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★ 解き方がわかりません。 / ゆうり
x+y+z=xy+yz+zx=4,xyz=-√3を満たす実数x,y,zに対して、次の式の値を求めよ。
x^3+y^3+z^3

この問題の解き方がわかりません。
どなたかヒントをください。
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)
これで右辺から要らないもの引いた式立ててやればできるかな、と考えていたのですが、途中でよくわからないことになりました。
No.39091 - 2016/09/24(Sat) 18:36:46
☆ Re: 解き方がわかりません。 / IT
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)=　を使うのなら

A=x+y+z,B=xy+yz+zx,C=xyz
F=x^3+y^3+z^3 とおくと
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)=F+x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)
=F+xy^2+yx^2+xz^2+zx^2+yz^2+zy^2
=F+xy(x+y+z)-xyz + ....
=F+xyA+zxA+yzA-3C とできるのでは？
No.39092 - 2016/09/24(Sat) 19:13:25
☆ Re: 解き方がわかりません。 / IT
解と係数の関係を使えば
x,y,z はt^3-At^2+Bt-C=0 の３つの解なので
x^3=Ax^2-Bx+C など

よってF=A(x^2+y^2+z^2)-B(x+y+z)+3C=
No.39093 - 2016/09/24(Sat) 19:42:51
☆ Re: 解き方がわかりません。 / ゆうり
なるほど。
自分にはxy(x+y+z)-xyzという発想がありませんでした。
このやり方で解けました。ありがとうございます。
No.39094 - 2016/09/24(Sat) 20:37:31
☆ Re: 解き方がわかりません。 / noname
他の解き方としては，

(x+y+z)^2＝x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)

及びx+y+z＝xy+yz+zx＝4によりx^2+y^2+z^2の値を求め，その次にこれとx+y+z＝xy+yz+zx＝4,xyz＝-√3及び

x^3+y^3+z^3-3xyz＝(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

により，x^3+y^3+z^3の値を求めることが出来ます．
No.39097 - 2016/09/24(Sat) 22:26:16
★ 不等式の問題について / ゆうり
不等式x+10≦2x^2≦2x+12を解け。
この問題の答えがx=2,5/2≦x≪3になるのですが、なぜx=2が出てくるのかわかりません。
どなたか教えてください。
No.39079 - 2016/09/24(Sat) 16:08:21
☆ Re: 不等式の問題について / ゆうり
途中5/2≦x≪3となっていますが正しくは5/2≦x≦3です。
失礼しました。
No.39080 - 2016/09/24(Sat) 16:09:55
☆ Re: 不等式の問題について / IT
答えが　まちがっているのでは。
No.39081 - 2016/09/24(Sat) 16:17:04
☆ Re: 不等式の問題について / ゆうり
すみません。
x=2ではなく、x=-2でした。
No.39084 - 2016/09/24(Sat) 17:12:26
☆ Re: 不等式の問題について / IT
x=-2 のとき　
x+10=8,2x^2=8,2x+12=8 ですから、条件を満たすのはたしかですよね。

ゆうり さんの　解答のどこかに漏れがあるのだと思います。
書き込んでみてもらえませんか？
No.39085 - 2016/09/24(Sat) 17:27:41
☆ Re: 不等式の問題について / IT
x+10≦2x^2　⇔ 2x^2-x-10≧0　⇔ (2x-5)(x+2)≦0　⇔ x≦-2または5/2≦x …(A)

2x^2≦2x+12　⇔2x^2-2x-12≦0 ⇔ x^2-x-6≦0⇔ (x+2)(x-3)≦0 ⇔ -2≦x≦3 …(B)

分りにくかったら
(A)と(B) を数直線上に描いて共通部分を調べると　x=-2 も含まれることが分ると思います。
No.39086 - 2016/09/24(Sat) 17:40:58
☆ Re: 不等式の問題について / ゆうり
回答ありがとうございます。

x+10≦2x^2≦2x+12から
x+10≦2x^2…?@
2x^2≦2x+12…?A
?@より
-2x^2+x+10≦0
2x^2-x-10≧0
(2x-5)(x+2)≧0
x≦-2,x≦5/2…?@′
?Aより
2x^2-2x+12≦0
x^2-x+6≦0
(x+2)(x-3)≦0
-2≦x≦3…?A′
?@′,?A′より
5/2≦x≦3

こういうふうに解きました。
No.39087 - 2016/09/24(Sat) 17:43:47
☆ Re: 不等式の問題について / ゆうり
> x+10≦2x^2　⇔ 2x^2-x-10≧0　⇔ (2x-5)(x+2)≦0　⇔ x≦-2または5/2≦x …(A)
>
> 2x^2≦2x+12　⇔2x^2-2x-12≦0 ⇔ x^2-x-6≦0⇔ (x+2)(x-3)≦0 ⇔ -2≦x≦3 …(B)
>
> 分りにくかったら
> (A)と(B) を数直線上に描いて共通部分を調べると　x=-2 も含まれることが分ると思います。

数直線を書いてみましたが、確かに含まれていますね。
納得しました。ありがとうございました。
No.39089 - 2016/09/24(Sat) 17:48:38
☆ Re: 不等式の問題について / IT
放物線y=2x^2,直線y=x+10,y=2x+12 の上下関係で調べると
x=2は、見落としてしまうかも知れませんね。
No.39090 - 2016/09/24(Sat) 18:18:18
★ 1次関数 / kaito
（２）（３）?@６分後　?A2分後、10分後、１３分後
難しくてどうやって解いたらよいかわかりません。解説よろしくお願いします。
No.39078 - 2016/09/24(Sat) 13:23:30
☆ Re: 1次関数 / noname
どの箇所に対する質問なのかがよく分かりませんので，一応各々の設問に対して考え方を与えておきます．


[考え方]
(1)図2の0分から12分までのグラフを見ると，水槽の左側の部分では水面が1分間に1cmだけ上昇することが分かる．このことから，水槽の左側の部分では1分間に給水される水量が分かる．
(2)図2のグラフを見ると，18分以降については給水管A,Bの両方から放出される水により水面が上昇することが分かる．また，仕切りがない場合では，水槽に給水管Aから放出される水のみを入れる時，

