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★ コーシーの積分公式 / sansunigate
この種類の問題について以前も質問させていただいたのですが、コーシーの積分公式の部分がわかりません。

部分分数分解をするのはわかったのですが、そのあと具体的にどうやってコーシーの積分公式にあてはめるのでしょうか？そもそもコーシーの積分公式ってどれですか？いろいろ調べたんですけどどの公式をつかっていいかわからなくて。。

僕はかなり数学がわかっていない人間です、数学が得意なみなさんからしたらイライラするかもしれませんが、どうか詳細な手順を踏まえて教えてください。。。
No.38144 - 2016/07/23(Sat) 10:20:31
☆ Re: コーシーの積分公式 / sansunigate
問題２です、
No.38145 - 2016/07/23(Sat) 10:21:05
☆ Re: コーシーの積分公式 / sansunigate
問題３です
No.38147 - 2016/07/23(Sat) 10:21:23
☆ Re: コーシーの積分公式 / X
コーシーの積分公式の内で最も基本的な形のものを使います。
つまり、
複素平面上である閉曲線CとCで囲まれた領域Dにおいて
正則である関数f(z)に対し
f(a)={1/(2πi)}∫[C]{f(z)/(z-a)}dz
(但しa∈D)
であることを使います。
No.38157 - 2016/07/23(Sat) 14:36:39
☆ Re: コーシーの積分公式 / sansunigate
ありがとうございます

もし可能であればその公式を使って具体的に上記の問題の解き方手順を解説していただけませんでしょうか？

すみません
No.38159 - 2016/07/23(Sat) 15:04:02
☆ Re: コーシーの積分公式 / X
回答の前に訂正を。(ごめんなさい)
No.38157に誤りがありましたので直接訂正しました。
再度ご覧下さい。

それで回答ですが、
二番目の問題については、以前同じ問題に
ついて回答したNo.38003に加筆をして
おきましたのでそちらを再度参照して
みて下さい。
それを参照すれば一番目の問題は同じ
方針で解けます。

三番目の問題についてはCに囲まれた領域内
にある被積分関数の極は
z=1/3
のみですので部分分数分解する必要はありません。
(与式)=∫[C]{{1/{3(z+1)}}/(z-1/3)}dz
と変形して
f(z)={1/{3(z+1)}
と置きます。
No.38163 - 2016/07/23(Sat) 18:56:50
☆ Re: コーシーの積分公式 / sansunigate
X　様

いつも丁寧にありがとうございます。
頂いた情報をつかってもう一度考えてみます！
ありがとうございます
No.38164 - 2016/07/23(Sat) 19:13:12
★ (No Subject) / ちひろ
何度もすいません。
⬜49と50教えてください！
No.38143 - 2016/07/23(Sat) 09:55:03
☆ Re: / IT
さいころを１回投げたとき　１が出る確率が分りますか？
（何も断りがなければ、さいころは１、２、３、４、５、６の目が同じ確率で出る。という前提だと思います）
No.38153 - 2016/07/23(Sat) 13:28:29
☆ Re: / ちひろ
6ぶんの1ですか？
No.38169 - 2016/07/23(Sat) 19:59:10
☆ Re: / IT
合ってます。

さて、大きいサイコロが５以上とは　どんな場合があって何通りですか？　これをAとおりとします。

小さいサイコロが奇数とは、どんな場合で何通りですか？　これをBとおりとします。

条件を満たす大小のサイコロの目の出方は　A×Bとおりです。

大小のサイコロの目の出方は、全部で６×６とおりですから

求める確率は　(A×B)／(６×６)　となります。
No.38178 - 2016/07/23(Sat) 22:38:49
★ (No Subject) / れいら
問46と47教えてください！
No.38142 - 2016/07/23(Sat) 09:53:49
★ (No Subject) / sansunigate
収束半径を求めよ、

