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★ (No Subject) / なまいた
あっているか確認お願いします
No.38977 - 2016/09/18(Sun) 20:56:07
☆ Re: / noname
問題ないかと思います．
No.38979 - 2016/09/18(Sun) 23:00:06
★ (No Subject) / アイス
この問題はただ3つの平均値を足して3で割るだけでいいと思うのですが、なぜ、それぞれの人数が提示してあるのでしょうか？単なるひっかけですか？
No.38975 - 2016/09/18(Sun) 16:39:48
☆ Re: / ＿
その計算方法だと、たとえばA組の人数が1人、B組の人数も1人、C組の人数が100000000000人とかの場合でも全体の平均値が74.66666…(=(75+77+72)/3)ということになるわけですが、そこに違和感は感じませんか？
No.38976 - 2016/09/18(Sun) 16:47:07
☆ Re: / angel
ここで言ってる「平均値」は相加平均で、

　(全員の値の合計)÷(人数)

なんですね。A組の平均75というのは、

　(A組全員の値の合計)÷(A組の人数)=75

ということです。

では、A,B,C組全体の平均は?

　(A,B,C組全員の値の合計)÷(A,B,C組の人数の合計)

であって、「平均値の合計÷組数」ではないんですね。
No.38978 - 2016/09/18(Sun) 22:41:27
★ (No Subject) / ユー
この問題ってどうやって考えれば良いでしょうか？
No.38963 - 2016/09/17(Sat) 14:16:21
☆ Re: / noname
(1),(2)は同様な問題なので，特に(1)のみを解説します．3個のサイコロの出る目をそれぞれa,b,cとする時，それらの組(a,b,c)であって

?@a+b＝5である様な組
?Ab+c＝5である様な組
?Bc+a＝5である様な組

をそれぞれ求めてみてください．後は?@,?A,?Bの組たちのうち異なるものを全て数え上げると「3個のうちいずれか2個のサイコロの目の和が5になる」様な場合の数が分かります．ここまでできれば求めるべき確率を計算することが出来るでしょう((2)も同様に考えれば解ける筈です)．


一方，(3)については，「どの2個のサイコロの目の和も5の倍数ではない」という事象の余事象が「ある2個のサイコロの目の和が5の倍数(つまり，5か10)である」という事象であり，この事象の起こり得る確率は(1),(2)の確率の和で計算できます．これを全事象の確率1から引けば求める確率を計算することが出来ます．
No.38964 - 2016/09/17(Sat) 14:45:08
☆ Re: / ヨッシー
サイコロをＸ，Ｙ，Ｚとします。
目の出方は全部で６^3＝216(通り) です。
(1)
ＸとＹとで５になる場合の数をＡ
ＹとＺとで５になる場合の数をＢ
ＺとＸとで５になる場合の数をＣ
ＸとＹ、ＹとＺが５になる場合の数をＤ
ＹとＺ、ＺとＸが５になる場合の数をＥ
ＺとＸ、ＸとＹが５になる場合の数をＦ
Ａ＋Ｂ＋Ｃ−Ｄ−Ｅ−Ｆ がいずれか２個のサイコロの目が
５になる場合の数です。
216 で割れば確率になります。

(2) も同様に考えて良いですが、
数が少ないので、(1) のＡ，Ｂ，Ｃを求める部分は同じとして、
Ｄ，Ｅ，Ｆを計算で出す代わりに、
(X,Y,Z)＝(4,6,6),(6,4,6),(6,6,4),(6,4,4),(4,6,4)(4,4,6)
が２つずつ、
(X,Y,Z)＝(5,5,5) が３つ重複しているので、
Ａ＋Ｂ＋Ｃ から８を引きます。

