ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 順列 / りな

区別のつかない3つの箱と区別のつかない6ｎ個の玉がある。
玉を箱に入れるとき、3つの箱に入る玉の数がそれぞれ異なる入れ方は何通りあるか。ただし一つも入らない箱があってもよいとする。

3つの箱に入る個数に条件がない場合から3つの箱に入る個数がすべて同じ場合(1通り)、2箱同じ個数が入る場合を引けばいいのかと考えたのですが、条件がない場合と2箱同じ個数が入る場合の数の求め方がわからないです。方針からして違うのかもしれません。
よろしくお願いします。

No.38999 - 2016/09/21(Wed) 06:57:37

☆ Re: 順列 / IT

n=1の場合（６個の玉の場合）を考えます。

(１) まず３つの箱を区別して考えると
玉の入れ方は,　○｜○○○｜○○のように　区切り｜を２つ入れる場所の選び方と対応するので　8C2=28通り

このうち
・3つの箱に入る個数がすべて同じ場合は,全部2個の１通り

・ちょうど2箱に同じ個数が入る場合は、同じ個数が0,1,3の３通りで,箱の選び方が３通りなので,３×３＝９通り

よって、
・3つの箱に入る玉の数がそれぞれ異なる入れ方は、２８-１-９＝１８通り

(２）箱の区別をなくすため　３！で割って,　求める場合の数は　18/3!=3 通り。
----------------------------------------------------------

# 具体的に数え上げて確認すると、たしかに　(5,1,0)(4,2,0)(3,2,1)の３とおり。
#　一般のｎについても同様に出来ると思いますのでご自分でやってみてください。

No.39009 - 2016/09/21(Wed) 18:23:13

☆ Re: 順列 / IT

（別の考え方）
各箱の玉の個数を　a＜b＜c として
a=2n-1,2n-2,・・・,2n-i,・・・,2n-2nの各場合について
a=2n-i個をb,c にも入れて、残りの3i個の玉をb,cに配分することを考えると

i=1のとき3i=3個のうち bに追加配分するのは1個の1通り
i=2のとき3i=6個のうち　bに追加配分するのは1～2個の2通り
i=3のとき3i=9個のうち　bに追加配分するのは1～4個の4通り
i=4のとき3i=12個のうち bに追加配分するのは1～5個の5通り
i=5のとき3i=15個のうち bに追加配分するのは1～7個の7通り
i=6のとき3i=18個のうち bに追加配分するのは1～8個の8通り
・・・・

例えば
n=1のとき　1+2=3 通り。
n=2のとき 1+2+4+5=12 通り。
n=3のとき　1+2+4+5+7+8=27 通り。

No.39011 - 2016/09/21(Wed) 19:10:30

★ 図形と方程式 / か

Xy平面上の遠足C1:X^2＋y^2=5上の点(1.2)におけるC1の接線をlとする
またlは円C2:(x-t)^2＋(y-1)^2=10にも接しておりt＞3とする
(1)lの方程式を求めよまたtの値を求めよ
(2)lとC2の接点Pの座標を求めよ
(3)円C2の外側にあって円C2とlおよびx軸で囲まれる図形の面積を求めよ

⑴ y=-1/2x+5/2 t=5√2+3
⑵ P(4√2+3.-2√2+1)
まで出しました。
お願いします。

No.38981 - 2016/09/19(Mon) 11:37:24

☆ Re: 図形と方程式 / X

添付した図で考えます。
(見やすくするため、x軸を右上がりで
引いていますので注意して下さい。
又、点Tは円C[2]の中心です。)

問題の図形はこの図での図形PQUですので
求める面積をSとすると
S=(△PQRの面積)-(図形PRUの面積)
=(△PQRの面積)-{(扇形PTUの面積)+(△RTUの面積)}
ということで
△PQR,△RTU,扇形PTUの面積
を求めるわけですが、ここで問題となるのは
(i)点Rの座標
(ii)扇形PTUの中心角
です。
(i)について。
これは直線QTが円C[2]の中心を通る
直線lの垂線であることからその方程式
が求められますので、それにy=0を
代入します。
(ii)について。
P,Uの座標から辺UPの長さを、
円C[2]の半径から辺PT,TUの長さを
それぞれ求めて、△PTUにおいて
余弦定理から
cos∠PTU(つまり扇形の中心角の余弦)
の値を求めます。
計算を進めれば
∠PTU=30°
となることが分かります。

