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★ 有利関数の積分 / らぐ
積分の演習をやっているうちにわからないものがいくつかあったので教えてください.

次の関数の不定積分を求めよ.
(1)4(x+1)/(x^2+2)^2
(2)8/(x^4+4)

(1)部分分数分解を試みましたが,できませんでした.
4(x+1)/(x^2+2)^2=(ax+b)/(x^2+2)+(cx+d)/(x^2+2)^2
両辺に(x^2+2)^2をかけて
4(x+1)=(ax+b)(x^2+2)+cx+d
両辺の係数を比較して,
(x^3の係数) a=0
(x^2の係数) b=0
(xの係数) 2a+c=4
(定数) 2b+d=4
よって(a,b,c,d)=(0,0,4,4)となり元に戻ってしまいました.
部分分数分解の最初の置き方は授業でやった通りにしました.

(2)手がつけられませんでした.
No.37972 - 2016/07/15(Fri) 19:58:46
☆ Re: 有利関数の積分 / IT
(2) の途中まで
8/(x^4+4) = 8/{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}
=2/{x(x^2-2x+2)}-2/{x(x^2+2x+2)}

2/{x(x^2-2x+2)}={(x^2-2x+2)-(x^2-2x)}/{x(x^2-2x+2)}
=1/x-(x-2)/(x^2-2x+2)
=1/x-(x-1)/(x^2-2x+2)+1/(x^2-2x+2)
=1/x-(1/2)(2x-2)/(x^2-2x+2)+1/{(x-1)^2+1}

2/{x(x^2+2x+2)} も同様にできるのではないでしょうか？
No.37975 - 2016/07/15(Fri) 21:07:18
☆ Re: 有利関数の積分 / らぐ
ご回答ありがとうございます.
そのようなコツがあるのですね.
(2)については理解できました.
No.37982 - 2016/07/15(Fri) 23:40:31
☆ Re: 有利関数の積分 / らぐ
(1)4x/(x^2+2)+4/(x^2+2)
?怒4x/(x^2+2)^2+4/(x^2+2)^2}dx=-2/(x^2+2)+??4/(x^2+2)^2dx

ここまではなんとか積分できました.
No.37983 - 2016/07/15(Fri) 23:56:31
☆ Re: 有理関数の積分 / IT
∫4/(x^2+2)^2 dx = 2∫((x^2+2)-x^2)/(x^2+2)^2 dx
=2∫1/(x^2+2) dx -2∫x・x/(x^2+2)^2 dx

2∫x・x/(x^2+2)^2 dx
=∫x・2x/(x^2+2)^2 dx 部分積分法
=x(-1)/(x^2+2)-∫-1/(x^2+2) dx

係数や符号は確認してください。
No.37987 - 2016/07/16(Sat) 00:26:27
☆ Re: 有利関数の積分 / らぐ
理解できました.
ありがとうございます.
No.37999 - 2016/07/17(Sun) 02:17:26
★ 倍数算 / 前進
１ですが
No.37967 - 2016/07/15(Fri) 14:03:16
☆ Re: 倍数算 / 前進
続きです。
No.37968 - 2016/07/15(Fri) 14:05:37
☆ Re: 疑問点です / 前進
宜しくお願い致します
No.37969 - 2016/07/15(Fri) 14:06:41
☆ Re: 倍数算 / ヨッシー
５：２ を ２５：１０　に、
３：２ を ２１：１４　にすることによって、
○と□で違っていた比が、△という共通の比で扱えるようになります。
どちらも合計３５で、同じ量（兄と弟の所持金の合計）を
表しているからです。

また、７０と７０でも１０５と１０５でも構いません。
最小公倍数が扱う数が小さくて済むだけの話です。
やってみると良いでしょう。
No.37970 - 2016/07/15(Fri) 16:26:43
★ (No Subject) / 濱さん
次の画像の問題なのですが、答えはわかっているので、答案の書き方、特に、Pの存在範囲をFとすると、以降の同値性など厳密に（大学レベルでというと大袈裟かも知れませんが）チェックしていただけますか？
No.37966 - 2016/07/15(Fri) 11:01:39
★ (No Subject) / as
画像の問題の答えはこれで合っていますか？
No.37956 - 2016/07/14(Thu) 19:24:18
☆ Re: / as
すみません、(2)です。
No.37957 - 2016/07/14(Thu) 19:25:15
☆ Re: / X
まず、解答全体について。
下書きとしてasさんが見るのであればこの書き方でも
構いませんが、テストなどで第３者に見せる解答と
しては×です。
増減表の上の計算部分は単なる下書きにしか見えません。

