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★ 3と5お願いします！ / ゆう
3の(2)と5をお願いします！
No.40150 - 2016/11/07(Mon) 00:40:26
☆ Re: 3と5お願いします！ / noname
とりあえず，５に関するヒントを与えておきます．


[ヒント]
(1)0≦x≦1ではx^nとsin(πx)はともに非負値をとるから，これらの積もこのxの範囲においては非負値をとる．ゆえに，I_[n]≧0である．特に，x^nsin(πx)は0≦x≦1では恒等的に0というわけではないから，I_[n]＞0である．一方，0≦x≦1では0≦sin(πx)≦1であるから，I_n≦∫_[0,1]x^ndxが成り立つ．以上により示すべき不等式を得る．
(2)I_[n+2]について，xの冪の部分を微分するもの，三角関数を積分するものと捉えて部分積分法を行えばよい．なお，計算結果は画像の右側に書かれている数式で恐らく問題ない．
(3)(1),(2)の結果を用いると次の不等式

n^2π/((n+1)(n+2))-n^2π^2/((n+1)(n+2)(n+3))＜n^2I_[n]＜π

が得られる．この不等式の最右辺については次の様に考えればよい．(2)の結果より

n^2I_[n]＝π-{(2n+1)I_[n]+π^2I_[n+2]}.

ここで，(1)よりI_[n]＞0(n≧1)ゆえ，

(2n+1)I_[n]+π^2I_[n+2]＞0.
∴n^2I_[n]＝π-{(2n+1)I_[n]+π^2I_[n+2]}＜π.

一方，不等式の最左辺に関しては一度ご自身で考えてもらいたい．
No.40155 - 2016/11/07(Mon) 02:53:38
☆ Re: 3と5お願いします！ / ゆう
ありがたいです 理解できました

3の(2)はどうすればいいんですかね
No.40157 - 2016/11/07(Mon) 11:24:32
☆ Re: 3と5お願いします！ / angel
3(2)
ありがちですが、3(1)の結果がヒントになっています。
　f(θ)g(θ)/g(2θ)=(一定)
ということは、これはθを2θ,4θ,8θ,…,2^(n-1)・θに取り換えても同じことですよね。
つまり、
　f(θ)g(θ)/g(2θ)=f(2θ)g(2θ)/g(4θ)=…=f(2^(n-1)・θ)g(2^(n-1)・θ)/g(2^n・θ)=(一定)

ということは、これらの各項をかけ合わせれば…? すなわち、
　f(θ)g(θ)/g(2θ)・f(2θ)g(2θ)/g(4θ)・…・f(2^(n-1)・θ)g(2^(n-1)・θ)/g(2^n・θ)
これの値も分かりますね。
ところがこの式、分母・分子が色々消えて
　f(θ)f(2θ)…f(2^(n-1)・θ)g(θ)/g(2^n・θ)
となります。

ということは、f(θ)f(2θ)…f(2^(n-1)・θ)の正負は、g(θ)/g(2^n・θ)の正負と丁度1対1に対応づく、ということです。

なお、**注意事項**としては、この話はあくまで、各項の分母が0でないことが前提です。
つまり、g(2θ),g(4θ),…,g(2^n・θ) が全て0でない時です。ここは除外しましょう。
といっても、どれかが0になるとしても1点ずつですから、「区間の幅」には影響しません。あくまで解答を書く上で、ちゃんと 0 になるθを調べて、断りを入れておきましょうね、ということです。
No.40174 - 2016/11/07(Mon) 21:42:31
☆ Re: 3と5お願いします！ / ゆう
> 3(2)
> ありがちですが、3(1)の結果がヒントになっています。
> 　f(θ)g(θ)/g(2θ)=(一定)
> ということは、これはθを2θ,4θ,8θ,…,2^(n-1)・θに取り換えても同じことですよね。
> つまり、
> 　f(θ)g(θ)/g(2θ)=f(2θ)g(2θ)/g(4θ)=…=f(2^(n-1)・θ)g(2^(n-1)・θ)/g(2^n・θ)=(一定)
>
> ということは、これらの各項をかけ合わせれば…? すなわち、
> 　f(θ)g(θ)/g(2θ)・f(2θ)g(2θ)/g(4θ)・…・f(2^(n-1)・θ)g(2^(n-1)・θ)/g(2^n・θ)
> これの値も分かりますね。
> ところがこの式、分母・分子が色々消えて
> 　f(θ)f(2θ)…f(2^(n-1)・θ)g(θ)/g(2^n・θ)
> となります。
>
> ということは、f(θ)f(2θ)…f(2^(n-1)・θ)の正負は、g(θ)/g(2^n・θ)の正負と丁度1対1に対応づく、ということです。
>
> なお、**注意事項**としては、この話はあくまで、各項の分母が0でないことが前提です。
> つまり、g(2θ),g(4θ),…,g(2^n・θ) が全て0でない時です。ここは除外しましょう。
> といっても、どれかが0になるとしても1点ずつですから、「区間の幅」には影響しません。あくまで解答を書く上で、ちゃんと 0 になるθを調べて、断りを入れておきましょうね、ということです。

