ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 二次関数

(2) (3) のやり方がわかりません

No.37820 - 2016/07/04(Mon) 22:16:47

☆ Re: / X

(2)
前半)
(1)の結果より
a=-1-√3＜0
b=(1-√3)/2＜0
∴
x=|a|=-a=1+√3
y=|b|=-b=(-1+√3)/2

後半)
前半の結果を問題の式に代入するわけですが
直接代入すると計算が煩雑です。そこで
x^2+2xy+4y^2=(x+2y)^2-x・(2y)
と変形したうえで代入しましょう。

(3)
問題の式の第一項、第二項を通分して整理すると
{√x+√(2y)}/{√x-√(2y)}+{√x-√(2y)}/{√x+√(2y)}
=[{√x+√(2y)}^2+[{√x-√(2y)}^2]/[{√x-√(2y)}{√x+√(2y)}]
=2(x+2y)/(x-2y) (A)
(A)に(2)の前半の結果を代入しても計算できますが
ここではそれを使わない方針で計算してみます。
(2)の前半の過程から
(x,y)=(-a,-b)
∴(a,b)=(-x,-y)
これを、条件式である。
x+2y=-2√3
x-2y=-2
に代入すると
-a-2b=-2√3
-a+2b=-2
∴
a+2b=2√3
a-2b=2
これらを(A)に代入して
{√x+√(2y)}/{√x-√(2y)}+{√x-√(2y)}/{√x+√(2y)}
=2√3
となります。

No.37822 - 2016/07/05(Tue) 06:18:00

★ 数的推理問題？ / アイリ

立て続けにすみませんが、こちらも教えて頂けますでしょうか？

問
スキーゲレンデに750人の客がいる。一人乗りのリフトが8m間隔で1200mを上っている。
今、リフト速度が4m/sで乗り場には200人が待つ列がある。

待っている人数を半数にするには、リフト速度を何m/sにすれば良いか？

No.37816 - 2016/07/04(Mon) 15:43:49

☆ Re: 数的推理問題？ / ヨッシー

リフトに乗っている人は、
　1200÷8＝150(人)
です。
並んでる人も、リフトと同じペースで進むので、
最初の状態は、
　4m/s で進む動く歩道に、350人が乗っていて、残り400人は
　動く歩道を降りるとすぐに、一定の速さで、動く歩道外を逆走するとします。
　動く歩道は、(8÷4＝)2 秒ごとに、人が降ります。
　降りてから、400人分進むと、動く歩道のスタート地点（列の最後尾）に着きます。
　その間の時間は 400×2＝800(秒)　です。

待ち行列が 100人になったときの状態は
　ある速さで進む動く歩道に、250人が乗っていて、残り500人は
　動く歩道を降りるとすぐに、一定の速さで、動く歩道外を逆走するとします。
　動く歩道は、一定の間隔で人が降ります。
　降りてから、500人分進むと、動く歩道のスタート地点（列の最後尾）に着きます。
　その間の時間は、やはり 800(秒)　です。

よって、後半の、人の降りる間隔は
　800÷500＝1.6（秒）であり、リフトの速度は
　4×2/1.6＝5(m/s)
となります。

No.37817 - 2016/07/04(Mon) 16:21:24

☆ Re: 数的推理問題？ / アイリ

ヨッシーさん

またしても見事な解答と解説をありがとうございました！

No.37818 - 2016/07/04(Mon) 16:59:19

★ 代数問題？ / アイリ

こんにちは。以下の問題の解き方がどうしても分からず困っています。

　・Xを1~100の実数からランダムに抽出
　・Yを1~200の実数からランダムに抽出
　・Zを1~300の実数からランダムに抽出

ここで、X²+ Y²+ Z²<10,000となることを「OK」とするとき、
X,Y,Zのランダム抽出を1,000回試行したときに「OK」となる期待値は？

また、下記説明書きがあります。
　・球の体積の公式は「 V=4/3πr³ 」
　・この問題がX、Yだけの場合は、1辺が100、もう1辺が200の長方形の中に100の辺に接する形で描かれた半径100の四分円（円の1/4の形）の面積が解答イメージとなる

