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★ (No Subject) / なこ
複合同順をくくるときどうすればいいですか？どう考えればいいですか？

たとえば

±A*B±A*C=±A(B+C)
±A*BマイナスプラスA*C=A(B-C)

となるみたいですが、なぜですか？
No.39365 - 2016/10/04(Tue) 05:20:31
☆ Re: / noname
A*B+A*C,−A*B−A*C,A*B−A*C,−A*B+A*Cのそれぞれで分配法則を使って式変形を行ってみてください．その後に変形後の式の形をながめると疑問が解決するかもしれません．
No.39367 - 2016/10/04(Tue) 11:10:25
★ お願いします / 笠木
この問題の３問目が分かりません…助けてください…
No.39358 - 2016/10/04(Tue) 01:09:17
☆ Re: お願いします / noname
ヒントを与えておきますので一度お考えください．


[ヒント]
(1)I(m,1)の被積分関数のx^mを積分する項，(1-x)を微分する項とみてI(m,1)を部分積分法により計算すればよい．或いは，x^m(1-x)＝x^m-x^{m+1}と変形して積分計算すればよい．
(2)I(m.n)の被積分関数のx^mを積分する項，(1-x)^nを微分する項とみてI(m,n)を部分積分法により計算すればよい．
(3)(2)で得られた漸化式を繰り返し用いればよい．
No.39359 - 2016/10/04(Tue) 01:22:42
☆ Re: お願いします / noname
>この問題の３問目が分かりません


(2)の結果が

I(m,n)＝n/(m+1)・I(m+1,n-1)（m≧1,n＞1)

であり，これを繰り返し用いると，

I(m,n)
＝n/(m+1)・I(m+1,n-1)
＝n/(m+1)・(n-1)/(m+1)・I(m+2,n-2)
＝……
＝n/(m+1)・(n-1)/(m+1)・…・2/(m+n-2)・I(m+n-2,1)
＝n!m!/(m+n-2)!・I(m+n-2,1)

となります．ここで(1)の結果を用いればよいです．
No.39360 - 2016/10/04(Tue) 01:31:52
☆ Re: お願いします / 笠木
ありがとうございます!!助かりました！！
No.39361 - 2016/10/04(Tue) 01:42:09
★ (No Subject) / ラルファス
この問題を教えてくださいm(_ _)m
No.39356 - 2016/10/03(Mon) 22:01:08
☆ Re: / angel
(1)
「共有点をもつような」とありますから、共有点をもつものと仮定して話を進めます。

共有点(x,y)は、?@ の y=x^2+k, ?Aの x^2+y^2=1 両方を満たします。
ここから綺麗に消せるのは x^2、?@と?Aを辺々足して整理すると、

　y^2+y-(k+1)=0

と、共有点(x,y)のyの値の満たす方程式が分かります。
ただし、?Aのx^2+y^2=1 がありますから、yの値の範囲は -1≦y≦1
結局、

　y の2次方程式 y^2+y-(k+1)=0 が -1≦y≦1 の範囲に ( 少なくとも1つ ) 解を持つ条件は何か

という、2次方程式の解の存在条件の問題となります。

(2)
P を y=(x-a)^2+(b-a^2) と変形すると、( (x-a)^2 が共通して現れることから )、PとC1が共有点を持つ、PとC2が共通点を持つ、というのは(1)と同じように条件を求めることができます。
No.39357 - 2016/10/04(Tue) 00:38:59
☆ Re: / noname
>y の2次方程式 y^2+y-(k+1)=0

の-1≦y≦1での実数解の個数が2個の場合は，それらに対応する放物線と円の交点の個数は2個か3個か4個のいずれかです．よって，この場合では慎重に議論されるとよいかと思います．なお，放物線と円の交点の個数に関する説明が次のURL先のサイトにて類題を使って解説されています．その解説の図を参考にされるとよいかと思います．

http://examist.jp/mathematics/figure-circle/en-houbutusen/


※本問の場合は放物線と円の交わり方のパターンが幾つかあるため，実際には考えにくいかと思います．そのため，放物線と円の位置関係を図を描くことで調べてみることが大事ではないかと思います．
No.39362 - 2016/10/04(Tue) 03:57:53
☆ Re: / noname
問題の内容を勘違いしておりました．そのため，先程のコメントは無視してください．失礼致しました．
No.39363 - 2016/10/04(Tue) 04:05:57
★ 順列・組み合わせの問題 / ゆうり
こんばんは。いつもお世話になっております。
この問題がわからないので解き方のヒントをください。

平面上に7本の直線がある。そのうち3本だけが互いに平行で、他の直線については、どの2直線も平行でないとする。また、7本の直線のうち、どの3本も1点で交わらないとする。
(1)交点はいくつあるか
(2)三角形はいくつあるか
No.39352 - 2016/10/03(Mon) 17:51:31
☆ Re: 順列・組み合わせの問題 / X
(1)
まず平行である３本の直線を除いた
残りの4本の直線を最初に引き
これらの交点の数を求めることを考えます。
直線が2本だと交点の数は一つ
これに1本直線が増えると交点の数は
既に描かれている直線の数と同じ数
である2個増えます。
更に1本増えると交点の数は…。
従って、平行でない4本でできる
交点の数は…。
更にこれに平行である三本の直線を
引くと、平行でない直線一つに対し
交点が3個増えますので…