この先がわかりません
和積を使うことにより、sin(3・2^(n-1)θ）sin(2^(n-1)θ)<0となりました
No.40182 - 2016/11/07(Mon) 23:38:34
☆ Re: 3と5お願いします！ / angel
> sin(3・2^(n-1)θ）sin(2^(n-1)θ)<0となりました
良いと思います。

では、一旦2^(n-1)θの部分を置き換えて…。
φ=2^(n-1)θとしますか。
そうすると、sin(3φ)sin(φ)＜0 を考えることになります。

0≦φ＜2π の範囲で考えると、1/3・π＜φ＜2/3・π, 4/3・π＜φ＜5/3・π ですから、
φの値2π毎に繰り返すことを考えると、実は
　(k+1/3)π＜φ＜(k+2/3)π　( kは整数 )
と、π周期にまとめることができます。

ここで、φ=2^(n-1)θに立ち戻ります。

n=1 の時はφ=θで、θの範囲からすると、1/3・π＜θ＜1/2・π が条件を満たすθです。これだけちょっと特殊なので、別に計算しておきます。

n≧2 の時は、(k+1/3)π＜2^(n-1)θ＜(k+2/3)π
一方で、0＜θ＜π/2 ですから 0＜2^(n-1)θ＜2^(n-2)・π
ということは、kの範囲は 0≦k＜2^(n-2)
つまり、(k+1/3)π＜2^(n-1)θ＜(k+2/3)π という、各幅 π/(3・2^(n-1)) の区間が、2^(n-2)個できることになります。
No.40189 - 2016/11/08(Tue) 00:21:19
★ 相似な図形　　中学 / kaito　
（２）よくわからなかったので、解説よろしくお願いします。正解４/１５
No.40146 - 2016/11/06(Sun) 21:33:57
☆ Re: 相似な図形　　中学 / noname
三角形ABQと三角形CPQは相似なので，相似比より

AQ：QC＝AB：CP＝CD：CP＝3：2,…?@
BQ：PQ＝AB：CP＝3：2.…?A

また，三角形APQと三角形CRQは相似であるから，これらの三角形の相似比と?@より

PQ：QR＝AQ：QC＝3：2.…?B

よって，?A,?Bより

QR＝PQ×2/3＝BP×2/5×2/3＝….

ここまでの説明が理解できれば特に問題ないかと思います．
No.40148 - 2016/11/06(Sun) 22:20:45
★ (No Subject) / 佐藤
座標平面において曲線Cy＝sinx（0＜x＜π/2） 上の点P（a,sina）におけるCの法線がx軸と交わる点をQとする。線分PQを直径とする円が、x軸と交わるQ以外の点をRとする。このとき三角形PQRの面積S（a）を求めよ。次にaが動くとき、S（a）の最大値を求めよ。
この問題の解き方を教えて下さい。
No.40142 - 2016/11/06(Sun) 18:59:53
☆ Re: / X
前半)
y=sinx
より
y'=cosx
∴点PにおけるCの法線の方程式は
y=(-1/cosa)(x-a)+sina
∴点Qのx座標について
0=(-1/cosa)(x-a)+sina
これより
x=a+sinacosa
∴Q(a+sinacosa,0)
円周角により、点Rが点Pからx軸に下ろした
垂線の足になっていることに注意すると
R(a,0)
以上から
S(a)=(1/2)QR・PR
=(1/2){(a+sinacosa)-a}sina
=(1/2){(sina)^2}cosa

