[ 掲示板に戻る ]

★ (No Subject) / ふみ

こんにちは。 写真の41番の問題なのですが、 解答で疑問に思うところがあったので、解説をお願いしたいです No.39325 - 2016/10/02(Sun) 13:32:22 ☆ (No Subject) / ふみ 解答の写真1枚めです No.39326 - 2016/10/02(Sun) 13:33:42 ☆ Re: / ふみ 解答の写真2枚めです 41（2）なのですが、 x+2が一次であるということは、最初からわかっていることではないでしょうか？ なぜ、写真1枚めのような説明を書く必要があるのかわかりません。 2枚めからの説明だけではだめなのですか？ No.39327 - 2016/10/02(Sun) 13:38:29 ☆ Re: / ＿ >なぜ 「g(x)が(x+2)を因数に持つとき、g(x)とf(x)の共通因数が2次でない」ことを確認するためです。 それを「(x+2)が2次式でない」ことを確認するため、と誤解しています。言うまでもなく1次式です。 ＃どうでもいいですがその下の42番はいい問題ですね。 No.39329 - 2016/10/02(Sun) 13:45:56 ☆ Re: / IT > x+2が一次であるということは、最初からわかっていることではないでしょうか？ そのとおりです。 > なぜ、写真1枚めのような説明を書く必要があるのかわかりません。 > 2枚めからの説明だけではだめなのですか？ f(x)とg(x)の共通因数が(x+2)(x-α) となるかも知れないからです。 No.39330 - 2016/10/02(Sun) 13:46:19 ☆ Re: / noname 解説では，次の2つ ?@共通因数である2次式がx-2で割り切れる場合 ?A共通因数である2次式がx-2では割り切れない場合 で場合分けをしています．?@においては，少なくともf,gがx-2で割り切れることが必要なので，f.gがx-2で割り切れると仮定した場合での議論が行われています．その結果，問題文の条件に適さないことが導かれたため，?Aの場合を考えることになり，この場合ではfの因数分解の形からx^2+ax-3a^2がf,gの共通因数でなければならないということになります(方程式x^2+ax-3a^2＝0はx＝2を解に持たないから)． No.39331 - 2016/10/02(Sun) 13:51:00 ☆ Re: / noname 先程のコメントで誤植がみられたため，訂正を与えておきます．失礼致しました． [訂正] ・「x-2」と書かれている箇所全ては誤りであり，これらを全て「x+2」に読み替えてください． ・「x＝2を解に持たないから」の部分を「x＝-2は解に持たないから」に読み替えてください． No.39332 - 2016/10/02(Sun) 14:16:52 ☆ Re: / ふみ なるほど！すっきりしました！ 皆様、わかりやすい説明ありがとうごさいました。 No.39335 - 2016/10/02(Sun) 15:34:20 ☆ Re: / ふみ あ、すいません、今読み直してて疑問に思ったんですが、 f(x)は(x+2)(x^2+ax-a^2)としか因数分解できないですよね？ なのに、(x+2)(x-a)といった因数をもつ場合があるってどういうことですか……？ No.39336 - 2016/10/02(Sun) 15:49:10 ☆ Re: / ふみ すいません、a^2の前に3が抜けてました No.39337 - 2016/10/02(Sun) 15:50:43 ☆ Re: / IT > f(x)は(x+2)(x^2+ax-3a^2)としか因数分解できないですよね？ > なのに、(x+2)(x-a)といった因数をもつ場合があるってどういうことですか……？ (x+2)(x-a) ではなくて　(x+2)(x-α) "α"：アルファです。 f(x)=0の-2 以外の解をα、βとすると f(x)=(x+2)(x-α)(x-β) と因数分解できます。 No.39338 - 2016/10/02(Sun) 16:24:23 ☆ Re: / ふみ 理解できました！ありがとうございます。 No.39339 - 2016/10/02(Sun) 16:27:35 ☆ Re: / noname なお，fの因数分解については，次の様に行っても構いません： f(x)＝x^3+ax^2+2x^2-3a^2x+2ax-6a^2 ＝(-3x-6)a^2+(x^2+2x)a+x^3+2x^2 ＝-3(x+2)a^2+x(x+2)a+x^2(x+2) ＝(x+2)(-3a^2+xa+x^2) ＝(x+2)(x^2+ax-3a^2). No.39340 - 2016/10/02(Sun) 18:08:19 ☆ Re: / ふみ わざわざありがとうございます！ 勉強になりました(^^) No.39342 - 2016/10/02(Sun) 18:26:36

★ 積分 / おまる

いつもお世話になっております。 解答でわからないところがあるので教えて欲しいです。 次の問題の⑶で、0≦t<√3/2の時の図で、PRとSQが通過する範囲を考えていますが、PQやRSの通過範囲が退けられているのは何故ですか？ 図を見ただけでは分かりにくいので、よろしくお願いします。 No.39317 - 2016/10/02(Sun) 00:58:34 ☆ Re: 積分 / angel 問題文で「円筒」と書かれていますが、これは「円柱」とは違います。円柱から底面を抜いたものです。 また、C の式から分かる通り、円柱の内側の部分もなく空です。 なので、円柱の底面に相当する PQ, RS は含まれません。 No.39320 - 2016/10/02(Sun) 01:23:15 ☆ Re: 積分 / おまる ご回答ありがとうございました。 円柱と円筒の違いが初めてわかりました。 No.39328 - 2016/10/02(Sun) 13:44:25

