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★ (No Subject) / 中3
ありがとうございます！！
またよろしくお願いします！
No.38291 - 2016/07/29(Fri) 15:08:41
★ 一次関数の問題です！ / 中3
一次関数の問題です！このタイプの問題をやったことがないので教えてください！
No.38288 - 2016/07/29(Fri) 13:29:42
☆ Re: 一次関数の問題です！ / ヨッシー
両者の切片が同じ、つまり、２直線の交点がｙ軸上にあるので、
ｙ軸からの距離（ｘ座標）とＰＱの長さは比例します。

たとえば、ｘ＝２ のとき Ｐ (2, 3)、Ｑ (2, 0) なので、ＰＱは３です。
ＰＱが９になるには、あと３倍ｙ軸から離せば、可能です。

その時のｘ座標を求め、y=(1/2)x＋2, y=-x+2 にそれぞれ代入すれば、
Ｐ，Ｑの座標が求められます。
No.38289 - 2016/07/29(Fri) 14:22:50
☆ Re: 一次関数の問題です！ / ヨッシー
問題の意図しているのは、ｘ座標がある数ａのとき
Ｐ（a, (1/2)a＋2)、Ｑ (a, -a+2) から
　ＰＱ＝{(1/2)a＋2}−(-a+2)
で計算して、これが９になるようなａを求める、
という手順かと思います。
No.38290 - 2016/07/29(Fri) 14:32:52
★ 暗号の解読 / ぴーす
解き方と回答を教えてください…
よろしくおねがいします。
No.38278 - 2016/07/28(Thu) 21:31:01
☆ Re: 暗号の解読 / angel
やり方について。
(1)は暗号化の方ですが、問題文に M を暗号化して B が出てくる例が載っています。それと同じように他の文字も計算すれば良いです。

(2),(3)はその逆ですので、例えば暗号 B を解読して M が出てくるところは、
　・Bに対応する数字は 2
　・18x≡2 (mod 29) を解いて x≡13 (mod 29)
　・13に対応する文字はM
です。

ただ、18x≡2 を解くところ、x≡1〜x≡28 まで28通り虱潰しにすればいいんですが、それだと面倒なので、両辺に21をかけて
　18x≡2
　⇔18×21x≡2×21
　⇔378x≡42
　⇔(13×29+1)x≡29+13
　⇔1x≡13
　⇔x≡13

つまり、18x≡2 ⇔ x≡2×21 でやれば良いです。

この21という、18にかけて29で割ると1余るようになる数って、どっから出てきたの? というと、それは計算する方法があるのですが ( 拡張ユークリッドの互除法 )、まあ、それこそ今回は虱潰しでも十分です。
No.38281 - 2016/07/29(Fri) 01:14:37
☆ Re: 暗号の解読 / angel
念のため、ですが、問題文に挙げられている

　18×13≡2

って、単純に 18×13÷29 の余りは、2 ( 正確には 2÷29 の余り ) と等しい、ってことなので、割り算しているだけですからね。
No.38282 - 2016/07/29(Fri) 01:20:08
★ 関数 / 中２生　小野寺
（２）ｂ＝７　（４）４回　　（２）（４）の問題が解けません。解説お願いします。
No.38277 - 2016/07/28(Thu) 21:30:24
☆ Re: 関数 / angel
(2)b
グラフから、10分後→20分後の10分間で、80L→60Lと20L減っている、つまり割合で言うと毎分2L減っていることが読み取れます。
これはB管から水が出て行っていることによるものですが、この間もA管から水は入ってきているので、それ以上の勢いでB管からは出て行っているということになります。
A管から入る毎分5L (a=5) から考えると、b=7 ( 差し引き毎分2Lの減少 ) です。

(4)
グラフの続きが、大雑把に次のような形になることを思い描きます。
すなわち、80Lから60Lに減ったらまた80Lに増えて、また60Lに減る、の繰り返し。
最初に80Lになるところ ( B管が開くポイント ) が何分後なのか…は10分後なのですが。その次に80Lに戻るまでの、何分かかるのか。

