ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / コルム

線を引いたところがわかりません。教えていただけないでしょうか。写真は2枚あります。

No.39688 - 2016/10/20(Thu) 22:10:57

☆ Re: / コルム

もう1枚あります。

No.39690 - 2016/10/20(Thu) 22:14:36

☆ Re: / ヨッシー

3cm×4cm×6cm の直方体で、図のような位置の２点Ａ，Ｂを、左の図のような経路で紐で結ぶ。
紐が最短となる時、紐の長さは何cmか？
さらに、右の図の赤、青、緑の３通りの経路で、それぞれ最短になるように結ぶとき、どの経路が最も短くなるか？

このような問題を散々解いた上で、上の問題に取り組んでいるのでしょうね？

No.39697 - 2016/10/20(Thu) 23:09:48

☆ Re: / コルム

はい。もちろんです。線を引いたところがわかりません。教えていただけないでしょうか。

No.39698 - 2016/10/20(Thu) 23:32:47

☆ Re: / ヨッシー

上のような問題を散々解いた経験があり、展開図まで描いてある解答を目の前にして、「展開図で考える」の意味が分からないとは理解できません。

本当はこの手の問題を解いたことないのではありませんか？

No.39699 - 2016/10/21(Fri) 00:32:24

☆ Re: / コルム

なぜ貼り合わせるという言葉がかかれているのでしょうか？したの展開図で考える。という言葉だけならわかるのですが。意味不明なところがありましたら教えていただけないでしょうか。

No.39700 - 2016/10/21(Fri) 00:45:46

☆ Re: / angel

「展開図を貼り合わせた図を考える」という文章にだけ線が引かれて「わかりません」と言われても、なかなか回答に困りますよ。

「貼り合わせた」の言葉の意味が分からないってことはないですよね? でも、その行為というか、意義というか、理由というか、そういうところで訳が分からなくなるということでしょうか。

だとすれば…。

例として、添付の画像の上側を見てください。
日本から出発して東向きに世界一周して、また日本に戻ってきた、という状況で。普通の地図だと ( 端同士が繋がっているということを知っていたとしても ) どうしても経路の途中が切れた図になってしまいますね。

ですが、実際に東へ東へ行けば、ループしてまた日本に着くわけですから、添付の画像の下側のような地図を使っても良いわけです。
同じ地形が2度現れて妙には見えるかもしれませんが、これならちゃんと繋がった経路として見ることができます。

…というような話と同じで、各面が1度ずつしか現れない ( 普通の ) 展開図だと、経路が途切れて分かりにくいため、ループして同じ面が複数回現れる展開図、すなわち「貼り合わせた」ものを使ってますよ、ということなんですがどうでしょうか。

No.39701 - 2016/10/21(Fri) 00:48:40

☆ Re: / コルム

ありがとうございました。

No.39702 - 2016/10/21(Fri) 01:09:07

★ (No Subject) / コルム

数字を当てはめていくもんだいがわかりません。教えていただけないでしょうか。意味不明なところがありましたら教えていただけないでしょうか。写真は2枚あります。四角1番です。

No.39674 - 2016/10/20(Thu) 11:38:00

☆ Re: / コルム

影で隠れている番号は34

No.39675 - 2016/10/20(Thu) 11:40:34

☆ Re: / angel

まず、おぼろげでも良いので、正二十面体がどのような図形か、頭の中に思い浮かべなければ始まりません。
※見たことがなければ解けません。

さて。そこで、丁度反対の面では、10の位・1の位が逆転しているということで、「反対ってどこ?」というのを意識する必要があります。

まずは面と面ではなく、エリアで考えてみます。図中真ん中、上の赤い部分と下の紫の部分が丁度対になっています。これで上下での反対が分かりました。

次に水平方向での反対です。図中右側、上の正面の赤い1マスの反対になるのは? というと、下の一番奥の面になります。ちょうど水平方向の位置で反対になっているからです。

