ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ F（x,y）=0の微分 / 高２

x^2-3xy+y^2=1の関係式が成り立つとき,dy/dxを求めよ.

解答（写真）において、d(3xy)/dxが(3y+3xdy/dx)と積の微分を使う理由がわかりません　なぜ 3x・dy/dx とはならないんでしょうか？教えて下さい

No.38677 - 2016/08/25(Thu) 20:15:10

☆ Re: F（x,y）=0の微分 / X

高2さんの計算は例えば
(d/dx)(xsinx)=xcosx
と計算するようなものです。
もちろん、上記の計算は間違っており
積の微分により
(d/dx)(xsinx)=sinx+xcosx
となります。

ご質問の式の計算過程をもう少し詳しく書くと
d(3xy)/dx={d(3x)/dx}y+3x(dy/dx)
=3y+3x(dy/dx)
となります。

No.38678 - 2016/08/25(Thu) 20:19:44

☆ Re: F（x,y）=0の微分 / 高２

xで微分するとき、変数yは定数とみなせない　ということですか？

No.38679 - 2016/08/25(Thu) 20:21:49

☆ Re: F（x,y）=0の微分 / X

その通りです。

No.38685 - 2016/08/26(Fri) 19:35:56

★ 場合の数？ / 高２

円を中心角60°ずつ6等分し隣合う部分は異なる色で塗り分ける。このとき用いる色が(1)5色,(2)3色の場合についてそれぞれ塗り分け方は何通りあるか求めよ。

よろしくお願いします。

No.38673 - 2016/08/25(Thu) 11:15:57

☆ Re: 場合の数？ / ヨッシー

(1)
５色の場合
どれか１色を２回、残り４色を１回ずつ使います。
２回使う色の選び方が５通り。
２回使う色を図の（あ）のように塗った場合、他の４色の塗り方は
　４！＝２４（通り）
２回使う色を図の（い）のように塗った場合、他の４色の塗り方は
　４！÷２＝１２（通り）　（180°回転させると同じ塗り方のものが２つずつ存在するため）
以上より
　５×（２４＋１２）＝１８０（通り）

(2)
３色の場合
３色を１回２回３回使う場合
どの色を何回使うかの分け方が　３！＝６（通り）
色の塗り方は図の（う）の１通り。
３色をどれも２回ずつ使う場合。
（え）のように、同じ色を180°の位置に置く場合。
塗り方は２通り。
（お）のように、180°の位置に１色、120°の位置に２色を置く場合
180°の位置に置く色の決め方が３通り。
塗り方は１通り。
以上より
　６＋２＋３＝１１（通り）

No.38674 - 2016/08/25(Thu) 11:49:58

☆ Re: 場合の数？ / 高２

ヨッシー　様

こんなに早く、
しかもこんなに詳しく、　
ありがとうございました！

とても綺麗で見入ってしまいました。

No.38675 - 2016/08/25(Thu) 12:08:15

★ 中３数学 / 木田

（１）１４　（２）ｱ 17 ｲ 12 よくわかりません。解説よろしくお願いします。

No.38667 - 2016/08/24(Wed) 21:45:41

☆ Re: 中３数学 / angel

添付の表のように状況を整理してみましょうか。

各商品を2個以上買った人がいない以上、代金に応じて商品の組み合わせが決まるはずです。
そして、400円の場合だけ、ポストカード・キーホルダーの組み合わせか、ハンドブックのみか、2通りに分かれますが、それ以外は1通りに決まります。

ここで、(1)の答えをx、問題の表のア、イをそれぞれy,zとすると、それぞれどの商品の組み合わせを買った人が何人いたかが分かるはずです。

No.38668 - 2016/08/25(Thu) 00:21:38

☆ Re: 中３数学 / angel

(続き)
例えば、ポストカードを購入した人に焦点をあてると。

項番1,3,5,7の人が該当しますから、その人数は
　6+x+8+15
で、ポストカードの売れた個数(買った人数)と照らし合わせると
　6+x+8+15=43
というように、条件が割り出せます。