(3) 余事象で考えます。つまり、５の倍数となる組が１つでも含まれている場合の数を216から引きます。
５の倍数となる組が１つでも含まれている場合の数は
(1) の時の場合の数と、(2) の時の場合の数の和から、
重複している、(1,4,6) およびこれを並べ替えた計６通りを引きます。
No.38965 - 2016/09/17(Sat) 14:52:35
☆ Re: / ユー
答えは⑴5/18⑵23/108⑶29/54
で合ってますか？
No.38966 - 2016/09/17(Sat) 15:01:33
☆ Re: / ヨッシー
ＯＫです。
No.38967 - 2016/09/17(Sat) 15:31:11
★ 焼きそばについて。一次不等式について。 / コルム
焼きそばの模擬店を開くことになった。ただしガスボンベと材料費は自腹とする。A案とB案が相談し,C案はしゅってんしないということです。それで、A案よりもB案が儲かるような範囲を決めてほしいのです。答えがB案で、答えが、50以上200以下でつくっていただけると幸いです。教えていただけないでしょうか。意味不明なところがありましたら教えていただけないでしょうか。本当にすみません。
No.38959 - 2016/09/17(Sat) 13:24:38
☆ Re: 焼きそばについて。一次不等式について。 / コルム
材料費は50円で、ガスボンベだいは10000円でお願いします。
No.38960 - 2016/09/17(Sat) 13:26:19
☆ Re: 焼きそばについて。一次不等式について。 / コルム
ガスボンベは1つにつきです。本当にすみません。
No.38961 - 2016/09/17(Sat) 13:27:06
☆ Re: 焼きそばについて。一次不等式について。 / コルム
xは焼きそばの個数です。
No.38962 - 2016/09/17(Sat) 13:30:02
★ (No Subject) / アイス
画像の問題なんですが、
・なぜ、y'=4x^3-4x＋1より、とする必要があるのですか？
・シャーペンで引いてあるところがなぜ=になるか分からないのと、その下の計算もなぜそうなるか分かりません。
No.38954 - 2016/09/17(Sat) 09:39:41
☆ Re: / ヨッシー
接点(a, a^4−2a^2＋a＋2) における接線とは、
点(a, a^4−2a^2＋a＋2) を通り、傾き 4a^3−4a＋1 の直線です。

傾き 4a^3−4a＋1 を出すために、微分して、
　ｙ'＝4x^3−4x＋1
を求めています。

これらを、中学の時に習った、点(x1, y1) を通り、傾きｋの直線の式
　ｙ−ｙ1＝ｋ(ｘ−ｘ1)
に代入したものが、下線を引いた式です。
それを ｘについて降べきの順に並べ直したのが、その下の式です。
No.38955 - 2016/09/17(Sat) 10:17:58
☆ Re: / angel
うーん解答としては、文のつながりが悪い、よろしくないものですね。
式を羅列するのが解答ではないので…。
※極端ですが、私が解答書くとき、個々の計算の途中経過はほとんど省略してましたからね…。
No.38956 - 2016/09/17(Sat) 10:32:32
☆ Re: / アイス
何度質問してすみません。
シャーペンで囲ってあるところがよく分かりません。
No.38957 - 2016/09/17(Sat) 12:27:06
☆ Re: / ヨッシー
　x^4−2x^2−(4a^3−4a)x＋3a^4−2a^2＝0 ・・・(i)
の左辺に x=a を代入すると０になるので、
左辺は (x-a) がくくり出せて、
　((i)の左辺)＝(x-a)(x^3＋ax^2＋(a^2−2)x−3a^2＋2a)
x^3＋ax^2＋(a^2−2)x−3a^2＋2a に x=a を代入すると０になるので、
さらに (x-a) がくくり出せて
　((i)の左辺)＝(x-a)^2(x^2＋2ax＋3a^2−2)
となります。
No.38958 - 2016/09/17(Sat) 12:50:07
☆ Re: / アイス
なぜ、x-aがくくり出せるのですか？
あと、(x-a)(x^3＋ax^2〜)となるのはなぜですか？
No.38968 - 2016/09/17(Sat) 18:21:20
☆ Re: / angel
ヨッシーさん本人ではないですが

> なぜ、x-aがくくり出せるのですか？

このように理由が書いてありますね。

> 左辺に x=a を代入すると０になるので、左辺は (x-a) がくくり出せて、

ピンと来ない場合は、「剰余の定理」を復習しましょう。
http://mathtrain.jp/joyonoteiri

> (x-a)(x^3＋ax^2〜)となるのはなぜですか？

「なぜ」というのは「結果がおかしいのでは?」ということでしょうか? それとも「計算の仕方が分からない」ということでしょうか? (「なぜ」だけだと何を知りたいのか、周りにとって分かり辛いので… )

