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★ (No Subject) / ぽあそん
数?TAの図形の問題
次の問題がわかりません。解答解説をお願いします。

△ABCの辺AB,AC上に、それぞれ頂点と異なる点F,Eをとるとき、
△AFE/△ABC=(AF/AB)・(AE/AC)
が成り立つ。これをふまえて以下の問に答えよ。

問 △ABCの辺BCを2:3に内分する点をD、辺CAを1:4に内分する点をE、
辺ABの中点をFとする。△DEFの面積が14のとき、△ABCの面積を求めよ。
No.39951 - 2016/10/29(Sat) 10:34:23
☆ Re: / angel
「これをふまえて」を元に考えてみます。
そうすると、△DEFを取り囲む3つの三角形が、それぞれ△ABCに対して何倍の面積を持つものか、倍率 ( 1より小さいはずですね ) が分かります。

例えば△AEFなら△ABCの2/5倍というようにです。

そうしてそれぞれ倍率を求めると ( 頂点A,B,Cを含む部分の順に、2/5倍、1/5倍、3/25倍です。
ということは、△DEFはそれらを取り除いた部分ということで、△ABCの(1-2/5-1/5-3/25)倍ということになります。それが問題で14と分かっている、という状況です。

方程式で書くとすれば、△ABCの面積をSとした時、

　(1-2/5-1/5-3/25)S=14

これを計算して、S=50 が答えです。
No.39952 - 2016/10/29(Sat) 10:52:07
★ (No Subject) / 柿
xy平面上の3点A(1.0)、B(1.2)、C(2.1)を頂点とする三角形ABCの外接円をDとする。
⑴円Dの中心と半径を求めよ。また、y=mx-mが三角形ABCの面積を2等分するときのmの値を求めよ。
⑵点P(x.y)が円Dの円周上を動くとき、x+2yの最大値と最小値を求めよ。
⑶点P(x.y)が円Dの円周上及び内部を動く。a=x+y、b=xyとするとき、点Q(a.b)が存在する領域の面積Sを求めよ。

⑴中心(1.1)半径1 m=3
⑵x+2yの最大値3+√5、最小値3-√5
になりました。
違っているようならば、そこの解説もお願いします。
No.39948 - 2016/10/29(Sat) 09:22:21
☆ Re: / angel
取り敢えず(1),(2)合っています。
No.39949 - 2016/10/29(Sat) 09:54:15
☆ Re: / angel
(3)は…、説明しちゃっていいんですかね。

(1)の答えから、「円Dの内側+周上」を表す不等式が分かりますね。
それを、x+y=a, xy=b を使って a,b の不等式に置き換えます。

一方で、a=x+y, b=xy ですから、大前提として a^2-4b≧0 です。

これで不等式が2つでますから、(a,b)の存在する領域が分かります。上の2つの不等式で現れる放物線に挟まれる領域になります。

この領域自体は三日月型ですが、面積については結局、2次式の差の積分になります。
2放物線の交点のx座標をα,β(α＜β)とすると、

　∫[α,β] 1/4・( -(x-α)(x-β) )dx

の形に今回はなりますから、公式を知っていれば 1/4・1/6・(β-α)^3 で一発です。
※解答でいきなり公式を使うのもどうかと思いますので、計算の過程は何かしら誤魔化しましょう

なお、答えは 2√2/3 になります。
No.39950 - 2016/10/29(Sat) 10:25:23
☆ Re: / 柿
ありがとうございました。
No.39982 - 2016/10/30(Sun) 09:13:03
★ 整数について。 / コルム
線を引いたところがわかりません。教えていただけないでしょうか。意味不明なところがありましたら教えていただけないでしょうか。7番です。
No.39941 - 2016/10/29(Sat) 03:17:32
☆ Re: 整数について。 / コルム
答えです。線を引いたところです。
No.39942 - 2016/10/29(Sat) 03:19:14
☆ Re: 整数について。 / noname
>この手の整数問題は，式を変形して必要条件を探すことが定石。