という問題に対して、使える公式は二つあるという理解です。（添付ファイル）
例題を幾つか解いたのですが、答えはどちらを使っても一緒になりました。

これは、
「問題によってはAの式に代入した方が簡単」
などといった程度の違いである、という認識でよろしいでしょうか？

それとも、問題をみて、どちらかの公式を使用するかを判断しなければいけないのでしょうか？
No.38140 - 2016/07/23(Sat) 09:42:53
★ (No Subject) / ちひろ
?@A,B,Cの3人がジャンケンを1回行うとき、次の確立を求めよ。
○ひとりだけが勝つ確率
?A3個のさいころを同時に投げるとき、次の確立を求めよ。
○目の積が5の倍数になる確立
?B大中小の3個のさいころを投げるとき、次の確立を求めよ。
○大、中、小の順に、出る目が小さくなる確立

この３問の解説お願いします!
No.38137 - 2016/07/23(Sat) 09:21:04
☆ Re: / IT
(1) だけ
３人のジャンケンの手の出方は,全部で3^3 とおり
Aひとりだけがグーで勝つのはグー、チョキ、チョキの１とおり
勝つ１人の選び方は３とおり、それぞれ勝つ手は３とおり
よって　求める確率＝　計算はやってみてください。
No.38170 - 2016/07/23(Sat) 20:00:28
★ 高校数学A / 夢夏
昨日はわかりやすい解説ありがとうございます。
⬜30と40の四問の解説もお願いしてもいいですか？
No.38136 - 2016/07/23(Sat) 09:15:55
★ 収束半径、あと一歩です！ / sansunigate
お世話になっています。

以前収束半径の質問をさせて頂きました。自分なりにいろいろ調べて、問題を解いていたのですが、ダランベールと、コーシーの公式（？）を使って同じ問題を解いてみました。最初にダランベールみたいなのを使いました。（この投稿に添付されている画像）


次に、こーしーを使った時の計算式（二番めの投稿に添付されている写真）なのですが、画像の右下にある通りここで止まってしまいました。このあと、どうやって展開すれば、分母が１となり、答えが３、となるのでしょうか？


あと、疑問なのですが、この２つの公式どちらを使っても答えは一緒ですよね？なぜ二つもあるのでしょうか？場合によっては一方の方が簡単に解きやすいから、とかといった理由でしょうか？それもご存知でしたら教えてください。宜しくお願いします。
No.38127 - 2016/07/22(Fri) 22:29:49
☆ こっちがわからない方です！ / sansunigate
こちらが、どうすれば同じ解、3になるのでしょうか？
No.38128 - 2016/07/22(Fri) 22:30:40
☆ Re: 収束半径、あと一歩です！ / sansunigate
度々すみません。
ようするに、この式（添付写真）の答えが、１になれば、答えは３になってあうのですが、

この式って、もう少し展開できるのでしょうか？
それとも、0の0乗で、１、でいいんですか？
なにか少し違和感があるのですが。。。
No.38129 - 2016/07/22(Fri) 23:10:53
☆ Re: 収束半径、あと一歩です！ / IT
> それとも、0の0乗で、１、でいいんですか？
この場合は結果そうなりますが　0の0乗で、１、とは限りません。　
０への近づき方によります。
例えばlim[n→∞](1/n^n)^(1/n)=lim[n→∞]1/n＝0

lim[x→0]x^x = 1 は、対数をとってロピタルの定理を使って示せます。

http://www.osakac.ac.jp/labs/mandai/writings/Bi1-01m3.pdf

問題の式は　(1/n^2)^(1/n)=(1/n)^(2/n)=((1/n)^(1/n))^2 と変形して考えてもいいと思います。
No.38131 - 2016/07/23(Sat) 00:19:17
☆ Re: 収束半径、あと一歩です！ / sansunigate
解けました、ありがとうございます！
No.38138 - 2016/07/23(Sat) 09:30:49
★ 高校数学A / ちひろ
⬜18と19の解き方教えてください！
No.38121 - 2016/07/22(Fri) 21:26:20
☆ Re: 高校数学A / らぐ
[18]　この問題は順列の問題です.7個の中から7個を取り出して,1列に並べるので7P7=7!となります.

[19]　この問題は18と比べて制約がある場合です.このような場合は制約があるところから考えていきます.