私のバカな頭でもわかるようにどなたかご説明頂けたら幸いです。

No.37812 - 2016/07/04(Mon) 10:42:03

☆ Re: 代数問題？ / ヨッシー

ＸとＹだけの時は、抽出結果をＸＹ平面上に取ると、その点は
図の長方形状に配置されます。
一方、図の円内にあるときだけ　X^2＋Y^2＜10000 を満たします。
X^2＋Y^2＜10000 を満たす確率を、長方形と円の面積比で表そうと言うのが
上で書かれている「解答イメージ」です。

X,Y,Z だと、ＸＹＺの座標系において、抽出結果は図の直方体状に配置され、
そのうち、球内にあるときは、X^2＋Y^2＋Z^2＜10000 を満たすと考えます。
球（八分球）の体積は　500000π/3、直方体の体積は 6000000
なので、確率は
　5π/180
期待値は、1000を掛けて
　250π/9≒87.26≒87
というのが想定された解答でしょう。

ただし、実際は、ひとつひとつの点は離れていますので、
確率と体積比は、厳密には一致しません。
試しに、正確に数えると、
　100×200×300＝6000000
のXYZの組み合わせのうち、X^2＋Y^2＋Z^2＜10000 を満たすのは
511764 通りで、1000回中の期待値にすると 85.29 とちょっと
誤差が出てしまいます。

問題の流れからして、後者の解き方は求めていないと思われますので、
前者の通りで良いと思います。

No.37813 - 2016/07/04(Mon) 12:37:35

☆ Re: 代数問題？ / アイリ

ヨッシーさん

どうもご丁寧な解説を頂きありがとうございます。
お陰様でスッキリしました。

ありがとうございましたm(_ _"m)

No.37815 - 2016/07/04(Mon) 14:48:59

☆ Re: 代数問題？ / チン

ヨッシーへ
その図はX^ 2+Y^ 2+Z^ 2≦10000の時であって
しかもxが1から100、Yが1から200、Zが1から300なので
Xが100の時、Yが100の時、Zが100のときはX、Y、Zともに≠0より引かなければいけないと思うんですが
そりゃズレるわ

No.37824 - 2016/07/05(Tue) 19:02:13

★ 不定積分 / なにゃら

{e^(-x)｝(sinx)^2の不定積分を求めよ
部分積分を使うと思うのですがなかなかうまくいきません
教えてください

No.37802 - 2016/07/03(Sun) 23:38:06

☆ Re: 不定積分 / らすかる

I=∫e^(-x)cos2xdx とおくと
I=-e^(-x)cos2x-2∫e^(-x)sin2xdx
=-e^(-x)cos2x+2e^(-x)sin2x-4∫e^(-x)cos2xdx
=-e^(-x)cos2x+2e^(-x)sin2x-4I
なので
I=e^(-x)(2sin2x-cos2x)/5+C'
よって
∫e^(-x)(sinx)^2dx=∫e^(-x)(1-cos2x)/2dx
=(1/2)∫e^(-x)-e^(-x)cos2xdx
=(1/2){-e^(-x)-e^(-x)(2sin2x-cos2x)/5}+C
=-e^(-x)(2sin2x-cos2x+5)/10+C

No.37805 - 2016/07/04(Mon) 00:48:43

☆ Re: 不定積分 / なにゃら

なるほど.
先に一部を計算するのですね.
とても参考になりました.
ありがとうございます！

No.37853 - 2016/07/07(Thu) 17:29:08

★ 濃度 / 前進

最後の２の問題ですが確かに答は12％ですが、はじめから何かのバケツにAとBを混ぜるのと、過程を経て、同じになるのに、感覚的に納得できません。例えばAから20g Bから100gでしても最後は同じになるかなどお願いいたします

No.37799 - 2016/07/03(Sun) 22:09:55

☆ Re: 濃度 / 前進

追加です

No.37800 - 2016/07/03(Sun) 22:10:49

☆ Re: 濃度 / ヨッシー

同じ濃度の食塩水を、どんな割合で混ぜても、濃度は同じである。
ということが理解できれば、過程に関係なく、全部の食塩水を混ぜたときの濃度を求めればよいと分かると思います。

