ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高校生 / そら

1～9までの番号札9枚から4枚取り出して、4桁の整数をつくる。このとき、次の確率を求めよ。
(1)奇数である
(2)5の倍数
この2つの求め方を教えて下さい。

No.40067 - 2016/11/01(Tue) 22:40:42

☆ Re: 高校生 / ヨッシー

数字の並べ方は全部で
　9Ｐ4 通りあります。
(1)奇数は、１の位が 1,3,5,7,9 の５通り。
他の３つの数字の並べ方が　8Ｐ3 通り。
合わせて　5×8Ｐ3 通り。
(2) １の位が５の１通り。
他の３つの数字の並べ方が　8Ｐ3 通り。
合わせて　1×8Ｐ3 通り。

No.40069 - 2016/11/01(Tue) 23:01:45

★ 入試問題 / あ

329のカッコ1がわかりません。
教えて頂けませんか？

No.40062 - 2016/11/01(Tue) 21:53:36

☆ Re: 入試問題 / angel

3次関数が極値を持つというと、極小・極大を1つずつ、というパターンしかありません。

そうすると、微分した y' に対して y'=0 という2次方程式が2つの相異なる実数解を持つ、というのが該当します。
※これが必要十分。なお、重解も不適

2つの相異なる実数解、はそのまま(判別式)＞0です。
なので、
　* y'を求める
　* 2次方程式 y'=0 の判別式を計算する
　* (判別式)＞0 を解く
です。
なお、「最高次の係数が0」というパターンに注意が必要なのですが、この問題では a≠0 という前提がありますから、今回は気にしなくて大丈夫です。

No.40063 - 2016/11/01(Tue) 22:07:45

☆ Re: 入試問題 / あ

答えは－3<a<0,0<a<4となっているんですが、どうやって導けるか詳しく教えて頂けたら嬉しいです。

No.40064 - 2016/11/01(Tue) 22:13:55

☆ Re: 入試問題 / angel

>　* y'を求める
>　* 2次方程式 y'=0 の判別式を計算する
>　* (判別式)＞0 を解く
手順自体はコレなんですが、どこが分からないでしょうか?
( 微分ができる/できない、判別式の計算ができる/できないといった感じで )

No.40066 - 2016/11/01(Tue) 22:27:07

☆ Re: 入試問題 / あ

すみません、理解できました。
分かりやすく教えて頂きありがとうございました。

No.40068 - 2016/11/01(Tue) 22:44:00

★ (No Subject) / しみず

演習題の㈢の問題なのですが、cosθはθが大きくなるほど、つまり対辺の大きさが大きいほど小さくなると理解していたのですが、㈢では㈡の最短の辺のcosθを利用してます。これはなぜですか？

No.40055 - 2016/11/01(Tue) 16:28:39

☆ Re: / ヨッシー

三角形の３つの角のいずれかをθとおくとき、cosθの最小値を求めよ、
という問題なら、最大の辺に着目しますが、最短の辺と向かい合う角をθと決めたのですから、その範囲で考えます。
もちろん、他の角の cos と比べたら、それなりに大きい値を取りますが、その中でも最小となるのはｘがいくつのときか？という問題です。

単純に、(2) のｘを (1) の範囲で動かせばいいかと思います。

No.40058 - 2016/11/01(Tue) 17:46:01

☆ Re: / noname

>cosθはθが大きくなるほど、つまり対辺の大きさが大きいほど小さくなると理解していた

仰る通りです．ただ，この記述から

>㈢では㈡の最短の辺のcosθを利用してます。これはなぜですか？

という疑問を抱くのは私には理解しかねます，なぜなら，問題で与えられている角度θは「最短の辺と向かい合った角の大きさ」として設定されているのであり，このことと上記の第一の記述とは関係がありません．端的に言えば，

・第一の記述では，「三角形の1つの内角に対する余弦の値の変化の仕方」について述べられている．
・第二の記述では，「問題で与えられている三角形の最短の辺と向かい合う角の余弦について考えている」ということが述べられている．

