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★ 三角比について / すずこ
はじめまして。高校一年生です。
今数学で三角比を習っているのですが、全然わかりません…。

直角三角形を右下に直角がくるように書き、この時直角三角形左側に位置している角度をθとする。このθの角により、辺の長さの比が決まる。

三角比の説明でこう書いてあったのを読んで思ったのですが、θは左側の角度じゃないと駄目なんですか？
No.39469 - 2016/10/09(Sun) 11:35:56
☆ Re: 三角比について / すずこ
すみません、もうひとつ。
教科書で「鋭角と三角比」の説明ではsinA、cosBなどで説明されていますが、「三角比の拡張」の説明でいきなりsinθ、cosθになっててよくわからないです。
誰か三角比や三角関数についてわかりやすく説明していただけませんか？
No.39470 - 2016/10/09(Sun) 11:44:34
☆ Re: 三角比について / IT
> 今数学で三角比を習っているのですが、全然わかりません…。
私も三角比は苦手でしたね。基本の定義はしっかり覚えて、いろいろな問題を解いていくうちに慣れてくると思います。


> 三角比の説明でこう書いてあったのを読んで思ったのですが、θは左側の角度じゃないと駄目なんですか？
駄目じゃないですが、θを右上側の角度にするとsinとcosが入れ替わります。
No.39472 - 2016/10/09(Sun) 12:42:47
☆ Re: 三角比について / IT
> すみません、もうひとつ。
> 教科書で「鋭角と三角比」の説明ではsinA、cosBなどで説明されていますが、「三角比の拡張」の説明でいきなりsinθ、cosθになっててよくわからないです。

> 誰か三角比や三角関数についてわかりやすく説明していただけませんか？

対面で、同じ図を見ながら　疑問点を質問して理解するのが　一番だと思いますが、

「三角比」「三角関数」などで動画を検索すると、いくつかの講義が見つかります。
それぞれ一長一短あります。分りやすいと思われるのがあったら参考にされるといいと思います。
No.39473 - 2016/10/09(Sun) 12:45:31
☆ Re: 三角比について / すずこ
回答ありがとうございます。
なるほど、入れ替わるのですか。θは左側の方が覚えやすいですね。
解説はわかりやすそうなのを探してみます。
親切に答えてくださりとても嬉しいです。
ありがとうございました。
No.39474 - 2016/10/09(Sun) 13:13:25
★ 多変数関数の極限(極座標を用いてもダメな場合) / らぐ
f(x,y)=(x^3+y^3)/(x-y) (x≠yのとき),
f(x,y)=0 (x=yのとき) で定義された多変数関数がある.
このとき原点における極限値を求めよ.
x=rcosθ,y=rsinθとおく.
(?@)θ≠π/4,5π/4のとき
lim[(x,y)→(0,0)] (x^3+y^3)/(x-y)
=lim[r→0] r^3(cos^3θ+sin^3θ)/r(cosθ-sinθ)
=0
(?A)θ=π/4,5π/4のとき
f(x,y)=0

一方,y=x-kx^3とおく.
f(x,y)に代入して整理すると
f(x,y)=(2-3kx+3k^2x^4-k^3x^6)/k
x→0のときy→0より
lim[(x,y)→(0,0)]f(x,y)=2/k
これはkに依存するので極限値は存在しない.

いつもは極限値を求めるときは極座標変換して極座値をもとめていたのですが,この問題は実は極座値は存在しないそうなのです.
いつもは極座標変換でできたのに今回はなぜ,このような解き方をするのでしょうか？
また,極座標を使っても求まらない時はどのような時かがわかりません.

僕の考えでは今までこのような問題ではf(x,y)の定義式は一つだけでした.(f(x,y)=0 (x=yのとき) のような部分はいつもの問題では見ませんでした.)
No.39464 - 2016/10/09(Sun) 01:03:07
☆ Re: 多変数関数の極限(極座標を用いてもダメな場合) / noname
>いつもは極座標変換でできたのに今回はなぜ,このような解き方をするのでしょうか？


原点への近づき方がどんなものであろうと極限値が一意であるならば，極限の計算では厳密には極座標変換を行い，

0≦|f(rcosθ,rsinθ)-α|≦g(r)
(αは極限値の候補，g(r)はlim_[r→0]g(r)＝0を満たす関数)

においてはさみうちの原理を用いる必要があります．一方で，原点への近づき方に対して極限値の候補が変わるならば収束先が存在しないことになります(収束するならば，収束値は一意でなければならないから)．よって，この場合では「収束先の候補が点の近づき方に依存すること」を示す必要があり，その様に議論すればよいです．
No.39465 - 2016/10/09(Sun) 02:34:12
☆ Re: 多変数関数の極限(極座標を用いてもダメな場合) / noname
また，極限を持つ場合をどう判別するかについてですが，これについては直感や試行錯誤の結果の判別に頼るしかないです．今回の場合は分母の式が3次式なので，例えばxとyの差がax^n(nは自然数，aは0でない定数)に等しい場合を考えるとどうなるかを調べてみます．この時，

x^3+y^3
＝x^3+(x-ax^n)^3
＝x^3+x^3(1-ax^{n-1})^3
＝x^3{1+(1-ax^{n-1})^3}

よって，n＜3やn＞3では上手くいかなさそうなので，n＝3とするとどうなるかを調べてみると，

(x^3+y^3)/(x-y)＝(1+(1-ax^{n-1})^3)/a

となり，x→0とすると(x^3+y^3)/(x-y)→2/aとなって収束先が原点への近づき方に依存する形になり，問題をうまく考えることが出来たということになります．まあ，要するに試行錯誤が大事だということです．
No.39466 - 2016/10/09(Sun) 02:48:42
☆ Re: 多変数関数の極限(極座標を用いてもダメな場合) / らぐ
丁寧なご回答をありがとうございます.
納得することができました.
練習問題をたくさんやってできるようになります.
No.39484 - 2016/10/09(Sun) 16:26:50
★ 問題集 難易度 / あ
以下の7つの数学の問題集を難易度順に並び替えてください。
「入試の核心 理系 標準編」「理系数学の良問プラチカ?TA?UB」「チョイス?TA・?UB」「一対一対応の演習?T・A・?U・B」「青チャート?TA・?UB 総合演習」「標準問題精講?TA・?UB」「やさしい理系数学」
よろしくお願いします。
No.39457 - 2016/10/08(Sat) 19:26:12
★ １次関数 / satoshi
?@〜?Cどのようにすれば解けるのかわかりません。数学不得意なので、解説よろしくお願いします。
No.39450 - 2016/10/08(Sat) 16:22:15
☆ Re: １次関数 / satoshi
?@〜?Cどのようにすれば解けるのかわかりません。数学不得意なので、解説よろしくお願いします
No.39451 - 2016/10/08(Sat) 16:23:00
☆ Re: １次関数 / noname
平均的に考えるのであれば，以下を参考にしていただくとよいかと思います．


