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★ (No Subject) / as
画像のような問題は数１ではどの分野にあたりますか？また、画像のような問題を解くとしたら、どうやって解きますか？
全体が◯人いて、〜という問題です。
No.38530 - 2016/08/11(Thu) 14:16:54
☆ Re: / X
これは集合の項目に当たりますね。

全体の集合をU,帽子をかぶっている人の集合をA、
眼鏡をかけている人の集合をBとし、
例えば
Aの人数をn[A]
Aの補集合を\A
と書くことにします。
すると、求める人数は
n[\A∩B]
と書くことができ、又、条件から
分かっている値は
n[U],n[A],n[\A∩\B] (P)
となります。
ベン図を描くことにより
n[\A∩B]=n[B]-n[A∩B] (A)
一方ドモルガンの法則を使うと
n[\A∩\B]=n[\(A∪B)]
=n[U]-n[A∪B]
=n[U]-{n[A]+n[B]-n[A∩B]}
∴n[A∩B]=n[\A∩\B]+n[A]+n[B]-n[U] (B)
(A)(B)より
n[\A∩B]=n[U]-n[\A∩\B]-n[A]
後はこれに(P)に与えられている値を代入します。
No.38532 - 2016/08/11(Thu) 14:28:18
☆ Re: / as
なぜいきなりn(\A∩\B)がでてきたかが分かりません。一方ドモルガンの法則を使うと、というところです。すでに値は出てるじゃないですか？
No.38535 - 2016/08/11(Thu) 15:10:13
☆ Re: / X
n[\A∩\B]=n[\(A∪B)]
=n[U]-n[A∪B]
=n[U]-{n[A]+n[B]-n[A∩B]}
はn[A∩B]についての方程式
n[\A∩\B]=n[U]-{n[A]+n[B]-n[A∩B]}
を導くための変形であって
n[\A∩\B]の値を求める為の変形ではありません。

n[\A∩\B]を使った理由は、上記の変形のように
n[A∩B]に結び付けるのが比較的容易だったからです。
No.38538 - 2016/08/11(Thu) 15:16:19
☆ Re: / as
わかりました。ありがとうございました。
No.38551 - 2016/08/12(Fri) 08:26:41
★ (No Subject) / 白ごま
高三です。青チャート2の83番の問題なのですが、青線を引いた箇所はなぜそう言えるのですか？
No.38527 - 2016/08/11(Thu) 12:25:29
☆ Re: / X
∠A＜90°かつ∠C＜90°であることから
点A,B,Cのx座標について
-2c＜2a＜2c (A)
となることはよろしいですか？
(aの値を変えるイメージでAの位置を左右に動かして
考えてみましょう。)
(A)より
-c＜a＜c
∴少なくとも
a≠cかつa≠-c
です。

ちなみに
a=cのときAC⊥BC
a=-cのときAB⊥BC
となります。(このときの図を描いてみましょう。)

何故、青線部の記述が必要になるのかは
添付した写真の赤枠で囲った部分の
すぐ下の記述を参照して下さい。
No.38531 - 2016/08/11(Thu) 14:17:39
★ (No Subject) / ケーキ
先程、投稿した回答です。
絶対値を外してFxを求めるところまでは理解できたのですが、グラフを使ってKの値の範囲を求める過程が分かりません。
分かる方、教えてください。よろしくお願いします。
No.38515 - 2016/08/11(Thu) 00:48:37
☆ Re: / X
f(x)=kxの解の個数が
y=f(x)
y=kx
のグラフの交点のx座標の個数であることはよろしいですか？

ここでy=f(x)のグラフの
x≦1の部分をp
1≦x≦6の部分をq
6≦xの部分をr
として
(i)直線y=kxがpのみと交点を持つとき
(ii)直線y=kxがqのみと交点を持つとき
(iii)直線y=kxがrのみと交点を持つとき
と場合分けをして、kの値の範囲を求める
ことを考えましょう。
No.38521 - 2016/08/11(Thu) 07:48:40
☆ Re: / ケーキ
返信ありがとうございます。
どういう風に考えるのかは理解できました。しかし、式を立て方が分かりません。
教えてください。よろしくお願いします。
No.38522 - 2016/08/11(Thu) 09:48:01
☆ Re: / 黄桃
わからない時は具体的な場合にあてはめて実験しましょう。
自分の頭で考えないといつまでたっても身につきません。

