4, 4-5-2-3-1, 4-1-5-3-2, 4-1-2-5-3 ( 4-1-2-3+5 )
5-3-1-2-4, 4-5-1-2-3, 4-3-5-2-1, 4-3-1-5-2 ( 4-3-1-2+5 )
5-3-2-1-4, 4-5-2-1-3, 4-3-5-1-2, 4-3-2-5-1 ( 4-3-2-1+5 )
の36通り、
計44通り、a(5)=44
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No.40274 - 2016/11/11(Fri) 23:57:40 |
| ☆ Re: / noname | | | angel様が殆んど丁寧に解説なされているため私からは言うべきことは何もないのですが，本問ではあみだくじの設定を考えると分かり易いかもしれません．つまり，例えば1,2,3,4,5の5つの数のそれぞれがあみだくじにより1,2,3,4,5のどれかに対応する時，それぞれの列の上の数と下の数が一致しない様な状況を考えているのだということです．
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No.40276 - 2016/11/12(Sat) 00:20:37 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | angel さん 、nonameさん
ありがとうございます。昨日は、またいただけるとは思っていませんでした、大変失礼いたしました。
今日、午後まで、引き続き頑張ります。
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No.40285 - 2016/11/12(Sat) 08:00:10 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | angel さん 、nonameさん
2-1-4-3(2-1-x-x ),3-4-1-2( 3-x-1-x ),4-3-2-1(x-3-2-x )
は、a(2)を基準にした並べ方だと思いますが、
2-3-4-1, 2-4-1-3, 4-3-1-2 ( 2-3-1+4 )が
a(3)の2-3-1の並べ方のル−ルに相当するのが分かりません。昨日からずっと考えているのですが。詳しく書いていただいているa(5)についても考えたのですがわかりません。
また、「あみだくじ」の問題で、特定の1つの位置から別の特定の位置に行く方法は、逆に辿る方法で解いたことはありますが、すべてが異なる位置に行く方法は考えましたがわかりませんでした。
すみません、レベルが低くてご迷惑おかけいたします。
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No.40289 - 2016/11/12(Sat) 10:08:31 |
| ☆ Re: / angel | | | > 2-3-4-1, 2-4-1-3, 4-3-1-2 ( 2-3-1+4 )がa(3)の2-3-1の並べ方のル−ルに相当するのが分かりません。
まず、n=3 での並べ方を1つ持ってきます。
ここでは、2-3-1 とします。
次に、その後ろに 4 を繋げます ( 2-3-1+4 )。ただし、これは「一致するところが全くないようにする」は満たしていません。4の所で一致してしまいますから。
なので、その4を適当なところと入れ替えます。3か所候補があります。
4-3-1-2, 2-4-1-3, 2-3-4-1
これ、実は入れ替えると「一致するところが全くないようにする」をどれも満たすようになります。
ということで、a(3)の並べ方に対応する並べ方 3a(3)通りが作れるわけです。
P.S.
> すみません、レベルが低くてご迷惑おかけいたします。
いえ、そんな卑下しなくて大丈夫なので…。人の説明を自分の中で消化して、その上で更に出てきた疑問点を整理して人に伝えられる、というのはそれだけでも十分な能力なのですよ。
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No.40290 - 2016/11/12(Sat) 11:50:48 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | angel さん
何回もありがとうございます。
また考えます。
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No.40292 - 2016/11/12(Sat) 12:15:55 |
| ☆ Re: / angel | | | えっと、今までの私の説明だと本当は片手落ちなところがあるので、逆の話も載せておきます。
n=5 で考えてみます。
5を置く場所は、5番目以外4か所の候補がありますが、これはどれを選んでも良いです。例えば2番目とします。
次に、5番目に何を置くかを決めます。1〜4どれでも置けますが、大きく2通りの状況に分かれます。
* 5の置かれた2番目にちなんで、2を置く場合 ( y-5-y-y-2 )
残りカード、場所とも両方 1,3,4 の組み合わせです。
* 2以外を置く場合
y-5-y-y-x ( x≠2 )
これは、y-x-y-y+5 から 5,x を入れ替えた形と見做すことができます。
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No.40293 - 2016/11/12(Sat) 12:28:00 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | angel さん
ありがとうございます。とても助かります。
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No.40295 - 2016/11/12(Sat) 13:30:33 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | angel さん