実は、ヨッシーさんの計算には微妙に誤記があって、

　(x^4-2x^2-(4a^3-4a)x+3a^4-2a^2)
　=(x-a)(x^3+ax^2+(a^2-2)x-3a^3+2a)

が正しいです。
計算方法という意味では、

　(x^4-2x^2-(4a^3-4a)x+3a^4-2a^2)÷(x-a)

という1次式による割り算を行っているので「組立除法」を使うのが楽でしょう。やり方については次を参考に。
http://mathtrain.jp/kumitate
No.38969 - 2016/09/17(Sat) 20:19:27
☆ Re: / アイス
組立除法のやり方は分かりました。わざわざリンクまで貼って頂きありがとうございました。
しかし、今回の問題を組立除法で解くには自分にとってかなりの難題なので、組立除法でどう解くか教えて下さい。
No.38970 - 2016/09/17(Sat) 21:02:01
☆ Re: / angel
手書きなのでちょっと汚いですが、この画像のような感じですね。
ポイントとしては、

* 割る対象の多項式の係数を並べる。飛ばされている x^3 のところは係数 0 と考える。
* ÷(x-a) の計算なので、-a の符号を反転した a がベースになる。
* 下の向きには足し算、右上の向きには×aを繰り返す
* 下の段に現れる数/式が、商の係数の一覧。ただし右端は余り
No.38971 - 2016/09/17(Sat) 22:30:46
☆ Re: / angel
もちろん、こういう筆算でも良いんですが。…でも、やってる計算は結局同じで ( 足し算か引き算の違いはありますが )、組立除法の方がスッキリ書けるんですよね。
※2次式以上での割り算なら、基本は筆算です。
No.38972 - 2016/09/17(Sat) 22:43:15
☆ Re: / アイス
ありがとうございます。やっと理解出来ました。
No.38974 - 2016/09/18(Sun) 10:08:16
★ (No Subject) / アイス
積分の問題なんですが、間違っている答えがあれば教えて下さい。
No.38944 - 2016/09/15(Thu) 19:37:54
☆ Re: / アイス
456もお願いします。
No.38945 - 2016/09/15(Thu) 19:38:34
☆ Re: / X
全て正解です。
No.38947 - 2016/09/15(Thu) 19:57:51
★ (No Subject) / 絹豆腐
11.(3)の解説を詳しくお願いします
No.38943 - 2016/09/15(Thu) 19:04:17
☆ Re: / IT
g(x)=√(1+x)とおくと　f(x)=g(g(g(x))) これを合成関数の微分法を２重に使って微分する。



あるいは
f(x)=√(1+√(1+√(1+x)))
２乗すると　f(x)^2=1+√(1+√(1+x)),f(x)^2-1=√(1+√(1+x))
２乗すると f(x)^4-2f(x)^2+1=1+√(1+x)
微分すると　4(f(x)^3)f'(x)-4(f(x))f'(x)=1/(2√(1+x))
したがって　1/f'(x)=8f(x)(f(x)^2-1)√(1+x)
よって　　　1/f'(0)=8√(1+√2)√2
No.38946 - 2016/09/15(Thu) 19:42:46
☆ Re: / 絹豆腐

g(x)=√(1+x)とおくと　f(x)=g(g(g(x))) これを合成関数の微分法を２重に使って微分する
の途中式をお願いします。
No.38948 - 2016/09/15(Thu) 20:48:08
☆ Re: / IT
f’(x)=g’(g(g(x)){g(g(x))}’=g’(g(g(x))g’(g(x))g’(x)

ここにg’(x)=(1/2)(1/√(1+x)),g(0)=1,g(g(0))=√2 などを使い　1/f’(0) を求める。
No.38952 - 2016/09/16(Fri) 20:26:37
★ 数列 / ポリプロピレン
数列、｛an｝はすべての項が正であり、また、a1=√5、(an+1)^2+2=(2an+1)(2an-1) (n=1.2.3…)とする
⑴a2、a3を求めよ
⑵(an)^2をnで表せ
⑶pを正の整数とする。p<√(p^2+1)<p+1/pが成り立つことを示せ
⑷⑶の結果を用いて、Σ[k=1.10]の整数部分を求めよ