であり，前者は「数量の変化の仕方」，後者は「何について考えているのか」が書かれているだけであり，両者の間には論理的なつながりはありません．

※第一の記述を踏まえて「三角形の最短の辺と向かい合う角の余弦の最小値について考える」のであれば，論理的に意味を成す文となっています．

No.40059 - 2016/11/01(Tue) 17:49:23

☆ Re: / しみず

たしかに、θを何とするか問題文に書いてますね。これは、私のミスですね。すいせん。
そして、二人の方回答ありがとうございます。

No.40060 - 2016/11/01(Tue) 18:15:15

★ (No Subject) / カフカ

高校のある先生の解き方なんですが、最後の2/3(5-2)^3の5-2がどこからきたのか分かりません。5はおそらくa=5なんでしょうが、a=-1ではできないのですか？あと2もどこの2か教えて下さると助かります。お願いします。

No.40052 - 2016/11/01(Tue) 15:38:23

☆ Re: / ヨッシー

何か公式があるのかも知れませんが。

こちらの公式を駆使するなら、
３．の公式はそのまま使えて、
　{5－(-1)}^3／12＝18

あとは、２は(2,－9) のｘ座標の２で、なおかつ、
５と－１の中点であることから、
４．の公式をｘ＝－１から２と、ｘ＝２から５で使うと、
両方同じ面積になるので、２から５の面積を２倍して、
　2×(5－2)^2/3＝18
という解釈は出来ます。

No.40053 - 2016/11/01(Tue) 16:12:02

☆ Re: / カフカ

成る程。そういうことでしたか。
ありがとうございました。

No.40056 - 2016/11/01(Tue) 16:34:49

★ 2つの項が含まれているルートがある方程式の解き方 / 塾なし受験生中三

√(36+x^2)=9-xの解き方を教えてください

No.40046 - 2016/10/31(Mon) 23:07:57

☆ Re: 2つの項が含まれているルートがある方程式の解き方 / X

両辺を二乗して
36+x^2=(9-x)^2
右辺を展開して整理をしましょう。

No.40048 - 2016/10/31(Mon) 23:29:58

☆ Re: 2つの項が含まれているルートがある方程式の解き方 / 塾なし受験生　中三

ありがとうございます。

No.40057 - 2016/11/01(Tue) 17:43:42

★ 空間図形 / 塾なし受験生　中三

△QBR=(1/2)△ABCとなるのはわかるのですか、そのことからQB*BR=(1/2)*AB*BCとなる理由がわかりません。そうなる理由を教えてください。

No.40045 - 2016/10/31(Mon) 22:17:11

☆ Re: 空間図形 / angel

中三であれば三角比は習っていますね。

幾つか説明の仕方はあるのですが、三角比を使うやりかたで。

△ABCの角Bに着目すると、
　△ABC=1/2・AB・BC・sinB
　△QBR=1/2・QB・BR・sinB
ですね。

なので、△QBR=1/2・△ABCにあてはめると、sinが消えて
　QB・BR=1/2・AB・BC
が残る、という寸法です。

このように角が共通であれば、三角形の面積の比は、辺の長さの積の比で計算することができます。結構出てくるので、覚えておいて損はないです。

No.40047 - 2016/10/31(Mon) 23:14:34

☆ Re: 空間図形 / noname

>中三であれば三角比は習っていますね。

三角比の内容は高校で学習するのではないですか？
(勘違いであれば申し訳ありません)

No.40049 - 2016/11/01(Tue) 00:02:56

☆ Re: 空間図形 / ヨッシー

図において、面積比を底辺比に置き換えると
　△ＡＲＢ＝(BR/BC)△ＡＢＣ
　△ＱＢＲ＝(BQ/AB)△ＡＲＢ
よって、
　△ＱＢＲ＝(BR・BQ/AB・BC)△ＡＢＣ
となり、
　BR・BQ/AB・BC＝1/2
が成り立ちます。