(2)
求める個数は
全ての交点から3個の交点を選ぶ組み合わせの数
から
7本の直線の内の1本の上にある全ての交点から
3個の交点を選ぶ組み合わせの数の総和
を引いたものになります。

但し、この問題の場合、互いに平行である3本
の直線上にある交点と、残りの4本の直線上に
ある交点とでは、その個数が異なりますので
注意しましょう。
No.39353 - 2016/10/03(Mon) 18:34:49
☆ Re: 順列・組み合わせの問題 / ゆうり
ご丁寧に教えてくださりありがとうございます。
これで解けたと思います。
少しお聞きしたいのですが、(1)で平行でないほうの直線から考えるのはなぜですか？
No.39355 - 2016/10/03(Mon) 20:01:42
☆ Re: 順列・組み合わせの問題 / X
互いに平行な３本の直線と平行でない１本の直線との交点
と
互いに平行でない２本の直線の交点
とではその性格が異なりますので、
分かりやすくするためです。

平行線3本の上に平行でない直線を1本づつ
加えて交点をカウントしていっても、何も
問題はありません。
(私が上記で提示した方針より少し数えにくい
ですが。)
No.39364 - 2016/10/04(Tue) 04:48:57
☆ Re: 順列・組み合わせの問題 / ゆうり
ありがとうございます。
なるほど、確かに数えにくかったです。
詳しく教えていただき助かりました。
No.39366 - 2016/10/04(Tue) 07:36:38
★ (No Subject) / アリス
この問題を教えてください。
128です。
No.39349 - 2016/10/03(Mon) 17:32:42
☆ Re: / X
△ABCの内接円の半径をrとすると、条件から
IP=IQ=IR=2r
∴△PQRについて点Iは外心となります。
No.39354 - 2016/10/03(Mon) 18:39:32
★ 三角関数 / ！(高3)
aは正の整数とする。0≦θ≦π⁄2の範囲の全てのθで、不等式　k(cosθ+a^3sinθ)≧sinθcosθ　が成り立つという。そのような数kの最小値を求めよ

という問題で、答えは　{1/√(a^3)}^3　なのですが、どうしてこの結果になるのかわからないので、どうか教えていただきたいです
No.39347 - 2016/10/03(Mon) 07:40:00
☆ Re: 三角関数 / ！(高3)
すみません、範囲のところのπ・2になってる部分はπ/2です
No.39348 - 2016/10/03(Mon) 07:41:51
☆ Re: 三角関数 / IT
答えがまちがっていると思います。途中　b=a^3 とします。（簡単のためです）

（略解）
求めるk＞0である。またsinxcosx＞0 のときを考えればよい。

任意のx(0≦x≦π/2)について,k(cosx+bsinx)≧sinxcosx
⇔　任意のx(0＜x＜π/2)について,k(cosx+bsinx)≧sinxcosx

　k＞0かつ1/k≦(cosx+bsinx)/sinxcosx＝1/sinx+b/cosx
　1/sinx+b/cosx＝f(x)とおく
　f'(x)＝-cosx/(sinx)^2+bsinx/(cosx)^2＝(b(sinx)^3-(cosx)^3)/(sinxcosx)^2
　増減を調べると、asinx=cosx のとき　f(x)は最小値 (√(a^2+1))^3をとる。
　よって,k＞0かつ1/k≦(√(a^2+1))^3　すなわち　k≧1/(√(a^2+1))^3 のとき　
　　任意のx(0≦x≦π/2)について,k(cosx+bsinx)≧sinxcosxとなる

したがって、求めるkの最小値は1/(√(a^2+1))^3

＃逆数にせずに　sinxcosx/(cosx+(a^3)sinx) の増減を調べてもできますね。
No.39350 - 2016/10/03(Mon) 17:44:35
☆ Re: 三角関数 / みずき
>答えは　{1/√(a^3)}^3　なのですが

問題が正しいなら答えが正しく書かれていないと思います。
答えが正しいなら問題が正しく書かれていないと思います。
（私の間違いでしたらすみません）
No.39351 - 2016/10/03(Mon) 17:46:22
☆ Re: 三角関数 / ！(高3)
ごめんなさい、仰るとおり間違ってました……
混乱させるようなことしてごめんなさい
教えてくれてありがとうございました！
No.39408 - 2016/10/06(Thu) 14:56:03
★ よろしくお願いします / sk
「ス」がどうしてもわかりません。
よろしくお願い致します。
No.39344 - 2016/10/02(Sun) 23:03:54
☆ Re: よろしくお願いします / IT
ともに高さは３で、底面の半径が大きい円錐から底面の半径が小さい円錐を除いた立体がx-y平面の上に

