ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 不等式 / るり

任意の実数xに対して、適当な整数nを選べば、
│n-x│≦rが成り立つ。rの最小値を求めなさい。

どこから手をつけたらよいか最初からわからないです。任意と適当の違いもよくわからないです。どっちも何でもいいという意味なら最小値は0になると思うのですが、答えは1/2でした。
わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。

No.38757 - 2016/09/03(Sat) 19:25:16

☆ Re: 不等式 / ＿

とりあえずこのへんを。

No.38758 - 2016/09/03(Sat) 19:45:41

☆ Re: 不等式 / るり

xがなんでもいいなら、x=nのときに最小値0になるのではないんですか。ご紹介のところを読みましたが、よくーからないです。

No.38759 - 2016/09/03(Sat) 21:03:44

☆ Re: 不等式 / ＿

「任意を」を「なんでもいい」と解すのは間違いであって、
「どのような数が与えられたとしても」とでも解釈すべきでしょう。「適当な」は「うまい具合に」とでも解釈すればよいでしょう。それを念頭に置いて、

どのような実数xを与えられても、それに対してうまい具合に整数nを選べば|n-x|≦1/2が成り立つようにできる。

という主張は何を言っているかわかりますか？
上記の"1/2"を"0"にしてしまっては破綻してしまうこともわかりますか？

No.38760 - 2016/09/03(Sat) 21:22:14

☆ Re: 不等式 / るり

│n-x│≦1/2の1/2はどこからでてきたのですか。不等式の主張していることがよくわからないです。

No.38761 - 2016/09/03(Sat) 21:58:23

☆ Re: 不等式 / IT

横から失礼します。

視覚的に理解するために、数直線上に整数を白丸で書き込んでみてください。

実数xをどこにとっても,xに一番近い整数は、1/2以内の距離のところにあります。

また、x=1/2 とするとxに最も近い整数までの距離は1/2です。

No.38762 - 2016/09/03(Sat) 23:29:58

☆ Re: 不等式 / るり

数直線のどこに点をとってもその点を挟む整数が2点あって、近い方は距離1/2以内のところにあるということですね。適当な整数の意味が何となくわかりました。
│n-x│の最大値が1/2になるのもわかりました。
でもrの最小値を求めるのになぜ│n-x│の最大値を求めるのですか。

No.38763 - 2016/09/03(Sat) 23:44:56

☆ Re: 不等式 / IT

少し簡単な問題で考えて見ます。

（１）集合A＝{1,2,3} とする。
任意のa∈Aについてa≦r となるような、最小の実数rを求めよ。

という問題だとAの元の最大値3をとって　3≦r
これを満たす最小の実数なのでr＝3

（２）集合A＝{4以下の実数}とする。
任意のa∈Aについてa≦r となるような、最小の実数rを求めよ。
という問題だとAの元の最大値4をとって　4≦r
これを満たす最小の実数なのでr＝4

この問題は、数直線を描いてみてください。

これらを踏まえて元の問題を考えてみてください。

No.38764 - 2016/09/03(Sat) 23:58:49

☆ Re: 不等式 / るり

またわからなくなってしまいまして。
最大値を考えるのでしたら、nとxの差はいくらでも大きくなるので最大値はなくないですか。

No.38801 - 2016/09/06(Tue) 20:47:16

☆ Re: 不等式 / IT

最大値はあります。

No.38763
> 数直線のどこに点をとってもその点を挟む整数が2点あって、近い方は距離1/2以内のところにあるということですね。適当な整数の意味が何となくわかりました。
> │n-x│の最大値が1/2になるのもわかりました。
この考えで合ってます。

No.38805 - 2016/09/06(Tue) 22:58:24

☆ Re: 不等式 / るり

解決しました。ありがとうございました。

No.38814 - 2016/09/07(Wed) 20:28:06

★ 赤チャートの場合の数の問題について教えてください / りか

(2)で展開式の異なる項とはどういう意味ですか？また、なぜ6個なんですか？どなたかよろしくお願いします。上が問題で下が回答です。

No.38742 - 2016/08/31(Wed) 14:40:42

☆ Re: 赤チャートの場合の数の問題について教えてください / ヨッシー

（ｘ＋ｙ）^2 の異なる項は、係数を無視すると
　ｘ^2, ｘｙ, ｙ^2
の３個です。
（ｘ＋ｙ）^3 の異なる項は、
　ｘ^3, ｘ^2ｙ, ｘｙ^2, ｙ^3
の４個です。
（ｘ＋ｙ＋ｚ）^2 の異なる項は
　ｘ^2, ｙ^2, ｚ^2, ｙｚ, ｚｘ, ｘｙ
の６個です。