これを展開図上で見ると、赤いマスの真下にある2マスから1マス置いて離れた位置にある、ということで場所が分かります。

他の上・下のマスに対しても同じように規則正しく対応が取れることになります。

No.39689 - 2016/10/20(Thu) 22:11:26

☆ Re: / コルム

ありがとうございました。

No.39691 - 2016/10/20(Thu) 22:16:33

☆ Re: / angel

一応続きです。
これで上部・下部の対応が分かって、今度は真ん中の残り10マスです。

ここで、添付の図のような2組の5マス、これは問題の条件から、10の位・1の位で共に1～5が揃うはずです。
しかしながら、既に分かっている数で、10の位の組み合わせが合っていません。

ということは、( 共通である濃い赤のマスを除いた ) 濃い紫のマスで10の位が違い、辻褄があっていることになります。
ここから、濃い紫のマスの10の位が分かります。

この組み合わせでは10の位が分かりましたが、この組み合わせを少しずつずらして見て行けば、10の位や1の位がだんだんと分かっていき、最後には全てのマスが分かるという寸法です。

No.39694 - 2016/10/20(Thu) 22:44:01

☆ Re: / コルム

ありがとうございます。

No.39696 - 2016/10/20(Thu) 22:54:15

☆ Re: / コルム

すみません。なぜ毎回正20面体を書いているのですか？それと、39694で、組み合わせがあっていない。とはどういう意味でしょうか？教えていただけないでしょうか。意味不明なところがありましたら教えていただけないでしょうか。

No.39703 - 2016/10/21(Fri) 01:43:45

☆ Re: / コルム

39689でなぜ展開図にななめせんが引いてあるのでしょうか？はしっことかは意味がないように思えるのですが？教えていただけないでしょうか。意味不明なところがありましたら教えていただけないでしょうか。

No.39704 - 2016/10/21(Fri) 02:15:50

☆ Re: / angel

> すみません。なぜ毎回正20面体を書いているのですか？
いや、そりゃ解説のためですよ…。
自分で解くときにわざわざ書く必要なんてもちろんありませんが ( というか面倒でしょう )、とは言え、展開図から実際に立体としての正20面体がどう組みあがるかは把握してないといけません。だから、頭の中でイメージするんですよ。毎回描いているのは、そのイメージの代わり、ということです。

> 組み合わせがあっていない。
まず、色のついた5マスの数字の10の位に対して、

　左: 2,5,赤(左),赤(右),紫(左) ← 1,2,3,4,5の組
　右: 2,4,赤(左),赤(右),紫(右) ← 1,2,3,4,5の組

で、赤が共通だとすると、それぞれの紫はどうなるでしょうか、という問題です。
※下の一列の数字が分かった後なので、右の2,4が既知

そうすると、既知の数の組み合わせ 2,5 と 2,4 に違いがある訳です。
だとすると、赤2マス分は共通で左右で違いが出ないため、紫のマスで違いが出るでしょう、ってことです。

No.39705 - 2016/10/21(Fri) 02:16:12

☆ Re: / angel

> 39689でなぜ展開図にななめせんが引いてあるのでしょうか？
いや、そらまあこちらも一言一句丁寧に書いているわけではないので、分からないところを質問するのはいいんですけど…。

もうちょっと読み込んでください

もしかしたら理解されてないのかもしれませんが、図をつけて解説を書いている以上、解説の文章を補強するため、イメージしやすくするためにやっていることなので、当然文章の中にその意味する内容は出てきてるはずなんですよ。

今回だったら「同じように規則正しく対応が取れる」と書いた部分がそうです。

> はしっことかは意味がないように思えるのですが？
意味ないことを敢えて書くわけないでしょう。
流石に失礼です。それは。分からないのはしようがないにしても、勝手にその意味を捨てるようなマネ、しないでください。

端っこに関しては、別の問題 http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=39688 の No.39701 の世界地図と同じです。
展開図はループしているものを、キリのいいところで切って作っているので、展開図上の端同士を通じてつながっている経路を描くとき、どうしても切れてしまうのです。

No.39706 - 2016/10/21(Fri) 06:34:06

★ (No Subject) / らぐ

線形写像の問題ですが,行列Aの求め方がわかりません.
また,g(x)の求め方はこのようでいいですか？
もし別の求め方があるなら教えて欲しいです.
よろしくお願いします.