(1×4×6)÷(12・6)＝1/3

により水面は分速1/3cmの速さで上昇することが分かる．さらに，図2の18分以降のグラフの傾きは2/3であるから，18分以降での水槽内での水面の上昇の速さは分速2/3cmである．ゆえに，18分以降では，給水管Bは1分間に1/3cmの分だけ水面を上昇させることが分かる．ゆえに，水槽の右側の部分に給水し始めてから18分までの間では，

(1/3×12×6)÷(8×6)＝1/2

により水面は1分間に1/2cmだけ上昇することが分かる．よって，水槽の右側の部分では12分後で水面は12×1/2＝6(cm)だけ上昇することになる．したがって，水槽の右側の部分の水面の高さと時間の関係を表すグラフを図2に描くには，図2において2点(0,0),(12,6)，2点(12,6),(18,12)，2点(18,12),(27,18)をそれぞれ真っ直ぐな線で結べばよい．
(3)?@水槽の左側の部分の水面の高さから右側の部分の水面の高さを引いたものが3cmであればよい．右側の部分の水面に対する左側の部分の水面の上昇の速さは1-1/2＝1/2(cm/分)である．よって，3÷1/2＝6より答えは6分後である．
?A(a)まずは0分から6分の間で条件が成り立つ場合があるかどうかを調べる．この時，左側の部分の水面は右側の部分の水面よりも低いため，後者から前者を引いたものが2cmであればよいが，これは

(左側に初めに入っている分の水の水面の高さ)+(右側の部分の水面の上昇した分から左側の部分の水面の上昇した分を引いたもの)…?@

に等しく，?@の2つ目の項は1分間においては1/2-1＝-1/2であるから，?@の値は時間が経過するとともに減っていくことが分かる．よって，何分後に?@の2つ目の部分が-1になるかを考えればよい．
(b)次に，6分から12分の間で条件が成り立つ場合があるかどうかを調べる．この場合では，水槽の左側の部分の水面の上昇は右側の部分の水面のそれよりも速いため，左側の部分の水面の高さから右側の部分の水面の高さを引いたものが2cmであればよいが，これは

(左側の部分の水面が6分後以降で上昇した分)-(右側の部分の水面が6分後以降に上昇した分上昇した分)

に等しい．この式は1分間で1-1/2＝1/2なので，何分後にこの1/2が2になるかを考えるとよい．
(c)最後に，12分後以降で条件が成り立つ場合があるかどうかを調べる．この時，左側の部分は満水であるため，右側の部分に関しては給水管A,Bから放出される水により水面が上昇する．ところで，左側の部分の底面積の2倍が右側の部分の底面積であり，左側の部分では水面の上昇の速さは分速1cmであったから，この場合での右側の部分の水面の上昇の速さは1/2+1/2＝1(cm/分)である．よって，この速さで右側の水面の高さが10cmとなるには12分から何分後であればよいかを考えればよい．
No.39082 - 2016/09/24(Sat) 16:26:23
☆ Re: 1次関数 / angel
既に解説がありますが、絵を描いてみたので…。
それぞれの時間帯で何が起こっているかをまず把握することです。
重要なのは12分後から。左の水面がしきりの高さ12cmで変わらないということは、右の水面の上昇するペースの方が遅く、結果、Aからの水はしきりからこぼれて右に入っていきます。
図の左側のグラフは、右の水面の高さを青線で追加したものです。

右側のグラフは(3)の状況。右側に最初から3cm水が入っているので、グラフが全体としてずれることになります。
No.39083 - 2016/09/24(Sat) 16:52:34
☆ Re: 1次関数 / kaito
(1×4×6)÷(12・6)＝1/3 すみません計算式の意味がわかりません。
No.39143 - 2016/09/26(Mon) 19:04:06
☆ Re: 1次関数 / noname
>(1×4×6)÷(12・6)＝1/3 すみません計算式の意味がわかりません。


水槽に仕切りがある場合では，図2のグラフの0分から12分の部分を参考にすると，仕切りに対して左側の部分の水面の上昇の速さは分速1cmです．よって，この左側の部分に給水される速さは

1・4・6＝24

により分速24cm^3です．一方，仕切りがない場合で水槽に給水管Aのみを使って給水する時，水槽には1分間に24cm^3の水量の水が給水されるのですが，この場合での水面の上昇の速さは1分間での水面の高さの増加分を考えればよく，これをxとすると

12・6・x＝72x

により仕切りがない場合で給水管Aのみで水槽に給水するとなると，分速72xcm^3の速さで給水されることになります．ところで，1分間で給水される量72xcm^3と24cm^3は同じ量なので(給水管Aで1分間に給水される量は，容器の形状が変わっても同じはず)，

72x＝24.
∴x＝1/3.

要するに，1分間での水量24cm^3を容器の底面積12・6cm^2で割れば，その容器の1分間での水面の高さの増加分が分かるということです．
No.39146 - 2016/09/26(Mon) 20:20:24
☆ Re: 1次関数 / kaito
(1/3×12×6)÷(8×6)＝1/2 こちらの計算式の意味もよくわかりません。何度もすみません。
No.39201 - 2016/09/27(Tue) 20:22:23
☆ Re: 1次関数 / noname
>(1/3×12×6)÷(8×6)＝1/2 こちらの計算式の意味もよくわかりません。


仕切りがない水槽に給水管Bのみで給水した場合，

>18分以降では，給水管Bは1分間に1/3cmの分だけ水面を上昇させる

ので，給水管Bは仕切りのない水槽に1分間に1/3・12・6＝24(cm^3)の水量の水を給水することになります．そうなると，仕切りがある水槽において，給水管Bが仕切りに対して右側の部分に給水する水量の速さはもちろん分速24cm^3であり，右側の部分の底面の面積は6・8＝48(cm^2)なので，右側の部分の水面の高さは1分間に24÷48＝1/2(cm)だけ増えることが分かります．このことについても，要するに，1分間での水量24cm^3を容器の底面積48cm^2で割れば，その容器の1分間での水面の高さの増加分が分かるということです．
No.39220 - 2016/09/28(Wed) 00:49:46
☆ Re: 1次関数 / kaito
（３）?@　?A　の解説もよくわかりません。何度もすみません。
No.39228 - 2016/09/28(Wed) 17:45:44
☆ Re: 1次関数 / noname
>（３）?@　?A　の解説もよくわかりません。


