ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高１数学　個数の処理　です / うちだ

0,1,2,3,4,5から作られる３桁の自然数について,次のような個数または和を求めよ.ただし同じ数字は一度しか使わないこととする.
(3)奇数の和
解≫百の位には
　　　1,3,5が各2×4＝8(回)
　　　2,4が各3×4＝12(回)
　　ずつ現れる.
↑の説明
　　　(1,3,5)　　
　　　一の位は百に位の数以外の奇数で2通り,十の位は4通り
(2,4)
一の位は3通り,十の位は4通り

と解答にはあるのですが,なぜ百の位に現れる回数を求めるのに一,十の位が出てくるのかがわかりません.あと(1,3,5)で
『十の位は4通り』になるのはなぜですか.

よろしくお願いします

No.38574 - 2016/08/15(Mon) 11:47:38

☆ Re: 高１数学　個数の処理　です / angel

「百の位に現れる回数」というのを額面通り受け取ってはいけません。

この問題は、奇数である、103～543 までの48個の数の合計を求める問題です。
その48個の数を「百の位が同じ物同士で分類したらどうなるか」の話なのです。そのため、「百の位を ( 1なり2なり、なにかの数字に ) 固定した場合、一、十の位に何を使うかで、個数を考える」ということになります。

そして、例えば、百の位が 1 となる奇数は、
　103, 105, 123, 125, 135, 143, 145, 153
の8個ですが、奇数である以上、1の位の数は奇数である 3,5 に限定されます ( 1 は百の位で使っているので一の位には使えない )
逆に十の位には特に制限がありませんから、一の位、百の位で使わなかった4個の数字がなんでも使えます。

なので、1X3 のパターン4個、1X5 のパターン4個、合わせて8個となります。それで「十の位は4通り」です。( 上で挙げた8個の数字を実際に分類してみてください )

No.38581 - 2016/08/15(Mon) 18:21:45

☆ Re: 高１数学　個数の処理　です / うちだ

ありがとうございました

No.38598 - 2016/08/18(Thu) 06:28:06

★ (No Subject) / 濱さん

問不定積分（インテグラル）e^(-x)cosx dx

の別解なのですが、同形出現のときは、ペアを作るというのは知っているのですが、どうしてこのようなことを思いつけるのですか？

No.38572 - 2016/08/15(Mon) 08:44:00

☆ Re: / 黄桃

>（インテグラル）e^(-x)cosx dx
ではなくて、∫sin(log(x))dx のこととします。

>どうしてこのようなことを思いつけるのですか
の答は、「知っていたから」か「答から逆算したから」かではないでしょうか。

別解というのには2種類あって、１つは本当に別の見方をするもの、もう１つはちょっとかっこいいけど普通は思いつかない解法を使うものです。
この別解は後者なので、いきなり思いつくということは xsin(log(x)) の微分を知っていた（直前にやっていたか、以前やっていてたまたま思いついた）場合か、何かひらめきがあった場合でしょう。

普通は、答を見てから、x*(logx)'=1 だから（合成関数の微分が簡単になるとわかって）、こんなことすれば近道があったんだな、と思いつくものです。

＃こうした裏技的別解の解法を試験場でひらめくかどうかは運次第なので、
＃運に頼らず解けるオーソドックスな方法（置換して部分積分）をマスターすべきでしょう。

>ペアを作るというのは知っている
のであれば必要な引き出しとしては十分でしょう。

＃数学オリンピックならともかく、入試や模試、定期試験レベルでひらめきが必要な問題の
＃正解率は非常に低いでしょうから、後回しにする方が賢明でしょう。別に全問完答する必要はありませんから。