この繰り返しは周期的なので、つまり、一定時間毎に繰り返すので、60分後までに何周期出てくるか、というところを考えます。
No.38283 - 2016/07/29(Fri) 02:33:51
☆ Re: 関数 / 中２生　小野寺
すみません（２）の解説よくわかりません。
No.38287 - 2016/07/29(Fri) 13:12:51
☆ Re: 関数 / angel
(2)
・A管からは毎分5L水が入って来る
・しかしB管から水が出ていくようになったため、たまっている水は減っていく
・水が減るペースは毎分2L

という状況で、B管から出ていく水の量 ( 毎分bL ) はいくらか? ってことです。

似たような話として
・毎日5円ずつお小遣いをもらう
・しかし毎日駄菓子を買うようになったため、ためているお小遣いは減っていく
・減るペースは毎日2円
だとすると、毎日買っている駄菓子は7円ですね、ってのと同じことです ( 7円の駄菓子なんてない、という話は置いておいて )
No.38293 - 2016/07/29(Fri) 17:42:57
★ (No Subject) / アリス
(2)はどのようにしますか？
No.38271 - 2016/07/28(Thu) 17:31:19
☆ Re: / アリス
逆は、変形したりしてここまでは、出ました。
数直線はどのようになりますか？

対偶は、ここからわかりません
No.38274 - 2016/07/28(Thu) 17:49:33
☆ Re: / X
xy+1≦x+y
つまり
{x≦1かつ0≦y}又は{1≦xかつy≦0} (A)
と
|x|≧1又は|y|≧1 (B)
が示す領域をそれぞれ図示してみましょう。
図示した領域において
(A)⊆(B)
であれば命題は成立します。
(注)
⊆について、下の-は=の意味です。
(高校数学では部分集合の記号は
⊂の下に=でしたので。)
No.38275 - 2016/07/28(Thu) 19:10:29
★ 高校数学 / 平禅門の乱
y=(logx)^xを微分せよ
という問題で、対数微分法で解くようですが、
真数条件よりｘ＞０というのは分かりますが、それだとlogx<0になる場合もあり、両辺にlogを付けられません。
どうしたらよいですか？よろしくおねがいします
No.38270 - 2016/07/28(Thu) 15:18:14
☆ Re: 高校数学 / ヨッシー
^x が付いている時点で、logｘ＞0 と考えられます。
よって、定義域は ｘ＞１ です。
No.38272 - 2016/07/28(Thu) 17:44:41
☆ Re: 高校数学 / 平禅門の乱
回答ありがとうございます。^x が付いている時点で、logｘ＞0 と考えられる理由を教えてください。

解いてみました
y=(logx)^x
両辺に絶対値を付けて
lyl=l(logx)^xl
=l(logx)l^x
両辺に対数をとって
loglyl=xlogllogxl
両辺ｘで微分して
ｙ’/y=logllogxl+x*/(xlogx)
y'=(logllogxl+1/(logx))(logx)^x


これはあっていますか？
No.38276 - 2016/07/28(Thu) 21:30:04
☆ Re: 高校数学 / ヨッシー
高校数学では、ｙ＝ａ^x において、ｘを実数全体とするならば
ａ＞０（しかも多くの場合ａ≠１）と決めているからです。

従って、絶対値を取る必要はなく、
　y'={log(logx)+1/logx}(logx)^x
となります。
No.38285 - 2016/07/29(Fri) 07:14:41
☆ Re: 高校数学 / 平禅門の乱
回答ありがとうございます。
高校数学では、ｙ＝ａ^x において、ｘを実数全体とするならば、とありますが、今回はｘ＞０なのでそれには当てはまらないかと思います
No.38357 - 2016/08/02(Tue) 18:06:51
★ (No Subject) / 濱さん
よろしくお願いいたします。
No.38267 - 2016/07/28(Thu) 15:02:51
☆ Re: / 濱さん
訂正、

