ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数列 / Nao

添付の問題が解けません。
途中式と正答を含め、解説をお願いします！
※三角関数も解けない問題があり、別途投稿しましたので、合わせて解いていただけると助かります。

No.83037 - 2022/08/05(Fri) 00:28:10

☆ Re: 数列 / X

(1)
1/a[n]=b[n]
と置くと、問題の{a[n]}の漸化式は
1/b[n+1]=1/(3+b[n])
∴b[n+1]=b[n]+3 (A)
又
b[1]=2 (B)
(A)(B)より
1/a[n]=b[n]=2+3(n-1)=3n-1

(2)
(1)の結果より
1/(a[n]a[n+1])=(3n-1)(3n+2)
=9n^2-3n-2
∴(与式)=…

(3)
(1)の結果より
a[n][n+1]=1/{(3n-1)(3n+2)}
=(1/3){1/(3n-1)-1/(3n+2)}
∴
a[1][2]=(1/3)(1/2-1/5)
a[2][3]=(1/3)(1/5-1/8)
a[3][4]=(1/3)(1/8-1/11)
…
となるので
(与式)=…

No.83039 - 2022/08/05(Fri) 06:43:55

☆ Re: 数列 / Nao

ご丁寧にありがとうございます！
よくわかりました。
ありがとうございました。

No.83050 - 2022/08/06(Sat) 00:27:37

★ 三角関数 / Nao

添付の問題が解けません。
途中式や正答などを含めて解説をお願いします！
※数列も解けない問題があり、別途投稿します。

No.83036 - 2022/08/05(Fri) 00:25:54

☆ Re: 三角関数 / X

2倍角の公式、半角の公式により
y=(1+cos2x)-(√3)sin2x-3
=cos2x-(√3)sin2x-2
更に三角関数の合成をすると
y=2cos(2x+π/3)-2
ここで
0≦x＜2π
より
π/3≦2x+π/3＜4π+π/3
∴
M=2-2=0(このとき2x+π/3=2π,4π)
m=-2-2=-4(このとき2x+π/3=π,3π)
つまり
M=0(このときx=5π/6,11π/6)
m=-4(このときx=π/3,4π/3)

No.83038 - 2022/08/05(Fri) 06:34:49

☆ Re: 三角関数 / X

補足を。

y=cos2x-(√3)sin2x-2
から
y=-{(√3)sin2x-cos2x}-2
=-2sin(2x-π/6)-2
と変形しても解けます。

このときは
0≦x＜2π
から
-π/6≦2x-π/6＜4π-π/6
∴
M=2-2=0(このとき2x-π/6=3π/2,7π/2)
m=-2-2=-4(このとき2x-π/6=π/2,5π/2)
つまり
M=0(このときx=5π/6,11π/6)
m=-4(このときx=π/3,4π/3)
となります。

No.83044 - 2022/08/05(Fri) 17:37:20

☆ Re: 三角関数 / Nao

Xさま
こちらもありがとうございます！
お陰様で理解できました。

No.83051 - 2022/08/06(Sat) 00:28:29

★ 食塩水の問題 / しょう

15%の食塩水と20%の食塩水をまぜて16%の食塩水1000gを作る時15%の食塩水は何グラム必要かという問題を教えてほしいです。よろしくお願いします。

No.83031 - 2022/08/04(Thu) 18:41:36

☆ Re: 食塩水の問題 / ヨッシー

16% から 15% までの差は 1%
16% から 20% までの差は 4%
1000g を１：４に分けて 200g と 800g
16% に近い方の 15% を 800g
16% から遠い方の 20% を 200g
答え　800g

こういう飛び道具はたぶん望んでいなくて、方程式で
解きたいと推測します。
ｘ、ｙを使って連立一次方程式にしても良いですが、
ここではｘだけ使う方法でやります。
15%の食塩水をｘｇとすると、20%の食塩水は 1000－ｘｇ
15%の食塩水ｘｇに含まれる食塩は　0.15xｇ
20%の食塩水 1000－ｘｇに含まれる食塩は 0.2(1000－x)ｇ
これを混ぜて、16%の食塩水1000gが出来るので、混ぜたあとの食塩の量は
　0.16×1000＝160(g)
よって、
　0.15x＋0.2(1000－x)＝160
　0.05ｘ＝40
　ｘ＝800(g)　・・・答え

No.83033 - 2022/08/04(Thu) 19:58:33

★ 一般項を求めよ。 / れおな

[問] 次の数列の一般項を求めよ。
4,4,6,6,8,8,10,10,…

はどうなりますか?