簡単に言うと，「『考えるべき対象の範囲を試行錯誤して狭めていき，問題を考えやすくする』という作業は問題を考える際の常套手段である」ということです．


>この問題の場合は，とりあえずABが400の約数であることが必要条件であることに気づけば早い。

この記述の意味は，「『3桁の整数4ABが2桁の整数ABの倍数ならば，ABはAB自身の倍数であるから，2つのABの倍数の差4AB-AB＝400もABの倍数である．よって，ABは400の約数でなければならない．』という様に，考えるべきことの範囲を狭めて問題を考えやすくするとこの問題が解き易くなる」ということです．


>2桁の数ということにとらわれず、ABをnと置き換えてみた。

「2桁の整数ABが400の約数であることを考える際に，ABという数の表示は意味をなさないため，ABという数を一つの文字で置いて(例えば，文字nで置くなど)議論すればよい」ということです．
No.39944 - 2016/10/29(Sat) 03:52:00
☆ Re: 整数について。 / コルム
ありがとうございました。
No.39945 - 2016/10/29(Sat) 04:02:06
★ 四角形について。 / コルム
写真の問題がわかりません。教えていただけないでしょうか。意味不明なところがありましたら教えていただけないでしょうか。3番です。
No.39939 - 2016/10/29(Sat) 02:05:57
☆ Re: 四角形について。 / コルム
答えです。
No.39940 - 2016/10/29(Sat) 02:07:17
☆ Re: 四角形について。 / ヨッシー
点Ｄが領域アにある時の図
点Ｄが領域イにある時の図
点Ｄが領域ウにある時の図
をそれぞれ手書きで描いてアップしてみてください。
No.39946 - 2016/10/29(Sat) 07:54:12
☆ Re: 四角形について。 / コルム
図を載せました。
No.39953 - 2016/10/29(Sat) 11:10:26
☆ Re: 四角形について。 / ヨッシー
その図が描けて、解説に
領域アはダメ、領域イはダメ、領域ウはＯＫ
と書いてあって、他に何の説明が必要ですか？
No.39954 - 2016/10/29(Sat) 12:46:25
☆ Re: 四角形について。 / コルム
あっていたのですね。ありがとうございました。
No.39955 - 2016/10/29(Sat) 13:18:29
★ 数学 7の倍数証明 / 名無し
3^（2n）−2^n（nは自然数）が7の倍数であることの証明

1.数学的帰納法
2.合同式
3.二項定理
4.恒等式
a^n−b^n＝（a−b）｛a^（n−1）＋a^（n−2）b＋...＋b^（n−1）｝
の利用以外の証明方法で証明せよ。

わかりません。
No.39936 - 2016/10/29(Sat) 01:13:46
☆ Re: 数学 7の倍数証明 / noname
質問内容が文章として書かれていないために「何」に関する質問か把握しかねますが，

>3^（2n）−2^n（nは自然数）が7の倍数である

ことに対する証明で，次の4つ

>1.数学的帰納法
2.合同式
3.二項定理
4.恒等式
a^n−b^n＝（a−b）｛a^（n−1）＋a^（n−2）b＋...＋b^（n−1）｝
の利用

以外のやり方でのものが思い付かないため，知識をお借りしたいということでしょうか？
No.39943 - 2016/10/29(Sat) 03:39:15
☆ Re: 数学 7の倍数証明 / IT
その縛りに何の意味があるのか、出題者の意図が良く分りませんが。
(x+y)^n=x^n+a[1]x^(n-1)y+a[2]x^(n-2)y^2+...+a[n-1]xy^(n-1)+y^n，(a[i]は自然数) となること…（１）は使っていいですか？

a[i]=c(n,i) としたものが「二項定理」です。（１）は、そこまでは言っていないので「二項定理」ではないと思います。ただし、任意の自然数ｎについて主張していますから、どこかで数学的帰納法を使うことになる気がします。
No.39947 - 2016/10/29(Sat) 07:55:27
☆ Re: 数学 7の倍数証明 / IT
「背理法」と「数学的帰納法もどき」　でやるなら
まず　3^(2n)−2^n＝9^n-2^n です。この方が記述が楽なのこう書きます。