(1)5の倍数となるのは1の位の数が0か5になることです.
今回は5しかないので1の位の数は5となります.
次に残りの部分を考えていきます.
とくに制約がないので[18]のように順列の問題です.
つまり5個の中から5個を取り出して1列に並べるということですから,5P5=5!となります.

(2)これも制約があるところから考えていきます.
両端の候補として2,4,6の3個の7数字があり,両端の数字の組み合わせは3･2=6通りです.
残りはどれでもいいので,
解答は6･4!となります.

(3)これは左端の数が4,5,6であればいいので
解答は3･5!となります.
No.38135 - 2016/07/23(Sat) 02:26:28
★ 高校数学A / れいら
?@nは3以上の整数とするとき、
nP3の解き方教えてください。
No.38120 - 2016/07/22(Fri) 21:13:34
☆ Re: 高校数学A / らぐ
nP3とはn個の中から3つを選んで一列に並べるということです.

例　6P3=6･5･4

これと同じように

nP3=n(n-1)(n-2)

となります.
No.38132 - 2016/07/23(Sat) 01:21:01
★ 高校数学A / 夢夏
大中小の3個のさいころを投げるとき、次の場合は何通りあるか。
?@目の和が8になる場合
?A目の積が12になる場合
この二つ教えてください！
No.38118 - 2016/07/22(Fri) 21:09:49
☆ Re: 高校数学A / らぐ
こういうのは1つずつ数えていきましょう.(大,中,小)とします.

?@目の和が8となるのは

1,1,6
1,2,5
1,3,4
1,4,3
1,5,2
1,6,1
2,1,5
2,2,4
2,3,3
2,4,2
2,5,1
3,1,4
3,2,3
3,3,2
3,4,1
4,1,3
4,2,2
4,3,1
5,1,2
5,2,1
6,1,1

(こうやって自分で書いていくとなんとなくパターンのようなものが見えてきます.)

よって目の和が8となるような場合の数は6+5+4+3+2+1=21通り
となります.

?A上記と同様のやり方でやっていきます.

1,2,6
1,3,4
1,4,3
1,6,2
2,1,6
2,2,3
2,3,2
3,1,4
3,2,2
4,1,3
6,1,2

よって目の積が12になる場合の数は11通りとなります.
No.38133 - 2016/07/23(Sat) 01:31:27
☆ Re: 高校数学A / IT
らぐさんの解答で　(2) は一部もれがありますね。
夢夏 さん自身で確認されると良いと思います。

126のパターン
134のパターン
223のパターン
に分けて考えてもできます。
No.38139 - 2016/07/23(Sat) 09:32:20
★ N進法 / 前進
計算で129分÷60分/1時間でしょうか？
割合の計算はわかります
No.38106 - 2016/07/22(Fri) 19:52:08
☆ Re: N進法 / 前進
計算です。
No.38107 - 2016/07/22(Fri) 19:53:44
☆ Re: N進法 / angel
129分 = 2時間 9分 を割り出すにあたって、
129(分)÷60(分/時間)=2(時間)余り9(分) という計算を行っているのだろうか、ということでしたら、その通りかと思います。
No.38112 - 2016/07/22(Fri) 20:31:17
★ 3つのベクトルの大きさについて / KM
高校レベルか大学レベルか分かりませんが添付した画像の問題は解くことができますか？
一週間程考えていますが、解けそうにありません…
お願いしますm(_ _)m
No.38105 - 2016/07/22(Fri) 19:15:58
☆ Re: 3つのベクトルの大きさについて / angel
「求めることができるか」と言われれば「できる」でしょうね。
ただし、一つの値には決まらない可能性があります。

ａ,ｂ,ｃを代表してｘ,ｙと置いて式を整理すると、
　ｘ*ｙ/(|ｘ||ｙ|)=C → ｘ*ｙ=C|ｘ||ｙ|
　|ｘ-ｙ|=L → |ｘ|^2-2ｘ・ｙ+|ｙ|^2=L^2
2つまとめて、
　|ｘ|^2-2C|ｘ||ｙ|+|ｙ|^2=L^2
と、|ｘ|,|ｙ|の条件式になります。

