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★ 1次関数 / kaito
ｂ＝０　ｂ＝−３６が解答です。解き方がよくわかりません。解説お願いします。
No.39053 - 2016/09/23(Fri) 18:30:28
☆ Re: 1次関数 / X
まず点Aの座標を求めましょう。

条件から点Aのx,y座標は
y=-x+9 (A)
y=2x+b (B)
をx,yの連立方程式とみたときの解。
でこれらを解くと
(x,y)=(3-b/3,6+b/3)
よってAB=6となるにはAのy座標について
6+b/3=6,-6
これを解いて
b=0,-36
No.39057 - 2016/09/23(Fri) 20:04:51
☆ Re: 1次関数 / kaito
ありがとうございました。すみません　6+b/3=　6,-6ここの計算の意味がわかりません。
No.39070 - 2016/09/23(Fri) 22:11:41
☆ Re: 1次関数 / noname
横レス失礼致します．

>6+b/3=6,-6

についてですが，Aの位置はx軸に対して上側である場合と下側である場合の2通り考えられるため，Aのy座標について「6+b/3＝6または6+b/3＝-6である」が成立するということです．
No.39071 - 2016/09/23(Fri) 23:20:22
☆ Re: 1次関数 / noname
一応別解を載せておきます．


[別解]
Aの位置はx軸に対して上側である場合と下側である場合の2通りある．よって，AB＝6によりAのy座標は6か-6のどちらかである．Aのy座標が6の時は，直線mの式からAのx座標は3である．一方，Aのy座標が-6の時も，直線mの式よりAのx座標は15である．ゆえに，Aの座標は(3,6),(15,-6)のどちらかである．後はそれぞれの点の座標を直線nの式に代入して計算すれば，bの値が分かる．
No.39072 - 2016/09/23(Fri) 23:22:11
★ (No Subject) / アイス
画像の問題の(4)が解けません。
お願いします。
No.39052 - 2016/09/23(Fri) 18:02:56
☆ Re: / angel
この練習4全体のテーマは

　f(ax+b)'=af'(ax+b)

という、合成関数の1種を逆に利用した積分ですね。

(4) に関しては

　(log|x|)'=1/x

という、f(x)=log|x| のケースです。なので、

　(log|2x+1|)'=2/(2x+1)
　(1/2・log|2x+1|)'=1/(2x+1)

結局答えは次のようになります。

　∫dx/(2x+1)=1/2・log|2x+1|+C
No.39055 - 2016/09/23(Fri) 19:24:49
★ (No Subject) / アカシロトモ

下の命題の証明で、
?@の両辺を𝑥で微分すると、
　2ax+2by(dy/dx)+cy+cx(dy/dx)+d+e(dy/dx)=0
(?@) 2bq+cp+e≠0 のとき
接線の方程式は、
y=-{(2ap+cq+d)/(2bq+cp+e)}*(x-p)+q・・・?B
点(p,q)は?@上にあるから
ap^2+bq^2+cpq+dp+eq+f=０・・・?C
　?Bと?Cから命題を証明することはできたのですが、
(?A)　2bq+cp+e=0 のとき の証明が分かりません。
(解答)では、「このとき接線はx＝ｐとなり、
命題の接線の式?Aに一致する」としています。
なぜ、このとき接線はx＝ｐなのか、理由を教えてください。


命題
　　２次曲線 ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0 ・・・➀
上の点(p,q) における接線の方程式は、
apx+bqy+c(py+qx)/2+d(p+x)/2+e(y+q)/2+f=0・・・?A
であることを証明せよ。
No.39051 - 2016/09/23(Fri) 17:04:56
☆ Re: / angel
> (?A)　2bq+cp+e=0 のとき の証明が分かりません。
> なぜ、このとき接線はx＝ｐなのか、理由を教えてください。

逆に、?@の2次曲線と直線 x=p がどのような関係にあるかを見てみます。

2つの共有点の y座標の満たす方程式は ( x=p を代入して )

　ap^2+by^2+cpy+dp+ey+f=0

です。
一方、問題の前提条件から、

　ap^2+bq^2+cpq+dp+eq+f=0
　2bq+cp+e=0

です。
ここから余分な文字を消去して整理すると、

　b(y-q)^2=0

が出てきます。つまり、y は重解 ( q ) を持つ。ということで、x=p が接線と分かります。
No.39054 - 2016/09/23(Fri) 19:00:22
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