具体的な場合で実験、とは、
k=-10,-2, 0, 1, 2, 5, 10
などの場合に、y=kx のグラフを描いてy=f(x)との交点がどうなるか求めてみることです。

＃慣れてくれば、頭の中で実験できるようになります。

実験結果を踏まえて、どんなkの値だと交点がただ１つになるか、考えながら、もう一度解答を見てみましょう。
No.38525 - 2016/08/11(Thu) 11:53:49
☆ Re: / ケーキ
返信ありがとうございます。
ということは、式を立てるのではなく実験をしてKの値を求めるということですか？
No.38528 - 2016/08/11(Thu) 12:39:05
☆ Re: / 黄桃
>式を立てるのではなく実験をしてKの値を求めるということですか？

実験しましたか？
実験すれば、解答の「グラフより」という意味がわかるはずです。
その意味がわかると式が立ちます、というより、k<-2 や k=5/6 がどのような計算で出てきたかがわかります。

その意味もわからず人に式を教わって答を出しても、問題が変わると解けなくなるでしょう。

＃できる人は頭の中で素早く実験し、場合分けをして（ここまで頭の中）、
＃それから計算（式を立てること；ここは人に見える）をします。
＃人に見える部分だけを真似したいというのは、
＃練習せずに試合で勝ちたいというのと同じくらい無理です。
No.38533 - 2016/08/11(Thu) 14:29:57
★ 数列 / tku
↓の質問の問題です。一応載せておきます。
No.38514 - 2016/08/11(Thu) 00:42:15
★ 数列 / tku
蛍光ペンを引いてあるところの式変形が理解できません。
どうしてこうなるのか、教えてください。お願いします。
No.38513 - 2016/08/11(Thu) 00:41:14
☆ Re: 数列 / IT
右辺の　Σ[k=1..n](a[2k-1]+a[2k])は
kが1からnまでの自然数の値をとるとき
　2k-1 は 1から2n-1までのすべての奇数の値をとります。
　2kは、2から2nまでのすべての偶数の値をとります。
したがってΣ[k=1..n](a[2k-1]+a[2k])＝a[1]+a[2]+a[3]+...+a[2n-1]+a[2n]となります。

納得できなければ、具体的にn=2,3 のときについて、Σを書き下して（Σを使わず和を書いて）考えてみてください。
No.38516 - 2016/08/11(Thu) 01:04:29
☆ Re: 数列 / tku
理解できました！
わかりやすい説明ありがとうございましたm(_ _)m
No.38519 - 2016/08/11(Thu) 06:50:11
★ (No Subject) / ケーキ
関数F(x)＝/x−1/＋/x−6/

方程式F(x)＝Kxがちょうど１つの解をもつとき、Kとりうる値の範囲を求めなさい。

/ /の中は絶対値です

教えてください、お願いします。
No.38512 - 2016/08/11(Thu) 00:41:08
★ 面積 / るり
xyz空間において、円柱面C={(x,y,z)│x2+y2=1}をを考える。C上の点A(1,0,0)を中心とする半径2の球面Sとする。Sの内部にあるCの部分の面積を求めよ。

ヒントにSとCの交線上の点P(x,y,z)とQ(x,y,0)に対して、∠AOQ=θとして、zをθの関数として表すとよい、とあるんですが、z=±2cosθ/2となるとおもいますが、ヒントの活用方法が全然わからないです。そもそも求める図形自体がイメージできないです。
どんな図形ができてどうやって解いたらよいのか、教えてください。よろしくお願いします。
No.38509 - 2016/08/10(Wed) 22:36:41
☆ Re: 面積 / IT
円柱を展開すると横がθで縦がｚの平面図形になります。
展開して該当図形の面積を求めれば良いのでは