右上の文で「関係」となるべきところが「関数」となっていました。申し訳ありません。
No.38268 - 2016/07/28(Thu) 15:03:54
☆ Re: / ヨッシー
逆は成り立ちませんが、成り立たせる必要もありません。
つまり、
　sin(2θ）＝ｔ^2−1
のとき、ｔ＝sinθ＋cosθ かと言われると、それも解の1つですが、
そうでないものもあります。

でも、それはこの問題では関係ありません。
No.38273 - 2016/07/28(Thu) 17:49:21
☆ Re: / 濱さん
早々のお返事ありがとうございます。
No.38279 - 2016/07/28(Thu) 23:29:40
☆ Re: / ヨッシー
そんなことはありません。
ｘ＝２ のとき ｘ^4 を求めよ、という場合
ｘ＝２　→　ｘ^2＝４　（逆は成り立たない）
ｘ^2＝４　→　ｘ^4＝１６　（逆は成り立たない）
という変形になります。
No.38284 - 2016/07/29(Fri) 06:31:25
☆ Re: / 濱さん
お返事ありがとうございます。では、「〜のとき…を求めよ」という尋ねかたであれば、「⇒」だけでつないでいってもいいということですか？（現に「y=x^2を微分せよ」という問題も、この内容に当てはまりますよね？）

ならば、同値というのはよく言われますが、どのような場面で厳密に考えるものなのですか？
No.38286 - 2016/07/29(Fri) 08:48:19
☆ Re: / angel
>「〜のとき…を求めよ」という尋ねかたであれば、「⇒」だけでつないでいってもいいということですか？

感覚的なことを言うと、「答えがただ1つに決まることがほぼ分かっていて、それを求める」という場面なら⇒だけですね。

しかしそうではない場合。例えば
・解なしになるかもしれない場合
・複数の解がありうる場合
　※不等式のように、「範囲」を求める場合もこれに分類できる

は、必要条件 ( ⇒ ) だと足りなくて、十分条件を確認するなり、同値変形で進めるなり、が必要です。

代表的なのは、※ででも出しましたが不等式、後は軌跡の問題とか。
No.38315 - 2016/07/30(Sat) 22:17:24
☆ Re: / 濱さん
ありがとうございました。
No.38317 - 2016/07/31(Sun) 10:05:07
★ 整数 / ファミリー
a^3≦ｎ≦a^3+3aを満たすaの倍数の個数が(a^3+3aーa^3/a)+1
になるのはなぜですか？
公式的に一般に
b≦ｎ≦ｃをみたすｄの倍数の個数が(ｃ−ｂ/d)+1のような感じなのでしょうか

よろしくおねがいします
No.38265 - 2016/07/28(Thu) 00:31:42
☆ Re: 整数 / X
a^3,a^3+3aはいずれもaの倍数ですので
aから数えて
a^3+3a
は
(a^3+3a)/a[個目]
のaの倍数であり
a^3は
(a^3)/a[個目]
のaの倍数。
よって求める個数は
(a^3+3a)/a-(a^3)/a+1={(a^3+3a)-a^3}/a+1
となります。
No.38266 - 2016/07/28(Thu) 05:17:20
☆ Re: 整数 / ファミリー
回答ありがとうございます。

おかげさまで納得できました。わかりやすい説明ありがとうございました。
No.38269 - 2016/07/28(Thu) 15:14:50
★ 陰関数 / さだ
この計算あってますか？
No.38255 - 2016/07/27(Wed) 19:05:37
☆ Re: 陰関数 / さだ
貼り忘れてました
No.38256 - 2016/07/27(Wed) 19:10:12
☆ Re: 陰関数 / さだ
> この計算あってますか？
No.38257 - 2016/07/27(Wed) 19:10:35
☆ Re: 陰関数 / X
間違えています。
問題の等式の両辺をxで微分すると
(1+y')/(x+y)+y+xy'=0
これをy'について解きます。
No.38258 - 2016/07/27(Wed) 19:19:58
☆ Re: 陰関数 / さだ
ありがとうございました
No.38259 - 2016/07/27(Wed) 19:24:26
★ 同値 / たし
昨日、同値のことについて質問させてもらいました。
今回は、問題を使って質問します。

