ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 三角比 / 石

いつもお世話になります。
添付写真の問題についてで、解法に誤りがあるか、確認お願いします。
Rをこの三角形の外接円の半径とする。
a+1/sin150=2Rより、a+1=R(A)
また、(a+1)^2=a^2+(a-1)^2-2a(a-1)cos150
0=a^2-4a+√3a^2-√3a
=a^2(√3+1)-a(4+√3)
解の公式より、
a=4+√3±4+√3/2(√3+1)
aは0とはならないので、 a=8+2√3/2(√3+1)
a=4+√3/1+√3
=(4+√3)(√3-1)/2
=3√3-1/2
よって、(A)より、a=Rなので、
R=3√3-1/2(終)
ちなみに、模範解答は、√3+1/2 で若干違います。
では、ご指摘お願いします。

No.37891 - 2016/07/10(Sun) 14:44:54

☆ Re: 三角比 / 石

写真の中にミスがありました。
外接円の半径を求めよです。

No.37892 - 2016/07/10(Sun) 14:46:28

☆ Re: 三角比 / X

間違いを指摘する前に気になった点を。

まず、この類の掲示板にアップするときは
分子がどこまでか分かるように
括弧をつけましょう。

次に導かれた二次方程式ですが
わざわざ解の公式を使わなくても
因数分解で解けます。

分子に必要な括弧をこちらで補った上で
誤りを。
(A)より
>>a=R
ではなくて
R=a+1
です。
よって
R=(3√3+1)/2
となります。
(模範解答の値とは異なりますが
恐らく模範解答の値が間違っていると思います。)

No.37895 - 2016/07/10(Sun) 15:07:38

☆ Re: 三角比 / 石

ありがとうございました。

No.37900 - 2016/07/10(Sun) 17:49:41

★ (No Subject) / アリス

こちらはどのように解くのですか？

No.37890 - 2016/07/10(Sun) 14:42:16

☆ Re: / X

まずaを具体的な値で表しましょう。

分母の有理化により
(√3+√2)/(√3-√2)=(√3+√2)^2
=5+2√6
ここで
2.38=1.4・1.7＜√6＜1.42・1.74=2.4708
により
4＜2√6＜5
に注意すると
a=2√6-4 (A)
よって

前半)
(A)より
a+4=2√6
(a+4)^2=24
a^2+8a-8=0 (B)
となるのでaはxの二次方程式
x^2+8x-8=0
の解となります。

後半)
問題の式を(B)の左辺である
a^2+8a-8
で割って次数を落とした上で(A)を代入しましょう。

No.37893 - 2016/07/10(Sun) 14:50:21

☆ Re: / アリス

その式を割るとはどのようになるのですか？

No.37903 - 2016/07/10(Sun) 22:49:11

☆ Re: / アリス

訂正; 割るとどのようになるのですか？

No.37904 - 2016/07/10(Sun) 22:52:28

☆ Re: / X

a^3+6a^2-21a+23をa^2+8a-8で割る
ということが理解できないのであれば
数学Iの教科書で多項式の割り算を
復習しましょう。

ここからは多項式の割り算が理解できている
ことを前提にして書きます。
a^3+6a^2-21a+23をa^2+8a-8で割ったときの
商をg(a),余りをh(a)とすると
(g(a),h(a)の具体的な中身は実際に割り算を
実行して求めましょう)
a^3+6a^2-21a+23=(a^2+8a-8)g(a)+h(a)
これの右辺に(B)を代入すると
a^3+6a^2-21a+23=h(a)
となります。
h(a)は三次式を二次式で割った余りですので
次数は最大で1です。
これが「割って次数を落とす」という意味です。

後はこのh(a)に
a=5+2√6
を代入します。

No.37915 - 2016/07/11(Mon) 19:59:23

★ 計算式 / ゆう

こんにちは。お願いします。

27年度5月の参加人数500人売上1万円
28年度5月の参加人数1800人売上47万円

この2年の売上を参加人数300人だと
したときの比較をしたいんですが
計算式がわかりません。
早急に教えて頂きたいです

23歳です。

No.37888 - 2016/07/10(Sun) 12:24:41

☆ Re: 計算式 / X

各年度の参加者一人当たりの売上高をまず計算してみましょう。

No.37889 - 2016/07/10(Sun) 13:02:59

☆ Re: 計算式 / ゆう

回答ありがとうございました。
購入人数を出し一人あたりと購入率を出しました。
その後はどのようにしたらよいでしょうか？

No.37897 - 2016/07/10(Sun) 16:00:35

★ 線形代数 / らぐ

次の三平面が一直線Lを共有するとき,定数a,bの値とLの方程式を求めよ.
x+ay+z=5
x+3y+bz=0
3x+6y=5

僕は掃き出し法を使ったのですが途中から式が複雑になってるので求めることができませんでした.
これはどうやって求めることができますか？(僕の計算力不足かもしれませんが)