No.83028 - 2022/08/03(Wed) 19:43:36

☆ Re: 一般項を求めよ。 / らすかる

4,4,6,6,8,8,10,10,…に近い
4,5,6,7,8,9,10,11,…（=n+3）を引くと
0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,…
2倍すると
0,-2,0,-2,0,-2,0,-2,…
1足すと
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
これは
-(-1)^n
と表せますので、
-(-1)^nから1を引いて2で割りn+3を足せば、一般項が
{-(-1)^n-1}/2+(n+3)
={2n+5-(-1)^n}/2
のように書けることがわかります。

No.83029 - 2022/08/04(Thu) 05:08:33

☆ Re: 一般項を求めよ。 / れおな

どうも有難うございます。
とても参考になりました。

No.83032 - 2022/08/04(Thu) 19:34:28

★ 複素数 / ドーナツ

赤チャート数学?Vの５８ページの問題でジューコフスキー変換という名前のついた問題です。よろしくお願いします。
点zが原点を中心とする半径rの円上を動くとき、w=z+(a^2)/z(a>0)を満たす。
(1)a=rのとき、点wはどのような図形を描くか。
解答は、２点-2a,2aを結ぶ線分、です。

私は２点-2r,2rを結ぶ線分と答えました。どちらでも正解でしょうか?
aの方が定数っぽいからaで答えるべきですか?問題文はa=rと書かれているので、aをrにするべきかなと私は思ったのですが。

No.83025 - 2022/08/03(Wed) 14:05:55

☆ Re: 複素数 / ヨッシー

ａもｒもどちらも正解と思います。

No.83026 - 2022/08/03(Wed) 15:54:00

☆ Re: 複素数 / ドーナツ

ヨッシーさん、ありがとうございます。

No.83030 - 2022/08/04(Thu) 13:29:06

★ 数学のジャンル / squall

インターネットで高校数学のジャンルについて調べてみましたが、代数、幾何、解析、確率、統計というジャンルに分けれるみたいですね。
そのほかにも数学のジャンルはあるかもしれませんが。
そして自分では代数に興味があるのかなと思うようになりました。
ヨッシー先生は先生だから数学のジャンルは問わないとは思うのですが、ヨッシー先生が特に気に入っている数学のジャンルはあったりするんですか？

No.83020 - 2022/08/03(Wed) 07:54:26

☆ Re: 数学のジャンル / ヨッシー

今は高校数学からなくなったようですが、行列が好きでしたね。
あとは、数列ですかね。
それぞれ、代数、解析に含まれると思います。

No.83021 - 2022/08/03(Wed) 08:03:11

☆ Re: 数学のジャンル / squall

わかりました。
回答ありがとうございます。

No.83022 - 2022/08/03(Wed) 08:13:00

★ 無限級数 / yuka

大学の数学の課題です。
考えても分からなかったため、どなたか教えて下さると嬉しいです😭
よろしくお願いします🙇‍♂️

No.83014 - 2022/08/02(Tue) 23:02:20

☆ Re: 無限級数 / X

まず
S[n]=Σ[k=0～n]kx^k
を求めましょう。
方針は等比数列の和の公式の導出過程と同じです。
(高校数学の等比数列の項目を復習しましょう)

No.83018 - 2022/08/03(Wed) 00:50:03

★ (No Subject) / sh

純粋に疑問に思ったので質問させてください。
x=9/x こんな式があったとして、x=±3　になりますよね。
ここで、最初のx=9/xに注目して、右辺のxに9/xを代入すると
x=9/(9/x)
x=x となってしまいます
もちろん最初の解は失われていませんが、代入しただけなのに同値が崩れてしまうのはなぜですか？

No.83013 - 2022/08/02(Tue) 20:35:07

☆ Re: / 黄桃

>代入しただけなのに同値が崩れてしまう
一般に、x=f(x) より x=f(f(x)) は言えますが、x=f(f(x)) から x=f(x)は言えませんので、同値ではありません。

No.83019 - 2022/08/03(Wed) 06:53:26

★ (No Subject) / a

不等式の証明(数学的帰納法)

2^n>n

中略

2*2^k>2k = k+k≧k+1

k+kは2kのことでしょうか。そうでしたら何故符号が逆になるのでしょうか。教えて頂けると幸いです。宜しくお願いします。

No.83005 - 2022/08/02(Tue) 14:39:42

☆ Re: / ヨッシー

2k ＝ k+k これは文句ないですね？
k + k≧k + 1 これは、k は自然数（1以上）なので、
k + k は k + 1 と等しいか大きい　と言っているだけです。