まずは?@についてですが，x分後の場合を考えると，

(水槽の左側の部分の水面の高さ)
＝x・1
＝x,
(水槽の右側の部分の水面の高さ)
＝(初めから入っている水の水面の高さ)+x・1/2
＝(初めから入っている水の水面の高さ)+x/2

となり，左右の部分での水面の高さが初めて同じになるならば

x＝(初めから入っている水の水面の高さ)+x/2

が成り立つため，

(初めから入っている水の水面の高さ)＝x-x/2＝x・(1-1/2)…(*)

となります．ここで，この毎秒(1-1/2)cmとは右側の水面の上昇の速さに対する左側の水面の上昇の速さのことです．例えば，A君とB君が学校の校庭でかけっこ競争をする時，スタート後にA君がB君よりも速く走っているものとします．この時に走っているB君が感じたA君の速さと，A君とB君のかけっこ競争の様子を傍からみている友人が感じたA君の速さは違うかと思います．この「走っているB君が感じたA君の速さ」が解説にある「右側の水面の上昇の速さに対する左側の水面の上昇の速さ」に対応するものです．この解き方だと「右側の部分の水面が上昇しておらず，左側の部分の水面のみが1-1/2＝1/2(cm/秒)の速さで上昇している」とみなして問題を考えるため，(*)に注意すると，「距離÷時間＝速さ」の式より

3÷1/2＝6(分後)

となるわけです．この解き方が分かりにくければ，x分後に初めて水面の高さが同じになると設定し，

x・1＝x・1/2+3

という方程式を立ててxについて解くことで答えを求めてもよいです．
No.39273 - 2016/09/29(Thu) 02:32:33
☆ Re: 1次関数 / noname
?Aの解説については，先程のコメントの理解の程度を勘案して行いたいので，後日改めてその解説を行うことに致します．
No.39274 - 2016/09/29(Thu) 02:37:50
☆ Re: 1次関数 / kaito
ありがとうございました。方程式の解き方で少し理解できました。
No.39276 - 2016/09/29(Thu) 07:01:27
☆ Re: 1次関数 / noname
>ありがとうございました。方程式の解き方で少し理解できました。

それはなによりです．ところで，今のところ(1),(2),(3)?@の補足説明を行ってきたのですが，ここまでにおいて理解できていない箇所はありますか？
(概ねの理解を得ている様であれば，特に問題はないと思ってもらって構いません)
No.39285 - 2016/09/29(Thu) 15:50:45
☆ Re: 1次関数 / kaito
何となく理解できました。でもまだ不安です。
No.39287 - 2016/09/29(Thu) 17:51:33
☆ Re: 1次関数 / noname
>何となく理解できました。でもまだ不安です。

そうですか．では，質問者様が理解できているかどうか自信がないと思っている箇所を書いていただいてもよろしいでしょうか．こういった応用問題では考え方が理解できているか否かが重要ですので．
No.39290 - 2016/09/29(Thu) 18:34:37
☆ Re: 1次関数 / kaito
解説を読んで何となくわかりました。左側は毎分１ｃｍでＸ分
右側は毎分１・２でＸ分に＋３ｃｍ　その差が２ｃｍ
No.39297 - 2016/09/30(Fri) 07:18:39
☆ Re: 1次関数 / noname
>解説を読んで何となくわかりました。左側は毎分１ｃｍでＸ分
右側は毎分１・２でＸ分に＋３ｃｍ　その差が２ｃｍ


これは(3)?Aに関するものでしょうか．だとすれば，解説を読んでも理解し難いようであれば，(3)?@の場合と同様に方程式を立てて未知数を求めることで考えてもよいです．どういう風に場合分けすればいいのかについては解説に書かれているので，それもご参考なさってください．
No.39302 - 2016/09/30(Fri) 15:58:30
☆ Re: 1次関数 / kaito
解説ありがとうございます。（３）?Aｘ＝２，１０分の時に差が２ｃｍになるのは何とか解ったのですが(c)の解説がよく解りません。何度もすみません。
No.39313 - 2016/10/01(Sat) 18:33:42
☆ Re: 1次関数 / noname
>（３）?Aｘ＝２，１０分の時に差が２ｃｍになるのは何とか解ったのですが(c)の解説がよく解りません。



おそらく，次の記述

>左側の部分の底面積の2倍が右側の部分の底面積であり，左側の部分では水面の上昇の速さは分速1cmであったから，この場合での右側の部分の水面の上昇の速さは1/2+1/2＝1(cm/分)である．

の内容が理解できれば問題ないかと思います．そのため，以下ではこのことについての補足説明を行おうと思います．


例えば，底面積がScm^2で高さが1cmの直方体Pと底面積が2Scm^2で高さがhcmの直方体Qがあったとします．両方の体積が同じになる様なhの値を考えると，

・Qの底面積はPの底面積の2倍である

ことに注意すれば，hの値がPの高さの半分であることが必要です．よって，h＝1・1/2＝1/2(cm)となります．このことに注意すると，給水管Aで1分間に左側の部分に給水する分の水量を右側に給水するとすれば，

>左側の部分の底面積の2倍が右側の部分の底面積

により，分速1cmの水面上昇の速さが分速1/2cmの水面上昇の速さに変わります．よって，給水管Bが右側の部分に給水する場合の水面上昇の速さも考えると，

>この場合での右側の部分の水面の上昇の速さは1/2+1/2＝1(cm/分)である．

が言えます．
No.39322 - 2016/10/02(Sun) 02:55:22
☆ Re: 1次関数 / kaito
解説の意味が何となく解ったのですが、具体的にどの様な方程式で計算するのか解りません。
No.39324 - 2016/10/02(Sun) 07:45:09
☆ Re: 1次関数 / noname
>解説の意味が何となく解ったのですが、具体的にどの様な方程式で計算するのか解りません。