9^n−2^nが7の倍数でない自然数nが存在したと仮定する。
そのような最小の自然数をnとする
n＝1のとき 9^1-2^1=7 なのでn≧2

nの最小性から　9^(n-1)+2^(n-1) は7の倍数である。9^(n-1)+2^(n-1)=7m (mは整数)…(1)とおける。

9^n−2^n＝(7+2)9^(n-1)-2^n
＝7*9^(n-1)+2(9^(n-1)-2^(n-1))
(1)を代入
＝7*9^(n-1)+2*7m
＝7(9^(n-1)+2m) :これは７の倍数となり仮定に反する。

よって9^n−2^nが7の倍数でないような自然数nは存在しない。
No.39971 - 2016/10/29(Sat) 19:21:56
★ (No Subject) / EM
大問18の(2),(3)を教えてください。
No.39922 - 2016/10/28(Fri) 00:03:25
☆ Re: / noname
とりあえず，(2)のヒントを載せておきます．


[(2)のヒント]
BQ/BC＝yとおくと，△BQCと△CQRの面積S_[△BQP],
S_[△CQR]は

S_[△BQP]＝BP/BA・BQ/BC・S＝y(1-x)S,
S_[△CQR]＝CQ/CB・CR/CA・S＝z(1-y)S.

よって，△PQRの面積S_[△PQR]は

S_[△PQR]
＝S-(S_[△APR]+S_[△BQP]+S_[△CQR])
＝S[1-{(x(1-z)+y(1-x)+z(1-y)}]
＝S{1-(x+y+z)+(xy+yz+zx)}
＝S{1-t+(xy+yz+zx)}.

ここで，y＝1-x-zを用いると，

xy+yz+zx
＝xz+(t-(x+z))(x+z)
＝-x^2+(t-z)x-z^2+tz
＝-[{x-(t-z)/2}^2+3/4・(z-t/3)^2]+t^2/3.

この計算結果に注意すると，M(t)を求めることが出来る．
No.39925 - 2016/10/28(Fri) 03:45:10
☆ Re: / angel
xy+yz+zx の最大値を考える部分は、別のアプローチもできます。

xy+yz+zx
=1/2・( (x+y+z)^2 - (x^2+y^2+z^2) )
=1/2・( t^2-(x^2+y^2+z^2) )

ここで、x+y+z=t (一定) の条件のもと、x^2+y^2+z^2 が最小となるのは、x=y=z の時なので、
xy+yz+zx は、x=y=z=t/3 の時、最大値 t^2/3 をとると分かります。

ただ、「x^2+y^2+z^2 が最小となるのは、x=y=z の時」には当然説明が要りますので、こういうのをやったことなければ、使わない方がいいです。
No.39932 - 2016/10/28(Fri) 21:00:25
☆ Re: / noname
>x+y+z=t (一定) の条件のもと、x^2+y^2+z^2 が最小となるのは、x=y=z の時なので

例えば，xyz空間のx＞0,y＞0,z＞0の範囲において，球面x^2+y^2+z^2＝R^2(R＞0)と平面x+y+z＝tが接する場合について考えると，上の記述についてうまく説明できるかと思います．その際に，点と平面の距離の公式や平面に垂直なベクトルの求め方などを用いるとよいかもしれません．
No.39935 - 2016/10/29(Sat) 00:08:50
★ 数学 / 名無し
考えては見たものの、わかりません。どうすればいいのでしょうか？
No.39918 - 2016/10/27(Thu) 22:11:32
☆ Re: 数学 / angel
ある程度は数式として整理しますが、ある程度は数の組み合わせを1つ1つ力技で試していかざるを得ません。

先に条件を整理します。

* M,Nは2桁、Mの1の位とNの10の位が等しい
　M=10a+b, N=10b+c, 1≦a≦9, 1≦b≦9 と置ける
* 〜分数の値が等しい
　M/N=a/c, 1≦c≦9
* M,Nは異なる
　a=b=c ではない

ここから、M/N=a/c を整理して
　M/N=a/c
　⇔ cM=aN
　⇔ c(10a+b)=a(10b+c)
　⇔ c(9a+b)=10ab

まとめると、

　1≦a,b,c≦9, c(9a+b)=10ab, not( a=b=c )