いつもお世話になります。
ご説明はよく理解できました。
難しいですね。?B式から感覚的には、x=pだとわかりますが、
このように証明できるのですね。
ありがとうございました。
No.39056 - 2016/09/23(Fri) 19:35:29
★ 大学1年 偏微分 / さくら
またお世話になります

かなりアホな質問なんですが
z=arcsin(x/y)をxおよびyについて偏微分せよ
という問題の答えで何故絶対値をつけるのかが分かりません…

どなたか何故そうなるのかを教えてください
よろしくおねがいします
No.39049 - 2016/09/23(Fri) 12:00:01
☆ Re: 大学1年 偏微分 / noname
偏微分z_x,z_yは，それぞれ次の様に計算されているのだと思います．

z_x＝1/√(1-(x/y)^2)・1/y
＝|y|/(|y|√(1-(x/y)^2))・1/y
＝|y|/√(y^2-x^2)・1/y
＝|y|/(y√(y^2-x^2)),

z_y＝1/√(1-(x/y)^2)・(-x/y^2)
＝1/√(1-(x/y)^2)・(-x/|y|^2)
＝-x/(|y|・|y|√(y^2-x^2))
＝-x/(|y|√(y^2-x^2)).

ここで，実数rに対して√(r^2)＝|r|となることを用いています．上の様な変形が好みでないようであれば，yの正負で場合分けして計算してもよいと思います．
No.39050 - 2016/09/23(Fri) 13:09:27
☆ Re: 大学1年 偏微分 / さくら
返信遅れてしまい申し訳ありません!!
納得しました
納得してお礼したつもりになってました、本当にすみません

とても助かりました！
ありがとうございましたm(_ _)m
No.39240 - 2016/09/28(Wed) 21:50:24
★ (No Subject) / ぐっち
y=t^2-8t+13=(t-4)^2-3
なんで(t-4)^2-3になるんですか
解説お願いします
No.39046 - 2016/09/23(Fri) 00:02:12
☆ Re: / angel
「なんで」と聞かれてもなかなか答え辛い所です。

* t^2-8t+13=(t-4)^2-3 が正しい理由 ( なぜ ) が知りたいのか
* t^2-8t+13 から (t-4)^2-3 という形を導く方法 ( どのように ) が知りたいのか
* t^2-8t+13 から (t-4)^2-3 という形にする目的 ( 何のために ) が知りたいのか

をまずははっきりさせた方が良いと思います。
No.39047 - 2016/09/23(Fri) 02:20:24
★ (No Subject) / ぐっち
log2の3=a,log3の7=bとするとき、log18の84をa,bを用いて表せ。
どうやって解くんですか
解説お願いします
No.39044 - 2016/09/22(Thu) 22:10:05
☆ Re: / IT
18^xと84を2の累乗に統一して比較します。

x=log18の84 とおくと, 18^x=84

18^x=(2*3^2)^x=(2*(2^a)^2)^x=

84=(2^2)3*7=(2^2)3*(3^b)=(2^2)(3^(b+1))=(2^2)(2^a)^(b+1)=
No.39045 - 2016/09/22(Thu) 23:33:58
★ (No Subject) / アカシロトモ
下の問題で、ある時刻のPの位置をCとし、それから5秒後のPの位置をDとするとCD=5m
ここまではわかるのですが、解答では、
「 CA+CB=DA+DBなので、□CABDはCD//ABの等脚台形」
または「三角形CABと三角形DABは合同」として解かれています。なぜ、等脚台形または合同が成立するのでしょうか？
よろしくお願いいたします。


問題：直線L上に10メートル離れた2定点A,Bがあり、Lに平行な直線M上を点Pが秒速1メートルで一定の向きに動いている。A,P間の距離と、B,P間の距離の和は、ある時刻に測ったとき15メートル、その5秒後に測ったときも15メートルであった。2直線L、Mの距離は何メートルか。
No.39041 - 2016/09/22(Thu) 20:46:37
☆ Re: / X
条件から点C,Dは点A,Bを焦点とするある楕円と直線M
との交点になります。
更に楕円の対称性から点C,Dは線分ABの垂直二等分線
に関して対称になります。
よってご質問の内容のことが言えます。
No.39042 - 2016/09/22(Thu) 21:16:39
☆ Re: / アカシロトモ
X さん