No.38589 - 2016/08/16(Tue) 07:48:46

★ 空間図形 / ポップコーン

問題は「影がつけられた面積を求めよ」です。

図では（３）です。

答えは、４πー８です。

解説には、
「左下の重なった部分を?@とすると、
?@の面積は、
２×（２×２×π×90/360ー２×２×1/2)
＝２πー４平方cm2

求める面積は、
４×４×π×90/360ー２×２×π×1/2×２＋２×?@より、

２×（２π－４）＝４π－８平方cm2
↑この、２倍する意味が分かりません。

?@の面積は最初に求められているのに、どうして２倍する必要があるのでしょうか？？

No.38570 - 2016/08/14(Sun) 22:40:57

☆ Re: 空間図形 / らすかる

右上の影部分の面積は
「４×４×π×90/360ー２×２×π×1/2×２＋?@」であり
（「＋?@」は引きすぎた分を戻しているだけ）
左下の影部分の面積は
「?@」ですから、
両方の影部分の面積を合わせると
「４×４×π×90/360ー２×２×π×1/2×２＋２×?@」になります。
つまり、右上の影部分の面積も左下の影部分の面積と同じく
2π-4なので、2×(2π-4)になるということです。

No.38571 - 2016/08/14(Sun) 23:31:18

☆ Re: 空間図形 / ポップコーン

すみません・・・。

３行目の（「＋?@」は引きすぎた分をもどしているだけ）

まで分かりました。

では、もし右上の面積だけだった場合、２πー４になるということですか？

それを計算した場合、
４×４×90/360ー２×２×π×1/2×２＝０になりませんか？
（計算又は式のミスだったらごめんなさい。）

０になるんだったら、まずこの式自体が成立しないと思うのですが・・・。

No.38573 - 2016/08/15(Mon) 10:56:36

☆ Re: 空間図形 / らすかる

> では、もし右上の面積だけだった場合、２πー４になるということですか？

その通りです。

> それを計算した場合、
> ４×４×90/360ー２×２×π×1/2×２＝０になりませんか？
> （計算又は式のミスだったらごめんなさい。）

これは式が間違っています。上では
４×４×π×90/360ー２×２×π×1/2×２
となっていてこれは正しく、
４×４×π×90/360ー２×２×π×1/2×２＝０
となります。

> ０になるんだったら、まずこの式自体が成立しないと思うのですが・・・。

どういう意味ですか？
「半径4cmの四分円の面積」＝「半径2cmの半円の面積」×2
ですから、０になって当然ですよ。

No.38575 - 2016/08/15(Mon) 15:04:07

☆ Re: 空間図形 / ポップコーン

> 「半径4cmの四分円の面積」＝「半径2cmの半円の面積」×2
> ですから、０になって当然ですよ。

０になったということは面積がなくなりませんか？

「半径4cmの四分円の面積」ー「半径2cmの半円の面積」＝右上の影のついた面積
になるのではないんですか？？？

何度も何度もすいません(>_<)

No.38576 - 2016/08/15(Mon) 15:19:10

☆ Re: 空間図形 / らすかる

> 「半径4cmの四分円の面積」ー「半径2cmの半円の面積」＝右上の影のついた面積
> になるのではないんですか？？？

もし2つの「半径2cmの半円」が重なっていなければ、
「半径4cmの四分円」の内部かつ「半径2cmの半円」の外部である部分の面積は
「半径4cmの四分円の面積」－「半径2cmの半円の面積」×2
となりますが、この問題では
2つの「半径2cmの半円」が?@の分重なっていますので、
「半径2cmの半円」で覆われる部分の面積は
「半径2cmの半円の面積」×2よりも?@の分少なくなります。
つまり「半径2cmの半円」で覆われる部分の面積は
「半径2cmの半円の面積」×2－?@
ですから、右上の影のついた面積は
「半径4cmの四分円の面積」－｛「半径2cmの半円の面積」×2－?@｝
となりますね。

No.38577 - 2016/08/15(Mon) 15:40:43

☆ Re: 空間図形 / ポップコーン

そうですね！！！

やっとわかりました！！

「重なっている部分」を見落としていました！

本当にありがとうございました！！

No.38579 - 2016/08/15(Mon) 16:57:57

★ 数3 / アカシロトモ

曲線y=x^n(nは正の定数)の0≦x≦1の部分を
y軸の周りに回転させてできる容器があり、
水を満水になるまで入れてある。
この容器の底に穴をあけて水を流出させる。
このとき、時刻ｔにおける水量をV,水の深さをhとすると、
dV/dt=-a√h(aは正の定数)が成立することが知られている。
このとき、満水の水がすべて流出するまでに
かかる時間を求めよ。