ここまでが、数式上で整理できる条件です。
No.39919 - 2016/10/27(Thu) 23:39:38
☆ Re: 数学 / angel
ここから、整数の性質に着目して、またある程度は力技で調べていきます。

c(9a+b)=10ab から、左辺、c, (9a+b) どちらかは5の倍数となります。そこで場合分けして、

(1) cが5の倍数になる場合 ⇒ c=5
　5(9a+b)=10ab
　⇔ 2ab-9a-b=0
　⇔ 4ab-18a-2b=0　(全体を2倍)
　⇔ 4ab-18a-2b+9=9
　⇔ (2a-1)(2b-9)=9

　これで、(2a-1),(2b-9)の積が9になる組み合わせを調べると、
　(a,b)=(1,9),(2,6),(5,5) の3通りが出てきます。
　ただ、(a,b)=(5,5)は、c=5 と併せると not(a=b=c) に抵触するため、除外します。
No.39920 - 2016/10/27(Thu) 23:44:53
☆ Re: 数学 / angel
(2) c≠5 の場合
　(9a+b)が5の倍数になります。
　ここで、9a+b=10a+(b-a) であることに注意すると、
　10a は既に5の倍数ですから、残りの b-a が5の倍数、つまり

　(2)-1. a=b
　(2)-2. a=b+5
　(2)-3. b=a+5

　のいずれかになります。

　(2)-1. a=b
　　c(9a+b)=10ab に a=b を代入して整理すると b=c
　　つまり、a=b=c になり、not(a=b=c) に抵触するため除外
　(2)-2. a=b+5
　　c(9a+b)=10ab に a=b+5 を代入して整理すると
　　c=2b(b+5)/(2b+9)
　　なので、右辺の分数が割り切れるかどうか、なのですが、これ実はb=1〜9 全て試しても割り切れません。
　　※整数の性質から説明することもできるのですが、9通りなので力技で十分
　　ということで、このケースも除外
　(2)-3. b=a+5
　　c(9a+b)=10ab に b=a+5 を代入して整理すると
　　c=2a(a+5)/(2a+1)
　　これもa=1〜9全て試すと、右辺の分数が割り切れるのは a=1,4
　　※これも整数の性質から…以下略
　　このケースでは(a,b,c)=(1,6,4),(4,9,8)

最終的に、(1),(2)併せて、
(a,b,c)=(1,9,5),(2,6,5),(1,6,4),(4,9,8) の4通りが条件を満たす組み合わせです。
No.39921 - 2016/10/27(Thu) 23:55:21
☆ Re: 数学 / 名無し
ありがとうございます！完全に理解しました！なお途中までの式変形はあってた模様です。
No.39923 - 2016/10/28(Fri) 00:32:17
★ (No Subject) / カフカ
画像の問題の10と11と13番が解けません。お願いします。
No.39915 - 2016/10/27(Thu) 21:17:39
☆ Re: / angel
(10)部分積分を使います。( 試されましたか? )
(11) e^(x^2) を微分した形と、問題の式とを見比べてみましょう。
(13)部分積分を2回使います。そうすると、
　∫sin(logx)dx = 〜 - ∫sin(logx)dx
　という形になりますので、∫sin(logx)dx を移行してまとめます。
No.39916 - 2016/10/27(Thu) 21:58:17
☆ Re: / angel
補足です。
(13)部分積分をする前に、
　( sin(logx) )' = cos(logx)/x
　( cos(logx) )' = -sin(logx)/x
に注意しましょう。
∫sin(logx)dx という形は、∫x・sin(logx)/x・dx と見て部分積分します。
No.39917 - 2016/10/27(Thu) 22:01:39
★ 高校生 / はろうぃん
10人を3人・3人・4人に分ける方法は何通りあるか。
求め方を教えて下さい。よろしくお願いします。
No.39906 - 2016/10/27(Thu) 19:32:56
☆ Re: 高校生 / ヨッシー
１０人を一列に並べます。　10! 通り。
前から３人をＡチーム、次の３人をＢチーム、残り４人をＣチームとします。
Ａチームの３人は並び順を変えても同じチーム、
Ｂチームの３人は並び順を変えても同じチーム、
Ｃチームの４人は並び順を変えても同じチームなので、
　10!÷3!÷3!÷4!＝4200（通り）
ＡチームとＢチームは入れ替えても同じなので、
　4200÷2＝2100（通り）

