ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 積分の問題です / ふなっしー

理が背景にあるような積分の問題です。
xy座標(第一象限)における、原点からの初速度をもった物体の投てきに関する問題です。
空気抵抗がある場合について考えています。

重ねて、お願いいたしますが。。

物体の質量がm,重力加速度がg,時刻がt(物体を投げた瞬間をt=0)における物体の位置がx(t)です。Vが初速度の大きさです。(y(t)は今は考えなくていいこととします。ちなみにyに関しては、my''=-mg-ky'が成り立っています。)

mx''=-kx'

を積分し、x(t)を求めよ、と言う問題です。
ただし、k=amg/Vで、初速度は(Vcosθ,Vsinθ)(ただし、0<θ<π/2))です。

答えは、x(t)=(V^2/ag)×cosθ(1-e^(-agt/V))となります。
お願いします。

No.38174 - 2016/07/23(Sat) 22:16:56

☆ Re: 積分の問題です / X

以下のキーワードを大学の物理の教科書か
ネット検索で探してみて下さい。
エネルギー積分

問題の運動方程式をエネルギー積分して
一階の微分方程式に変形した後、
変数分離法で解くという方針になります。

No.38179 - 2016/07/23(Sat) 23:45:06

☆ Re: 積分の問題です / ふなっしー

積分のやり方を学びました。
ありがとうございました。

No.38184 - 2016/07/24(Sun) 08:28:29

★ 連続について / sansunigate

問題を自分でときました。理解に誤りがないか、確認をお願いします。

1)
(x,y)=(0,0)の時、0であるとすでにわかっている。
そこで、(x,y)=(0,0)を上の式に代入、すると0/0＝未定義
未定義ということは0ではないので、途切れている、よって不連続

2)
y=xを、代入。g(x) = x^2/2x^2
x=0をg(x)に代入。すると未定義なので、不連続

3)
x=0を、代入。g(y) = 0/y^2 = 0
y=0を、g(y)に代入。ただ、代入と言っても変数がないので、答えは０。よって、「０」という値があるので、連続である

4)
y=x^2を、代入。g(x) = x^2 / x^2 + x^4
x=0を、g(x)に代入。すると、0/0で未定義なので、不連続

よって、答えは３

No.38165 - 2016/07/23(Sat) 19:20:03

☆ Re: 連続について / sansunigate

もう一個、同じような問題です。
これも、解き方／考え方に問題がないか確認をおねがいします

1)
(x,y)=(0,0)のとき、1だとすでにわかっている。そこで、(x,y)=(0,0)を上の式に代入してみる。
すると、0/0で未定義。
１ではないので、不連続。

2)
y=xを、代入。g(x) = x^2+x/2x^2
x=0をg(x)に代入。すると未定義なので、不連続

3)
x=0を、代入。g(y) = 1/y
y=0をg(y)に代入。すると未定義なので、不連続

4)
y=0を、代入。g(x) = x^2/x^2=1
x=0をg(x)に代入。ただ、変数がなく、ただの定数「１」なので、連続。

よって、正しいのは四番

No.38166 - 2016/07/23(Sat) 19:24:26

☆ Re: 連続について / sansunigate

すみません、No.38165の画像を貼り間違えました。正しくはこの投稿に貼り付けてある問題でした。

> 問題を自分でときました。理解に誤りがないか、確認をお願いします。
>
> 1)
> (x,y)=(0,0)の時、0であるとすでにわかっている。
> そこで、(x,y)=(0,0)を上の式に代入、すると0/0＝未定義
> 未定義ということは0ではないので、途切れている、よって不連続
>
> 2)
> y=xを、代入。g(x) = x^2/2x^2
> x=0をg(x)に代入。すると未定義なので、不連続
>
> 3)
> x=0を、代入。g(y) = 0/y^2 = 0
> y=0を、g(y)に代入。ただ、代入と言っても変数がないので、答えは０。よって、「０」という値があるので、連続である
>
> 4)
> y=x^2を、代入。g(x) = x^2 / x^2 + x^4
> x=0を、g(x)に代入。すると、0/0で未定義なので、不連続
>
> よって、答えは３

