初めまして。野獣後輩と申します。
以下の問題について質問があります
問題: 七人の男性と一人ずつ順番にお見合いをする。
女性はお見合いの場で男性と交際するか断るかを決める。
一旦交際を決めたら, それ以後のお見合いはなくなる。
又一度断った男性に後から交際を申し込むことは出来ない。
一番良い男性と交際する確率を最大にする為にはどのような戦略をとれば良いか。
参考URL
http://star.ap.teacup.com/hoshimaru/3347.html
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参考URL中の解答で、
「最初の (j - 1) 人の内の仮の no. 1 が最初から (s - 1) 目までに表れる必要がある。 その確率は (s - 1)/(j - 1).」
というところまでは理解できました。
しかし、それ以降のP(s,n)の導出がわかりません。1/nはどこからやってきたのでしょうか。
どなたか解説してただけないでしょうか。よろしくお願いします。
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No.40314 - 2016/11/13(Sun) 02:24:30
| ☆ Re: 婚活36.8％の法則について / angel | | | > 1/nはどこからやってきたのでしょうか。
これは、j番目にNo.1が来る確率です。
(s-1)/(j-1)は、「j番目にNo.1が来る」という前提での条件付き確率ですから、「j番目にNo.1が来た上で、No.1を射止める」確率だと、さらに1/nをかけるのです。
そして、j＜s の場合は様子見してる間にNo.1が行き過ぎてしまうので除きますが、No.1 が s番目以降に来る場合それぞれで確率を足していく、というΣの計算を行います。
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No.40315 - 2016/11/13(Sun) 03:00:30 |
| ☆ Re: 婚活36.8％の法則について / 野獣後輩 | | | 事象 Aが起きたと分かったもとでの事象 Bが起こる確率を条件付き確率と言い，P(B∣A)と書くことにします。
このとき、以下の認識でよろしいでしょうか？
A：j番目にNo.1が来る
B：No.1を射止める
この場合、P(A)=1/nということでしょうか？また、P(A∧B)はどうなるのでしょうか？？
条件付き確率が苦手で、少し混乱してきました。。
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No.40316 - 2016/11/13(Sun) 04:18:46 |
| ☆ Re: 婚活36.8％の法則について / angel | | | > このとき、以下の認識でよろしいでしょうか？
> A：j番目にNo.1が来る
> B：No.1を射止める
>
> この場合、P(A)=1/nということでしょうか？
はい。そうです。
> また、P(A∧B)はどうなるのでしょうか？？
> > さらに1/nをかけるのです。
の通り、(s-1)/(j-1) に 1/n をかけて 1/n・(s-1)/(j-1) です。
> 条件付き確率が苦手で、少し混乱してきました。。
おっと、すいません。
ただ、「条件付き確率」と言っても、何か特別なことを考えているわけではなくて。
例えばこの問題とは全く別ですが、「2度サイコロを振って合計が10以上になる確率」を求めるとすると、
1度目 4 (確率1/6) … 2度目 6 (確率1/6)
1度目 5 (確率1/6) … 2度目 5,6 (確率2/6)
1度目 6 (確率1/6) … 2度目 4,5,6 (確率3/6)
答えは 1/6×1/6 + 1/6×2/6 + 1/6×3/6 = 6/36 = 1/6
というような計算ができますが、1度目の確率は一旦置いておいて2度目の確率を単独で求めて ( これが条件付き確率 )、その上で掛け算していきますよね。これと同じことです。
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No.40317 - 2016/11/13(Sun) 08:32:13 |
| ☆ Re: 婚活36.8％の法則について / 野獣後輩 | | | angel様
ご回答ありがとうございます。
では、定義に戻れば、
P(s,n)=P(A∧B)/P(A)=(s - 1)/(j - 1)
となってしまし、やはり1/nは消えてしまわないでしょうか？
私はどのようなミスを犯しているのでしょうか？
何度も申し訳ございません。よろしくお願いします。