後半)
S(a)をaについて微分をして
0＜a＜π/2
におけるS(a)についての増減表
を書くのが定石です。

只、この問題の場合は
S(a)=(1/2){1-(cosa)^2}cosa
となりますので
t=cosa
と置いてS(a)をtの三次関数
として扱い、
0＜t＜1
におけるS(a)の増減表を書く
という処理をした方が多少
簡単にできます。
No.40143 - 2016/11/06(Sun) 20:47:34
☆ Re: / 関数電卓
ご参考まで
No.40144 - 2016/11/06(Sun) 20:59:56
☆ Re: / 関数電卓
上に貼ったつもりでしたが…
No.40145 - 2016/11/06(Sun) 21:01:19
☆ Re: / 関数電卓
すみません。上の図で，Q と R が逆でした。
No.40147 - 2016/11/06(Sun) 21:52:05
★ 一対一対応の数学A / しみず
解答を見てもよくわからなかったので、解説よろしくお願いします。
答えは、上から空所で（2√3-3）、（√2+1）、（3-2√2）、1/3、4/9です。
No.40127 - 2016/11/05(Sat) 21:30:52
☆ Re: 一対一対応の数学A / IT
> 解答を見てもよくわからなかったので、解説よろしくお願いします。
どんな解答を見られて分らなかったか、分らないと、それより分りやすい解説・解答をするのは難しいと思います。
No.40128 - 2016/11/05(Sat) 21:35:10
☆ Re: 一対一対応の数学A / しみず
すいません。
まず（1）なんですが、なぜ三角形の重心と円cの中心が一致してるんでしょうか？そして、途中ででてくるr3とは？
No.40129 - 2016/11/05(Sat) 21:45:11
☆ Re: 一対一対応の数学A / しみず
そして、（2）はなぜ円O2とO3の接線が円cの中心を通るんでしょうか？
No.40130 - 2016/11/05(Sat) 21:50:58
☆ Re: 一対一対応の数学A / IT
> まず（1）なんですが、なぜ三角形の重心と円cの中心が一致してるんでしょうか？
△O1O2O3 は正三角形なのでr1+r2=r2+r3=r3+r1
よってr1=r2=r3,すなわちC1,C2,C3 は同じ大きさの円
したがって円Ｃの中心と△O1O2O3 の重心は一致します。

「対称性より」というのは、不十分な感じですね。

> 途中ででてくるr3とは？
C3 の半径のことですが　r3=r2 なので,r2 とすべきですね。（私もまちがえました。）
No.40131 - 2016/11/05(Sat) 22:08:28
☆ Re: 一対一対応の数学A / しみず
解答ありがとうございました。やっぱ、間違いでしたか。
No.40132 - 2016/11/05(Sat) 22:52:34
☆ Re: 一対一対応の数学A / IT
> （2）はなぜ円O2とO3の接線が円cの中心を通るんでしょうか？

円C2の半径と円C3の半径が等しいからです。図を描いて確認してくださいOO2＝OO3　などから言えます。

（証明（説明）なしで使っていいと思います。）
No.40133 - 2016/11/05(Sat) 23:09:41
☆ Re: 一対一対応の数学A / しみず
怪盗ありがとうございます
No.40141 - 2016/11/06(Sun) 12:05:16
★ 確率 / ふみ
こんばんは。いつもお世話になっております。

下の問題なのですが、

?@私の解答のように求めても合っているように感じるのですが、なぜ間違いなのでしょうか？

?A余事象の確率の求め方ですが、例えば、1回投げた時、（ア）AとBに異なる目が出る確率（イ）AとCに異なる目が出る確率（ウ）AとBとCに異なる目が出る確率、を考えて、（ア）＋（イ）−（ウ）を計算したあとで、その値をn乗するのではどうしていけないのでしょうか？
No.40124 - 2016/11/05(Sat) 19:20:57
☆ Re: 確率 / ふみ
私の解答です
解答の5行目以降の部分から書いてます
No.40125 - 2016/11/05(Sat) 19:22:34
☆ Re: 確率 / angel
?@
この問題に限らず、一般的な話として、ですが、
P(E),P(F),P(E∩F),P(E∪F),P(E∩~F),P(~E∩F)　(※~X は Xの補集合として読んでください ) があったとき、

　P(E∩~F)=P(E)-P(E∩F)
　P(~E∩F)=P(F)-P(E∩F)
　P(E∪F)=P(E)+P(F)-P(E∩F)=P(E∩~F)+P(~E∩F)+P(E∩F)

は必ず成立します。なので、それに合わない値が出てきてしまった時点で、何かしら間違えているということになります。
※つまり、今回はP(E∩~F),P(~E∩F)の値から間違いということに。
No.40134 - 2016/11/06(Sun) 00:52:44
☆ Re: 確率 / angel
?@続き
では、P(E∩~F)=(5/36)^n がどうして間違いか、というところですが。
　E: A,Bの目が毎回一致しない
　F: A,Cの目が毎回一致しない
ということから、
　E∩~F: A,Bの目は毎回一致しないけれど、A,Cの目は1回以上一致する
になるんですね。

ということは、
　A,Cの目が丁度1回一致する (A,Bは1度も一致しない)
　A,Cの目が丁度2回一致する (同上)
　…
　A,Cの目が丁度n回一致する (同上)
という全部の確率の合計ということになります。単純には。

なので、(5/36)^n という計算式にはできないんですね。
求めるとすれば、P(E)-P(E∩F) でやる位しかないでしょう。

P(~E∩F) についても同じような話になります。
No.40135 - 2016/11/06(Sun) 01:00:30
☆ Re: 確率 / angel
?A質問の意図を取り違えてましたので、一旦回答を削除しました。申し訳ありません。

> 1回投げた時、（ア）AとBに異なる目が出る確率（イ）AとCに異なる目が出る確率（ウ）AとBとCに異なる目が出る確率、を考えて、（ア）＋（イ）−（ウ）を計算

これで出る確率は、「1回投げた時、AとBが異なるか、AとCが異なるか」であり、これは「A=B=Cとなる」の余事象です。
つまり、n乗して1から引くと、「A=B=Cとなる時がある」という確率を求めることになります。