キーホルダー・ハンドブックからも同じように条件を引き出して、x,y,zを求めていきましょう。

No.38669 - 2016/08/25(Thu) 00:25:33

☆ Re: 中３数学 / 木田

ありがとうございました

No.38690 - 2016/08/27(Sat) 12:16:42

★ 中三　多角形 / 塾なし受験生　中三

長方形の頂点の数がｎこのときの正多角形の一つの内角の大きさをｘ度とする。ｘの値が自然数となるｎの値と、そのときのｘの値を求めよ。という問題のｎの求め方が全く分かりません。自分はｎが分かったらｘは求められます。

答えはｎ＝３６０、ｘ＝１７９です。

No.38656 - 2016/08/23(Tue) 08:18:01

☆ Re: 中三　多角形 / ヨッシー

冒頭の「長方形」とは何ですか？
最も重要なｎの定義が不明確です。
文面通りなら、長方形の頂点の数は４個なので、ｎ＝４。
それ以降の記述は意味をなしません。

No.38657 - 2016/08/23(Tue) 09:03:28

☆ Re: 中三　多角形 / 塾なし受験生　中三

すみません。長方形ではなく正多角形でした。。

No.38662 - 2016/08/23(Tue) 19:49:18

☆ Re: 中三　多角形 / ヨッシー

一般に正ｎ角形の１つの内角ｘは
　ｘ＝180°－360°／ｎ
なので、ｎが360の約数であれば、ｘは整数になります。
n=360 だけではありません。

何か問題の条件が抜けていませんか？
最大のｎを求めよとか？

No.38663 - 2016/08/23(Tue) 21:13:58

☆ Re: 中三　多角形 / 塾なし受験生　中三

そ、そうです！何度もすみません。理解できました！ありがとうございます！

No.38666 - 2016/08/24(Wed) 10:07:48

★ －の位置、どこにかかるのか？ / 前進

簡単な例を次の写真で

No.38653 - 2016/08/23(Tue) 00:24:41

☆ Re: －の位置、どこにかかるのか？ / 前進

分母か分子か分子のはじめの数字か、括弧の有無など、説明を宜しくお願い致します。

No.38654 - 2016/08/23(Tue) 00:27:41

☆ Re: －の位置、どこにかかるのか？ / ヨッシー

分数の表記においては、分母や分子が式になっているとき
分母全体、分子全体に「見えないカッコ」があると思って下さい。
ですから、?Bの式において、
負号（－）を、分子の左につける・・・カッコが必要
負号（－）を、分母の左につける・・・カッコが必要
分子または分母にカッコ無しでつけると、負号ごと「見えないカッコ」に
取り込まれてしまい、ax1＋by1＋c と－ax1＋by1＋c が違うように
別の式になってしまいます。
また、?Bのように負号が分数の左についているとき、分子や分母に
カッコは不要です。あってもいいですが、（ａ＋ｂ）を（（ａ＋ｂ））とは
書かないように、普通は書きません。

手書きの方のａ＝の式で、１つ目が正解であるとき、
２つめは分子を－（１＋１＋２）にしないといけません。
３つめは上で述べたように、カッコは不要です。あっても間違いではありません。
４つ目は分母が式になっていないので、間違いではありません。

No.38660 - 2016/08/23(Tue) 09:57:01

★ お教えください / 九州の暴走王

みかん、りんご、かき3種類の果物が、それぞれ２個ずつあります。この中から3個取り出します。取り出す組み合わせは何通りありますか。ただし、取らない果物があってよく、同じ種類の果物は区別しないものとします。

5C2－3＝7通りらしいのですが、この式の成り立ちが分かりません。お教えください。

No.38650 - 2016/08/22(Mon) 22:38:56

☆ Re: お教えください / らすかる

5個の○のうち2個を選んで●にします。
そして左の●より左にある○の個数をみかんの個数、
2個の●の間にある○の個数をりんごの個数、
右の●より右にある○の個数をかきの個数とします。
つまり
○○○●● → みかん3個、りんご0個、かき0個 ※
○○●○● → みかん2個、りんご1個、かき0個
○○●●○ → みかん2個、りんご0個、かき1個
○●○○● → みかん1個、りんご2個、かき0個
○●○●○ → みかん1個、りんご1個、かき1個
○●●○○ → みかん1個、りんご0個、かき2個
●○○○● → みかん0個、りんご3個、かき0個 ※
●○○●○ → みかん0個、りんご2個、かき1個
●○●○○ → みかん0個、りんご1個、かき2個
●●○○○ → みかん0個、りんご0個、かき3個 ※
のように対応付けて考えます。
すると、1種類の果物が3個になるもの（※を付けたもの）の
3通りが問題の条件に合わず、その他が問題の条件に合う
全解ですので、5C2-3通りとなります。