No.37884 - 2016/07/10(Sun) 01:08:59

☆ Re: 線形代数 / X

高校数学流の方針だと以下のようになります。

x+ay+z=5 (A)
x+3y+bz=0 (B)
3x+6y=5 (C)
とします。
まず(B)(C)をx,yの連立方程式とみて解き、
x,yをzを用いて表します。
その結果を(A)に代入して整理したものを
zの恒等式とみて両辺を比較し、
a,bについての連立方程式を立てます。

No.37885 - 2016/07/10(Sun) 07:01:08

☆ Re: 線形代数 / らぐ

ご回答ありがとうございます.
なるべく線形代数の知識を利用して解きたいのですが…
僕が思いついたのは共有する部分が直線なので係数行列のランクが2であるから係数行列の3次小行列式が0になるということですが,これ１つではまだ決まらないようです.

No.37887 - 2016/07/10(Sun) 12:01:06

★ ベクトル / ゆーしろー

(1)は分かったのですが、(2)(3)がわかりません。
解き方をお願いします

No.37881 - 2016/07/09(Sat) 20:01:19

☆ Re: ベクトル / ゆーしろー

画像があがっていませんでした...
こちらです
わかる方お願いします

No.37882 - 2016/07/09(Sat) 20:03:23

☆ Re: ベクトル / X

(2)
条件から
↑OE=t↑b (A)
(1＜t)
と置くことができます。
一方↑EP⊥↑OAにより
↑EP・↑OA=0
∴(↑OP-↑OE)・↑a=0 (B)
(B)に(1)の結果と(A)を代入して左辺を展開し、
必要な値を代入してtの方程式を立てます。

(3)
点Qは直線OP上、つまり直線OC上にあるので
↑OQ=k(↑a+↑b)/2
(kは実数)
と置くことができます。
みにくいのでk/2を改めてkと置いて
↑OQ=k(↑a+↑b) (C)
(kは実数)
とします。
さて、条件から
∠PBE、∠OPEが鈍角である (P)
ことと
点B,P,Q,Eが同一円周上にある (Q)
ことから
点B,P,Q,Eはこの順に反時計回りに四角形を作る
ことに注意します。
このことを踏まえて四角形BPQEが円に内接
していることを考えると
∠BPQ+∠BEQ=π
∴cos∠BPQ=cos(π-∠BEQ)
=-cos∠BEQ
となるので
↑PB・↑PQ/(|↑PB||↑PQ|)=↑EB・↑EQ/(|↑EB||↑EQ|) (D)
(D)に(2)の結果や(C)などを使い、kについての方程式を
立てます。

蛇足ですが、(P)(Q)より点Qは点Pに関して
点Cの側になりますので、少なくとも
k＞3/10
となること考えておくと、計算結果が
正しいか否かの判断材料の一つにはなります。

No.37883 - 2016/07/09(Sat) 20:56:08

★ 連立方程式 / 石

わかる方、解き方と答えを教えてください。
お願いします。

No.37875 - 2016/07/09(Sat) 15:11:23

☆ Re: 連立方程式 / IT

２式の各辺の差をとってみると、見えてくると思います。

No.37877 - 2016/07/09(Sat) 15:28:59

☆ Re: 連立方程式 / 石

差をとってやってみましたが、うまくいきません。

No.37878 - 2016/07/09(Sat) 17:03:06

☆ Re: 連立方程式 / X

横から失礼します。

では実際に差をとってみましょうか。
x^2=4x+2y (A)
y^2=2x+4y (B)
とします。
(A)-(B)より
x^2-y^2=2x-2y
(x-y)(x+y)=2(x-y)
(x-y)(x+y-2)=0
∴
y=x (C)
又は
x+y=2 (D)
(C)(D)それぞれの場合について
場合分けをして(A)(B)と
連立して解きます。
(代入法を使って一文字消去をしましょう。)