★ (No Subject) / ゆい

緑線部のcosπ/nの変形（sin^2+cos^2=1を利用しているっぽいのは分かるのですが、sinの出し方が分かりません）と、赤線部の√内の計算が分かりません。 青線部は今、理解できたので大丈夫です。 よろしくお願いします。 No.39314 - 2016/10/02(Sun) 00:07:13 ☆ Re: / ゆい 続きです No.39315 - 2016/10/02(Sun) 00:07:38 ☆ Re: / ゆい 一応問題です No.39316 - 2016/10/02(Sun) 00:08:02 ☆ Re: / angel 緑の部分は cos の倍角 　cos2θ=(cosθ)^2-(sinθ)^2=1-2(sinθ)^2 です。今回は、その θ=π/2n の時のもの、と見てください。 赤線部分に関しては、添付の数式のような変形を行っています。 No.39318 - 2016/10/02(Sun) 01:11:21 ☆ Re: / noname まずは緑線部における疑問に関してですが，cos(π/n)の1-2sin^2(π/(2n))への変形については2倍角の公式が用いられています．この変形を丁寧に書くと， cos(π/n) ＝cos(2・π/(2n)) ＝1-2sin^2(π/(2n)) となります．次に，赤線部における疑問に関してですが，lim_[θ→0]sinθ/θ＝1の極限を利用するために赤線部にある様な変形がなされています．つまり，sin^2(π/(2n))の部分をsin^2(π/(2n))/(π/(2n))^2の形にしたいわけですが，この式は sin^2(π/(2n))/(π/(2n))^2 ＝4n^2/π^2・sin^2(π/(2n)) となるため，そのまま書きかえようとすると1/π^2という余分なものがくっついてきてしまいます．そういったことが起こらないようにするために1/π^2の逆数のπ^2が変形後の式の中に書かれているのです．今言ったことを数式のみで説明するならば， 4n^2(1+1/n)sin^2(π/(2n)) ＝4n^2/π^2・π^2・(1+1/n)sin^2(π/(2n)) ＝π^2(1+1/n)・4n^2/π^2・sin^2(π/(2n)) ＝π^2(1+1/n)・sin^2(π/(2n))/(π/(2n))^2 ということをしているということです． No.39319 - 2016/10/02(Sun) 01:18:15 ☆ Re: / noname 本問は，2007年度に東大の(理系)入試問題で第2問として出題されたものですね．問題を一言で言ってしまえば，「対数螺旋(等角螺旋)r＝e^{θ/π}(0≦θ≦π)の長さを，その近似である折れ線の長さの極限で求めよ」ということです．もし曲線の長さの公式を知っていれば，この曲線上の点(x,y)を(e^{θ/π}cosθ,e^{θ/π}sinθ)と表した後に， ∫_[0,π]√((dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2)dθ ＝√(1+1/π^2)∫_[0,π]e^{θ/π}dθ ＝(e-1)√(π^2+1) の様に求めることが出来ます． No.39321 - 2016/10/02(Sun) 01:36:53 ☆ Re: / noname >「対数螺旋(等角螺旋)r＝e^{θ/π}(0≦θ≦π)の長さを，その近似である折れ線の長さの極限で求めよ」 と申しましたが，本問では区分求積法による図形の面積計算と似たようなことを曲線の求長において行っているということです． No.39323 - 2016/10/02(Sun) 03:37:41 ☆ Re: / ゆい 返事遅れてすみません、とても詳しく説明してくださってありがとうございます…！ 分かりやすくて感動しました！ 問題集に東大って書いてあるだけでビビっちゃいます笑 No.39346 - 2016/10/03(Mon) 02:04:53

★ 数3 軌跡の極方程式の問題です。 / しょうた

点A(a.0)を中心とする半径がaの円がある。この円上の任意の点Ｐと極Oを結ぶ線分OPを一辺とする正方形OPQRを作る。この時、点Qの軌跡の極方程式を求めよ。 この答えが r＝2√2a cos(θ＋45) または r＝2√2a cos(θ−45) となっていますが、角度の部分でなぜ (θ＋45) が成り立つのか分かりません。 写真の上の図だけでなく下の図のように正方形を考えてあげれば納得できるのですが、図形を定義する時は角度を考慮して反時計回り周りに考えるのかと思っています。(ORQPになってしまう？) 別の考え方があるのかと思い質問しました。よろしくお願いします。 No.39311 - 2016/10/01(Sat) 13:06:41 ☆ Re: 数3 軌跡の極方程式の問題です。 / angel > 写真の上の図だけでなく下の図のように正方形を考えてあげれば納得できるのですが、図形を定義する時は角度を考慮して反時計回り周りに考えるのかと思っています。(ORQPになってしまう？) 問題文で、OPQRの順が時計回りとも反時計回りとも指定されていないのであれば、両方考える必要があります。 答えが > r＝2√2a cos(θ＋45) または r＝2√2a cos(θ−45) と「または」が入っているのはそのためでしょう。 なお、添付の図で紫の円が r=2√2・a・cos(θ+45°)、青の円が r=2√2・a・cos(θ-45°) に対応します。 No.39312 - 2016/10/01(Sat) 14:44:59

