ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 積分 / 備前国は岡山

「異なる三角関数の積を一周期にわたって積分すると０になる」とあったのですが、どういう意味か分かりません。異なる三角関数であれば周期もそれぞれ違うわけで...さらに、sinxの周期は最小では2πですが4πとする見方もあるわけで...

たとえば
∫(a～ｂ）sinmxsinnxdx=0(ｍ≠ｎの「実数」）でｂーaが2πの整数倍なら値が０になると考えてよいのでしょうか？

No.38378 - 2016/08/04(Thu) 02:44:55

☆ Re: 積分 / X

>>たとえば～
その通りです。
疑問であるのなら
b=a+2nπ(nは整数)
と置いて、実際に積分を計算してみましょう。

>>さらに、sinxの周期～あるわけで...
周期関数の周期の定義を間違えています。
周期関数の周期とは、任意の実数xに対し
f(x+T)=f(x)
となるような定数Tの内、
正の「最小値」
であるものを言います。

No.38379 - 2016/08/04(Thu) 04:55:13

☆ Re: 積分 / 備前国は岡山

ありがとうございます。確認ですが
∫(-π/4～７π/4)sin（（√３/2）x）sin（（√７/2）x）dx
でも０になるということでよいのでしょうか？

No.38398 - 2016/08/04(Thu) 21:02:07

☆ Re: 積分 / らすかる

sin((√3/2)x)やsin((√7/2)x)は周期が2πではありませんので、
0にはなりません。

No.38409 - 2016/08/05(Fri) 09:42:35

☆ Re: 積分 / X

＞＞備前国は岡山さんへ
ごめんなさい。
＞＞∫(a～ｂ）sinmxsinnxdx
に対して、m,nが整数であると思い込んでいました。
m,nが整数でない実数の場合はb-aが2πの整数倍で
あっても
＞＞∫(a～ｂ）sinmxsinnxdx=0(ｍ≠ｎの「実数」）
は成立しません。

No.38426 - 2016/08/05(Fri) 19:38:13

☆ Re: 積分 / 備前国は岡山

Xさん　ありがとうございます、わかりました。実際に計算してみたら整数でないと確かに、という感じでした。

らすかるさん
それぞれの三角関数の周期が２πでないので、という理由は違うのでは...
積分区間6πで∫sin2xsin3xｄｘも
sin2x,sin3xの周期は2πの1/2,1/3で2πとは異なりますが０になります

No.38438 - 2016/08/06(Sat) 20:41:37

☆ Re: 積分 / らすかる

> それぞれの三角関数の周期が２πでないので、という理由は違うのでは...

周期が2πの1/2や1/3のとき、2πという周期も持っています。
「周期が2πではありませんので」というのは
「2πという周期を持ちませんので」という意味、すなわち
「最短周期が2πの自然数分の1ではありませんので」という意味で書いています。

No.38441 - 2016/08/06(Sat) 21:04:12

☆ Re: 積分 / 備前国は岡山

回答ありがとうございます、納得できました。

理解が深まりました、ありがとうございました。

No.38444 - 2016/08/06(Sat) 22:04:33

★ これって、参考書まちがってますよね？ / びびび

いつもお世話になってます

この問題なんですが、与えられている答えが、
12π
なんですが、

何回計算しても
ー１２π
になります。

これは、－１２πですよね？
周りの友達も全員－１２πになるので、与えられた答えのミスプリだと思って大丈夫でしょうか？

No.38371 - 2016/08/03(Wed) 11:11:17

☆ Re: これって、参考書まちがってますよね？ / びびび

僕のやった計算です

No.38372 - 2016/08/03(Wed) 11:15:43

☆ Re: これって、参考書まちがってますよね？ / びびび

解けたのでやっぱだいじょうぶです

No.38375 - 2016/08/03(Wed) 17:22:34

★ (No Subject) / 荒ぶる九州男児

こんばんは。この問題ご教授下さい。

No.38358 - 2016/08/02(Tue) 20:16:58

☆ Re: / 荒ぶる九州男児

17番です。

No.38359 - 2016/08/02(Tue) 20:23:43

☆ Re: / ヨッシー

九州男児で浜学園なんですか？
それはともかく

考え方としては、正六角柱　ABCDEFーPQRSTU から
△ＡＢＣを底面、高さ5cm の三角すいを、下底側から３個、
上底側から３個切り取った立体が、体積を求める立体です。

