ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 3つのベクトルの大きさについて / KM

高校レベルか大学レベルか分かりませんが添付した画像の問題は解くことができますか？
一週間程考えていますが、解けそうにありません…
お願いしますm(_ _)m

No.38105 - 2016/07/22(Fri) 19:15:58

☆ Re: 3つのベクトルの大きさについて / angel

「求めることができるか」と言われれば「できる」でしょうね。
ただし、一つの値には決まらない可能性があります。

ａ,ｂ,ｃを代表してｘ,ｙと置いて式を整理すると、
　ｘ*ｙ/(|ｘ||ｙ|)=C → ｘ*ｙ=C|ｘ||ｙ|
　|ｘ-ｙ|=L → |ｘ|^2-2ｘ・ｙ+|ｙ|^2=L^2
2つまとめて、
　|ｘ|^2-2C|ｘ||ｙ|+|ｙ|^2=L^2
と、|ｘ|,|ｙ|の条件式になります。

つまり、今回、|ａ|,|ｂ|,|ｃ|に関する条件式が3つ出るわけなので、それぞれを求めるのに十分です。
ただ、実際に値を求める際には2次方程式を解くことになり、そこで値が1つに定まらない ( 複数の解が出る ) 可能性があります。

No.38110 - 2016/07/22(Fri) 20:24:28

☆ Re: 3つのベクトルの大きさについて / angel

あ、すいません。
上で、ｘ*ｙとｘ・ｙという2種類の表現が出てきますが、両方ともベクトルの内積で、同じものだとお考えください。
紛らわしくて申し訳ないです。

No.38111 - 2016/07/22(Fri) 20:27:34

☆ Re: 3つのベクトルの大きさについて / IT

例えば極端な例で、前半の３つ＝１、後半の３つ＝0　のときは
|ａ|=|ｂ|=|ｃ|＝任意の正数　となりますね。

No.38114 - 2016/07/22(Fri) 20:42:19

☆ Re: 3つのベクトルの大きさについて / KM

ご返答ありがとうございます。
上記の条件については分かりましたが、下の画像の連立方程式を解く必要がありますよね？
これはどうすればいいのでしょうか…
度々申し訳ございませんm(_ _)m

No.38116 - 2016/07/22(Fri) 20:54:35

☆ Re: 3つのベクトルの大きさについて / angel

えっと…。物凄く面倒、というか「解析的に解けるか」というと解けない気がしますが、一応方程式がたつので「できる」と言っていいかと思います。

|ｘ|^2-2C|ｘ||ｙ|+|ｙ|^2=L^2 を2次方程式と見て解くと、
|ｙ|=C|x|±√(L^2-(1-C^2)|ｘ|^2) ですよね。
なので、|ｂ|,|ｃ|それぞれ|ａ|によって表すことができ、最後に|ｂ|,|ｃ|の関係式に代入すると|ａ|だけの方程式になります。√混じりのややこしい方程式ですが。

No.38119 - 2016/07/22(Fri) 21:11:25

☆ Re: 3つのベクトルの大きさについて / KM

ご返答ありがとうございます。
この方程式を解くとなったらコンピュータ上で二分法やニュートン法を使って計算をするしかなさそうですね…
ありがとうございましたm(_ _)m

No.38122 - 2016/07/22(Fri) 21:27:38

★ 数3 軌跡 / たけ

いや、だからなんやねん
答えまで行き着かんから教えてくれ言うてんぞ
しょーもない屁理屈こねて使えん奴やな
ハッキリ言って、答え分からんからはぐらかしとるようにしか見えんわ笑

No.38097 - 2016/07/22(Fri) 09:19:56

☆ Re: 数3 軌跡 / angel

大学生ともなると、「適切な質問の仕方」というのも要求されるかと思います。逆切れしているようでは、リアルでこの先、大学での勉強で困ると思いますよ…?