求める面積＝2∫[0..π]|4cos(θ/2)|dθ　になると思います。

どんな図形になるかは,
z=2cos(θ/2),(θ=-πからπ)のcosカーブを円柱に巻きつけて考えるか
x=1,1/2,0,-1 など　いくつかの点をプロットして側面図などを考えるしかないのでは。
No.38510 - 2016/08/10(Wed) 23:45:35
☆ Re: 面積 / るり
返信ありがとうございます。展開図とは思いつきませんでした。方針はよくわかりましが、積分区間はどのように見つけるのでしょうか。0≦θ≦πになる理由がよくわからないです。
No.38517 - 2016/08/11(Thu) 02:42:56
☆ Re: 面積 / IT
0≦θ≦2π で　積分してもいいです。 z=2cos(θ/2) の正負に留意します。

上記では
ｙ≧0（0≦θ≦π）部分と　ｙ≦0（-π≦θ≦0）部分は　ｘ-z 平面に関して面対称なので
ｙ≧0（0≦θ≦π）部分だけ求積して、２倍しました。
No.38518 - 2016/08/11(Thu) 03:10:16
★ (No Subject) / 塾なし受験生　中三
合同証明のときに、∠a=∠a'…?@　∠b=∠b’…?A　が分かっていて∠c=∠c’を言いたいとき、根拠は『?@、?Aより』で
いですか。　
No.38508 - 2016/08/10(Wed) 22:36:00
☆ Re: / X
それで問題ありません。
No.38520 - 2016/08/11(Thu) 07:43:25
★ (No Subject) / 塾なし受験生　中三
図の△ADEと△BCEの相似をするときとかに、　『孤ABに対する円周角は等しいから』の次に　『∠ADE＝∠BCE』　の前に『∠ADB＝∠BCA　よって』という言葉を入れないと減点されますか。
No.38504 - 2016/08/10(Wed) 16:04:44
☆ Re: / ヨッシー
点ＥがＡＣとＢＤの交点であることが明らかであれば、書かなくても大丈夫です。
No.38505 - 2016/08/10(Wed) 16:16:07
☆ Re: / 塾なし受験生　中三
解説に書いてあることがよくあったので迷ってました。ありがとうございます。
No.38506 - 2016/08/10(Wed) 16:40:33
★ (No Subject) / as
3の(5)を因数分解するやり方が分かりません。
教えてください。お願いします。
No.38502 - 2016/08/10(Wed) 10:23:57
☆ Re: 因数分解 / angel
yの含まれる項とそれ以外を分けてみては。

x^3+x^2y-x^2-y
= (x^3-x^2)+y(x^2-1)
No.38503 - 2016/08/10(Wed) 11:23:41
☆ Re: / as
解けました‼ありがとうございます！
No.38523 - 2016/08/11(Thu) 10:09:22
★ (No Subject) / judicious
Σ(k=1~∞）(sin(kπ/2))/(3^k)を求めよ、を教えてください。

よろしくおねがいします
No.38498 - 2016/08/09(Tue) 21:36:42
☆ Re: / IT
k=1,2,3,4,5,6,7,8,のときの　sin(kπ/2)を調べると,　等比級数に帰着出来ると思います。

複素数を使ってよければ、

z=(1/3)(cos(π/2)+isin(π/2))=i/3 とおくと
ド・モアブルの定理により
z^k=(1/3^k)(cos(kπ/2)+isin(kπ/2)) なので
Σ(k=1~n）(sin(kπ/2))/(3^k)はΣ(k=1~n）z^k の虚部　として求められます。
No.38500 - 2016/08/09(Tue) 23:00:40
☆ Re: / judicious
回答ありがとうございます。

sin(kπ/2)の部分は周期を４として繰り返しますが、、、
Σ(k=1~∞）は部分和を出して極限をとったもののはずですが、この場合ｎによってどの値で終わるかで、部分和の値が変わると思うのですが、なりますが、この場合具体的にはどうやったらよいのでしょうか？

よろしくおねがいします
No.38524 - 2016/08/11(Thu) 11:46:41
☆ Re: / IT
k=1からn までの部分和は、nが大きくなると４つの違いは小さくなりいくらでも０に近づき、一つの値に収束します。