No.40050 - 2016/11/01(Tue) 00:09:37

☆ Re: 空間図形 / angel

> 三角比の内容は高校で学習するのではないですか？

あ、すいません。勘違いしてました。

No.40061 - 2016/11/01(Tue) 20:09:11

★ 中三　塾なし受験生 / 有理化

(6+6√5)/(√5+3)などの数字を有理化することは不可能なのでしょうか。もしそうできる方法があれば教えてください。

No.40036 - 2016/10/31(Mon) 18:42:10

☆ Re: 中三　塾なし受験生 / noname

分母の有理化に関する質問であれば，(6+6√5)/(√5+3)の分母・分子に√5-3をかけると，

(6+6√5)/(√5+3)
＝(6+6√5)(√5-3)/((√5+3)(√5-3))
＝12(1-√5)/(-4)
＝3(√5-1)

の様に分母を有理化することが出来ます．

No.40038 - 2016/10/31(Mon) 18:53:24

☆ Re: 中三　塾なし受験生 / 有理化

すごい！！できるんですね！ありがとうございました！

No.40039 - 2016/10/31(Mon) 19:04:27

☆ Re: 中三　塾なし受験生 / 有理化

ということは、分母の２つめの数字の符号を反対にした物をかければ良いということですか？

No.40040 - 2016/10/31(Mon) 19:07:04

☆ Re: 中三　塾なし受験生 / noname

そういうことです．式の展開と因数分解の単元で登場した次の公式

(x+y)(x-y)＝x^2-y^2

を用いると，この場合の分母の有理化の問題が上手く解けるということです．

No.40041 - 2016/10/31(Mon) 19:13:17

★ (No Subject) / アリス

(3)を教えてください。

No.40035 - 2016/10/31(Mon) 18:30:16

☆ Re: / noname

不等式?@の解はx≦4/3-2aであり，不等式?Aの解はa＜0よりx≧2となります．よって，?@と?Aの解の共通部分が存在するには2≦4/3-2a，すなわち，a≦-1/3が成立することが必要です．この時に「p⇒q」が成り立つためには3≦x≦6の範囲が2≦x≦4/3-2aの範囲に含まれなければなりません．ゆえに，6≦4/3-2aが必要です．この不等式の解とa≦-1/3の共通範囲をとれば，それが(3)の答えとなります．

※a＞-1/3の時は，?@と?Aの共通範囲は存在しないため，3≦x≦6を満たすどんな実数xに対してもqが成立しないことが分かります．

No.40037 - 2016/10/31(Mon) 18:49:55

★ とある問題について / 数学主

これはどのようにやるのでしょうか。教えて下さいお願いします。

No.40032 - 2016/10/31(Mon) 17:20:40

☆ Re: とある問題について / ペンギン

kが1以上のときにp(x)=x^k
に対して、結果が0になることを示します。

f_nが[1/(3n),1/n]以外で0なので、積分区間は[1/(3n),1/n]のみで考えることが可能です。
積分区間では、p(x)<1/n^kが成り立つ
ので、
問題の式の絶対値を評価すると、
問題の式の絶対値<1/n^k→0です。