よろしくお願いします。

No.38567 - 2016/08/14(Sun) 15:51:48

☆ Re: 数3 / X

条件から
V=π∫[0→h]{y^(2/n)}dy
これを
dV/dt=-a√h
に代入すると
(dh/dt){πh^(2/n)}=-a√h
∴dt/dh=-(π/a)h^(2/n-1/2)
満水時にh=1であることに注意すると
求める時間は
t=∫[1→0]{-(π/a)h^(2/n-1/2)}dh (A)
ここでn＞0に対し
2/n-1/2＞-1/2
∴少なくとも2/n-1/2≠-1
よって(A)より…

No.38568 - 2016/08/14(Sun) 20:29:49

☆ Re: 数3 / アカシロトモ

X さん

いつも丁寧な解説ありがとうございます。
おかげさまで最後の≠-1の意味も含めてよく理解できました。

No.38569 - 2016/08/14(Sun) 22:07:30

★ (No Subject) / グラフ

この式がよくわかりません。
ピンクで囲んでいる部分です。

No.38557 - 2016/08/12(Fri) 17:17:01

☆ Re: / X

y=|x-1|-3 (A)
のグラフが図2のようになることはよろしいですか。
y=||x-1|-3|
のグラフは(A)のグラフ、つまり図2において
y＜0の部分をx軸に関してx＞0の側に折り返した
グラフとなります。
その視点で図3をご覧下さい。

No.38559 - 2016/08/12(Fri) 20:38:47

☆ Re: / X

No.38559で分かりにくいのであれば、
例として次のグラフを考えてみて
下さい。

例)
y=|x(x-2)| (A)
これは
(i)x(x-2)≧0、つまりx≦0,2≦xのとき
y=x(x-2)
(i)x(x-2)＜0、つまり0＜x＜2のとき
y=-x(x-2)

従って(A)のグラフは
y=x(x-2)
のグラフにおいてy＜0の部分を
x軸に関してy＞0の側に折り返した
グラフとなります。

添付写真の図2から図3を考える場合も
考え方は同じです。

No.38560 - 2016/08/12(Fri) 20:44:17

★ (No Subject) / アリス

因みにこちらもお願いします

No.38542 - 2016/08/11(Thu) 18:49:07

☆ Re: / X

条件から直線OB,ABの方程式は
それぞれ
y=x
y=-x+6
従って
Q(x,x) (0＜x≦3)
Q(x,-x+6) (3≦x≦6)
よって問題の面積yをxの式で表すと
(i)0＜x≦3のとき
y=(△OPQの面積)
=…
(ii)3≦x≦6のとき
y=(△OABの面積)-(△APQの面積)
=…

No.38545 - 2016/08/11(Thu) 21:05:11

☆ Re: / math++;

直線OBの方程式はy=xです
直線ABの方程式はy=-x+6です
(このyは座標としてのyです)
面積のyは２通りあります
0<x≦3の時は
y=OP*PQ/2
=x*x/2
=(x^2)/2
3≦x≦6のときは
y=OP*PQ/2
=x*(-x+6)/2
=-(x^2+6x)/2
この二つです

No.38546 - 2016/08/11(Thu) 21:08:50

☆ Re: / math++;

Xさんすいません
打っている間に投稿されていましたね
2重になってすいません

No.38547 - 2016/08/11(Thu) 21:10:08

☆ Re: / X

>>math++;さんへ

>>3≦x≦6のとき
の計算が間違っていませんか？
このときは
y=(△OPQの面積)
とはなりません。

No.38555 - 2016/08/12(Fri) 15:13:03

☆ Re: / math++;