★ (No Subject) / アカシロトモ

こんばんは、下の問題(2)について教えてください。 (1)については、z=cos2θ+i sin2θと置いて、r=2sinθ と求めることができましたが、（2）が分かりません。 （1）を誘導としてどのように用いるのでしょうか。 いつもご迷惑をおかけいたしますがよろしくお願いします。 問題 (1)　絶対値が1で偏角が2θ(0<θ<π) である複素数z に対して|1-z|=r と 置くとき,sinθをr を用いて表せ。 （2）sin(π/5) sin(2π/5) sin(3π/5 )sin(4π/5) の値を求めよ。 No.39303 - 2016/09/30(Fri) 18:54:28 ☆ Re: / IT ヒント 絶対値が1で偏角が2π/5 である複素数をαとすると (1)より,sin(π/5)=|1-α|/2,sin(2π/5)=|1-α^2|/2,sin(3π/5)=|1-α^3|/2,sin(4π/5)=|1-α^4|/2　 よって,sin(π/5) sin(2π/5) sin(3π/5)sin(4π/5) ＝|1-α||1-α^2||1-α^3||1-α^4|/16 一方 x^5-1=(x-1)(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4) x^4+x^3+x^2+x+1=(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4) x=1とおくと5=(1-α)(1-α^2)(1-α^3)(1-α^4) No.39304 - 2016/09/30(Fri) 21:24:56 ☆ Re: / angel なるほど…。初めて見ましたが、かっちょいいですねコレ。 sin(π/5)=sin(4π/5), sin(2π/5)=sin(3π/5) と同じ値になるものなのに、敢えてこう書き分けているのに意味があるものと信じてみましょう。 |z1|=|z2|=|z3|=|z4|=1, arg(z1)=2π/5, arg(z2)=4π/5, arg(z3)=6π/5, arg(z4)=8π/5 とするとき、 (1) の結果から、 　　sin(π/5)sin(2π/5)sin(3π/5)sin(4π/5) 　= 1/16・|1-z1|・|1-z2|・|1-z3|・|1-z4| 　= 1/16・| (1-z1)(1-z2)(1-z3)(1-z4) | です。これを計算すれば良いです。 取り敢えず z1^5=1, z2=z1^2, z3=z1^3, z4=z1^4 を利用するだけでも計算は何とかなるはずです。 ※ただし、あることに気付くと一瞬です。 No.39305 - 2016/09/30(Fri) 21:27:55 ☆ Re: / アカシロトモ IT さん、angel さん いつも、ありがとうございます。 今から考えます。 No.39306 - 2016/09/30(Fri) 21:40:09 ☆ Re: / angel ごめんなさい。「何とかなるはず」と書きましたけど、ちょっと足りないですね。 まあ、1+z1+z2+z3+z4=0 を利用すれば良いのですが。 ただ、ITさんが既にヒントを出されていますので、それで計算されるのが良いと思います。 No.39307 - 2016/09/30(Fri) 21:41:15 ☆ Re: / アカシロトモ ITさん、angelさん 　詳しいご解説ありがとうございました。 「複素数の積」に対する理解が甘かったために、 ご解説を理解するのに時間がかかりましたが、 おかげさまで理解できました。 毎日、ご指導していただいてとても助かっております。 No.39310 - 2016/09/30(Fri) 22:45:17

★ (No Subject) / あ

数直線上にn個の点ai(i=1,2,…n)がある。 (1) 点xから各点aiへの距離の二乗の和h(x)を最小とするxの値、およびその最小値を求めよ。 (2) 各点aiをpai+qに変えたとき、(1)の答えはどうなるか。 よろしくお願いします。aiのiはaの右下に小さくついてる文字です。 No.39300 - 2016/09/30(Fri) 11:03:55 ☆ Re: / ヨッシー (1) 　Ｓ＝(x−a1)^2＋(x−a2)^2＋・・・＋（x−an)^2＝nx^2−2(a1＋a2＋・・・＋an)x＋(a1^2＋a2^2＋・・・＋an^2) の最小値なので、 　ｘ＝(a1＋a2＋・・・＋an)/n のとき 最小値 　Ｓ＝(a1^2＋a2^2＋・・・＋an^2)−(a1＋a2＋・・・＋an)^2/n (2) bi＝pai+q とおくと、 　ｘ＝(b1＋b2＋・・・＋bn)/n のとき 最小値 　Ｓ＝(b1^2＋b2^2＋・・・＋bn^2)−(b1＋b2＋・・・＋bn)^2/n となります。p,q,ai を使って表すと 　ｘ＝{(pa1＋q)＋(pa2＋q)＋・・・＋(pan＋q)}/n 　　＝p(a1＋a2＋・・・＋an)/n＋q のとき 最小値 　Ｓ＝{(pa1＋q)^2＋(pa2＋q)^2＋・・・＋(pan＋q)^2}−{(pa1＋q)＋(pa2＋q)＋・・・＋(pan＋q)}^2/n 　　＝p^2(a1^2＋a2^2＋・・・＋an^2)＋2pq(a1＋a2＋・・・＋an)＋nq^2−{p(a1＋a2＋・・・＋an)＋nq}^2/n 　　＝p^2(a1^2＋a2^2＋・・・＋an^2)＋2pq(a1＋a2＋・・・＋an)＋nq^2−p^2(a1＋a2＋・・・＋an)^2/n−2pq(a1＋a2＋・・・＋an)−nq^2 　　＝p^2(a1^2＋a2^2＋・・・＋an^2)−p^2(a1＋a2＋・・・＋an)^2/n 　　＝p^2×((1)の最小値) となります。 No.39301 - 2016/09/30(Fri) 13:13:57

★ 円周上の点 / 郁奈

こんにちは。教えて頂きたいのですが 原点を中心とする半径rの円と、円周上の点P(Xp, Yp)がある。 X軸上に点Q(Xq, 0)をとり、線分PQとX軸のなす角をθとする時、 線分PQの長さを示せ。但し0<Xq<rとする。 という問題で、原点Oと点Pが作る線分OPと X軸とのなす角をφとすれば、 φを使ってPQを示せるのですが r, Xq, θの関数にする事ができません。 どなたか教えて頂けませんでしょうか。 No.39298 - 2016/09/30(Fri) 09:39:31 ☆ Re: 円周上の点 / ヨッシー こういう状況の図が描けると思いますので、余弦定理より 　r^2＝Xp^2＋ＰＱ^2＋2Xp・ＰＱcosθ から、ＰＱ＝・・・　の形にすれば良いでしょう。 あとは、ＰＱ＞０　になることと、Ｐがどの象限にあっても成り立つかを確認しておきましょう。 No.39299 - 2016/09/30(Fri) 10:58:29