ということで、まずは点P,Q,R,T,Uの座標を
求める必要があります。
これらの点の座標で求め方が分からない
ようであれば、その旨をアップして下さい。

No.38986 - 2016/09/19(Mon) 16:00:19

★ 中3 平面図形 / 塾なし受験生

この問題の解説の「IG//AB JH//CDとなる線を引く。…IG=1cm …
JH=2cm」というところまではわかるのですが、その次の「よってEF:IG=HF:HGよりx:1=2:(2+1) x=2/3」となる理由がわかりません。こうなる理由を教えてください。

No.38980 - 2016/09/19(Mon) 07:37:51

☆ Re: 中3 平面図形 / noname

三角形IEGと三角形HEJは相似であり，その相似比はIG：HJ＝1：2より1：2となります．よって，IE：HE＝1：2が成立します．今度は三角形IHGと三角形EHFについて考えると，直線IGと直線EFは平行なので，EF：IG＝HE：IH(…?@)が成立します．ところで，いまIE：HE＝1：2であったため，HE：IH＝2：(2+1)＝2：3となります．ゆえに，?@よりx：1＝2：3が成立します．

No.38982 - 2016/09/19(Mon) 14:28:44

☆ Re: 中3 平面図形 / noname

補足ですが，次の公式を知っていればより簡単にxの値を求めることが出来ます．

[公式]
平面上に異なる4点A,B,C,Dがあり，直線ABと直線CDは互いに平行である．ただし，直線CD上において，Cは点Aに近い側にあり，Dは点Bに近い側にあるものとする．また，線分ADと線分BCの交点をEとする．さらに，線分BD上の点Fを，直線ABと直線EFが互いに平行である様にとる．AB＝xcm,CD＝ycmとする時，EF＝xy/(x+y)cmである．

実際，IG＝1cm,JH＝2cmという情報から，

EF＝1・2/(1+2)＝2/3(cm)

の様に計算することが出来ます．．

No.38983 - 2016/09/19(Mon) 14:38:12

☆ Re: 中3 平面図形 / 塾なし受験生　中三

わかりやすい解説ありがとうございます！公式使えば簡単ですね！

No.38987 - 2016/09/19(Mon) 16:25:38

★ (No Subject) / アイス

この問題はただ3つの平均値を足して3で割るだけでいいと思うのですが、なぜ、それぞれの人数が提示してあるのでしょうか？単なるひっかけですか？

No.38975 - 2016/09/18(Sun) 16:39:48

☆ Re: / ＿

その計算方法だと、たとえばA組の人数が1人、B組の人数も1人、C組の人数が100000000000人とかの場合でも全体の平均値が74.66666…(=(75+77+72)/3)ということになるわけですが、そこに違和感は感じませんか？

No.38976 - 2016/09/18(Sun) 16:47:07

☆ Re: / angel

ここで言ってる「平均値」は相加平均で、

　(全員の値の合計)÷(人数)

なんですね。A組の平均75というのは、

　(A組全員の値の合計)÷(A組の人数)=75

ということです。

では、A,B,C組全体の平均は?

　(A,B,C組全員の値の合計)÷(A,B,C組の人数の合計)

であって、「平均値の合計÷組数」ではないんですね。

No.38978 - 2016/09/18(Sun) 22:41:27

★ (No Subject) / ユー

この問題ってどうやって考えれば良いでしょうか？

No.38963 - 2016/09/17(Sat) 14:16:21

☆ Re: / noname

(1),(2)は同様な問題なので，特に(1)のみを解説します．3個のサイコロの出る目をそれぞれa,b,cとする時，それらの組(a,b,c)であって

?@a+b＝5である様な組
?Ab+c＝5である様な組
?Bc+a＝5である様な組

をそれぞれ求めてみてください．後は?@,?A,?Bの組たちのうち異なるものを全て数え上げると「3個のうちいずれか2個のサイコロの目の和が5になる」様な場合の数が分かります．ここまでできれば求めるべき確率を計算することが出来るでしょう((2)も同様に考えれば解ける筈です)．

一方，(3)については，「どの2個のサイコロの目の和も5の倍数ではない」という事象の余事象が「ある2個のサイコロの目の和が5の倍数(つまり，5か10)である」という事象であり，この事象の起こり得る確率は(1),(2)の確率の和で計算できます．これを全事象の確率1から引けば求める確率を計算することが出来ます．

No.38964 - 2016/09/17(Sat) 14:45:08

☆ Re: / ヨッシー

サイコロをＸ，Ｙ，Ｚとします。
目の出方は全部で６^3＝216(通り) です。
(1)
ＸとＹとで５になる場合の数をＡ
ＹとＺとで５になる場合の数をＢ
ＺとＸとで５になる場合の数をＣ
ＸとＹ、ＹとＺが５になる場合の数をＤ
ＹとＺ、ＺとＸが５になる場合の数をＥ
ＺとＸ、ＸとＹが５になる場合の数をＦ
Ａ＋Ｂ＋Ｃ－Ｄ－Ｅ－Ｆがいずれか２個のサイコロの目が
５になる場合の数です。
216 で割れば確率になります。