No.37879 - 2016/07/09(Sat) 17:56:48

☆ Re: 連立方程式 / 石

私もそれを思いついていましたが、CとDで場合わけする方法は思いつきませんでした。
丁寧にご説明してくださり、ありがとうございました。

No.37880 - 2016/07/09(Sat) 18:05:20

★ 順列と組み合わせ / ブラッドマミ

お世話になります。ブラッドマミともうします。今回は重複順列の問題です。「問題」数字1,1,1,2,2,3,3,4,5の９個の数字使って６桁の数を何通り作れるか求めよ。
以上解ける方どなたか分かる方、教えて下さい。よろしくお願いします。

No.37874 - 2016/07/09(Sat) 12:56:19

☆ Re: 順列と組み合わせ / IT

同じ数字を何個使うかで分類して数え上げます
(3,2,1)
(3,1,1,1)
(2,2,2)
(2,2,1,1)
(2,1,1,1)

No.37876 - 2016/07/09(Sat) 15:20:25

☆ Re: 順列と組み合わせ / ブラッドマミ

回答ありがとうございます。参考に致します。

No.37992 - 2016/07/16(Sat) 13:48:17

★ 極限 / たゆ2

lim[n→∞] (1/4)^n ×(n+4/3)を求めよ。という問題ですが解き方を教えてください。

No.37870 - 2016/07/08(Fri) 14:51:38

☆ Re: 極限 / X

二項定理により
4^n=(3+1)^n=Σ[k=0～n](nCk)3^k
n→∞を考えるのでn＞3としてもよく
4^n＞nC0+(nC1)・3+(nC2)・3^2
∴4^n＞1+3n+(9/2)n(n-1)={1/n^2+3/n+(9/2)(1-1/n)}n^2
よって
0＜{(1/4)^n}(n+4/3)＜(n+4/3)/{{1/n^2+3/n+(9/2)(1-1/n)}n^2}
∴
0＜{(1/4)^n}(n+4/3)＜(1+4/(3n))/{{1/n^2+3/n+(9/2)(1-1/n)}n}
となるので、はさみうちの原理により
lim[n→∞]{(1/4)^n}(n+4/3)=0

No.37871 - 2016/07/08(Fri) 17:07:32

☆ Re: 極限 / たゆ2

わかりました。ありがとうございました。

No.37872 - 2016/07/08(Fri) 17:22:34

★ (No Subject) / SY

ここから先どのように解いていくのかがわかりません。

No.37867 - 2016/07/08(Fri) 01:58:46

☆ Re: / IT

下から２行目は
ｎ≧2　のとき　
　(n+1)a[n+1]=(n-1)a[n] ですね。
よって
　a[n+1]={(n-1)/(n+1)}a[n]
　　　　={(n-1)/(n+1)}{(n-2)/n}a[n-1]
　　　　.....
　　　　={(n-1)/(n+1)}{(n-2)/n}...{1/3}a[2]
　　　　=[{(n-1)(n-2)...1}/{(n+1)n...3}]1　＃この行はなくても分れば不要
　　　　=2/{(n+1)n}

よって　n ≧2のとき a[n]=2/{n(n-1)}、a[1]=0

＃念のためn=2,3 のとき　で確認してみるのと
(n+1)a[n+1]=(n-1)a[n] をみたすか確認するといいと思います。
　

No.37868 - 2016/07/08(Fri) 03:22:05

☆ Re: / IT

同じことですが、
ｎ≧２　でa[n]≠0を確認して

a[n+1]/a[n]=(n-1)/(n+1)
a[n]/a[n-1]=(n-2)/n
a[n-1]/a[n-2]=(n-3)/(n-1)
.....
a[4]/a[3]=2/4
a[3]/a[2]=1/3
辺辺掛け合わせるとa[n+1]/a[2]=(2*1)/{(n+1)n}
としてもできます。