★ (No Subject) / アカシロトモ

今日もよろしくお願いいたします。 下の問題で、 点Aを通りOBと平行な直線の方程式は、 z=α+t 𝛽(𝑡は実数)とおけるので、𝑡＝(z-α)/𝛽 𝑡は実数なので、 (z-α)/𝛽＝＊((z-α)/𝛽 ) （*は共役の意味です) また、点Bを通りOBに垂直な直線の方程式は、 (z-𝛽)/𝛽=(0または純虚数) ここから、全く分かりません。教えてください。 問題：複素数平面上に異なる３点O,A(α),B(𝛽) がある。 点Aを通りOBと平行な直線と, 点Bを通りOBに垂直な直線の交点の座標を求めなさい。 No.39291 - 2016/09/29(Thu) 20:01:13 ☆ Re: / X 点Bを通りOBに垂直な直線の方程式を 点Aを通りOBと平行な直線の方程式と 同じ形式の表記にしましょう。 点Bを通りOBに垂直な直線の方程式は z=β+iβu (P) (uは実数) これと z=α+t𝛽 により α+t𝛽=β+iβu これより α/β=(1-t)+iu (A) よって、例えばzの共役複素数を\z と書くことにすると、(A)から 複素数相等の定義により 1-t=(1/2)(α/β+\α/\β) (B) u={1/(2i)}(α/β-\α/\β) (C) (C)を(P)に代入して z=β+(β/2)(α/β-\α/\β) =(1/2)α+(1-(1/2)\α/\β)β ということで交点に対応する 複素数は (1/2)α+(1-(1/2)\α/\β)β です。 No.39292 - 2016/09/29(Thu) 20:42:53 ☆ Re: / アカシロトモ X さん ありがとうございます。 複素数平面が分かっていないので、 今から、しっかり読ませていただきます。 No.39293 - 2016/09/29(Thu) 20:56:24 ☆ Re: / アカシロトモ X さん 複素数相等の定義により、実部と虚部がそれぞれ (B),(C)の右辺となるのが分かりません。 また、最後の式：(1/2)α+(1-\α/\β)βで、 \α/\βの前に、(1/2)が付きませんか 初歩的で申し訳ありません。 No.39294 - 2016/09/29(Thu) 22:24:34 ☆ Re: / X ＞＞複素数相等の〜分かりません。 実数a,bに対し z=a+bi (A) であるとすると \z=a-bi (B) (A)+(B)より z+\z=2a ∴a=(z+\z)/2 (A)' (A)-(B)より 2bi=z-\z ∴b=(z-\z)/(2i) (B)' (A)'(B)'を元にもう一度考えてみて下さい。 ＞＞また、最後の式〜 ごめんなさい、その通りですね。 No.39292を直接修正しておきました。 No.39295 - 2016/09/29(Thu) 22:26:26 ☆ Re: / アカシロトモ X さん おかげさまでよく理解できました。 詳しい解説いただきまして、ありがとうございました。 No.39296 - 2016/09/29(Thu) 22:43:07

★ 指数を含む関数 / ぺんぎん

関数についてお願いします。 画像の関数のxが0,１,２,３,４のときの値は f(0)=1 f(1)=10 f(2)=100 f(3)=1000 f(4)=10000 であっていますか？ 片対数グラフを書きたいのです。 お願いします。 No.39281 - 2016/09/29(Thu) 14:34:40 ☆ Re: 指数を含む関数 / noname どれも正しくないです．x＝0,2,4の時は f(0)＝2×10^0＝2, f(2)＝2×10^1＝20, f(4)＝2×10^2＝200 であり，x＝1,3の時は f(1)＝2×10^{1/2}＝2√10, f(3)＝2×10^{3/2}＝2×10√10＝20√10 の様になります．よって，f(0),f(2),f(4)は整数ですが，f(1),f(3)は無理数となっています． No.39283 - 2016/09/29(Thu) 14:53:01 ☆ Re: 指数を含む関数 / noname 片対数グラフを作成するのであれば，対数目盛りの軸を縦軸と横軸のどちらにするのかとか対数の底の値をどうするのかなどが不明確なので正確には答えられませんが，例えば対数目盛の軸を縦軸にして対数の底を10とする場合はf(0),f(1),f(2),f(3),f(4)の値の常用対数の値を縦軸にとって考えればよいということになります． No.39284 - 2016/09/29(Thu) 15:02:49

★ 大学での積分の問題 / yanagi

お世話になります。 情けない話なのですが画像の３番と４番の問題が全く分かりません。 ご教授いただければ幸いです。 よろしくお願いします。 No.39275 - 2016/09/29(Thu) 05:22:03 ☆ Re: 大学での積分の問題 / noname どちらも易しめの問題なので，以下にヒントを与えておきます． [ヒント] ３.-π/2以上π/2未満の範囲での主値で考えるとArctan(1)＝π/4であるから， F(1)＝∫_[π/4,π/4]e^{tan^2(t)}dt＝…. また，微分積分学の基本定理から， F'(x)＝exp((tan(Arctan(x)))^2)＝…. ４.積分区間e^{-1}≦x≦eをe^{-1}≦x≦1,1≦x≦eの2つに分けて定積分を計算すればよい．その際に， d/dx((1+In(x))^{-1})＝-(1+In(x))^{-2}, d/dx((1-In(x))^{-1})＝(1-In(x))^{-2} であることに注意するとよい．或いは，積分計算の際にu＝In(t)の様に変数変換を行って考えてもよい． No.39280 - 2016/09/29(Thu) 13:44:44

★ (No Subject) / ゆい

何度も質問すみません、(3)の赤線部、 P_nP_(n+1)=√1+(-1/2)^2|x_(n+1)-x_n|になる理由と、 √5/2|(-1/2)^(n-1)-(-1/2)^n|=(3√5)/4(1/2)^(n-1)の計算が分かりません。 よろしくお願いします。 No.39266 - 2016/09/29(Thu) 01:17:26 ☆ Re: / ゆい 問題です。 No.39267 - 2016/09/29(Thu) 01:17:53 ☆ Re: / noname 点列{P_[n]}の定義より，P_[n]とP_[n+1]の座標はそれぞれ P_[n](x_[n],f(x_[n]))，P_[n+1](x_[n+1],f(x_[n+1])) となります．ここで， f(x_[n+1])-f(x_[n]) ＝(-1/2・x_[n+1]+3)-(-1/2・x_[n]+3) ＝-1/2・x_[n+1]+1/2・x_[n]+3-3 ＝-1/2・(x_[n+1]-x_[n]) であるから，この式と2点間の距離の式より P_[n]P_[n+1] ＝√((x_[n+1]-x_[n])^2+(f(x_[n+1])-f(x_[n]))^2) ＝√((x_[n+1]-x_[n])^2+{-1/2・(x_[n+1]-x_[n])}^2) ＝√((x_[n+1]-x_[n])^2+(-1/2)^2・(x_[n+1]-x_[n])^2) ＝√({1+(-1/2)^2}・(x_[n+1]-x_[n])^2) ＝√(1+(-1/2)^2)・|x_[n+1]-x_[n]| ＝√(5/4)・|{2-(-1/2)^n}-{2-(-1/2)^{n-1}}| ＝√5/2・|-(-1/2)^n+(-1/2)^{n-1}+2-2| ＝√5/2・|-(-1/2)^n+(-1/2)^{n-1}| ＝√5/2・|(-1/2)^{n-1}-(-1/2)^n| ＝√5/2・|(-1/2)^{n-1}・{1-(-1/2)}| ＝√5/2・|(-1/2)^{n-1}・3/2| ＝√5/2・|(-1/2)^{n-1}|・|3/2| ＝√5/2・|-1/2|^{n-1}・3/2 ＝3√5/4・(1/2)^{n-1} の様に変形することが出来ます．赤線の部分ではこの一連の過程が簡潔に書かれているということでしょうね． No.39269 - 2016/09/29(Thu) 01:35:07 ☆ Re: / noname 上のコメントでのP_[n]P_[n+1]の式の変形では使われる行数が多くて時間のかかる様なことがされている様に見えますが，実際にはもう少し計算過程を端折ることが出来ます．ただ，念の為を考え，あえて上の様な細々とした計算過程をコメントに与えておきました． No.39270 - 2016/09/29(Thu) 01:37:28 ☆ Re: / ゆい できました… 本当にありがとうございます No.39289 - 2016/09/29(Thu) 18:24:32