次に細かいところについて。
増減表以下の部分ですが、
・x=3のときのyの値及び最大値はきちんと約分しましょう。
・増減表ではx=4のときのyの値が正しく書けているのに
その２行下の最小値の方は間違っていますね。
(ケアレスミスでしょうか)
No.37960 - 2016/07/14(Thu) 20:17:42
☆ Re: / らすかる
それ以前に、増減が正しくないですね。
No.37961 - 2016/07/14(Thu) 20:56:42
☆ Re: / X
>>らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>asさんへ
ごめんなさい。増減表でy'の符号が逆になっていますね。
それに伴い、増減も逆転しますので、最大値、最小値も
異なってきます。
(値の大小関係を見て気づかなければいけなかったのですが。)
No.37962 - 2016/07/14(Thu) 21:13:18
☆ Re: / as
すみません。ありがとうございました。
No.37963 - 2016/07/14(Thu) 22:02:43
☆ Re: / as
あと、一応確認ですが、最大値最小値は自分が解答したのとは逆になるでいいですか？
No.37964 - 2016/07/14(Thu) 22:08:32
☆ Re: / IT
> あと、一応確認ですが、最大値最小値は自分が解答したのとは逆になるでいいですか？

違うと思います。３つの値の大小関係を再確認してみてください。
No.37965 - 2016/07/14(Thu) 23:22:27
★ 行列式 / やや
(1)の答えが98なんですが、どうしてもそうなりません…
191とか思いっきりマイナスの値が出てきたりしてしまいます
どなたか計算過程をできる限り詳しく教えてください

よろしくお願いします

列変形、行変形、余因子展開は知っていますが
余因子展開がかなり自信ないです…
No.37948 - 2016/07/13(Wed) 23:04:07
☆ Re: 行列式 / ヨッシー
第１行を３倍して、第４行から引く。
第２行を第３行から引く。　を行い

すると

と変形でき
（第１項の行列式）＝2・2・4＋6・(-6)・(-3)−6・3・4−9・2・(-3)＝106
（第２項の行列式）＝4・2・4＋1・(-6)・(-3)−1・3・4−1・2・(-3)＝44
よって、
(与式)＝3・106−5・44＝98
となります。
No.37953 - 2016/07/14(Thu) 07:54:31
★ (No Subject) / アカシロトモ
fは１対１の写像で、任意の実数x,yに対して、
f(x+y)= f(x) f(y) が成立する。
ｆの逆写像をgとすると、g(x)はx=1で微分可能であり、
g’(1)=2である。このとき、
（1）g(xy)=g(x)+g(y)が成立することを証明せよ
（2）g(x)は微分可能であることを証明せよ。
（3）f(x)を求めよ
よろしくお願いします。
No.37947 - 2016/07/13(Wed) 22:27:00
☆ Re: / IT
fの条件はそれだけですか？　連続性は仮定されてないのでしょうか？

(1) の略解 （行間は埋めてください。）
f(g(x)+g(y))=f(g(x))f(g(y))=xy
g(f(g(x)+g(y)))=g(xy)
g(x)+g(y)=g(xy)
No.37949 - 2016/07/13(Wed) 23:57:54
☆ Re: / アカシロトモ
IT さん
ありがとうございます。
再度確かめましたが、問題文のすべてです。
ほかに条件はありません。
No.37950 - 2016/07/14(Thu) 05:26:10
☆ Re: / IT
下記の一番最後の問題を参考にされると出来ると思います。
http://examist.jp/mathematics/derivation2/kansuhouteisiki/
No.37952 - 2016/07/14(Thu) 07:41:10
☆ Re: / ペンギン
横から失礼致します。

数学的な厳密性を欠くかもしれませんが、ITさんのご回答により
1)が示されたので、以降の概略を。

1)にx=y=1を代入し、g(1)=0
x≠0として
g(x+h)-g(h)=g(x(1+h/x))-g(x)=g(1+h/x)

