nは自然数とし、a>1とする。 n個の正の数 x(1),x(2),x(3),...,x(n)がx(1)+x(2)+x(3)+....+x(n)≧nを満たすならば、x(1)^a+x(2)^a+x(3)^a+....+x(n)^a≧x(1)+x(2)+x(3)+....+x(n)が成り立つことを示せ。
nについての帰納法で示すことはわかりますが証明できません。
よろしくお願いします。
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No.38380 - 2016/08/04(Thu) 07:33:27
| ☆ Re: 帰納法 / ペンギン | | | 大学生の方でしょうか？
高校生の方でしょうか？
帰納法を使うという制約はありますか？
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No.38389 - 2016/08/04(Thu) 18:35:38 |
| ☆ Re: 帰納法 / Ｎ | | | 高校生です。
制約はありません。他に方法があるならその方法でも構いません。
よろしくお願いします。
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No.38390 - 2016/08/04(Thu) 18:42:48 |
| ☆ Re: 帰納法 / ペンギン | | | 追加の質問をすみません。
これは、問題集など学校レベルの問題でしょうか？
それとも、多少進んだレベルの問題でしょうか？
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No.38396 - 2016/08/04(Thu) 19:39:38 |
| ☆ Re: 帰納法 / Ｎ | | | No.38399 - 2016/08/04(Thu) 21:14:51 |
| ☆ Re: 帰納法 / IT | | | 横から失礼します。
Jensen's Inequality(イェンゼンの不等式）を知ってないと難しいかも。（誘導なしですか？）
y=f(x)のグラフが下に凸のとき E(f(x))≧f(E(x))…(イェンゼンの不等式)
E(x)はx(1),x(2),x(3),....,x(n)の平均値を表す
E(f(x))はf(x(1)),f(x(2)),f(x(3)),....,f(x(n))の平均値を表す.
f(x)=x^a とおくと,a＞１ より y=f(x)のグラフは下に凸
よってイェンゼンの不等式より
{x(1)^a+x(2)^a+x(3)^a+....+x(n)^a}/n≧({x(1)+x(2)+x(3)+....+x(n)}/n)^a
ここで、{x(1)+x(2)+x(3)+....+x(n)}/n≧1,a＞１なので
({x(1)+x(2)+x(3)+....+x(n)}/n)^a≧{x(1)+x(2)+x(3)+....+x(n)}/n
よって、{x(1)^a+x(2)^a+x(3)^a+....+x(n)^a}/n≧{x(1)+x(2)+x(3)+....+x(n)}/n
イェンゼンの不等式の証明は下記などにいくつか載っています。（帰納法によるものやグラフによるものもあります。）
英語ですが式や図でから理解できると思います。
この証明も含めて全体を書き直されるとできると思います。
https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality
https://www.youtube.com/watch?v=10xgmpG_uTs
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No.38401 - 2016/08/04(Thu) 22:21:59 |
| ☆ Re: 帰納法 / Ｎ | | | ありがとうございます。この問題は誘導がなかったので、他の解法があるのかも気になりますが、謎が解けてよかったです。
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No.38402 - 2016/08/04(Thu) 23:36:03 |
| ☆ Re: 帰納法 / IT | | | 一般的なJensen 不等式の証明や応用問題は、日本語でもいろいろありますね。
http://izumi-math.jp/M_Matumoto/Jensen_ver01.pdf
http://mathtrain.jp/jensen_proof
http://examist.jp/mathematics/derivation2/totufutousiki2/
http://www.h-yagyu.jp/portfolio/h3_text/h3_summer_102.pdf
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No.38403 - 2016/08/05(Fri) 00:39:03 |
| ☆ Re: 帰納法 / Ｎ | | | No.38405 - 2016/08/05(Fri) 06:51:04 |
| ☆ Re: 帰納法 / 黄桃 | | | ITさんの紹介された不等式が舞台裏でしょうが、
とりあえず次のようにすれば何も考えずにできそうです。
n=1の時は明らかです。
n=k の時まで証明できたとします。
x(1)≧x(2)≧x(3)≧...≧x(k)≧x(k+1) とします。
x(1)+x(2)+x(3)+....+x(k+1)≧k+1
と仮定します。x(k+1)≧1 なら、
x(1)+x(2)+x(3)+....+x(k)≧k
となり帰納法の仮定と x(k+1)^a≧x(k+1) より結論が従います。
よって x(k+1)<1 の場合を示せばOK。
x(1)≦1 とすると、x(1)+...+x(k)+x(k+1)≦k+x(k+1)<k+1 となるので矛盾するから、x(1)>1です。
すると、x(1)+x(k+1)-1>0 となるから
y(1)=x(1)+x(k+1)-1, y(2)=x(2),..,y(k)=x(k) とおけば、
y(1)+...+y(k)≧k
なので帰納法の仮定により
y(1)^a+..+y(k)^a≧y(1)+...+y(k)=x(1)+...+x(k+1)-1
y(1)^a=(x(1)+x(k+1)-1))^a, y(2)^a=x(2)^a,...,y(k)^a=x(k)^a
となります。あとは、
x(1)^a+x(k+1)^a-1-(x(1)+x(k+1)-1)^a≧0
を示せば結論が従います。y=x(k+1), 0<y<1, を固定し x(=x(1))≧1 の範囲で
f(x)=x^a+y^a-1-(x+y-1)^a
の最小値が0であることをいえばおしまいです。
微分して増減を調べれば(y<1より x>x+y-1だから)f(x)は単調増加でf(1)=0よりf(x)>0がわかり証明終わりです。
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No.38406 - 2016/08/05(Fri) 07:02:50 |
| ☆ Re: 帰納法 / Ｎ | | | No.38428 - 2016/08/05(Fri) 22:40:59 |
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