よって、p(0)のみが残ります。

No.40033 - 2016/10/31(Mon) 17:52:24

☆ Re: とある問題について / X

ガリガリ計算すると以下のようになります。

n→∞を考えるので
0＜1/n＜1
としても問題ありません。
このとき自然数kに対し
∫[0→1](x^k)f[n](x)dx=∫[1/(3n)→1/n](x^k)a[n](x-1/n)(x-1/(3n))dx
=a[n]∫[1/(3n)→1/n]{x^(k+2)-(4/(3n))x^(k+1)+(1/(3n^2))x^k}dx
=a[n][(1/(k+3))x^(k+3)-(4/(3n(k+2)))x^(k+2)+(1/(3(n^2)(k+1)))x^(k+1)][1/(3n)→1/n]
=a[n]{(1/(k+3)){1/n^(k+3)-1/(3n)^(k+3)}-(4/(3(k+2))){1/n^(k+3)-3/(3n)(k+3)}+(1/(3(k+1))){1/(n^(k+3)-9/(3n)^(k+3)}}
=a[n]{{1/(k+3)-4/(3(k+2))+1/(3(k+1))}{1/n^(k+3)}-{1/(k+3)-4/(k+2)+3/(k+1)}{1/(3n)^(k+3)}}
={a[n]/n^(k+3)}{{1/(k+3)-4/(3(k+2))+1/(3(k+1))}-{1/(k+3)-4/(k+2)+3/(k+1)}
∴A[k]={1/(k+3)-4/(3(k+2))+1/(3(k+1))}-{1/(k+3)-4/(k+2)+3/(k+1)
と置くと
∫[0→1](x^k)f[n](x)dx=A[k]{a[n]/n^(k+3)} (A)
一方、f[n](x)の定義により
a[n]∫[1/(3n)→1/n](x-1/n)(x-1/(3n))dx=1
で
∫[1/(3n)→1/n](x-1/n)(x-1/(3n))dx=[{(1/2)(x-1/n)^2}(x-1/(3n))][1/(3n)→1/n]-∫[1/(3n)→1/n]{(1/2)(x-1/n)^2}dx
=(1/6)(1/(3n)-1/n)^3
=-(1/6)(2/(3n))^3
=-4/(81n^3)
∴a[n]=-(81/4)n^3 (B)
(A)(B)より
∫[0→1](x^k)f[n](x)dx=-(81/4)A[k]/n^k (C)
更に条件より
p(x)=p(0)+Σ[k=1～l]b[k]x^k
(但し、lは自然数、{b[k]}は実数の定数の列)
と置くことができますので
lim[n→∞]∫[0→1]p(x)f[n](x)dx=lim[n→∞]{p(0)∫[0→1]f[n](x)dx+Σ[k=1～l]b[k]∫[0→1](x^k)f[n](x)dx}
これに(C)とf[n](x)での定義である
∫[0→1]f[n](x)dx=1
を代入して
lim[n→∞]∫[0→1]p(x)f[n](x)dx=lim[n→∞]{p(0)-(81/4)Σ[k=1～l]b[k]A[k]/n^k}
=p(0)

No.40034 - 2016/10/31(Mon) 18:00:32

★ 図形と方程式複素数平面 / ダイキ

2番お願いします

No.40027 - 2016/10/31(Mon) 08:50:34

☆ Re: 図形と方程式複素数平面 / noname

Pの座標を(cosθ,sinθ)(0≦θ＜2π)とし，点Aを点Pを中心に反時計回りにπ/2だけ回転移動させて一致する点をBとします．すると，↑PA＝(a-cosθ,-sinθ)であり，この成分に対応する複素数は(a-cosθ)+i・(-sinθ)であるから，複素平面上においてこの複素数を反時計回りにπ/2だけ回転させて得られる複素数は

(cosπ/2+i・sinπ/2){(a-cosθ)+i・(-sinθ)}＝sinθ+i・(a-cosθ).

よって，xy平面の世界に戻ると，↑PAを反時計回りにπ/2だけ回転移動させた時に得られるベクトル↑PBの成分は

↑PB＝(sinθ,a-cosθ).
∴↑OB＝↑OP+↑PB＝(cosθ+sinθ,a-cosθ+sinθ).

ところで，Bが円C上にあるならば，|↑OB|＝1であるから

|↑OB|^2
＝(cosθ+sinθ)^2+(a-cosθ+sinθ)^2
＝1+2sinθcosθ+a^2+1-2acosθ-2sinθcosθ+2asinθ
＝a^2+2√2asin(θ-π/4)+2
＝1.
∴a^2+2√2asin(θ-π/4)+1＝0.…(*)

ここまでの議論の結果を用いると，次の言い換えを行うことが出来ます：

「問題の条件を満たす様なC上の点Pがただ1つ存在する」
⇔「|↑OB|＝1を満たす様な点PがC上に1つだけしかない」
⇔「θについての方程式(*)の実数解が0≦θ＜2πの範囲にただ1つしかない」