または　10Ｃ4×6Ｃ3×3Ｃ3÷2＝2100　でも求められます。
後者は、10人から4人選ぶ、残り6人から3人選ぶ、残り3人から3人選ぶ。
3人の2チームは入れ替えて重複するものが2組ずつある。
という計算です。
No.39907 - 2016/10/27(Thu) 20:01:38
★ 高校生 / もの
60以下の自然数のうち次のような数の個数を求めよ。
3の倍数でも5の倍数でもない数。

答えは32個らしいのですが解き方が分かりません。求め方を教えてください。
No.39901 - 2016/10/27(Thu) 18:46:36
☆ Re: 高校生 / X
まずは60以下の自然数のうちで
3の倍数又は5の倍数となる数
の個数を求めましょう。
No.39903 - 2016/10/27(Thu) 18:48:21
★ 教えてください。 / 佐藤
高校生
2次不等式x＾2＋mx ＋m＜0が実数の解を持たない時定数mの値の範囲は□≦m≦□である。また2次不等式x＾2＋mx＋m＜0の解が区間0≦ｘ≦1を含むような定数mの値の範囲はm＜○である。 □と○の求め方を教えてください。
No.39896 - 2016/10/27(Thu) 17:39:57
☆ Re: 教えてください。 / X
前半)
xの二次方程式
x^2+mx+m=0
の解の判別式をDとすると
D=m^2-4m≦0
∴0≦m≦4

後半)
f(x)=x^2+mx+m
と置くとy=f(x)のグラフは
下に凸の放物線ですので
題意を満たすためには
f(0)=m＜0
かつ
f(1)=2m+1＜0
∴m＜-1/2
No.39898 - 2016/10/27(Thu) 18:25:03
★ (No Subject) / オセロ
曲線C1：ｙ＝-x^2＋4{x}-2x　　{}は絶対値です。
曲線C2：y=ax^2＋bx＋c（a>0)
C2がC1と異なる２点で接している。

bの値を求めよ。
また、cをaを用いて表せ。
C1とC2で囲まれた部分の面積が３となるようなaの値を求めよ。

解説宜しくお願い致します。
No.39895 - 2016/10/27(Thu) 17:17:52
☆ Re: / X
条件からC[1]の方程式は
x＜0のときy=-x^2-6x (A)
0≦xのときy=-x^2+2x (B)
題意を満たすためにはC[2]が
C[1]の(A)(B)の部分と一か所
づつ接すればいので
(i)(A)について
接点のx座標について
-x^2-6x=ax^2+bx+c
∴(a+1)x^2+(b+6)x+c=0 (A)'
よって(A)'の解の判別式をDとすると
D=(b+6)^2-4c(a+1)=0 (C)
又、(A)'において解と係数の関係を
使うことにより
-(b+6)/(a+1)＜0 (D)
(ii)(B)について
接点のx座標について
-x^2+2x=ax^2+bx+c
∴(a+1)x^2+(b-2)x+c=0 (B)'
よって(B)'の解の判別式をDとすると
D=(b-2)^2-4c(a+1)=0 (E)
又、(A)'において解と係数の関係を
使うことにより
-(b-2)/(a+1)≧0 (F)

(C)(D)(E)(F)を連立して解きます。
(C)-(E)より
(b+6)^2-(b-2)^2=0
これより
8(2b+4)=0
∴b=-2
これを(C)に代入して
16-4c(a+1)=0
∴c=4/(a+1)
このとき、C[2]の方程式は
y=ax^2-2x+4/(a+1)
又、(A)'(B)'はそれぞれ
(a+1)x^2+4x+4/(a+1)=0
(a+1)x^2-4x+4/(a+1)=0
となるので、C[1],C[2]の
接点のx座標は
2/(a+1),-2/(a+1)
更に題意を満たすためには
C[1]はC[2]の下側になる
ことに注意すると、問題の面積
について
∫[-2/(a+1)→0]{ax^2-2x+4/(a+1)
-(-x^2-6x)}dx+∫[0→2/(a+1)]{ax^2-2x+4/(a+1)
-(-x^2+2x)}dx=3 (E)
(E)をaについての方程式として解きます。
(まずは(E)の左辺の定積分を計算しましょう。)