No.38651 - 2016/08/22(Mon) 23:10:15

☆ Re: お教えください / 九州の暴走王

早速のご教授ありがとうございました。

No.38652 - 2016/08/22(Mon) 23:21:13

★ Σ / 前進

なぜn➡kにしますか？

No.38647 - 2016/08/22(Mon) 10:42:39

☆ Re: Σ / 前進

追加です

No.38648 - 2016/08/22(Mon) 10:43:17

☆ Re: Σ / ヨッシー

ｎは定数なので、そのｎに１からｎまでの数を順に代入していくことはできません。

No.38649 - 2016/08/22(Mon) 11:51:52

☆ Re: Σ / 前進

うーんよく分かりません。詳しく説明して頂けると助かります。暗記した方がよろしいでしょうか？

No.38655 - 2016/08/23(Tue) 00:32:02

☆ Re: Σ / ヨッシー

例えば、１からｎまでの整数の和を求める公式として、
　Σ[k=1～n]k＝n(n+1)/2
というのがあります。
1から10 までの整数の和を求めようと言うとき、n=10 を代入して
　Σ[k=1～10]k＝1＋2＋3＋・・・＋10＝10・11/2＝55
のように、公式を活用することが出来ます。

ところが、左辺が Σ[n=1～n]n だと、n=10 を代入して
　Σ[10=1～10]10
という、わけのわからないことになります。

No.38658 - 2016/08/23(Tue) 09:30:08

★ 0や同じ数を含む順列ついて / ゆうり

0、1、1、2、2、3の6個の数字を使って、6桁の整数は何個つくれるか。

この問題について教えてください。
自分では十万の位の数で場合分けして十万の位の数が1のとき、2のとき、3のとき…とやっていけばいいのかな？と考えたのですが、どうでしょうか。

No.38636 - 2016/08/21(Sun) 21:29:28

☆ Re: 0や同じ数を含む順列ついて / angel

それでも良いですが、もっと楽な方法はありますね。
…場合の数の問題については、( 場合によっては全通り列挙する覚悟で ) 泥臭い方法を考えつつ、楽できるところを改良していくのが良いと思いますので、一度実際にそれで進めてみてはどうでしょうか。( この問題なら150通りですし )

No.38637 - 2016/08/21(Sun) 21:38:36

☆ Re: 0や同じ数を含む順列ついて / angel

類題と比較してやり方を考えるのも1つの手です。
例えば次のような。

UNOのカードとして、
　青0、青1、赤1、青2、赤2、青3
の合計6枚がある。
この6枚を全て使って横一列に並べるとき、次の条件での並べ方が何通りあるか
(1) 特に条件なし ( 数字が同じでも色の違うカードは区別する )
(2) 左端に0が来るものを除く ( 数字が同じでも色の違うカードは区別する )
(3) (1)と同じだが、色が違っても数字が同じカードは区別しない
(4) (2)と同じだが、色が違っても数字が同じカードは区別しない

No.38638 - 2016/08/21(Sun) 21:55:07

☆ Re: 0や同じ数を含む順列ついて / ゆうり

丁寧に回答いただき、しかも類題までつけてくださってありがとうございます。
自分で考えた通りにやったら結果は150になりました。
類題については、
(1)6！=720 720通り
(2)5×5！=600 600通り
(3)5！÷(1×2！×2！)=30 30通り
となりました。
(4)は私が質問した問題と同じですよね。ですが、場合分け以外の考え方が浮かびません…。

No.38640 - 2016/08/21(Sun) 22:12:48

☆ Re: 0や同じ数を含む順列ついて / ゆうり

それから、もう１つだけ教えていただきたい問題があるのですが、よろしいでしょうか？

5人の旅客が3軒のホテルに泊まる方法は何通りか。ただし、1人も宿泊しないホテルがあってもよいものとする。

また場合分けで、全員同じホテルに泊まる場合、1人も宿泊しないホテルが１つある場合、どのホテルにも1人は泊まる場合で考えたのですが、答えの数字が異様に小さくなってしまってあれ？となっています。