No.39660 - 2016/10/19(Wed) 20:07:36

☆ Re: / らぐ

工夫しましたが写真が横向きになってしまいます.
すみません.

No.39661 - 2016/10/19(Wed) 20:08:42

☆ Re: / X

g(↑x)の計算方針に問題はないと思います。
(検算はしていませんが。)
Aの求め方ですが、この場合Aは2×3の
行列になることと
g(↑x)=A↑x
となることを頭に入れて、もう一度
g(↑x)の計算結果を参照してみて下さい。

No.39664 - 2016/10/19(Wed) 20:18:39

☆ Re: / angel

そこまで出ているなら、添付の画像の左と見比べて行列の成分を決定できます。

別解としては、添付の画像の右のように、行列同士の掛け算の形にして、逆行列をかけて計算する、という方法もあります。( やってることはほとんど変わらないのですが )

No.39668 - 2016/10/19(Wed) 23:13:09

☆ Re: / らぐ

お二方,ご回答ありがとうございます.
今回は
0 2 3
1 5 2
のようになりますか？
(行列の書き方がわからなくてすみません)

No.39669 - 2016/10/19(Wed) 23:29:03

☆ Re: / angel

はい。手元で計算した結果もそうなりました。

No.39670 - 2016/10/20(Thu) 00:26:18

☆ Re: / らぐ

無事解決しましたね!
ありがとうございました.また何かあればお願いします.

No.39671 - 2016/10/20(Thu) 00:34:19

★ (No Subject) / コルム

長方形ABCD がある。この辺BC上に点Pをとり、角PAQ =90度の直角二等辺三角形APQをつくる。頂点Qから辺AD に垂線を引き、AD との交点をH とする。このとき次の問いに答えなさい。(1)三角形ABP と三角形AHQ が合同であることを証明しなさい。(2)点P が辺BC上を頂点Bから頂点Cまで動くとき、点Qの描く図形を定規とコンパスを用いて作図しなさい。(ただし、作図に用いた線は消さない。)この問題文の図を添付していただけると幸いです。わからないのは、半径AC の弧を書くのに、破線の円がかかれてあるのですが。教えていただけないでしょうか。円でも円弧でもかまわないのでしょうか？意味不明なところがありましたら教えていただけないでしょうか。

No.39641 - 2016/10/19(Wed) 14:45:26

☆ Re: / ヨッシー

問題文の図は、問題を見ている質問者でないと正確には描けませんし、問題が手元にあるのなら、私が載せる必要もないでしょう。

ご質問は「円でも円弧でもかまわないのでしょうか？」の一点であり、この「円」は、点Ａを中心とした半径ＡＣの円のことであると見受けられます。
結論からいうと、円でも円弧でもかまいません。
答えを描いてみれば、「円ではいけない理由」「円でないといけない理由」いずれもないことがわかると思います。