いつもお世話になります。
ご回答ありがとうございます。
おかげさまでとてもよく理解できました。
No.39043 - 2016/09/22(Thu) 21:50:20
★ (No Subject) / アイス
画像の問題は漸近線が2つありますが、y=(−2x/(x^2＋1))＋1といったように分母がx^2＋○みたいな形だったら漸近線は1つだけなんですか？
分かりづらくてすみません。
No.39039 - 2016/09/22(Thu) 17:33:04
☆ Re: / X
そうとは限りません。
アイスさんが挙げられた例についても
y=-2x/(x^2+1)+tanx
というような形になると、漸近線は
x=π/2+nπ (nは任意の整数)
となり、無限の本数存在します。
ですので、例えば
この形だから２本見つければいいだろう
といった考え方はできません。

一般に直線での漸近線として考えられるのは
次の二種類です。

一つはNo.39030でangelさんが説明されているような
x→±∞
で漸近していく「y軸平行ではない漸近線」。

もう一つはy軸平行の直線が漸近線となる場合です。
lim[x→a±0]f(x)=±∞
(複号任意)
のとき、y=f(x)のグラフは
直線x=a
を漸近線に持ちます。

二つ目の場合で候補として挙げられるのは
分数の形をした関数で
x→a±0のときに分母→0
となるようなタイプ
です。
ただ、これも飽くまで候補であって
x→a±0のときに不定形になるものもありますので
候補と考えられるものでも一度計算してみないと
分かりません。
(不定形であっても、有限確定値に収束しないものが
ありますので。)

言えることは個々の問題において、上記の二種類の
漸近線が何本あるかチェックする必要がある
ということです。

只、x軸平行でもy軸平行でもない漸近線は
めったに出てきません。
その例でよく見かけるのは双曲線の式が
関数の中に混じっている場合ですので
チェックする上での参考にはなります。
例)
y=x+1/x

後はx軸平行、y軸平行の漸近線についてですが
これらはチェックは比較的容易です。

まずx軸平行の漸近線について。
x→±∞での極限が
有限確定値の場合は
直線y=b
(bはx→±∞での極限値)
が漸近線となることが容易にわかります。
例)
y=1/xについて
lim[x→±∞]y=0
ですので
直線y=0(つまりx軸)
が漸近線となっています。

次にy軸平行の漸近線についてですが
これは関数の定義域を考える過程で
自然に候補は出てきます。
例)
y=1/xの定義域はx＜0,0＜xなので
直線x=0(つまりy軸)
が漸近線の候補に挙げることが
できますが実際に漸近線に
なっています。






まとまりのない文章ですがこんなところでしょうか。
No.39040 - 2016/09/22(Thu) 18:37:19
★ (No Subject) / アイス
今日は何度もすみません。
画像の問題の解き方で、さらに、lim〜というところで、−(x＋1)というのはどこから出てきましたか？
No.39015 - 2016/09/21(Wed) 20:19:17
☆ Re: / X
ヒントを。
添付写真の上から三行目に
f(x)=x+1+1/(x-1)
とあるのはよろしいですか？
x→±∞のとき0に収束するのは
どの項かを考えてみましょう。
No.39016 - 2016/09/21(Wed) 20:24:28
☆ Re: / アイス
1/(x−1)ですか？
No.39018 - 2016/09/21(Wed) 20:35:27
☆ Re: / angel
> 1/(x−1)ですか？

はい。

f(x)=x+1+(0に収束する部分) という形になっているのが、最初の x^2/(x-1)=x+1+1/(x-1) という変形から分かるので、y=x+1 が漸近線だ、ということです。

一応、こういう変形が分からなくても漸近線の式を割り出す方法はありますが…。実際にはあまり使わないかなあ、と。
No.39021 - 2016/09/22(Thu) 00:46:55
☆ Re: / アイス
このやり方以外の漸近線の式の出し方も教えて頂けると助かります。
No.39027 - 2016/09/22(Thu) 08:15:28
☆ Re: / angel
曲線 y=f(x) に対して、

* lim[x→+∞] f(x)/x = a
* lim[x→+∞] f(x)-ax = b

の両方が成立すれば、漸近線は y=ax+b です。どちらかで極限値が存在しない場合は漸近線はありません。
x→+∞ を x→-∞ に替えた場合も計算します ( 結果が変わることもある。その場合は x→+∞ と x→-∞ で違う漸近線がそれぞれあることになる )