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No.40323 - 2016/11/13(Sun) 12:21:30 |
| ☆ Re: 婚活36.8％の法則について / angel | | | > では、定義に戻れば、
> P(s,n)=P(A∧B)/P(A)=(s - 1)/(j - 1)
> となってしまい
あ、なるほど。ちょっとそこは取り違えがあるようです。
> A：j番目にNo.1が来る
> B：No.1を射止める
と言ってるBの「No.1を射止める」と、
P(s,n)=〜で確率を表す「No.1を射止める」は同じものではありません。
Bを細かく言うと「j番目にNo.1が来た上で、No.1を射止める」です。Aを前提にした場合は「j番目にNo.1が来た上で」は明らかなので、大体省略します。
「j番目にNo.1が来る」というのは、全体の一部でしかないので、そこから直接P(s,n)を求めることはできません。
1番目にNo.1が来た上でNo.1を射止める
2番目にNo.1が来た上でNo.1を射止める
3番目にNo.1が来た上でNo.1を射止める
…
n番目にNo.1が来た上でNo.1を射止める
を1つ1つ求めて、それを合計するのです。( それが解答中のΣの式 )
なので、今回「条件付き確率」と言っているのは、
(j番目にNo.1が来た上でNo.1を射止める確率)
=(j番目にNo.1が来る確率)×(j番目にNo.1が来た前提でNo.1を射止める条件付き確率)
= 1/n × (s-1)/(j-1)
のことです。
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No.40334 - 2016/11/13(Sun) 19:00:07 |
| ☆ Re: 婚活36.8％の法則について / 野獣後輩 | | | angel様
漸く、P(s,n)の導出が理解出来ました。
最後の積分への変換も教えていただけませんか？
恐らく区分求積を利用していると思いますが、シグマがj=sスタートとなっており、どのように公式に当てはめればよいのか、わからなくなりました。
よろしくお願いします。
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No.40337 - 2016/11/14(Mon) 00:23:12 |
| ☆ Re: 婚活36.8％の法則について / angel | | | まず、前提として。s の取り方は色々ありますが、「s と n の比率を一定にしたうえで n→∞ としたら」というのがこの話になっています。
さて、区分求積について。
f(t)=1/t とする時、添付の図の通り
∫[a/n,(b+1)/n]f(t)dt＜1/n( f(a/n)+f((a+1)/n)+…+f(b/n) )
1/n( f(a/n)+f((a+1)/n)+…+f(b/n) )＜∫[(a-1)/n,b/n]f(t)dt
つまり、
∫[(a-1)/n,b/n]f(t)dt＜1/nΣ[k=a,b]f(k/n)＜∫[a/n,(b+1)/n]f(t)dt
です。
そのため、n→∞においてa/n→α,b/n→βであれば 1/nΣ[k=a,b]f(k/n)→∫[α,β]f(t)dt となります。
話を戻して、今回の P(s,n)=1/nΣ[j=s,n](s-1)/(j-1) について、k=j-1 として
P(s,n)
=1/nΣ[k=s-1,n-1](s-1)/k
=(s-1)/n・1/nΣ[k=s-1,n-1]n/k
=(s-1)/n・1/nΣ[k=s-1,n-1]f(k/n)
ここで、n→∞の時 s/n→x という前提があれば、
(s-1)/n→x, 1/nΣ[k=s-1,n-1]f(k/n)→∫[x,1]f(t)dt となるため、元の解説にあるような式になります。
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No.40351 - 2016/11/14(Mon) 21:40:18 |
| ☆ Re: 婚活36.8％の法則について / 野獣後輩 | | | angel様
＞つまり
＞∫[(a-1)/n,b/n]f(t)dt＜1/nΣ[k=a,b]f(k/n)＜∫[a/n,(b+1)/n]f(t)dt
＞です
の不等号は逆ですよね？
漸く理解できました。確率と区分求積が盛り込まれており、入試問題になってもおかしくなさそうですね。
長々とありがとうございました。感謝致します。
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No.40386 - 2016/11/17(Thu) 00:49:01 |
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