No.39642 - 2016/10/19(Wed) 16:09:41

☆ Re: / コルム

ありがとうございました。

No.39643 - 2016/10/19(Wed) 17:06:28

☆ Re: / コルム

破線の円がかかれていても、半径AC の弧といえるのでしょうか？

No.39644 - 2016/10/19(Wed) 17:16:48

☆ Re: / コルム

図ものせておきます。

No.39645 - 2016/10/19(Wed) 17:20:49

☆ Re: / コルム

図ものせておきます。

No.39649 - 2016/10/19(Wed) 17:29:48

☆ Re: / ヨッシー

それは、印刷物なので、わかりやすく破線にしてあるのであって、実際の作図のときに、せっせと破線を描く必要はありません。

また、３つ上の質問は「破線でも円弧といえるのでしょうか？」で十分ではありませんか？
数学力は国語力です。
もっともっと国語力を鍛えましょう。

No.39650 - 2016/10/19(Wed) 17:30:15

☆ Re: / コルム

すみません。最後の写真を載せました。

No.39651 - 2016/10/19(Wed) 17:33:41

☆ Re: / コルム

取り直しました。

No.39652 - 2016/10/19(Wed) 17:35:48

☆ Re: / コルム

破線の円でも、円弧といえるのでしょうか？教えていただけないでしょうか。

No.39653 - 2016/10/19(Wed) 17:40:34

☆ Re: / ヨッシー

すでに答えています。
国語力が問われています。

No.39654 - 2016/10/19(Wed) 17:47:47

☆ Re: / コルム

疑問に答えてないように思うのですが？いえますよね？

No.39655 - 2016/10/19(Wed) 17:53:13

☆ Re: / noname

>半径AC の弧を書くのに、破線の円がかかれてあるのですが。

「半径ACの円のある弧を描くのに，なぜ破線で描かれているのか？」という質問であれば，ヨッシー様の

>それは、印刷物なので、わかりやすく破線にしてあるのであって、実際の作図のときに、せっせと破線を描く必要はありません。

が適切な回答として与えられています．

>円でも円弧でもかまわないのでしょうか？

これもヨッシー様の

>結論からいうと、円でも円弧でもかまいません。
答えを描いてみれば、「円ではいけない理由」「円でないといけない理由」いずれもないことがわかると思います。

が適切な回答として与えられています．

>破線の円がかかれていても、半径AC の弧といえるのでしょうか？

これもヨッシー様の

>わかりやすく破線にしてあるのであって、実際の作図のときに、せっせと破線を描く必要はありません。

により適切な回答が与えられています(つまり，円弧が実線か破線のどちらで描かれているかということに過ぎない)．
________________________________________________________________________

※質問者様は

>疑問に答えてないように思うのですが？

と仰いますが，上記を見ていただくと分かる様に，すでに各々の問いに対して適切な回答が与えられています．つまり，質問者様の国語力(もっと言うと，文章を読んで内容を読み取る力)の問題だということです．

No.39656 - 2016/10/19(Wed) 18:01:03

☆ Re: / コルム

破線の円がかかれているんです。実際には。なのに作図方法では半径AC の弧といっているのにかかれていないんです。破線の円がかかれているんです。破線の円が半径AC の弧なのでしょうか？国語力がなくてすみません。嫌でしたら、答えなくてもいいです。教えていただけないでしょうか。

No.39657 - 2016/10/19(Wed) 18:29:26

☆ Re: / noname

>破線の円がかかれているんです。実際には。なのに作図方法では半径AC の弧といっているのにかかれていないんです。破線の円がかかれているんです。

弧や円に固執しない方がいいです．重要なのは「Qの軌跡をどのように作図するか」であり，そういった細かなことに固執してしまうと一連の作業における重要な点をつかみづらくなると思います．なお，画像にある解答例では，

?@Hのとり方
?A辺ADに直交する直線でHを通るものの作図の仕方
?BPがCに一致する時のQのとり方

が重要な点です．ところで，?Bにおいて文章中では「半径ACの弧」という言葉がありますが，作図をする上では「半径ACの弧」でも「半径ACの円」でも構いません．P＝Cの時のQをとる上ではこれらはどちらでもよいのです．つまり，文章中では「半径ACの弧」という言葉があるが図においては「半径ACの円」が描かれており，誤植の様に見えるかもしれませんが実際には作図する上ではどちらであってもよいので，そこに拘るべきではないです．本当の誤植に対しては厳格であるべきですが，この様などれでもよい場合に対しては寧ろ寛容であるべきです．でなければ，本質を見失いかねないです．

No.39665 - 2016/10/19(Wed) 22:15:42

☆ Re: / noname

他の某掲示板での議論では，回答者に対して曖昧な情報提示を行って作図を依頼したがために，一連のやりとりが回答者を混乱させるようなものであり議論が非常に停滞していました．ところが，この掲示板で同様の質問内容を投稿された場合では，質問者様が図を画像で載せていただいたため，議論が非常に円滑化しました．この様に，質問者側が質問に必要なことを入念に準備されるか否かで議論の進み方は噓みたいに違うのです．今後，質問をされる場合は様々なことに注意して投稿されることを推奨致します．

No.39666 - 2016/10/19(Wed) 22:21:21

☆ Re: / コルム

ありがとうございました。

No.39667 - 2016/10/19(Wed) 22:27:49

★ (No Subject) / アイス

画像の問題の(3)はどうやって解くのですか？

No.39623 - 2016/10/18(Tue) 19:49:50

☆ Re: / angel

(3)
分母は x^2+x-2=(x-1)(x+2) と因数分解できますから、

　3/(x^2+x-2) = 3/(x-1)(x+2) = 1/(x-1)-1/(x+2)