★ (No Subject) / ゆい

分からないことだらけで申し訳ないのですが… 赤線部の√内の数字がどこからきているのか 緑線部のl_nの求め方 青線部の2になる理由 が分かりません よろしくお願いします。 No.39264 - 2016/09/29(Thu) 00:38:27 ☆ Re: / ゆい 問題です。 No.39265 - 2016/09/29(Thu) 00:39:11 ☆ Re: / mo 概略です 赤線部分について Ｐnの座標を求めて 　x座標が、2n/(n＋1) 　y座標が、1/(n＋1) 三平方の定理を使いＯＰnを求めています 青線部分について 出だしの正弦定理を用いた式の 　両辺に、sinθn　をかけ ＡＰn＝{(ＯＰn)/(sin∠ＯＡＢ)}(sinθn) ＡＰn＝(1/sin∠ＯＡＢ)(ＯＰn)(sinθn) 　これに ?@ＡＰn＝Ｌn ?Asin∠ＯＡＢ＝1/√5→1/sin∠ＯＡＢ＝√5 ?BＯＰ＝{√(4n^2＋1)}/{n＋1} 　を代入し、青線部分になります。 補足 Ｐnの座標 Ｐnから、y軸，x軸に下した垂線の足をＱ，Ｒとし △ＡＢＯ∽△ＰnＢＱ、相似比(n＋1)：n　から 　ＱＰn＝2n/(n＋1)…Ｐnのx座標 △ＡＢＯ∽△ＡＰnＲ、相似比(n＋1)：1　から 　ＲＰn＝1/(n＋1)…Ｐnのy座標 No.39271 - 2016/09/29(Thu) 01:49:22 ☆ Re: / noname 疑問点が複数個あるため，以下にそれぞれに対するヒントを与えておきます．それらをご参考の上一度考えてみてください． [ヒント] ?@赤色の下線部の疑問に対して →問題文よりP_[n]とは線分ABを1：nに内分する様な点である．よって，P_[n]のx座標とy座標をx_[n],y_[n]とすると，線分の内分点の座標の式より x_[n]＝(2・n+0・1)/(n+1)＝2n/(n+1), y_[n]＝(0・n+1・1)/(n+1)＝1/(n+1). この時，2点間の距離の式を用いてOP_[n]の長さを計算してみよ． ?A緑色の下線部の疑問に対して →正弦定理より AP_[n]/sinθ_[n]＝OP_[n]/sin∠OAB. ∴AP_[n]＝OP_[n]・1/sin∠OAB・sinθ_[n].…(a) ところで，直角三角形OABにおいて三平方の定理よりAB＝√5であるから， sin∠OAB＝OB/AB＝1/√5. ∴1/sin∠OAB＝√5.…(b) よって，(b)とOP_[n]の計算結果を用いれば， l_[n]＝AP_[n]＝OP_[n]・1/sin∠OAB・sinθ_[n]＝…. ?B青色の下線部の疑問に対して →極限の計算の仕方から， lim_[n→∞]l_[n]/θ_[n] ＝lim_[n→∞](√5・√(4n^2+1)/(n+1)・sinθ_[n]/θ_[n]) ＝√5・(lim_[n→∞]√(4n^2+1)/(n+1))・(lim_[n→∞]sinθ_[n]/θ_[n]). ここで，極限 lim_[n→∞]√(4n^2+1)/(n+1)，lim_[n→∞]sinθ_[n]/θ_[n] の値を計算してみよ． No.39272 - 2016/09/29(Thu) 02:04:12 ☆ Re: / ゆい できましたー ありがとうございました！ No.39288 - 2016/09/29(Thu) 18:07:37

★ (No Subject) / ゆい
赤線部分の式変形が分かりません。 普通に分配法則しても-4((r+1)/2)^nが出なくて。 ただの計算力不足だとは思いますが、よろしくお願いします。 No.39260 - 2016/09/28(Wed) 23:50:09 ☆ Re: / ヨッシー 最後の項になる部分だけ抜け出すと 　2(1+r){−{(r+1)/2}^(n-1)} 　＝−2・2{(r+1)/2}{(r+1)/2}^(n-1) 　＝−4{(r+1)/2}^n となります。 No.39262 - 2016/09/29(Thu) 00:17:14 ☆ Re: / ゆい (1+r)を2{(r+1)/2}にして処理するんですね… ありがとうございました No.39263 - 2016/09/29(Thu) 00:32:58