上の式をhで割り、hを0に持っていくと、h'=h/xとして、
[g(1+h')-g(1)]/h' /x
gは1で微分可能なので、
2/x
となります。
よって、x≠0で微分可能です。

あとは積分して、g(x)=2lnx + Cとなります。
No.37955 - 2016/07/14(Thu) 17:31:25
☆ Re: / アカシロトモ
IT さん
ありがとうございます。
問題は、塾の夏期講習用のプリントにある問題です。
どこかの過去問の可能性もあります。
講習が始まって（８月〜）わかったら報告いたします。
No.37958 - 2016/07/14(Thu) 19:55:34
☆ Re: / アカシロトモ
ペンギン さん
ありがとうございます。
大変助かりました。
No.37959 - 2016/07/14(Thu) 19:56:49
☆ Re: / 黄桃
この問題は、ちょっと罠があって、さりげなく書いてある
(a) fは1対1の写像
(b) ｆの逆写像をgとする
という2点に注意しないといけません。

罠というのは、
f が任意の実数で定義されていること、と(a),(b) より、
g も任意の実数で定義されている
と思い込んでしまうと絶対に解けない、ということです。
本問では最初にgの定義域を決定する（範囲を狭める）ことをしないと(2)が解けない仕掛けになっています。

この問題は本当は(1)の前に
(0-1) f(0)を求めよ
(0-2) すべての実数xについて f(x)≧0 であることを示せ
(0-3) すべての実数xについて f(x)>0 であることを示せ
くらいの誘導がほしいところです。こうなれば
g(x)の定義域はどんなに広くても x>0 となり g'(x)を論ずる際に x>0 だと話が簡単になります。

(0-1)と(0-3)を示すときに(a)を使います。

＃g'(1)の存在は、g(x)は x=1 の近くで定義されている、というのを（仮定として）含んでいるのでしょう。
＃ということは f(x)も x=0 で微分可能ということになります。

略解
(0-1) f(0+0)=f(0)^2 より f(0)=0 or 1. f(0)=0 なら f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0 となりfが1対1に反す。よってf(0)=1
(0-2) f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)^2≧0
(0-3) f(x)=0 とする。(0-1)より x≠0。すると0=f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)^2 より f(x/2)=0。x≠0より x≠x/2 だからこれはfが1対1に反す。よってf(x)=0とはならないからf(x)>0

(2) g(x)の定義域は x>0 に含まれるから特に x=0とはならない。
よって、g(x+h)-g(x)=g(x(1+h/x))-g(x)=...=g(1+h/x) である。以下ペンギンさんが示す通り。
(3) 略（ペンギンさんが示しています）
　　ずっと必要条件で来ているので、最後に求めたf(x)が仮定を満たすことは言う必要があるでしょう。

＃このままではちょっと不親切な出題だと思います。
＃塾の問題なら、gの定義域に注意して、くらいの一言が加わっている方がいいと思います。
No.37990 - 2016/07/16(Sat) 01:04:08
☆ Re: / アカシロトモ
黄桃 さん

今、気づきました。大変失礼いたしました。
なんとなくわかった気になっていました。
講習まで時間がありますので、再度、じっくり読み込ませていただきます。
詳細な解説ありがとうございました。
No.37997 - 2016/07/16(Sat) 20:45:23
★ (No Subject) / as
画像の問題の最大値、最小値の求めかたが分かりません。教えて頂けると助かります。お願いします。
No.37943 - 2016/07/13(Wed) 17:34:45
☆ Re: / X
y'={-3(x^2+1)-(4-3x)・2x}/(x^2+1)^2
=(3x^2-8x-3)/(x^2+1)^2
=(3x+1)(x-3)/(x^2+1)^2
後はこれを元に1≦x≦4における問題の関数の
増減票を書きます。
No.37944 - 2016/07/13(Wed) 20:26:54
★ 標数 / あい
この問題がわかりません。証明や計算から教えてください。

標数7の体z/(7)において、6の逆数を求めよ。
注:逆数とは6×a=1となっているようなaのこと。aは＊(＊は整数)の形で求められるが、＊は最も小さい正の数を求めること。