No.38167 - 2016/07/23(Sat) 19:27:09

☆ Re: 連続について / X

最終的な答えに問題はありませんが、そこまでに至る過程が
全て×です。
(2)(4)では計算も足りません(g(x).g(y)の約分が足らない)
が、(1)～(4)全てにおいて、極限と関数の連続の定義
との関係がが全く理解できていません。

例えば
g(x)=(sinx)/x (x≠0)
g(0)=1
なるg(x)を考えるとき、 sansunigateさんの
考え方だと
lim[x→0]g(x)
は
g(x)=(sinx)/x
にx=0を代入して0/0となり、未定義だから
g(x)はx=0で連続ではない。
となりますが、これは誤りです。
よく知られているように
lim[x→0](sinx)/x=1
ですので
lim[x→0]g(x)=g(0)
が成立します。よって
g(x)はx=0で連続
です。

sansunigateさんの解答を見る限り、大学初年度の
解析学での極限の定義の理解もできていないと
見受けられます。
(そうでなければ、極限を値を代入することと混同したり、
不定形の理解ができていない、といったことはありえません。)
もう一度解析学の教科書の最初に戻って読み直し、
付属の練習問題を解いて理解できてから、これらの問題を
解いてみて下さい。
二変数関数の連続についての問題は、sansunigateさんには
まだ早すぎます。
増してや、別に質問されている複素積分については
解析学の理解が前提になりますので、今の段階では
解かない方が無難です。

No.38171 - 2016/07/23(Sat) 21:06:23

★ 重積分の計算(数学,葦にも) / ふなっしー

xyにおける原点を重心とした1 辺の長さが1 の正三角形の辺およびその内部をD とす
るとき、次の重積分を計算しなさい。
∫∫(x^2+y^2)dxdy
D

というものです。

xy平面上の正三角形の配置を、もちろん原点は重心、そして、底辺を下にもってくる方法で計算しようと考えました。(底辺がx軸に平行になる置き方)
これで、正三角形を右と左で半分にして、片方の直角三角形で計算したものを2倍にする、というやり方をやろうと思いましたが、合ってるでしょうか。

立式は
2∫[0→1/2](x^2+y^2)dx×∫[-(√3)/6→(√3)/3]dy
として、計算を進めましたが、答えが違うくなりました。
差しあたり、立式は合ってるのでしょうか？？

補足
答えは√3/48(有理形にすれば)となります。

No.38155 - 2016/07/23(Sat) 14:13:12

☆ Re: 重積分の計算(数学,葦にも) / angel

∬[D]～dxdy を 2∫[0,1/2](∫[-√3/6,√3/3]～dy)dx とx,yの範囲が定数区間にできるのは、積分範囲が長方形の場合です。

今回は三角形になっているので、
　∫[xの範囲](∫[xの値に応じたyの範囲]～dy)dx
とする必要があります。

さしあたり楽に行くなら、x^2+y^2 が回転・反転しても変わらない量であることを利用し、図のような正三角形の1/6の領域で考え、以下のように計算するのが良いと思います。

　∬[D] (x^2+y^2)dxdy
= 6∬[0≦x≦1/2√3,0≦y≦√3・x](x^2+y^2)dxdy
= 6∫[0,1/2√3](∫[0,√3・x](x^2+y^2)dy)dx