[考え方]
(1)屋外の人数が48人から96人に48人だけ増加すると，待ち時間は40分から55分へと15分だけ長くなっている．よって，1人分だけ増える時の待ち時間の(平均的な)増加分は

15÷48＝5/16(分)

であると予想することが出来る．
(2)屋外の人数が16人から48人に32人だけ増加すると，待ち時間の増加分は(1)の結果より

32×5/16＝10(分)

である．よって，屋外の人数が16人の時の待ち時間は

40-10＝30(分)
(3)屋内には並ぶことが出来ない状況である時，屋外で待つ人が0人から16人に増える時，待ち時間の増加分は

16×5/16＝5(分)

である．よって，屋内には並ぶことが出来ず，なおかつ屋外には誰もいない場合の待ち時間は

30-5＝25(分)

である．よって，屋外に並んでいる人がいない時の待ち時間は25分以内であると考えられる．
(4)屋内で待つ人が0人から何人分だけ増えて初めて屋内では並ぶことが出来なくなるのかを考えればよい．(3)の結果より，

25÷5/16＝25×16/5＝80

であるから，屋内には最大で80人まで並ぶことが出来ると考えられる．
No.39453 - 2016/10/08(Sat) 16:55:10
☆ Re: １次関数 / noname
上のコメントの説明は算数的な考え方によるものですが，一次関数の知識を用いて考えたいのであれば，屋外で並んでいる人がx人の時の待ち時間をy分とする時，yをxの式で表し，それぞれの設問について考えていけばよいです(ただ，算数的な考えでの解法と本質的にはあまり変わらないが…)．
No.39454 - 2016/10/08(Sat) 16:58:29
☆ Re: １次関数 / noname
表の一番上に時刻が書かれているのですが，そこはあえて無視されるとよいかと思います．この問題で重要な点は「並ぶ人が1人増えると，待ち時間に凡そ5/16分の分だけの影響を与える」ということです．
No.39455 - 2016/10/08(Sat) 17:03:48
☆ Re: １次関数 / satoshi
(4)屋内で待つ人が0人から何人分だけ増えて初めて屋内では並ぶことが出来なくなるのかを考えればよい．(3)の結果より，

25÷5/16＝25×16/5＝80 この計算の意味がよくわかりません。
No.39462 - 2016/10/08(Sat) 22:24:55
☆ Re: １次関数 / noname
簡単に言うと，「1人並ぶと待ち時間が5/16分だけ長くなるため，室内で何人分並ぶと待ち時間が25分になるのか」を考えているということです．方程式で解くのであれば，室内で並ぶことの出来る最大の人数をaとすると

5/16×a＝25

という方程式を立ててaの値を求めればよいということです．これを算数の計算でやるなら初めから割り算の計算を行えばよいということなので，

25÷5/16＝25×16/5＝80

を計算しているということです．もし分からなければ，次の例題

[例題]；あるボールペンを5本買ったところ，合計金額は600円となった．では，このボールペンの1本の金額はいくらか．

を600÷5＝120という計算で答えを求めるやり方と同じことをしているのだと思えばよいです(というか，同じことです)．
No.39467 - 2016/10/09(Sun) 03:00:47
☆ Re: １次関数 / satoshi
ありがとうございました。一次関数での解き方も解説お願いします。
No.39471 - 2016/10/09(Sun) 11:50:15
☆ Re: １次関数 / noname
>一次関数での解き方も解説お願いします。


では，x,yの設定を

>屋外で並んでいる人がx人の時の待ち時間をy分

とする時，y＝ax+b(a,bは定数)の形で式を立て，表のデータを使ってa,bの値を求めてみてください．その後で，このx,yに関する式を用いてまずは(1),(2),(3)の3問について考えてみてください．
No.39497 - 2016/10/09(Sun) 23:25:27
★ (No Subject) / らい
最初から最後まで教えてください…お願いします…
No.39443 - 2016/10/08(Sat) 09:46:56
☆ Re: / noname
Aの不等式の両辺を4で割ると，

x^2/2^2+y^2/(2/√3)^2≦1

となり，Bの不等式についても両辺を4で割ると，

x^2/(2/√3)^2+y^2/2^2≦1.

よって，A,Bの図形はともにある楕円盤であることが分かります．ゆえに，A∪Bの図形はAとBを全て塗りつぶすことで得られる部分，A∩Bの図形はAとBの共通部分を塗りつぶすことで得られる部分だということが分かります．ここまでは分かりますか？
No.39447 - 2016/10/08(Sat) 15:31:06
☆ Re: / noname
上のコメントの説明が理解できると，

>A,Bのどちらか一方のみに含まれる点(x,y)全体の範囲

とは，A∪Bを表す図形からA∩Bの部分をくり抜くことで得られる図形だということになります．
No.39448 - 2016/10/08(Sat) 15:37:54
☆ Re: / noname
面積の求め方については，まずはA∩Bの面積を計算し，その次に(1)では

(求める面積)＝(楕円盤Aの面積)+(楕円盤Bの面積)−2・(A∩Bの面積)

により計算すればよいです．楕円盤の面積を計算する際には面積の公式を使うとよいでしょう．
No.39449 - 2016/10/08(Sat) 15:44:33
☆ Re: / noname
A∩Bを図示すると添付された図の斜線部分の境界線を含む領域となります．また，この図形は直線y＝x,y＝-x,x＝0,y＝0で8等分割することができるため，A∩Bの面積については例えば「楕円x^2/(2/√3)^2+y^2/2^2＝1，2直線y＝x,y＝0で囲まれる部分のうちx≧0の範囲のもの」を計算し，この計算結果を8倍して求めればよいです．そして，「…」の部分の面積は

(3点(0,0),(1,0),(1,1)を頂点とする直角二等辺三角形の面積)+∫_[1,2/√3]√(2^2(1-x^2/(2/√3)^2)dx

により計算することが出来ます．
No.39452 - 2016/10/08(Sat) 16:25:16
☆ Re: / noname
(1)については，

8∫_[0,1](√(2^2(1-x^2/(2/√3)^2))-√((2/√3)^2(1-x^2/2^2)))dx

を計算することで面積を求めてもよいです．
No.39456 - 2016/10/08(Sat) 18:16:17
☆ Re: / IT
（１）を図形的に計算する方法。（図を描いて確認してみてください。)