つまり、今回、|ａ|,|ｂ|,|ｃ|に関する条件式が3つ出るわけなので、それぞれを求めるのに十分です。
ただ、実際に値を求める際には2次方程式を解くことになり、そこで値が1つに定まらない ( 複数の解が出る ) 可能性があります。
No.38110 - 2016/07/22(Fri) 20:24:28
☆ Re: 3つのベクトルの大きさについて / angel
あ、すいません。
上で、ｘ*ｙとｘ・ｙという2種類の表現が出てきますが、両方ともベクトルの内積で、同じものだとお考えください。
紛らわしくて申し訳ないです。
No.38111 - 2016/07/22(Fri) 20:27:34
☆ Re: 3つのベクトルの大きさについて / IT
例えば極端な例で、前半の３つ＝１、後半の３つ＝0　のときは
|ａ|=|ｂ|=|ｃ|＝任意の正数　となりますね。
No.38114 - 2016/07/22(Fri) 20:42:19
☆ Re: 3つのベクトルの大きさについて / KM
ご返答ありがとうございます。
上記の条件については分かりましたが、下の画像の連立方程式を解く必要がありますよね？
これはどうすればいいのでしょうか…
度々申し訳ございませんm(_ _)m
No.38116 - 2016/07/22(Fri) 20:54:35
☆ Re: 3つのベクトルの大きさについて / angel
えっと…。物凄く面倒、というか「解析的に解けるか」というと解けない気がしますが、一応方程式がたつので「できる」と言っていいかと思います。

|ｘ|^2-2C|ｘ||ｙ|+|ｙ|^2=L^2 を2次方程式と見て解くと、
|ｙ|=C|x|±√(L^2-(1-C^2)|ｘ|^2) ですよね。
なので、|ｂ|,|ｃ|それぞれ|ａ|によって表すことができ、最後に|ｂ|,|ｃ|の関係式に代入すると|ａ|だけの方程式になります。√混じりのややこしい方程式ですが。
No.38119 - 2016/07/22(Fri) 21:11:25
☆ Re: 3つのベクトルの大きさについて / KM
ご返答ありがとうございます。
この方程式を解くとなったらコンピュータ上で二分法やニュートン法を使って計算をするしかなさそうですね…
ありがとうございましたm(_ _)m
No.38122 - 2016/07/22(Fri) 21:27:38
★ ガウスの発散定理と平均値の定理を用いた証明 / たっさん
問題13.3の回答がわかりません。
模範解答の1例をお願いします。
No.38098 - 2016/07/22(Fri) 12:37:43
★ 数3 軌跡 / たけ
いや、だからなんやねん
答えまで行き着かんから教えてくれ言うてんぞ
しょーもない屁理屈こねて使えん奴やな
ハッキリ言って、答え分からんからはぐらかしとるようにしか見えんわ笑
No.38097 - 2016/07/22(Fri) 09:19:56
☆ Re: 数3 軌跡 / angel
大学生ともなると、「適切な質問の仕方」というのも要求されるかと思います。逆切れしているようでは、リアルでこの先、大学での勉強で困ると思いますよ…?

端的に言うと、何を要求しているのかはっきりしていないのです。「何が分からない」かはあなたにしか分かりません。
しかも、なにもないならヒントを出す等できますが、既にヒントがあるのに分からないと言われると、もう答えようがないのです。
例えば、模範解答例が欲しいならそう言うとか、ヒントのこの部分がどうなのかと絞り込むとか、そうしないと欲しい回答は出てきません。

メーリングリストの話なので、全く同じように扱うことはできませんが、http://www.hyuki.com/writing/techask.html などを参考にされることをお勧めします。
No.38102 - 2016/07/22(Fri) 14:44:02
★ 数1の不等式 / なな
3番が、わかりません！詳しく、お願いします！
No.38096 - 2016/07/22(Fri) 08:43:18
☆ Re: 数1の不等式 / angel
(iii)は(ii)の延長にある問題です。

aの値が ( (ii)のように ) 決められたら、そこから?@・?Aを同時に満たす x が計算できますね? ( そこが不安なら(ii)をもう少し見直しましょう )