挟み撃ちで、小さいほうと大きいほうで挟むといいです。

まず、n=4m+1の場合
　k=1からn までの部分和を求めてみてください。
No.38529 - 2016/08/11(Thu) 14:01:03
★ (No Subject) / 塾なし受験生　中三
解説の途中でわからないところがありました。
a,b,cを通る円の半径を求める問題で、『∠cba+∠adc=180°よってdはa,b,cを通る円の周上にある』こうなる理由を教えてください
No.38492 - 2016/08/09(Tue) 17:52:42
☆ Re: / 塾なし受験生　中三
件名付け忘れました。「中学　図形」です
No.38493 - 2016/08/09(Tue) 18:00:36
☆ Re: / ヨッシー
まずは、教科書の「円に内接する四角形」に関するところを見て下さい。
円周角に続く単元にあるはずです。
No.38494 - 2016/08/09(Tue) 18:01:03
☆ Re: / 塾なし受験生　中三
教科書には載っていませんでしたが（見落としたのかもしれませんが）、そのワードで検索したら見つかりました。ありがとうございます。
No.38495 - 2016/08/09(Tue) 18:15:47
★ 平面図形 / ポップコーン
問題「下の図は長方形ABCDを直線ｌ上で回転移動させて、長方形A'B'C'D'に移動させたところを示している。点Aはどのような線を描くかコンパスを使って書きなさい。」です。

まず、問題の意味が全くわかりません(>_<)

解答を↓に載せます！！


わかりやすい解説おねがいします！！
No.38490 - 2016/08/09(Tue) 17:43:54
☆ Re: 平面図形 / ポップコーン
解答です！！
No.38491 - 2016/08/09(Tue) 17:45:26
☆ Re: 平面図形 / mo
長方形ＡＢＣＤの大きさに合わせて紙を切り
回転させてみてください。

一目瞭然だと思います。
No.38501 - 2016/08/09(Tue) 23:54:41
☆ Re: 平面図形 / IT
mo さんのアドバイスと同じことですが

四角い消しゴムを　机の上で　立てて、右側に倒して、右側に起こしてみてください。
No.38507 - 2016/08/10(Wed) 20:52:26
☆ Re: 平面図形 / ポップコーン
わかりやすい解説ありがとうございました！！
No.38511 - 2016/08/10(Wed) 23:46:05
★ 確率 / 塾なし受験生
『大小２つのさいころをふって、大きい方の目をa、小さい方の目をbとする。確率が1/12となる式をaとbを使って答えなさい。』という問題で、解答例はa+b=4、解説には１／１２＝３／３６だから3つ当てはまる式を書けば良いというようにかいてありました。ですが、そんな式が簡単に見つかるとは思いません。いちいち確かめるのも時間がかかると思います。そこで、aとbを使って、確率が1/12になる式を素早く見つける方法を教えてください。
No.38489 - 2016/08/09(Tue) 17:34:50
☆ Re: 確率 / angel
そんな方法などありはしないと思いますが…。

ただ、普段から ( グラフ等 ) 図形的なイメージと式を結び付けて考えることができるか、それは大事だと思います。

一番分かり易いのは1次関数、これは図形的には直線になるわけですから、6×6のマス目でa,bの状況を表してあげれば、どれくらいのマスがその式に当てはまるかは、イメージできるわけです。で、直線の通る位置が悪ければ、当てはまるマスが多かったり少なかったり。丁度いいのは端から見て3つ目のマスを通るところ、という具合にアタリをつけていく感じです。

まあ、色々な式が該当しますので、コレじゃなきゃいけないということはありませんが。
No.38496 - 2016/08/09(Tue) 18:19:59
☆ Re: 確率 / 塾なし受験生　中三
そういう考え方があるんですね。勉強になりました。
No.38497 - 2016/08/09(Tue) 18:46:59
★ (No Subject) / とむ 高1
課題1がどのようにして解いたらいいのか全く分かりません。
No.38481 - 2016/08/09(Tue) 10:47:45
☆ Re: / ヨッシー
元の長方形の辺の比（短辺：長辺）は　１：ｘ　です。
正方形を切り取った後の長方形の辺の比はいくらになりますか？
　
No.38483 - 2016/08/09(Tue) 11:09:03
☆ Re: / とむ 高1
元の長方形とは相似なので（短辺:長辺） 1 : x になると思います。
No.38484 - 2016/08/09(Tue) 11:24:04
☆ Re: / ヨッシー
もちろんそうなのですが、
　元の長方形の比　ａ：ｂ
　切ったあとの長方形の比　ｃ：ｄ
両者は相似なので、
　ａ：ｂ＝ｃ：ｄ
と持って行きたいわけです。