（ｘ＋ｙ）^2 を展開すると
　(ｘ＋ｙ)(ｘ＋ｙ)＝ｘ^2＋ｘｙ＋ｙｘ＋ｙ^2
ですが、ｘｙとｙｘは同じ項なので、異なる項としては３個になります。

(x+y+z)^6 は、
　(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)
のように、６つあるカッコから、x,y,z を１つずつ取るので、
「６個取る」です。

まずは
　(x+y+z)^3＝(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)
くらいから、「取って掛ける」というイメージをつかんでみてはどうでしょう？

No.38743 - 2016/08/31(Wed) 15:11:10

★ 青チャート二次不等式の問題 / ゆうり

青チャートの二次不等式の問題について教えてください。

次の不等式を解け。ただし、ａは定数とする。
ａx^2≦ａx

解説にａ>0のとき、ａx(x-1)≦0 から x(x-1)≦0
よって、解は 0≦x≦1 と書いてあるのですが、なぜａ>0のときにx(x-1)になるのですか？ａは何処へ？？
どなたか教えてください。

No.38738 - 2016/08/30(Tue) 22:07:42

☆ Re: 青チャート二次不等式の問題 / IT

実数a,b について
　a≧0かつb≧0 ならば　ab≧0
　a≧bかつc≧0 ならば　ac≧bc
　a＞0 ならば 1/a＞0

が成り立つことは分りますか？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
これらが分れば、

　ax(x-1)≦0　の両辺に1/a＞0を掛けて　x(x-1)≦0

No.38739 - 2016/08/30(Tue) 23:11:15

☆ Re: 青チャート二次不等式の問題 / ゆうり

あー、なるほど。理解できました！
ありがとうございました！

No.38747 - 2016/09/01(Thu) 00:33:23

★ (No Subject) / kyo

この問題の⑵の解き方教えてください。

No.38737 - 2016/08/30(Tue) 21:51:40

☆ Re: / angel

2次方程式の「判別式=0」がひたすら出てきます

まずは、その「共通な接線」を l:y=px+q と置くことにしましょう。

そうすると、l は C,Ca両方と接する訳ですから、そこから p,q,a の条件が割り出せるはずです。
具体的には、2次方程式の判別式を使います。

　lとCが接する
　　x^2=px+q が重解を持つ → 判別式=0
　lとCaが接する
　　a(x-2)^2-1=px+q が重解を持つ → 判別式=0

ちなみに、q は p の式として確定しますので、q を消去して a,p の条件式にしておきます。次のようになるはずです。

　(1-a)p^2+8ap+4a=0

さて。問題の条件は「共通な接線をただ1つだけもつ」でしたから、aの値を決めたときに、この条件を満たす p が2つ以上あるとマズいわけです。
そうすると、このa,pの条件式を p の2次方程式 ( もしくは、a=1であれば1次方程式 ) と見て、解が1つになる、と考えます。
※解が2つ以上あると、それに応じて接線が2つ以上できてしまう
つまり、a≠1 で2次方程式の場合に重解となる ( 判別式=0 ) か、a=1 で1次方程式になるか、というのが解が1つになる時です。

そこから a の値を求めます ( 複数 )。なお、a≠0 ( Ca が放物線になるため ) に注意しましょう。

No.38740 - 2016/08/31(Wed) 01:38:40

★ 青チャート二次関数の問題 / ゆうり

高校1年生です。数学Iの二次関数の問題について質問です。

f(x)=x^2-2x+3,g(x)=-x^2+6x+ａ^2+ａ-9がある。次の条件が成り立つような定数ａの値を求めよ。
0≦x≦4を満たすある実数x1,x2に対して、f(x1)<g(x2)が成り立つ。

この問題で、解き方のヒントとして
［0≦x≦4におけるf(x)の最小値］<［0≦x≦4におけるg(x)の最大値］となるａの値の範囲を求める。
と書いてありました。
何故こうなるのかよく分かりません。どなたか分かりやすく教えて頂けないでしょうか。

No.38728 - 2016/08/30(Tue) 11:09:16

☆ Re: 青チャート二次関数の問題 / ヨッシー

別の問題の図なので、軸の位置とか本問と違いますが、
f(x) と g3(x) の関係を見て下さい。
f(x) の最小値、g3(x) の最大値はともに頂点に現れます。
今、図では、頂点のｙ座標が同じで、
　[f(x)の最小値]＝[g3(x)の最大値]
であり、それ以外はすべて　f(x1)＞g3(x2) です。
f(x)＞g3(x) と書くと、同じｘ座標での比較になりますが、
f(x1)＞g3(x2) は、f(x) 上のあらゆる点と、g3(x) 上の
（ｘ座標が同じとは限らない）あらゆる点を比較して、f(x) のほうが g3(x) より大きい
という意味です。