今回の y=x^2/(x-1) の場合であれば、

* lim[x→+∞] (x^2/(x-1))/x
　(x^2/(x-1))/x = x^2/(x^2-x) = 1/(1-1/x) より
　lim[x→+∞] (x^2/(x-1))/x = 1
* lim[x→+∞] x^2/(x-1)-1・x
　x^2/(x-1)-1・x = x/(x-1) = 1/(1-1/x) より
　lim[x→+∞] x^2/(x-1)-1・x = 1

よって漸近線は y=x+1
( x→-∞ の計算も同様なので省略 )
No.39030 - 2016/09/22(Thu) 08:49:29
☆ Re: / アイス
ありがとうございました
No.39032 - 2016/09/22(Thu) 09:32:20
★ (No Subject) / アイス
画像の問題の3の(1)の解き方が分かりません。
No.39012 - 2016/09/21(Wed) 19:57:23
☆ Re: / X
y'={2(x-1)(x^2+1)-{(x-1)^2}・2x}/(x^2+1)^2
=2{(x^2+1)-(x-1)x}(x-1)/(x^2+1)^2
=2(x+1)(x-1)/(x^2+1)^2
∴問題の関数は
x=1で極小値0
x=-1で極大値2
を取ります。
又
y"={2x(x^2+1)^2-(x^2-1)・4x(x^2+1)}/(x^2+1)^4
=2x{(x^2+1)-2(x^2-1)}/(x^2+1)^3
=-2x(x^2-3)/(x^2+1)^3
∴変曲点のx座標は0,√3,-√3
以上から増減表を書きます。

但しグラフを描くには定義域の両端
つまり
x→±∞
においてグラフがどのような値を
取るかも押さえておく必要があります。
ということでこのときの極限を
計算すると
lim[x→∞]y=lim[x→∞]{(1-1/x)^2}/(1+1/x^2)
=1
lim[x→-∞]y=lim[x→-∞]{(1-1/x)^2}/(1+1/x^2)
=1
以上のことを使いグラフを描きましょう。
No.39014 - 2016/09/21(Wed) 20:15:52
☆ Re: / アイス
y''のところがなぜそのように解けるか分かりません。分かりやすく教えて下さい。
No.39017 - 2016/09/21(Wed) 20:32:54
☆ Re: / angel
「分かりやすく教えて下さい」だとフワっとし過ぎていて、答える方もどうしていいやら…。

どこまで分かって、どこから分からないのか。自分で考えてることとのズレがどうなのか、とか。ある程度切り分けを行うのは、自分の理解にとっても有益ですし、質問-回答をスムーズに進めることにもなります。

で、実はXさんの計算にはちょっとミスがあって、正しくは

　y"=2{2x(x^2+1)^2-(x^2-1)・4x(x^2+1)}/(x^2+1)^4
　　=4x{(x^2+1)-2(x^2-1)}/(x^2+1)^3
　　=-4x(x^2-3)/(x^2+1)^3

です。全体を2倍する必要があった、というところです。
後は、(f/g)'=(f'g-fg')/g^2 の形の微分なので、

　y'=2(x-1)(x+1)/(x^2+1)^2=2(x^2-1)/(x^2+1)^2

から、

　y''=2{ (x^2-1)'(x^2+1)^2 - (x^2-1)((x^2+1)^2)' }/( (x^2+1)^2 )^2

をやってるのが、y'' の計算の始まりなんですが、そこはよろしいでしょうか。ここから個々の微分を計算して、式を整理するところはどうでしょうか。
No.39023 - 2016/09/22(Thu) 01:41:30
☆ Re: / X
>>angelさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>アイスさんへ
ごめんなさい。angelさんの仰る通りです。
No.39025 - 2016/09/22(Thu) 04:05:12
☆ Re: / アイス
多分増減表はこうなると思うのですが、自分はいつも、プラスマイナス調べる時に、例えば−1と0の間でしたら、−0.5を代入するといったふうにいちいち代入して調べていました。他に速く調べる方法はないのですか？
No.39028 - 2016/09/22(Thu) 08:35:33
☆ Re: / angel
なるべくプラス・マイナス ( あるいは 0 か ) だけを考えることだと思います。そのために、式はなるべく因数分解した形に整理しておきます。