切り取ったあとの長方形の比を、「切り取った」ことを
意識して考えると、いくらになりますか？
No.38485 - 2016/08/09(Tue) 13:08:03
☆ Re: / とむ 高1
えっと、
これで大丈夫でしょうか？
No.38486 - 2016/08/09(Tue) 14:30:42
☆ Re: / ヨッシー
そういうことですね。

ｘ^2−ｘ−１＝０　の解が「黄金比」と呼ばれるものです。
No.38487 - 2016/08/09(Tue) 16:09:30
☆ Re: / とむ 高1
ありがとうございましたm(_ _)m
No.38488 - 2016/08/09(Tue) 17:08:15
★ 微分の範囲の証明です / 高校3年数3です
添付してあるファイルの証明がわかりません。
(1)のア、イ、までは分かったのですが、ウがわかりません。
(2)は、まず初めに(1)をどうやって、利用するのか、その後はどうすればいいのかすらわかりません。質問数が多くて本当にすいません
No.38472 - 2016/08/08(Mon) 18:46:50
☆ Re: 微分の範囲の証明です / X
(1)
(ウ)
証明すべき不等式を(A)とします。
(i)n=1のとき
(ア)の結果により(A)は成立。
(ii)n=lのとき(A)の成立を仮定します。
つまり
x＞0 (B)
のとき
e^x＞1+Σ[k=1〜l](x^k)/k! (C)
ここで
f(x)=e^x-{1+Σ[k=1〜l+1](x^k)/k!}
と置くと
f'(x)=e^x-{1+Σ[k=1〜l](x^k)/k!}
∴(C)により(B)において
f'(x)＞0
となるのでf(x)は(B)において単調増加。
このことと
f(0)=0
により(B)において
f(x)＞0
∴(A)はn=l+1のときも成立。
No.38473 - 2016/08/08(Mon) 19:14:42
☆ Re: 微分の範囲の証明です / 高校3年数3です

f(x)=e^x-{1+Σ[k=1〜l+1](x^k)/k!}
↑のように置いたのは、なぜですか？
f'(x)=e^x-{1+Σ[k=1〜l](x^k)/k!}
↑は1を表していますか？
No.38475 - 2016/08/08(Mon) 20:17:42
☆ Re: 微分の範囲の証明です / 高校3年数3です
>
> f(x)=e^x-{1+Σ[k=1〜l+1](x^k)/k!}
> ↑のように置いたのは、なぜですか？


一つ上の返信間違っていましたすいません。
No.38476 - 2016/08/08(Mon) 20:23:20
☆ Re: 微分の範囲の証明です / X
＞＞f'(x)=e^x-{1+Σ[k=1〜l](x^k)/k!}
＞＞↑は1を表していますか？
1ではありません。
' は「ダッシュ」です。
No.38477 - 2016/08/08(Mon) 20:28:38
☆ Re: 微分の範囲の証明です / 高校3年数3です
すいません。ありがとうございます。
(2)はどうすればいいですか？