縱と横の長さの和が10である長方形の花壇の面積の最大値をもとめよ。


まず、x＋y=10、x>0、y>0⇔y=10-x,x>0、10-x>0⇔y=10-x,0<x<10

よって、xy、y=10-x、0<x<10⇔x(10-x)、y=10-x、0<x<10
が成り立つはずですが、このような式変形における代入は、頻繁に見られますが、代入した式(ここでははy=10-x)は、解答上では省略されています。
なぜ、省略されているのでしょうか
このままだと、必要条件のみを考えたものだと思うのですが。
No.38254 - 2016/07/27(Wed) 18:12:46
☆ Re: 同値 / angel
もうちょっと正確に書くと、縦・横を x,y、面積を S とするとき、

　x+y=10, x＞0, y＞0, S=xy
　⇔ 0＜x＜10, S=x(10-x), y=10-x
　⇒ 0＜x＜10, S=x(10-x)

で、確かに y=10-x を省くと同値ではなくなります。

しかし、今求めたいのは S ( の最大値 ) であり、y の値がなんであるかは問題にされていません。
で、y=10-x という具体的な関係式がなくとも、なんらかの y の値が決まるのは自明 ( というより、そうなるように x の範囲を 0＜x＜10 と厳密に絞っている ) ので、省略してしまっても特に問題ない、となります。
No.38280 - 2016/07/29(Fri) 00:18:47
★ 一次関数　中２ / 佐藤
解答（１）5/3 (2) 1秒後　どのようにして解けばいいか、よくわかりません。詳しい解説お願いします。数学は不得意なのでよろしくお願いします。
No.38251 - 2016/07/27(Wed) 16:57:15
☆ Re: 一次関数　中２ / ヨッシー
(1)
Ｐは(-5,0)→(0,10) を５秒掛けて進むので、１秒に進む量は、ｘ軸方向に１，ｙ軸方向に２
　よって、ｘ秒後のＰの座標は (-5＋x, 2x)
Ｑは(0,10)→(10,0) を５秒掛けて進むので、１秒に進む量は、ｘ軸方向に２，ｙ軸方向に−２
　よって、ｘ秒後のＱの座標は (2x, 10-2x)
ＰＱの中点は((-5+3x)/2, 5)
ｙ軸上に来るとは、ｘ座標が０になることであるので、(以下略)

(2)
ＢＣの傾きは−１であるので、ＰＱの傾きが１になれば、ＰＱ⊥ＢＣとなります。
ＰＱの傾きは　(10-4x)/(5+x) なので、これを１とおいてｘを求めると、(以下略)
No.38252 - 2016/07/27(Wed) 17:33:19
★ 微分の問題について / アーサー
こんにちは、大学生の者です
あまり数学が得意ではありません

課題を解いていたのですが、添付した画像の(2)がp=1/2というところまで求値出来ました。
その後(3)でf(x+p)へ代入し、g(x)=(x+1/2)log(x1/2)+(3/2-x)log(3/2-x)としてしまったのですが、このやり方(代入)の仕方で合っているのでしょうか？
No.38250 - 2016/07/27(Wed) 15:52:06
☆ Re: 微分の問題について / X
計算が間違っています。
g(x)=f(x+1/2)
=(x+1/2)log(x+1/2)+{1-(x+1/2)}log{1-(x+1/2)}
=(x+1/2)log(x+1/2)+(1/2-x)log(1/2-x)
となります。
No.38260 - 2016/07/27(Wed) 19:26:43
☆ Re: 微分の問題について / アーサー
誠にありがとうございました。
No.38263 - 2016/07/27(Wed) 20:26:42
★ 確認お願いします / 高良
こんにちは、大学生です、
微分積分の授業で、「難問を３つ作ってこい」という課題が出ました。グループでお互いのを解きあって、正解率が一番低かった問題を出題した人がいい点をもらえる、みたいな課題ですので、少し難しめに色々作ってみました。