>>Xさんへ
すいませんうち間違いました
正しくは
(-x^2+6x)/2
ですね
"("の位置を間違えてしまいました
ありがとうございます

No.38556 - 2016/08/12(Fri) 15:25:01

☆ Re: / X

>>math++;さんへ
いえそうではなくて、問題文での
yの定義を間違えて捉えている
ということです。

問題文でyは
△OABの内部で線分PQの左側の部分の面積
とあります。
従って3≦x≦6のとき
y=(四角形OPQBの面積)
となります。

No.38558 - 2016/08/12(Fri) 20:33:31

☆ Re: / math++;

>>Xさんへ
そうですね
ありがとうございます
もっと落ち着いて問題に取り組むよう努力したいと思います
また、ご指摘よろしくお願いします

アリスさん、間違えた回答を送ってしまいすいません

No.38561 - 2016/08/12(Fri) 21:08:17

★ (No Subject) / アリス

こちらは、どのように解きますか？

No.38541 - 2016/08/11(Thu) 18:47:21

☆ Re: / X

条件から(5/2)(x+6)の値の範囲について
5x+3-1/2≦(5/2)(x+6)＜5x+3+1/2
この不等式を解いてxの値の範囲を求め
その値の範囲において
5x+3
が自然数(注:xは正の数)となるような
xの値を求めます。

No.38544 - 2016/08/11(Thu) 21:01:02

☆ Re: 別解 / angel

あるいは、5x+3 が整数になるということからこれを n と置く、
つまり 5x+3=n としてここから 5/2・(x+6) を n の式で表します。

これは有理数 ( 整数÷整数 ) ですから、場合分けして四捨五入の結果を直接割り出すことができます。
※実際 5/2・(x+6)=(n+27)/2 なので、nの偶奇で場合分けすれば十分

後は ( 四捨五入した結果 )=n を解いて n を割り出せば、そこから x も分かります。

No.38548 - 2016/08/11(Thu) 21:21:10

☆ Re: / アリス

なぜ、5x+3-1/2≦(5/2)(x+6)＜5x+3+1/2
のような式になるのですか。
1/2はどこから出てきたのですか？

No.38552 - 2016/08/12(Fri) 10:25:24

☆ Re: / ヨッシー

横から失礼します。

例えば、ｘが小数以下を四捨五入して、５になる数だということを表すと
　4.5≦ｘ＜5.5
つまり、
　5－1/2≦ｘ＜5＋1/2
ですよね？

No.38553 - 2016/08/12(Fri) 11:12:01

☆ Re: / アリス

わかりましたありがとうございます。
四捨五入の時の切り捨て、切り上げの事を考慮して…
ということですね、
ありがとうございました

No.38554 - 2016/08/12(Fri) 14:35:11

★ (No Subject) / なな

中3です。(１)の答えは４。(2)の答えは√5－2です。
全然どちらもわからないので、わかりやすく解説お願いします！

No.38539 - 2016/08/11(Thu) 16:35:37

☆ Re: / ヨッシー

ｘ＝ａ＋ｂなので、これを代入して
　(ａ＋ｂ)^2＋ｂ^2＝１８
　ａ^2＋２ａｂ＋２b^2＝１８
ここで、０≦ｂ＜１なので
　０≦ｂ^2＜１、
ａ＝３とすると
　ａ^2＋２ａｂ＋２b^2＝２ｂ^2＋６ｂ＋９
　９≦２ｂ^2＋６ｂ＋９＜１７
であるので、ａ≦３はあり得ません。また、ａ≧５もあり得ません。
ａ＝４のとき
　ａ^2＋２ａｂ＋２b^2＝２ｂ^2＋８ｂ＋１６＝１８
　ｂ^2＋４ｂ－１＝０
これを０≦ｂ＜１の範囲で解いて　ｂ＝√５－２

No.38540 - 2016/08/11(Thu) 16:48:00

☆ Re: / なな

> 中3です。(１)の答えは４。(2)の答えは√5－2です。
> 全然どちらもわからないので、わかりやすく解説お願いします！

bの2乗＋４b－１＝０を解の公式で解いたら、－2±√5になりました。それからなんで、答えが√5－2になるのかがわかりません。
一番最後の文章を詳しく教えて下さい。