お願いします。
No.37942 - 2016/07/13(Wed) 17:01:36
★ 近似値と有効数字 / 前進
わかりません ２の2
No.37935 - 2016/07/13(Wed) 07:58:34
☆ Re: 近似値と有効数字 / 前進
間違えました ２の１です
No.37936 - 2016/07/13(Wed) 07:59:45
☆ Re: 近似値と有効数字 / 前進
疑問点です。宜しくお願い致します。
No.37937 - 2016/07/13(Wed) 08:01:16
☆ Re: 近似値と有効数字 / ヨッシー
23.5 を 2.35 と１桁間違えているのはともかく、
何が疑問か分かりません。
文中に出てくる、23.512595 を用いるなら、
　23.5≦23.512595＜24.5
であるので、23.512595 の小数第１位を四捨五入したら 24 になる、程度のことしか言えません。
No.37939 - 2016/07/13(Wed) 10:54:35
☆ Re: 近似値と有効数字 / 前進
ありがとうございます。納得しました
No.37946 - 2016/07/13(Wed) 22:23:21
★ (No Subject) / 前進
続きです。
No.37931 - 2016/07/13(Wed) 01:44:27
☆ Re: 申し訳ありません / 前進
左右対称の場合、人数は同じですが、ここでは点数が違います。
No.37932 - 2016/07/13(Wed) 01:47:17
★ 平均 / 前進
確かに計算するとなりますが7×20と9×20でならしたりするとならないような気がしますが
No.37929 - 2016/07/13(Wed) 01:42:51
☆ Re: 平均 / 前進
アです。
No.37930 - 2016/07/13(Wed) 01:43:43
☆ Re: 平均 / ヨッシー

計算上も、イメージ上もピッタリ８になりますが。
No.37940 - 2016/07/13(Wed) 11:20:28
☆ Re: 平均 / 前進
ありがとうございます。納得しました
No.37945 - 2016/07/13(Wed) 22:21:41
★ (No Subject) / KU
この問題の解答の9,10,11行目のつながりがわかりません。
9行目の式は何のために書かれているのでしょうか？
No.37924 - 2016/07/12(Tue) 19:41:35
☆ Re: / KU
解答です
No.37925 - 2016/07/12(Tue) 19:42:12
☆ Re: / X
(*)のR(x)を具体的な別の式で表すためです。
No.37926 - 2016/07/12(Tue) 19:50:56
☆ Re: / KU
なんのためにR(x)を具体的な別の式で表しているのでしょうか？
この後の解答でR(x)が使われていないような気がするのですが…
No.37928 - 2016/07/12(Tue) 21:22:48
☆ Re: / X
使われています。
9行目の式を(*)に代入して整理したものが
11行目の式です。
No.37933 - 2016/07/13(Wed) 06:00:58
☆ Re: / 黄桃
確かに、この解答はちょっと微妙ですね。

(P(x))^2=(x-α)^2(x-β)^2(S(x))^2 ...(**)
と言ってますが、それなら、これから、直ちに P(x)=±(x-α)(x-β)S(x) がいえます。

(**)は正しいですが、個人的には、この問いだと、(**)をちゃんと証明しないとまずそうな気がします。

(**)を使わずとも以下のように示せるので、(**)を使わないほうが無難だと思います(この本では使ってもいい、という考えなのでしょうが)。

(P(x))^2 はQ(x)で割り切れるからx=αを代入し (P(α))^2=0 より P(α)=0
同様に P(β)=0
したがって、α≠β なら P(x)は (x-α)(x-β)で割り切れるので、P(x)がQ(x)で割り切れないことに矛盾。
よってα=βであり、Q(x)は重解をもつ。
No.37934 - 2016/07/13(Wed) 07:34:13
☆ Re: / KU
黄桃さんの解答の方がスマートですね！

ありがとうございました。
No.37938 - 2016/07/13(Wed) 09:28:33
☆ Re: / IT
たしかに、引用されている解答は中途半端な感じがします。（京大理系数学２５ヵ年の2006年第１問の解答のようです）