しかし、今回求められているのは「A=Bとなる時も、A=Cとなる時もある」です。A=BとA=Cが同時に起こる ( A=B=Cとなる ) 必要はありません。なので、求めているものが違うということになります。
No.40137 - 2016/11/06(Sun) 02:43:13
☆ Re: 確率 / ふみ
納得しました！
とってもわかりやすかったです！ありがとうございました。
No.40158 - 2016/11/07(Mon) 12:00:29
★ 相似な図形 / 加藤
（２）の解き方が解りません。図形不得意なので解説お願いします。
No.40114 - 2016/11/05(Sat) 10:06:41
☆ Re: 相似な図形 / 関数電卓
(1) EF＝(AD＋BC)/2＝3.5
　　EG＝HF＝1 だから，GH＝1.5 cm
(2) △GHI＝(3/7)△GHD＝(3/7)(3/5)△GFD＝(3/7)(3/5)(1/4)△BCD
　　　　＝(3/7)(3/5)(1/4)(5/7)台形ABCD＝(9/196)台形ABCD
　　よって，196/9 倍
No.40119 - 2016/11/05(Sat) 14:11:53
☆ Re: 相似な図形 / 加藤
(2)よく解りません。
No.40120 - 2016/11/05(Sat) 14:28:02
☆ Re: 相似な図形 / ヨッシー
△ＢＣＤ＝(5/7)台形ＡＢＣＤ
△ＧＦＤ＝(1/4)△ＢＣＤ
△ＧＨＤ＝(3/5)△ＧＦＤ
△ＧＨＩ＝(3/7)△ＧＨＤ
という４つの関係が使われていますが、このうちどれが分かりませんか？
No.40121 - 2016/11/05(Sat) 16:01:41
☆ Re: 相似な図形 / 加藤
△ＧＨＩ＝(3/7)△ＧＨＤ　解りません。
△ＢＣＤ＝(5/7)台形ＡＢＣＤを三角形にして考えるのですか
No.40122 - 2016/11/05(Sat) 16:29:38
☆ Re: 相似な図形 / 関数電卓
図で，赤･青の数字は実際の辺の長さを表し，黒･緑の数字は辺の長さの比を表しています。

> △ＧＨＩ＝(3/7)△ＧＨＤ　解りません。
GH：AD＝1.5：2＝3：4　より，IG：ID＝3：4　∴ IG：DG＝3：7　∴ △IGH：△GDH＝3：7

> △ＢＣＤ＝(5/7)台形ＡＢＣＤを三角形にして考えるのですか
△ABD の面積＝△DCJ の面積 だから，△DBJ の面積＝台形ABCD の面積
∴ △DBC＝(5/7)△DBJ＝(5/7)台形ABCD
No.40126 - 2016/11/05(Sat) 20:02:51
★ 中学 / 塾なし受験生　中三
√72n/7が自然数になる整数nの最も小さい値を求める問題の解説の「6√(2n/49)に変形できる」までわかりますが、「だからn=2×49」となる理由が分りません。
No.40112 - 2016/11/05(Sat) 09:09:00
☆ Re: 中学 / angel
√(72n)/7=6√(2n/49) じゃなくて √(72n)/7=√(6・6/49・2n) の方が分かり易いかもしれませんね。

まず、√ の中が自然数でなければ、√全体も自然数になりえませんから、√の中 6・6/49・2n が自然数になることを考えると、n は49の倍数です。

改めて n=49m と置くと、
　6・6/49・2n = 6・6/49・2(49m) = 6・6・2m
です。
√全体が自然数になるので、6・6・2m が平方数 ( 何かの整数の2乗 ) となっています。

ここで、平方数がどのような数か。
例えば 90^2=8100 であれば、
　8100=(2・2)・(3・3)・(3・3)・(5・5)
のように、同じ素因数が必ずペアになるものです。

では今回の 6・6・2m で考えた場合。6=2・3 は既にペアを作っていますから、残った2のペアを完成させる必要があります。
で、最小ということであれば他のペアは要りませんから、m=2 として
　6・6・2m = (6・6)・(2・2)
が最小になるということです。