ただ自分で作っといてなんなのですが、答えはこれであっていますかね？少し難しくしすぎちゃって、なんだか自信がなくなってきました笑

解がそれぞれ正しいか、ぜひ確認をお願いします
No.38244 - 2016/07/27(Wed) 12:53:20
☆ Re: 確認お願いします / pksato
誰も解けないようですね。。。すみません！もっと普通のにします
No.38261 - 2016/07/27(Wed) 19:51:12
★ 等比中項の求め方 / 前進
連立方程式でなぜそれぞれの式をかけることができますか？過程や簡単な例が知りたいです。
No.38241 - 2016/07/27(Wed) 12:18:54
☆ Re: 等比中項の求め方 / ヨッシー
等式の両辺に同じ数を掛けても、等しいことに変わりはないため。

例）
　２ｘ＝４
両辺に 1/2 を掛ける
　ｘ＝２
No.38246 - 2016/07/27(Wed) 13:11:57
★ 重積分 / free
こんばんは、重積分について質問です

∬D 1/√(a^2-y^2) dxdy ,D:x^2+y^2≦a^2

という問題で答えが4aらしいのですが、何回計算しても答えがあいません。どなたか計算過程を教えていただけませんでしょうか
No.38237 - 2016/07/26(Tue) 23:42:01
☆ Re: 重積分 / angel
こんなあたりで。

∬[D:x^2+y^2≦a^2] 1/√(a^2-y^2)・dxdy
=∫[-a,a](∫[-√(a^2-y^2),√(a^2-y^2)] 1/√(a^2-y^2)・dx)dy
=∫[-a,a] 2dy
=4a

被積分関数が y のみに依存しているため、∫〜dx の部分は、単純にxの区間 ( yに依存 ) の幅をかけるだけになっています。
No.38247 - 2016/07/27(Wed) 13:16:15
☆ Re: 重積分 / free
ご回答ありがとうございます。
おかげで、正解にたどりつくことができました。
No.38264 - 2016/07/27(Wed) 23:17:43
★ (No Subject) / きあら
今、積分をしているのですが、対数関数の底は必ず自然対数eですか？常用対数10になるときはないのですか？
ちなみに、やっているテキストは数研出版のチャート式数学?VＣです。
No.38234 - 2016/07/26(Tue) 22:39:35
☆ Re: / ヨッシー
必ず自然対数です。
No.38235 - 2016/07/26(Tue) 23:01:42
☆ Re: / きあら
返信ありがとうございます。
暗黙の了解というものですか？
No.38239 - 2016/07/27(Wed) 09:57:02
☆ Re: / ヨッシー
そう思っていただいてもいいです。

数学?VＣの段階で、微積分と来たら間違いなく底はｅです。
（底を10にしておく意味がありませんので）

それ以前の単元でも（例えば、桁数を調べるような）
底の10は明記されるか、ことわりが入れてあるはずです。

教科書でも、ｅを習った直後くらいに「今後、底が省略されていたら自然対数」の旨の宣言があるはずです。

一方、Excel などでは、log は常用対数。自然対数は ln で
表されるなど、世間一般とは違いがあります。
No.38240 - 2016/07/27(Wed) 10:27:40
☆ Re: / きあら
納得しました。
ご丁寧にありがとうございます(^^)/
No.38262 - 2016/07/27(Wed) 20:09:19
★ 部分分数分解 / pksato
こんばんは、高２です

部分分数分解をやろうとしているのですが、なにか変です。。。
-1=0　とかになってしまいます

このように分母が二つとも同じだと、部分分数分解できないのでしょうか？
(z-1)^2 が分母のとき、部分分数分解する方法はありますか？
No.38228 - 2016/07/26(Tue) 21:04:04
☆ Re: 部分分数分解 / らすかる
一般に分母が○^2の場合 a/○+b/○ の形には分解できません。
もし出来たとしたら (a+b)/○ に等しいわけで、
分母の2乗が外せることになってしまいますね。
No.38230 - 2016/07/26(Tue) 21:13:00
☆ Re: 部分分数分解 / pksato
ありがとうございます