⑴a2=√17 a3=√65
⑵(an)^2=4^n+1
になりました。
⑶から解説をお願いします。
No.38935 - 2016/09/14(Wed) 21:42:02
☆ Re: 数列 / ヨッシー
an+1 は (an)＋1 か a[n+1] か？
2an+1 は 2(an)＋1 か 2a[n+1] か？
2an-1 は 以下同文

明確にして下さい。
No.38936 - 2016/09/15(Thu) 00:09:13
★ 定積分の計算 / ふなっし
2∫［0→∞］t^2/(t^4+1)dt

はどのように計算するのでしょうか？
答えは、π/√2だそうです。

お願いいたします。
No.38934 - 2016/09/14(Wed) 21:09:05
☆ Re: 定積分の計算 / noname
次の因数分解

t^4+1
＝(t^2+1)^2-2t^2
＝(t^2+√2t+1)(t^2-√2t+1)

より，件の定積分を

2∫［0→∞］t^2/(t^4+1)dt
＝1/√2∫_[0,∞](t/(t^2-√2t+1)-t/(t^2+√2t+1))dt
＝1/√2∫_[0,∞]t/(t^2-√2t+1)dt-1/√2∫_[0,∞]t/(t^2+√2t+1)dt

の様に変形することが出来ます．ここから先はご自身でお考えください．
No.38939 - 2016/09/15(Thu) 04:01:02
★ 極限 / らぐ
lim(x→∞)f(x)=A,lim(x→∞)g(x)=Bのとき
lim(x→∞)f(x)g(x)=AB
というものがありますが,これはA=∞,B=-1のときも成り立ちますか?
No.38932 - 2016/09/14(Wed) 20:29:54
☆ Re: 極限 / angel
まず、∞という数はありませんので「成り立ちません」というより「計算できません」。

ただし、「∞という数を形式的に一つの数として扱う」なら、ある程度の規則性はあります。あくまで本当の数ではなく、数っぽく扱うだけだということに注意してください。

その場合、
　+∞+(実数), +∞-(実数)→+∞
　-∞+(実数), -∞-(実数)→-∞
　+∞×(正の実数), -∞×(負の実数)→+∞ ( ×の代わりに÷でも同様 )
　-∞×(正の実数), +∞×(負の実数)→-∞ ( ×の代わりに÷でも同様 )

今回は、+∞×(-1)の形ということで、-∞に発散、となります。

なお、+∞-(+∞) や +∞×0、+∞÷(+∞) 等々といった形は、形だけからどうなるかは分かりません。実際の式を計算してみないとなんとも言えないのです。
No.38933 - 2016/09/14(Wed) 20:56:00
☆ Re: 極限 / らぐ
分かりやすい説明をありがとうございます.
おかげで理解することができました.
No.38953 - 2016/09/16(Fri) 23:39:20
★ (No Subject) / もぐさ
わかりやすく説明お願いします
No.38930 - 2016/09/14(Wed) 20:00:43
☆ Re: / noname
以下を参考にしてみてください．


[ヒント]
(1)等式の左辺を

mn-2m-4n+10
＝(m-4)(n-2)+2

の様に変形すれば，等式より(m-4)(n-2)＝-2が成立する．これを基に満たすべき組(m,n)について考えればよい．
(2)三角関数の合成を利用して考えてみよ．
(3)2つの正の解をα,βとすると，解と係数の関係から

α+β＝2a,αβ＝-a+6

であり，α＞0かつβ＞0よりα+β＞0かつαβ＞0でなければならない．このことと上の2つの式を用いて満たすべきaの範囲を考えてみよ．
(4)放物線の焦点の座標と準線の方程式の公式を用いよ．
(5)区分求積法により，

lim_[n→∞]1/nΣ_[k＝1,n]1/√(1+k/n)
＝∫_[0,1]dx/√(1+x)

である．後はこの等式の右辺の定積分を計算すればよい．
No.38938 - 2016/09/15(Thu) 03:21:33
★ (No Subject) / ポン太
わかりやすく説明お願いします
No.38929 - 2016/09/14(Wed) 19:59:31
☆ Re: / noname
以下の解説を参考に一度お考えください．