(2) も同様に考えて良いですが、
数が少ないので、(1) のＡ，Ｂ，Ｃを求める部分は同じとして、
Ｄ，Ｅ，Ｆを計算で出す代わりに、
(X,Y,Z)＝(4,6,6),(6,4,6),(6,6,4),(6,4,4),(4,6,4)(4,4,6)
が２つずつ、
(X,Y,Z)＝(5,5,5) が３つ重複しているので、
Ａ＋Ｂ＋Ｃから８を引きます。

(3) 余事象で考えます。つまり、５の倍数となる組が１つでも含まれている場合の数を216から引きます。
５の倍数となる組が１つでも含まれている場合の数は
(1) の時の場合の数と、(2) の時の場合の数の和から、
重複している、(1,4,6) およびこれを並べ替えた計６通りを引きます。

No.38965 - 2016/09/17(Sat) 14:52:35

☆ Re: / ユー

答えは⑴5/18⑵23/108⑶29/54
で合ってますか？

No.38966 - 2016/09/17(Sat) 15:01:33

☆ Re: / ヨッシー

ＯＫです。

No.38967 - 2016/09/17(Sat) 15:31:11

★ 焼きそばについて。一次不等式について。 / コルム

焼きそばの模擬店を開くことになった。ただしガスボンベと材料費は自腹とする。A案とB案が相談し,C案はしゅってんしないということです。それで、A案よりもB案が儲かるような範囲を決めてほしいのです。答えがB案で、答えが、50以上200以下でつくっていただけると幸いです。教えていただけないでしょうか。意味不明なところがありましたら教えていただけないでしょうか。本当にすみません。

No.38959 - 2016/09/17(Sat) 13:24:38

☆ Re: 焼きそばについて。一次不等式について。 / コルム

材料費は50円で、ガスボンベだいは10000円でお願いします。

No.38960 - 2016/09/17(Sat) 13:26:19

☆ Re: 焼きそばについて。一次不等式について。 / コルム

ガスボンベは1つにつきです。本当にすみません。

No.38961 - 2016/09/17(Sat) 13:27:06

☆ Re: 焼きそばについて。一次不等式について。 / コルム

xは焼きそばの個数です。

No.38962 - 2016/09/17(Sat) 13:30:02

★ (No Subject) / アイス

画像の問題なんですが、
・なぜ、y'=4x^3-4x＋1より、とする必要があるのですか？
・シャーペンで引いてあるところがなぜ=になるか分からないのと、その下の計算もなぜそうなるか分かりません。

No.38954 - 2016/09/17(Sat) 09:39:41

☆ Re: / ヨッシー

接点(a, a^4－2a^2＋a＋2) における接線とは、
点(a, a^4－2a^2＋a＋2) を通り、傾き 4a^3－4a＋1 の直線です。

傾き 4a^3－4a＋1 を出すために、微分して、
　ｙ'＝4x^3－4x＋1
を求めています。

これらを、中学の時に習った、点(x1, y1) を通り、傾きｋの直線の式
　ｙ－ｙ1＝ｋ(ｘ－ｘ1)
に代入したものが、下線を引いた式です。
それをｘについて降べきの順に並べ直したのが、その下の式です。

No.38955 - 2016/09/17(Sat) 10:17:58

☆ Re: / angel

うーん解答としては、文のつながりが悪い、よろしくないものですね。
式を羅列するのが解答ではないので…。
※極端ですが、私が解答書くとき、個々の計算の途中経過はほとんど省略してましたからね…。

No.38956 - 2016/09/17(Sat) 10:32:32

☆ Re: / アイス

何度質問してすみません。
シャーペンで囲ってあるところがよく分かりません。

No.38957 - 2016/09/17(Sat) 12:27:06

☆ Re: / ヨッシー

　x^4－2x^2－(4a^3－4a)x＋3a^4－2a^2＝0 ・・・(i)
の左辺に x=a を代入すると０になるので、
左辺は (x-a) がくくり出せて、
　((i)の左辺)＝(x-a)(x^3＋ax^2＋(a^2－2)x－3a^2＋2a)
x^3＋ax^2＋(a^2－2)x－3a^2＋2a に x=a を代入すると０になるので、
さらに (x-a) がくくり出せて
　((i)の左辺)＝(x-a)^2(x^2＋2ax＋3a^2－2)
となります。