個人的には，(c)の場合は方程式を使うまでもないと思います．実際，12分後において左側の部分は満水なので水位は12cm，右側の部分の水位は3+1/2・12＝9(cm)であり，12分後からは

>この場合での右側の部分の水面の上昇の速さは1/2+1/2＝1(cm/分)である．

により右側の部分は1分毎に1cmの分だけ水位が上昇します．よって，12分後からは右側の部分の水位が1cmだけ増加すれば左側の部分と右側の部分の水位の差は2cmとなります(12分後からさらに1分経過すると，右側の部分の水位は9+1＝10(cm)となり，左右の部分の水位の差は12-10＝2(cm)となります)．よって，12分後からは1分後に水位差が2cmとなるということです．
___________________________________________________________

※この時点からさらに時間が経過すると，左右の部分の水位差はより小さくなっていき，15秒後では左右の水位差は0cmとなります．

※この手の問題では，数式を使って解けるかどうかという点も重要ですが，どちらかというと「定性的な理解」，もう少し簡単に言えば，「算数的な簡単なものの見方でどれだけ考えられるかどうか」が重要かと思います．
No.39343 - 2016/10/02(Sun) 18:37:59
★ (No Subject) / ぐっち
関数y=8(2^x+2^-x)-(4^x+4^-x)-10について2^x+2^-x=tとおくとき、yをtの式で表せ。また、yの最大値とその時のxの値を求めよ
詳しい解説を答えまでお願いします
No.39073 - 2016/09/24(Sat) 00:26:45
☆ Re: / X
他の掲示板で同じ問題に回答が付いています。
No.39076 - 2016/09/24(Sat) 04:19:06
★ ありがとうございます / kaito
すみません　6+b/3=　6,-6ここの計算の意味がわかりません。
No.39067 - 2016/09/23(Fri) 22:02:30
☆ Re: ありがとうございます / X
>>kaitoさんへ
No.39067にパスワードを設定されているのであれば
この掲示板の最下部で記事ナンバーである39067と
パスワードを入力してスレを削除することができます。
No.39077 - 2016/09/24(Sat) 12:28:00
★ (No Subject) / アイス
画像の問題の2の(2)が解けません。
教えて下さると助かります。お願いします。
No.39061 - 2016/09/23(Fri) 21:09:44
☆ Re: / angel
先に、今回の y=|x-1|e^x のグラフを載せますが、極値に対応するのは赤い2点になります。

で、増減をどう調べるかですが、絶対値記号がついているので、

　x≧1 の時は y=(x-1)e^x
　x＜1 の時は y=-(x-1)e^x

と場合分けして、それぞれ微分して増減を調べます。
※むしろ感覚としては、x＞1, x=1, x＜1 の3通りの場合分けの方が合っているかもしれません。

注意点としては、x=1 の地点での微分係数 y' の値がないことです。しかしながら、減少から増加に転じる点であることには変わりないので、極値 ( 極小 ) になります。
No.39063 - 2016/09/23(Fri) 21:40:33
☆ Re: / アイス
似たような問題で画像の解き方の-1≦x＜0のとき、とありますが、x＜0じゃだめなんですか？なぜ、x≧-1が必要なんでしょうか？
No.39066 - 2016/09/23(Fri) 22:02:02
☆ Re: / angel
それは √(x+1) の形を含んでいて、自動的に x≧-1 という前提 ( 関数f(x)の定義域、と言います ) があるからです。

逆に y=|x-1|e^x の場合、( 問題でも x の範囲が特に指定されていないので ) そのような x の範囲の制限がありません。( 定義域は実数全体 )
No.39069 - 2016/09/23(Fri) 22:09:35
★ (No Subject) / アイス
画像の問題の解き方で疑問点があります。まず、x≧0というのはx=0もあり得ますが、代入しても0なので±分からないのでx＞0じゃないのですか？
最初のx≧0のとき、というところです。
No.39058 - 2016/09/23(Fri) 20:37:45
☆ Re: / IT
|0|=0 であることは分りますか？
No.39059 - 2016/09/23(Fri) 20:43:55
☆ Re: / アイス
それはわかります。
No.39060 - 2016/09/23(Fri) 21:06:45
☆ Re: / IT
> 代入しても0なので±分からないのでx＞0じゃないのですか？

質問の意味が不明です。

何に何を代入しても何の±が分からない。　ということでしょうか？
No.39062 - 2016/09/23(Fri) 21:32:15
☆ Re: / アイス
質問が悪かったです。すみません。
最初のx≧0とは何を意味しているのですか？
また、x＞0じゃだめなんですか？
No.39064 - 2016/09/23(Fri) 21:45:27
☆ Re: / IT
> 最初のx≧0とは何を意味しているのですか？
「x＝0 または　x＞0　のとき」と言う意味です。
このとき　|x｜＝x　となります。

> また、x＞0じゃだめなんですか？

x＞0とx＝0 を分けて考えてもいいですが、画像の解答のママで問題ないです。画像の解答では、まずい点があると思われるのですか？
No.39065 - 2016/09/23(Fri) 21:58:16
☆ Re: / アイス
理解出来ました‼
No.39068 - 2016/09/23(Fri) 22:03:22
★ 1次関数 / kaito
ｂ＝０　ｂ＝−３６が解答です。解き方がよくわかりません。解説お願いします。
No.39053 - 2016/09/23(Fri) 18:30:28
☆ Re: 1次関数 / X
まず点Aの座標を求めましょう。

条件から点Aのx,y座標は
y=-x+9 (A)
y=2x+b (B)
をx,yの連立方程式とみたときの解。
でこれらを解くと
(x,y)=(3-b/3,6+b/3)
よってAB=6となるにはAのy座標について
6+b/3=6,-6
これを解いて
b=0,-36
No.39057 - 2016/09/23(Fri) 20:04:51
☆ Re: 1次関数 / kaito
ありがとうございました。すみません　6+b/3=　6,-6ここの計算の意味がわかりません。
No.39070 - 2016/09/23(Fri) 22:11:41
☆ Re: 1次関数 / noname
横レス失礼致します．