(E)が解けないようであれば、その旨をアップして下さい。
No.39900 - 2016/10/27(Thu) 18:42:00
☆ Re: / オセロ
詳しく解説して頂き、誠にありがとうございました。
No.39928 - 2016/10/28(Fri) 17:37:14
★ (No Subject) / EM
大問19の解き方を教えてください。
No.39894 - 2016/10/27(Thu) 17:16:10
☆ Re: / X
(1)
x^2-2x+3=t
と置くと
t=(x-1)^2+2≧2 (A)
で
f(x)=t^2-(a^2)t={t-(1/2)a^2}^2-(1/4)a^4 (B)
よって横軸にt、縦軸にf(x)を取った(B)のグラフを
(A)の範囲で描くことにより、求める条件は
(1/2)a^2＜2 (B)
2^2-(a^2)・2＞0 (C)
(B)(C)より
-√2＜a＜√2
(2)
(1)のときのf(x)の最小値をmとすると
m=2^2-(a^2)・2=2(2-a^2) (D)
よって(1)の結果により、
0＜m≦4
となるので条件を満たすmは
m=1,2,3,4
(D)において一つのmの値に対し
aの値が二つ対応することから
求めるaの個数は
8個
となります。
No.39897 - 2016/10/27(Thu) 18:18:23
★ (No Subject) / 17
(1)辺の長さが2,3,4である三角形がある。その面積は3より小さい。これを示せ。
(2)3辺の長さがa-1,a,a＋1である三角形がある。その面積Sをaで示せ。ただし、a>2とする。
(3) (2)において、S／a^2 がとりうる値の範囲を求めよ。
お願い致します。
No.39885 - 2016/10/27(Thu) 13:15:47
☆ Re: / ヨッシー
対象学年はどのくらいですか？

例えば(1) は、△ＡＢＣにおいて、
BC=2, CA=3, AB=4 とすると、面積は
　(1/2)BC・CA・sin∠ACB＝3・sin∠ACB であり、
∠ACB≠90° であるので、0＜sin∠ACB＜1
よって、面積は ３より小さい。
というような回答でいいですか？

(2) はヘロンの公式を使っても良いですか？
No.39888 - 2016/10/27(Thu) 15:16:45
☆ Re: / 17
数1Aの範囲です。(1),(2)はわかりました、ありがとうございます。(3)もよろしくお願いします。
No.39892 - 2016/10/27(Thu) 17:10:33
☆ Re: / ヨッシー
(2) で
　Ｓ＝a√{3(a^2−4)}／4
と出たと思いますが、
　Ｓ/a^2＝√{3(1−4/a^2)}／4
と計算でき、ａ＞2 より
　0＜1−4/a^2＜1
であるので、
　0＜Ｓ/a^2＜(√3)/4

ちなみに、a をずっと大きくすると、この三角形は
正三角形に近くなり、正三角形のときの　Ｓ/a^2 である √3/4 に近づきます。
No.39899 - 2016/10/27(Thu) 18:34:48
★ (No Subject) / アリス
(2)を教えてください。
No.39884 - 2016/10/27(Thu) 13:00:40
☆ Re: / ヨッシー
(2)
前半
数字(数)とアルファベット(ア)の並び方は
　ア数ア数ア数ア
の一通りなので、それに３つの数字、４つのアルファベットを並べる並べ方は
　３！×４！＝１４４(通り)

後半
数字(数)とアルファベット(ア)の並び方は
　数数ア数ア数ア
　数ア数数ア数ア
　数ア数ア数数ア
　数ア数ア数ア数
　ア数数ア数ア数
　ア数ア数数ア数
　ア数ア数ア数数
の７通り。これに３つの数字、４つのアルファベットを並べる並べ方は
　７×３！×４！＝１００８(通り)
No.39890 - 2016/10/27(Thu) 15:23:01
★ (No Subject) / Sammy
p>0のとき、関数f(x)=|px＋1|＋|x-p|の最小値を求めよ。
よろしくお願いします。
No.39882 - 2016/10/27(Thu) 10:59:36
☆ Re: / ヨッシー
ｘ＜-1/p のとき　|px+1|＝-px-1
ｘ≧-1/p のとき　|px+1|＝px+1