[解説]
(1)t＝e^{2x}+4e^x+1と変数変換すると

dt/dx＝2(e^{2x}+2e^x)

であり，xが-1から1まで値をとる時，tはe^{-2}+4e^{-1}+1からe^2+4e+1まで値をとります．よって，定積分の変数変換の式より

∫_[-1,1]f(x)dx
＝∫_[-1,1](e^{2x}+2e^x)/(e^{2x}+4e^x+1)・dx
＝∫_[e^{-2}+4e^{-1}+1,e^2+4e+1]dt/(2t)

の様に変形することが出来ます．後はこの等式の最右辺の定積分を地道に計算していくだけです．
(2)(i)定積分∫_[-1,1]f(x)dxの積分区間[-1,1]を[-1,a_[n]],[a_[n],1]の2つに分割して考えるとよいかと思います．その際に，(1)の結果と数列{a_[n]}に関する条件を用います．
(ii)n＝1の場合は明らかなので，特にn＝kの時に不等式が成り立つと仮定した場合での議論について説明を与えておきます．関数f(x)は非負実数をとる関数なので，定積分∫_[-1,a_[k]]f(x)dxも非負です．また，0≦a_[k]≦1，{a_n}の条件，(1)の結果とf(x)が非負であることよりa_[k+1]≦1を示すことが出来ます．
(3)微分法により，f(x)は定義域上で単調増加な関数であることが言えます．特に，-1≦x≦1ではf(x)≦f(1)です．これと(2)の(i)の結果より問題文にある不等式を導出することが出来ます．後半の問いについては，ある自然数ℓに対してa_[ℓ]＝1ならば，不等式よりa_[n]＝1(n≧ℓ)であるため，この場合の数列{a_[n]}の極限は容易に分かるかと思います．一方，a_[n]≠1(n＝1,2,...)の場合は，n＞1ならば

0≦1-a_[n]≦f(1)(1-a_[n-1])≦…≦(f(1))^{n-1}

が得られるため，はさみうちの原理を利用すればこの場合での{a_[n]}の極限も分かるかと思います．
No.38937 - 2016/09/15(Thu) 03:11:37
★ (No Subject) / アイス
画像の問題の最後のほうのa=4-2=2とは、どこからでてきましたか？
No.38927 - 2016/09/14(Wed) 19:28:00
☆ Re: / angel
…まあこれは、載っている解説? がやや不親切ですかねえ…。

件の a=4-2=2 の直前にある y=2x-2 とは「曲線 y=f(x) の x=1 における接線」のことです。

で、問題文に、「この接線と曲線 y=f(x) は x=2 で交わる」とあります。
すなわち、

　f(2)=( 接線のx=2でのy座標 )

f(2)=a というのはその上の計算で出ていますし、「接線のx=2でのy座標」は y=2x-2 という接線の方程式から計算できます。それが a=4-2=2 です。
No.38931 - 2016/09/14(Wed) 20:27:16
★ 楕円の接線 / ゆうとりん
サラリーマンです。
プログラムを作成するのに必要です。

(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1
で表される楕円をΘ度回転した楕円があるとします。
この楕円に対し、X軸およびY軸に平行となる接線の求め方を教えてください(角度0の外接四角形を知りたい)。