さて、g3(x) のグラフが、図の位置よりも、少しでも上に行くと
g3(x) の頂点のほうが、f(x) の頂点よりも大きくなります。つまり、
　「[f(x)の最小値］<［g3(x)の最大値］
であると、
　「ある実数x1,x2に対して、f(x1)<g(x2)が成り立つ」
となります。

No.38729 - 2016/08/30(Tue) 12:32:36

☆ Re: 青チャート二次関数の問題 / ゆうり

詳しく解説してくださりありがとうございます。
そうか、x1とx2は別の数なんですね。
ある実数、ですから１つでも成り立てば良いのですか？

No.38736 - 2016/08/30(Tue) 20:41:20

☆ Re: 青チャート二次関数の問題 / ヨッシー

x1,x2の組について、１組でも成り立てばＯＫです。

No.38741 - 2016/08/31(Wed) 11:33:41

★ さんへいほんのていりの逆について。 / コルム

さんへいほんのていりの逆と図形何でもいいを使って問題を作っていただけないでしょうか。ご無理でしたら大丈夫です。調べたのですがわからないのです。教えていただけないでしょうか。意味不明なところがありましたら教えていただけないでしょうか。

No.38724 - 2016/08/29(Mon) 22:30:02

☆ Re: さんへいほんのていりの逆について。 / コルム

立体でお願いできないでしょうか？

No.38725 - 2016/08/29(Mon) 23:56:27

☆ Re: さんへいほんのていりの逆について。 / ボルボックス

正四面体OーABCがある
Oから面ABCにむかって直線を引きました。
交点をPとします。
その点はABCから等距離の位置にありOPの長さは8を9で割ったものであった。
このとき角AOPは？

No.38727 - 2016/08/30(Tue) 05:42:39

☆ Re: さんへいほんのていりの逆について。 / コルム

ありがとうございました。

No.38744 - 2016/08/31(Wed) 16:44:30

★ 数学の問題がわかりません / みさき

この問題の解き方を教えてください

No.38721 - 2016/08/29(Mon) 14:29:33

☆ Re: 数学の問題がわかりません / angel

いやこれ物理じゃね…? は置いといて、エネルギーと摩擦の理解が必要となります。

A→B→Cと小物体が移動する中でどういうことが起っているかというと、

・A→B間
　「なめらか」とあるので摩擦なし、エネルギーは保存される。
　高所から低所に移ることで減少した「位置エネルギー」の分、「運動エネルギー」が増大する
・B→C間
　逆に摩擦があるため、「摩擦力」による「仕事」の分、エネルギーが減少する。
　BC間で高さは変化しないので、位置エネルギーは変化なし、運動エネルギーが減少する。

Aの地点では「静かに放した」ということで速度 0、運動エネルギーも 0、BCを基準とした高さは h なので位置エネルギー mgh、エネルギーの総量は mgh です。

Bの地点では高さ 0 になっているので位置エネルギー 0、逆に運動エネルギーが mgh になります。( 総量変わらず )

Cの地点で止まって速度 0 になります。つまり、運動エネルギーが mgh 減って 0 になった、ということです。

…ということを踏まえて問いにあたります。

No.38722 - 2016/08/29(Mon) 19:21:39

☆ Re: 数学の問題がわかりません / angel

(1)
　速度 v に対応する運動エネルギー 1/2・mv^2 がBにおける運動エネルギー mgh に等しいということになるので、

　　1/2・mv^2=mgh

　これを整理して v を求めます。答え √(2gh)

(2)
　摩擦力を F と置いた時、BCの移動距離が l なので、摩擦力のした仕事は -Fl です。つまりエネルギー Fl の減少
　※符号がマイナスなのは、摩擦力の向きと物質の移動方向が逆だから

　なので、減少した運動エネルギーと比較して

　　mgh=Fl

　一方で、面BCが物質を支える力 ( 垂直抗力 ) mg に対して、摩擦力 ( 動摩擦 ) は μ'mg になりますから、

　　F=μ'mg

　これらの式を整理してμ'を求めます。答え μ'=h/l　

No.38723 - 2016/08/29(Mon) 19:29:10

★ 質問です / aho

イ～オの解き方を教えてください！

aを定数とし、座標平面上の2つの放物線C1:y=x^2-2ax+2a-1とC2:y=-x^2+4x+a-2を考える。

a=-1のとき、C1とC2の交点の座標は【ア】である。任意のaに対してC1とC2は異なる2点で交わる。それらの交点を通る直線をℓaとしたとき、ℓaの方程式はy=【イ】であり、ℓaはaの値に関わらず定点【ウ】を通る。したがって、原点とℓaの距離はa=【エ】のとき最大値【オ】をとる。