No.38158 - 2016/07/23(Sat) 15:02:39

☆ Re: 重積分の計算(数学,葦にも) / ふなっしー

被積分関数に回転対称性が無い場合は、どうすればいいのでしょうか。

No.38160 - 2016/07/23(Sat) 15:16:52

☆ Re: 重積分の計算(数学,葦にも) / X

領域の条件が変わらないのであれば、問題の正三角形の
三点の座標を
((1/√3)cosθ,(1/√3)sinθ)
((1/√3)cos(θ+2π/3),(1/√3)sin(θ+2π/3))
((1/√3)cos(θ-2π/3),(1/√3)sin(θ-2π/3))
(0≦θ≦π)
と置いて、境界線の方程式をθを用いて表し、
さらに領域を頂点を通りy軸に平行な直線で
二分割して、重積分を分けて計算して和を
取ります。
(つまり、最終的な結果は一定値ではなくて
θの式で表されることになります。)
但し、
0≦θ≦π/2
の場合と
π/2≦θ≦π
の場合では、分割に使うy軸平行の直線が通る頂点は
異なりますので、場合分けをして計算しなければ
なりません。

No.38172 - 2016/07/23(Sat) 22:05:20

☆ Re: 重積分の計算(数学,葦にも) / ふなっしー

ありがとうございました！！

No.38173 - 2016/07/23(Sat) 22:14:09

★ 損益算割合 ?A番 / 前進

この○の1/3や2/3は値段であって個数ではないはずです。割合は二つの要素(個数と値段)をあらわすものですか？

No.38148 - 2016/07/23(Sat) 12:24:55

☆ Re: 損益算割合 ?A番 / 前進

追加です

No.38149 - 2016/07/23(Sat) 12:25:56

☆ Re: 損益算割合 ?A番 / 前進

割合の比べらる量は1あたり量だと思います。この場合では１個あたり12000円

No.38150 - 2016/07/23(Sat) 12:27:42

☆ Re: 損益算割合 / 前進

割合は個数も値段も両方割りますか？

No.38151 - 2016/07/23(Sat) 12:28:40

☆ Re: 損益算割合 ?A番 / ヨッシー

>この○の1/3や2/3は値段であって個数ではないはずです。
仕入れ値を○１とおくと書いてあるので、値段です。
>割合は二つの要素(個数と値段)をあらわすものですか？
この「割合」は○の数字のことを言っているのでしょうか？
だとすると○の数字はあくまでも値段です。
ただ、個数と値段は比例するので、値段の割合は、個数の割合でもあります。

No.38154 - 2016/07/23(Sat) 13:45:24

★ コーシーの積分公式 / sansunigate

この種類の問題について以前も質問させていただいたのですが、コーシーの積分公式の部分がわかりません。

部分分数分解をするのはわかったのですが、そのあと具体的にどうやってコーシーの積分公式にあてはめるのでしょうか？そもそもコーシーの積分公式ってどれですか？いろいろ調べたんですけどどの公式をつかっていいかわからなくて。。

僕はかなり数学がわかっていない人間です、数学が得意なみなさんからしたらイライラするかもしれませんが、どうか詳細な手順を踏まえて教えてください。。。

No.38144 - 2016/07/23(Sat) 10:20:31

☆ Re: コーシーの積分公式 / sansunigate

問題２です、

No.38145 - 2016/07/23(Sat) 10:21:05

☆ Re: コーシーの積分公式 / sansunigate

問題３です

No.38147 - 2016/07/23(Sat) 10:21:23

☆ Re: コーシーの積分公式 / X

コーシーの積分公式の内で最も基本的な形のものを使います。
つまり、
複素平面上である閉曲線CとCで囲まれた領域Dにおいて
正則である関数f(z)に対し
f(a)={1/(2πi)}∫[C]{f(z)/(z-a)}dz
(但しa∈D)
であることを使います。

No.38157 - 2016/07/23(Sat) 14:36:39

☆ Re: コーシーの積分公式 / sansunigate

ありがとうございます

もし可能であればその公式を使って具体的に上記の問題の解き方手順を解説していただけませんでしょうか？

すみません

No.38159 - 2016/07/23(Sat) 15:04:02

☆ Re: コーシーの積分公式 / X

回答の前に訂正を。(ごめんなさい)
No.38157に誤りがありましたので直接訂正しました。
再度ご覧下さい。

それで回答ですが、
二番目の問題については、以前同じ問題に
ついて回答したNo.38003に加筆をして
おきましたのでそちらを再度参照して
みて下さい。
それを参照すれば一番目の問題は同じ
方針で解けます。