No.83006 - 2022/08/02(Tue) 14:52:18

☆ Re: / a

理解できました。ありがとうございます。

立て続けで申し訳ないのですが、

2*2^k>2k = k+k≧k+1

の後に、

ゆえに2^k+1>k+1

とあるのですが、どうしてこうなるのでしょうか。

2^k+1もk+1も2*2^kのことではないのでしょうか。

No.83009 - 2022/08/02(Tue) 16:37:48

☆ Re: / ヨッシー

まず確認ですが、2^n＞n がすべての自然数に付いて成り立つことを証明する問題ということでいいですか？
ｎ＝１　のとき　２^1＞1 は明らか
ｎ＝ｋ　のとき　つまり　２^k＞k のときに
ｎ＝ｋ＋１を考えて、２^(k+1)＞k＋1 を示すのが目的と思います。

2*2^k＞2k = k+k≧k+1
において、
　2*2^k＝2^(k+1)
なので、
　2^(k+1)＞2k≧k+1
から
　2^(k+1)＞k+1
です。

k+1 と 2*2^k は違います。

No.83010 - 2022/08/02(Tue) 16:43:51

☆ Re: / a

理解出来ました。本当にありがとうございました。

No.83011 - 2022/08/02(Tue) 16:54:36

★ 面積の最大値 / 名無し

問
Oは原点。円x^2+y^2=2と直線y＝2x＋kは相異なる2点AとBで交わる。△OABの面積の最大値とその時のkの値を求めよ。

以下のように解いたのですが、答えに辿り着けませんでした。答案の中で何か間違っているところはあるでしょうか？
ご指摘よろしくお願いします。

No.83004 - 2022/08/02(Tue) 14:36:59

☆ Re: 面積の最大値 / ヨッシー

とりあえず、
△ｘ＝・・・の次の行の
　√Ｄ／５
が違いますね。

No.83007 - 2022/08/02(Tue) 14:56:53

☆ Re: 面積の最大値 / 名無し

解答ありがとうございます。
そうですね。
そこを直したとしても根号内の関数の最大値をとるkが±√5にならないのはどうしてでしょうか？

No.83008 - 2022/08/02(Tue) 15:01:12

☆ Re: 面積の最大値 / ヨッシー

根号の中は　10k^2－k^4　ですね？
　Ｋ＝k^2
とおくと、
　10k^2－k^4＝10Ｋ－Ｋ^2＝－(Ｋ－５)^2＋25
なので、最大を得るｋは、Ｋ＝５　より　ｋ＝±√5　です。

No.83012 - 2022/08/02(Tue) 19:40:18

★ 魔法陣 / 小学生

いくら考えてもわかりません。
よろしくおねがいします。

No.83002 - 2022/08/02(Tue) 12:41:29

☆ Re: 魔法陣 / ヨッシー

ヒントが何を意味するのか、実はよくわかりません。

このように、ア～カを決めます。
(1)
　ア＋８＋７＝ア＋イ＋５
なので、ア以外の
　８＋７＝イ＋５　よって　イ＝１０
同様に
　エ＋７＋５＝エ＋８＋ウ　より　ウ＝４
　ア＋８＋７＝ア＋ウ(4)＋オ　より　オ＝１１
ここまでで、タテ・ヨコ・ナナメすべて
　１１＋８＋５＝２４
とわかるので、
　ア＝９、エ＝１２、カ＝６
が順にわかります。

(2) も
　カ＋11＋13＝カ＋10＋イ　より　イ＝14
のように求められます。

ちなみに「魔方陣」ですね。

No.83003 - 2022/08/02(Tue) 13:33:09

☆ Re: 魔法陣 / 黄桃

想像ですが、これより前のページに

＜まほうじんのせいしつ＞のひとつとして、
たて、よこ、ななめのれつをたしたかずは、まんなかのかずを　３かいたしたもの　になる、

というようなことが書いてあるのではないでしょうか。

なので、ヒントのかっこは順に　（８）　（１６）　（９）となるのでしょう。

No.83016 - 2022/08/02(Tue) 23:15:27

★ 方程式 / squall

z3乗＝ー８の解は２つあるのですが、２つとも求めなさい。

この問題ですが、１つ目の答えはー２ですよね。
もう１つの答えがどうしてもわかりません。
どうやって求めればいいのでしょうか。
教えてください。
よろしくおねがいします。

No.82996 - 2022/08/02(Tue) 07:38:34

☆ Re: 方程式 / らすかる

-8を移項して因数分解しましょう。

No.82997 - 2022/08/02(Tue) 08:30:04

☆ Re: 方程式 / squall

z3乗＋８＝０
これは公式が使えそうですね。
（z＋２）（z2乗ー２z＋４）＝０
なるほど、右側のかっこの中の２次方程式を解けばいいんですね。
解の公式を使って解くと、１±（√３）iになりそうですね。
もう１つの答えってこれですか？
なんかすごい答えですけどいいのでしょうか。