では、△ＡＣＥ＝3cm^2 に対して、正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積は？
△ＡＢＣの面積は？と考えていけば求められます。

No.38360 - 2016/08/02(Tue) 20:49:04

☆ Re: / 荒ぶる九州男児

分かりました！ありがとうございます。九州に住んでない九州男児でした。

No.38365 - 2016/08/02(Tue) 23:18:00

★ (No Subject) / びびび

No.38344　でも質問させて頂いた問題ですが、例題をあさっていた所、答えにたどり着くことができました！与えられた解答とも一致しました。

ただ、どうしても一個わからない部分があり、質問させて頂きたく思います。

添付画像にもある通り
c:|z+2|=1 では、(z-1)^2の項が分子に書き直されており、
c:|z-i|=2では、(z+2)の項が分子に書き直されています。

この判別（Cがこの時は、こっちの項を分子に書き換える、といった判断）というのは、どうやって行っているのでしょうか？

ご教示ください！

No.38353 - 2016/08/02(Tue) 16:48:16

☆ Re: / びびび

問題の原文はこちらです

この問題の(3)です

No.38354 - 2016/08/02(Tue) 16:49:01

☆ Re: / X

コーシーの積分公式
f(a)={1/(2πi)}∫[C]{f(z)/(z-a)}dz
においてf(z)に対する条件は頭に入っていますか？

被積分関数の極の内、Cの内部に存在するのが
どれになるのか考えてみましょう。

No.38361 - 2016/08/02(Tue) 20:55:36

☆ Re: / びびび

なるほど！

つまり、(i)の時、極は-2
|-2+2|=0 なので、範囲(1)の中にある

(ii)の時、極は1
|1-i|は、これまた２以下で範囲内にある

ということですね！

わかりました、どうもありがとうございます。！

> コーシーの積分公式
> f(a)={1/(2πi)}∫[C]{f(z)/(z-a)}dz
> においてf(z)に対する条件は頭に入っていますか？
>
> 被積分関数の極の内、Cの内部に存在するのが
> どれになるのか考えてみましょう。

No.38364 - 2016/08/02(Tue) 22:31:18

★ 平方根（？） / ポップコーン

問題「ｎは１０以下の自然数で、√８ｎはある自然数ｎの二乗のなります。このとき、ｎの値を求めなさい。」

僕は、ｎは８だとかんがえたんですが、おかしいでしょうか？８は１０以下だし、√６４になって８の二乗となります。

ちなみに、解答は２でした。

解説お願いします。

No.38351 - 2016/08/02(Tue) 16:25:33

☆ Re: 平方根（？） / ヨッシー

「√８ｎはある自然数ｎの二乗」の部分には、２つｎがありますね。
この両者は同じ数でないといけません。式で書くと
　√(8n)＝n^2
です。（これよりｎ＝２が得られます）

なお、√64 は８のことなので、８の２乗とはなりません。

No.38352 - 2016/08/02(Tue) 16:47:58

☆ Re: 平方根（？） / ポップコーン

えーっと、この場合、もしｎ＝８だったらどうなりますか？

（ｎは１０以下の自然数という条件を抜いて）

よくわからないのですが・・・。

すみません。(>_<)