ともに高さは１で、底面の半径が大きい円錐から底面の半径が小さい円錐を除いた立体がx-y平面の下に出来ると思います。

各z=0 断面で　ｚ軸から最も近い点と最も遠い点までの距離を調べれば良いのでは。
No.39345 - 2016/10/02(Sun) 23:47:05
★ よろしくお願いします。 / さとし
初めまして。初めての投稿です。
この問題の答えが、右下の値になるのですが、符号の方向がイマイチ分かりません。よろしくお願いします。
No.39333 - 2016/10/02(Sun) 14:35:39
☆ Re: よろしくお願いします。 / noname
[問題]
放物線y＝2x^2+4kx+k+6がx軸と異なる2点で交わるとき，定数kのとり得る値の範囲を求めなさい．

という問題に対して，その考え方の流れが

[考え方の流れ]
?@「放物線がx軸と異なる2点で交わる」
⇔「2次方程式2x^2+4kx+k+6＝0が異なる2つの実数解を持つ」
⇔「(判別式)/4＞0が成り立つ」

という言いかえにより，(判別式)/4＞0を解けばよい．
?A(判別式)/4を計算すると，

(判別式)/4
＝4k^2-2(k+6)
＝4(k^2-k/2-3)
＝4(k+3/2)(k-2).
?B2次不等式(k+3/2)(k-2)＞0を解けばよい．これの解は

k＜-3/2,2＜k.

の様になるのですが，これら?@,?A,?Bのうちどれ(の一部)が理解できていないですか？
No.39341 - 2016/10/02(Sun) 18:21:12
★ (No Subject) / ふみ
こんにちは。
写真の41番の問題なのですが、
解答で疑問に思うところがあったので、解説をお願いしたいです
No.39325 - 2016/10/02(Sun) 13:32:22
☆ (No Subject) / ふみ
解答の写真1枚めです
No.39326 - 2016/10/02(Sun) 13:33:42
☆ Re: / ふみ
解答の写真2枚めです

41（2）なのですが、
x+2が一次であるということは、最初からわかっていることではないでしょうか？
なぜ、写真1枚めのような説明を書く必要があるのかわかりません。
2枚めからの説明だけではだめなのですか？
No.39327 - 2016/10/02(Sun) 13:38:29
☆ Re: / ＿
>なぜ

「g(x)が(x+2)を因数に持つとき、g(x)とf(x)の共通因数が2次でない」ことを確認するためです。

それを「(x+2)が2次式でない」ことを確認するため、と誤解しています。言うまでもなく1次式です。


＃どうでもいいですがその下の42番はいい問題ですね。
No.39329 - 2016/10/02(Sun) 13:45:56
☆ Re: / IT
> x+2が一次であるということは、最初からわかっていることではないでしょうか？
そのとおりです。

> なぜ、写真1枚めのような説明を書く必要があるのかわかりません。
> 2枚めからの説明だけではだめなのですか？
f(x)とg(x)の共通因数が(x+2)(x-α) となるかも知れないからです。
No.39330 - 2016/10/02(Sun) 13:46:19
☆ Re: / noname
解説では，次の2つ

?@共通因数である2次式がx-2で割り切れる場合
?A共通因数である2次式がx-2では割り切れない場合

で場合分けをしています．?@においては，少なくともf,gがx-2で割り切れることが必要なので，f.gがx-2で割り切れると仮定した場合での議論が行われています．その結果，問題文の条件に適さないことが導かれたため，?Aの場合を考えることになり，この場合ではfの因数分解の形からx^2+ax-3a^2がf,gの共通因数でなければならないということになります(方程式x^2+ax-3a^2＝0はx＝2を解に持たないから)．
No.39331 - 2016/10/02(Sun) 13:51:00
☆ Re: / noname
先程のコメントで誤植がみられたため，訂正を与えておきます．失礼致しました．


[訂正]
・「x-2」と書かれている箇所全ては誤りであり，これらを全て「x+2」に読み替えてください．
・「x＝2を解に持たないから」の部分を「x＝-2は解に持たないから」に読み替えてください．
No.39332 - 2016/10/02(Sun) 14:16:52
☆ Re: / ふみ
なるほど！すっきりしました！
皆様、わかりやすい説明ありがとうごさいました。
No.39335 - 2016/10/02(Sun) 15:34:20
☆ Re: / ふみ
あ、すいません、今読み直してて疑問に思ったんですが、
f(x)は(x+2)(x^2+ax-a^2)としか因数分解できないですよね？
なのに、(x+2)(x-a)といった因数をもつ場合があるってどういうことですか……？
No.39336 - 2016/10/02(Sun) 15:49:10
☆ Re: / ふみ
すいません、a^2の前に3が抜けてました
No.39337 - 2016/10/02(Sun) 15:50:43
☆ Re: / IT
> f(x)は(x+2)(x^2+ax-3a^2)としか因数分解できないですよね？
> なのに、(x+2)(x-a)といった因数をもつ場合があるってどういうことですか……？
(x+2)(x-a) ではなくて　(x+2)(x-α) "α"：アルファです。

f(x)=0の-2 以外の解をα、βとすると
f(x)=(x+2)(x-α)(x-β) と因数分解できます。
No.39338 - 2016/10/02(Sun) 16:24:23
☆ Re: / ふみ
理解できました！ありがとうございます。
No.39339 - 2016/10/02(Sun) 16:27:35
☆ Re: / noname
なお，fの因数分解については，次の様に行っても構いません：