>6+b/3=6,-6

についてですが，Aの位置はx軸に対して上側である場合と下側である場合の2通り考えられるため，Aのy座標について「6+b/3＝6または6+b/3＝-6である」が成立するということです．
No.39071 - 2016/09/23(Fri) 23:20:22
☆ Re: 1次関数 / noname
一応別解を載せておきます．


[別解]
Aの位置はx軸に対して上側である場合と下側である場合の2通りある．よって，AB＝6によりAのy座標は6か-6のどちらかである．Aのy座標が6の時は，直線mの式からAのx座標は3である．一方，Aのy座標が-6の時も，直線mの式よりAのx座標は15である．ゆえに，Aの座標は(3,6),(15,-6)のどちらかである．後はそれぞれの点の座標を直線nの式に代入して計算すれば，bの値が分かる．
No.39072 - 2016/09/23(Fri) 23:22:11
★ (No Subject) / アイス
画像の問題の(4)が解けません。
お願いします。
No.39052 - 2016/09/23(Fri) 18:02:56
☆ Re: / angel
この練習4全体のテーマは

　f(ax+b)'=af'(ax+b)

という、合成関数の1種を逆に利用した積分ですね。

(4) に関しては

　(log|x|)'=1/x

という、f(x)=log|x| のケースです。なので、

　(log|2x+1|)'=2/(2x+1)
　(1/2・log|2x+1|)'=1/(2x+1)

結局答えは次のようになります。

　∫dx/(2x+1)=1/2・log|2x+1|+C
No.39055 - 2016/09/23(Fri) 19:24:49
★ (No Subject) / アカシロトモ

下の命題の証明で、
?@の両辺を𝑥で微分すると、
　2ax+2by(dy/dx)+cy+cx(dy/dx)+d+e(dy/dx)=0
(?@) 2bq+cp+e≠0 のとき
接線の方程式は、
y=-{(2ap+cq+d)/(2bq+cp+e)}*(x-p)+q・・・?B
点(p,q)は?@上にあるから
ap^2+bq^2+cpq+dp+eq+f=０・・・?C
　?Bと?Cから命題を証明することはできたのですが、
(?A)　2bq+cp+e=0 のとき の証明が分かりません。
(解答)では、「このとき接線はx＝ｐとなり、
命題の接線の式?Aに一致する」としています。
なぜ、このとき接線はx＝ｐなのか、理由を教えてください。


命題
　　２次曲線 ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0 ・・・➀
上の点(p,q) における接線の方程式は、
apx+bqy+c(py+qx)/2+d(p+x)/2+e(y+q)/2+f=0・・・?A
であることを証明せよ。
No.39051 - 2016/09/23(Fri) 17:04:56
☆ Re: / angel
> (?A)　2bq+cp+e=0 のとき の証明が分かりません。
> なぜ、このとき接線はx＝ｐなのか、理由を教えてください。

逆に、?@の2次曲線と直線 x=p がどのような関係にあるかを見てみます。

2つの共有点の y座標の満たす方程式は ( x=p を代入して )

　ap^2+by^2+cpy+dp+ey+f=0

です。
一方、問題の前提条件から、

　ap^2+bq^2+cpq+dp+eq+f=0
　2bq+cp+e=0

です。
ここから余分な文字を消去して整理すると、

　b(y-q)^2=0

が出てきます。つまり、y は重解 ( q ) を持つ。ということで、x=p が接線と分かります。
No.39054 - 2016/09/23(Fri) 19:00:22
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

いつもお世話になります。
ご説明はよく理解できました。
難しいですね。?B式から感覚的には、x=pだとわかりますが、
このように証明できるのですね。
ありがとうございました。
No.39056 - 2016/09/23(Fri) 19:35:29
★ 大学1年 偏微分 / さくら
またお世話になります

かなりアホな質問なんですが
z=arcsin(x/y)をxおよびyについて偏微分せよ
という問題の答えで何故絶対値をつけるのかが分かりません…

どなたか何故そうなるのかを教えてください
よろしくおねがいします
No.39049 - 2016/09/23(Fri) 12:00:01
☆ Re: 大学1年 偏微分 / noname
偏微分z_x,z_yは，それぞれ次の様に計算されているのだと思います．

z_x＝1/√(1-(x/y)^2)・1/y
＝|y|/(|y|√(1-(x/y)^2))・1/y
＝|y|/√(y^2-x^2)・1/y
＝|y|/(y√(y^2-x^2)),

z_y＝1/√(1-(x/y)^2)・(-x/y^2)
＝1/√(1-(x/y)^2)・(-x/|y|^2)
＝-x/(|y|・|y|√(y^2-x^2))
＝-x/(|y|√(y^2-x^2)).

ここで，実数rに対して√(r^2)＝|r|となることを用いています．上の様な変形が好みでないようであれば，yの正負で場合分けして計算してもよいと思います．
No.39050 - 2016/09/23(Fri) 13:09:27
☆ Re: 大学1年 偏微分 / さくら
返信遅れてしまい申し訳ありません!!
納得しました
納得してお礼したつもりになってました、本当にすみません

とても助かりました！
ありがとうございましたm(_ _)m
No.39240 - 2016/09/28(Wed) 21:50:24
★ (No Subject) / ぐっち
y=t^2-8t+13=(t-4)^2-3
なんで(t-4)^2-3になるんですか
解説お願いします
No.39046 - 2016/09/23(Fri) 00:02:12
☆ Re: / angel
「なんで」と聞かれてもなかなか答え辛い所です。

* t^2-8t+13=(t-4)^2-3 が正しい理由 ( なぜ ) が知りたいのか
* t^2-8t+13 から (t-4)^2-3 という形を導く方法 ( どのように ) が知りたいのか
* t^2-8t+13 から (t-4)^2-3 という形にする目的 ( 何のために ) が知りたいのか