No.38355 - 2016/08/02(Tue) 17:45:33

☆ Re: 平方根（？） / ヨッシー

「√８ｎはある自然数ｎの二乗」にならないのでダメです。
ｎ＝８のとき
√８ｎ＝√６４＝８　・・・　これは８^2＝６４ではない

ｎ＝２のとき
√８ｎ＝√１６＝４　・・・　これは２^2＝４と一致する

No.38356 - 2016/08/02(Tue) 18:03:20

☆ Re: 平方根（？） / ポップコーン

あぁ！！！
そういうことですか！

わかりました。８を整数として二乗してしまうと６４になってしまうのでダメですね。

ありがとうございました。

No.38363 - 2016/08/02(Tue) 21:26:35

★ 独立な試行 / L

「4回コインを投げる。
2回目と4回目に表が出る確率を求めよ。」

という問題で、解答は

(1/2)*(1/2)/(1/2)=1/2

となっていますが、
どうしてこの様な式が出て、答えが1/2になるのかがわかりません。

自分は次のように考えました。
すべての場合の数は、表○か裏×の重複順列なので
n^rより
2^4=16

2回目と4回目に○がつけばよいので、
(1回目,2回目,3回目,4回目)とすれば

(×,○,×,○)
(×,○,○,○)
(○,○,×,○)
(○,○,○,○)

の4通りがあるので、

4/16=1/4

ではないのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.38348 - 2016/08/02(Tue) 10:05:50

☆ Re: 独立な試行 / ヨッシー

１回目と３回目は何でも良いので、
　２回目が表の確率１／２
　４回目が表の確率１／２
で、1/2×1/2＝1/4 としても良いです。

問題文はそれで全てですか？
他の解釈のしようがない問題文であれば、解答がおかしいです。

No.38349 - 2016/08/02(Tue) 11:53:24

★ 線積分の計算 / びびび

線積分の計算です

部分積分方を用いて解いてみました。
答えが０になったのですが、与えられた解答は

（3）　i　{2π i }・e^{－2}／3
（3）　ii　{4π i e}／3

とのことでした。
どこでどう間違っているのでしょう。。。。？
解答のみなので答えが違うことしかわからなく質問させてください。。。お願いします

No.38344 - 2016/08/01(Mon) 22:53:38

☆ Re: 線積分の計算 / X

問題文をアップして下さい。
少なくとも問題文がないと、どこまでが
(3)i
でどこからが
(3)ii
なのか分かりません。

No.38346 - 2016/08/02(Tue) 04:42:42

☆ Re: 線積分の計算 / びびび

X さん

失礼いたしました。こちらが問題文です

周回積分の問題だと、部分積分は使えない、ということなのでしょうか？？？

アドバイスをお願い致します

No.38347 - 2016/08/02(Tue) 08:45:57

☆ Re: 線積分の計算 / びびび

考えていたのですが、分母の(z-1)^2 (z+2) ってのを、(z-1)^3 みたいに一つにまとめれれば、公式が使えるのかなーって思いました。

こういうアプローチは正しいでしょうか？

No.38350 - 2016/08/02(Tue) 15:56:49

☆ Re: 線積分の計算 / X

＞＞周回積分の問題だと、部分積分は使えない、ということなのでしょうか？？？
実数のパラメータが一つになるように変換した後でないと
使えません。

No.38362 - 2016/08/02(Tue) 20:58:06

★ 領域を図示せよ / びびび

応用数学３の授業の問題です。

領域D={z: |z-i|<2}

を図示せよ

という問題です。解き方を教えてくださいよろしくお願いします。

No.38337 - 2016/08/01(Mon) 16:56:09

☆ Re: 領域を図示せよ / ヨッシー

ｚ＝ｘ＋ｙｉとおくと、
　|ｚ－ｉ|＝|ｘ＋(ｙ－１)ｉ|＝√{ｘ^2＋(ｙ－１)^2}＜２
より
　ｘ^2＋(ｙ－１)^2＜４
を図示すればいいことになります。
　

