これ解いてください。突破口がみつからなくて困っています。
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No.39169 - 2016/09/26(Mon) 22:36:51
| ☆ Re: 高校2年生 数学B 数列 漸化式に関する問題 / IT | | | めんどうそうですね。
（１）は、できるのでは？
なおb(n)=a(2^(n-1))+a(2^(n-1)+1)+a(2^(n-1)+2)+a(2^(n-1)+3)+・・・+a(2^(n-1)+2^(n-1)-1) ということだと思います。
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No.39172 - 2016/09/26(Mon) 23:28:36 |
| ☆ Re: 高校2年生 数学B 数列 漸化式に関する問題 / noname | | | (1)については，数列[a(n)},{b(n)}の定義に則って地道に計算するのみです．(3)については，{b(n)}の一般項が分かっていれば，
Σ_[k＝1,2^n-1]a(k)
＝Σ_[k＝1,n](Σ_[ℓ＝2^{k-1},2^k-1]a(ℓ))
＝Σ_[k＝1,n]b(k)
を計算するのみなので，これも難しくはないです．一方，(2)は他の設問と比べて解きづらい感じになっています．以下では(2)の解き方の概要を与えておきます．
[(2)の解き方]
(1)の結果からb(n)＝3^{n-1}(…?@)(n＝1,2,3,...)と類推できる．これが成り立つことをnについての数学的帰納法で証明する．n＝1の時の確認については省略する．n＝kの時に?@が成り立つと仮定すると，
b(k+1)
＝a(2^k)+a(2^k+1)+a(2^k+2)+…+a(2^{k+1}-1)
＝Σ_[m＝0,2^{k-1}-1]a(2^k+2m)+Σ_[m＝0,2^{k-1}-1]a(2^k+2m+1)
＝Σ_[m＝0,2^{k-1}-1]a(2^{k-1}+m)+Σ_[m＝0,2^{k-1}-1](a(2^{k-1}+m)+a(2^{k-1}+m+1))
＝Σ_[m＝0,2^{k-1}-1]a(2^{k-1}+m)+Σ_[m＝0,2^{k-1}-1]a(2^{k-1}+m)+Σ_[m＝0,2^{k-1}-1]a(2^{k-1}+m+1)
＝b(k)+b(k)+(b(k)-a(2^{k-1})+a(2^k))
＝3b(k)-a(2^{k-1})+a(2^k).
ここで，a(2^{k-1})＝a(2^k)＝1となることを{a(n)}の定義からチェックできれば，n＝k+1の時も?@が成り立つことが言える．
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No.39173 - 2016/09/26(Mon) 23:55:08 |
| ☆ Re: 高校2年生 数学B 数列 漸化式に関する問題 / noname | | | 以下，同一内容の別コメントに対するリプライです．
例えば，b(4)について考えてみましょう．まずは{a(n)},{b(n)}の定義の条件式から
b(4)
＝a(8)+a(9)+a(10)+a(11)+a(12)+a(13)+a(14)+a(15)
＝(a(8)+a(10)+a(12)+a(14))+(a(9)+a(11)+a(13)+a(15))
＝(a(4)+a(5)+a(6)+a(7))+{(a(4)+a(5))+(a(5)+a(6))+(a(6)+a(7))+(a(7)+a(8))}
＝(a(4)+a(5)+a(6)+a(7))+{(a(4)+a(5)+a(6)+a(7))+(a(5)+a(6)+a(7)+a(8))}
＝(a(4)+a(5)+a(6)+a(7))+(a(4)+a(5)+a(6)+a(7))+{(a(4)+a(5)+a(6)+a(7))-a(4)+a(8)}
＝3(a(4)+a(5)+a(6)+a(7))-a(4)+a(8)
が成立し，b(3)＝a(4)+a(5)+a(6)+a(7),
a(4)＝a(2)＝a(1)＝1,
a(8)＝a(4)＝a(2)＝a(1)＝1
であるから，b(4)＝b(3)が成立します．この様な議論をb(k),b(k+1)の場合でそのまま行えば，(2)の数学的帰納法による解答例を作成することが出来ます．
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No.39179 - 2016/09/27(Tue) 00:39:50 |
| ☆ Re: 高校2年生 数学B 数列 漸化式に関する問題 / noname | | | >また、b（1）、b（2）、b（3）の値もaの漸化式がわかんないので分かりません。
{a(n)}の漸化式は問題文に書かれていますよ．使い方についてですが，
b(n)＝a(2^{n-1})+a(2^{n-1}+1)+…+a(2^n-1)
の右辺においてa(2k)の様な形をしている項については漸化式a(2m)＝a(m)(m≧1)を利用して計算し，a(2k+1)の様な形をしている項については漸化式a(2m+1)＝a(m)+a(m+1)(m≧1)を利用して計算すればよいです．
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No.39180 - 2016/09/27(Tue) 00:44:42 |
| ☆ Re: 高校2年生 数学B 数列 漸化式に関する問題 / angel | | | nonameさんも書かれていますが、まずは地道に計算することです。
式の形を眺めているだけで解法が思い浮かぶほど甘くはありません。規則性が見えるまで、具体例を書き出していくのです。
a(1)=1
a(2)=a(1)=1
a(3)=a(1)+a(2)=2
a(4)=a(2)=1
a(5)=a(2)+a(3)=3
a(6)=a(3)=2
a(7)=a(3)+a(4)=3
…
b(1)=a(1)=1
b(2)=a(2)+a(3)=3
b(3)=a(4)+a(5)+a(6)+a(7)=9
b(4)=a(8)+a(9)+a(10)+a(11)+a(12)+a(13)+a(14)+a(15)
…
その上で、b(n)についても変形を試みます。
b(4)=a(8)+a(9)+a(10)+a(11)+a(12)+a(13)+a(14)+a(15)
=a(4)+(a(4)+a(5))+a(5)+(a(5)+a(6))+a(6)+(a(6)+a(7))+a(7)+(a(7)+a(8))
=2a(4)+3a(5)+3a(6)+3a(7)+a(8)
=2a(4)+3a(5)+3a(6)+3a(7)+a(4)
=3( a(4)+a(5)+a(6)+a(7) )
=3b(3)
こういう風に試して、ある程度見えてきたところで、改めて noname さんの説明をご覧ください。
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No.39183 - 2016/09/27(Tue) 01:06:49 |
| ☆ Re: 高校2年生 数学B 数列 漸化式に関する問題 / k name  | | | 確かに推測してからの数帰という方法もありましたね！！
しかし、Σ計算ですべて処理ができたように思われます。これはどうでしょう？
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No.39186 - 2016/09/27(Tue) 01:42:33 |
| ☆ Re: 高校2年生 数学B 数列 漸化式に関する問題 / noname | | | No.39187 - 2016/09/27(Tue) 01:53:27 |
| ☆ Re: 高校2年生 数学B 数列 漸化式に関する問題 / k name | | | No.39189 - 2016/09/27(Tue) 18:03:21 |
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