No.38958 - 2016/09/17(Sat) 12:50:07

☆ Re: / アイス

なぜ、x-aがくくり出せるのですか？
あと、(x-a)(x^3＋ax^2～)となるのはなぜですか？

No.38968 - 2016/09/17(Sat) 18:21:20

☆ Re: / angel

ヨッシーさん本人ではないですが

> なぜ、x-aがくくり出せるのですか？

このように理由が書いてありますね。

> 左辺に x=a を代入すると０になるので、左辺は (x-a) がくくり出せて、

ピンと来ない場合は、「剰余の定理」を復習しましょう。
http://mathtrain.jp/joyonoteiri

> (x-a)(x^3＋ax^2～)となるのはなぜですか？

「なぜ」というのは「結果がおかしいのでは?」ということでしょうか? それとも「計算の仕方が分からない」ということでしょうか? (「なぜ」だけだと何を知りたいのか、周りにとって分かり辛いので… )

実は、ヨッシーさんの計算には微妙に誤記があって、

　(x^4-2x^2-(4a^3-4a)x+3a^4-2a^2)
　=(x-a)(x^3+ax^2+(a^2-2)x-3a^3+2a)

が正しいです。
計算方法という意味では、

　(x^4-2x^2-(4a^3-4a)x+3a^4-2a^2)÷(x-a)

という1次式による割り算を行っているので「組立除法」を使うのが楽でしょう。やり方については次を参考に。
http://mathtrain.jp/kumitate

No.38969 - 2016/09/17(Sat) 20:19:27

☆ Re: / アイス

組立除法のやり方は分かりました。わざわざリンクまで貼って頂きありがとうございました。
しかし、今回の問題を組立除法で解くには自分にとってかなりの難題なので、組立除法でどう解くか教えて下さい。

No.38970 - 2016/09/17(Sat) 21:02:01

☆ Re: / angel

手書きなのでちょっと汚いですが、この画像のような感じですね。
ポイントとしては、

* 割る対象の多項式の係数を並べる。飛ばされている x^3 のところは係数 0 と考える。
* ÷(x-a) の計算なので、-a の符号を反転した a がベースになる。
* 下の向きには足し算、右上の向きには×aを繰り返す
* 下の段に現れる数/式が、商の係数の一覧。ただし右端は余り

No.38971 - 2016/09/17(Sat) 22:30:46

☆ Re: / angel

もちろん、こういう筆算でも良いんですが。…でも、やってる計算は結局同じで ( 足し算か引き算の違いはありますが )、組立除法の方がスッキリ書けるんですよね。
※2次式以上での割り算なら、基本は筆算です。

No.38972 - 2016/09/17(Sat) 22:43:15

☆ Re: / アイス

ありがとうございます。やっと理解出来ました。

No.38974 - 2016/09/18(Sun) 10:08:16

★ (No Subject) / 絹豆腐

11.(3)の解説を詳しくお願いします

No.38943 - 2016/09/15(Thu) 19:04:17

☆ Re: / IT

g(x)=√(1+x)とおくと　f(x)=g(g(g(x))) これを合成関数の微分法を２重に使って微分する。

あるいは
f(x)=√(1+√(1+√(1+x)))
２乗すると　f(x)^2=1+√(1+√(1+x)),f(x)^2-1=√(1+√(1+x))
２乗すると f(x)^4-2f(x)^2+1=1+√(1+x)
微分すると　4(f(x)^3)f'(x)-4(f(x))f'(x)=1/(2√(1+x))
したがって　1/f'(x)=8f(x)(f(x)^2-1)√(1+x)
よって　　　1/f'(0)=8√(1+√2)√2

No.38946 - 2016/09/15(Thu) 19:42:46

☆ Re: / 絹豆腐

g(x)=√(1+x)とおくと　f(x)=g(g(g(x))) これを合成関数の微分法を２重に使って微分する
の途中式をお願いします。

No.38948 - 2016/09/15(Thu) 20:48:08

☆ Re: / IT

f’(x)=g’(g(g(x)){g(g(x))}’=g’(g(g(x))g’(g(x))g’(x)

ここにg’(x)=(1/2)(1/√(1+x)),g(0)=1,g(g(0))=√2 などを使い　1/f’(0) を求める。

No.38952 - 2016/09/16(Fri) 20:26:37

★ 極限 / らぐ

lim(x→∞)f(x)=A,lim(x→∞)g(x)=Bのとき
lim(x→∞)f(x)g(x)=AB
というものがありますが,これはA=∞,B=-1のときも成り立ちますか?