No.38339 - 2016/08/01(Mon) 17:15:35

☆ Re: 領域を図示せよ / びびび

ありがとうございます

(0,1)を中心とする、半径4の円を描いて、その円の中を塗ればよい、ということでしょうか？

なんだか頭がこんがらがってきました。。。もし違ったら手書きで結構ですので図にするとどうなるか教えてくれませんか

No.38341 - 2016/08/01(Mon) 18:49:18

☆ Re: 領域を図示せよ / びびび

あ、なんでもないです、わかりました！

(0,1)を中心とする半径２の円で、その内側ですね！

No.38342 - 2016/08/01(Mon) 21:12:42

★ スカラーポテンシャルの求め方 / ジェイソン

スカラーポテンシャルを求める問題です。
(1)の回転は0でしたので、(2)をこのように解きました。

考え方や答えはこれで正しいでしょうか？

No.38334 - 2016/08/01(Mon) 12:29:24

☆ Re: スカラーポテンシャルの求め方 / ペンギン

パッと見ただけですが、考え方は問題ない気がします。
答えが正しいかは、求めた答えのgradを求めてFに戻るかを確認すればいいのではないでしょうか？

No.38340 - 2016/08/01(Mon) 17:16:14

☆ Re: スカラーポテンシャルの求め方 / ジェイソン

そうですね！ありがとうございます！

No.38343 - 2016/08/01(Mon) 22:33:57

★ １次不等式 / ストロベリー／高１

こんばんは。
さっそくですが、

15%の食塩水と7%の食塩水を混ぜて、9%以上10%以下の食塩水を
500g作りたい。15%の食塩水は何g以上何g以下にすればよいか。

という問題の解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

No.38325 - 2016/07/31(Sun) 21:16:25

☆ Re: １次不等式 / X

15%食塩水がx[g]必要だとすると
二種類の食塩水を混ぜてできる
食塩水中の食塩の重さについて
500×9/100≦15x/100+7(500-x)/100≦500×10/100
これをxの不等式として解きます。

No.38326 - 2016/07/31(Sun) 22:02:39

☆ Re: １次不等式 / ストロベリー／高１

こんばんは。
わかりやすい解説ありがとうございました。
大変助かりました。

No.38327 - 2016/07/31(Sun) 23:43:04

★ 二次関数 / 高１

実数x,yにおいて1/{1+x^2+(y-x)^2}≦a/{1+x^2+y^2}が常に成り立つ場合、aの値の範囲を求めよ、という問題が分かりません。

No.38322 - 2016/07/31(Sun) 15:12:10

☆ Re: 二次関数 / X

問題の不等式より
1+x^2+y^2≦a{1+x^2+(y-x)^2}
1+x^2+y^2≦a{1+2x^2-2xy+y^2}
(2a-1)x^2-2axy+(a-1)y^2+a-1≧0 (A)
(i)2a-1=0のとき
(A)は
-xy-(1/2)y^2-1/2≧0
y^2+2xy+1≦0 (A)'
従って、例えばx=0のとき、
(A)'を満たす実数yは存在
しないので不適。
(ii)2a-1≠0のとき
(A)より
(2a-1){x-ay/(2a-1)}^2+{a-1-(a^2)/(2a-1)}y^2+a-1≧0
(2a-1){x-ay/(2a-1)}^2+{(a^2-3a+1)/(2a-1)}y^2+a-1≧0

ここで任意の実数X,Yについて
AX^2+BY^2+C≧0 (P)
(A,B,Cは実数の定数)
が成立するためには
A≧0かつB≧0かつC≧0 (Q)
(∵)
横軸にX,縦軸にYを取った場合の
(P)を満たす領域を図示すると
(Q)以外の場合は、(P)を満たさない
領域が必ず存在することが分かります。

よって題意を満たすためには
2a-1≧0 (B)
(a^2-3a+1)/(2a-1)≧0 (C)
a-1≧0 (D)
(B)(C)(D)と
2a-1≠0
とを連立して解き
(3+√5)/2≦a
となります。

No.38324 - 2016/07/31(Sun) 16:11:27

★ (No Subject) / 濱さん

連続の投稿で申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。

No.38320 - 2016/07/31(Sun) 10:47:03

☆ Re: / 黄桃

最初にはっきり言っておきますが、濱さんの質問は趣旨がわからないものが多いです。
自分がどこがわからないかが説明できないまま質問しているようです。

＃進学校で、ちょっと背伸びしているのではないかと推測します。

(a)質問する前に、何がわからないのかきちんと分析しましょう。
(b)その上でその分析結果を客観的な数学の言葉にしましょう。
(c)その言葉を用いて何が疑問なのかを説明しましょう。
(d)少なくとも(a)-(c)のことをするように努力をしましょう。
ここまでできれば既に質問する必要がない場合も多いでしょう。