８分割するのはnonameさんのとおりです。
楕円x^2+3y^2=4 をいったん縦に√3倍して円x^2+y^2=4として面積を計算します。
（縦に√3倍すると）
　AかBのどちらか一方のみに含まれる部分の面積の×1/8は、
　　4π×(1/6)-4π×(1/12)＝(1/3)π
（縦に1/√3倍して）
　求める面積は、(1/3)π×(1/√3)×8=8π/(3√3)
No.39458 - 2016/10/08(Sat) 19:41:22
☆ Re: / らい
皆さんありがとうございます‼…素晴らしいです…ここまで教えて頂けるとは…感動して涙出ました…ありがとうございます…生きててよかったです…‼
No.39463 - 2016/10/08(Sat) 23:28:23
★ (No Subject) / タミヤ
この問題あっていますか？
間違えていたら解説お願いします
No.39442 - 2016/10/08(Sat) 08:48:03
☆ Re: / angel
最後の3行を除いては合っています。

最後は、
--
　0≦θ≦πより、-π/4≦θ-π/4≦3/4・π
　最大値　√2 ( θ-π/4=π/2 すなわち θ=3/4・πのとき )
　最小値　-1 ( θ-π/4=-π/4 すなわち θ=0のとき )
No.39444 - 2016/10/08(Sat) 10:00:42
☆ Re: / angel
疑わしい時は ( そうでない時も ) いつでも、
具体的な値を求めて整合性を確かめるようにすると、ミスを減らすことができます。

今回、計算の途中で sin(θ-π/4) という形が出てくるので、実際に π/4 刻みで f(θ)=sinθ-cosθ を計算してみると、

　f(0)=0-1=-1
　f(π/4)=√2/2-√2/2=0
　f(π/2)=1-0=1
　f(3/4・π)=√2/2-(-√2/2)=√2
　f(π)=0-(-1)=1

ということで、最大値1, 最小値0 では間違いであることに気付きます。
No.39445 - 2016/10/08(Sat) 10:20:23
★ (No Subject) / アカシロトモ
こんばんは、よろしくお願いします。
下の問題で、次の通り途中までは、分かりましたが
中点を求める式変形が分かりません。教えてください。

点Bを原点にとり、直線ｌを実軸とする複素数平面を考えると、点Aは虚軸上の点なので、
aを実数としてA(ai),P(z),R(w)とおける。
PとQは実軸に対して対称なので、Q(z~)である。(z=z~)
z=x+yiとおいて、w=(cos2θ+isin2θ)(z~-ai)+aiから、
w=(x-yi-ai)(cos2θ+isin2θ)+ai
=｛xcos2θ+(y+a)sin2θ｝+｛xsin2θ-(y+a)cos2θ+a｝i
ここで、PRの中点Mの複素数をuとおくと　

問題
平面上に, 直線lと, 直線l上にない点Aをとる。
直線l上に点Bを線分ABと直線lが直交するようにとり,
点Bを中心として直線lを角度θだけ回転して
得られる直線をmとする。
直線l上にない点Pをとり,
直線lに関して点Pと対称な点Qをとる。
また, 点Aを中心として点Qを角度2θだけ回転して
得られる点をRとする。
このとき, 線分PRの中点Mは直線ｍ上にあることを
証明しなさい。
No.39428 - 2016/10/07(Fri) 18:28:26
☆ Re: / angel
P(z)とR(w) の中点は (z+w)/2 ですよ。
No.39430 - 2016/10/07(Fri) 20:31:31
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

いつもすみません。
言葉足らずで申し訳ありませんでした。
(z+w)/2　の計算の結果、
｛xcosθ＋(y＋a)sinθ｝(cosθ+isinθ)
が導けるはずなのですが、その計算過程が分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.39431 - 2016/10/07(Fri) 20:43:31
☆ Re: / angel
sin,cosそれぞれの倍角を使います。

sinの倍角は、sin2θ=2sinθcosθ で決まりですが、
cosの倍角は、cos2θ=2(cosθ)^2-1=1-2(sinθ)^2 と2通り使い方がありますから、綺麗になる方を選びます。

※端的に言うと、1+cos2θ=2(cosθ)^2, 1-cos2θ=2(sinθ)^2 ということですね。これは結構良く使う形です。
No.39432 - 2016/10/07(Fri) 21:16:05
☆ Re: / angel
まあ、複素平面なので、cos,sin を使わずに、複素共役だけで計算しても良いとは思います。
No.39433 - 2016/10/07(Fri) 21:23:50
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

ありがとうございます。
今から計算してみます。
No.39434 - 2016/10/07(Fri) 21:33:51
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

おかげさまで、三角関数の計算はできました。
すみません、複素共役だけで計算する方法を教えていただけないでしょうか。お手数おかけいたします。
No.39435 - 2016/10/07(Fri) 21:44:53
☆ Re: / angel
こんな感じですかね。

この例では、敢えて直線lも点A,Bも一般の値でやってますが、アカシロトモさんのように、分かり易い直線・点にした方が計算がやり易いと思います。
No.39436 - 2016/10/07(Fri) 22:23:27
☆ Re: / angel
ちょっと複素共役のバーが見え辛いですがご容赦を。
あと、「Aに関してPを2θ回転させた点R」のPはQの誤植です。すいません。

ところで、計算のところで「先に?@?Aを使いやすい形にしておく」と書いてますが、これはもちろん嘘 ( というか説明上の便宜 ) で、実際には先に計算を進めて整理をして残った形を処理するために、?@?Aをこねくりまわす、というように考えています。
No.39437 - 2016/10/07(Fri) 22:31:11
☆ Re: / アカシロトモ
angelさん

大変お手数おかけいたしました。
今から、しっかり読みこみます。
No.39438 - 2016/10/07(Fri) 22:37:42
☆ Re: / アカシロトモ
angelさん

複素数平面の授業が始まったばかりで、平行、垂直条件など
まだ十分に理解できていないのですが、
今週から来週にかけての授業の進行とともに、
教えていただいた解答をしっかり習得したいと思います。
詳細な解説ありがとうございました
No.39440 - 2016/10/07(Fri) 23:57:27
☆ Re: / angel
平行・垂直は、先日にも出た話と同じですよ。

z,wを通る直線とcとが

　平行 ⇔ (z-w)/c が実数 ⇔ (z-w)/c=~( (z-w)/c )
　垂直 ⇔ (z-w)/c が純虚数 ⇔ (z-w)/c=-~( (z-w)/c )
　※垂直に関しては、i×c と平行と考えても良いです。
No.39441 - 2016/10/08(Sat) 00:01:30
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