No.38932 - 2016/09/14(Wed) 20:29:54

☆ Re: 極限 / angel

まず、∞という数はありませんので「成り立ちません」というより「計算できません」。

ただし、「∞という数を形式的に一つの数として扱う」なら、ある程度の規則性はあります。あくまで本当の数ではなく、数っぽく扱うだけだということに注意してください。

その場合、
　+∞+(実数), +∞-(実数)→+∞
　-∞+(実数), -∞-(実数)→-∞
　+∞×(正の実数), -∞×(負の実数)→+∞ ( ×の代わりに÷でも同様 )
　-∞×(正の実数), +∞×(負の実数)→-∞ ( ×の代わりに÷でも同様 )

今回は、+∞×(-1)の形ということで、-∞に発散、となります。

なお、+∞-(+∞) や +∞×0、+∞÷(+∞) 等々といった形は、形だけからどうなるかは分かりません。実際の式を計算してみないとなんとも言えないのです。

No.38933 - 2016/09/14(Wed) 20:56:00

☆ Re: 極限 / らぐ

分かりやすい説明をありがとうございます.
おかげで理解することができました.

No.38953 - 2016/09/16(Fri) 23:39:20

★ (No Subject) / もぐさ

わかりやすく説明お願いします

No.38930 - 2016/09/14(Wed) 20:00:43

☆ Re: / noname

以下を参考にしてみてください．

[ヒント]
(1)等式の左辺を

mn-2m-4n+10
＝(m-4)(n-2)+2

の様に変形すれば，等式より(m-4)(n-2)＝-2が成立する．これを基に満たすべき組(m,n)について考えればよい．
(2)三角関数の合成を利用して考えてみよ．
(3)2つの正の解をα,βとすると，解と係数の関係から

α+β＝2a,αβ＝-a+6

であり，α＞0かつβ＞0よりα+β＞0かつαβ＞0でなければならない．このことと上の2つの式を用いて満たすべきaの範囲を考えてみよ．
(4)放物線の焦点の座標と準線の方程式の公式を用いよ．
(5)区分求積法により，

lim_[n→∞]1/nΣ_[k＝1,n]1/√(1+k/n)
＝∫_[0,1]dx/√(1+x)

である．後はこの等式の右辺の定積分を計算すればよい．

No.38938 - 2016/09/15(Thu) 03:21:33

★ (No Subject) / ポン太

わかりやすく説明お願いします

No.38929 - 2016/09/14(Wed) 19:59:31

☆ Re: / noname

以下の解説を参考に一度お考えください．

[解説]
(1)t＝e^{2x}+4e^x+1と変数変換すると

dt/dx＝2(e^{2x}+2e^x)

であり，xが-1から1まで値をとる時，tはe^{-2}+4e^{-1}+1からe^2+4e+1まで値をとります．よって，定積分の変数変換の式より

∫_[-1,1]f(x)dx
＝∫_[-1,1](e^{2x}+2e^x)/(e^{2x}+4e^x+1)・dx
＝∫_[e^{-2}+4e^{-1}+1,e^2+4e+1]dt/(2t)

の様に変形することが出来ます．後はこの等式の最右辺の定積分を地道に計算していくだけです．
(2)(i)定積分∫_[-1,1]f(x)dxの積分区間[-1,1]を[-1,a_[n]],[a_[n],1]の2つに分割して考えるとよいかと思います．その際に，(1)の結果と数列{a_[n]}に関する条件を用います．
(ii)n＝1の場合は明らかなので，特にn＝kの時に不等式が成り立つと仮定した場合での議論について説明を与えておきます．関数f(x)は非負実数をとる関数なので，定積分∫_[-1,a_[k]]f(x)dxも非負です．また，0≦a_[k]≦1，{a_n}の条件，(1)の結果とf(x)が非負であることよりa_[k+1]≦1を示すことが出来ます．
(3)微分法により，f(x)は定義域上で単調増加な関数であることが言えます．特に，-1≦x≦1ではf(x)≦f(1)です．これと(2)の(i)の結果より問題文にある不等式を導出することが出来ます．後半の問いについては，ある自然数ℓに対してa_[ℓ]＝1ならば，不等式よりa_[n]＝1(n≧ℓ)であるため，この場合の数列{a_[n]}の極限は容易に分かるかと思います．一方，a_[n]≠1(n＝1,2,...)の場合は，n＞1ならば

0≦1-a_[n]≦f(1)(1-a_[n-1])≦…≦(f(1))^{n-1}

が得られるため，はさみうちの原理を利用すればこの場合での{a_[n]}の極限も分かるかと思います．

No.38937 - 2016/09/15(Thu) 03:11:37