平面上に、点Oを中心とする半径rの円がある。
その円周上に、反時計回りの順にP1,P2,P3,P4,P5,P6のの6点がある。
P1P2=P2P3=P3P4=4
P4P5=P5P6=P6P1=7である。
(1)円の半径rの値を求めよ。
(2)六角形P1P2P3P4P5P6の面積Sを求めよ。
この問題の解法を教えてください！
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No.39542 - 2016/10/13(Thu) 22:11:17
| ☆ Re: / IT | | | OからP1P2への垂線の足をA、OからP1P6への垂線の足をBとする。
α=∠AOP1,β=∠BOP1 とおくと α+β=π/3
よって sin(α+β)=√3/2
加法定理により
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=(2/r){√(r^2-3.5^2)/r}+{√(r^2-2^2)/r}(3.5/r)=√3/2
これを解けば良いと思います。（もう一つ条件が必要かも知れません）
解くのが大変そうなので、うまいやり方ではないですね。
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No.39546 - 2016/10/13(Thu) 23:44:46 |
| ☆ Re: / noname | | | 次の様に考えてもよいです．∠P_[3]OP_[4]＝α,∠P_[4]OP_[5]＝βとおくと，
∠P_[1]OP_[2]＝∠P_[2]OP_[3]＝∠P_[3]OP_[4]＝α,
∠P_[4]OP_[5]＝∠P_[5]OP_[6]＝∠P_[6]OP_[1]＝β
であるから，3α+3β＝2πとなります．これより
∠P_[3]OP_[5]＝α+β＝2π/3.
また，円周角の定理より
∠P_[3]P_[4]P_[5]＝(2π-2π/3)・1/2＝2π/3となるため，三角形P_[3]P_[4]P_[5]とP_[3]OP_[5]において余弦定理を用いると，
4^2+7^2-2・4・7・cos(2π/3)＝r^2+r^2-2・r・r・cos(2π/3).
後はこの式をrについて解けばよいです．(2)については，三角形P_[3]OP_[4]とP_[4]OP_[5]について，Oから線分P_[3]P_[4],P_[4]P_[5]へ垂線をひいた時の交点をP,Qとすると，三平方の定理より
OP^2＝r^2-2^2＝…,
OQ^2＝r^2-(7/2)^2＝…
となるので，三角形P_[3]OP_[4]とP_[4]OP_[5]の面積をS,Tとすれば，
S＝1/2・4・OP＝…,
T＝1/2・7・OQ＝….
∴(六角形P_[1]P_[2]P_[3]P_[4]P_[5]P_[6]の面積)＝3S+3T＝….
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No.39547 - 2016/10/14(Fri) 00:01:23 |
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