ｘ＜ｐ のとき　|x-p|＝-x+p
ｘ≧ｐ のとき　|x-p|＝x-p

以上より
　ｘ＜-1/p のとき　f(x)＝−(p+1)x＋p-1　・・・(i)
　-1/p≦ｘ＜ｐ のとき f(x)＝(p-1)x＋p+1　・・・(ii)
　ｐ≦ｘ のとき　f(x)＝(p+1)x＋1-p　　・・・(iii)
(i) は右下がり、(iii)は右上がりのグラフになるのは確実ですが、
(ii) が右下がりか右上がりか、はたまた水平かによって、
f(-1/p) が最小になるか、f(p) が最小になるかが変わってきます。
No.39883 - 2016/10/27(Thu) 11:36:14
☆ Re: / sammy
xの範囲を場合分けして、それぞれで最小値を求めればよいのでしょうか？
No.39887 - 2016/10/27(Thu) 13:27:15
☆ Re: / ヨッシー
いいえ、ｘの範囲の場合分けは上の通りです。
(ii) が右上がりか右下がりかは、(ii) の式の傾きによります。
No.39891 - 2016/10/27(Thu) 16:41:19
☆ Re: / sammy
なるほど、理解しました。ありがとうございます。
No.39893 - 2016/10/27(Thu) 17:12:25
★ (No Subject) / ちー
理解できました！
詳しい解説ありがとうございました！！
No.39867 - 2016/10/26(Wed) 22:09:37
☆ Re: / ちー
間違えました。ごめんなさい！
No.39868 - 2016/10/26(Wed) 22:10:13
★ 高2 数学 / 名無し
（1）は微妙ですが、解法の糸口だけでも
（2）は全くわかりません。
No.39866 - 2016/10/26(Wed) 22:03:57
☆ Re: 高2 数学 / IT
(1)
ｆ(x) の増減を考えると、２つのｘの値で極小値を持つためには、 f'(x)=0 が３つの異なる実数解を持つことが必要十分条件であると、分ると思います。

まずは、f'(x)を調べてそのようなｋの範囲を求めてください。
No.39871 - 2016/10/26(Wed) 22:27:07
☆ Re: 高2 数学 / 名無し
できました。ありがとうございます。
（2）もお願いできますか？
No.39872 - 2016/10/26(Wed) 22:46:04
☆ Re: 高2 数学 / angel
(2)
(1)でkの値を求めましたが、それは忘れます。

代わりに補うものがあります。
それは、α,βに続く、3次方程式 f'(x)=0 の解です。これをγとします。

さてそうすると、α,β,γで解と係数の関係が使え、α,βをγで表すことができます。( 実際にはα+βとαβをγで表せば十分 )
なお、k は使わないので、αβγの条件は見なかったことにします。

で、α,βをγで表せば、2点の中点、これはα,βの式 ( それも対称式 ) ですから、これもγで表すことができます。
で、x座標の式、y座標の式からγを消去すれば、x,yの関係が分かるという寸法です。

最後に。γの範囲も考えなければなりません。
ここで、k は使いませんが、(1) でやったことを思い出します。
f'(x)=0 の解の状況を調べるために、(xの3次式)=k を表すグラフを描くことと思います。で、γというのはf(x)の極大値に対応する解ですから、3解の中で中間に位置するものです。
ということは、添付の図のように、γの範囲が分かるはずです。
これで分かったγの範囲から、問題の中点のx座標の範囲を求めて終わりです。
No.39874 - 2016/10/26(Wed) 23:20:33
☆ Re: 高2 数学 / 名無し
しかしそれでやって出てきた答えにkが入っており、そのkは（1）で求めた範囲を動くのはわかるのですが、例えば中点がただの点を表す場合この軌跡の方程式は点を表す方程式が出てこないとおかしいのに、k＝1のとき中点は単なる点を表すのですが、出てきた答えに代入したら軌跡を表しているのですが、おかしいですよね？
No.39924 - 2016/10/28(Fri) 00:41:32
☆ Re: 高2 数学 / IT
angelさんのアドバイスに従えば出来ると思います。

f’(x)= 0 の解をα,γ,β(α<γ<β) とします。
解と係数の関係から
α+β+γ=0 ∴α+β=-γ …(ア)
αβ+βγ+γα=-3 ∴αβ+(α+β)γ=αβ-γ^2=-3 ∴αβ=γ^2-3…(イ)
αβγ=k/4…(ウ)

