大学の多変数関数の広義積分の問題です。1.(3)の答えは(e-1)/2なのですが、
(1/n)<x≦1,(1/n)≦y≦xとして、以下のように解いていったところ、Ei(1/nx)という、試験範囲外の記号(記述の試験で使用不可)が出てしまい、困っています。どう解くべきなのかお教えください。
https://ja.wolframalpha.com/input?i=1%2Fnからxの範囲でe%5E%5By%2Fx%5Dをyについて積分
(以下定積分が複雑なので、分けて計算しています。)
https://ja.wolframalpha.com/input?i=%28e+-+e%5E%281%2F%28n+x%29%29%29+xをxについて積分
https://ja.wolframalpha.com/input?i=%28-n+%281%2Fn%29+%28-e+n+%281%2Fn%29+%2B+e%5E%281%2F%28n+%281%2Fn%29%29%29+%281+%2B+n+%281%2Fn%29%29%29+%2B+Ei%281%2F%28n+%281%2Fn%29%29%29%29%2F%282+n%5E2%29
https://ja.wolframalpha.com/input?i=%28-n+x+%28-e+n+x+%2B+e%5E%281%2F%28n+x%29%29+%281+%2B+n+x%29%29+%2B+Ei%281%2F%28n+x%29%29%29%2F%282+n%5E2%29%2Cx%3D1
https://ja.wolframalpha.com/input?i=%5B%28n+%28e+n+-+e%5E%281%2Fn%29+%281+%2B+n%29%29+%2B+Ei%281%2Fn%29%29%2F%282+n%5E2%29%5D-%5B%28-e+%2B+Ei%281%29%29%2F%282+n%5E2%29%5D
(定積分終了)
https://ja.wolframalpha.com/input?i=nが∞に近付くときの%28e+%2B+e+n%5E2+-+e%5E%281%2Fn%29+n+%281+%2B+n%29+-+Ei%281%29+%2B+Ei%281%2Fn%29%29%2F%282+n%5E2%29の極限
![]() |
No.83591 - 2022/10/12(Wed) 14:03:34
| ☆ Re: 多変数関数の広義積分 / X | | | x=t (A)
y/x=u (B)
と置き、積分変数をt,uに置き換えます。
このとき
∂x/∂t=1
又(A)(B)から
y=tu
∴∂y/∂t=u
∂x/∂u=0
∂y/∂u=t
∴ヤコビヤンをJとすると
J=t
で
D={(t,u)|0＜t≦1,0≦u≦1}
∴(与式)=∫[t:0→1]∫[u:0→1](te^u)dudt
=(e-1)/2
|
No.83593 - 2022/10/12(Wed) 18:11:04 |
| ☆ Re: 多変数関数の広義積分 / ast | | | x≠0 のとき y=0 は特異点ではなく, したがって y での積分は全く通常の積分なのに,
> (1/n)≦y≦x
とするのは意味が分からないので, "1/n≤x≤1, 0≤y≤x" で良いと思います.
参考: exp[y/x] を y で積分して =(e-1)x
: さらに x で積分して = (e-1)(1-ε^2)/2, ε↓0 で =(e-1)/2 .
(ただし, 「二重積分が存在するならば逐次積分に帰着できる」かつ「どの変数から積分するかの順番によらない」ので, 逐次積分に帰着する前に (広義の, あるいは極限録る前の狭義の) 二重積分が存在するか自体は別に考察すべき問題ですが.)
参考: x から先に逐次積分した場合も結果は等しい
: ただし途中で指数積分函数 Ei が出る
# 仮に y=0 の周りを除くとしても x と y のそれぞれの境界への極限が連動する挙動しか仮定しないは適切ではないので
#> (1/n)<x≦1,(1/n)≦y≦x
# ではなく, "1/n≤x≤1, 1/m≤y≤x" や "ε[1]≤x≤1, ε[2]≤y≤x" などを見るべき.
|
No.83594 - 2022/10/12(Wed) 18:18:44 |
|