　昨日また回答いただいていたのですね。
その後、いただいた内容を画面コピーして
平行、垂直条件、回転などを以前解説いただいた
分と一緒に復習しながら読み込んだのですが、
このサイトを今帰宅するまで、見ておりませんでした。
大変失礼いたしました。
　ご指摘の通り、平行、垂直条件については理解できました。ただ、今朝まで考えていろいろ調べても理解できなかったのが回転です。
Bを通り、𝑙をθ回転させた直線ｍの式が
~(cd)z-cd~z=~(cd)b-cd~b
Aに関してPを2θ回転させた点R:r=d^2(q-a)+aが分かりません。

回転は、αを中心として𝛽を反時計周りにθ回転させた
点γが、γ＝(cosθ+isinθ)(𝛽-α)+α
また、α=|α|(cosθ+isinθ)
→θ回転を表す複素数はcosθ+isinθ＝α/|α|
よって、ｚを-θ回転した点は、(|α|/α)z
ここまで調べても、angelさんの
~(cd)z-cd~z=~(cd)b-cd~b　, r=d^2(q-a)+a
の意味が理解できませんでした。
これ以外は、詳しい解説のおかげで理解できました。
この回転に関する部分を教えていただけないでしょうか。
何度もご迷惑をおかけしたうえで、申し訳ありません。
No.39446 - 2016/10/08(Sat) 12:33:11
☆ Re: / angel
いえ、こちらは好きでやってるのですし、特に急かすつもりもないので、そんなに改まらなくても。

さて、疑問のある部分については、「cosθ+isinθのことを d と書いているから」ではあるのですが。( |d|=1, arg(d)=θなので )

敢えて…、というほどでもないですが、そういう書き方をしたのは、cos,sinを完全に忘れて計算を進められるというのもあるからです。
まあ、どちらが使い易いか、は人によると思うのですが、こういう計算の進め方がある、というのは知って置いた方が良いでしょう。
No.39459 - 2016/10/08(Sat) 20:33:16
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

本当に申し訳ありません。
今から読み込んで考えます。
No.39460 - 2016/10/08(Sat) 20:39:29
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

1.dが d=cosθ+isinθ　の意味であること、
2.cd ,〜cdの意味,
3.d^2=が d^2＝cos2θ+isin2θ の意味であること
以上の3点が分かっていなかったので、
全体が理解できていませんでしたが、
おかげさまでよく理解できました。
また、一般化していただいて応用性も期待できます。
毎回、本質的なご解説をいただきまして、
本当に感謝いたしております。
ありがとうございました。

No.39461 - 2016/10/08(Sat) 22:06:13
★ (No Subject) / あかいくん
なぜこの問題の最後でラージXやYがスモールxやyに置き換えられてるのですか？
図をつくるとき、x+yとxyで座標つくっていいんですよね？
No.39426 - 2016/10/07(Fri) 16:32:59
☆ Re: / あかいくん
もしくは、ラージXやYで座標平面つくっていいんですよね？
No.39427 - 2016/10/07(Fri) 16:49:55
☆ Re: / angel
> なぜこの問題の最後でラージXやYがスモールxやyに置き換えられてるのですか？

それは通常、座標に使う記号が x,y の組み合わせだからです。
※「a,bの条件を求め図示せよ」といった問題であれば、代わりにab座標平面を描くようなことはあります

今回、X,Y という文字は、x座標・y座標を表す値として便宜上( 解答者が勝手に ) 導入したものです。
( なぜなら、x,y は既に使っていて、同じ文字だと混乱したから )
なので、最後までは引きずりません。
No.39429 - 2016/10/07(Fri) 20:21:03
☆ Re: / noname
簡単に言うと，「xy平面上の円板x^2+y^2≦1の上の点(x,y)をXY平面上の点(X,Y)に対して，X＝x+y,Y＝xyという対応で写す時，この点の対応によって写された点(X,Y)全体の範囲をXY平面上に図示しなさい」という問題だと思えばよいというわけです．勿論，X,Yという文字が嫌ならば別の文字を用いればよいだけのことです．
No.39439 - 2016/10/07(Fri) 22:53:51
☆ Re: / あかいくん
返信遅れてすみません
ラージXやYで座標平面つくっていいんですか？
No.39533 - 2016/10/13(Thu) 13:13:56
☆ Re: / noname
>ラージXやYで座標平面つくっていいんですか？

はい，構いません．
No.39535 - 2016/10/13(Thu) 17:09:57
☆ Re: / angel
> ラージXやYで座標平面つくっていいんですか？

私はあんまりお勧めしませんが。

ただ、X,Yが何を表しているかを明示したうえで、XY平面で図示することを断っておけば、問題はないだろうと思います。
No.39540 - 2016/10/13(Thu) 20:21:16
☆ Re: / あかいくん
みなさんありがとうございます。

もちろんx+y=X、xy=Yとおいたうえで、XY平面をつくります。
No.39551 - 2016/10/14(Fri) 16:01:50
★ (No Subject) / アイス
2xかけるx^(1/2)の答えって2xですか？
No.39423 - 2016/10/07(Fri) 12:44:16
☆ Re: / noname
違います．正しくは

2x・x^{1/2}＝2x^{1+1/2}＝2x^{3/2}

となります．
No.39424 - 2016/10/07(Fri) 13:31:34
★ (No Subject) / アイス
置換積分法というものはいつ使うのですか？
見極めかたを教えて下さい。
No.39417 - 2016/10/06(Thu) 21:14:22
☆ Re: / angel
√(1-x^2) のように、そのままだと積分した後の形が見え辛い時ですね。

まあ「見え辛い」というのは、その人の感覚にも依ります。( 置換積分を必ずしなければいけないってこともない )

この例だと、√(1-x) がやり辛い形だと見て √(1-x)=t としています。
しかし、

　∫x√(1-x)dx
　= ∫( √(1-x)-(1-x)√(1-x) )dx
　= ∫( (1-x)^(1/2) - (1-x)^(3/2) )dx
　= -2/3・(1-x)^(3/2) + 2/5・(1-x)^(5/2) + C