今回 y'=2(x+1)(x-1)/(x^2+1)^2 なので、

* 係数の 2 はプラス・マイナスに影響ないため無視
* まず分母は (〜)^2 の形なので常にプラス、全体のプラス・マイナスには影響がないため無視
* 残りは (x+1)(x-1) の部分
　　x＜-1 では、マイナス・マイナスなので全体としてプラス
　　-1＜x＜1 では、プラス・マイナスなので全体としてマイナス
　　1＜x では、プラス・プラスなので全体としてプラス

といった感じです。
「例えば−1と0の間でしたら、−0.5を代入する」というのは良いと思いますが、全体の値を計算するところまで進めずに、それぞれの部分のプラス・マイナスがどうなるか、で止めると速くなると思います。
No.39033 - 2016/09/22(Thu) 09:49:59
☆ Re: / アイス
増減表とグラフはそれぞれこうなりますか？
No.39034 - 2016/09/22(Thu) 11:03:17
☆ Re: / アイス
グラフです。
No.39035 - 2016/09/22(Thu) 11:05:18
☆ Re: / angel
私の作った増減表と、grapesというグラフ作成ツールで作ったグラフ ( これはあくまで参考 ) を載せます。

アイスさんの表は、2か所 ( 表中の赤字 ) の増減の矢印の凹凸が違います。が、計算で特に間違えているところはないです。

グラフは、その凹凸のミスに引きずられて描き辛そうな形に見えますが、全体として大きく問題はないと思います。
No.39037 - 2016/09/22(Thu) 15:14:11
☆ Re: / アイス
こんなに細かく教えて下さりありがとうございました。
No.39038 - 2016/09/22(Thu) 17:15:11
★ (No Subject) / アイス
画像の問題の2の(1)が解けません。
お願いします。
No.39010 - 2016/09/21(Wed) 18:55:51
☆ Re: / X
y'=2xlogx+(x^2)(1/x)
=2xlogx+x
=xlog(ex^2)
問題の関数(導関数ではありません)
の真数条件から
x＞0
に注意すると
y'≧0のとき
ex^2≧1
∴1/√e≦x
よって問題の関数は
x=1/√eのときに極小値1/(2e)
を取ります。
増減表はx＞0におけるものを書きます。
No.39013 - 2016/09/21(Wed) 20:04:11
☆ Re: / アイス
y'の3行目がなぜそうなるか分かりません。
No.39019 - 2016/09/21(Wed) 20:50:37
☆ Re: / angel
2xlogx+x=x(2logx + 1) な訳ですが、

* 2logx = log(x^2)
* 1 = log(e)　← e^1=e だから、eを底とするeの対数は1
* log(x^2)+log(e) = log(ex^2)

から、y'=xlog(ex^2) が出てきています。
No.39024 - 2016/09/22(Thu) 01:47:31
☆ Re: / アイス
極小値が−1/(2e)になると答えには書いてあるのですが、代入しただけではこの答えにはなりません。変形のやり方を教えて下さい。
No.39029 - 2016/09/22(Thu) 08:46:38
☆ Re: / angel
あ。確かに極小値 -1/(2e) ですね。ここはXさんの書き間違えてます。

で、x=1/√e の時の y=x^2・logx の値ですが。

* x^2 の部分の値は 1/e
* logx の部分の値は -1/2
　← log(1/√e) = -log(√e) = -1/2・log(e) = -1/2
　　√e = e^(1/2) であることに注意
　　あるいは一気に 1/√e = e^(-1/2) でも。ここらへんは指数・対数の計算に慣れることです。

なので、y=-1/(2e) です。
No.39031 - 2016/09/22(Thu) 09:27:55
☆ Re: / アイス
ありがとうございました。理解出来ました‼
No.39036 - 2016/09/22(Thu) 11:15:04
★ 大学1年 偏微分法 / さくら
この問題の(2)〜(4)が解けません

答えは
(1)-6/5
(2)存在しない
(3)存在しない
(4)0
です

(2)(3)はその前の例題をとにかく真似してみたのですが
その方法を使っていいのかどうか判断ができなくて困ってます
(4)は変形して分子だけ0になればいいのかな？と思ったのですが、肝心の変形が思いつかず…