★ 大学1年 偏微分 / さくら

連投すみません また偏微分の問題です 私はZxxとZyyを素直に求めてイコール0を示そうとしたのですが、 ZxとZyをそれぞれ求めてそこから先の計算がわからなくなってしまいました… 指針が違ったのでしょうか？ それとも、ただ前の質問のように計算力不足でしょうか？ どなたか教えてください よろしくお願いします No.39244 - 2016/09/28(Wed) 22:17:04 ☆ Re: 大学1年 偏微分 / IT Zx は、あってますが、 Zy は、まちがってます。再度途中式を確認してください。 No.39251 - 2016/09/28(Wed) 22:40:07 ☆ Re: 大学1年 偏微分 / angel Zy=-2xy/(x^2+y^2)^2 ですね。 計算でラクをするなら、R=x^2+y^2 と置いてあげるのが良いです。 そうすると、 　Rx=2x, Ry=2y そして、分数関数の微分 ∂(f/g)/∂t は、分数関数ではなく、∂(f・g^(-1))/∂t という積の微分として見るのです。 そうすると、 　∂(R^(-1))/∂x = -Rx・R^(-2) = -2xR^(-2) 　∂(R^(-2))/∂x = -2Rx・R^(-3) = -4xR^(-3) のようにできます。 さて、それで Z の偏微分を試してみると、 　Zx = ∂(x・R^(-1))/∂x = R^(-1) - x・2xR^(-2) = R^(-1)-2x^2・R^(-2) 　Zy = ∂(x・R^(-1))/∂y = x・(-2yR^(-2)) = -2xy・R^(-2) もう一段解も同じように。積の微分で。 No.39253 - 2016/09/28(Wed) 22:41:10 ☆ Re: 大学1年 偏微分 / さくら ITさん、angelさん、回答ありがとうございます Zx,Zyは理解しました その後のZxx,Zyyをangelさんのように解いてみたのですが うまく計算できませんでした… もう一度やり直してみますが、どこで間違えたのか気付ける自信がないので お手数ですが間違っているところを見つけたら教えていただきたいです No.39257 - 2016/09/28(Wed) 23:26:51 ☆ Re: 大学1年 偏微分 / angel えーと、R というのを置いたのにはですね。計算の最後の最後まで、R という形を崩さない ( の方が、結果的に計算が楽になる )、という意図もあるのですよ。 欲しいのはあくまで Zxx+Zyy ただ一つですから。 一応、私のやった計算を載せますので、ご自身の計算と比較してみてください。 --- R = x^2+y^2 Rx = 2x, Ry = 2y ∂(R^(-1))/∂x = -Rx・R^(-2) = -2x・R^(-2) ∂(R^(-2))/∂x = -2Rx・R^(-3) = -4x・R^(-3) ∂(R^(-1))/∂y = -Ry・R^(-2) = -2y・R^(-2) ∂(R^(-2))/∂y = -2Ry・R^(-3) = -4y・R^(-3) Z = x・R^(-1) Zx = R^(-1) + x・∂(R^(-1))/∂x = R^(-1) - 2x^2・R^(-2) Zxx = ∂(R^(-1))/∂x - 4x・R^(-2) - 2x^2・∂(R^(-2))/∂x = -2x・R^(-2) - 4x・R^(-2) - 2x^2・(-4x・R^(-3)) = -6x・R^(-2) + 8x^3・R^(-3) Zy = x・∂(R^(-1))/∂y = -2xy・R^(-2) Zyy = -2x・R^(-2) - 2xy・∂(R^(-2))/∂y = -2x・R^(-2) - 2xy・(-4y・R^(-3)) = -2x・R^(-2) + 8xy^2・R^(-3) Zxx+Zyy = -8x・R^(-2) + 8x^3・R^(-3) + 8xy^2・R^(-3) = 8x・R^(-3)・( -R + x^2 + y^2 ) = 0 No.39261 - 2016/09/29(Thu) 00:01:10 ☆ Re: 大学1年 偏微分 / さくら 丁寧にありがとうございます!! すごくわかりやすかったです No.39278 - 2016/09/29(Thu) 10:32:09

★ 大学1年 第2次偏導関数 / さくら

お世話になります Z=sin(y/x)の第2次偏導関数を求めよ、という問題が分かりません。 答えは Zxx＝(2y/x^3)cos(y/x)ー(y^2/x^4)sin(y/x) Zxy=Zyx=−(1/x^2)cos(y/x)+(y/x^3)sin(y/x) Zyy=−(1/x^2)sin(y/x) です(入力のしかた間違ってたらごめんなさい) どなたか途中の過程を教えてください よろしくお願いします No.39242 - 2016/09/28(Wed) 22:01:10 ☆ Re: 大学1年 第2次偏導関数 / IT Z=sin(y/x)の第1次偏導関数　Zx,Zy は計算できますか？ No.39243 - 2016/09/28(Wed) 22:12:08 ☆ Re: 大学1年 第2次偏導関数 / さくら ITさん、回答ありがとうございます Zx=−(1/x^2)cos(y/x) Zy=cos(y/x) でしょうか?? No.39247 - 2016/09/28(Wed) 22:22:26 ☆ Re: 大学1年 第2次偏導関数 / IT > Zx=−(1/x^2)cos(y/x) 違います。 (y/x) をxで微分すると−(1/x^2)　ではなくて -(y/x^2) です。 　 sin(y/x) =sin(y(1/x)) > Zy=cos(y/x) 違いますね。　上記と同様です。 No.39249 - 2016/09/28(Wed) 22:30:38 ☆ Re: 大学1年 第2次偏導関数 / さくら あ、なるほど！！ 定数扱いにしなきゃいけないから 微分するとなくなってあれれーってなっちゃってました… おかげで解決しました！！ ありがとうございましたm(_ _)m No.39250 - 2016/09/28(Wed) 22:37:03