とすれば、特に置換せずとも済みます。

まあ、置換したからといって損になるってこともあまりないので、分かりにくい形が出てきたら、積極的に使っても良いと思います。
No.39418 - 2016/10/06(Thu) 21:46:07
☆ Re: / angel
尤も、置換積分の効果的な使い道は、どちらかというと不定積分よりも定積分の方になると思います。
No.39419 - 2016/10/06(Thu) 21:49:50
★ (No Subject) / ユー
この問題教えてください
No.39409 - 2016/10/06(Thu) 18:00:39
☆ Re: / ヨッシー

ＰがＣまたはＤに来たときが最大となります。
その時のＲは、対角線ＡＣの半分です。
No.39410 - 2016/10/06(Thu) 18:19:23
☆ Re: / ユー
なるほど！
解答がこうなってるんですけど、どうして場合分けが生じるのか教えて欲しいです
No.39411 - 2016/10/06(Thu) 18:25:20
☆ Re: / angel
実は、a が小さい時は、P が CDの中点に来たときが R 最大になります。a が大きければ、C もしくは D に来たときが最大で合っています。
No.39413 - 2016/10/06(Thu) 20:01:54
☆ Re: / angel
どう解くのがベストかは分かりませんが、P の位置を元に R を表し、2次関数の最大値の問題とする方法があります。

図のように△PABの各辺の長さをp,q,r、面積を S と置くとき、外接円の半径も含めた関係は、

　R=pqr/4S

です。( これは S=1/2・qr・sinP と、正弦定理 sinP=p/2R から )

ここで、p=4, S=2a は既知です。で、未知の長さ、図中 PM=t とすると、

　q^2・r^2=(a^2+(2-t)^2)(a^2+(2+t)^2)

です。※ P が、M から見て C,D どちら寄りでも同じであることに注意

ということで、

　R=pqr/4S=p/4S・√( (qr)^2 ) から
　R=√( t^4+2(a^2-4)t^2+a^4+8a^2+16 )/2a

一見 t の4次式ですが、x=t^2 と置き直すと

　R=√( x^2+2(a^2-4)x+a^4+8a^2+16 )/2a

と、2次式の問題になります。

x=t^2 の範囲、0≦x≦4 に注意すると、

　a＞√2 の時、x=4 で R 最大 ( P が C,D に一致 )
　a=√2 の時、x=0,4 で R 最大 ( P が C,D,M に一致 )
　a＜√2 の時、x=0 で R 最大 ( P が M に一致 )

となります。( 答えとしては、a=√2 のケースは、a＞√2, a＜√2 のどちらかと併せてしまいます )
No.39416 - 2016/10/06(Thu) 20:35:46
☆ Re: / noname
次の様に「∠APBの大きさの変化を考える」ことにより解答してもよいです．


[解答例]
線分CDの中点をMとする．点Aから直線BPへ垂線を引いた時に交わる点をDとすると，三角形APBの面積の式として，

1/2・4・a＝1/2・AD・√(a^2+4).
∴AD＝4a/√(a^2+4).
∴sin∠AMB＝sin(180°-∠AMP)＝AD/AM＝4a/(a^2+4).

また，sin∠ACBの値は

sin∠ACB＝AB/AC＝4/√(a^2+16).

よって，∠ACB+∠AMB＝180°ならば，

sin∠ACB＝sin∠AMB.
∴a^2+4＝a√(a^2+16).
∴(a^2+4)^2＝a^2(a^2+16)
∴a^2＝2
∴a＝±√2.

a＞0よりa＝√2である．ところで，点PがCからMに移動するにつれて∠APBの大きさは増加し，PがMからDに移動するにつれて∠APBの大きさは減少する(この点については初等幾何的に考察して論ずることは可能だろうが，面倒なのでここではそれを省略しておく)．このことに注意すると，次の3つに場合分けすることが出来る．

?@a＞√2の時
点C,Dでsin∠APBは最小となるから，点C,DでRは最大となる(正弦定理による)．よって，この場合でのRの最大値は

4/(2・4/√(a^2+16))＝√(a^2+16)/2＝√(a^2/4+4).
?Aa＝√2の時
点C,M,Dでsin∠APBは最小となるから，点C,M,DでRは最大となる(正弦定理による)．よって，この場合でのRの最大値は

4/(2・4/(3√2))＝3√2/2.
?B0＜a＜√2の時
点Mでsin∠APBは最小となるから，点MでRは最大となる(正弦定理による)．よって，この場合でのRの最大値は

4/(2・4a/(a^2+4))＝(a^2+4)/(2a).

以上により，Rの最大値は次の通りである：

・0＜a＜√2の時，Rの最大値は(a^2+4)/(2a)(P＝Mの時)．
・a＝√2の時，Rの最大値は3√2/2(P＝C,M,Dの時)．
・a＞√2の時，Rの最大値は√(a^2/4+4)(P＝C,Dの時)．
No.39420 - 2016/10/06(Thu) 21:58:34
☆ Re: / noname
>この点については初等幾何的に考察して論ずることは可能だろうが，面倒なのでここではそれを省略しておく


と書きましたが，これの確認の概略を以下に与えておきます．一度お考えください．

[確認の概略]
線分CM上に異なる2点Q,Rをとる．QはCの側に，RはMの側にあると仮定してもよい．点Qは3点A,R,Bを通る円の外側にあるため，∠AQB＜∠ARBである．よって，PがCからMへ移動するにつれて，∠APBは∠ACBから∠AMBへと単調に増加する．殆んど同様の議論を行うことにより，PがMからDへ移動するにつれて∠APBは∠AMBから∠ADBへと単調に減少することが分かる．
No.39421 - 2016/10/06(Thu) 22:15:59
☆ Re: / ユー
丁寧に説明してくださってありがとうございます！
いろんなアプローチを知ることができて勉強になりました！
No.39422 - 2016/10/06(Thu) 22:55:25
★ (No Subject) / アイス
∫sin2xdxの答えは-1/2(cos2x)＋Cですか？
No.39406 - 2016/10/06(Thu) 14:29:13
☆ Re: / noname
はい，その通りです．
No.39407 - 2016/10/06(Thu) 14:51:39
★ 三角形の形状 / ゆうり
△ABCにおいて次の等式が成り立つとき、この三角形はどのような形の三角形か。
(1)asinA＝bsinB
(2)sinAcosB＝sinBcosA