No.38549 - 2016/08/11(Thu) 23:00:42

☆ Re: / ヨッシー

ｂ＝－2－√5 は、０≦ｂ＜１に該当しないので、
ｂ＝－2＋√5 のみが解となります。

No.38550 - 2016/08/12(Fri) 06:14:08

★ (No Subject) / as

画像のような問題は数１ではどの分野にあたりますか？また、画像のような問題を解くとしたら、どうやって解きますか？
全体が◯人いて、～という問題です。

No.38530 - 2016/08/11(Thu) 14:16:54

☆ Re: / X

これは集合の項目に当たりますね。

全体の集合をU,帽子をかぶっている人の集合をA、
眼鏡をかけている人の集合をBとし、
例えば
Aの人数をn[A]
Aの補集合を\A
と書くことにします。
すると、求める人数は
n[\A∩B]
と書くことができ、又、条件から
分かっている値は
n[U],n[A],n[\A∩\B] (P)
となります。
ベン図を描くことにより
n[\A∩B]=n[B]-n[A∩B] (A)
一方ドモルガンの法則を使うと
n[\A∩\B]=n[\(A∪B)]
=n[U]-n[A∪B]
=n[U]-{n[A]+n[B]-n[A∩B]}
∴n[A∩B]=n[\A∩\B]+n[A]+n[B]-n[U] (B)
(A)(B)より
n[\A∩B]=n[U]-n[\A∩\B]-n[A]
後はこれに(P)に与えられている値を代入します。

No.38532 - 2016/08/11(Thu) 14:28:18

☆ Re: / as

なぜいきなりn(\A∩\B)がでてきたかが分かりません。一方ドモルガンの法則を使うと、というところです。すでに値は出てるじゃないですか？

No.38535 - 2016/08/11(Thu) 15:10:13

☆ Re: / X

n[\A∩\B]=n[\(A∪B)]
=n[U]-n[A∪B]
=n[U]-{n[A]+n[B]-n[A∩B]}
はn[A∩B]についての方程式
n[\A∩\B]=n[U]-{n[A]+n[B]-n[A∩B]}
を導くための変形であって
n[\A∩\B]の値を求める為の変形ではありません。

n[\A∩\B]を使った理由は、上記の変形のように
n[A∩B]に結び付けるのが比較的容易だったからです。

No.38538 - 2016/08/11(Thu) 15:16:19

☆ Re: / as

わかりました。ありがとうございました。

No.38551 - 2016/08/12(Fri) 08:26:41

★ (No Subject) / ケーキ

先程、投稿した回答です。
絶対値を外してFxを求めるところまでは理解できたのですが、グラフを使ってKの値の範囲を求める過程が分かりません。
分かる方、教えてください。よろしくお願いします。

No.38515 - 2016/08/11(Thu) 00:48:37

☆ Re: / X

f(x)=kxの解の個数が
y=f(x)
y=kx
のグラフの交点のx座標の個数であることはよろしいですか？

ここでy=f(x)のグラフの
x≦1の部分をp
1≦x≦6の部分をq
6≦xの部分をr
として
(i)直線y=kxがpのみと交点を持つとき
(ii)直線y=kxがqのみと交点を持つとき
(iii)直線y=kxがrのみと交点を持つとき
と場合分けをして、kの値の範囲を求める
ことを考えましょう。

No.38521 - 2016/08/11(Thu) 07:48:40

☆ Re: / ケーキ

返信ありがとうございます。
どういう風に考えるのかは理解できました。しかし、式を立て方が分かりません。
教えてください。よろしくお願いします。

No.38522 - 2016/08/11(Thu) 09:48:01

☆ Re: / 黄桃

わからない時は具体的な場合にあてはめて実験しましょう。
自分の頭で考えないといつまでたっても身につきません。

具体的な場合で実験、とは、
k=-10,-2, 0, 1, 2, 5, 10
などの場合に、y=kx のグラフを描いてy=f(x)との交点がどうなるか求めてみることです。