No.82998 - 2022/08/02(Tue) 08:52:47

☆ Re: 方程式 / ヨッシー

解は
　ｘ＝－２、ｘ＝１＋√3ｉ、ｘ＝１－√3ｉ
の３つです。

ｘ＝１＋√3ｉ　のとき
　ｘ^3＝(１＋√3ｉ)^3
　　＝１^3＋3√3ｉ－3・3－3√3ｉ＝－８
ｘ＝１－√3ｉ　のとき
　ｘ^3＝(１－√3ｉ)^3
　　＝１^3－3√3ｉ－3・3＋3√3ｉ＝－８
だから、これで良いのです。

No.82999 - 2022/08/02(Tue) 09:04:17

☆ Re: 方程式 / squall

やりましたー。
ヨッシー先生、らすかる先生ありがとうございます。
僕思ったんだけど、数学とテレビゲームは似ているところがあるかもしれないですね。
じつは僕テレビゲームのソフトでいくつかのゲームをクリアしてるのですが、それはゲームの攻略法を教わったり自分で調べたりしてクリアできてるんですよね。
数学も解き方を教わってできるようになるところが、テレビゲームと似ているのかなって。
ただ数学は学問だから、楽しんでばかりではいられないところはあるとは思いますが。
そんなことを思うようになりました。
またわからないことがあったら、教えてください。

No.83000 - 2022/08/02(Tue) 09:19:20

★ 軌跡の問題 / 名無し

この問題を微分して接線の方程式で求めるとなった場合、どのように解けばいいでしょうか？

No.82992 - 2022/08/01(Mon) 17:36:26

☆ Re: 軌跡の問題 / X

接点をQ(t,t^2)とすると
y=x^2 (A)
より
y'=2x
ゆえ、点Qにおける(A)の接線の方程式は
y=2t(x-t)+t^2
∴y=2tx-t^2
∴P(X,Y)とすると
Y=2tX-t^2
∴t^2-2Xt+Y=0 (B)
条件から、(B)をtの二次方程式と見たとき
異なる二つの実数解を持つので
解の判別式をDとすると
D/4=X^2-Y＞0 (C)
又、(B)の解をα、βとすると
解と係数の関係から
α+β=2X (D)
αβ=Y (E)
更に接線の傾きについて
2α・2β=-1 (F)
(E)(F)から
Y=-1/4 (F)'
一方(C)より
Y＜X^2 (C)'
(F)'は任意の実数Xに対して(C)'を満たすので
求める点Pの軌跡は
直線y=-1/4

No.82994 - 2022/08/01(Mon) 18:46:44

☆ Re: 軌跡の問題 / 名無し

ありがとうございます。理解できました。

No.82995 - 2022/08/01(Mon) 19:44:00

★ 微分方程式です。 / 山足達也

この微分方程式なのですが、どのように解いたらいいでしょうか??

No.82989 - 2022/08/01(Mon) 13:46:20

☆ Re: 微分方程式です。 / 関数電卓

教科書をお持ちではありませんか？
お持ちではないのなら，「２階常微分方程式，非同次」で検索するといくつかヒットしますので，それらをご覧下さい。例えばこちらの<例題３,４,５>など。
お尋ねの答は，こちら。

No.82990 - 2022/08/01(Mon) 16:48:03

☆ Re: 微分方程式です。 / GandB

　i(t) ？
　電流が絡んだ問題かね？　だったら、初期値を与えて特殊解を求める問題になりそうなものだが。

　説明がないので画像を見る限り
　　i''+ 2i' + 5i = 10cos(t)
のようにしか見えない。i を x とか y に変えても支障はなさそうだけど。であれば演算子法で解くのが簡単。虚数単位 i を使うので与えられた微分方程式を
　　y''+ 2y' + 5y = 10cos(t) …… (1)
と書き変える。
　　y''+ 2y' + 5y = 0
の解 y0 を解くのは簡単で
　　y0 = e^(-t)( C1cos(2t) + C2sin(2t) )

　演算子法の公式
　　e^iat/φ(D) = e^iat/φ(ia) …… (2)
を使うために(1)の右辺を 10e^it とする。
　(1)の特殊解を v とすると
　(D^2+2D+5)v = 10e^it
　(2)を使って
　　10e^it/(D^2+2D+5)
を計算すると
　　2cos(t) - icos(t) - 2isin(t) + sin(t)
となるから虚数を捨てて
　　v = 2cos(t) + sin(t)
　したがって求める(1)の一般解は
　　y = e^(-t)( C1cos(2t) + C2sin(2t) ) + 2cos(t) + sin(t)

　勘違いしていたらごめん(^^;)

No.82991 - 2022/08/01(Mon) 17:29:15