ご教授お願いします。
No.38924 - 2016/09/14(Wed) 14:24:38
☆ Re: 楕円の接線 / ペンギン
通常の楕円に対し、-θ, π/2-θ の角度で傾いた接線の接点を求めます。
通常の楕円の接線の公式はよく知られているので、それに代入すれば求まります。その後接点をθだけ回転した点を求め、その点を通るx,y軸に平行な線を求めてはいかがでしょう？
No.38925 - 2016/09/14(Wed) 16:42:13
☆ Re: 楕円の接線 / 関数電卓
与えられた楕円上の点 P は，φ(0≦φ≦2π) を用いて P(acosφ，bsinφ) と表されます。
P を原点の周りにθ回転した点は P'(acosθcosφ−bsinθsinφ，asinθcosφ＋bcosθsinφ) ですから，回転後の楕円の外接四角形は，P' の x 座標，y 座標の最大値を求めればよく，それは一目で，x 座標が √((acosθ)^2＋(bsinθ)^2)，y 座標が √((asinθ)^2＋(bcosθ)^2) です。
No.38926 - 2016/09/14(Wed) 16:59:53
☆ Re: 楕円の接線 / ゆうとりん
ペンギンさん、関数電卓さん、ありがとうございます！
なんとかなりそうです。
感謝です。
No.38928 - 2016/09/14(Wed) 19:53:55
★ (No Subject) / あくえ
三角関数の分野で、高２です。
二倍角の公式と合成を使うとこまでは分かったのですが、ここから先どうすれば最小値とΘが出せるんでしょうか…
No.38920 - 2016/09/14(Wed) 00:38:11
☆ Re: / X
最小値の計算を簡単にするため
0＜α＜π/2
という条件を付けた上で
2θ+α
の値の範囲をもう一度考えて
みましょう。
No.38922 - 2016/09/14(Wed) 04:25:38
★ (No Subject) / もぐさ
答えはわかったのですが途中の過程の式がまったく意味がわかりませんわかりやすく解説お願いします
No.38916 - 2016/09/13(Tue) 22:48:03
☆ Re: / IT
手書きの答えは、あなたの答えですか、何かの転記ですか？
>途中の過程の式がまったく意味がわかりません
手書きの式が分らないということですか？
(x,y,z)=(1,2,3) は不正解だと思いますが？
No.38917 - 2016/09/13(Tue) 23:20:28
☆ Re: / IT
条件の両辺をxyz>0 で割ると1=1/z+1/x+1/y
ここで　１≦x≦y≦z を使って　1/x+1/y+1/z を評価します。　
xの値を絞って、場合分けしてy,zを求めます。
No.38918 - 2016/09/13(Tue) 23:28:25
☆ Re: / IT
あるいは
1≦x≦y≦z より　xyz=xy+yz+zx≦3yz
よってx≦3
x=1のとき　yz=y+yz+z となり不適
x=2のとき　....
x=3のとき ....
No.38919 - 2016/09/13(Tue) 23:35:41
★ (No Subject) / ポン太
解説をわかりやすくお願いします
No.38913 - 2016/09/13(Tue) 18:10:52
☆ Re: / X
(1)
これは部分積分を使います。
∫logxdx=xlogx-∫x(1/x)dx
=xlogx-x+C
(Cは積分定数)
∫{(logx)^2}dx=x(logx)^2-∫x{(2logx)(1/x)}dx
=x(logx)^2-2∫logxdx
=x(logx)^2-2xlogx+2x+C
(Cは積分定数)

(2)
(i)
V[1]=∫[1→e]{π(logx)^2}dx
=π[x(logx)^2-2xlogx+2x][1→e] (∵)(1)の結果より
=(e-2)π
(ii)
y=log(kx)
より
x=(1/k)e^y
∴V[2]=∫[0→1]{π((1/k)e^y)^2}dy
=(π/k^2)∫[0→1]{e^(2y)}dy
={π/(2k^2)}(e^2-1)
これと(i)の結果により、
{π/(2k^2)}(e^2-1)=(e-2)π
k＞0に注意してこれを解き
k=√{(e^2-1)/{2(e-2)}}
No.38914 - 2016/09/13(Tue) 19:43:52
☆ Re: / ポン太
=(π/k^2)∫[0→1]{e^(2y)}dy
={π/(2k^2)}(e^2-1)
この式変形の仕方を詳しくお願いします
No.38915 - 2016/09/13(Tue) 22:27:19
☆ Re: / X
=(π/k^2)∫[0→1]{e^(2y)}dy
=(π/k^2)[(1/2)e^(2y)][0→1]
={π/(2k^2)}(e^2-1)
となります。
No.38921 - 2016/09/14(Wed) 04:22:34
★ 式と曲線 / ゆい
連続投稿すみません、下の質問の問題です。
No.38910 - 2016/09/13(Tue) 07:28:54
★ 式と曲線 / ゆい
解答の(2)の四行目と六行目が分かりません
PQ^2=(1+t)(α+β)^2と、タンジェントの変換のところです。