現行の教科書の一つを確認しましたが
「整式の因数分解の一意性」には触れられてないので証明なしに使うのは危険ですね。
「素因数分解の一意性」は、「成り立つことが知られている。」として証明なしで記載がありますが
No.37941 - 2016/07/13(Wed) 12:40:08
★ (No Subject) / as
度々すみません。画像の問題の(4)の解き方を教えてください。お願いします。
No.37921 - 2016/07/12(Tue) 16:53:39
☆ Re: / X
y'=-4x^3+12x^2-12x+4
=-4(x-1)^3
y"=12(x-1)^2
後はよろしいですね。
No.37922 - 2016/07/12(Tue) 17:08:46
★ (No Subject) / as
画像の問題の(1)の解き方が分かりません。
教えてください。お願いします。
No.37920 - 2016/07/12(Tue) 16:52:01
☆ Re: / X
y'=-(sinx)^2+(1+cosx)cosx
=2(cosx)^2+cosx-1
=(2cosx-1)(cosx+1)
これを元にy'が正負の時のcosxの値の範囲を
求めることをまず考えましょう。
No.37923 - 2016/07/12(Tue) 17:13:25
★ ベクトル / ゆーしろー
度々失礼します

質問
方べきの定理はベクトルがついた式でも使うことができるのでしょうか？
それとも線分の長さ（絶対値）に戻して使わなければならないのでしょうか
お願いします
No.37919 - 2016/07/12(Tue) 16:43:53
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
「使うことができるのでしょうか」は
「表すことができるのでしょうか」の意味でしょうか？

線分の長さの積になっている部分を、ベクトルの内積にする。
内積を取る２つのベクトルのなす角は（πではなく）０とする。
と決めれば、表すことは出来ます。
あえて、ベクトルで表す意味があるかは分かりません。
No.37954 - 2016/07/14(Thu) 08:00:43
★ (No Subject) / わさび
(2)はどのように解けばいいですか？
解説よろしくお願いしますm(__)m
No.37912 - 2016/07/11(Mon) 14:20:51
☆ Re: / わさび
写真横になってしまいました！
No.37913 - 2016/07/11(Mon) 14:22:30
☆ Re: / X
P,Qのx座標をα、β(α＜β)とすると
M((α+β)/2,(α^2+β^2)/2) (A)
一方α、βはxの二次方程式
2x^2-2ax-a+4=0
の解ですので解と係数の関係から
α+β=a (B)
αβ=(-a+4)/2 (C)
(B)(C)より(A)は
M(a/2,(a^2+a-4)/2)
よってMのx,y座標をX,Yとすると
X=a/2 (D)
Y=(a^2+a-4)/2 (E)
(D)(E)よりaを消去して
Y=2X^2-X+2
更に
2＜a＜4
と(D)から
4＜X＜8
∴放物線Dの方程式は
y=2x^2+x-2 (F)
であり、Mの軌跡はDの
4＜x＜8
の部分となります。
後はDとC[1]を図示して面積を求めることを
考えましょう。
No.37916 - 2016/07/11(Mon) 20:16:01
★ 還元算 / 前進
この3の問題ですが
No.37909 - 2016/07/11(Mon) 02:31:29
☆ Re: 還元算 / 前進
?@じゃないと駄目ですか？これは割合ですか？
?Bや?Hでもなんで問題ですが構いませんか？
X以外の説明でお願い致します。
No.37910 - 2016/07/11(Mon) 02:33:45
☆ Re: 還元算 / ヨッシー

このような図が描けていますか？
（上の水や本の問題でも）

慣れてくれば、図を描く代わりに、?@である数１つ分、?Cである数４つ分を、表すなどして、式だけで考えることも出来ますが、基本はこういう線分図です。

それ以前に、投稿する前に、質問文を読み返しましょう。
No.37911 - 2016/07/11(Mon) 09:14:24
★ (No Subject) / 濱さん
いつもお世話になっております。次の問題で質問があるので、長くなりますがよろしくお願いいたします。

Q 二枚目二列目下から二行目の「x=/（ノットイコール）yのときは（１）で調べてある」の部分なのですが、「1'かつ3かつ(*)」(「2'かつ3かつ(*)」)のうち「３」からでてきた、「x=y」という条件だけで、（２）の冒頭の連立方程式に還元して済ませていいのですか。(*)の条件などは加味しなくてもいいのですか？
No.37905 - 2016/07/10(Sun) 22:55:10
☆ Re: / 濱さん
２枚目です。
No.37906 - 2016/07/10(Sun) 22:57:14
☆ Re: / 濱さん
３枚目です。
No.37907 - 2016/07/10(Sun) 22:59:07
☆ Re: / 濱さん
二枚目の方向修正版です。
No.37908 - 2016/07/10(Sun) 23:00:15
☆ Re: / IT
答案全体は、細かく見ていませんが、ご質問の部分について