＃ついでにいえば、画像では回答者側は再利用できません。
＃同じ数式を打ち込む必要があり、私などでは
＃「質問内容を推測することからして面倒なのに、答をかくのに更に面倒。
＃なにもそこまでして回答しなくてもいいや」と思います。

＃＃もちろん、ヨッシーさんはじめ親切な回答者も多数いますから、
＃＃わからないことを質問することはいいことだと思います。
＃＃早く的確な回答がほしければ、上記(a)-(d)を考慮されるといいのではないかと愚考します。

今回の質問についていえば「独立に動ける」とはどういう意味か、きちんと考えて言葉にしましょう。

元のx,yであっても、別にyはxの関数ではありません。
xを決めるとyの動く範囲が制限される、という意味であれば、
X,YについてもXを決めればYはなんでも自由にとれるわけではありません。
ただ、Yの動く範囲がXの値によらず一定(Xの動く範囲もYによらず一定)というだけのことです。

結局のところ「x,yが独立に動ける」とは、
xy平面上の(x,y)の存在範囲が、xy平面の座標軸に平行な長方形の領域（平面全体やxやy方向に無限に長い場合も含む）の場合
ということではないのですか？

そうであれば、もともとの存在範囲は
xy座標系では45度傾いた正方形領域であり、
XY座標系では（xy座標系を45度傾けて√2倍したものなので）座標軸に平行な長方形（正方形）領域になっている、
というだけのことです。

解法のテクニックとしてはそうなるようにXY座標系を選んだ、ということでしょうか。理由はその方が扱いやすいからでしょう。

＃1次元の場合は x の動く範囲は a≦x≦b のような形でかけますが、
＃2次元の場合、{(x,y)|x^2+y^2≦1} なんてのを考えればわかるように、
＃ (x,y)の存在範囲は必ずしもa≦x≦bかつc≦y≦d というような形ではかけません。

No.38331 - 2016/08/01(Mon) 01:36:30

☆ Re: / 濱さん

ご返信ありがとうございます。

「＃進学校で、ちょっと背伸びしているのではないかと推測します。」⇒そんなつもりは一切ありませんが、そのように感じられる文面でしたら、申し訳ありませんでした。

「上記(a)-(d)を考慮されるといいのではないかと愚考します。」⇒
以後、気をつけます。

ありがとうございました。

No.38336 - 2016/08/01(Mon) 15:32:09

★ 接線線積分の問題について / ジェイソン

この問題の解き方は合っているでしょうか？

No.38312 - 2016/07/30(Sat) 19:34:32

☆ Re: 接線線積分の問題について / ジェイソン

僕の解答です。
やり方が間違っていたら指導よろしくお願いします。

No.38313 - 2016/07/30(Sat) 19:36:53

☆ Re: 接線線積分の問題について / X

tに変換後の↑F,d↑rの計算は正しいようですが
積分の向きが間違っています。
いくらスタート地点を負の値にしても
t:-2π→0
では原点から見て反時計回りになってしまいます。
時計回りにするなら
t:0→-2π
としましょう。
或いは
t:2π→0
としてもよいでしょう。

No.38316 - 2016/07/30(Sat) 22:44:50

☆ Re: 接線線積分の問題について / ジェイソン

X　さん

わかりやすい説明ありがとうございます。
答えは12πとなりましたが、それで正解でしょうか？

> tに変換後の↑F,d↑rの計算は正しいようですが
> 積分の向きが間違っています。
> いくらスタート地点を負の値にしても
> t:-2π→0
> では原点から見て反時計回りになってしまいます。
> 時計回りにするなら
> t:0→-2π
> としましょう。
> 或いは
> t:2π→0
> としてもよいでしょう。

No.38323 - 2016/07/31(Sun) 16:06:38

☆ Re: 接線線積分の問題について / X

ストークスの定理を使った別の方針で計算
をしてみましたが、こちらの結果も12πと
なりました。

No.38330 - 2016/08/01(Mon) 00:56:15

☆ Re: 接線線積分の問題について / ジェイソン

わざわざありがとうございました

今後も何かあれば質問させてください。

宜しくお願いします

No.38332 - 2016/08/01(Mon) 09:49:10