なので、n の最小は n=49・2 です。
No.40118 - 2016/11/05(Sat) 12:48:46
☆ Re: 中学 / 塾なし受験生　中三
素因数のペアを作るという考え方を忘れていました。ありがとうございます。
No.40149 - 2016/11/07(Mon) 00:27:41
★ 平面図形 / 塾なし受験生　中三
∠ABD＝∠DBCのとき、AD:DC=AB:BCとなるのはなぜですか？
No.40111 - 2016/11/05(Sat) 08:58:42
☆ Re: 平面図形 / IT
下図で　相似比を使えば分ると思います。
No.40113 - 2016/11/05(Sat) 09:55:15
☆ Re: 平面図形 / IT
（説明）
AB=BC のときは、容易。
AB > BC のとき
　辺BCをC側に延長してBE=BA となる点E
　辺AB上に BF=BC となる点F
　をとる
　BDを延長してAEとの交点をH とする。（その他は図のとおり）
△BAHと△BCGは相似なので　BA:BC=AH:CG
△AHDと△CGDは相似なので　AH:CG=AD:CD
よって　AB:BC=AD:CD
No.40115 - 2016/11/05(Sat) 10:08:27
☆ Re: 平面図形 / 塾なし受験生　中三
ありがとうございます。解説で省略されていたのでとても助かりました。
No.40117 - 2016/11/05(Sat) 12:17:57
☆ Re: 平面図形 / らすかる
Dから直線AB,BCに垂線DP,DQを下ろすと
△BDPと△BDQは合同なのでDP=DQ、
よって△ABD：△BCD=AB×DP÷2：BC×DQ÷2=AB：BC
またBから直線ACに垂線BHを下ろすと
△ABD：△BCD=AD×BH÷2：DC×BH÷2=AD：DC
従ってAD：DC=AB：BC
No.40154 - 2016/11/07(Mon) 01:19:18
★ ベクトル問題 / POTU

AB=AC=rである二等辺三角形ABCがある。∠BACをθとおく。
点Pは∠PBC=∠PCA=90°を満たす。次の問に答えよ。
(1)↑AB＝↑b、↑AC＝↑cおくとき、↑APを↑b、↑cを用いてあらわせ。
(2)△ABCの面積と△PBCの面積が等しい時のcosθ、△ABCの面積
(3)AP=BPであるときのcosθ

まったくわかりません
No.40109 - 2016/11/05(Sat) 01:53:37
☆ Re: ベクトル問題 / angel
ベクトルの問題ですから、条件を全て出して淡々と計算すれば、何とかなるようにはなっています。

以下、ｂ,ｃ,ｐはベクトルAB,AC,AP、α=cosθ だとします。

(1)
ｐ=xｂ+yｃと置いて条件を整理します。

* AB=AC=r ⇔ 内積 ｂｂ=ｃｃ=r^2
* ∠BAC=θ ⇔ 内積 ｂｃ=AB・AC・cosθ=αr^2
* ∠PBC=90° ⇔ 内積 (ｐ-ｂ)(ｂ-ｃ)=0 …?@
* ∠PCA=90° ⇔ 内積 ｃ(ｐ-ｃ)=0 …?A

?@を整理して
　(ｐ-ｂ)(ｂ-ｃ)
　=( (x-1)ｂ+yｃ )(ｂ-ｃ)
　=(x-1)ｂｂ+(y-(x-1))ｂｃ-yｃｃ
　=(x-1)r^2+(y-(x-1))αr^2-yr^2
　=r^2( (1-α)(x-1)-(1-α)y )
　=(1-α)r^2( x-y-1 )
より、x-y-1=0
?Aを整理して
　ｃ(ｐ-ｃ)
　= ｃ(xｂ+(y-1)ｃ)
　= xｂｃ+(y-1)ｃｃ
　= xαr^2+(y-1)r^2
　= r^2(αx+y-1)
より、αx+y-1=0

2つの条件
　x-y-1=0
　αx+y-1=0
が出ましたから、連立方程式として解いて
　x=2/(1+α), y=(1-α)/(1+α)
となります。( 答えとしては、ｐ=2/(1+cosθ)・ｂ+(1-cosθ)/(1+cosθ)・ｃ )
No.40138 - 2016/11/06(Sun) 08:51:47
☆ Re: ベクトル問題 / angel
(2)
面積をそれぞれ計算します。
△ABC=1/2・AB・AC・sinθ=1/2・r^2・√(1-α^2)

∠PBC=90°より △PBC=1/2・BC・BP
ここで、
　BC=√( (ｃ-ｂ)(ｃ-ｂ) )
　=√( ｂｂ-2ｂｃ+ｃｃ )
　=√( r^2-2αr^2+r^2 )
　=r√(2-2α)

次、BPについては(1)の条件 x-y-1=0⇔x-1=y と、y=(1-α)/(1+α)＞0 に注意して
　BP=√( (ｐ-ｂ)(ｐ-ｂ) )
　=√( ((x-1)ｂ+yｃ)((x-1)ｂ+yｃ)
　=√( (yｂ+yｃ)(yｂ+yｃ) )
　=√( y^2(ｂ+ｃ)(ｂ+ｃ) )
　=y√( ｂｂ+2ｂｃ+ｃｃ )
　=y√( r^2+2αr^2+r^2 )
　=yr√(2+2α)

ということで、
　△PBC=1/2・BC・BP
　=1/2・r√(2-2α)・yr√(2+2α)
　=1/2・yr^2√( (2-2α)(2+2α) )
　=1/2・2yr^2√(1-α^2)