No.37869 - 2016/07/08(Fri) 03:48:03

★ 数学的帰納法整数の性質の証明 / kk

n=1のときと、n=kのときまでの証明はできたのですがn=k+1のとき以降の証明のやり方が分かりません。

No.37864 - 2016/07/07(Thu) 23:03:46

☆ Re: 数学的帰納法整数の性質の証明 / ヨッシー

５^(k+1)－1＝５(５^k－1)＋４
ですね。

No.37865 - 2016/07/08(Fri) 00:42:47

☆ Re: 数学的帰納法整数の性質の証明 / IT

> n=kのときまでの証明はできたのですが
というのは、少し変ですが
(略解)
ｎ=1のとき　･･･成立
n=ｋのとき成立を仮定すると　5^k-1=4a (aは整数)とおける
　このとき　5^k=4a+1 …（１）
n=ｋ+１のとき
　5^(k+1)-1 =5(5^k)-1＝5(4a+1)-1=4(5a+1)+1-1=4(5a+1)
　4の倍数となり成立。

よって任意の自然数ｎについて　5^n-1 は４の倍数となる。

No.37866 - 2016/07/08(Fri) 00:47:01

☆ Re: 数学的帰納法整数の性質の証明 / kk

お二方ありがとうございます

No.37873 - 2016/07/08(Fri) 19:36:55

★ (No Subject) / アリス

(2)(3)がわかりません

No.37856 - 2016/07/07(Thu) 21:51:10

☆ Re: / ヨッシー

Ｂは小数で表すとどのくらいの数ですか？
　５．ｘｘｘ　なのか　３．ｘｘｘ　なのか。
√５＝２．２３６を知ってれば出来ますね。

ＡＢを計算して有理化するといくらで、それは
どのくらいの数ですか？

No.37859 - 2016/07/07(Thu) 21:59:40

★ (No Subject) / きあら

この問題の（5）なのですが、とんでもない答えになってしまいました。【5(101±8√105)/4(85±8√105)】
あっているか自信がないし、模範解答もどう考えてもちがうだろうという答えなので、正しい解き方と答えを教えてください！お願いします！

No.37854 - 2016/07/07(Thu) 21:45:28

☆ Re: / きあら

これが模範解答です。この→を付けたところが間違っていると思われるし、これだと接線ではなく円の中心を通ってしまうと思います。

No.37855 - 2016/07/07(Thu) 21:47:05

☆ Re: / ヨッシー

ｙ＝ｘ^2／2 とｙ＝２ｘ－３は交わりません。

No.37858 - 2016/07/07(Thu) 21:56:11

☆ Re: / きあら

すみません。補足です。たぶん、そこはｙ＝１/２ｘ^2ではなく、ｙ＝１/４ｘ^2だと思われます。

No.37861 - 2016/07/07(Thu) 22:10:15

☆ Re: / ヨッシー

多分そうでしょうね。

接線を　ｙ＝ａｘとおいて、円の式に代入すると
　(a^2＋1)ｘ^2－2(4+5a)ｘ＋21＝0
となります。判別式＝０よりａを求めると
　ａ＝－５±(√105)/2
となります。

ちなみに、上の解答の一番下の分子は b-5 ではなく b-1 です。

No.37862 - 2016/07/07(Thu) 22:26:37

☆ Re: / きあら

なるほど！分かりました！作図ツールで確認して納得できました。(^^)/

No.37863 - 2016/07/07(Thu) 22:51:00

★ (No Subject) / ふゅー

有理数の切断により定義される実数aをrを有理数としてa=<A,A'>,A=｛r|r<α｝,A'=｛r|r>α｝としてその逆元すなわち-a=<-A',A>,-A'=｛r|-r∈A'｝,-A=｛r|-r∈A｝とする。
このとき(1)-A'が最大限を持たないこと。
(2)∀r∈-A'のとき∃s∈有理数Q,s∈-A'。
がいまいち厳密に示せません。教えて下さい。

No.37851 - 2016/07/07(Thu) 15:25:37

★ 整数問題 / アカシロトモ

「正の整数nでn^n+1が3で割り切れるものをすべて求めよ」
の問題で、n≡2(mod3)のとき、nをすべて2にかえて、
n^n+1≡2^2+1(mod3)としてはいけない、理由がわかりません。
指数部分も同じnなのにどうしてダメなのでしょうか？
　よろしくお願いいたします。