＃慣れてくれば、頭の中で実験できるようになります。

実験結果を踏まえて、どんなkの値だと交点がただ１つになるか、考えながら、もう一度解答を見てみましょう。

No.38525 - 2016/08/11(Thu) 11:53:49

☆ Re: / ケーキ

返信ありがとうございます。
ということは、式を立てるのではなく実験をしてKの値を求めるということですか？

No.38528 - 2016/08/11(Thu) 12:39:05

☆ Re: / 黄桃

>式を立てるのではなく実験をしてKの値を求めるということですか？

実験しましたか？
実験すれば、解答の「グラフより」という意味がわかるはずです。
その意味がわかると式が立ちます、というより、k<-2 や k=5/6 がどのような計算で出てきたかがわかります。

その意味もわからず人に式を教わって答を出しても、問題が変わると解けなくなるでしょう。

＃できる人は頭の中で素早く実験し、場合分けをして（ここまで頭の中）、
＃それから計算（式を立てること；ここは人に見える）をします。
＃人に見える部分だけを真似したいというのは、
＃練習せずに試合で勝ちたいというのと同じくらい無理です。

No.38533 - 2016/08/11(Thu) 14:29:57

★ 数列 / tku

蛍光ペンを引いてあるところの式変形が理解できません。
どうしてこうなるのか、教えてください。お願いします。

No.38513 - 2016/08/11(Thu) 00:41:14

☆ Re: 数列 / IT

右辺の　Σ[k=1..n](a[2k-1]+a[2k])は
kが1からnまでの自然数の値をとるとき
　2k-1 は 1から2n-1までのすべての奇数の値をとります。
　2kは、2から2nまでのすべての偶数の値をとります。
したがってΣ[k=1..n](a[2k-1]+a[2k])＝a[1]+a[2]+a[3]+...+a[2n-1]+a[2n]となります。

納得できなければ、具体的にn=2,3 のときについて、Σを書き下して（Σを使わず和を書いて）考えてみてください。

No.38516 - 2016/08/11(Thu) 01:04:29

☆ Re: 数列 / tku

理解できました！
わかりやすい説明ありがとうございましたm(_ _)m

No.38519 - 2016/08/11(Thu) 06:50:11

★ 面積 / るり

xyz空間において、円柱面C={(x,y,z)│x2+y2=1}をを考える。C上の点A(1,0,0)を中心とする半径2の球面Sとする。Sの内部にあるCの部分の面積を求めよ。

ヒントにSとCの交線上の点P(x,y,z)とQ(x,y,0)に対して、∠AOQ=θとして、zをθの関数として表すとよい、とあるんですが、z=±2cosθ/2となるとおもいますが、ヒントの活用方法が全然わからないです。そもそも求める図形自体がイメージできないです。
どんな図形ができてどうやって解いたらよいのか、教えてください。よろしくお願いします。

No.38509 - 2016/08/10(Wed) 22:36:41

☆ Re: 面積 / IT

円柱を展開すると横がθで縦がｚの平面図形になります。
展開して該当図形の面積を求めれば良いのでは

求める面積＝2∫[0..π]|4cos(θ/2)|dθ　になると思います。

どんな図形になるかは,
z=2cos(θ/2),(θ=-πからπ)のcosカーブを円柱に巻きつけて考えるか
x=1,1/2,0,-1 など　いくつかの点をプロットして側面図などを考えるしかないのでは。

No.38510 - 2016/08/10(Wed) 23:45:35

☆ Re: 面積 / るり

返信ありがとうございます。展開図とは思いつきませんでした。方針はよくわかりましが、積分区間はどのように見つけるのでしょうか。0≦θ≦πになる理由がよくわからないです。

No.38517 - 2016/08/11(Thu) 02:42:56

☆ Re: 面積 / IT

0≦θ≦2π で　積分してもいいです。 z=2cos(θ/2) の正負に留意します。

上記では
ｙ≧0（0≦θ≦π）部分と　ｙ≦0（-π≦θ≦0）部分は　ｘ-z 平面に関して面対称なので
ｙ≧0（0≦θ≦π）部分だけ求積して、２倍しました。

No.38518 - 2016/08/11(Thu) 03:10:16