どなたか教えてください
宜しくお願いします
No.39004 - 2016/09/21(Wed) 13:37:44
☆ Re: 大学1年 偏微分法 / さくら
(1)と(2)の途中までの私が解いてみた過程です
No.39005 - 2016/09/21(Wed) 13:42:19
☆ Re: 大学1年 偏微分法 / さくら
(2)残りと(3)です
No.39006 - 2016/09/21(Wed) 13:42:56
☆ Re: 大学1年 偏微分法 / さくら
私が真似した例題です
No.39007 - 2016/09/21(Wed) 13:43:42
☆ Re: 大学1年 偏微分法 / X
(1)(2)はその方針で問題ありません。
(3)
間違っています。
その方針で計算すると
(与式)=lim[x→0]mx/(x^2+m^2)=0
となります。
が、これは
直線y=mx
上での特別な場合の極限ですので
何の意味もありません。

で、解答ですが
曲線my=x^2
の上での極限を考えてみます。
このとき
(与式)=lim[y→+0](my^2)/{(my)^2+y^2} (m≧0)
(与式)=lim[y→-0](my^2)/{(my)^2+y^2} (m＜0)
となりますがいずれの場合もy^2による約分で
yが相殺されて
(与式)=m/(1+m^2)
これはmの値により極限の値が異なりますので
問題の極限は存在しません。

(4)
極座標に変換します。
x=rcosθ
y=rsinθ
と置くと
(与式)=lim[r→0](r^3){(sinθ)^2}(cosθ)/{(rsinθ)^4+r^2}
=lim[r→0]r{(sinθ)^2}(cosθ)/{(r^2)(sinθ)^4+1}
ここで分母において
-1≦sinθ≦1
に注意するとr→0のときθの挙動に関係なく
(分母)→1
∴(与式)=0
No.39008 - 2016/09/21(Wed) 16:21:13
☆ Re: 大学1年 偏微分法 / さくら
4問もありがとうございました
理解できました!!

また機会があったらよろしくおねがいします

本当にありがとうございました
No.39022 - 2016/09/22(Thu) 01:08:18
☆ Re: 大学1年 偏微分法 / X
>>さくらさんへ
もう見ていないかもしれませんが
No.39008において誤りがありました
(ごめんなさい)ので直接修正して
おきました。
再度ご覧下さい。
No.39026 - 2016/09/22(Thu) 07:55:39
☆ Re: 大学1年 偏微分法 / さくら
わざわざ丁寧にありがとうございます!!
前回教えていただいた時解き直したノートと照らし合わせてみたのですが、何の問題もなかったので
私が書き間違えたかもしくは途中から自分でやったか…
とにかく大丈夫でした!!
No.39048 - 2016/09/23(Fri) 11:48:58
★ 微積の問題です / あきらくん
この問題の解答を教えていただけませんか？
苦手分野なので、じっくり理解したいです。

分母をｔを使って変形させていくのかな、とは思うのですが…よろしくお願いします<(_ _)>
No.39001 - 2016/09/21(Wed) 12:08:01
☆ Re: 微積の問題です / ヨッシー
1/(sin^2ｘ・cos^2ｘ)＝(cos^2ｘ＋sin^2ｘ)/(sin^2ｘ・cos^2ｘ)
　＝1/sin^2ｘ＋1/cos^2ｘ
一方、
　(tanｘ)'＝1/cos^2ｘ
　(cotｘ)'＝−1/sin^2ｘ
であるので・・・
No.39003 - 2016/09/21(Wed) 13:16:34
☆ Re: 微積の問題です / あきらくん
解答ありがとうございました！
けっこうシンプルなんですね。
理解できるよう、しっかり頑張ります！
No.39020 - 2016/09/22(Thu) 00:29:23
★ 順列 / りな
区別のつかない3つの箱と区別のつかない6ｎ個の玉がある。
玉を箱に入れるとき、3つの箱に入る玉の数がそれぞれ異なる入れ方は何通りあるか。ただし一つも入らない箱があってもよいとする。

3つの箱に入る個数に条件がない場合から3つの箱に入る個数がすべて同じ場合(1通り)、2箱同じ個数が入る場合を引けばいいのかと考えたのですが、条件がない場合と2箱同じ個数が入る場合の数の求め方がわからないです。方針からして違うのかもしれません。
よろしくお願いします。
No.38999 - 2016/09/21(Wed) 06:57:37
☆ Re: 順列 / IT
n=1の場合（６個の玉の場合）を考えます。