直線や線分と書かれていないということは、点Pと点Qの二乗を掛けているということですか？
タンジェントはtanθ=sinθ/cosθを利用しているのでしょうか？
面倒かもですが、よろしくお願いします。
No.38909 - 2016/09/13(Tue) 07:27:02
☆ Re: 式と曲線 / angel
※同じ質問の追加情報や補足内容は、自分の記事への返信という形にして、ひとまとまりになるようにして頂けると助かります。

さて、ご質問についてですが、

> 直線や線分と書かれていないということは、点Pと点Qの二乗を掛けているということですか？

PQ^2 というのは、「線分PQの長さの2乗」と解釈してください。
( あるいは、「点P,Q間の距離の2乗」でも構いません。同じことです )

> PQ^2=(1+t^2)(α-β)^2

これは、「傾き t の直線上で、x座標がα,βの2点間の距離は幾らか」を考えて計算した結果です。

　(距離の2乗)=(x座標の差の2乗)+(y座標の差の2乗)

ですよね。ここに今の状況を当てはめると、

　PQ^2=(α-β)^2 + ( t(α-β) )^2

となりますので、ここから計算できます。( 慣れていれば、この式はすっとばせます )

> タンジェントはtanθ=sinθ/cosθを利用しているのでしょうか？

はい。で、同じことではあるのですが、分数を使わない形の方が見て混乱しにくいでしょうから、

　cosθtanθ=sinθ

という形で、カッコの中身 (1+(tanθ)^2)/(1-(tanθ)^2) を整理してみます。分母・分子に (cosθ)^2 をかけます。( 約分の逆 )

　　(1+(tanθ)^2)/(1-(tanθ)^2)
　= (cosθ)^2・(1+(tanθ)^2)/( (cosθ)^2・(1-(tanθ)^2) )
　= ( (cosθ)^2 + (cosθtanθ)^2 )/( (cosθ)^2 - (cosθtanθ)^2 )
　= ( (cosθ)^2 + (sinθ)^2 )/( (cosθ)^2 - (sinθ)^2 )

ということで、解答にある式が計算できます。
No.38911 - 2016/09/13(Tue) 10:09:11
☆ Re: 式と曲線 / ＿
angel氏とタイミングが重なったので重複部を消去。
あとせっかく書いたので補足してみる。

---

「点Pと点Qの二乗を掛けている」とは考えようがありません。点を表す記号を数値として表す概念は習っていないはずですので。「線分PQとは書かれていないから」という理由で別の解釈を引っ張り出してみるのは筋が悪いです。

そもそも問題文にPQ^2が登場していますね。調べたところ原典でこの表現を用いているようです。大学側に「線分PQの長さならそう書いてくれないとわからない」と言ったところで多分一蹴されるでしょう。まあ、問題文として詰めの甘い書き方だとは思いますが。
No.38912 - 2016/09/13(Tue) 10:14:03
☆ Re: 式と曲線 / ゆい
お二方ともありがとうございました!
投稿の仕方も以後気をつけます
No.38923 - 2016/09/14(Wed) 12:46:15
☆ Re: 式と曲線 / noname
質問が解決されている様なので言及すべきかどうか迷ったのですが，念の為に書いておきます．

問題文には直線lが双曲線の漸近線と平行になることはないという指定は書かれていますが，直線lとx軸が直交するかどうかについては何も指定されていません．ということは，本当は直線lとx軸が直交する場合とそうでない場合で場合分けをして解答されるべきなのですが，参考書の解答例には直線lとx軸が直交しない場合についての解答例しか与えられていません．

そういうわけで，質問者様は直線lとx軸が直交する場合でもCとlが異なる2点で交わることを確認していただくとよいかと思います．この場合は図を見ればすぐに分かる程度の自明な場合なので，確認するのは非常に易しいかもしれません．
No.38940 - 2016/09/15(Thu) 13:16:00
☆ Re: 式と曲線 / noname
先程のコメントの補足説明は主に(1)に対してです．一方，(3)においてはlとmがともにCと異なる2点で交わる必要があるため，l,mはともにCの漸近線と平行になることはないという指定が必要となります．この時にl,mのいずれかがx軸と直交することはありません(lとmのなす角を考えればわかる)．
No.38941 - 2016/09/15(Thu) 13:20:59
☆ Re: 式と曲線 / angel
> 問題文には直線lが双曲線の漸近線と平行になることはないという指定は書かれていますが，直線lとx軸が直交するかどうかについては何も指定されていません．