と、分数の差に置き換えます。これを部分分数分解といいます。
そうすれば、個々の分数は積分して log になる形です。

慣れない場合は、

　1/(x-1)-1/(x+2) = ( (x+2)-(x-1) )/(x-1)(x+2) = 3/(x-1)(x+2)

と結論 ( か、それに近い形 ) から逆に辿ってみて、係数等調整するのが良いと思います。
※例えば 1/(x^2+x-2) なら 1/3・( 1/(x-1)-1/(x+2) ) のように、1/3倍の調整が要る

No.39627 - 2016/10/18(Tue) 20:55:44

☆ Re: / X

横から失礼します。

部分分数分解は以下のように恒等式を使って
求めることもできます。
3/{(x-1)(x+2)}=a/(x-1)+b/(x+2)
と部分分数分解できるとして、右辺を通分すると
3/{(x-1)(x+2)}={a(x+2)+b(x-1)}/{(x-1)(x+2)}
∴3/{(x-1)(x+2)}={(a+b)x+2a-b}/{(x-1)(x+2)}
両辺の分子の係数を比較すると
a+b=0 (A)
2a-b=3 (B)
(A)(B)を連立して解くと
(a,b)=(1,-1)
∴3/{(x-1)(x+2)}=1/(x-1)-1/(x+2)
と部分分数分解できます。

No.39630 - 2016/10/18(Tue) 21:15:30

☆ Re: / アイス

結局答えはどうなりますか？

No.39632 - 2016/10/18(Tue) 21:32:21

☆ Re: / アイス

あ、もうこれが答えなんですね、ありがとうございました。

No.39634 - 2016/10/18(Tue) 21:46:32

☆ Re: / アイス

すみません、このあとの積分の答えも教えて下さい。

No.39635 - 2016/10/18(Tue) 21:49:29

☆ Re: / X

log|x-1|-log|x+2|+C
(Cは積分定数)
となります。

No.39636 - 2016/10/18(Tue) 21:51:45

★ 百五減算 / ふみ

76（2）の問題です。

解答の参考というのは、この問題の別解ということでいいのでしょうか？
最初から最後まで全く意味がわからないので、解説をお願いしますm(._.)m
105＝3×5×7だから、15,21が出てくるのはわかるのですが、どうして70？35じゃないんでしょうか？

チャートも参照したのですが、どうやらこの解き方は百五減算というらしいですね。百五減算についてもわかりやすく教えてほしいです。

ちなみに合同式は理解しています。

No.39601 - 2016/10/17(Mon) 22:58:51

☆ Re: 百五減算 / ふみ

解答です

参考の部分がわかりません>_<

No.39603 - 2016/10/17(Mon) 23:00:47

☆ Re: 百五減算 / angel

> どうして70？35じゃないんでしょうか？
いや、えーと、気分の問題?

一応意図としては、≡1 で揃えたい、というのがあるわけですが、それ以上ではないです。

≡1 で揃えると何が嬉しいかというと、

　3 で割って a 余り、5 で割って b 余り、7 で割って c 余る数

を

　70a + 21b + 15c に合同

と一般化できるところではあります。

で、たまたま 3×5 は mod 7 で ≡1, 3×7 は mod 5 で ≡1 なのですが、5×7 だけは mod 3 で ≡1 になってないので、2 をかけて 70 とすることで調整しているのです。

No.39610 - 2016/10/18(Tue) 00:11:01

☆ Re: 百五減算 / noname

参考に対して重箱の隅を突く様なことを申しますが，

n＝70・1+21・4+15・2

としてnを設定するのはまずいかと思います．実際，nは条件を満たす様に任意に与えられた整数なので，必ずしもnが70・1+21・4+15・2であるとは限らないのです．よって，次の様に書かれるべきであると個人的にはそう思います．