全体の食塩水は増えも減りもしていないので。

No.37810 - 2016/07/04(Mon) 07:16:46

☆ Re: 濃度 / 前進

合点しました。ありがとうございました。

No.37828 - 2016/07/06(Wed) 00:54:23

★ (No Subject) / 遠野

直前に関して対称な点の求め方が分かりません
例)直線a(x+y+1=0)に関して(3.2)と対称な点Bの座標を求めよ

No.37798 - 2016/07/03(Sun) 22:07:09

☆ Re: / なにゃら

求める点をB(a,b)とおきます.そしてA(3,2)とおく.
条件はABの傾きが直線の傾きと直交こととABの中点が直線上にあることです.
この２つの条件からa,bの値を求めましょう.

No.37803 - 2016/07/03(Sun) 23:40:59

☆ Re: / なにゃら

直交ことと→直交することですね

No.37804 - 2016/07/03(Sun) 23:41:50

★ (No Subject) / 二次関数

なぜ、(線を引いてるところのようになるの)ですか？
fx＝･･･のところです。最初の一行目です

No.37789 - 2016/07/03(Sun) 09:48:12

☆ Re: / X

これは問題文に誤植がある
(f(x)の定数項が、模範解答とは異なり-a^2-6aになってしまっている)
のもそうですが、問題文の書き方と、模範解答の
一行目(二次関数さんが線を引かれた箇所を含む)
の書き方とでずれがありますね。
(問題文で既にf(x)が定義されているのに、
模範解答では
>>f(x)～とおくと
と書かれています)
もし、模範解答の書き方に合わせるのであれば、
問題文の
>>f(x)=-x^2+2ax-a^2-6a
は例えば
y=-x^2+2ax+a^2-6a
と書かれるべきでしょう。

問題文の通り模範解答の一行目のf(x)の
定数項を修正すると、その後の解答も
あちこち修正しなければならず、かえって
見難くなります。
ここは問題文の
>>f(x)=-x^2+2ax-a^2-6a
y=-x^2+2ax+a^2-6a
と修正した上で模範解答を参照しましょう。

No.37790 - 2016/07/03(Sun) 10:25:17

☆ Re: / X

しかし、誤植だけならいざ知らず、問題文に対する
書き方がおかしい模範解答とは珍しいですね。

No.37791 - 2016/07/03(Sun) 10:33:47

★ (No Subject) / 前進

問題点です。

No.37784 - 2016/07/03(Sun) 00:44:36

☆ Re: 間違えました。申し訳ありません / 前進

続きです。

No.37785 - 2016/07/03(Sun) 00:45:44

☆ Re: / X

図の下側の分割している立体の内、大きい方をA,小さい方
をBとします。
これらと合同な立体をひとつづつ用意し、それらを順に
A',B'とするとA',B'をくっつけたものは、問題の体積を
求めたい立体と合同になります。

また、Aの凹みにB'を、A'の凹みにBをそれぞれ
くっつけると、いずれも図の下側の分割して
くっつけてできる円柱と合同になります、

従って図の上側のように問題の立体を、もう一つ
用意して互い違いにくっつけると円柱となります。

No.37786 - 2016/07/03(Sun) 06:33:03

☆ Re: / X

もう少し見方を変えて。
BとB'をA,A'との切断面が重なるように
くっつけてみましょう。
その上で、問題の立体の中心軸を回転軸
としてB'をBに対して180°回転移動
します。

No.37788 - 2016/07/03(Sun) 07:34:28

★ 三角形の合同について / 合同

二つの三角形ABC(BC>AB)とA'B'C'においてAB=A'B'かつBC=B'C'かつ角A=角A'ならばABCとA'B'C'は合同であるということはできますか？
反例を見つけることができません。