No.38641 - 2016/08/21(Sun) 22:18:36

☆ Re: 0や同じ数を含む順列ついて / angel

類題の(3)はケアレスミスですね。

　(3) 6!÷(2!×2!)=180

となります。

で、(1),(3)の違いが(2),(4)の違いそのものになっています。
なので、

　(4) 5×5!÷(2!×2!)=150

で、仰るとおり、(4)は質問の問題と同じになります。
※このように、どのような問題が同じで、類題とはどのような違いがあるかを見るというのは結構重要です。

No.38642 - 2016/08/21(Sun) 22:32:05

☆ Re: 0や同じ数を含む順列ついて / angel

もう一つの問題は、一応別のトピックとして挙げて頂くのが良いと思います。
が、取り敢えずざっくり言うと、問題文の解釈によって2通り考えられます。

各ホテルで確保する宿泊人数が同じでも、泊まる人が違うなら
　1.区別する
　2.区別しない
により、

1. 人毎にどのホテルか、3通りずつ選択肢があるので
　3×3×3×3×3=243

2. 重複組み合わせに相当するため
　3H5=21

に分かれます。

No.38643 - 2016/08/21(Sun) 22:45:34

☆ Re: 0や同じ数を含む順列ついて / ゆうり

なるほど！(4)にはそういうやり方があるんですね。
こっちの方が効率的でいいですね。
もう１つの問題には次から別のトピックとして立てるよう気をつけます。
そもそもこの問題は場合分けいらなかったです。
丁寧に解説していただきありがとうございました。
とても助かりました。

No.38646 - 2016/08/22(Mon) 07:08:09

★ 極限の証明 / 魚

写真の一番問題で、極限の定義を使っての証明なのでがいまいちどう取り組んでいいか分かりません。ｘ→∞　がｘ→整数　であれば出来るのですが…　よろしくお願いします。

No.38629 - 2016/08/21(Sun) 18:33:17

☆ Re: 極限の証明 / 関数電卓

求める極限は (2x＋7)/(2x＋1)＝(2＋7/x)/(2＋1/x)→2/2＝1 (x→∞)
　

No.38631 - 2016/08/21(Sun) 19:48:20

☆ Re: 極限の証明 / 魚

それをどう証明すればいいのでしょうか？
ご教授いただければ幸いです。

No.38632 - 2016/08/21(Sun) 19:57:24

☆ Re: 極限の証明 / IT

「極限の定義」は、どうなっていますか？

No.38633 - 2016/08/21(Sun) 20:30:35

☆ Re: 極限の証明 / 魚

すべての正のεに対して、ある自然数Ｎが存在し、
ｎ＞Ｎならば｜ａ（ｎ）－ａ｜＜ ε　

∀ε＞０，∃Ｎ，　ｎ＞Ｎ ⇒ ｜ａ（ｎ）－ａ｜＜ε　

これになります。

No.38634 - 2016/08/21(Sun) 20:55:51

☆ Re: 極限の証明 / IT

x＞0のときを考えればよい
(2x＋7)/(2x＋1)＝1+6/(2x+1)
|(2x＋7)/(2x＋1)-1|＝6/(2x+1)＜3/x
よって,∀ε＞0 について,x＞3/εならば｜(2x＋7)/(2x＋1)-1|＜ε.
したがってlim[x→∞][(2x＋7)/(2x＋1)]＝1

　

No.38639 - 2016/08/21(Sun) 22:03:58

★ (No Subject) / アリス

こちらを教えてください
1～3全部です。

No.38622 - 2016/08/21(Sun) 15:50:35

☆ Re: / X

(1)
まず点Pが辺BC上にあるようなxの範囲に対し
4a≦ax/3≦4a+3a (A)
次に点Qが辺BC上にあるようなxの範囲に対し
3a+4a≦2ax/3≦3a+4a+3a (B)
a＞0に注意して(A)(B)をxについての連立不等式
として解きます。

(2)
条件のとき
BP=4a-ax/3
BQ=AD+CD+BC-2ax/3
=10a-2ax/3
∴△BPQの面積について
(1/2)(4a-ax/3)(10a-2ax/3)=(4/9)a^2 (C)
a＞0に注意してこれをxの方程式
として解きます。
但し、ここで問題になるのは解と
できるxの値の範囲です。
条件から点Pは辺AB上に、点Qは
辺BC上にありますので、(1)と
同様に考えると
0≦ax/3≦4a (D)
3a+4a≦2ax/3≦3a+4a+3a (E)
(D)(E)をxの連立不等式とみて
解いた解の範囲に含まれる
(C)の解が求めるxの値に
なります。