f(x)＝x^3+ax^2+2x^2-3a^2x+2ax-6a^2
＝(-3x-6)a^2+(x^2+2x)a+x^3+2x^2
＝-3(x+2)a^2+x(x+2)a+x^2(x+2)
＝(x+2)(-3a^2+xa+x^2)
＝(x+2)(x^2+ax-3a^2).
No.39340 - 2016/10/02(Sun) 18:08:19
☆ Re: / ふみ
わざわざありがとうございます！
勉強になりました(^^)
No.39342 - 2016/10/02(Sun) 18:26:36
★ 積分 / おまる
いつもお世話になっております。
解答でわからないところがあるので教えて欲しいです。
次の問題の⑶で、0≦t<√3/2の時の図で、PRとSQが通過する範囲を考えていますが、PQやRSの通過範囲が退けられているのは何故ですか？
図を見ただけでは分かりにくいので、よろしくお願いします。
No.39317 - 2016/10/02(Sun) 00:58:34
☆ Re: 積分 / angel
問題文で「円筒」と書かれていますが、これは「円柱」とは違います。円柱から底面を抜いたものです。
また、C の式から分かる通り、円柱の内側の部分もなく空です。

なので、円柱の底面に相当する PQ, RS は含まれません。
No.39320 - 2016/10/02(Sun) 01:23:15
☆ Re: 積分 / おまる
ご回答ありがとうございました。
円柱と円筒の違いが初めてわかりました。
No.39328 - 2016/10/02(Sun) 13:44:25
★ (No Subject) / ゆい
緑線部のcosπ/nの変形（sin^2+cos^2=1を利用しているっぽいのは分かるのですが、sinの出し方が分かりません）と、赤線部の√内の計算が分かりません。
青線部は今、理解できたので大丈夫です。
よろしくお願いします。
No.39314 - 2016/10/02(Sun) 00:07:13
☆ Re: / ゆい
続きです
No.39315 - 2016/10/02(Sun) 00:07:38
☆ Re: / ゆい
一応問題です
No.39316 - 2016/10/02(Sun) 00:08:02
☆ Re: / angel
緑の部分は cos の倍角

　cos2θ=(cosθ)^2-(sinθ)^2=1-2(sinθ)^2

です。今回は、その θ=π/2n の時のもの、と見てください。

赤線部分に関しては、添付の数式のような変形を行っています。
No.39318 - 2016/10/02(Sun) 01:11:21
☆ Re: / noname
まずは緑線部における疑問に関してですが，cos(π/n)の1-2sin^2(π/(2n))への変形については2倍角の公式が用いられています．この変形を丁寧に書くと，

cos(π/n)
＝cos(2・π/(2n))
＝1-2sin^2(π/(2n))

となります．次に，赤線部における疑問に関してですが，lim_[θ→0]sinθ/θ＝1の極限を利用するために赤線部にある様な変形がなされています．つまり，sin^2(π/(2n))の部分をsin^2(π/(2n))/(π/(2n))^2の形にしたいわけですが，この式は

sin^2(π/(2n))/(π/(2n))^2
＝4n^2/π^2・sin^2(π/(2n))

となるため，そのまま書きかえようとすると1/π^2という余分なものがくっついてきてしまいます．そういったことが起こらないようにするために1/π^2の逆数のπ^2が変形後の式の中に書かれているのです．今言ったことを数式のみで説明するならば，

4n^2(1+1/n)sin^2(π/(2n))
＝4n^2/π^2・π^2・(1+1/n)sin^2(π/(2n))
＝π^2(1+1/n)・4n^2/π^2・sin^2(π/(2n))
＝π^2(1+1/n)・sin^2(π/(2n))/(π/(2n))^2

ということをしているということです．
No.39319 - 2016/10/02(Sun) 01:18:15
☆ Re: / noname
本問は，2007年度に東大の(理系)入試問題で第2問として出題されたものですね．問題を一言で言ってしまえば，「対数螺旋(等角螺旋)r＝e^{θ/π}(0≦θ≦π)の長さを，その近似である折れ線の長さの極限で求めよ」ということです．もし曲線の長さの公式を知っていれば，この曲線上の点(x,y)を(e^{θ/π}cosθ,e^{θ/π}sinθ)と表した後に，

∫_[0,π]√((dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2)dθ
＝√(1+1/π^2)∫_[0,π]e^{θ/π}dθ
＝(e-1)√(π^2+1)

の様に求めることが出来ます．
No.39321 - 2016/10/02(Sun) 01:36:53
☆ Re: / noname
>「対数螺旋(等角螺旋)r＝e^{θ/π}(0≦θ≦π)の長さを，その近似である折れ線の長さの極限で求めよ」

と申しましたが，本問では区分求積法による図形の面積計算と似たようなことを曲線の求長において行っているということです．
No.39323 - 2016/10/02(Sun) 03:37:41
☆ Re: / ゆい
返事遅れてすみません、とても詳しく説明してくださってありがとうございます…！
分かりやすくて感動しました！
問題集に東大って書いてあるだけでビビっちゃいます笑
No.39346 - 2016/10/03(Mon) 02:04:53
★ 数3 軌跡の極方程式の問題です。 / しょうた
点A(a.0)を中心とする半径がaの円がある。この円上の任意の点Ｐと極Oを結ぶ線分OPを一辺とする正方形OPQRを作る。この時、点Qの軌跡の極方程式を求めよ。