> Q 二枚目二列目下から二行目の「x=/（ノットイコール）yのときは（１）で調べてある」の部分なのですが
「x=y のときは（１）で調べてある」　では？

x=y のとき　それだけでf(f(x))=x　となることは
y=f(x)=x なので　f(f(x))=f(x)=x で簡単に分ると思いますが。

(2)の冒頭で「f(x)=x のときは・・・,f(x)≠xのときを考える。」としてもいいかも知れませんね。

私が質問の趣旨を勘違いしているなら御指摘ください。
No.37914 - 2016/07/11(Mon) 19:04:10
☆ Re: / 濱さん
お返事ありがとうございます。

「x=y のときは（１）で調べてある」 では？→その通りです。申し訳ありません。

よろしくお願いいたします。
No.37917 - 2016/07/11(Mon) 22:16:25
☆ Re: / IT
x=y がどこから導かれたかとは関係なしに

x=y のときと　x≠y のとき　に分けて考えると、すべての場合を調べていますので、
正しい推論になっています。
No.37918 - 2016/07/12(Tue) 07:49:11
☆ Re: / 濱さん
わかりました。ありがとうございます。
No.37927 - 2016/07/12(Tue) 20:05:50
★ (No Subject) / SY
この問題の(2)を答えを予想して数学的帰納法で証明するとき、予想した答えの必要性を示すにはどうしたらいいでしょうか？
No.37898 - 2016/07/10(Sun) 16:25:13
☆ Re: / IT
予想した答え　・・・・
n=0のとき　・・・・成立を示す(このときは特殊かも）
n=1のとき　・・・・成立を示す
n=2のとき　・・・・成立を示す
　
1以上の整数kについて
n=kのとき　 ・・・・成立を仮定する(数学的帰納法の仮定）

n=k+2のとき
　a,bが方程式(*)を満たすとする。
　(1)より　a,bは偶数なのでa=2c,b=2d(c,dは0以上の整数）とおける.
　よって(2c)^2+(2d)^2=2^(k+2)
　4で割って c^2+d^2=2^k
　(c,d)はn=kのときの方程式(*)を満たすので帰納法の仮定から(c,d)=・・・・

　よって(a,b)=・・・・

以上から、・・・・

こんな感じでしょうか？

#予想の答えは、
n=0のとき(a,b)=(1,0),(0,1)
nが1以上の整数のとき(a,b)=(2^(n-1),2^(n-1)),(2^n,0),(0,2^n) ですか？
No.37899 - 2016/07/10(Sun) 17:31:08
☆ Re: / SY
nの偶奇によって分けて書いてたのですが予想した答えはそのとおりです！
No.37901 - 2016/07/10(Sun) 19:56:22
☆ Re: / IT
> nの偶奇によって分けて書いてたのですが予想した答えはそのとおりです！
それで良いと思います。

私のも同じことですが、SYさんのように偶奇によって分けたことを明記した方がわかりやすくて良いかもしれませんね。
n=1→3→5→　ｎが任意の正奇数のとき成立
n=2→4→6→　ｎが任意の正偶数のとき成立
No.37902 - 2016/07/10(Sun) 20:15:29
★ (No Subject) / as
画像の問題の解き方が分かりません。教えてください。お願いします‼
No.37894 - 2016/07/10(Sun) 15:01:28
☆ Re: / X
sinθ+cosθ=1/2
の両辺を二乗して
(sinθ+cosθ)^2=1/4
左辺を展開すると
1+2sinθcosθ=1/4
∴2sinθcosθ=-3/4 (A)
となるので
(sinθ-cosθ)^2=1-2sinθcosθ
=7/4 (B)
ここで0°≦θ≦180°と(A)により
sinθ＞0かつcosθ＜0
となるので
sinθ-cosθ＞0
よって(B)より
sinθ-cosθ=(√7)/2
となります。
(解答の値が間違っていますね。)
No.37896 - 2016/07/10(Sun) 15:15:15
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