No.37848 - 2016/07/06(Wed) 21:17:00

☆ Re: 整数問題 / IT

具体例で確認するとダメなことが分かると思います。
2^0=1≡1(mod3)
2^1=2≡2(mod3)
2^2=4≡1(mod3)
2^3=8≡2(mod3) ,3≡0(mod3) ですが・・・
2^4=16≡1(mod3)

No.37849 - 2016/07/06(Wed) 22:16:25

☆ Re: 整数問題 / アカシロトモ

IT さん

ありがとうございました。
理由もなんとなくわかりました。
この具体例で復習してみます。

No.37850 - 2016/07/06(Wed) 23:23:51

★ 数A / なーり

次の等式を満たす整数X,Yの組を1つ求めよ、という問題です。最大公約数は1(互いに素)と赤ペンで書いてある所から下の部分が意味不明です。やり方を教えて下さい。

No.37845 - 2016/07/06(Wed) 18:31:50

☆ Re: 数A / ヨッシー

まずは、「ユークリッドの互除法」、「不定方程式」で検索して、調べられることをお勧めします。

で、本問ですが、目標は
　１＝（１７と２４の式）
にすることです。ここで、（１７と２４の式）とは２４ｘ＋１７ｙの形の式を指します。

２４＝１７・１＋７　を変形して
　７＝（１７と２４の式）　にします。
１７＝７・２＋３　を変形し、７＝（１７と２４の式）を代入して、
　３＝（１７と２４の式）　にします。
７＝３・２＋１　を変形し、７＝（１７と２４の式）、３＝（１７と２４の式）を代入して、
　１＝（１７と２４の式）　にします。
これで目標達成です。

私は、このように、上から代入していく方が分かり良いと思いますが、上の画像のように、下から代入していくのでも、結果は同じです。

No.37852 - 2016/07/07(Thu) 16:13:22

★ (No Subject) / 進研模試

続けてすいませんこれは1,2,3ともわかりません。

No.37841 - 2016/07/06(Wed) 17:56:36

☆ Re: / X

(1)
条件から、入場料金の合計について
500x＞500・40・0.8 (A)
これを解いて
x＞32
∴求める最小値は33です。

(2)
これは引っ掛け問題でしょうか。
xに対して(1)のような条件が付いていないことに
注意して下さい。
条件から、入場料金の合計について
500x≧500(x-1)・0.8+5000 (B)
((A)とは異なり、不等号の下に等号が付きます。)
これより
x≧46
ということで求める最小値は46です。
(3)
条件から、「支払金額」の合計について
300x+4000＜500(x-1)・0.8 (C)
300x+4000＜500x (D)
(C)(D)を連立して解き
44＜x
よってxが整数であることから
45≦x
となります。

No.37844 - 2016/07/06(Wed) 18:25:42

★ (No Subject) / 進研模試

これの(3)を教えて下さい

No.37840 - 2016/07/06(Wed) 17:54:13

☆ Re: / X

(2)の結果より
g(x)=(x-2)^2+1
そこで
(i)0≦t≦2のとき
(ii)2≦t≦4のとき
(iii)4≦tのとき
に場合分けをして、それぞれの場合において
y=g(x)のグラフの軸と、定義域である
0≦x≦t
との位置関係からM,mを求めることを考えます。
後はそれを
M+m=8
に代入してtの方程式を立てて解き、(i)(ii)(iii)
のtの条件を満たすものを求めます。

No.37843 - 2016/07/06(Wed) 18:05:57

★ 複素数平面 / たゆゆ

3点P(z1),Q(z2),R(z3)において、z3-z1/z2-z1=1+√3iが成り立つとき
角PQRの大きさを求めなさい。
という問題なんですが、角QPRは60°でPR=2PQまでわかったのですがここからの解き方を教えてください。お願いします。

No.37839 - 2016/07/06(Wed) 17:17:16

☆ Re: 複素数平面 / X

PR=2PQ=t
と置き、△PQRにおいて余弦定理を使い
QRをtで表してみましょう。
すると辺の比から何か見えてきます。

No.37842 - 2016/07/06(Wed) 17:59:24

☆ Re: 複素数平面 / たゆゆ

理解できました。ありがとうございます。

No.37847 - 2016/07/06(Wed) 21:13:41

★ (No Subject) / きあら

(2)の模範解答の解説がなぜこのような式（赤線）になるのかが分かりません（これとは別の解き方で解けたのですが…）。詳しい解説をお願いします。