f(α)+f(β)=-3(α^2+β^2)-(3/4)k(α+β)
（ウ）より
=-3(α^2+β^2)-3αβγ(α+β)
以下(ア)（イ）を使えば　γだけの式にできます。
No.39931 - 2016/10/28(Fri) 20:08:21
☆ Re: 高2 数学 / angel
あああ、ごめんなさい。考慮漏れがありました。

f(x)=〜-kx の形なので、(f(α)+f(β))/2 の計算で、k が残るところ、なんとかしないといけないのですね。

ITさんに解説して頂いている通り、方針自体はそのままで良いのですが、αβγ=k/4 を使って ( もしくは f'(γ)=0 を整理したk=4γ^3-12γ でも良いです )、残った k を消してください。
No.39933 - 2016/10/28(Fri) 21:39:23
☆ Re: 高2 数学 / 名無し
答えは出てきたのですが、エックスの定義域がわかりません。-4〜4ですか？明らかにおかしいと思ったのですが、、、
そのままガンマから範囲を求めるとそうなったのですが、
No.39934 - 2016/10/28(Fri) 22:59:23
☆ Re: 高2 数学 / angel
γはNo.39874のグラフで言うと、x座標にあたる数値ですよ。
なので、-1＜γ＜1 です。
No.39937 - 2016/10/29(Sat) 01:21:30
☆ Re: 高2 数学 / angel
-1＜γ＜1 より、軌跡のx座標の範囲は -1/2＜x＜1/2 です。
なお、手元の計算で、軌跡の方程式は、y=24x^4-12x^2-9 となりました。
No.39938 - 2016/10/29(Sat) 01:41:39
★ (No Subject) / コルム
写真で、なぜ直線BO なのでしょうか？教えていただけないでしょうか。
No.39864 - 2016/10/26(Wed) 21:54:34
☆ Re: / コルム
答えです。4番です。
No.39865 - 2016/10/26(Wed) 21:57:31
☆ Re: / ヨッシー
なぜとは？
強いて言えばうまく解けるからです。
その証拠に、証明が出来ています。
No.39876 - 2016/10/27(Thu) 01:09:03
☆ Re: / コルム
半直線BO でもいいと思うのですが？教えていただけないでしょうか。
No.39880 - 2016/10/27(Thu) 06:28:51
☆ Re: / どうして毎回くだらないことばかり聞くの？
もし「半直線」と書いてあったら「直線でもいいと思うのですが？」と難癖をつけるんでしょ？
No.39886 - 2016/10/27(Thu) 13:25:46
☆ Re: / コルム
すみませんでした。
No.39908 - 2016/10/27(Thu) 20:13:38
☆ Re: / コルム
ありがとうございました。
No.39926 - 2016/10/28(Fri) 10:58:24
★ 微分 / 酵母菌
3次関数y=ax^3+x^2+3ax-1がつねに増加するようなaの値の範囲を求めよ。
という問題で、yを微分してy'=3ax^2+2x+3a。つねに増加ということはy'≧0になればよい。y'≧0になるには3ax^2+2x+3a=0の判別式がD≦0になる…だと思うのですが、判別式を計算すると虚数解になってしまいます。どこがおかしいのか教えていただきたいです。
No.39861 - 2016/10/26(Wed) 21:40:48
☆ Re: 微分 / IT
>、判別式を計算すると虚数解になってしまいます。どこがおかしいのか教えていただきたいです。

判別式は、どうなりましたか？
No.39862 - 2016/10/26(Wed) 21:48:14
☆ Re: 微分 / angel
考え方に特に問題は見当たらないので、判別式以降の計算でミスっているように思えます。

なお、a＞0 を抜かすと「つねに減少」のケースが紛れ込んできますので念のためご注意を。
No.39863 - 2016/10/26(Wed) 21:53:21
☆ Re: 微分 / 酵母菌
判別式の計算ミスでした…
判別式の値は1-9a^2になりました。あとは出来そうなので頑張ります。ありがとうございました。
No.39988 - 2016/10/30(Sun) 13:14:06
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