をまずははっきりさせた方が良いと思います。
No.39047 - 2016/09/23(Fri) 02:20:24
★ (No Subject) / ぐっち
log2の3=a,log3の7=bとするとき、log18の84をa,bを用いて表せ。
どうやって解くんですか
解説お願いします
No.39044 - 2016/09/22(Thu) 22:10:05
☆ Re: / IT
18^xと84を2の累乗に統一して比較します。

x=log18の84 とおくと, 18^x=84

18^x=(2*3^2)^x=(2*(2^a)^2)^x=

84=(2^2)3*7=(2^2)3*(3^b)=(2^2)(3^(b+1))=(2^2)(2^a)^(b+1)=
No.39045 - 2016/09/22(Thu) 23:33:58
★ (No Subject) / アカシロトモ
下の問題で、ある時刻のPの位置をCとし、それから5秒後のPの位置をDとするとCD=5m
ここまではわかるのですが、解答では、
「 CA+CB=DA+DBなので、□CABDはCD//ABの等脚台形」
または「三角形CABと三角形DABは合同」として解かれています。なぜ、等脚台形または合同が成立するのでしょうか？
よろしくお願いいたします。


問題：直線L上に10メートル離れた2定点A,Bがあり、Lに平行な直線M上を点Pが秒速1メートルで一定の向きに動いている。A,P間の距離と、B,P間の距離の和は、ある時刻に測ったとき15メートル、その5秒後に測ったときも15メートルであった。2直線L、Mの距離は何メートルか。
No.39041 - 2016/09/22(Thu) 20:46:37
☆ Re: / X
条件から点C,Dは点A,Bを焦点とするある楕円と直線M
との交点になります。
更に楕円の対称性から点C,Dは線分ABの垂直二等分線
に関して対称になります。
よってご質問の内容のことが言えます。
No.39042 - 2016/09/22(Thu) 21:16:39
☆ Re: / アカシロトモ
X さん

いつもお世話になります。
ご回答ありがとうございます。
おかげさまでとてもよく理解できました。
No.39043 - 2016/09/22(Thu) 21:50:20
★ (No Subject) / アイス
画像の問題は漸近線が2つありますが、y=(−2x/(x^2＋1))＋1といったように分母がx^2＋○みたいな形だったら漸近線は1つだけなんですか？
分かりづらくてすみません。
No.39039 - 2016/09/22(Thu) 17:33:04
☆ Re: / X
そうとは限りません。
アイスさんが挙げられた例についても
y=-2x/(x^2+1)+tanx
というような形になると、漸近線は
x=π/2+nπ (nは任意の整数)
となり、無限の本数存在します。
ですので、例えば
この形だから２本見つければいいだろう
といった考え方はできません。

一般に直線での漸近線として考えられるのは
次の二種類です。

一つはNo.39030でangelさんが説明されているような
x→±∞
で漸近していく「y軸平行ではない漸近線」。

もう一つはy軸平行の直線が漸近線となる場合です。
lim[x→a±0]f(x)=±∞
(複号任意)
のとき、y=f(x)のグラフは
直線x=a
を漸近線に持ちます。

二つ目の場合で候補として挙げられるのは
分数の形をした関数で
x→a±0のときに分母→0
となるようなタイプ
です。
ただ、これも飽くまで候補であって
x→a±0のときに不定形になるものもありますので
候補と考えられるものでも一度計算してみないと
分かりません。
(不定形であっても、有限確定値に収束しないものが
ありますので。)

言えることは個々の問題において、上記の二種類の
漸近線が何本あるかチェックする必要がある
ということです。

只、x軸平行でもy軸平行でもない漸近線は
めったに出てきません。
その例でよく見かけるのは双曲線の式が
関数の中に混じっている場合ですので
チェックする上での参考にはなります。
例)
y=x+1/x

後はx軸平行、y軸平行の漸近線についてですが
これらはチェックは比較的容易です。

まずx軸平行の漸近線について。
x→±∞での極限が
有限確定値の場合は
直線y=b
(bはx→±∞での極限値)
が漸近線となることが容易にわかります。
例)
y=1/xについて
lim[x→±∞]y=0
ですので
直線y=0(つまりx軸)
が漸近線となっています。

次にy軸平行の漸近線についてですが
これは関数の定義域を考える過程で
自然に候補は出てきます。
例)
y=1/xの定義域はx＜0,0＜xなので
直線x=0(つまりy軸)
が漸近線の候補に挙げることが
できますが実際に漸近線に
なっています。






まとまりのない文章ですがこんなところでしょうか。
No.39040 - 2016/09/22(Thu) 18:37:19
★ (No Subject) / アイス
今日は何度もすみません。
画像の問題の解き方で、さらに、lim〜というところで、−(x＋1)というのはどこから出てきましたか？
No.39015 - 2016/09/21(Wed) 20:19:17
☆ Re: / X
ヒントを。
添付写真の上から三行目に
f(x)=x+1+1/(x-1)
とあるのはよろしいですか？
x→±∞のとき0に収束するのは
どの項かを考えてみましょう。
No.39016 - 2016/09/21(Wed) 20:24:28
☆ Re: / アイス
1/(x−1)ですか？
No.39018 - 2016/09/21(Wed) 20:35:27
☆ Re: / angel
> 1/(x−1)ですか？

はい。

f(x)=x+1+(0に収束する部分) という形になっているのが、最初の x^2/(x-1)=x+1+1/(x-1) という変形から分かるので、y=x+1 が漸近線だ、ということです。

一応、こういう変形が分からなくても漸近線の式を割り出す方法はありますが…。実際にはあまり使わないかなあ、と。
No.39021 - 2016/09/22(Thu) 00:46:55
☆ Re: / アイス
このやり方以外の漸近線の式の出し方も教えて頂けると助かります。
No.39027 - 2016/09/22(Thu) 08:15:28
☆ Re: / angel
曲線 y=f(x) に対して、

* lim[x→+∞] f(x)/x = a
* lim[x→+∞] f(x)-ax = b

の両方が成立すれば、漸近線は y=ax+b です。どちらかで極限値が存在しない場合は漸近線はありません。
x→+∞ を x→-∞ に替えた場合も計算します ( 結果が変わることもある。その場合は x→+∞ と x→-∞ で違う漸近線がそれぞれあることになる )