△ABC=△PBCから
　1/2・r^2√(1-α^2) = 1/2・2yr^2√(1-α^2)
よって、2y=1
y=(1-α)/(1+α) でしたから、2(1-α)/(1+α)=1
これを解いて、α=1/3
△ABC=1/2・r^2√(1-α^2) でしたから、α=1/3 の時 △ABC=√2・r^2/3
No.40139 - 2016/11/06(Sun) 09:10:10
☆ Re: ベクトル問題 / angel
(3) AP=BP とはなりえないようなのですが、問題は合ってますでしょうか?
No.40140 - 2016/11/06(Sun) 09:12:34
★ (No Subject) / マーク
画像の(3)の問題の解き方を教えて下さい。出来れば答えも教えて下さると助かります。お願いします。
No.40103 - 2016/11/04(Fri) 16:59:21
☆ Re: / X
x=2cosθ
と置きましょう。
No.40104 - 2016/11/04(Fri) 18:39:32
☆ Re: / angel
答えを求めるだけであれば、図のグラフの色を塗った部分の面積を表していることに着目し、扇形・三角形の面積を計算して足し合わせても良いです。
※答え合わせにどうぞ
No.40105 - 2016/11/04(Fri) 19:32:37
☆ Re: / マーク
なぜ、x=2cosθ
と置くのですか？理由を教えて下さい。
No.40106 - 2016/11/04(Fri) 20:27:50
☆ Re: / マーク
もしかして、cosとsin逆じゃないですか？
No.40107 - 2016/11/04(Fri) 20:30:58
☆ Re: / angel
> もしかして、cosとsin逆じゃないですか？
そういうのは自分でやってみてある程度形にしてから言うものです。失礼です。

…結論から言えば、cos,sinどちらでもできます。「逆」じゃありません。どちらか一方じゃなきゃいけないなんてことはないんです。

どちらの場合でもやり方はほとんど変わりませんから、まずは計算してみるのが良いと思います。
No.40108 - 2016/11/04(Fri) 22:11:51
☆ Re: / X
>>マークさんへ
私がご質問の問題を見たとき、まず考えたのは
angelさんが既に描かれている図です。
この図において
x=2cosθ
と置くと、極座標の考え方により定積分を行う
θの値の範囲が容易に分かるからです。
No.40110 - 2016/11/05(Sat) 05:55:20
☆ 置換積分では変数の動く範囲に注意 / 黄桃
>なぜ、x=2cosθ

正確には、
x=2cosθ（ただし、0≦θ≦π)
とおく、です。
θがこの範囲を動く時 sinθ≧0 なので、√(4-4cos^2θ)=2sinθとなり、間違えにくくなります。
置換積分する場合は、変換した変数の動く範囲に注意しましょう。

なお、
x=2sinθ
と置くのなら、θの範囲は
π/2≦θ≦3π/2　...(A)
や
-π/2≦θ≦π/2 ...(B)
としなければいけません。
そして、(A)の場合は、cosθ≦0, (B)の場合はcosθ≧0 ですから、√(1-sin^2θ)の答が変わって来ます。
特に前者の場合はうっかり√(1-sin^2θ)=cosθとしやすいので注意しましょう。

＃ここで符号を間違えて、積分でも符号を間違えると元に戻って気づかれずに正解になることもありますが。

＃＃練習問題(2)を理解していれば、こうした疑問は解決されているはずです。
No.40116 - 2016/11/05(Sat) 11:34:25
☆ Re: / マーク
ありがとうございました_(._.)_
No.40123 - 2016/11/05(Sat) 19:13:04
★ (No Subject) / 佐藤
高校3年
座標平面上に点A（0,1）をとる。x軸上に点Pを取り線分APの垂直二等分線をlとする。点Pを通りx軸に垂直な直線とlとの交点をQとする。
（1）AQ＝QPであることを証明せよ。

（2 ）点Pがx軸上を動くとき点Qの軌跡はどのよううな図形を描くか図示せよ
No.40099 - 2016/11/03(Thu) 21:29:52
☆ Re: / X
(1)
lと線分APとの交点をRとすると
条件から△PRQ≡△AQR
∴AQ=PQ

(2)
略解)
P(t,0)
と置くと、lの方程式は
y=t(x-t/2)+1/2
∴Q(X,Y)とすると
X=t (A)
Y=t(t-t/2)+1/2 (B)
(A)(B)よりtを消去して
Y=(1/2)X^2+1/2
∴点Qの軌跡は
放物線 y=(1/2)x^2+1/2
注)
点Qの軌跡はx軸を準線、点Pを焦点とする
放物線になります。
No.40101 - 2016/11/04(Fri) 05:00:08
★ (No Subject) / マーク
画像の問題の答えはこれであっていますか？
No.40097 - 2016/11/03(Thu) 20:54:41
☆ Re: / angel
はい。合ってます。
No.40100 - 2016/11/03(Thu) 22:02:09
★ (No Subject) / マーク
画像の問題の(1)の答えは2で合っていますか？
また、(2)の解き方が分からないので、教えて下さい。お願いします。
No.40088 - 2016/11/03(Thu) 18:51:35
☆ Re: / angel
(1)
2 で正解です。