考え方だけでも教えてください！お願いします。
No.38478 - 2016/08/08(Mon) 21:31:31
☆ Re: 微分の範囲の証明です / X
(2)
証明すべき等式を順に(A)(B)(C)とします。
(I)(A)の証明
(1)(ウ)の結果により
n≧m+1なるnに対し
e^x＞1+Σ[k=1〜n](x^k)/k!＞{x^(m+1)}/(m+1)!
∴0＜1/e^x＜(m+1)!/{x^(m+1)}
0＜(x^m)/e^x＜(m+1)!/x
よってはさみうちの原理により(A)は成立します。
(II)(B)の証明
x^(1/m)=e^t
と置くと
((B)の左辺)=lim[t→∞]{log(e^(mt))}/e^t
=lim[t→∞](mt)/e^t
∴(A)により(B)は成立します。
(III)(C)の証明
(C)の左辺において
x=1/t^(1/m)
と置いて(B)を使います。
No.38480 - 2016/08/08(Mon) 21:59:16
★ 微積 / める 浪人生
解答解説お願いします。よく分かりません。
No.38471 - 2016/08/08(Mon) 17:37:29
☆ Re: 微積 / X
sinx=t (A)
と置くと
-π≦x≦π/2 (B)
は
-1≦t≦1 (B)'
で問題の方程式は
t^3+3a(1-t^2)+a=0
整理して
a=(t^3)/(3t^2-4)
そこで
f(t)=(t^3)/(3t^2-4)
と置き、(B)'の範囲でf(t)の
増減表を書くことにより
横軸にtを取った
y=f(t)
のグラフと
直線t=a
との交点の個数をaの値について
場合分けして求めます。

ここまではこの手の問題の一般的な方針なので
比較的理解しやすいのですが、問題になるのは
(B)におけるxとtの対応関係です。

0≦x≦π/2のとき0≦t≦1 (P)
が対応しますが、このときは
tの値一つに対して
xの値が一つ対応します。
しかし
-π≦x≦0のとき、
つまり
-1≦t≦0 (Q)
が対応するときの場合は
tの値一つに対して
xの値が二つ対応します。
ですので上記の交点が
(P)の範囲にK[個]
(Q)の範囲にL[個]
ある場合、求める解の個数は
K+2L[個]
となります。

もし、解説が上記と似た方針を使っているのであれば
このことを踏まえた上でもう一度解説をご覧ください。
No.38474 - 2016/08/08(Mon) 20:04:30
★ 数列 / 高2
(1)の計算式を教えてください...
1〜n+1の和から1〜nの和を引けば良いのでしょうが、左辺のkがどう作用するのか分からずじまいです
No.38468 - 2016/08/08(Mon) 00:31:20
☆ Re: 数列 / X
Σ[k=1〜n]a[k]/k=n(n+3)/4 (A)
とします。
(A)よりn≧2のとき
Σ[k=1〜n-1]a[k]/k=(n-1)(n+2)/4 (B)
(A)-B)より
a[n]/n=n(n+3)/4-(n-1)(n+2)/4
整理して
a[n]=(1/2)n(n+1) (C)
ここで(A)においてn=1のとき
a[1]=1
となるので(C)はn=1のときも成立。
よって
a[n]=(1/2)n(n+1)
No.38469 - 2016/08/08(Mon) 06:19:03
★ 不等式　高校数学 / 山田
aを定数とする。２つのxについての二次不等式
x^2-3x-4≦0・・・?@
x^2＋ax＋a＋1>0・・・?A
について?@が成り立つなら?Aが成り立つような、aの値の範囲を求めよ。

答え、２−２√２＜a
わかりづらくてすいません。
解き方を教えてください
No.38467 - 2016/08/07(Sun) 23:27:13
☆ Re: 不等式　高校数学 / ヨッシー
(2) よりも (1) の方が重要ですが、(1) の答えはどうなりましたか？
No.38470 - 2016/08/08(Mon) 09:13:09
★ 中三　図形　 / 塾なし受験生
この問題で、△DGH=△DFC＊GD/FD＊HD/CD
No.38463 - 2016/08/07(Sun) 20:57:04
☆ Re: 中三　図形　 / 塾なし受験生
この問題で、△DGH=△DFC＊GD/FD＊HD/CDとなる理由の解説をお願いします
No.38464 - 2016/08/07(Sun) 20:58:43
☆ Re: 中三　図形　 / X
△DGHにおいてDHを底辺とみることにより
△DGH=△CDG×(DH/CD) (A)
次に△CDGにおいてDGを底辺とみることにより
△CDG=△DFC×(DG/DF) (B)
(A)(B)より
△DGH={△DFC×(DG/DF)}×(DH/CD)
となります。
No.38465 - 2016/08/07(Sun) 23:13:54
☆ Re: 中三　図形　 / 塾なし受験生
おお！なるほど！ありがとうございます！
No.38479 - 2016/08/08(Mon) 21:34:25
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