ここから先は，質問者様ご自身で一度お考えください．

※初等幾何的に考える事もできそうですが，制限時間などを考慮すると座標設定をして機械的に処理していった方がある意味解く上でラクかもしれません．

No.40029 - 2016/10/31(Mon) 10:49:17

☆ Re: 図形と方程式複素数平面 / angel

図形的な観点で解く方法です。

まず、円Cの方程式は |z|=1 です。
さて、点Pの示す複素数を w とするとき、

(1)Pが円C上にある
(2)点Pを中心として～
　この回転させた点は、w+(a-w)i であり、これも円C上にありますから、
　|w+(a-w)i|=1 この条件を整理してみます。

　|w+(a-w)i|=1
　⇔ |(1-i)w+ai|=1
　⇔ |(1-i)w+ai||1+i|=|1+i|=√2
　⇔ |((1-i)w+ai)(1+i)|=√2
　⇔ |2w-(1-i)a|=√2
　⇔ |w-(1-i)a/2|=√2/2

　つまり、点Pが、(1-i)a/2 を中心とする、半径√2/2の円上にある、ということです。

(1),(2)両方を満たす点Pがただ1つ…ということは、(1),(2)に現れる両円が丁度接するということに他なりません。
※点Pが丁度その接点であり、2円の唯一の共有点

内接・外接の2パターンがあることに注意し、接する条件は |(1-i)a/2|=1±√2/2 です。

No.40044 - 2016/10/31(Mon) 21:54:13

★ (No Subject) / ダイキ

4,5,6をお願いします

4は4/3以上、5はln2-1/3になりましたがあっていますか？

No.40023 - 2016/10/31(Mon) 01:15:06

☆ Re: / X

4 5
こちらの計算結果と同じです。
但し、5についてですが自然対数の記号として
lnを使うのは避けた方がいいと思います。

No.40026 - 2016/10/31(Mon) 07:49:42

☆ Re: / noname

6については，n回の操作後において

p_[n]＝(1の目と2の目が出た回数がともに奇数である確率),
q_[n]＝(1の目と2の目が出た回数について，一方が奇数で他方が偶数である確率),
r_[n]＝(1の目と2の目が出た回数がともに偶数である確率)

としてp_[n],q_[n],r_[n]を定めると，確率の列{p_[n]},{q_[n]},{r_[n]}の漸化式をつくることが出来ます．後はこの漸化式を使って地道に計算すればp_[n]の式が得られるかと思います．一度ご自身で試行錯誤して考えてみてください．

No.40030 - 2016/10/31(Mon) 12:56:59

★ 高2 / 数学者

この（3）がわかりません

No.40019 - 2016/10/30(Sun) 22:58:30

☆ Re: 高2 / ヨッシー

(3)
a[n] は最初は正で、あるところから負になります。
a[n] が正のときは和は増える一方です。
a[n] が負になる直前が和は最大で、それ以降は減っていきます。
a[42]＝1, a[43]＝-1 なので、
　Ｎ＝42
です。
c[n] はｎが奇数のとき c[n]＝4, 偶数のとき c[n]＝6 です。
よって求める値をＳとすると
　Ｓ＝4(a[1]＋a[3]＋・・・a[41])＋6(a[2]＋a[4]＋・・・a[42])
　　＝4・21(a[1]＋a[41])/2＋6・21(a[2]＋a[42])/2
　　＝2・21(83＋3)＋3・21(81＋1)
　　＝8778
となります。

No.40021 - 2016/10/30(Sun) 23:48:33

★ (No Subject) / teru

a≠0のとき、xの方程式ax+a^2-6=0の解が1<x<5の範囲にあるための実数aの条件を求めよ。
という問題で答えは-6<a<-3,1<a<2となっています。

x=-a^2+6/aの形に変形してやってみたのですが上手くいきませんでした。

No.40014 - 2016/10/30(Sun) 21:35:29

☆ Re: / ヨッシー

その方針で良いと思います。
　1＜(6-a^2)/a＜5
において、

1) ａ＜０のとき
　a＞6－a^2＞5a
より
　a^2＋a－6＞0　かつ　a^2＋5a－6＜0
　（a＜-3 または a＞2)　かつ　-6＜a＜1
よって　-6＜a＜-3