今回の y=x^2/(x-1) の場合であれば、

* lim[x→+∞] (x^2/(x-1))/x
　(x^2/(x-1))/x = x^2/(x^2-x) = 1/(1-1/x) より
　lim[x→+∞] (x^2/(x-1))/x = 1
* lim[x→+∞] x^2/(x-1)-1・x
　x^2/(x-1)-1・x = x/(x-1) = 1/(1-1/x) より
　lim[x→+∞] x^2/(x-1)-1・x = 1

よって漸近線は y=x+1
( x→-∞ の計算も同様なので省略 )
No.39030 - 2016/09/22(Thu) 08:49:29
☆ Re: / アイス
ありがとうございました
No.39032 - 2016/09/22(Thu) 09:32:20
★ (No Subject) / アイス
画像の問題の3の(1)の解き方が分かりません。
No.39012 - 2016/09/21(Wed) 19:57:23
☆ Re: / X
y'={2(x-1)(x^2+1)-{(x-1)^2}・2x}/(x^2+1)^2
=2{(x^2+1)-(x-1)x}(x-1)/(x^2+1)^2
=2(x+1)(x-1)/(x^2+1)^2
∴問題の関数は
x=1で極小値0
x=-1で極大値2
を取ります。
又
y"={2x(x^2+1)^2-(x^2-1)・4x(x^2+1)}/(x^2+1)^4
=2x{(x^2+1)-2(x^2-1)}/(x^2+1)^3
=-2x(x^2-3)/(x^2+1)^3
∴変曲点のx座標は0,√3,-√3
以上から増減表を書きます。

但しグラフを描くには定義域の両端
つまり
x→±∞
においてグラフがどのような値を
取るかも押さえておく必要があります。
ということでこのときの極限を
計算すると
lim[x→∞]y=lim[x→∞]{(1-1/x)^2}/(1+1/x^2)
=1
lim[x→-∞]y=lim[x→-∞]{(1-1/x)^2}/(1+1/x^2)
=1
以上のことを使いグラフを描きましょう。
No.39014 - 2016/09/21(Wed) 20:15:52
☆ Re: / アイス
y''のところがなぜそのように解けるか分かりません。分かりやすく教えて下さい。
No.39017 - 2016/09/21(Wed) 20:32:54
☆ Re: / angel
「分かりやすく教えて下さい」だとフワっとし過ぎていて、答える方もどうしていいやら…。

どこまで分かって、どこから分からないのか。自分で考えてることとのズレがどうなのか、とか。ある程度切り分けを行うのは、自分の理解にとっても有益ですし、質問-回答をスムーズに進めることにもなります。

で、実はXさんの計算にはちょっとミスがあって、正しくは

　y"=2{2x(x^2+1)^2-(x^2-1)・4x(x^2+1)}/(x^2+1)^4
　　=4x{(x^2+1)-2(x^2-1)}/(x^2+1)^3
　　=-4x(x^2-3)/(x^2+1)^3

です。全体を2倍する必要があった、というところです。
後は、(f/g)'=(f'g-fg')/g^2 の形の微分なので、

　y'=2(x-1)(x+1)/(x^2+1)^2=2(x^2-1)/(x^2+1)^2

から、

　y''=2{ (x^2-1)'(x^2+1)^2 - (x^2-1)((x^2+1)^2)' }/( (x^2+1)^2 )^2

をやってるのが、y'' の計算の始まりなんですが、そこはよろしいでしょうか。ここから個々の微分を計算して、式を整理するところはどうでしょうか。
No.39023 - 2016/09/22(Thu) 01:41:30
☆ Re: / X
>>angelさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>アイスさんへ
ごめんなさい。angelさんの仰る通りです。
No.39025 - 2016/09/22(Thu) 04:05:12
☆ Re: / アイス
多分増減表はこうなると思うのですが、自分はいつも、プラスマイナス調べる時に、例えば−1と0の間でしたら、−0.5を代入するといったふうにいちいち代入して調べていました。他に速く調べる方法はないのですか？
No.39028 - 2016/09/22(Thu) 08:35:33
☆ Re: / angel
なるべくプラス・マイナス ( あるいは 0 か ) だけを考えることだと思います。そのために、式はなるべく因数分解した形に整理しておきます。

今回 y'=2(x+1)(x-1)/(x^2+1)^2 なので、

* 係数の 2 はプラス・マイナスに影響ないため無視
* まず分母は (〜)^2 の形なので常にプラス、全体のプラス・マイナスには影響がないため無視
* 残りは (x+1)(x-1) の部分
　　x＜-1 では、マイナス・マイナスなので全体としてプラス
　　-1＜x＜1 では、プラス・マイナスなので全体としてマイナス
　　1＜x では、プラス・プラスなので全体としてプラス

といった感じです。
「例えば−1と0の間でしたら、−0.5を代入する」というのは良いと思いますが、全体の値を計算するところまで進めずに、それぞれの部分のプラス・マイナスがどうなるか、で止めると速くなると思います。
No.39033 - 2016/09/22(Thu) 09:49:59
☆ Re: / アイス
増減表とグラフはそれぞれこうなりますか？
No.39034 - 2016/09/22(Thu) 11:03:17
☆ Re: / アイス
グラフです。
No.39035 - 2016/09/22(Thu) 11:05:18
☆ Re: / angel
私の作った増減表と、grapesというグラフ作成ツールで作ったグラフ ( これはあくまで参考 ) を載せます。