[参考の後半部分について]
ここで，m＝70・1+21・4+15・2とおくと，

m≡1・1+0・4+0・2≡1（mod.3）
m≡0・1+1・4+0・2≡4（mod.5）
m≡0・1+0・4+1・2≡2（mod.7）

であるから，

n≡m（mod.3）
n≡m（mod.5）
n≡m（mod.7）

が成り立つ．ゆえに，3,5,7のどの2つも互いに素であることより

n≡m（mod.105）

が成立する．ゆえに，nを105で割った時の余りrを求めるには，mを105で割った時の余りを考えればよい．

m＝70・1+21・4+15・2＝184≡79（mod.105）

であるから，nを105で割った時の余りrは79である．

No.39611 - 2016/10/18(Tue) 00:31:21

☆ Re: 百五減算 / ふみ

参考よりもそちらの書き方のほうがわかりやすいですね

> ゆえに，3,5,7のどの2つも互いに素であることより
>
> n≡m（mod.105）
>
> が成立する．

の部分がよくわかりません。
合同式の性質（？）みたいなものですか？

No.39619 - 2016/10/18(Tue) 15:31:54

☆ Re: 百五減算 / noname

>の部分がよくわかりません。
合同式の性質（？）みたいなものですか？

次の3つの式

n≡m（mod.3）
n≡m（mod.5）
n≡m（mod.7）

により，n-mは3の倍数かつ5の倍数かつ7の倍数です．また，3,5は互いに素なので，n-mは3・5＝15の倍数です．さらに，15と7は互いに素なので，n-mは15・7＝105の倍数です．ゆえに，

n≡m（mod.105）

が成立します．

No.39620 - 2016/10/18(Tue) 16:10:52

☆ Re: 百五減算 / ふみ

なるほど！わかりました！
ありがとうございます。

No.39622 - 2016/10/18(Tue) 19:17:51

★ 高1 確率 / ゆうり

赤玉2個と白玉3個が入っている袋から、玉を1個取り出して、その色を見てから袋に戻す。この試行を3回繰り返すとき、3回目に初めて白玉が出る確率を求めよ。

赤玉3個と白玉6個の入った袋から1個の玉を取り出し、色を調べてからもとに戻す。これを5回くり返すとき、赤玉をちょうど2個取り出す確率を求めよ。

上の２つの問題が私には同じような問題に見えるのですが、答えを見ると計算方法が違います。何が違うのかがわかりません…。
計算式は
上:2/5×2/5×3/5=12/125
下:5C2(3/9)^2(6/9)^3=80/243
です。

どなたか教えてください。よろしくお願いします。

No.39600 - 2016/10/17(Mon) 22:41:44

☆ Re: 高1 確率 / angel

問題としては「初めて白玉が出る」「赤玉の出る回数が2回」( 赤玉をちょうど2個取り出す ) という違いがあります。

1番目の問題は、赤-赤-白という出方しか許されていません。同じ白1回であっても、赤-白-赤や白-赤-赤ではダメなのです。( 3回目より前に「初めて」が来てしまう )

ところが2番目の問題は、出る回数だけ見ています。
5回中2回赤というのは、

　赤-赤-白-白-白, 赤-白-赤-白-白, 赤-白-白-赤-白, 赤-白-白-白-赤,
　白-赤-赤-白-白, 白-赤-白-赤-白, 白-赤-白-白-赤,
　白-白-赤-赤-白, 白-白-赤-白-赤, 白-白-白-赤-赤

の10通りの場合があります。( これが5C2 )

なので計算式も違ってくるということです。

No.39602 - 2016/10/17(Mon) 23:00:26

☆ Re: 高1 確率 / ゆうり

なるほど！納得しました。
ありがとうございました。

No.39614 - 2016/10/18(Tue) 07:55:47

★ 複素数について / Apple

複素数平面の勉強で、√iというのは定義されないと先生は言っていたのですが、なぜなのか、証明が知りたいです、

No.39599 - 2016/10/17(Mon) 22:34:05

☆ Re: 複素数について / らすかる

「定義されない」というのは「定義できない」という意味なのですか？
一般的かどうかは別として、定義はありますよ。
例えば↓ここの定義では
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28i%29
√i=(1+i)/√2 です。