この答えが
r＝2√2a cos(θ＋45) または r＝2√2a cos(θ−45)
となっていますが、角度の部分でなぜ (θ＋45) が成り立つのか分かりません。

写真の上の図だけでなく下の図のように正方形を考えてあげれば納得できるのですが、図形を定義する時は角度を考慮して反時計回り周りに考えるのかと思っています。(ORQPになってしまう？) 別の考え方があるのかと思い質問しました。よろしくお願いします。
No.39311 - 2016/10/01(Sat) 13:06:41
☆ Re: 数3 軌跡の極方程式の問題です。 / angel
> 写真の上の図だけでなく下の図のように正方形を考えてあげれば納得できるのですが、図形を定義する時は角度を考慮して反時計回り周りに考えるのかと思っています。(ORQPになってしまう？)

問題文で、OPQRの順が時計回りとも反時計回りとも指定されていないのであれば、両方考える必要があります。

答えが
> r＝2√2a cos(θ＋45) または r＝2√2a cos(θ−45)
と「または」が入っているのはそのためでしょう。

なお、添付の図で紫の円が r=2√2・a・cos(θ+45°)、青の円が r=2√2・a・cos(θ-45°) に対応します。
No.39312 - 2016/10/01(Sat) 14:44:59
★ (No Subject) / アカシロトモ
こんばんは、下の問題(2)について教えてください。
(1)については、z=cos2θ+i sin2θと置いて、r=2sinθ
と求めることができましたが、（2）が分かりません。
（1）を誘導としてどのように用いるのでしょうか。
いつもご迷惑をおかけいたしますがよろしくお願いします。

問題
(1)　絶対値が1で偏角が2θ(0<θ<π) である複素数z
に対して|1-z|=r と 置くとき,sinθをr を用いて表せ。
（2）sin(π/5) sin(2π/5) sin(3π/5 )sin(4π/5) の値を求めよ。

No.39303 - 2016/09/30(Fri) 18:54:28
☆ Re: / IT
ヒント
絶対値が1で偏角が2π/5 である複素数をαとすると
(1)より,sin(π/5)=|1-α|/2,sin(2π/5)=|1-α^2|/2,sin(3π/5)=|1-α^3|/2,sin(4π/5)=|1-α^4|/2　
よって,sin(π/5) sin(2π/5) sin(3π/5)sin(4π/5) ＝|1-α||1-α^2||1-α^3||1-α^4|/16

一方
x^5-1=(x-1)(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)
x^4+x^3+x^2+x+1=(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)
x=1とおくと5=(1-α)(1-α^2)(1-α^3)(1-α^4)
No.39304 - 2016/09/30(Fri) 21:24:56
☆ Re: / angel
なるほど…。初めて見ましたが、かっちょいいですねコレ。

sin(π/5)=sin(4π/5), sin(2π/5)=sin(3π/5) と同じ値になるものなのに、敢えてこう書き分けているのに意味があるものと信じてみましょう。

|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=1, arg(z1)=2π/5, arg(z2)=4π/5, arg(z3)=6π/5, arg(z4)=8π/5 とするとき、
(1) の結果から、

　　sin(π/5)sin(2π/5)sin(3π/5)sin(4π/5)
　= 1/16・|1-z1|・|1-z2|・|1-z3|・|1-z4|
　= 1/16・| (1-z1)(1-z2)(1-z3)(1-z4) |

です。これを計算すれば良いです。

取り敢えず z1^5=1, z2=z1^2, z3=z1^3, z4=z1^4 を利用するだけでも計算は何とかなるはずです。
※ただし、あることに気付くと一瞬です。
No.39305 - 2016/09/30(Fri) 21:27:55
☆ Re: / アカシロトモ
IT さん、angel さん

いつも、ありがとうございます。
今から考えます。
No.39306 - 2016/09/30(Fri) 21:40:09
☆ Re: / angel
ごめんなさい。「何とかなるはず」と書きましたけど、ちょっと足りないですね。
まあ、1+z1+z2+z3+z4=0 を利用すれば良いのですが。

ただ、ITさんが既にヒントを出されていますので、それで計算されるのが良いと思います。
No.39307 - 2016/09/30(Fri) 21:41:15
☆ Re: / アカシロトモ
ITさん、angelさん