これらの問題がどうしても解けないので教えてください。
No.39400 - 2016/10/06(Thu) 01:21:48
☆ Re: 三角形の形状 / noname
(1)については，三角形ABCの外接円の半径をRとすると，正弦定理より

a＝2RsinA,b＝2RsinB.…?@

また，与えられた等式の両辺に2Rをかけると

a・2RsinA＝b・2RsinB.…?A

よって，?@を?Aに代入するとa^2＝b^2が得られます．ここから先はご自身でお考えください．


次に(2)については，A＝90°ならば等式よりcosB＝0となるのでB＝90°となりますが，この時にA+B+C＞180°となるため不適となります．B＝90°の時も同様な矛盾が起こります．よって，A,Bはどちらも90°ではないことになります．この時，cosAcosB≠0であり，等式の両辺をcosAcosBで割るとtanA＝tanBであるため，A＝Bが得られます．ここから先はご自身でお考えください．
No.39401 - 2016/10/06(Thu) 01:48:38
☆ Re: 三角形の形状 / angel
(2)については三角比の加法定理を知っていれば、
　sinAcosB-sinBcosA=0
　⇔ sin(A-B)=0
から解くこともできます。

あるいは、
　正弦定理 sinA=a/2R, sinB=b/2R
　余弦定理 cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc, cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ca
より、長さの条件から解く方法もあります。
No.39412 - 2016/10/06(Thu) 19:42:29
☆ Re: 三角形の形状 / noname
(1)については，正弦定理より

a：b：c＝sinA：sinB：sinC…?@

が成り立つことを御存知であれば，等式を

a：b＝sinB：sinA…?A

の形で書きかえることが出来るので，?@,?Aより

a：b＝sinB：sinA＝b：a.
∴a^2＝b^2.
∴a＝b.

の様に考えても構いません．
No.39425 - 2016/10/07(Fri) 15:20:17
☆ Re: 三角形の形状 / ゆうり
丁寧にご説明くださりありがとうございました。
返信が遅くなって申し訳ありません。
No.39468 - 2016/10/09(Sun) 11:16:14
★ 大学1年 偏微分 / さくら
(1)(3)がどうしてもとけません
答えは
(1) Zu=9(2u-v) , Zv=-9u
(3) Zu=e^(xy)(uy-vx)/(u^2+v^2) , Zv=e^(xy)(ux-vy)/(u^2+v^2)
です

どなた途中過程を教えてください
宜しくお願い致しますm(_ _)m
No.39393 - 2016/10/05(Wed) 22:31:53
☆ Re: 大学1年 偏微分 / noname
多変数関数における合成関数の微分法を用いるだけです.
(1)については，

∂z/∂x＝4x+y,∂z/∂y＝x-2y,
∂x/∂u＝2,∂y/∂u＝1,∂x/∂v＝-1,∂y/∂v＝1

を次の式に代入して計算すると∂z/∂u,∂z/∂vの式が求まります．

∂z/∂u＝∂z/∂x・∂x/∂u+∂z/∂y・∂y/∂u,
∂z/∂v＝∂z/∂x・∂x/∂v+∂z/∂y・∂y/∂v.

また，(2)については，

∂z/∂x＝ye^{xy},∂z/∂y＝xe^{xy},
∂x/∂u＝1/√(u^2+v^2)・u/√(u^2+v^2)＝…,
∂y/∂u＝1/(1+(v/u)^2)・(-v/u^2)＝…,
∂x/∂v＝1/√(u^2+v^2)・v/√(u^2+v^2)＝…,
∂y/∂v＝1/(1+(v/u)^2)・1/u＝…

を次の式に代入して計算すると∂z/∂u,∂z/∂vの式が求まります．

∂z/∂u＝∂z/∂x・∂x/∂u+∂z/∂y・∂y/∂u,
∂z/∂v＝∂z/∂x・∂x/∂v+∂z/∂y・∂y/∂v.
No.39394 - 2016/10/05(Wed) 23:00:27
☆ Re: 大学1年 偏微分 / さくら
回答ありがとうございました!!
どうやらぐちゃぐちゃに書きすぎて、途中で訳が分からなくなってただけみたいでした

おかげで無事に解決することができました

また機会がありましたらよろしくお願いします
No.39405 - 2016/10/06(Thu) 12:54:34
★ 期待値 / ゆうり
三枚の硬貨を同時に投げる時、表の出る枚数Xの期待値を求めよ。

この問題で、Xが0のとき確率が1/8，Xが1のとき3/8，Xが2のとき3/8，Xが3のとき1/8になるのですが、何故ですか？
どなたか教えてください。
No.39392 - 2016/10/05(Wed) 21:34:03
☆ Re: 期待値 / noname
3枚の硬貨を区別されたものとして捉え，3枚の硬貨において

・全て裏である確率
・1枚は表で残りの2枚は裏である確率
・1枚は裏で残りの2枚は表である確率
・全て表である確率

についてそれぞれ考えてみてください．
No.39395 - 2016/10/05(Wed) 23:03:19
☆ Re: 期待値 / ゆうり
回答ありがとうございます。

> 3枚の硬貨を区別されたものとして捉え，3枚の硬貨において
>
> ・全て裏である確率
裏になるか表になるかの確率は1/2ですよね。
(1/2)^0×(1/2)^3=1/8
> ・1枚は表で残りの2枚は裏である確率
(1/2)^1×(1/2)^2=1/8
> ・1枚は裏で残りの2枚は表である確率
(1/2)^2×(1/2)^1=1/8
> ・全て表である確率
(1/2)^3×(1/2)^0=1/8
>
> についてそれぞれ考えてみてください．

なんでか全て1/8になってしまうのですが、どこがおかしいのかわかりません。
教えていただけませんか？
No.39396 - 2016/10/05(Wed) 23:45:49
☆ Re: 期待値 / noname
>なんでか全て1/8になってしまうのですが、どこがおかしいのかわかりません。

例えば，1枚が表で残りの2枚が裏である場合の数は幾つか分かりますか？
No.39397 - 2016/10/06(Thu) 00:20:53
☆ Re: 期待値 / angel
「何枚が」というイメージがまだ明確でないように見えます。

であれば、3枚のコインに名前をつけて ( A,B,Cとか )、「どのコインが表/裏か」を挙げて考えてください。
No.39398 - 2016/10/06(Thu) 00:26:45
☆ Re: 期待値 / ゆうり
3枚全てが表
3枚中全て表になる場合は3C3=1通り
3C3×(1/2)^3×(1/2)^0=1/8
3枚中1枚が表で2枚が裏
3枚中1枚が表になる場合は3C1=3通り
3C1×(1/2)^1×(1/2)^2=3/8
3枚中2枚が表で1枚が裏
3枚中2枚が表になる場合は3C2=3通り
3C2×(1/2)^2×(1/2)^1=3/8
3枚全てが裏
3枚全てが裏になる場合は3C0=1通り
3C0×(1/2)^0×(1/2)^3=1/8