No.38910にあるオリジナルの問題文には「θはπ/4の整数倍ではないとする」とありますので、直線l ( x軸となす角がθ ) が x軸と直交することはないです。

※もちろん、直交する場合等はどうか、というケアは必要かと思います。( 今回は考えなくてよいだけで )
No.38951 - 2016/09/16(Fri) 14:04:49
☆ Re: 式と曲線 / noname
>No.38910にあるオリジナルの問題文には「θはπ/4の整数倍ではないとする」とありますので、直線l ( x軸となす角がθ ) が x軸と直交することはないです。

条件よりx軸と直交することがないのは直線mの方であり，直線lはx軸と直交する可能性はあります．なぜなら，lとx軸のなす角θに関する条件は双曲線の2本の漸近線のうちいずれとも平行になることはないことを言っているのであり，θ≠π/2+kπ(k＝0,±1,±2,...)という指定まではされておりません．したがって，直線mに関しては気にする必要はありませんが，直線lについてはx軸と直交する場合を確認しなければなりません．
No.38973 - 2016/09/17(Sat) 23:12:13
★ (No Subject) / アカシロトモ
次の問題で(1)は解けましたが、(2)は(1)を誘導として利用して、1/op+1/oqの最大値からOP∙OQの最小値を求めるのではないかと考えましたがわかりません。
教えてください。よろしくお願いいたします。

楕円 x^2/a^2 +y^2/a^2 =1(a,bは正の実数)上の２点P,Qが
∠POQ=90°を満たしながら動くとき,次の問いに答えなさい。
(1) 1/OP^2 +1/OQ^2 =1 が一定であることを証明せよ。
(2) OP∙OQの最小値を求めよ。
No.38902 - 2016/09/11(Sun) 23:14:37
☆ Re: / angel
相加・相乗平均の関係 (a+b)/2≧√(ab) の活用ですね。

つまり、(1+/OP^2+1/OQ^2)/2≧√(1/OP^2・1/OQ^2) です。

なお、OP・OQが最小値を取るのは、上の不等式の等号成立時になりますが、ちゃんとそのようなP,Qの取り方があることは確認しなければなりません。
No.38903 - 2016/09/11(Sun) 23:37:39
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん
ありがとうございました。
1/a^2+1/b^2≧2/ab
よって、1/abの最大値、すなわちabの最小値は
(1/a^2+1/b^2）/2で
等号成立条件は1/a^2=1/b^2　より
a=b ,つまり楕円が円になるときで、
P(acosθ,asinθ),Q(-asinθ,acosθ)はとり得る値？

ここまでは考えましたが。よくわかりません。
また、与式に誤植がりました。失礼いたしまた。
楕円 x^2/a^2 +y^2/b^2 =1
No.38904 - 2016/09/12(Mon) 00:07:34
☆ Re: / angel
いえいえ。すいません。(a+b)/2≧√(ab) が紛らわしかったですね。これは問題のa,bとは関係ないです。

* (1) の答え 1/OP^2+1/OQ^2=1/a^2+1/b^2
* 相加・相乗平均の関係 (1+/OP^2+1/OQ^2)/2≧√(1/OP^2・1/OQ^2)

この2つから、(1/a^2+1/b^2)/2≧√(1/OP^2・1/OQ^2)=1/(OP・OQ) です。

なお、等号成立は 1/OP^2=1/OQ^2、つまり OP=OQ です。( 問題のa,bは定数なので、a,bの条件を出すわけではないです )
こういうP,Qが取れるか…は、実際に座標を1組で良いので計算してあげれば良いと思います。
No.38905 - 2016/09/12(Mon) 01:12:52
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

昨日、ご回答いただいていたのですね。
申し訳ありませんでした。
おかげさまでよく理解できました、とても助かりました。
ありがとうございました。
No.38907 - 2016/09/12(Mon) 06:51:51
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