(2)
絶対値なので、中身の正負で場合分けします。
丁度 x=0 の時 e^x=1, e^x-1=0 なので、ここが境界、

∫[-1,2] |e^x-1|dx
= ∫[-1,0] -(e^x-1)dx + ∫[0,2] (e^x-1)dx

後は通常通りの積分です。
No.40089 - 2016/11/03(Thu) 19:04:59
★ (No Subject) / 一二三
(2)以降の解き方を教えてください。
No.40086 - 2016/11/03(Thu) 17:24:18
☆ Re: / X
まず前準備。
条件から
f(x)=8-(1/2)x^2 (-4≦x≦4) (P)
f(x)=0 (x＜-4,4＜x) (Q)
一方
f(-x)=f(x)
によりf(x)は偶関数ですので
g(x)=f(x)+f(-(x-6))=f(x)+f(x-6)
∴
g(x)=8-(1/2)x^2 (-4≦x≦2) (A)
g(x)=8-(1/2)x^2+8-(1/2)(x-6)^2 (2≦x≦4) (B)
g(x)=8-(1/2)(x-6)^2 (4≦x≦10) (C)
g(x)=0 (x＜-4,10＜x) (D)

(2)
(A)(B)(C)(D)を元に
y=g(x)
のグラフを描きます。
(但し、(B)はもう少し整理をしましょう。)

(3)
(Q)に着目しましょう。

(4)
|x|≦bより
-b≦x≦b (E)
(E)と(2)の過程で描いたy=g(x)のグラフとの
位置関係を考えましょう。

(5)
(2)の過程で描いたy=g(x)のグラフに
直線y=kを描き込み、交点の個数が
最大となるようなkの値の範囲を
考えましょう。
No.40090 - 2016/11/03(Thu) 19:35:29
★ (No Subject) / x
x＜0＜yである x,y について、√(x^2-2xy＋y^2)＋|2x-5y|＝mx＋ny が常に成り立つとき、m,nの値を求めよ。よろしくお願いします。
No.40085 - 2016/11/03(Thu) 16:56:45
☆ Re: / X
問題の等式から
|x-y|+|2x-5y|=mx+ny
x＜0＜yに注意すると
-(x-y)-(2x-5y)=mx+ny
∴-3x+6y=mx+ny
これがx,yについての恒等式になればよいので
m=-3,n=6
No.40091 - 2016/11/03(Thu) 19:37:54
★ 漸化式 / teru
a1=2,an+1/an=2・3^n−1
という問題の解き方が分かりません。
よろしくお願いします。
No.40079 - 2016/11/03(Thu) 12:46:13
☆ Re: 漸化式 / IT
a[n+1]/a[n]=2・3^n−1ですよね？

b[n]=a[n+1]/a[n] + 1　とおくと　b[n]=2・3^n です。
ますはb[n]を求めてください。
No.40080 - 2016/11/03(Thu) 14:06:09
☆ Re: 漸化式 / teru
すみません、a[n+1]/a[n]=2・3^(n−1)です。
No.40081 - 2016/11/03(Thu) 14:52:06
☆ Re: 漸化式 / IT
では
a[n+1]/a[n]=2・3^(n−1)
a[n]/a[n-1]=2・3^(n−2)
・・・
a[3]/a[2]=2・3^1
a[2]/a[1]=2・3^0

辺辺掛け合わせるとどうなりますか？
No.40082 - 2016/11/03(Thu) 15:45:07
☆ Re: 漸化式 / teru
a[n]=2^n・3^((n^2-3n+2)/2)となりました
No.40083 - 2016/11/03(Thu) 16:31:33
☆ Re: 漸化式 / IT
合ってると思います。こういう問題ではn=1,2,3 あたりで正しいか確認してみられるといいと思います。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5Bn%2B1%5D%2Fa%5Bn%5D%3D2*3%5E(n-1),a%5B1%5D%3D2
No.40087 - 2016/11/03(Thu) 18:07:17
★ 直線と平面の交点 / 檸檬後輩
(2)(3)が分かりません お願いします
No.40078 - 2016/11/03(Thu) 12:45:53
☆ Re: 直線と平面の交点 / 檸檬先輩
お願いします
No.40084 - 2016/11/03(Thu) 16:41:44
☆ Re: 直線と平面の交点 / X
(2)
点Qは直線BP上の点ですので
↑AQ=(1-t)↑AB+t↑AQ
=(1-t)↑b+t↑AQ
(tは実数)
と表すことができます。
これに(1)の結果を代入して
↑AQ=… (A)
ここで点Qは平面ACD上の点ですので
(A)の↑bの係数は0。
このことからtについての方程式を
立てると…