ではこの場合、1/(z-1)^2　を二つに分けることは不可能ということでしょうか
No.38231 - 2016/07/26(Tue) 21:17:49
☆ Re: 部分分数分解 / ヨッシー
何のために２つに分けるかと言うことですね。
積分するなら、1/(z-1)^2 のままでも出来ますし。

形の上だけなら、
　1/(z-1)−(z-2)/(z-1)^2
なんてのも出来ますが、
1/(z-1)^2 から 1/(z-1) を引いて、1/(z-1) を
無理矢理ひねり出しただけで、意味のある変形ではありません。
No.38233 - 2016/07/26(Tue) 21:22:25
☆ Re: 部分分数分解 / pksato
ありがとうございました。
No.38245 - 2016/07/27(Wed) 13:04:17
★ f(x)=|x(x-2)| / こばと。
xの関数f(x)=|x(x-2)|のt<=x<=t+1における最大値を
tの関数と考えてg(t)とする。g(t)をtを用いて表せ。

考え方、導き方、教えてください。
No.38225 - 2016/07/26(Tue) 20:49:42
☆ Re: f(x)=|x(x-2)| / ヨッシー

図のように、ｔがずっと小さいときは f(t) が最大値
ｔ＝１−√3 から f(t+1) が最大となり、
頂点が含まれるときは、頂点が最大。
頂点が外れると、f(t) が最大で
ｔ＝１＋√3 から f(t+1) が最大となります。
No.38229 - 2016/07/26(Tue) 21:10:32
★ 確率の問題 / はる
この2問の答えですが、違うのでしょうか。

?@5つ玉があります。それぞれ、赤・白・青・みどり・黄色です。この5つの中から4つ選んで取り出すとき、黄色が出る確率は？

?A5つ玉があります。4つは黄色、1つは赤です。この5つの中から4つ選んで取り出すとき、黄色が出る確率は？
(中学生以下)
No.38224 - 2016/07/26(Tue) 18:59:44
☆ Re: 確率の問題 / ヨッシー
１問目は 1/5＝20%
２問目は １＝100%
です。
No.38226 - 2016/07/26(Tue) 20:49:52
☆ Re: 確率の問題 / らすかる
１問目は 4/5＝80% では？
No.38227 - 2016/07/26(Tue) 20:58:12
☆ Re: 確率の問題 / ヨッシー
あ、誤りっ。

失礼しました。
No.38232 - 2016/07/26(Tue) 21:18:06
★ (No Subject) / ゆーしろー
お世話になっております
全く手がつきません
(1)が分かれば(2)はすぐ分かるとおもいます。

(1)について解き方をお願いします
No.38221 - 2016/07/26(Tue) 17:04:25
☆ Re: / ヨッシー
(i)
cos^2θ＝(cos2θ＋1)/2 より
ａ^2＝(cos(4π/7)＋1)/2＝(b+1)/2
ｂ^2＝(cos(8π/7)＋1)/2＝(c+1)/2
ｃ^2＝(cos(12π/7)＋1)/2＝(a+1)/2
よって、
　a^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝(p+3)/2

(ii)
ｐ^2＝(ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2)＋２(ab+bc+ca) より（以下略）

(iii)
cos^3θ＝(cos3θ＋3cosθ)/4 より
ａ^3＝(cos(6π/7)＋3cos(2π/7))/4＝(ｃ＋３ａ)/4
ｂ^3＝(cos(12π/7)＋3cos(4π/7))/4＝(ａ＋３ｂ)/4
ｃ^3＝(cos(18π/7)＋3cos(6π/7))/4＝(ｂ＋３ｃ)/4
よって、
　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ａ＋ｂ＋ｃ＝ｐ

(iv)
　(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)＝a^3+b^3+z^3-3xyz
を利用します。
No.38223 - 2016/07/26(Tue) 18:58:41
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