★ (No Subject) / アカシロトモ

また、お世話になります。昨日はありがとうございました。 下の問題で、 PからQへの変換はQ=(cosα+isinα)（Ｐ−Ａ）+Ａ ＱからRへの変換はR=(cosβ+isinβ)Q とおく ここからわかりません。これ自体もあやしいです。 いつもすみません。 問題：平面上に原点Oと異なる定点Aがある。 動点Pを点Aのまわりに定角αだけ 回転させた点をQとし, 点Qを原点Oのまわりに 定角β(ただし, α+β=π) だけ回転させた点をRとする。 このとき, 適当な定点Bに対して, 点Pから点Rへの変換は 点Bに関する対称移動であることを証明しなさい。 No.39234 - 2016/09/28(Wed) 20:14:05 ☆ Re: / angel いえ、そこまで特に問題ありません。 あとは、 　「適当な定点Bに対して, 点Pから点Rへの変換は点Bに関する対称移動である」 を 　「点Pと点Rの中点は、点Pの位置に関わらず、ある定点Bとなる」 と読み替えます。 ということで、P+R を計算して、それが定数になることを確かめれば良いです。 No.39237 - 2016/09/28(Wed) 20:53:03 ☆ Re: / アカシロトモ angel さん 毎回ありがとうございます。 今から考えてみます。 No.39238 - 2016/09/28(Wed) 21:06:21 ☆ Re: / アカシロトモ angel さん p=(cos(-α)+isin((-α))(Q-A)+A とR=(cosβ+isinβ)Qをたして計算するのでしょうか？ すみません。教えてください。 No.39246 - 2016/09/28(Wed) 22:22:16 ☆ Re: / angel なるほど、Q に揃えて計算ですか。 それでも問題ないですよ。-α=β-π ですから、Q にかかる cos も sin も綺麗に消えます。 私の想定していたのは次の計算です。が、本質的には同じことです。 　　P+R 　= P+(cosβ+isinβ)Q 　= P+(cosβ+isinβ)((cosα+isinα)(P-A)+A) 　= (1+(cosβ+isinβ)(cosα+isinα))P+定数 No.39254 - 2016/09/28(Wed) 23:00:01 ☆ Re: / アカシロトモ angel さん ありがとうございました。 今、2つとも自分で計算して確かめました。 今日も大変お世話になりました。 No.39258 - 2016/09/28(Wed) 23:28:38

★ (No Subject) / アイス

すみません。この問題を解いている途中なんですが、どこか間違っているところはありますか？あと、答えも教えて頂けると助かります。 No.39231 - 2016/09/28(Wed) 18:23:07 ☆ Re: / angel dx/dt が間違えています。 x=(t^2+1)/2 ですから、dx/dt=t です。 その先は、 　∫x√(2x-1)dx = ∫(t^2+1)/2・t・dx/dt・dt = ∫(t^2+1)/2・t・t・dt = ∫(t^4/2+t^2/2)dt = t^5/10+t^3/6+C = 1/30・t^3(3t^2+5)+C = 1/30・√( (2x-1)^3 )・( 3(2x-1)+5 )+C = 1/30・(2x-1)√(2x-1)・(6x+2)+C = 1/15・(2x-1)(3x+1)√(2x-1)+C ※ 1/15・(3x+1)(2x-1)^(3/2)+C でも良いです No.39236 - 2016/09/28(Wed) 20:47:30 ☆ Re: / アイス 根本的にdx/dt=tとなる解き方が分かりません。 (t^2＋1)/2を微分するのではないのですか？ No.39241 - 2016/09/28(Wed) 21:55:31 ☆ Re: / angel > (t^2＋1)/2を微分するのではないのですか？ はい。それで合っています。 f(t)=(t^2+1)/2 であれば f'(t)=t ですよね。 　f'(t)=(2t+0)/2=t ということで、x=(t^2+1)/2 に対して dx/dt=t です。 No.39245 - 2016/09/28(Wed) 22:19:16

★ (No Subject) / アイス

画像の問題のf(1)=0というものはx-1を因数に持っているからですか？また、最後のa=4-2=2というのはyの式にx=2を入れたらaになったので、y=aで合っていますか？ No.39229 - 2016/09/28(Wed) 18:13:00 ☆ Re: / アイス 画像を貼り忘れました。お願いします。 No.39230 - 2016/09/28(Wed) 18:13:52 ☆ Re: / angel > f(1)=0というものはx-1を因数に持っているからですか？ はい。それで合っています。 > 最後のa=4-2=2というのはyの式にx=2を入れたらaになったので、y=aで合っていますか？ えーと、もうちょっと正確に言うと、 * そこまでの計算で f(2)=a と分かっている。 　つまり、曲線 y=f(x) は、点(2,a)を通る。 * 問題の接線は y=f(x) と x=2 で交わる。 　つまり、この接線も点(2,a)を通る。 * 一方、接線の方程式は y=2x-2 と分かった。 　この接線の x=2 の時の yの値は 2 である。 そのため、a=2 である。 という感じで。 No.39235 - 2016/09/28(Wed) 20:29:17

★ (No Subject) / 名森

下記の問題の解説をお願い致します…。 （１） 連立不等式 x＾2＋y＾2−4（x＋y）＋7≦0 x＋y≧3 の表す領域をDとする。 点（x,y）がDを動くとき, （y＋1）/（x-5）の最大値,最小値を求めよ （２） 放物線y=x＾2と直線y=m（x+2）が異なる２点A,Bで交わっている.定数mの値の範囲を求めよ. またmの値が変化するとき,線分ABの中点の軌跡を求めよ. No.39225 - 2016/09/28(Wed) 16:53:42 ☆ Re: / X x^2+y^2-4(x+y)+7≦0 (A) x+y≧3 (B) とします。 (A)より (x-2)^2+(y-2)^2≦1 (B)より y≧-x+3 これらに基づいてまずDを図示します。 次に (y+1)/(x-5)=k (C) と置くと y=k(x-5)-1 かつx≠5 よって(C)は 点(5,-1)を通り、傾きがkである直線 の内、点(5,-1)を除いたもの となります。 kの値を変えると(C)は点(5,-1)を中心 としてクルクル回転するようなイメージ となることに注意して、Dを図示したもの の上に(C)を描き込み、Dと(C)が共有点を 持ち、かつこの直線の傾きが最大、最小 となるような位置を考えましょう。 (2) y=x^2 (A) y=m(x+2) (B) とします。 前半) (A)(B)の交点のx座標について x^2=m(x+2) ∴x^2-mx-2m=0 (C) よって(C)をxの二次方程式と 見たときの解の判別式をDと すると D=m^2+8m＞0 これを解いて m＜-8,0＜m 後半) 点A,Bのx座標をα、βとすると α、βは(C)の解ですので 解と係数の関係により α+β=m (E) αβ=-2m (F) 一方、線分ABの中点の座標を (X,Y) とすると Y=m(X+2) (G) X=(α+β)/2 (H) (E)(H)より m=2X (H)' これを(G)に代入して Y=2X^2+4X 一方、(H)'と前半の結果から 2X＜-8,0＜2X ∴X＜-4,0＜X よって求める軌跡は 放物線 y=2x^2+4x(x＜-4,0＜x) No.39226 - 2016/09/28(Wed) 17:15:28 ☆ Re: / X (1)の参考図をアップしておきます。 但し、領域DはDの文字だけで、ハッチングは されていないので注意して下さい。 図において、 赤い円と直線はDの境界線 赤い点はこれら境界線の交点 となっています。 No.39227 - 2016/09/28(Wed) 17:40:36 ☆ Re: / 名森 こんなに丁寧にありがとうございます!!とても分かりやすいです!! No.39232 - 2016/09/28(Wed) 18:52:03