おかげさまでやっと、a(n+2)=(n+1){a(n+1)+a(n)}
にたどり着けました。ありがとうございました。
（2）ですが、もういちど確認しましたが
a(n)=n!??(k=1~n)(-1)^k/k! でした。
もしかしたら、塾の誤植かもしれません。
これも解答の指針をいただけないでしょうか。すみません。
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No.40300 - 2016/11/12(Sat) 16:18:37 |
| ☆ Re: / angel | | | > （2）ですが、もういちど確認しましたが
> a(n)=n!??(k=1~n)(-1)^k/k! でした。
単純に a(2) を計算してみると、
a(2)=2( -1/1 + 1/2 )=-1
となってしまうので、誤植だと思います。
さて、漸化式が a(n+2)=(n+1)(a(n+1)+a(n)) のように隣接3項間なので、そのまま、直前の2つを使ったやや変則的な帰納法になります。
スタートは a(1)=0, a(2)=1 です。
で、これも、n が小さいところでまずは1例試してみます。
a(3)=2, a(4)=9 → a(5)=44 のところの計算は、
a(3)=3!/2! - 3!/3!
a(4)=4!/2! - 4!/3! + 4!/4!
⇒
a(5)=4(a(3)+a(4))
= 4(3!+4!)/2! - 4(3!+4!)/3! + 4・4!/4!
ここから
a(5)=5!/2! - 5!/3! + 5!/4! - 5!/5!
の形に持っていけるかどうか ( いやもちろん持っていけるのですが ) というところがカギです。
つまり、
* 4(3!+4!) → 5! への変形
* 係数が 4(3!+4!) になっていない 1/4! の項の調整
* 存在しない 1/5! の項の捻出
ここら辺の対処を行うことになります。
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No.40303 - 2016/11/12(Sat) 18:10:55 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | angel さん
ありがとうございました。
解説に沿って解いてみます。
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No.40304 - 2016/11/12(Sat) 19:08:02 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | angel さん
4(3!+4!)=4!+4・4!=(1+4)4!=5!
4・4!/4!=5・4・4!/5・4!
=(5!/4!)/(4/5)
=(5!/4!)(1-1/5)=
=5!/4!-5!/5!より
a(5)=4(a(3)+a(4))
= 4(3!+4!)/2! - 4(3!+4!)/3! + 4・4!/4!
= 5!/2! - 5!/3! + 5!/4! -5!/5!
と変形できましたが、
帰納法の証明で、仮定と証明対象の式は何なのでしょうか？
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No.40305 - 2016/11/12(Sat) 19:49:43 |
| ☆ Re: / angel | | | 証明したいのは a(n)=n!??(k=1~n)(-1)^k/k! なので、当然それに沿ったものになるのですが、通常の帰納法では n=k の時1つ分の成立を仮定するところ、今回は2つ分仮定します。
Σの中で k を使っているので代わりに j にしますが、
a(j)=j!Σ[k=2,j](-1)^k/k!
かつ a(j+1)=(j+1)!Σ[k=2,j+1](-1)^k/k!
⇒ a(j+2)=(j+2)!Σ[k=2,j+2](-1)^k/k!
を証明することになります。( その1例が、a(3),a(4)からa(5)
の導出ということです )
スタートは n=1,2 …と言いたい所ですが、a(1)=Σ[k=2,1]〜 という表現は普通しないので、n=2,3 をスタートにして、n≧2 の範囲を証明することになります。
※この点は問題文に不備のあるところかと思います。
なお、仮定が2つあることでやや違うように見えるのですが、変形すれば通常の帰納法にすることができ、同等なものなのです。( 解答でそこまで変形する必要はないです )
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No.40307 - 2016/11/12(Sat) 20:35:15 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | angel さん
ありがとうございます。
今から証明を考えます。
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No.40308 - 2016/11/12(Sat) 20:48:05 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | angel さん
おかげさまで、出来ました！
丸1日以上教えていただきましてありがとうございました。
丁寧なご指導ありがとうございました。
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No.40309 - 2016/11/12(Sat) 21:25:05 |
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