アイスさんの表は、2か所 ( 表中の赤字 ) の増減の矢印の凹凸が違います。が、計算で特に間違えているところはないです。

グラフは、その凹凸のミスに引きずられて描き辛そうな形に見えますが、全体として大きく問題はないと思います。
No.39037 - 2016/09/22(Thu) 15:14:11
☆ Re: / アイス
こんなに細かく教えて下さりありがとうございました。
No.39038 - 2016/09/22(Thu) 17:15:11
★ (No Subject) / アイス
画像の問題の2の(1)が解けません。
お願いします。
No.39010 - 2016/09/21(Wed) 18:55:51
☆ Re: / X
y'=2xlogx+(x^2)(1/x)
=2xlogx+x
=xlog(ex^2)
問題の関数(導関数ではありません)
の真数条件から
x＞0
に注意すると
y'≧0のとき
ex^2≧1
∴1/√e≦x
よって問題の関数は
x=1/√eのときに極小値1/(2e)
を取ります。
増減表はx＞0におけるものを書きます。
No.39013 - 2016/09/21(Wed) 20:04:11
☆ Re: / アイス
y'の3行目がなぜそうなるか分かりません。
No.39019 - 2016/09/21(Wed) 20:50:37
☆ Re: / angel
2xlogx+x=x(2logx + 1) な訳ですが、

* 2logx = log(x^2)
* 1 = log(e)　← e^1=e だから、eを底とするeの対数は1
* log(x^2)+log(e) = log(ex^2)

から、y'=xlog(ex^2) が出てきています。
No.39024 - 2016/09/22(Thu) 01:47:31
☆ Re: / アイス
極小値が−1/(2e)になると答えには書いてあるのですが、代入しただけではこの答えにはなりません。変形のやり方を教えて下さい。
No.39029 - 2016/09/22(Thu) 08:46:38
☆ Re: / angel
あ。確かに極小値 -1/(2e) ですね。ここはXさんの書き間違えてます。

で、x=1/√e の時の y=x^2・logx の値ですが。

* x^2 の部分の値は 1/e
* logx の部分の値は -1/2
　← log(1/√e) = -log(√e) = -1/2・log(e) = -1/2
　　√e = e^(1/2) であることに注意
　　あるいは一気に 1/√e = e^(-1/2) でも。ここらへんは指数・対数の計算に慣れることです。

なので、y=-1/(2e) です。
No.39031 - 2016/09/22(Thu) 09:27:55
☆ Re: / アイス
ありがとうございました。理解出来ました‼
No.39036 - 2016/09/22(Thu) 11:15:04
★ 大学1年 偏微分法 / さくら
この問題の(2)〜(4)が解けません

答えは
(1)-6/5
(2)存在しない
(3)存在しない
(4)0
です

(2)(3)はその前の例題をとにかく真似してみたのですが
その方法を使っていいのかどうか判断ができなくて困ってます
(4)は変形して分子だけ0になればいいのかな？と思ったのですが、肝心の変形が思いつかず…

どなたか教えてください
宜しくお願いします
No.39004 - 2016/09/21(Wed) 13:37:44
☆ Re: 大学1年 偏微分法 / さくら
(1)と(2)の途中までの私が解いてみた過程です
No.39005 - 2016/09/21(Wed) 13:42:19
☆ Re: 大学1年 偏微分法 / さくら
(2)残りと(3)です
No.39006 - 2016/09/21(Wed) 13:42:56
☆ Re: 大学1年 偏微分法 / さくら
私が真似した例題です
No.39007 - 2016/09/21(Wed) 13:43:42
☆ Re: 大学1年 偏微分法 / X
(1)(2)はその方針で問題ありません。
(3)
間違っています。
その方針で計算すると
(与式)=lim[x→0]mx/(x^2+m^2)=0
となります。
が、これは
直線y=mx
上での特別な場合の極限ですので
何の意味もありません。

で、解答ですが
曲線my=x^2
の上での極限を考えてみます。
このとき
(与式)=lim[y→+0](my^2)/{(my)^2+y^2} (m≧0)
(与式)=lim[y→-0](my^2)/{(my)^2+y^2} (m＜0)
となりますがいずれの場合もy^2による約分で
yが相殺されて
(与式)=m/(1+m^2)
これはmの値により極限の値が異なりますので
問題の極限は存在しません。

(4)
極座標に変換します。
x=rcosθ
y=rsinθ
と置くと
(与式)=lim[r→0](r^3){(sinθ)^2}(cosθ)/{(rsinθ)^4+r^2}
=lim[r→0]r{(sinθ)^2}(cosθ)/{(r^2)(sinθ)^4+1}
ここで分母において
-1≦sinθ≦1
に注意するとr→0のときθの挙動に関係なく
(分母)→1
∴(与式)=0
No.39008 - 2016/09/21(Wed) 16:21:13
☆ Re: 大学1年 偏微分法 / さくら
4問もありがとうございました
理解できました!!

また機会があったらよろしくおねがいします

本当にありがとうございました
No.39022 - 2016/09/22(Thu) 01:08:18
☆ Re: 大学1年 偏微分法 / X
>>さくらさんへ
もう見ていないかもしれませんが
No.39008において誤りがありました
(ごめんなさい)ので直接修正して
おきました。
再度ご覧下さい。
No.39026 - 2016/09/22(Thu) 07:55:39
☆ Re: 大学1年 偏微分法 / さくら
わざわざ丁寧にありがとうございます!!
前回教えていただいた時解き直したノートと照らし合わせてみたのですが、何の問題もなかったので
私が書き間違えたかもしくは途中から自分でやったか…
とにかく大丈夫でした!!
No.39048 - 2016/09/23(Fri) 11:48:58
★ 微積の問題です / あきらくん
この問題の解答を教えていただけませんか？
苦手分野なので、じっくり理解したいです。

分母をｔを使って変形させていくのかな、とは思うのですが…よろしくお願いします<(_ _)>
No.39001 - 2016/09/21(Wed) 12:08:01
☆ Re: 微積の問題です / ヨッシー
1/(sin^2ｘ・cos^2ｘ)＝(cos^2ｘ＋sin^2ｘ)/(sin^2ｘ・cos^2ｘ)
　＝1/sin^2ｘ＋1/cos^2ｘ
一方、
　(tanｘ)'＝1/cos^2ｘ
　(cotｘ)'＝−1/sin^2ｘ
であるので・・・
No.39003 - 2016/09/21(Wed) 13:16:34
☆ Re: 微積の問題です / あきらくん
解答ありがとうございました！
けっこうシンプルなんですね。
理解できるよう、しっかり頑張ります！
No.39020 - 2016/09/22(Thu) 00:29:23
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