　詳しいご解説ありがとうございました。
「複素数の積」に対する理解が甘かったために、
ご解説を理解するのに時間がかかりましたが、
おかげさまで理解できました。
毎日、ご指導していただいてとても助かっております。
No.39310 - 2016/09/30(Fri) 22:45:17
★ (No Subject) / あ
数直線上にn個の点ai(i=1,2,…n)がある。
(1) 点xから各点aiへの距離の二乗の和h(x)を最小とするxの値、およびその最小値を求めよ。
(2) 各点aiをpai+qに変えたとき、(1)の答えはどうなるか。
よろしくお願いします。aiのiはaの右下に小さくついてる文字です。
No.39300 - 2016/09/30(Fri) 11:03:55
☆ Re: / ヨッシー
(1)
　Ｓ＝(x−a1)^2＋(x−a2)^2＋・・・＋（x−an)^2＝nx^2−2(a1＋a2＋・・・＋an)x＋(a1^2＋a2^2＋・・・＋an^2)
の最小値なので、
　ｘ＝(a1＋a2＋・・・＋an)/n のとき
最小値
　Ｓ＝(a1^2＋a2^2＋・・・＋an^2)−(a1＋a2＋・・・＋an)^2/n

(2)
bi＝pai+q とおくと、
　ｘ＝(b1＋b2＋・・・＋bn)/n のとき
最小値
　Ｓ＝(b1^2＋b2^2＋・・・＋bn^2)−(b1＋b2＋・・・＋bn)^2/n
となります。p,q,ai を使って表すと
　ｘ＝{(pa1＋q)＋(pa2＋q)＋・・・＋(pan＋q)}/n
　　＝p(a1＋a2＋・・・＋an)/n＋q のとき
最小値
　Ｓ＝{(pa1＋q)^2＋(pa2＋q)^2＋・・・＋(pan＋q)^2}−{(pa1＋q)＋(pa2＋q)＋・・・＋(pan＋q)}^2/n
　　＝p^2(a1^2＋a2^2＋・・・＋an^2)＋2pq(a1＋a2＋・・・＋an)＋nq^2−{p(a1＋a2＋・・・＋an)＋nq}^2/n
　　＝p^2(a1^2＋a2^2＋・・・＋an^2)＋2pq(a1＋a2＋・・・＋an)＋nq^2−p^2(a1＋a2＋・・・＋an)^2/n−2pq(a1＋a2＋・・・＋an)−nq^2
　　＝p^2(a1^2＋a2^2＋・・・＋an^2)−p^2(a1＋a2＋・・・＋an)^2/n
　　＝p^2×((1)の最小値)
となります。
No.39301 - 2016/09/30(Fri) 13:13:57
★ 円周上の点 / 郁奈
こんにちは。教えて頂きたいのですが


原点を中心とする半径rの円と、円周上の点P(Xp, Yp)がある。
X軸上に点Q(Xq, 0)をとり、線分PQとX軸のなす角をθとする時、
線分PQの長さを示せ。但し0<Xq<rとする。


という問題で、原点Oと点Pが作る線分OPと
X軸とのなす角をφとすれば、
φを使ってPQを示せるのですが
r, Xq, θの関数にする事ができません。
どなたか教えて頂けませんでしょうか。
No.39298 - 2016/09/30(Fri) 09:39:31
☆ Re: 円周上の点 / ヨッシー

こういう状況の図が描けると思いますので、余弦定理より
　r^2＝Xp^2＋ＰＱ^2＋2Xp・ＰＱcosθ
から、ＰＱ＝・・・　の形にすれば良いでしょう。

あとは、ＰＱ＞０　になることと、Ｐがどの象限にあっても成り立つかを確認しておきましょう。
No.39299 - 2016/09/30(Fri) 10:58:29
★ (No Subject) / アカシロトモ
今日もよろしくお願いいたします。

下の問題で、
点Aを通りOBと平行な直線の方程式は、
z=α+t 𝛽(𝑡は実数)とおけるので、𝑡＝(z-α)/𝛽
𝑡は実数なので、 (z-α)/𝛽＝＊((z-α)/𝛽 )
（*は共役の意味です)
また、点Bを通りOBに垂直な直線の方程式は、
(z-𝛽)/𝛽=(0または純虚数)
ここから、全く分かりません。教えてください。


問題：複素数平面上に異なる３点O,A(α),B(𝛽) がある。
点Aを通りOBと平行な直線と, 点Bを通りOBに垂直な直線の交点の座標を求めなさい。
No.39291 - 2016/09/29(Thu) 20:01:13
☆ Re: / X
点Bを通りOBに垂直な直線の方程式を
点Aを通りOBと平行な直線の方程式と
同じ形式の表記にしましょう。

点Bを通りOBに垂直な直線の方程式は
z=β+iβu (P)
(uは実数)
これと
z=α+t𝛽
により
α+t𝛽=β+iβu
これより
α/β=(1-t)+iu (A)
よって、例えばzの共役複素数を\z
と書くことにすると、(A)から
複素数相等の定義により
1-t=(1/2)(α/β+\α/\β) (B)
u={1/(2i)}(α/β-\α/\β) (C)
(C)を(P)に代入して
z=β+(β/2)(α/β-\α/\β)
=(1/2)α+(1-(1/2)\α/\β)β
ということで交点に対応する
複素数は
(1/2)α+(1-(1/2)\α/\β)β
です。
No.39292 - 2016/09/29(Thu) 20:42:53
☆ Re: / アカシロトモ
X さん

ありがとうございます。
複素数平面が分かっていないので、
今から、しっかり読ませていただきます。
No.39293 - 2016/09/29(Thu) 20:56:24
☆ Re: / アカシロトモ
X さん