三番目の問題についてはCに囲まれた領域内
にある被積分関数の極は
z=1/3
のみですので部分分数分解する必要はありません。
(与式)=∫[C]{{1/{3(z+1)}}/(z-1/3)}dz
と変形して
f(z)={1/{3(z+1)}
と置きます。

No.38163 - 2016/07/23(Sat) 18:56:50

☆ Re: コーシーの積分公式 / sansunigate

X　様

いつも丁寧にありがとうございます。
頂いた情報をつかってもう一度考えてみます！
ありがとうございます

No.38164 - 2016/07/23(Sat) 19:13:12

★ (No Subject) / ちひろ

何度もすいません。
⬜49と50教えてください！

No.38143 - 2016/07/23(Sat) 09:55:03

☆ Re: / IT

さいころを１回投げたとき　１が出る確率が分りますか？
（何も断りがなければ、さいころは１、２、３、４、５、６の目が同じ確率で出る。という前提だと思います）

No.38153 - 2016/07/23(Sat) 13:28:29

☆ Re: / ちひろ

6ぶんの1ですか？

No.38169 - 2016/07/23(Sat) 19:59:10

☆ Re: / IT

合ってます。

さて、大きいサイコロが５以上とは　どんな場合があって何通りですか？　これをAとおりとします。

小さいサイコロが奇数とは、どんな場合で何通りですか？　これをBとおりとします。

条件を満たす大小のサイコロの目の出方は　A×Bとおりです。

大小のサイコロの目の出方は、全部で６×６とおりですから

求める確率は　(A×B)／(６×６)　となります。

No.38178 - 2016/07/23(Sat) 22:38:49

★ (No Subject) / ちひろ

?@A,B,Cの3人がジャンケンを1回行うとき、次の確立を求めよ。
○ひとりだけが勝つ確率
?A3個のさいころを同時に投げるとき、次の確立を求めよ。
○目の積が5の倍数になる確立
?B大中小の3個のさいころを投げるとき、次の確立を求めよ。
○大、中、小の順に、出る目が小さくなる確立

この３問の解説お願いします!

No.38137 - 2016/07/23(Sat) 09:21:04

☆ Re: / IT

(1) だけ
３人のジャンケンの手の出方は,全部で3^3 とおり
Aひとりだけがグーで勝つのはグー、チョキ、チョキの１とおり
勝つ１人の選び方は３とおり、それぞれ勝つ手は３とおり
よって　求める確率＝　計算はやってみてください。

No.38170 - 2016/07/23(Sat) 20:00:28

★ 収束半径、あと一歩です！ / sansunigate

お世話になっています。

以前収束半径の質問をさせて頂きました。自分なりにいろいろ調べて、問題を解いていたのですが、ダランベールと、コーシーの公式（？）を使って同じ問題を解いてみました。最初にダランベールみたいなのを使いました。（この投稿に添付されている画像）

次に、こーしーを使った時の計算式（二番めの投稿に添付されている写真）なのですが、画像の右下にある通りここで止まってしまいました。このあと、どうやって展開すれば、分母が１となり、答えが３、となるのでしょうか？

あと、疑問なのですが、この２つの公式どちらを使っても答えは一緒ですよね？なぜ二つもあるのでしょうか？場合によっては一方の方が簡単に解きやすいから、とかといった理由でしょうか？それもご存知でしたら教えてください。宜しくお願いします。