端的に言うと、何を要求しているのかはっきりしていないのです。「何が分からない」かはあなたにしか分かりません。
しかも、なにもないならヒントを出す等できますが、既にヒントがあるのに分からないと言われると、もう答えようがないのです。
例えば、模範解答例が欲しいならそう言うとか、ヒントのこの部分がどうなのかと絞り込むとか、そうしないと欲しい回答は出てきません。

メーリングリストの話なので、全く同じように扱うことはできませんが、http://www.hyuki.com/writing/techask.html などを参考にされることをお勧めします。

No.38102 - 2016/07/22(Fri) 14:44:02

★ 数1の不等式 / なな

3番が、わかりません！詳しく、お願いします！

No.38096 - 2016/07/22(Fri) 08:43:18

☆ Re: 数1の不等式 / angel

(iii)は(ii)の延長にある問題です。

aの値が ( (ii)のように ) 決められたら、そこから?@・?Aを同時に満たす x が計算できますね? ( そこが不安なら(ii)をもう少し見直しましょう )

じゃあ、a の値を様々に動かした時に (iii) の条件 ( 整数の和が 0 ) を満たすかどうか、を見ていくのです。

?@の解が x≦7/2=3.5、?Aの解が x≧a+2 ( aが負なので不等号がひっくり返っていることに注意 ) なので、

例えば a=-3 … -1≦x≦3.5 なので、整数は x=-1,0,1,2,3 合計は 5 で 0 にならない ( 大きい )
例えば a=-4 … -2≦x≦3.5 なので、整数は x=-2,-1,0,1,2,3 合計は 3 で 0 にならない ( 大きい )
例えば a=-5 … -3≦x≦3.5 なので、整数は x=-3,-2,-1,0,1,2,3 合計は 0 になった!!
例えば a=-6 … -4≦x≦3.5 なので、整数は x=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3 合計は -4 で 0 にならない ( 小さい )

aが小さすぎると合計も小さくて不適、a が大きすぎても合計が大きくて不適、丁度いいぎりぎりが -6 と -5 の所、でも -6 丁度ではダメで、-5.999 あたりなら良い…、と範囲を絞っていくように考えていきます。

No.38099 - 2016/07/22(Fri) 14:30:15

★ (No Subject) / ちひろ

先ほどはヒントありがとうございます！
このやり方で会ってますか?
四番だけわかりませんでした！

No.38083 - 2016/07/21(Thu) 21:45:23

☆ Re: / IT

(1)(2) は、ことわりなしにｔを持ち出してはだめです。
「x^2=t とおく」と明記すべきです
（x^2のままで進める方法もありますが）
最後の注意にしたがってさらに因数分解できないか調べます。

(3)(4) は(1)(2)とはやりかたが違います
(3) は計算がまちがってます。ヒントにしたがってやってみてください。
(4) もヒントにしたがってやってみてください。

No.38085 - 2016/07/21(Thu) 22:08:27

☆ Re: / ちひろ

もう一度詳しく教えてもらえますか？

No.38088 - 2016/07/21(Thu) 22:34:59

☆ Re: / IT

(1)(2）各２つの二次式のうち　さらに因数分解できるものがあります。

(3)(4)A^2-B^2=(A+B)(A-B) と因数分解できます。

No.38089 - 2016/07/21(Thu) 22:39:22

☆ Re: / ちひろ

何度も本当にすいません🙇
こんな感じになったんですけどこれであってますか？

No.38090 - 2016/07/21(Thu) 22:47:04

☆ Re: / IT

ちがいます
（１）　(x^2-16)は　さらに因数分解できます。
（２）　(x^2-1)は　さらに因数分解できます。

（３）　(x^2+2)^2 の+2 はどこにいきましたか？
（４）　(x^2-1)^2 の-1 はどこにいきましたか？

No.38091 - 2016/07/21(Thu) 23:07:40

☆ Re: / ちひろ

こんな感じでやってみたんですけどどうですか?

No.38092 - 2016/07/21(Thu) 23:35:50

☆ Re: / IT

(3)(4) は、少しまちがっています。一つずつ確認して計算や転記しましょう。

(3)与式
=(x^2+2)^2 - x^2
=(x^2+2+x)(x^2+2-x)
=(x^2+x+2)(x^2-x+2)

(4)与式
=(x^2-1)^2 - 4x^2
=(x^2-1+2x)(x^2-1-2x)
=(x^2+2x-1)(x^2-2x-1)

No.38093 - 2016/07/21(Thu) 23:58:36

★ 行列の問題 / にゃんこ

初めて利用させていただきます。
授業で習っていない問題が出されて解けないです。
解き方分かる方お願いいたします。
(どれか一問だけでも構いませんので)
よろしくお願いします。