No.37777 - 2016/07/02(Sat) 21:36:55

☆ Re: 三角形の合同について / IT

正しいですね。他に簡単な証明があるかもしれませんが、

（証明）
△ABCと△A'B'C'をAとA'、BとB'、角Aと角A'が一致するように重ねると
C'は半直線AC上になる。

直線AC上の点PでBP＝BCとなる点は、高々2つしかない。

BA＜BCなので、点PをAからCの反対側に動かしていくと、BPはBAから連続的に変化し、
いくらでも大きくなり得るのでBP=BCとなる点がある。

よって半直線AC上でBP=BCとなる点PはCのみである。

仮定よりB'C'＝BC'＝BCなので,C'＝C である。

したがって△ABCと△A'B'C'は合同である。

No.37778 - 2016/07/02(Sat) 22:35:16

☆ Re: 三角形の合同について / らすかる

別解
BC=B'C'かつ∠A=∠A'なので、△ABCと△A'B'C'の外接円の大きさは等しい。
同一外接円上にB=B',C=C'となるように二つの三角形を描く。
BC＞AB,B'C'＞A'B'から∠C,∠C'は鋭角なので、A,A'の位置は一つに決まり、
AとA'は一致する。よって合同。

正弦定理を使って良ければより簡単になりますね。
BC＞AB,B'C'＞A'B'から∠C,∠C'は鋭角で、正弦定理から
sin∠C=ABsin∠A/BC=A'B'sin∠A'/B'C'=sin∠C'なので∠C=∠C'
よって全部の角が等しく少なくとも一辺が等しいので合同。

No.37780 - 2016/07/02(Sat) 23:26:23

☆ Re: 三角形の合同について / 合同

納得できました！
本当にありがとうございました。

No.37782 - 2016/07/03(Sun) 00:42:04

★ 十分必要条件 / 前進

二番の問題ですが必要十分条件ではないでしょうか？

No.37755 - 2016/07/01(Fri) 21:15:45

☆ Re: 十分必要条件 / 前進

正方形に長方形を含めると思います。

No.37756 - 2016/07/01(Fri) 21:16:58

☆ Re: 十分必要条件 / 前進

対辺の長さは等しいです。かつすべて90°

No.37758 - 2016/07/01(Fri) 21:20:10

☆ Re: 十分必要条件 / X

正方形は長方形の特別な場合になりますが
長方形は正方形の特別な場合ではありません。
従って
p⇒qは真
ですが
q⇒pは偽
です。

No.37760 - 2016/07/01(Fri) 22:01:08

☆ Re: 十分必要条件 / 前進

ありがとうございました。納得しました

No.37762 - 2016/07/01(Fri) 22:27:02

★ 優関数を用いた広義積分の収束発散判定 / なにゃら

問.∫(-∞→∞)dx/√(x^4+1)の広義積分の収束,発散を調べよ

(解答)1/√(x^4+1)≦1/x^2 (x≦-1,1≦x)であり
　　　∫(-∞→-1)dx/x^2=1,∫(1→∞)dx/x^2=1となる
　　　1/√(x^4+1)は[∞,-1),[-1,1],[1,∞)で連続なので
　　　無限広義積分∫(-∞→∞)dx/√(x^4+1)は収束する.

この回答の1行目の(x≦-1,1≦x)はどうしてこのようなxの範囲なのですか？
xがどんな値をとろうとその不等式は成り立ちますのに...

No.37754 - 2016/07/01(Fri) 20:59:58

☆ Re: 優関数を用いた広義積分の収束発散判定 / X

単に取りやすい値だからです。

x≠0であれば
1/√(x^4+1)≦1/x^2
は成立しますので、後は積分範囲を
x≦a,a≦x≦b,b≦x
と分けて
a≦x≦b
にのみx=0が含まれるようにa,bを適当に選べば
この命題の証明はできます。

No.37759 - 2016/07/01(Fri) 21:57:03

☆ Re: 優関数を用いた広義積分の収束発散判定 / なにゃら

なるほど！そういうことでしたか
ありがとうございます

No.37764 - 2016/07/02(Sat) 00:05:12

★ 読点(、)とコ(カ)ンマ(,)の違い / 前進

小数点や座標はどちらでしょうか？集合もです。
例えばx(2？5)とかです。宜しくお願い致します

No.37751 - 2016/07/01(Fri) 19:17:38

☆ Re: 読点(、)とコ(カ)ンマ(,)の違い / ヨッシー

英語系のタイプには読点はなくコンマだけなので、コンマと思っておいて問題はないと思います。
一方、読点にしたから（あるいはコンマにしたから）不正解にされた、という話は聞きません。
気にするほどのことはないと思います。

No.37811 - 2016/07/04(Mon) 10:06:02