じゃあ、a の値を様々に動かした時に (iii) の条件 ( 整数の和が 0 ) を満たすかどうか、を見ていくのです。

?@の解が x≦7/2=3.5、?Aの解が x≧a+2 ( aが負なので不等号がひっくり返っていることに注意 ) なので、

例えば a=-3 … -1≦x≦3.5 なので、整数は x=-1,0,1,2,3 合計は 5 で 0 にならない ( 大きい )
例えば a=-4 … -2≦x≦3.5 なので、整数は x=-2,-1,0,1,2,3 合計は 3 で 0 にならない ( 大きい )
例えば a=-5 … -3≦x≦3.5 なので、整数は x=-3,-2,-1,0,1,2,3 合計は 0 になった!!
例えば a=-6 … -4≦x≦3.5 なので、整数は x=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3 合計は -4 で 0 にならない ( 小さい )

aが小さすぎると合計も小さくて不適、a が大きすぎても合計が大きくて不適、丁度いいぎりぎりが -6 と -5 の所、でも -6 丁度ではダメで、-5.999 あたりなら良い…、と範囲を絞っていくように考えていきます。
No.38099 - 2016/07/22(Fri) 14:30:15
★ 数3 軌跡 / たけ
大学1年です。恐らく高校レベルの課題なんですが、手付かずで困っています。宜しくお願いします
No.38094 - 2016/07/22(Fri) 01:08:05
☆ Re: 数3 軌跡 / X
「考え方」が書かれていますが、そこは読みましたか？
私がこの問題を解く場合も、ほぼこの「考え方」と同じ
方針で計算するのですが。
No.38095 - 2016/07/22(Fri) 05:43:19
☆ Re: 数3 軌跡 / XY
X＝x^2-y^2,Y＝xyをそれぞれ２乗して足すと
X^2+4Y^2=(x^2+y^2)^2=4^2
No.38109 - 2016/07/22(Fri) 20:01:07
★ 高1の因数分解 / ちひろ
この後のやり方がどうしてもわかりません。
もう少し詳しく教えてもらえますか？
No.38086 - 2016/07/21(Thu) 22:23:42
☆ Re: 高1の因数分解 / IT
一連の質疑応答は、同じところで再質問されるべきです。
返信ボタンでできます。
No.38087 - 2016/07/21(Thu) 22:29:12
★ (No Subject) / ちひろ
先ほどはヒントありがとうございます！
このやり方で会ってますか?
四番だけわかりませんでした！
No.38083 - 2016/07/21(Thu) 21:45:23
☆ Re: / IT
(1)(2) は、ことわりなしにｔを持ち出してはだめです。
「x^2=t とおく」と明記すべきです
（x^2のままで進める方法もありますが）
最後の注意にしたがってさらに因数分解できないか調べます。

(3)(4) は(1)(2)とはやりかたが違います
(3) は計算がまちがってます。ヒントにしたがってやってみてください。
(4) もヒントにしたがってやってみてください。
No.38085 - 2016/07/21(Thu) 22:08:27
☆ Re: / ちひろ
もう一度詳しく教えてもらえますか？
No.38088 - 2016/07/21(Thu) 22:34:59
☆ Re: / IT
(1)(2）各２つの二次式のうち　さらに因数分解できるものがあります。

(3)(4)A^2-B^2=(A+B)(A-B) と因数分解できます。
No.38089 - 2016/07/21(Thu) 22:39:22
☆ Re: / ちひろ
何度も本当にすいません🙇
こんな感じになったんですけどこれであってますか？
No.38090 - 2016/07/21(Thu) 22:47:04
☆ Re: / IT
ちがいます
（１）　(x^2-16)は　さらに因数分解できます。
（２）　(x^2-1)は　さらに因数分解できます。