(１) まず３つの箱を区別して考えると
玉の入れ方は,　○｜○○○｜○○のように　区切り｜を２つ入れる場所の選び方と対応するので　8C2=28通り

このうち
・3つの箱に入る個数がすべて同じ場合は,全部2個の１通り

・ちょうど2箱に同じ個数が入る場合は、同じ個数が0,1,3の３通りで,箱の選び方が３通りなので,３×３＝９通り

よって、
・3つの箱に入る玉の数がそれぞれ異なる入れ方は、２８-１-９＝１８通り

(２）箱の区別をなくすため　３！で割って,　求める場合の数は　18/3!=3 通り。
----------------------------------------------------------

# 具体的に数え上げて確認すると、たしかに　(5,1,0)(4,2,0)(3,2,1)の３とおり。
#　一般のｎについても同様に出来ると思いますのでご自分でやってみてください。
No.39009 - 2016/09/21(Wed) 18:23:13
☆ Re: 順列 / IT
（別の考え方）
各箱の玉の個数を　a＜b＜c として
a=2n-1,2n-2,・・・,2n-i,・・・,2n-2nの各場合について
a=2n-i個をb,c にも入れて、残りの3i個の玉をb,cに配分することを考えると

i=1のとき3i=3個のうち bに追加配分するのは1個の1通り
i=2のとき3i=6個のうち　bに追加配分するのは1〜2個の2通り
i=3のとき3i=9個のうち　bに追加配分するのは1〜4個の4通り
i=4のとき3i=12個のうち bに追加配分するのは1〜5個の5通り
i=5のとき3i=15個のうち bに追加配分するのは1〜7個の7通り
i=6のとき3i=18個のうち bに追加配分するのは1〜8個の8通り
・・・・

例えば
n=1のとき　1+2=3 通り。
n=2のとき 1+2+4+5=12 通り。
n=3のとき　1+2+4+5+7+8=27 通り。
No.39011 - 2016/09/21(Wed) 19:10:30
★ (No Subject) / アイス
画像の問題の答えはこれで合っていますか？
No.38996 - 2016/09/20(Tue) 14:01:15
☆ Re: / noname
(1)は正しくないです．そうではなくて，sinx+2cosx+C(Cは定数)と書いてあれば問題ないです．(2)の答えは正しいです．
No.38997 - 2016/09/20(Tue) 14:13:44
★ (No Subject) / アイス
画像の(1)と(6)の問題の答えはこれで合っていますか？
No.38995 - 2016/09/20(Tue) 13:27:51
☆ Re: / noname
どちらも正しいですが，(6)の三段目の式の第三項において積分の記号の書き忘れが見られます．
No.38998 - 2016/09/20(Tue) 14:17:02
★ (No Subject) / アリス
この問題はどうやってとくのですか？
284です。
No.38990 - 2016/09/19(Mon) 18:55:31
☆ Re: / ヨッシー
学年が分かりませんが、高校の三角比以降の単元なら、
△ＡＢＣにおける余弦定理よりＡＣ、
△ＡＢＤにおける余弦定理よりＡＤ
がそれぞれ求められます。
No.38991 - 2016/09/19(Mon) 19:08:29
☆ Re: / ヨッシー
中学なら
ＡからＢＣに垂線ＡＥを下ろして、
△ＡＥＣにおける三平方の定理よりＡＣ
ＢからＡＤに垂線ＡＦを下ろして、
△ＢＦＤにおける三平方の定理よりＢＤ
をそれぞれ求めます。
No.38992 - 2016/09/19(Mon) 19:11:25
★ 極方程式 / オヤジ
曲線(x^2+y^2)=5(x^2-y^2)を表す極方程式を求めよ。

　この問題は、x=rsinθ　y=rcosθ　を代入して計算したら

r^2=5cos2θ　となりました。正解がありません。どうでしょうか？
No.38988 - 2016/09/19(Mon) 18:19:55
☆ Re: 極方程式 / オヤジ
すみません。打ち間違いました！

(x^2+y^2)^2=5(x^2-y^2)