No.38720 - 2016/08/28(Sun) 22:42:37

☆ Re: 質問です / ヨッシー

Ｃ1: x^2－2ax＋2a－1－y＝0
Ｃ2: －x^2＋4x＋a－2－y＝0

Ｃ1、Ｃ2 の交点を通る放物線（特殊なケースとして直線）は、
　x^2－2ax＋2a－1－y＋t(－x^2＋4x＋a－2－y)＝0
これが直線となるには、x^2 の係数を０にするためにｔ＝１
このとき
　2y＝(4－2a)x＋3a－3
　y＝(2－a)x＋(3a－3)/2　・・・【イ】
変形して
　(3－2x)a＋4x－2y－3＝0
これが a についての恒等式となるためには
　3－2x＝0, 4x－2y－3=0
これを解いて、
　x＝3/2, y＝3/2
よって、ℓa は (3/2, 3/2) を必ず通ります。　・・・【ウ】

Ｐ(3/2, 3/2) とおくと、ＯＰ⊥ℓa となるとき、距離最大なので、
そのとき ℓa は、Ｐを通って、傾き－１なので、
　2－a＝－1
　ａ＝３　・・・【エ】
このとき、最大値はＯＰに等しく、3√2/2　・・・【オ】

No.38750 - 2016/09/01(Thu) 16:24:23

★ 因数分解について / 中学生

中学２年です。
因数分解が一意に定まることの証明を教えてください

No.38714 - 2016/08/28(Sun) 16:30:22

☆ Re: 因数分解について / angel

私も詳しくはありませんが、これは環論というものの知識が必要になります。中高生の範囲を超えた領域の話です。

wikipediaの一意分解環の項にある

> 多変数多項式環 Z[X1, ..., Xn], K[X1, ..., Xn] は UFD となることがわかる。

というのが、「因数分解が一意に定まる」に相当します。( 証明そのものではなく、あくまでトピックとして )

No.38719 - 2016/08/28(Sun) 20:35:12

☆ Re: 因数分解について / 中学生

ありがとうございます
今群論をやっているのですが次に環論でいいですか？
最終的にはガロア理論の方程式が解ける必要十分条件について学びたいと思っています。（数学ガールを読んだんですけど途中でおいていかれました。）

No.38726 - 2016/08/30(Tue) 05:32:12

☆ Re: 因数分解について / angel

> 今群論をやっているのですが次に環論でいいですか？

まあ、確かに環の前に群を知っておいた方が良いとは思います。
が、群論と環論とは発展の過程も違いますし、群論の延長上に環論がある、ということではないという認識です。順番にはそれほどこだわらなくても良いのではないでしょうか。

…ただすいません。どちらも深く学習した訳ではないので、色々参考書や資料 ( 大学の講義テキストがWebで公開されていることもあります ) に触れてみてください。

No.38733 - 2016/08/30(Tue) 15:51:59

★ 自作整数問題について / 中学生

中学２年です。
一カ月前に整数問題を考えてからずっと解けません。
問題 x,y、nは正の整数とする。pを素数とし
x^n=y^n+pについて考える。
これを満たすx、y、pが存在するようなnの条件を求めよ。

お願いします。

No.38700 - 2016/08/27(Sat) 21:43:11

☆ Re: 自作整数問題について / angel

「自作」とありますが、問題を考えてみたけれど、本当に解けるかどうかが分からない、ということでしょうか?

ぱっと見「nが合成数でないこと」が必要とは分かりますが、それで十分かどうかはちょっと分からないですね…。

No.38703 - 2016/08/28(Sun) 01:39:33

☆ Re: 自作整数問題について / 中学生

> 中学２年です。
> 一カ月前に整数問題を考えてからずっと解けません。
> 問題 x,y、nは正の整数とする。pを素数とし
> x^n=y^n+pについて考える。
> これを満たすx、y、pが存在するようなnの条件を求めよ。
>
> お願いします。

解決しました

No.38713 - 2016/08/28(Sun) 16:27:34

☆ Re: 自作整数問題について / らすかる

「ブニャコフスキー予想」が正しいとすれば、
「nが合成数でないこと」で必要十分と言えますね。

No.38715 - 2016/08/28(Sun) 16:47:43