2) ａ＞０のとき
　a＜6－a^2＜5a
より
　-3＜a＜2 かつ (a＜-6 または a＞1)
よって　1＜a＜2

という具合です。

No.40015 - 2016/10/30(Sun) 21:48:46

★ 空間図形 / ゆう

一辺の長さが１の立方体ＡＢＣＤーＥＦＧＨがある。ただし、四角形ABCDと四角形EFGHは向かいあった一組の面であり、ＡＥ、ＢＦ，ＣＧ、ＤＨはこの立方体の辺である。この立方体から３つの四面体ＢＥＦＧ、ＢＣＤＧ、ＤＥＨＧを切り取ってできる立体をKとする。辺AE上の点を通り、辺AEに垂直な平面でKを切断したときの断面積の最大値を求めよ

No.40011 - 2016/10/30(Sun) 19:18:59

☆ Re: 空間図形 / ヨッシー

ＡＢＣＤの面を下にして、ＡＥ方向をｚ軸に取ります。
ｚ座標ｔ（0≦t≦1) の位置での断面は、図の左のように、
１×１の正方形から、直角をはさむ２辺がｔの直角二等辺三角形を、Ｂ側とＤ側から、同じく１－ｔの直角二等辺三角形をＧ側から取ったものなので、
　１－ｔ^2－(１－ｔ)^2／2
　＝-3t^2/2＋t＋1/2
　＝-(3/2)(t-1/3)^2＋2/3
となり、t=1/3 のとき、最大値 2/3 を取ります。
　

No.40013 - 2016/10/30(Sun) 20:54:33

★ 三角比について。 / コルム

写真の(2)の答えは1でしょうか？教えていただけないでしょうか。

No.39999 - 2016/10/30(Sun) 17:05:06

☆ Re: 三角比について。 / ヨッシー

写真の中に (2) はありません。

No.40000 - 2016/10/30(Sun) 17:08:46

☆ Re: 三角比について。 / コルム

(9)でした。すみません。

No.40003 - 2016/10/30(Sun) 17:20:28

☆ Re: 三角比について。 / ヨッシー

分数のある行（２行目）から、分数の消えた行（３行目）への変形をもう一度見直しましょう。

No.40006 - 2016/10/30(Sun) 18:47:47

☆ Re: 三角比について。 / コルム

見直しました。答えが違うのでしょうか？

No.40007 - 2016/10/30(Sun) 19:04:50

☆ Re: 三角比について。 / ヨッシー

答えは１ですが、上の写真を見る限り、そこにたどり着いたとは思えません。

答えが合っているかどうかを気にするのは、小学校３年生位までで、それ以降は、それに至る経過を重視します。

No.40009 - 2016/10/30(Sun) 19:11:43

☆ Re: 三角比について。 / コルム

すみません。なぜ私が、１というなぜ、１という答えにたどり着いたのは、sinＡ＝・・・になったからです。
式の値というのは、何らかの数になるのに、sinA＝・・・・
というのが、出てきたので、おかしいと思って、直しました。この問題は、sinAを求める問題では、ないので…。
それで、私の本当に書いた答えは、以下の通りです。
sin(90°ーA)cosAtan^2A+sinAcos(90°ーA)（１/tan^2Ａ）
＝cos^2A・(sin^2A/cos^2A)+sin^2A(cos^2A/sin^2A)
＝sin^2A+cos^2A
=1
と出しました。
あっていますでしょうか？教えていただけると幸いです。

No.40016 - 2016/10/30(Sun) 22:25:30

☆ Re: 三角比について。 / コルム

ありがとうございました。

No.40031 - 2016/10/31(Mon) 13:33:25