でした！
No.38989 - 2016/09/19(Mon) 18:21:48
☆ Re: 極方程式 / X
＞＞x=rsinθ　y=rcosθ
が
x=rcosθ　y=rsinθ
のタイプミスであるならその答えで正解です。
No.38993 - 2016/09/19(Mon) 19:52:46
☆ Re: 極方程式 / オヤジ
うわ！おっしゃるとおり、タイプミスです。ありがとうございます。
No.38994 - 2016/09/19(Mon) 20:39:03
★ 図形と方程式 / か
Xy平面上の遠足C1:X^2＋y^2=5上の点(1.2)におけるC1の接線をlとする
またlは円C2:(x-t)^2＋(y-1)^2=10にも接しておりt＞3とする
(1)lの方程式を求めよまたtの値を求めよ
(2)lとC2の接点Pの座標を求めよ
(3)円C2の外側にあって円C2とlおよびx軸で囲まれる図形の面積を求めよ

⑴ y=-1/2x+5/2 t=5√2+3
⑵ P(4√2+3.-2√2+1)
まで出しました。
お願いします。
No.38981 - 2016/09/19(Mon) 11:37:24
☆ Re: 図形と方程式 / X
添付した図で考えます。
(見やすくするため、x軸を右上がりで
引いていますので注意して下さい。
又、点Tは円C[2]の中心です。)

問題の図形はこの図での図形PQUですので
求める面積をSとすると
S=(△PQRの面積)-(図形PRUの面積)
=(△PQRの面積)-{(扇形PTUの面積)+(△RTUの面積)}
ということで
△PQR,△RTU,扇形PTUの面積
を求めるわけですが、ここで問題となるのは
(i)点Rの座標
(ii)扇形PTUの中心角
です。
(i)について。
これは直線QTが円C[2]の中心を通る
直線lの垂線であることからその方程式
が求められますので、それにy=0を
代入します。
(ii)について。
P,Uの座標から辺UPの長さを、
円C[2]の半径から辺PT,TUの長さを
それぞれ求めて、△PTUにおいて
余弦定理から
cos∠PTU(つまり扇形の中心角の余弦)
の値を求めます。
計算を進めれば
∠PTU=30°
となることが分かります。

ということで、まずは点P,Q,R,T,Uの座標を
求める必要があります。
これらの点の座標で求め方が分からない
ようであれば、その旨をアップして下さい。
No.38986 - 2016/09/19(Mon) 16:00:19
★ 中3 平面図形 / 塾なし受験生
この問題の解説の「IG//AB JH//CDとなる線を引く。…IG=1cm …
JH=2cm」というところまではわかるのですが、その次の「よってEF:IG=HF:HGよりx:1=2:(2+1) x=2/3」となる理由がわかりません。こうなる理由を教えてください。
No.38980 - 2016/09/19(Mon) 07:37:51
☆ Re: 中3 平面図形 / noname
三角形IEGと三角形HEJは相似であり，その相似比はIG：HJ＝1：2より1：2となります．よって，IE：HE＝1：2が成立します．今度は三角形IHGと三角形EHFについて考えると，直線IGと直線EFは平行なので，EF：IG＝HE：IH(…?@)が成立します．ところで，いまIE：HE＝1：2であったため，HE：IH＝2：(2+1)＝2：3となります．ゆえに，?@よりx：1＝2：3が成立します．
No.38982 - 2016/09/19(Mon) 14:28:44
☆ Re: 中3 平面図形 / noname
補足ですが，次の公式を知っていればより簡単にxの値を求めることが出来ます．


[公式]
平面上に異なる4点A,B,C,Dがあり，直線ABと直線CDは互いに平行である．ただし，直線CD上において，Cは点Aに近い側にあり，Dは点Bに近い側にあるものとする．また，線分ADと線分BCの交点をEとする．さらに，線分BD上の点Fを，直線ABと直線EFが互いに平行である様にとる．AB＝xcm,CD＝ycmとする時，EF＝xy/(x+y)cmである．


実際，IG＝1cm,JH＝2cmという情報から，

EF＝1・2/(1+2)＝2/3(cm)

の様に計算することが出来ます．．
No.38983 - 2016/09/19(Mon) 14:38:12
☆ Re: 中3 平面図形 / 塾なし受験生　中三
わかりやすい解説ありがとうございます！公式使えば簡単ですね！
No.38987 - 2016/09/19(Mon) 16:25:38
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