No.39606 - 2016/10/17(Mon) 23:23:35

☆ Re: 複素数について / 黄桃

例えば、√2 というのは
(*)「2乗して2になる数のうち、正のもの（より正確には負でない方）」
と定義されています。

ところが複素数では正、負を考えることができません。
正確には、今までの正負の計算法則を保つように（正x正=正、正x負=負等)正負を決めることができません。
なぜなら、i^2=-1 ですから、iを正としようと負としようと2乗が負になってしまうからです。

したがって、複素数になると、(*)の定義がそもそも意味をなさなくなります。

もちろん、らすかるさんが述べているように、(*)でなくて、√a を
「2乗してaになる数の１つ」
「2乗してaになる数のうちで、虚数部分が正か、または、0以上の実数であるもの」
というような定義にすれば決めることはできます。
ただ、それは今までの定義とは異なるものですのでご注意ください。

No.39608 - 2016/10/17(Mon) 23:55:27

★ 高次方程式 / teru

数学の問題です。整式P（x）をx-1で割ると2余り、x^2+x+2で割ると-3x+1余るとき、P（x）を（x-1）（x^2+x+2）で割ったときの余りを求めよ。
という問題についてなのですが、解答に
整式P（x）をx^2+x+2で割った余りが-3x+1だからP（x）を
（x-1）（x^2+x+2）で割った余りはa(x^2+x+2)-3x+1とおける。
とあるのですが、なぜこうなるのかが理解出来ません。

No.39596 - 2016/10/17(Mon) 21:45:40

☆ Re: 高次方程式 / angel

答えとなる余りをR(x)と置きましょうか。

R(x)は、(x-1)(x^2+x+2)という3次式で割った時の余りなので、高々2次式 ( 次数がどんなに大きくても2を超えない ) です。

なので、R(x)の2次の係数を a ( a=0 もありうる ) とすると、
R(x)=ax^2+bx+c の形に書けます。
これは R(x)=ax^2+bx+c=a(x^2+x+2)+(b-a)x+(c-2a) と、
a(x^2+x+2)+(1次式) の形に書けるものです。
※b,c の具体的な値は取り敢えずおいておきます
　a(x^2+x+2)+(1次式) の形に書けることが取り敢えずは重要です

さてP(x)に立ち戻って。これを割った余りがR(x)なのでした。
すなわち、あるQ(x)に対して

　P(x)=(x-1)(x^2+x+2)Q(x)+R(x)

です。
先ほどのR(x)の話から

　P(x)=(x-1)(x^2+x+2)Q(x)+a(x^2+x+2)+(1次式)
　　　=(x^2+x+2)( (x-1)Q(x)+a )+(1次式)

なので、P(x)をx^2+x+2で割った余りは、R(x)の話ででてきた1次式そのものです。これが、問題文の条件から -3x+1 となっているため、R(x)=a(x^2+x+2)-3x+1 となるのです。

No.39598 - 2016/10/17(Mon) 22:31:35

☆ Re: 高次方程式 / teru

>これは R(x)=ax^2+bx+c=a(x^2+x+2)+(b-a)x+(c-2a) と、a(x^2+x+2)+(1次式) の形に書けるものです。

なぜ、ax^2+bx+cがそのように書き換える事が可能なのですか？

No.39604 - 2016/10/17(Mon) 23:01:37

☆ Re: 高次方程式 / angel

> なぜ、ax^2+bx+cがそのように書き換える事が可能なのですか？

「なぜ」と言われると、「やってみたらできる ( できた ) から」としか言いようがありませんねえ…。

まあ、多項式の割り算の話を持ち出して説明することもできますが。

　ax^2+bx+c を x^2+x+2 で割ると、お互いの次数の関係から、商は定数、
　また、2次式で割っているため、余りは(高々)1次式
　そのため、
　　ax^2+bx+c = p(x^2+x+2)+(qx+r)
　の形で表せる ( p が商、qx+r があまり )
　これがxに関する恒等式になることから係数比較すると、p=a, q=b-a, r=c-2a
　つまり、ax^2+bx+c=a(x^2+x+2)+(b-a)x+(c-2a)

No.39609 - 2016/10/17(Mon) 23:56:33