こういうことでしょうか？
No.39399 - 2016/10/06(Thu) 01:18:21
☆ Re: 期待値 / noname
>こういうことでしょうか？

はい，その通りです．
No.39402 - 2016/10/06(Thu) 01:49:51
☆ Re: 期待値 / ゆうり
ありがとうございました！
助かりました。
No.39403 - 2016/10/06(Thu) 01:54:01
☆ Re: 期待値 / noname
この手の問題は「同様に確からしい」という概念が重要となってきます．余力があれば調べてみてください．
No.39414 - 2016/10/06(Thu) 20:22:33
★ 教えてください>_< / シマシマ
2直線2x-y+1=0, x-3y=0の作る鋭角θを求めよ。
わかりません。教えてください>_<
No.39377 - 2016/10/04(Tue) 21:12:05
☆ Re: 教えてください>_< / noname
直線x-3y＝0,2x-y+1＝0のそれぞれがx軸の正方向の部分となす角をα,β(0≦α≦π,0≦β≦π)とすると，tanα＝1/3,tanβ＝2であるため，α,βは両方とも鋭角であることが分かります(tangentの値が正であることとα,βの範囲よりその様に言える)．また，tanα＜tanβよりα＜βとなります．よって，2直線x-3y＝0,2x-y+1＝0が挟む角β-αとπ-(β-α)の2つのうち鋭角の方はβ-αとなります．よって，後はtan(β-α)の値をtangentの加法定理より求め，その値を参考にしてβ-αの値を求めればよいかと思います．
No.39382 - 2016/10/04(Tue) 22:23:29
☆ Re: 教えてください>_< / IT
三角関数を使わない方法（この問題に限れば、こういう方法もあります。）

2直線2x-y+1=0, x-3y=0の作る角は,2直線2x-y=0…(1), x-3y=0…(2)の作る角と等しい。

(1)(2)は原点Oで交わり,(1)は点A(1,2),(2)は点B(3,1)を通る。# 図を描くことをお勧めします。
OA＝√5,OB=√10,AB＝√5
よって△OABは、直角二等辺三角形で∠AOB＝45°これが求める角度。


--（より一般的な方法）-------------------------------------------------------

直線y=mx…(1),直線y=nx…(2),0＜m＜nの場合

直線(1)(2)は原点Oで交わり,(1)は点A(1,m),(2)は点B(1,n)を通る.
(1,0)を点C,Bから(1)への垂線の足をHとすると
△BHAと△OCAは相似なので BH:OC=BA:OA,よってBH:1=n-m:√(m^2+1)
よってBH=(n-m)/√(m^2+1)
したがって　sin∠AOB=BH/OB=(n-m)/(√(m^2+1)√(n^2+1))

m=1/2,n=3を代入して　sin∠AOB＝(3-1/2)/(√(1/4+1)√(9+1))=1/√2
----------------------------------------------------------------------
＃２直線とｘ軸の位置関係によって少し変わってきますが同様にできます。図を描いて確認してください。
No.39386 - 2016/10/04(Tue) 23:09:43
☆ Re: 教えてください>_< / noname
平面ベクトルの内容を学習済みであれば，それぞれの直線に対する法線ベクトルを選び，2本の法線ベクトルのなす角に関する余弦の値を計算することで問題の答えを考えてもよいです．
No.39389 - 2016/10/04(Tue) 23:50:31
★ 二次関数 / あゆ
このプリント、答えだけではなく、解く手順(？)を教えてください。お願いします
No.39372 - 2016/10/04(Tue) 18:37:56
☆ Re: 二次関数 / noname
おそらく，質問内容が多すぎて回答が付きにくいのだと思います．一見すると，応用問題もある一方で教科書の解説を見ながら解くことの出来る易しめの問題もあるため，一度各問題に対して自分で解答できるところまで考えていただくとよいかと思います．そして，それらの解答できている部分とわからない部分に関する文章を書いていただけると，回答者としては手助けしやすいです．
(たぶんその方が，質問者と回答者のやりとりはより円滑に進むはず)
No.39387 - 2016/10/04(Tue) 23:25:34
☆ Re: 二次関数 / noname
一応，2から5の問題のヒントを与えておきます．一度ご参考ください．


[ヒント]
2．A(t,t^2/2)(t＞0)と表しておくと，AD＝t^2/2,AB＝2tである．四角形ABCDは長方形であるから，この四角形が正方形となるにはAD＝ABが成立すればよい．
3．P(x,y)は2次関数y＝x^2/4(x≧0)のグラフ上にあるため，x＝t,y＝t^2/4(t≧0)と表せる．Pのx座標とy座標が等しい時，t＝t^2/4が成り立つはずである．
4．直線ABは点C(0,3)を通り，その傾きは2であるから，直線ABの方程式はy＝2x+3である．この式と(Aのy座標)＝9,(Bのx座標)＝-1を使うと，Aのx座標とBのy座標を求めることが出来る．ところで，三角形AOCの底辺を辺AC，三角形BOCの底辺を辺BCとすると，三角形AOCとBOCの底辺に対する高さはどちらも同じ長さである．よって，

AC：CB＝(三角形AOCの面積)：(三角形BOCの面積)

が成り立つ．
5.直線CDとx軸は平行であるから，Cのy座標はDのy座標と同じである．このこととCが2次関数y＝x^2/2のグラフ上にあることからCのx座標を求めることが出来る．よって，CDの長さがCのx座標より分かる．一方，直線ABと直線CDは平行であり，直線CDとx軸は平行であるから，直線ABとx軸は平行である．ゆえに，A(-t,t^2/2),B(t,t^2/2)(t＞0)と表せる．この時，AB＝2tであり，AB＝CDでもあるから，tの値を求めることが出来る．また，平行四辺形ABCDにおいて，辺ABを底辺とみた場合の高さは，Dのy座標からBのy座標を引くことで求めることが出来る．
No.39388 - 2016/10/04(Tue) 23:47:15
★ (No Subject) / アカシロトモ
こんにちは、またお世話になります。
下の問題について、（1）は次のように考えましたが、
(2)を教えてください。よろしくお願いします。