No.38079 - 2016/07/21(Thu) 21:02:39

☆ Re: 行列の問題 / angel

固有値 ( 固有方程式 )、固有ベクトル、対角化、どこまでご存じなのでしょう…? 流石に授業でやってない状態で課題が出されるとは思えないのですが。

No.38113 - 2016/07/22(Fri) 20:35:49

☆ Re: 行列の問題 / angel

問題にある、「微分方程式Ａ=Ａｘ」というのは、「微分方程式ｘ'=Ａｘ」の誤植だと見て ( そうでないと問題がおかしい ) 一つ解いてみます。

(1)
「固有方程式」det(Ａ-λＥ)=0 すなわち、(-1-λ)・(4-λ)-3・(-2)=0 を解いて λ=1,2 これが「固有値」である。
このλ=1,2 に対して(Ａ-λＥ)ｖ=０となる「固有ベクトル」ｖは、
λ=1 に対しては、ｖ=(3,2)
λ=2 に対しては、ｖ=(1,1)
が挙げられる
※ｖは実際にはどちらも縦ベクトルです
※実際にＡ-λＥの値を書いて確かめてください

この固有ベクトルを並べた行列Ｒ
Ｒ=(3 1)
　　(2 1)
に対し、固有値を対角成分に持つ「対角行列」Ｔ
Ｔ=(1 0)
　　(0 2)
は、ＡＲ=ＲＴを満たす。すなわち、Ａ=ＲＴＲ^-1 ( 固有値・固有ベクトルによる「対角化」 )
これを微分方程式ｘ'=Ａｘに適用し、ｘ'=ＲＴＲ^-1・ｘ
ここから、Ｒ^-1・ｘ'=ＴＲ^-1・ｘ
ｙ=(y1,y2)＝Ｒ^-1・ｘと置くと、Ｒ^-1・ｘ'=ｙ' であり、ｙ'=Ｔｙ
ここから、y1'=y1, y2'=2y2 この微分方程式をそれぞれ解いて y1=αe^x, y2=βe^(2x)
ｙ=Ｒ^-1・ｘより、ｘ=Ｒｙにこの解を適用して、
ｘ=(3αe^x+βe^(2x), 2αe^x+βe^(2x)) ※実際は縦ベクトルです

No.38117 - 2016/07/22(Fri) 20:58:49

★ 高1の因数分解 / ちひろ

何度もすいません！
この四問のやり方教えてください！

No.38078 - 2016/07/21(Thu) 20:58:27

☆ Re: 高1の因数分解 / らぐ

因数分解はこれからも基本となっていくので,しっかり身につけましょう.

あなたは2次式の因数分解はできますよね？
これはそれとほぼ変わりませんよ.
(ただし複素数まで考えると話は別ですが...)

(1)x^4-13x^2-48
=(x^2-16)(x^2+3)
=(x+4)(x-4)(x^2+3)
複素数の範囲で考えると
=(x+4)(x-4)(x+(√3)i)(x-(√3)i)

(2)x^4-1
=(x^2-1)(x^2+1)
=(x+1)(x-1)(x^2+1)
複素数の範囲で考えると
=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i)

(3)x^4+3x^2+4
=(x^2+3/2)~2+7/4
(x^2+3/2+(√7/2)i)(x^2+3/2-(√7/2)i)

(4)x^4-6x^2+1
=(x^2-3)^2-8
=(x^2-3+2√2)(x^2-3-2√2)

No.38134 - 2016/07/23(Sat) 01:48:37

★ 中一　分配法則 / エナハフ

初めて利用させていただきます。
中一の数学の問題で、分配法則を使うと良いとかかれているのですが、最初の(-5分の2)の3乗と、(5分の2）の３乗が、符号が違うのに分配法則はできるのでしょうか？あと累乗の計算のとき、3は5と2両方にかけるのでしょうか？

あと、累乗から先に計算するのに途中で乗法をして符号だけ変えて数字がそのままなのはなぜなんでしょうか？
わかりづらくてすみません；；
調べても調べてもわからなかったので教えて下さい。