複素数相等の定義により、実部と虚部がそれぞれ
(B),(C)の右辺となるのが分かりません。
また、最後の式：(1/2)α+(1-\α/\β)βで、
\α/\βの前に、(1/2)が付きませんか
初歩的で申し訳ありません。
No.39294 - 2016/09/29(Thu) 22:24:34
☆ Re: / X
＞＞複素数相等の〜分かりません。
実数a,bに対し
z=a+bi (A)
であるとすると
\z=a-bi (B)
(A)+(B)より
z+\z=2a
∴a=(z+\z)/2 (A)'
(A)-(B)より
2bi=z-\z
∴b=(z-\z)/(2i) (B)'
(A)'(B)'を元にもう一度考えてみて下さい。


＞＞また、最後の式〜
ごめんなさい、その通りですね。
No.39292を直接修正しておきました。
No.39295 - 2016/09/29(Thu) 22:26:26
☆ Re: / アカシロトモ
X さん

おかげさまでよく理解できました。
詳しい解説いただきまして、ありがとうございました。
No.39296 - 2016/09/29(Thu) 22:43:07
★ 指数を含む関数 / ぺんぎん
関数についてお願いします。

画像の関数のxが0,１,２,３,４のときの値は
f(0)=1
f(1)=10
f(2)=100
f(3)=1000
f(4)=10000 であっていますか？
片対数グラフを書きたいのです。
お願いします。
No.39281 - 2016/09/29(Thu) 14:34:40
☆ Re: 指数を含む関数 / noname
どれも正しくないです．x＝0,2,4の時は

f(0)＝2×10^0＝2,
f(2)＝2×10^1＝20,
f(4)＝2×10^2＝200

であり，x＝1,3の時は

f(1)＝2×10^{1/2}＝2√10,
f(3)＝2×10^{3/2}＝2×10√10＝20√10

の様になります．よって，f(0),f(2),f(4)は整数ですが，f(1),f(3)は無理数となっています．
No.39283 - 2016/09/29(Thu) 14:53:01
☆ Re: 指数を含む関数 / noname
片対数グラフを作成するのであれば，対数目盛りの軸を縦軸と横軸のどちらにするのかとか対数の底の値をどうするのかなどが不明確なので正確には答えられませんが，例えば対数目盛の軸を縦軸にして対数の底を10とする場合はf(0),f(1),f(2),f(3),f(4)の値の常用対数の値を縦軸にとって考えればよいということになります．
No.39284 - 2016/09/29(Thu) 15:02:49
★ 大学での積分の問題 / yanagi
お世話になります。
情けない話なのですが画像の３番と４番の問題が全く分かりません。
ご教授いただければ幸いです。
よろしくお願いします。
No.39275 - 2016/09/29(Thu) 05:22:03
☆ Re: 大学での積分の問題 / noname
どちらも易しめの問題なので，以下にヒントを与えておきます．


[ヒント]
３.-π/2以上π/2未満の範囲での主値で考えるとArctan(1)＝π/4であるから，

F(1)＝∫_[π/4,π/4]e^{tan^2(t)}dt＝….

また，微分積分学の基本定理から，

F'(x)＝exp((tan(Arctan(x)))^2)＝….
４.積分区間e^{-1}≦x≦eをe^{-1}≦x≦1,1≦x≦eの2つに分けて定積分を計算すればよい．その際に，

d/dx((1+In(x))^{-1})＝-(1+In(x))^{-2},
d/dx((1-In(x))^{-1})＝(1-In(x))^{-2}

であることに注意するとよい．或いは，積分計算の際にu＝In(t)の様に変数変換を行って考えてもよい．
No.39280 - 2016/09/29(Thu) 13:44:44
★ (No Subject) / ゆい
何度も質問すみません、(3)の赤線部、
P_nP_(n+1)=√1+(-1/2)^2|x_(n+1)-x_n|になる理由と、
√5/2|(-1/2)^(n-1)-(-1/2)^n|=(3√5)/4(1/2)^(n-1)の計算が分かりません。
よろしくお願いします。
No.39266 - 2016/09/29(Thu) 01:17:26
☆ Re: / ゆい
問題です。
No.39267 - 2016/09/29(Thu) 01:17:53
☆ Re: / noname
点列{P_[n]}の定義より，P_[n]とP_[n+1]の座標はそれぞれ

P_[n](x_[n],f(x_[n]))，P_[n+1](x_[n+1],f(x_[n+1]))

となります．ここで，

f(x_[n+1])-f(x_[n])
＝(-1/2・x_[n+1]+3)-(-1/2・x_[n]+3)
＝-1/2・x_[n+1]+1/2・x_[n]+3-3
＝-1/2・(x_[n+1]-x_[n])