２点A(1),B(i)を通る直線は、
xy座標では、A(1,0),B(0,1)からy=-x+1となる。
媒介変数表でx=t、y=-t+1とおくと、
複素数平面では、z=x+iy＝t+i(-t+1)=(1-i)t+i　

問題：複素数平面上に2点A(1),B(i)を通る直線𝑙がある。
直線𝑙上の動点をPとし、Oを端点とする半直線OP上に
OP・OQ=2となる点Qをとるとき、
(1)直線𝑙の方程式を求めよ　
(2)点Qの描く図形を求めよ
No.39371 - 2016/10/04(Tue) 18:11:46
☆ Re: / angel
(1) 間違ってはいないと思うのですが、正解にならないんじゃないでしょうか。

多分、(1+i)z-(1-i)~z=2i のような答えが求められているかと。

(2) Q の表す複素数を w としたとき、
> Oを端点とする半直線OP上にOP・OQ=2となる点Qをとるとき、
から、
　w = 2z/|z|^2 = 2z/(z・~z) = 2/~z　( ~z は z の複素共役 )
です。
これを、z=〜, ~z=〜 の形にして (1) の解に代入して整理します。
この手の図形は円になりますから、整理するときに意識すると良いかと思います。
No.39374 - 2016/10/04(Tue) 19:41:58
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

いつもありがとうございます。
やはり理解できてませんでした。
（1)(2)ともわかりませんがもう少し考えてみます。
No.39375 - 2016/10/04(Tue) 20:32:43
☆ Re: / angel
取り敢えず、2点 a, b を通る直線は

　~(a-b)z-(a-b)~z=~ab-a~b

ですね。まあ、公式として覚えることもないと思いますが。

(z-a)/(a-b) が実数になる、つまり (z-a)/(a-b)=~( (z-a)/(a-b) ) を整理すると出てきます。
No.39376 - 2016/10/04(Tue) 21:00:16
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

ありがとうございます。
(1)は、教えていただいた公式で出ました。
また、今、公式の証明も確かめました。
No.39378 - 2016/10/04(Tue) 21:19:45
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

OP・OQ=2から点Qを
w = 2z/|z|^2 = 2z/(z・~z) = 2/~z　( ~z は z の複素共役 )と表すところまでは理解できました。
その後、これを、z=〜, ~z=〜 の形にする方法が分かりません。すみませんが教えてください。
No.39379 - 2016/10/04(Tue) 21:54:20
☆ Re: / angel
w=2/~z から ~z=2/w, z=~(2/w)=2/~w です。
No.39380 - 2016/10/04(Tue) 22:01:44
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

ありがとうございます。計算してみます。
No.39381 - 2016/10/04(Tue) 22:08:58
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

次のような計算をするのでしょうか。
なんだか、自分の理解不足で本質を外しているような気がします


(1+i)z-(1-i)z~=zi にz=2/w~ , z~=2/wを代入して、
(1+i)2/w~-(1-i)2/w=2i
⇔ (1+i)w-(1-i)w~=ww~*i
⇔ (1+i)(x+yi)-(1-i)(x-yi)=(x+yi)(x-yi)i
⇔ 2(x+y)i=(x^2+y^2)i
⇔ (x-1)^2+(y-1)^2=2 中心(1,1),半径√2の円
No.39383 - 2016/10/04(Tue) 22:36:10
☆ Re: / angel
いえ、大丈夫です。それで合ってます。

ただ、w=x+yi と置かないで計算することもできます。

(1+i)2/~w-(1-i)2/w=2i
⇔ w~w-(1-i)w-(1+i)~w=0
⇔ (w-(1+i))(~w-(1-i))=(1+i)(1-i)
⇔ (w-(1+i))・~(w-(1+i))=2
⇔ |w-(1+i)|^2=2

よって、1+i を中心とする半径√2 の円
※ただし w≠0 のため原点を含まない
No.39384 - 2016/10/04(Tue) 22:44:29
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

ありがとうございました。
何度もご迷惑おかけいたしました。
おかげさまで、理解できました。
No.39385 - 2016/10/04(Tue) 22:59:08
★ 問題を作ったので誰か解いてくれませんか / たま
【問題】
半径3の球体C1に半径1の球体C2が内接し、固定されている。
半径1の球体C3は、C1の内部およびC2の外部を自由に移動する。
このとき、C3が動ける部分の体積を求めてください。
No.39369 - 2016/10/04(Tue) 14:01:45
☆ Re: 問題を作ったので誰か解いてくれませんか / angel
86/3・π+2√3/3・π^2 でしょうかね。
No.39373 - 2016/10/04(Tue) 19:20:39
☆ Re: 問題を作ったので誰か解いてくれませんか / たま
解いていただきありがとうございます！
でも私の出した答えと違ってるんです。もう一度検算します。
ちなみにレベル的にはどうでしたでしょうか。
No.39390 - 2016/10/05(Wed) 13:54:35
☆ Re: 問題を作ったので誰か解いてくれませんか / angel
レベル的にはやや難でしょうか。計算結果が合ってるかどうか、なかなか確かめ辛いのがまた。

で、すいません。計算やり直したら答えが違いました。
71/3・π+2√3/3・π^2 になりました。

計算式としては、
　4/3・π・3^3 - (1+3^3)∫[1/2,1]π(1-t^2)dt + ∫[1/2,1] 4√3・π√(1-t^2) dt
です。
No.39391 - 2016/10/05(Wed) 19:17:27
☆ Re: 問題を作ったので誰か解いてくれませんか / たま
angel様。何度も解いていただき感謝いたします。
実は私は95/3・π-2√3/3・π^2になったのです。私ももう一度考えてみます。

レベルも考察いただきありがとうございます。
No.39404 - 2016/10/06(Thu) 10:40:46
★ (No Subject) / ユー
この問題教えてください
No.39368 - 2016/10/04(Tue) 12:42:20
☆ Re: / noname
第2の条件よりa_[1],a_[2],...,a_[n]のうちある(n-1)個の自然数はどの2つも異なるため，次の2つ

?@a_[1],a_[2],...,a_[n]は全て異なる
?Aa_[1],a_[2],...,a_[n]のうちある(n-1)個の自然数b_[1],b_[2],...,b_[n-1]はどれも相異なり，残りの1個の自然数はb_[1],b_[2],...,b_[n-1]のうちどれか1個の自然数と一致する

に場合分けし，それぞれの場合で第1の条件を用いて場合の数を計算すればよいのではないでしょうか．
No.39370 - 2016/10/04(Tue) 18:06:45
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