No.38062 - 2016/07/21(Thu) 03:13:19

☆ Re: 中一　分配法則 / X

>>符号が違うのに分配法則はできるのでしょうか？
○×□-○×△=○×□+○×(-△)
=○×{□+(-△)}
=○×(□-△)
となりますのでできます。

>>3は5と2両方にかけるのでしょうか？
5と2両方が3乗になるのか？、という意味であれば
その通りです。

>>あと、累乗から先に計算するのに～
(-○)^3={(-1)×○}^3
={(-1)^3}×○^3 (交換法則を使っています)
=(-1)×○^3
=-○^3
となります。

No.38065 - 2016/07/21(Thu) 06:22:59

★ 式変形 / さくらもち

いつもお世話になってます

積分の計算問題なのですが、解答を見ても途中計算がよくわかりません
四角で囲ったところ(因数分解?と部分分数分解?のやり方)を教えてください

よろしくお願いします

No.38057 - 2016/07/20(Wed) 17:57:33

☆ 式変形 / さくらもち

一応問題も載せておきます

No.38058 - 2016/07/20(Wed) 18:01:37

☆ Re: 式変形 / X

部分分数分解をするにはまず分母を因数分解
しなければなりませんね。
分母である
x^3-3x-2
は三次式ですので
f(x)=x^3-3x-2
と置いて、適当なxの値aについて
f(a)=0
となるようなものを見つけて、因数定理を
使うのが基本です。
ただ、この問題については
x^3-3x-2=x^3+(-1)^3+(-1)^3-3・(-1)(-1)x
と変形すれば、公式
a^3+b^3+c-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
が適用できます。

次に分母が因数分解できた後の部分分数分解について。
分母に(x+1)^2というように()^2の形の因数がありますので
(6x+5)/{(x-2)(x+1)^2}=a/(x-2)+b/(x+1)+c/(x+1)^2
の形に部分分数分解できると仮定します。
ここから右辺を通分して分子を展開し、左辺の分子と
係数を比較します。
そこからa,b,cについての連立方程式を立てて解きます。

No.38059 - 2016/07/20(Wed) 19:25:27

☆ Re: 式変形 / さくらもち

Xさん

丁寧に教えてくださりありがとうございます!!
因数定理の存在をすっかり忘れていたので本当に助かりました

質問を重ねてしまって申し訳ないんですが、部分分数分解後の1/(3(x+1)^2)の積分は何をしているのでしょうか

積分区間が変わっているから置換積分かなと一瞬思ったのですが、そうでもないし
部分積分では区間は変わらないはずだし…

もしよろしければ最後まで教えていただきたいです
お時間あったらよろしくお願いします!!

No.38060 - 2016/07/20(Wed) 22:18:16

☆ Re: 式変形 / ast

> 部分分数分解後の1/(3(x+1)^2)の積分は何をしているのでしょうか

それはコピペミスの類いで付いたただのゴミだと思います (丸括弧も対応取れてないし). ついでに積分後の第二項も誤植で log が抜けてると思います.

根本的には模範解答を誤植した人が悪いという話ではあるとは思うんですが, しかし解答の記述を理解しようとすることと同じかそれ以上に, 自分で実際に解き進めたらどうなるかというのは常に意識してみるべきことであるように思います. 本件でいうと, 部分分数分解まで終わってしまえば, 1/(x-2) や 1/(x+1) や 1/(x+1)^2 は普通に原始函数が求まるので, 自分で計算してみればそんな余分なものが吐き出される余地があるかどうかも, それなりに見当がつくのではないでしょうか.

No.38061 - 2016/07/21(Thu) 00:51:59

★ 累次積分と、複素数 / sansunigate

この二つの問題の解き方がわかりません。
解き方や考え方をご指導くださいませ

No.38048 - 2016/07/20(Wed) 00:19:35

☆ Re: 累次積分と、複素数 / X

問5
問題の重積分の積分範囲は
0≦x≦y≦1
これを元に積分順序の入れ替えをすると
(与式)=∫[y:0→1]{∫[x:0→y]{e^(y^2)}dy}dx
=(1/2)(e-1)

問6
これは単に5つの値の絶対値を計算して大小関係を
比較するだけです。
複素数の絶対値の定義が分からないのであれば、
教科書で該当項目を調べましょう。

No.38052 - 2016/07/20(Wed) 06:08:58

☆ Re: 累次積分と、複素数 / sansunigate

解けました、ありがとうございます！

No.38141 - 2016/07/23(Sat) 09:43:41