であるから，この式と2点間の距離の式より

P_[n]P_[n+1]
＝√((x_[n+1]-x_[n])^2+(f(x_[n+1])-f(x_[n]))^2)
＝√((x_[n+1]-x_[n])^2+{-1/2・(x_[n+1]-x_[n])}^2)
＝√((x_[n+1]-x_[n])^2+(-1/2)^2・(x_[n+1]-x_[n])^2)
＝√({1+(-1/2)^2}・(x_[n+1]-x_[n])^2)
＝√(1+(-1/2)^2)・|x_[n+1]-x_[n]|
＝√(5/4)・|{2-(-1/2)^n}-{2-(-1/2)^{n-1}}|
＝√5/2・|-(-1/2)^n+(-1/2)^{n-1}+2-2|
＝√5/2・|-(-1/2)^n+(-1/2)^{n-1}|
＝√5/2・|(-1/2)^{n-1}-(-1/2)^n|
＝√5/2・|(-1/2)^{n-1}・{1-(-1/2)}|
＝√5/2・|(-1/2)^{n-1}・3/2|
＝√5/2・|(-1/2)^{n-1}|・|3/2|
＝√5/2・|-1/2|^{n-1}・3/2
＝3√5/4・(1/2)^{n-1}

の様に変形することが出来ます．赤線の部分ではこの一連の過程が簡潔に書かれているということでしょうね．
No.39269 - 2016/09/29(Thu) 01:35:07
☆ Re: / noname
上のコメントでのP_[n]P_[n+1]の式の変形では使われる行数が多くて時間のかかる様なことがされている様に見えますが，実際にはもう少し計算過程を端折ることが出来ます．ただ，念の為を考え，あえて上の様な細々とした計算過程をコメントに与えておきました．
No.39270 - 2016/09/29(Thu) 01:37:28
☆ Re: / ゆい
できました…
本当にありがとうございます
No.39289 - 2016/09/29(Thu) 18:24:32
★ (No Subject) / ゆい
分からないことだらけで申し訳ないのですが…
赤線部の√内の数字がどこからきているのか
緑線部のl_nの求め方
青線部の2になる理由
が分かりません
よろしくお願いします。
No.39264 - 2016/09/29(Thu) 00:38:27
☆ Re: / ゆい
問題です。
No.39265 - 2016/09/29(Thu) 00:39:11
☆ Re: / mo
概略です

赤線部分について
Ｐnの座標を求めて
　x座標が、2n/(n＋1)
　y座標が、1/(n＋1)
三平方の定理を使いＯＰnを求めています

青線部分について
出だしの正弦定理を用いた式の
　両辺に、sinθn　をかけ
ＡＰn＝{(ＯＰn)/(sin∠ＯＡＢ)}(sinθn)
ＡＰn＝(1/sin∠ＯＡＢ)(ＯＰn)(sinθn)
　これに
?@ＡＰn＝Ｌn
?Asin∠ＯＡＢ＝1/√5→1/sin∠ＯＡＢ＝√5
?BＯＰ＝{√(4n^2＋1)}/{n＋1}
　を代入し、青線部分になります。

補足
Ｐnの座標
Ｐnから、y軸，x軸に下した垂線の足をＱ，Ｒとし
△ＡＢＯ∽△ＰnＢＱ、相似比(n＋1)：n　から
　ＱＰn＝2n/(n＋1)…Ｐnのx座標
△ＡＢＯ∽△ＡＰnＲ、相似比(n＋1)：1　から
　ＲＰn＝1/(n＋1)…Ｐnのy座標
No.39271 - 2016/09/29(Thu) 01:49:22
☆ Re: / noname
疑問点が複数個あるため，以下にそれぞれに対するヒントを与えておきます．それらをご参考の上一度考えてみてください．


[ヒント]
?@赤色の下線部の疑問に対して
→問題文よりP_[n]とは線分ABを1：nに内分する様な点である．よって，P_[n]のx座標とy座標をx_[n],y_[n]とすると，線分の内分点の座標の式より

x_[n]＝(2・n+0・1)/(n+1)＝2n/(n+1),
y_[n]＝(0・n+1・1)/(n+1)＝1/(n+1).

この時，2点間の距離の式を用いてOP_[n]の長さを計算してみよ．
?A緑色の下線部の疑問に対して
→正弦定理より

AP_[n]/sinθ_[n]＝OP_[n]/sin∠OAB.
∴AP_[n]＝OP_[n]・1/sin∠OAB・sinθ_[n].…(a)

ところで，直角三角形OABにおいて三平方の定理よりAB＝√5であるから，

sin∠OAB＝OB/AB＝1/√5.
∴1/sin∠OAB＝√5.…(b)

よって，(b)とOP_[n]の計算結果を用いれば，

l_[n]＝AP_[n]＝OP_[n]・1/sin∠OAB・sinθ_[n]＝….
?B青色の下線部の疑問に対して
→極限の計算の仕方から，

lim_[n→∞]l_[n]/θ_[n]
＝lim_[n→∞](√5・√(4n^2+1)/(n+1)・sinθ_[n]/θ_[n])
＝√5・(lim_[n→∞]√(4n^2+1)/(n+1))・(lim_[n→∞]sinθ_[n]/θ_[n]).

ここで，極限

lim_[n→∞]√(4n^2+1)/(n+1)，lim_[n→∞]sinθ_[n]/θ_[n]

の値を計算してみよ．
No.39272 - 2016/09/29(Thu) 02:04:12
☆ Re: / ゆい
できましたー
ありがとうございました！
No.39288 - 2016/09/29(Thu) 18:07:37
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