（３）　(x^2+2)^2 の+2 はどこにいきましたか？
（４）　(x^2-1)^2 の-1 はどこにいきましたか？
No.38091 - 2016/07/21(Thu) 23:07:40
☆ Re: / ちひろ
こんな感じでやってみたんですけどどうですか?
No.38092 - 2016/07/21(Thu) 23:35:50
☆ Re: / IT
(3)(4) は、少しまちがっています。一つずつ確認して計算や転記しましょう。

(3)与式
=(x^2+2)^2 - x^2
=(x^2+2+x)(x^2+2-x)
=(x^2+x+2)(x^2-x+2)

(4)与式
=(x^2-1)^2 - 4x^2
=(x^2-1+2x)(x^2-1-2x)
=(x^2+2x-1)(x^2-2x-1)
No.38093 - 2016/07/21(Thu) 23:58:36
★ (No Subject) / ω
この問題の解答解説をお願いしますm(__)m
No.38081 - 2016/07/21(Thu) 21:35:20
☆ Re: / X
Cを折り返した点をC'とすると
∠BAC'=∠BAC=θ
∴Aから対辺に下ろした垂線の足をE
とすると
AC'=AE/cos∠C'AE
=4/cos(π/2-2θ)
=4/sin2θ (A)
BC'=AC'tanθ (B)
よって△ABCの面積をSとすると
S=(1/2)AC'・BC'=(8tanθ)/(sin2θ)^2
=2/{sinθ(cosθ)^3}
後はdS/dθを計算して
0＜2θ≦π/2
つまり
0＜θ≦π/4
の範囲でSについての増減表を書きます。
No.38084 - 2016/07/21(Thu) 21:55:11
★ 行列の問題 / にゃんこ
初めて利用させていただきます。
授業で習っていない問題が出されて解けないです。
解き方分かる方お願いいたします。
(どれか一問だけでも構いませんので)
よろしくお願いします。
No.38079 - 2016/07/21(Thu) 21:02:39
☆ Re: 行列の問題 / angel
固有値 ( 固有方程式 )、固有ベクトル、対角化、どこまでご存じなのでしょう…? 流石に授業でやってない状態で課題が出されるとは思えないのですが。
No.38113 - 2016/07/22(Fri) 20:35:49
☆ Re: 行列の問題 / angel
問題にある、「微分方程式 Ａ=Ａｘ」というのは、「微分方程式 ｘ'=Ａｘ」の誤植だと見て ( そうでないと問題がおかしい ) 一つ解いてみます。

(1)
「固有方程式」det(Ａ-λＥ)=0 すなわち、(-1-λ)・(4-λ)-3・(-2)=0 を解いて λ=1,2 これが「固有値」である。
このλ=1,2 に対して(Ａ-λＥ)ｖ=０ となる「固有ベクトル」ｖは、
λ=1 に対しては、ｖ=(3,2)
λ=2 に対しては、ｖ=(1,1)
が挙げられる
※ｖは実際にはどちらも縦ベクトルです
※実際にＡ-λＥの値を書いて確かめてください

この固有ベクトルを並べた行列Ｒ
Ｒ=(3 1)
　　(2 1)
に対し、固有値を対角成分に持つ「対角行列」Ｔ
Ｔ=(1 0)
　　(0 2)
は、ＡＲ=ＲＴ を満たす。すなわち、Ａ=ＲＴＲ^-1 ( 固有値・固有ベクトルによる「対角化」 )
これを微分方程式 ｘ'=Ａｘ に適用し、ｘ'=ＲＴＲ^-1・ｘ
ここから、Ｒ^-1・ｘ'=ＴＲ^-1・ｘ
ｙ=(y1,y2)＝Ｒ^-1・ｘ と置くと、Ｒ^-1・ｘ'=ｙ' であり、ｙ'=Ｔｙ
ここから、y1'=y1, y2'=2y2 この微分方程式をそれぞれ解いて y1=αe^x, y2=βe^(2x)
ｙ=Ｒ^-1・ｘ より、ｘ=Ｒｙ にこの解を適用して、
ｘ=(3αe^x+βe^(2x), 2αe^x+βe^(2x)) ※実際は縦ベクトルです
No.38117 - 2016/07/22(Fri) 20:58:49
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