(3)
前半)
(2)と同じ方針で考えましょう。
後半)
前半の結果を使い
|↑AR|^2
の値を求めます。
但し、前準備として
↑b・↑c,↑c・↑d,↑b・↑d
の値を計算しておくと、多少計算が楽になります。
No.40093 - 2016/11/03(Thu) 19:45:47
☆ Re: 直線と平面の交点 / 檸檬後輩
ありがとうございました
No.40095 - 2016/11/03(Thu) 19:54:08
☆ Re: 直線と平面の交点 / 檸檬後輩
(2)は分かりましたが(3)の解き方がどうしても分かりません
説明お願いします
No.40098 - 2016/11/03(Thu) 21:04:07
☆ Re: 直線と平面の交点 / X
ごめんなさい。(3)の前半が説明不足でしたので
再度アップを。

(3)
前半)
条件から
↑AR=t(↑AE+↑AF)/2
(tは実数)
と置くことができます。
一方、条件から
↑AF=(1/3)↑b
∴↑AR=(t/2)↑AE+(t/6)↑b
これに更に(1)の結果を代入すると
↑AR=… (A)
ここで点Rは平面GCD上の点ですので
↑AR=x↑AG+y↑AC+z↑AD (B)
(但し、x,y,zは
x+y+z=1 (C)
なる実数)
と置くことができます。
(B)より
↑AR=(x/4)↑b+y↑c+z↑d (B)'
ここで
↑b,↑c,↑dはいずれも↑Oではなく
かつ
↑b,↑c,↑dは同一平面上にはなく
かつ
↑b,↑c,↑dはいずれも平行ではない
(つまり↑b,↑c,↑dは一次独立)
ですので、(A)と(B)'との
↑b,↑c,↑dの係数を比較することができ
…(D)
…(E)
…(F)
(x,y,z,tに関する方程式を3つ導くことができます。)
(C)(D)(E)(F)をx,y,z,tについての連立方程式と
して解くと…
(注)まずは(D)(E)(F)をx,y,zの連立方程式として
解いてx,y,zをtの式で表し、その結果を(C)に
代入します。
No.40102 - 2016/11/04(Fri) 05:15:23
★ (No Subject) / ゆう
http://server-test.net/math/03_hokudai/q_jpg/1996_1.jpg
これの解答をお願いします
No.40073 - 2016/11/02(Wed) 15:14:22
☆ Re: / angel
丁度これと同じ問題のようですね。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10130965730
No.40074 - 2016/11/02(Wed) 19:55:12
★ (No Subject) / カフカ
画像の問題の解き方を教えて下さい。お願いします。
No.40071 - 2016/11/02(Wed) 10:16:50
☆ Re: / ヨッシー
Ａ組は50人全員75点だったとすると、平均75点が実現できます。
同様に、Ｂ組は48人全員が77点、Ｃ組は52人全員が72点とします。
その状況で、150人全員の平均を計算してみます。

計算の途中で気けば良いのですが、
Ａ組の一人ひとりの点数はバラツキがあっても、50人の点数の合計が3750点になれば、平均75点になることがわかります。
No.40072 - 2016/11/02(Wed) 11:29:25
☆ Re: / カフカ
(75＋77＋72)/3じゃダメ何ですか？
No.40075 - 2016/11/02(Wed) 20:30:03
☆ Re: / ast
> (75＋77＋72)/3じゃダメ何ですか？

例えばもっと極端に
A組が1人で0点
B組が99人で全員100点
という100人の平均点を訊かれて (0+100)/2 じゃダメなんですかという発想になりますか?
No.40076 - 2016/11/02(Wed) 21:06:52
☆ Re: / ＿
>(75＋77＋72)/3

そのへんのことはこのへんに書いているはずなんですがねえ。どうして知らんぷりするのかなあ。
No.40077 - 2016/11/02(Wed) 21:40:10
★ 高校生 / そら
1〜9までの番号札9枚から4枚取り出して、4桁の整数をつくる。このとき、次の確率を求めよ。
(1)奇数である
(2)5の倍数
この2つの求め方を教えて下さい。
No.40067 - 2016/11/01(Tue) 22:40:42
☆ Re: 高校生 / ヨッシー
数字の並べ方は全部で
　9Ｐ4 通りあります。
(1)奇数は、１の位が 1,3,5,7,9 の５通り。
他の３つの数字の並べ方が　8Ｐ3 通り。
合わせて　5×8Ｐ3 通り。
(2) １の位が５の１通り。
他の３つの数字の並べ方が　8Ｐ3 通り。
合わせて　1×8Ｐ3 通り。
No.40069 - 2016/11/01(Tue) 23:01:45
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