(3)
これは点P,Qが長方形ABCDのどの辺にあるかで
場合分けが必要になりますが、その場合分け
の種類の特定は実は(1)(2)がヒントになって
いたりします。

(1)の結果により点P,Qは少なくとも辺BC上に
同時に存在する場合があることが分かります
ので、条件から
点P,Q辺BC上ですれ違う
ということになります。
よって次の場合分けをして考えます。
(i)点Pが辺AB上、点Qが点AD上にあるとき
(ii)点Pが辺AB上、点Qが点CD上にあるとき
(iii)点Pが辺AB上、点Qが点BC上にあるとき
(iv)点Pが辺BC上、点Qが点AB上にあるとき

ここで△BPQの面積は点P,Qの移動に対し
・点Qが辺ADにあるときには増加
((∵)条件点Qの方が点Pよりも速いので
辺BPを底辺とみるとき高さの増加の方
が底辺の長さの減少よりも速い)
・点Qが辺CD,BCにあるときにあるときには減少
となります。
このことと(2)の結果により
(2)を満たすxの値は存在する
ことから
(ii)を満たすxは存在しません。
従って、考える必要があるのは
(i)(iv)の場合
となります。((iii)の場合は(2)で既に解いています。)
後は(2)と同様な方針で(i)(iv)のときの
xの値を求めていきます。

No.38624 - 2016/08/21(Sun) 17:25:20

★ 三角関数... / ゆーしろー

いつもお世話になっております
(1)から分かりません、、
夏休みずっと考えたのですが、もう泣きそうです...
できるだけ答え近くまでいただけると幸いです。よろしくお願い致します

No.38617 - 2016/08/19(Fri) 20:24:42

☆ Re: 三角関数... / X

(1)
数学的帰納法を使います。
証明すべき等式を(A)とします。
(i)n=1のとき
(A)の成立は明らか。
(ii)n=kのとき(A)の成立を仮定します。
つまり
Σ[l=1～k]sinlx={sin{(k+1)/2}sin(kx/2)}/sin(x/2)
両辺にsin(k+1)xを足して
Σ[l=1～k+1]sinlx={sin{(k+1)/2}sin(kx/2)}/sin(x/2)+sin(k+1)x (A)'
ここで
((A)'の右辺)={sin{(k+1)/2}sin(kx/2)}/sin(x/2)+2sin{(k+1)x/2}cos{(k+1)x/2}
={sin{(k+1)/2}/sin(x/2)}{sin(kx/2)+2sin(x/2)cos{(k+1)x/2}}
={sin{(k+1)/2}/sin(x/2)}{sin(kx/2)+sin{(x/2)+(k+1)x/2}+sin{(x/2)-(k+1)x/2}}
(∵)積和の公式
={sin{(k+1)/2}/sin(x/2)}{sin(kx/2)+sin{(k+2)x/2}+sin(-kx/2)}
={sin{(k+1)/2}/sin(x/2)}sin{(k+2)x/2}
=sin{(k+2)x/2}sin{(k+1)/2}/sin(x/2)
となり(A)はn=k+1のときも成立。

(2)
問題の多角形を
△P[k]OP[k+1](k=0,…,n-1)
なるn個の三角形に分割して面積(T[k]とします)を求め
T[k]のkに対する和を取って(1)の結果を使います。
ここで必要となるのは
∠P[k]OP[k-1]
の値ですが、条件から、これのkに対する
総和について
Σ[k=1～n]∠P[k]OP[k-1]=Σ[k=1～n]k∠P[1]OP[0]=2π
となることを使って、∠P[1]OP[0]の値を求めることから
考えましょう。

(3)
(2)の結果を使います。
計算するに当たって、適当な置き換えで
lim[x→0](sinx)/x=1
が使えないか考えましょう(S[n]の分母分子をn(n+1)で割ると…)。

No.38618 - 2016/08/19(Fri) 21:15:28

☆ Re: 三角関数... / ゆーしろー

(1)なるほどです
(2)(3)についてはもう1度考えながら解答お借りしますありがとうございます

No.38626 - 2016/08/21(Sun) 17:49:37