★ 数列 / ゆい

解答の「すなわち〜」から次の行への式変形が分からないので教えて下さい。 よろしくお願いします。 No.39218 - 2016/09/28(Wed) 00:38:58 ☆ Re: 数列 / ゆい 問題です No.39219 - 2016/09/28(Wed) 00:39:31 ☆ Re: 数列 / noname 等式S_[n]/2^n＝S_[n-1]/2^{n-1}+nの右辺にあるS_[n-1]/2^{n-1}を左辺に移行しているだけです． No.39221 - 2016/09/28(Wed) 00:54:10 ☆ Re: 数列 / noname 質問内容を見返してみたら，疑問点は >解答の「すなわち〜」から次の行への式変形が分からない ということでしたね．見当違いな解答をしてしまい申し訳ありません．さて， S_[n]/2^n-S_[n-1]/2^{n-1}＝n（n＞0） により，次の式が成立します． S_[n]/2^n-S_[0]/2^0 ＝(S_[n]/2^n-S_[n-1]/2^{n-1})+…+(S_[2]/2^2-S_[1]/2^1)+(S_[1]/2^1-S_[0]/2^0) ＝Σ_[k＝1,n](S_[k]/2^k-S_[k-1]/2^{k-1}) ＝Σ_[k＝1,n]k. ∴S_[n]/2^n＝S_[0]/2^0+Σ_[k＝1,n]k＝n(n+1)/2. ∴S_[n]＝2^{n-1}・n(n+1). ただし，ここまでの式変形はn＞0の下で行っています．そのため，解答例の最後の辺りでn＝0の場合のチェックを行っています． No.39222 - 2016/09/28(Wed) 01:21:44 ☆ Re: 数列 / ゆい > S_[n]/2^n-S_[n-1]/2^{n-1}＝n（n＞0） > > により，次の式が成立します． > > S_[n]/2^n-S_[0]/2^0 すみません、まだ分からないです… S_[0]/2^0　の0はどこから出てきているのでしょうか？ 面倒だと思いますがよろしくお願いします… No.39248 - 2016/09/28(Wed) 22:28:48 ☆ Re: 数列 / noname >S_[0]/2^0　の0はどこから出てきているのでしょうか？ その様に考えるのではなく，次の等式 >S_[n]/2^n-S_[0]/2^0 ＝(S_[n]/2^n-S_[n-1]/2^{n-1})+…+(S_[2]/2^2-S_[1]/2^1)+(S_[1]/2^1-S_[0]/2^0) ＝Σ_[k＝1,n](S_[k]/2^k-S_[k-1]/2^{k-1}) ＝Σ_[k＝1,n]k. とは「等式S_[n]/2^n-S_[n-1]/2^{n-1}＝n(n＞0)を用いるとS_[n]/2^n-S_[0]/2^0を式変形することが出来る」ということを示しているのだと考えるべきです．S_[0]/2^0がどこから出てきたのかではなく，S_[n]/2^n-S_[0]/2^0をどうすればうまく式変形が出来るのかを考えているのです． No.39255 - 2016/09/28(Wed) 23:08:00 ☆ Re: 数列 / ゆい ごめんなさい、どうしても分かりません… これ以上説明が難しそうでしたら、もう少し勉強してから再度挑戦してみるので大丈夫です 丁寧に教えていただいているのに本当にすみません… No.39259 - 2016/09/28(Wed) 23:45:26 ☆ Re: 数列 / noname >S_[0]/2^0　の0はどこから出てきているのでしょうか？ 数列{S_[n]}は，n＝0の時はS_[0]＝0，n≧1の時は S_[n]＝a_[1]+a_[2]+…+a_[n] により定義される数列です．よって，数列{S_[n]/2^n}もn≧0で定義されている数列であり，S_[0]/2^0とはこの数列の初項，つまり，n＝0の時のS_[n]/2^nのことです．そして，等式S_[n]/2^n-S_[n-1]/2^{n-1}＝n(n＞0)を用いると， >S_[n]/2^n-S_[0]/2^0 ＝(S_[n]/2^n-S_[n-1]/2^{n-1})+…+(S_[2]/2^2-S_[1]/2^1)+(S_[1]/2^1-S_[0]/2^0) ＝Σ_[k＝1,n](S_[k]/2^k-S_[k-1]/2^{k-1}) ＝Σ_[k＝1,n]k. の様にうまく式変形を行うことが出来て，この式変形より得られた等式 S_[n]/2^n-S_[0]/2^0＝Σ_[k＝1,n]k よりS_[n]/2^nの一般項の式が分かるというわけです．ここまでの説明で分からない箇所があれば明確に仰ってください． No.39268 - 2016/09/29(Thu) 01:19:23 ☆ Re: 数列 / ゆい 時間かけてなんとか理解できました 数学難しいですね…つらいです 詳しく説明いただいてありがとうございました No.39286 - 2016/09/29(Thu) 17:25:53

全22556件 [ ページ : << 1 ... 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 ... 1128 >> ]

---

---