No.38127 - 2016/07/22(Fri) 22:29:49

☆ こっちがわからない方です！ / sansunigate

こちらが、どうすれば同じ解、3になるのでしょうか？

No.38128 - 2016/07/22(Fri) 22:30:40

☆ Re: 収束半径、あと一歩です！ / sansunigate

度々すみません。
ようするに、この式（添付写真）の答えが、１になれば、答えは３になってあうのですが、

この式って、もう少し展開できるのでしょうか？
それとも、0の0乗で、１、でいいんですか？
なにか少し違和感があるのですが。。。

No.38129 - 2016/07/22(Fri) 23:10:53

☆ Re: 収束半径、あと一歩です！ / IT

> それとも、0の0乗で、１、でいいんですか？
この場合は結果そうなりますが　0の0乗で、１、とは限りません。　
０への近づき方によります。
例えばlim[n→∞](1/n^n)^(1/n)=lim[n→∞]1/n＝0

lim[x→0]x^x = 1 は、対数をとってロピタルの定理を使って示せます。

http://www.osakac.ac.jp/labs/mandai/writings/Bi1-01m3.pdf

問題の式は　(1/n^2)^(1/n)=(1/n)^(2/n)=((1/n)^(1/n))^2 と変形して考えてもいいと思います。

No.38131 - 2016/07/23(Sat) 00:19:17

☆ Re: 収束半径、あと一歩です！ / sansunigate

解けました、ありがとうございます！

No.38138 - 2016/07/23(Sat) 09:30:49

★ 高校数学A / ちひろ

⬜18と19の解き方教えてください！

No.38121 - 2016/07/22(Fri) 21:26:20

☆ Re: 高校数学A / らぐ

[18]　この問題は順列の問題です.7個の中から7個を取り出して,1列に並べるので7P7=7!となります.

[19]　この問題は18と比べて制約がある場合です.このような場合は制約があるところから考えていきます.

(1)5の倍数となるのは1の位の数が0か5になることです.
今回は5しかないので1の位の数は5となります.
次に残りの部分を考えていきます.
とくに制約がないので[18]のように順列の問題です.
つまり5個の中から5個を取り出して1列に並べるということですから,5P5=5!となります.

(2)これも制約があるところから考えていきます.
両端の候補として2,4,6の3個の7数字があり,両端の数字の組み合わせは3･2=6通りです.
残りはどれでもいいので,
解答は6･4!となります.

(3)これは左端の数が4,5,6であればいいので
解答は3･5!となります.

No.38135 - 2016/07/23(Sat) 02:26:28

★ 高校数学A / 夢夏

大中小の3個のさいころを投げるとき、次の場合は何通りあるか。
?@目の和が8になる場合
?A目の積が12になる場合
この二つ教えてください！

No.38118 - 2016/07/22(Fri) 21:09:49

☆ Re: 高校数学A / らぐ

こういうのは1つずつ数えていきましょう.(大,中,小)とします.

?@目の和が8となるのは

1,1,6
1,2,5
1,3,4
1,4,3
1,5,2
1,6,1
2,1,5
2,2,4
2,3,3
2,4,2
2,5,1
3,1,4
3,2,3
3,3,2
3,4,1
4,1,3
4,2,2
4,3,1
5,1,2
5,2,1
6,1,1

(こうやって自分で書いていくとなんとなくパターンのようなものが見えてきます.)

よって目の和が8となるような場合の数は6+5+4+3+2+1=21通り
となります.

?A上記と同様のやり方でやっていきます.

1,2,6
1,3,4
1,4,3
1,6,2
2,1,6
2,2,3
2,3,2
3,1,4
3,2,2
4,1,3
6,1,2

よって目の積が12になる場合の数は11通りとなります.

No.38133 - 2016/07/23(Sat) 01:31:27

☆ Re: 高校数学A / IT

らぐさんの解答で　(2) は一部もれがありますね。
夢夏さん自身で確認されると良いと思います。

126のパターン
134のパターン
223のパターン
に分けて考えてもできます。

No.38139 - 2016/07/23(Sat) 09:32:20